Logaritmo e ExponencialEscalas Logarítmicas
Derek Paiva
EDUCAFRO - Núcleo Kalunga
2018
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
De�nição de Logaritmo (Função Logarítmica e Exponencial)
Seja x , y , b ∈ R, y > 0, b 6= 0 e b > 1
logb y = x ⇔ bx = y
Exemplo 1. Parte a
Seja uma função exponencial do tipo
y = bx ⇒ y = 2x
Exemplo 1. Parte b
A função logarítmica equivalente, nesse caso da exponencial, é do
tipo
y = logb x ⇒ y = log2 x
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
De�nição de Logaritmo (Função Logarítmica e Exponencial)
Seja x , y , b ∈ R, y > 0, b 6= 0 e b > 1
logb y = x ⇔ bx = y
Exemplo 1. Parte a
Seja uma função exponencial do tipo
y = bx ⇒ y = 2x
Exemplo 1. Parte b
A função logarítmica equivalente, nesse caso da exponencial, é do
tipo
y = logb x ⇒ y = log2 x
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
De�nição de Logaritmo (Função Logarítmica e Exponencial)
Seja x , y , b ∈ R, y > 0, b 6= 0 e b > 1
logb y = x ⇔ bx = y
Exemplo 1. Parte a
Seja uma função exponencial do tipo
y = bx ⇒ y = 2x
Exemplo 1. Parte b
A função logarítmica equivalente, nesse caso da exponencial, é do
tipo
y = logb x ⇒ y = log2 x
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
A função exponencial tem alguns de seus valores expressos na
tabela abaixo.
x y...
...
0 1
1 2
2 4
3 8...
...
10 1024...
...
20 1048576...
...
Tabela: Tabela dos valores da função exponencial y = 2x .
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
E a função logarítmica (inversa da exponcial anterior) tem alguns
de seus valores expressos na tabela a seguir, como na tabela
anterior.
x y...
...
1 0
2 1
3 1,584...
4 2...
...
10 3,321......
...
20 4,321......
...
Tabela: Tabela dos valores da função logarítmica y = log2x .
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Representação das funções y = 2x e y = log2 x
Figura: Representação grá�ca. Em verde, y = 2x e em vermelho,
y = log2x .
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Prpriedades Operatórias
Sejam logb a, logb c , c 6= 0 e N ∈ R, vale as propriedades seguintes.
Logaritmo do Produto
logb(a · c) = logb a+ logb c
Logaritmo do Quociente
logb
(ac
)= logb a− logb c
Logaritmo da Potência
logb aN = N · logb a
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Prpriedades Operatórias
Sejam logb a, logb c , c 6= 0 e N ∈ R, vale as propriedades seguintes.
Logaritmo do Produto
logb(a · c) = logb a+ logb c
Logaritmo do Quociente
logb
(ac
)= logb a− logb c
Logaritmo da Potência
logb aN = N · logb a
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Prpriedades Operatórias
Sejam logb a, logb c , c 6= 0 e N ∈ R, vale as propriedades seguintes.
Logaritmo do Produto
logb(a · c) = logb a+ logb c
Logaritmo do Quociente
logb
(ac
)= logb a− logb c
Logaritmo da Potência
logb aN = N · logb a
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Prpriedades Operatórias
Sejam logb a, logb c , c 6= 0 e N ∈ R, vale as propriedades seguintes.
Logaritmo do Produto
logb(a · c) = logb a+ logb c
Logaritmo do Quociente
logb
(ac
)= logb a− logb c
Logaritmo da Potência
logb aN = N · logb a
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Propriedades Operatórias
Mudança de Base
Seja logb n 6= 0, temos
logn x =logb m
logb n
Exemplo a.
log
(a√b
c3
)
Exemplo b.
Dados loga m = 11 e loga n = 6, quanto vale a expressão
loga(m3 · n2)?
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Propriedades Operatórias
Mudança de Base
Seja logb n 6= 0, temos
logn x =logb m
logb n
Exemplo a.
log
(a√b
c3
)
Exemplo b.
Dados loga m = 11 e loga n = 6, quanto vale a expressão
loga(m3 · n2)?
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Propriedades Operatórias
Mudança de Base
Seja logb n 6= 0, temos
logn x =logb m
logb n
Exemplo a.
log
(a√b
c3
)
Exemplo b.
Dados loga m = 11 e loga n = 6, quanto vale a expressão
loga(m3 · n2)?
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Escalas Logarítmicas
O que é uma escala logarítmica?
Uma escala que utiliza do logaritmo de uma grandeza, ao invés da
grandeza propriamente dita.
Temos muitos exemplos de modelos matemáticos que utilizam das
escalas logarítmicas para previsões, manuntenções, observações de
fenômenos naturais, sociais, econômicos e políticos.
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Exemplos de Escalas Logarítmicas
Terremotos: A Escala Richter
Também conhecida como escala de magnitude local, foradesenvolvida por Charles Francis Richter e Beno Gutenberg na
intenção de quanti�car a magnitude de um sismo.
A escala se baseia em logaritmo de base 10, bastante comum nas
ciências em geral. Sua equação é do tipo
ML =2
3log
E
E0
Onde, E é a quantidade de energia liberada em um determinado
terremoto e E0 = 7× 10−3kWh.
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Escala Richter
Figura: Figura explicativa sobre a escala Richter.
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Exemplo: QUESTÃO 180 - ENEM 2016 (CADERNO AZUL)
Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou
um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina
nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude
7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China),
deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de
um terremoto na escala Richter pode ser calculada por
ML =2
3log
E
E0
sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma
constante real positiva. Considere que E1 e E2 representam as
energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China,
respectivamente. Qual a relação entre E1 e E2?(A) E1 = E2 + 2 (B) E1 = 102E2 (C) E1 = 103E2
(D) E1 = 1097E2 (E) E1 =
9
7E2
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Exemploe de Esacalas Logarítmicas
pH (Potencial Hidrogeniônico)
Utilizada em química, a escala de pH tem por �nalidade especi�car
a acidez ou basicidade de uma solução aquosa. O pH é o logaritmo
na base 10 do inverso da respectiva concentração de H3O+ (íon
hidroxônio). Soluções com valores menores do que 7 são
consideradas ácidas e soluções com valores maiores do que 7, são
consideradas básicas. Temos, então
pH = − log[H+]
Exemplo
O cérebro humano contém um líquido cuja a concentração de
H3O+ é 4, 8× 10−8mol/l (em média). Podemos calcular o pH
desse líquido.
Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 47
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Exemploe de Esacalas Logarítmicas
pH (Potencial Hidrogeniônico)
Utilizada em química, a escala de pH tem por �nalidade especi�car
a acidez ou basicidade de uma solução aquosa. O pH é o logaritmo
na base 10 do inverso da respectiva concentração de H3O+ (íon
hidroxônio). Soluções com valores menores do que 7 são
consideradas ácidas e soluções com valores maiores do que 7, são
consideradas básicas. Temos, então
pH = − log[H+]
Exemplo
O cérebro humano contém um líquido cuja a concentração de
H3O+ é 4, 8× 10−8mol/l (em média). Podemos calcular o pH
desse líquido.
Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 47
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Escala do pH
Figura: Escala de pH com escala de pOH
Derek Paiva Logaritmo e Exponencial
Logaritmos Dados
A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor
aproximado de um grande número de logaritmos, usando as
propriedades conhecidas.
Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48
Exemplo a.
log 6 = log(2 · 3) = log 2+ log 3 = 0, 78
Exemplo b.
log 30 = log(3 · 10) = log 3+ log 10 = 1, 48
Exemplo c.
log 8 = log 23 = 3 · log 2 = 0, 90
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Logaritmos Dados
A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor
aproximado de um grande número de logaritmos, usando as
propriedades conhecidas.
Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48
Exemplo a.
log 6 = log(2 · 3) = log 2+ log 3 = 0, 78
Exemplo b.
log 30 = log(3 · 10) = log 3+ log 10 = 1, 48
Exemplo c.
log 8 = log 23 = 3 · log 2 = 0, 90
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Logaritmos Dados
A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor
aproximado de um grande número de logaritmos, usando as
propriedades conhecidas.
Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48
Exemplo a.
log 6 = log(2 · 3) = log 2+ log 3 = 0, 78
Exemplo b.
log 30 = log(3 · 10) = log 3+ log 10 = 1, 48
Exemplo c.
log 8 = log 23 = 3 · log 2 = 0, 90
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Logaritmos Dados
A partir de alguns logaritmos dados, podemos obter o valor
aproximado de um grande número de logaritmos, usando as
propriedades conhecidas.
Dados log 2 ' 0, 30 e log 3 ' 0, 48
Exemplo a.
log 6 = log(2 · 3) = log 2+ log 3 = 0, 78
Exemplo b.
log 30 = log(3 · 10) = log 3+ log 10 = 1, 48
Exemplo c.
log 8 = log 23 = 3 · log 2 = 0, 90
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Logaritmos Dados
Exemplo d.
log√3 = log 3
12 =
1
2· log 3 = 0, 24
Exemplo e.
log2 3 =log 3
log 2= 1, 60
Vamos lá!
Calculem agora!
log9 32 = x
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Logaritmos Dados
Exemplo d.
log√3 = log 3
12 =
1
2· log 3 = 0, 24
Exemplo e.
log2 3 =log 3
log 2= 1, 60
Vamos lá!
Calculem agora!
log9 32 = x
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Logaritmos Dados
Exemplo d.
log√3 = log 3
12 =
1
2· log 3 = 0, 24
Exemplo e.
log2 3 =log 3
log 2= 1, 60
Vamos lá!
Calculem agora!
log9 32 = x
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