LT1 – Aula 22 (23.05.05)
Linha de transmissão
1.Estudo de ondas electromagnéticas transversais guiadas por linhas de transmissão.
2. Estruturas que suportam ondas TEM:
a) Linha de planos paralelos
Em microondas a linha de planos paralelos é fabricada de forma simples e barata usando
técnicas de circuito impresso num substracto dielétrico (“striplines”).
00
z~H,
z~Eg2
1k2zk
1
T~H
00
z~H,
z~Ef2
1k2zk
1
z~E
TEM1kzk0zE0zH:Modos
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−==⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
===
Metal
diel.
Metal Metal
diel.
b) Linha bipolar
Linhas telefónicas em areas rurais
Linhas de potência
Linhas da antena TV no telhado para o receptor
c) Cabo coaxial
Vantagem: confinam os campos E, H no dielétrico. Cabos de telefone e TV e cabos de entrada
de instrumentos de medida de alta precisão.
(evitam interferências)
Nota: estas estruturas propagam também modos TE e TM, quando a separação entre os
condutores for significativa em, termos de λ.
3. As eqs. gerais das linhas de transmissão podem ser formuladas com base num modelo de
circuitos em termos de uma resistência, inductância, condutância e capacitância por unidade
de comprimento da linha, isto é de parâmetros distribuídos ao longo da linha.
A partir das eqs. das linhas de transmissão deduzem-se todas as características da
propagação das ondas ao longo das linhas.
O estudo das propriedades das linhas em regimes harmónicos fica muito facilitada
utilizando métodos gráficos, que evitam o recurso a cálculos repetidos com números
complexos. A carta mais conhecida é a carta de Smith. Vamos usá-la para determinar as
características das ondas nas linhas e para resolver problemas de adaptação de impedâncias.
As linhas de transmissão suportam modos TEM: cabo coaxial, linha bifilar, “stripline”.
Modos TEM 1kzk0zE0zH ===
• As componentes transversais do campo eléctrico obedecem a equações semelhantes às da
electrostática, embora pulsem no tempo com frequência ω.
• As componentes transversais do campo magnético obedece a eqs. semelhantes às da
magnetostática.
• Pode-se definir unicamente tensão e corrente, V e I.
• As LT podem ser descritas em termos de parâmetros distribuídos. Cada troço elementar de
linha ∆z é modelado por parâmetros R, L, G e C definidos por unidade de comprimento:
R – resistência em série dos condutores [Ω/m]
L – indutância em série dos condutores [H/m]
G – condutância em paralelo [S/m]
C – capacidade em paralelo [F/m]
L – A indutância em série representa a indutância própria dos 2 condutores.
C – A capacidade em paralelo é devida à proximidade dos dois condutores.
R – A resistência em série representa a resistência devida á condutividade finita dos condutores.
G – É devida ás perdas dieléctricas no material entre condutores.
R e G – Traduzem perdas
a) Dieléctrico com perdas
G – dieléctrico não perfeito σd ≠ 0
b) Condutor com perdas => aparecimento de uma componente , deixa de ser um modo TEM.
c) R = Ri – resistência interna dos condutores
Li, Ci ≈ 0 normalmente desprezam-se
• A teoria das linhas de transmissão estabelece a ponte entre a análise dos campos electromagnéticos e a teoria dos circuitos.
• Os fenómenos de propagação de ondas em linhas de transmissão podem ser abordados como uma extensão da teoria dos circuitos ou como uma especialização das equações de Maxwell.
• A diferença fundamental entre a teoria dos circuitos e a teoria da linha de transmissão é o comprimento eléctrico. Nos circuitos as dimensões físicas são muito menores que o comprimento de onda, enquanto que nas linhas de transmissão são uma fracção considerável do comprimento de onda.
• A linha de transmissão é vista como um circuito de parâmetros distribuídos, em que a tensão e a corrente variam em amplitude e fase ao longo da linha
zE
iCeCCiLeLL
eGGeCC
eCeL
2IeL21
mW
2VeC21
eW
21 Hd
eL
VQ
eC
iCeCC
+=+=
==
µε=
=
=
µ=
=
+=
∫I
l
Exterior ao condutor perfeito
Auto indução exterior ao condutor perfeito
Energia eléctrica
Energia magnética
Equações canónicas das linhas de transmissão:
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ω+=ω+=−
ω+=ω+=−
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
ω+=−
ω+=−
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂
+=∂
∂−
∂∂
+=∂
∂−
VcjGVcjVRdz
Id
ILjRILjIRdzVd
)z(VCj)z(VGdz
)z(Id
)z(ILj)z(IRdz
)z(Vd
t)t,z(VC)t,z(VG
z)t,z(I
)t,z(tIL)t,z(IR
z)t,z(V
As eqs. resolvem-se em ordem a :IeV
( )( ) zjkjcjGLjRqueem
0I22dz
I2d
0V22dz
V2d
)I(
=β+α=ω+ω+=γ
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=γ−
=γ−
a) Condutores perfeitos (σ = ∞)
R = 0 Modos TEM → kz= k0
b) Materiais de boa qualidade (situação real)
Bons dieléctricos e bons condutores e/ou alta frequência
ω L >> R
ω c >> G
Solução geral das eqs (I):
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
γ−γ−=
γ+γ−=
ze0Z2aze
0Z1a)z(I
ze2aze1a)z(V
Onda incidente Onda reflectida
Gera-se uma onda incidente de tensão a partir da fonte que dá origem a uma onda incidente
de corrente, que está relacionada com V através da impedância característica. Mas quando
a linha está terminada por Zs ≠ Z0, a razão em V e I é Zs. Por isso surge uma onda
reflectida de modo a satisfazer esta condição.
⎪⎩
⎪⎨⎧
γ−=
γ=→+=
γ++γ−===
=====
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
γ+−γ−=
γ+γ−=
ll
ll1
11l
e2rV2ae2iV1a
2rV2iV
e2a1a2V)z(V
2I)z(Ie2V)z(Vzem
ze0Z2aze
0Z1a)z(I
ze2aze1a)z(V
0ZsZsZsZ
2I0Z2V2I0Z2Vjeksk
2iV2rV
sZ2I2V
22I0Z2V
22I0Z2V
2V2rV
22I0Z2V
2iV
2I0Z2rV
0Z2iV
0Z2V
0Z2rV
0Z2iV
2V2rV2iV
2V2rV2iV
)z(e
0Z2rV)z(
e0Z2iV)z(I
)z(e2rV)z(e2iV)z(V
+−
=+−
=θ==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
+−==
+=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=+
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−γ−−−γ
=
−γ−+−γ=
ll
ll
ks - factor de reflexão na carga
( )
( )θ−β−α−+α∝
θ−β+α−+α∝
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ β−α−θ+β−α⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ β−α−θ+βα=
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ γ−−γ=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ γ−+γ=
y2cosk2y2e2ky2e2iI)y(I
y2cosk2y2e2ky2e2iV)y(V
yjeyejekyjeyeyjeyejekyjeye2iV)y(V
yeskye0Z2iV
)y(I
yeskye2iV)y(V
• A tensão e a corrente na linha consistem na sobreposição da onda incidente e da onda reflectida. Tais ondas designam-se por ondas estacionárias. Apenas quando Zs = Z0 não háonda reflectida (ks = 0).
Linha sem perdas
πλθ
=θ
−=λ
+πλθ
=
+=π=θ−β
4y
k12iV)y(V
2m
4máxy
k12iV)y(V
m2máxy2
Primeiro máximo de tensão:
( )
( ) 2ky2cosk212iI
)y(I
2ky2cosk212iV
)y(V
+θ−β+=
+θ−β+=
a) A tensão é máxima quando:
• Nos planos em que a tensão é máxima a corrente é mínima.
( )
2m
44miny
1m2miny2
λ+
λ+
πθλ
=
π+=θ−βb) A tensão é mínima quando:
pk1k1
minImáxI
minVmáxV
=−+
==c) Factor de onda estacionária
Quando a linha está adaptada p = 1. Quando a linha está terminada por uma reactância pura: um curto circuito ou um vazio: k = 1 e p = ∞
Impedância nos planos de máximo e de mínimo
a) Plano de máximo ymáx de tensão
b) Plano de mínimo ymin de tensão
Nos planos de Vmáx ou Vmin (Imin ou Imáx) a impedância da linha é óhmica pura.
mRp0Z
k1k1
0ZmáxIminV
minyZ
mRp0Z
k1k1
0ZminImáxV
ymáxZ
==+−
==
==+−
==
Linha com perdas
( )
( )θ−β−α−+α=
θ−β+α−+α=
y2cosk2y2e2ky2e2
2iI)y(I
y2cosk2y2e2ky2e2
2iV)y(V
Quando cos (2βy - Ө) 1 tem-se:
yekye2iV
Vy
yekye2iV)y(V
k2y2e2ky2e2
2iV)y(V
α−−α=
α−+α=
+α−+α=
Quando cos (2βy - Ө) -1
Quando há perdas os pontos de estacionaridade das
funções deixam de coincidir com os
de cos (2βy - Ө).
Quando há fracas perdas α << 1 os pontos estão
próximos.
2iIyI
e2iV)y(V
Impedância da linha
A impedância da linha (cociente entre a tensão e a corrente) varia ao longo da linha.
À distância y = l da carga tem-se:
ll
l
l
ll
ll
l
β+β+
==
+−
=
β−−
β−+==
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ β−−β=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ β−+β=
==
===
tgSZj0Ztg0ZjsZ
0Z)y(Z
0ZsZ0ZsZ
sk
2jesk1
2jesk10Z)y(Z
yjeskyje0Z2iV
)y(I
yjeskyje2iV)y(V
)y(I)y(V
)y(Z
I) Linha sem perdas
R =0, G = 0 ( )( )CjGLjRZCjGLjR
ω+ω+
=ω+ω+=γ
00Xe)(constanteCL
0Xj0R0Z
LC1vf
LC0LCjj
==+=
=βω
=
⎩⎨⎧
ω=β=αω=β+α=γ
b) Velocidade de fase
c) Impedância característica
a) Constante de propagação:
(função linear de ω)
(constante)
II) Linha com fracas perdas
R << ωL (relações facilmente verificadas em altas frequências)
G << ωC
a) Constante de propagação
LCeCLG
LCR
21
CLG
LRR
21LCj
CG
LR
j211LCj
Cj2G1
Lj2R1LCj
CjG1
jLR1LCjj
ω≈β⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+≈α
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ω=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
ω+ω≈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+ω≈
ω++ω=β+α=γ
(função aproximada linear com ω)
a) Velocidade de fase
CjGLjRZ
0CG
LR
21
CL
0XeCLR
CG
LR
j211
CL
Cj2G1
Lj2R1
CL
CjG1
1Lj
R1CL
0Xj0R0Z
LC1vf
ω+ω+
=
≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
ω−=≈
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
ω+≈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω
+≈
ω+ω
+=+=
=βω
= (Aproximadamente constante)
c) Impedância característica