MÉTODOS PARA O ESTUDO DA CINEMÁTICA
DOS FLUIDOS
Método de Lagrange
Método de Euler
MÉTODO DE LAGRANGE
• Descreve o movimento de cada partícula acompanhando-a em sua trajetória real;
• Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas;
• Para a engenharia, normalmente não interessa o comportamento individual da partícula e sim o comportamento do conjunto de partículas no processo de escoamento.
• Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por este local;
• Método preferencial para estudar o movimento dos fluidos: praticidade.
MÉTODO DE EULER
VOLUME DE CONTROLE
• Volume de controle é uma região arbitrária e imaginária, no espaço, através do qual o fluido escoa.
• Vazão em VolumeVazão é a quantidade em volume de
fluido que atravessa uma dada seção do escoamento, por unidade de tempo.
CONCEITOS BÁSICOS DE VAZÃO
• Vazão em MassaVazão em massa é a quantidade em
massa do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.
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CONCEITOS BÁSICOS DE VAZÃO
CONCEITOS BÁSICOS DE VAZÃO
• Vazão em PesoVazão em peso é a quantidade de
peso do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.
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CLASSIFICAÇÃO BÁSICA DOS CONDUTOS
• Condutos Forçados:
São aqueles onde o fluido apresenta um contato total com suas paredes internas. A figura mostra um dos exemplos mais comuns de conduto forçado, que é o de seção transversal circular.
• Condutos Livres
São aqueles onde o fluido apresenta contato parcial com suas paredes internas.
Neste tipo de conduto observa-se sempre uma superfície livre, onde o fluido está em contato com o ar atmosférico;
Os condutos livres são geralmente denominados de canais, os quais podem ser abertos ou fechados.
CLASSIFICAÇÃO BÁSICA DOS CONDUTOS
• Condutos Livres
CLASSIFICAÇÃO BÁSICA DOS CONDUTOS
• É a equação que mostra a conservação da massa de líquido no conduto, ao longo de todo o escoamento;
• Pela condição de escoamento em regime permanente, podemos afirmar que entre as seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, nem falta de massa:
m1 = m2 = m = cte
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
ρ = Δm/V Δm=ρ.V V = A.Δl
Q= Δm/Δt = ρ.V/ Δt = ρ. A.Δl /Δt = ρ.A.v
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Dadas duas seções do escoamento:
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
ρAv = constanteSe ρ é constante (não há variação de
massa):
A1V1= A2V2
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante
A equação da continuidade estabelece que:
• O volume total de um fluido incompressível (fluido que mantém constante a densidade apesar das variações na pressão e na temperatura) que entra em um tubo, será igual aquele que está saindo do tubo;
• A vazão medida num ponto ao longo do tubo será igual a vazão num outro ponto ao longo do tubo, apesar da área da seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente.
Isto equivale a dizer que:
• No escoamento de fluidos incompressíveis em regime permanente, a vazão em volume, ou simplesmente a vazão, que passa através de qualquer seção do tubo de corrente é constante.
•De forma genérica:
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante
Q=AU, onde U = velocidade média
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
PROBLEMA RESOLVIDO 1
Uma mangueira de diâmetro de 2 cm é usada para encher um balde de 20 litros.a) Se o balde enche em 1 minuto, qual é a velocidade em cm/s com que a água passa pela mangueira?
b) Uma criança aperta a saída desta mangueira até ela ficar com um diâmetro de 5 mm e acerta o vizinho com água. Qual é a velocidade em cm/s com que a água sai da mangueira?
Solução:
a) A área da seção transversal da mangueira será dada por
A1 = πr2 = π(2 cm /2)2 = π cm2.
Para encontrar a velocidade, v1 , usamos Taxa de escoamento (vazão)=
A1v1 = 20 L / min = 20 x 103 cm3 / 60s
v1= (20 x 103 cm3 / 60 s) / (π cm2) = 106,1 cm/s.
b) A taxa de escoamento ( A1v1 ) da água que se aproxima da abertura da mangueira deve ser igual a taxa de escoamento que deixa a mangueira ( A2v2 ). Isto resulta em:
v2= A1v1 / A2 = (π. 106,1) / (π. (0,5/2)2) = 1698 cm/s.
PROBLEMA RESOLVIDO 1
Num sistema de drenagem, uma pipa de 25 cm de diâmetro interno drena para outra pipa conectada de 22 cm de diâmetro interno.
Se a velocidade da água através da pipa maior é 5 cm/s, determine a velocidade média em cm/s na pipa menor.
PROBLEMA RESOLVIDO 2
Solução:
Usando a equação da continuidade temos:
A1 v1 = A2 v2
π(12,5 cm)2 (5 cm/s) = π(11,0 cm)2 (v2)
Resolvendo para v2:
v2 = 6,42 cm/s.
PROBLEMA RESOLVIDO 2
Assumindo o fluxo de um fluido incompressível como o sangue, se a velocidade medida num ponto dentro de um vaso sanguíneo é 40 m/s, qual é a velocidade em cm/s num segundo ponto que tem um terço do raio original?
PROBLEMA RESOLVIDO 3
Solução:Este problema pode ser resolvido usando a equação da continuidade:
ρ1A1v1= ρ2A2v2 onde: ρ é a densidade do sangue A é a área da seção transversal, v é a velocidadee os subscritos 1 e 2 referem-se às localizações dentro do vaso.
Desde que o fluxo sangüíneo é incompressível, temos: ρ1= ρ2 v1 = 40 cm/s A1=πr1
2
A2 = πr22 r2=r1/3, A2= π(r1/3)2 = (π r1
2)/9 ou A2=A1/9 A1/A2 = 9
Resolvendo:
v2 = (A1v1)/A2 = 9 v1 = 9 x 40 cm/s = 360 cm/s
PROBLEMA RESOLVIDO 3