Download - lista 3 - expressões algébricas
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS
16a b c 1) Simplifique a frao: 8a 3 b 22) Simplificar a frao:
2
5
35 5x 7y xy 5 y x3 2x 2 x 2 x2 1
3) (colgio naval/1958) Simplifique a frao:
4) Efetuar, simplificando o resultado:
1 1 a 2 ab ab b 2
5) Assinale a resposta certa.
3 4 8 1 y 1 y 1 y2 7 1 yc)
a)
7 1 y
b)
7 1 y2
d)
7 y2 1
6) Efetuar:
3a 2 b 3 10x 2 y 2 5a 4 x 6a 3 y 2a 2b a 2 b2 10 5a 5b, obtemos o nmero:
7) Efetuando e simplificando a expresso:
8) efetue a operao:
1 1 a2 2 1 ab ab bb)
e marque o resultado correto.
a)
2 b
2 b
c)
a
2
d)
2 a
9) (colgio naval/1971) Simplifique o mximo possvel.5 8 x 3 x 2 4 [ 2 ] x 4x 4 x 2 2x 44 2x
10) Reduzindo a expresso a)
a 2 b3 4 a 3 b2 3 a 4 b 5 2 a 4 b 2 2c)
a sua forma mais simples encontraremos: d)
a 4 b 3 2
b)
a 3 b 4 2
a 9 b 8
RESPOSTAS PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS
1) 2) 3) 4)
2b 3 c a x7 x2 ab aba b 7 1 y b3 x2 y a5 1 2 b
5)
6) 7) 8) 9) 10)
32a b9 8
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS RESOLUO
16a b c 1) Simplifique a frao: 3 2 8a b
2
5
16a 2 b5 c 8a 3 b2=
=
16 a 2 b5 c 8 a 3 b2=
=
2 a
2 3
b
52
c
=
2 a
1
b c
3
=
1 2 1 b3 c a
21b 3 c a
=
2b 3 c aOU
16a 2 b 5 c 2b3 c = a 8a 3 b 2
Dividir os monmios dos termos da frao pelo seu m.d.c. Clculo do m.d.c Lembrete: m.d.c fatores comuns elevados aos menores expoentes
16a 2 b 5 c8a bm.d.c ( m.d.c (3 2
=3
2 4 a 2 b5 c3 2
=
2 a b
2 5 3 2 3 2 2 16a b c , 8a b ) = 2 a b
16a 2 b 5 c
,
8a 3 b 2
)=
8a 2 b 2 8a 2 b2=
16a 2 b5 c 8a 3 b2
Dividir numerador e denominador por
16/8 a 2 / a 2 b5 /b 2 c 8/8 a 3 / a 2 b 2 /b 2 21b 3 c 1 a 1 1=
=
2a 2 2 b 5 2 c 1 a 3 2 b2 2
2a 0 b 3 c 1 a 1 b0
=
2 b3 c a
16a 2 b 5 c 2b3 c = a 8a 3 b 2
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS 2) Simplificar a frao:
35 5x 7y xy 5 y
A simplificao s pode ser executada quando houver uma multiplicao e no caso em questo s temos adio, por este motivo temos que fatorar para transformar a adio em multiplicao.
35 5x 7y xy 5 y
O macete observar que o denominador no admite fatorao e
portanto no deve ser mexido, assim sendo, devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificao. O numerador ser fatorado colocando-se o termo comum em evidncia, veja:
35 5x 7y xy = 57 x y 7 x 57 x y 7 x = 7 x5 y 35 5x 7y xy = 7 x5 y A frao ficar assim:
ainda da para fatorar
agora sim concluda a fatorao
35 5x 7y xy 5 y
=
7 x 5 y 5 y
agora
temos uma
multiplicao e podemos efetuar a simplificao dividindo- se os temos (numerador e denominador) pelo fator comum 5 + y.
35 5x 7y xy 5 ypor uma questo de elegncia
=
7 x 5 y 5 y x 7
=
7 x 5 y / 1 5 y /1
=7+x
35 5x 7y xy = x7 5y3) (colgio naval/1958) Simplifique a frao:
x 2x x 2 x2 1
3
2
J sabemos que a simplificao s pode ser executada quando houver uma multiplicao e no caso em questo s temos subtrao, por este motivo temos que fatorar transformando a subtrao em multiplicao.
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS O macete observar que o denominador admite uma fatorao mais fcil, vejamos: Lembrete:
a 2 b 2 = a bab
Fatorao do denominador2 2 2 2 2 x 1 = x 1 , logo: x 1 = x 1 x 1
Fatorao do numerador Devemos ao fatorar o numerador tentar encontrar fatores iguais ao denominador para que ocorra a simplificao. O3
numerador2
ser
fatorado
colocando-se
o
termo
comum
em
evidncia,
veja:
x 2x x 2colocando - 1 em evidncia colocando
1 x 2
x
2
em evidncia
x 2 x 2 x 2x x 2 = x x 2 1 x 2colocando em evidncia ( x 2) 3 2 2
O numerador fatorado ficar, assim:
x 2 x 1
2
Fatorando
2 2 2 2 2 x 1 = x 1 , logo: x 1 = x 1 x 1
A frao fica assim:
3 2 x 2x x 2 x 2 x 1x 1 = x 1 x 1 x2 1
Dividindo pelos fatores comuns, obtemos a resposta:
x3 2x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = =x2 x 1 x 1 x2 1 x3 2x 2 x 2 = x2 x2 1PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS 4) Efetuar, simplificando o resultado:
1 1 a ab ab b 22
Trata-se de uma adio de fraes com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as fraes ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c. Clculo do m.m.c
a 2 ab = aabm.m.c (2 2 a ab , ab b ) = aba b
ab b2 = ba bAps o clculo do m.m.c a frao dada ser escrita assim:
1 1 1 1 = a 2 ab ab b 2 aab ba bResolvendo a soma encontraremos o seguinte resultado:
1 1 1 1 1b 1a = = 2 aab/ b ba b/ a aa b b a b a ab ab b2
=
1b 1a ba ab = = abab aba b abab abab2
1 1 ab = 2 ab ab a ab ab b
5) Assinale a resposta certa.
3 4 8 1 y 1 y 1 y2b)
a)
7 1 y
7 1 y
c)
7 1 y2
d)
7 y2 1
Trata-se de uma operao de fraes com denominadores diferentes, portanto temos que reduzir as fraes ao mesmo denominador, para isso precisamos calcular o m.m.c. Clculo do m.m.c
1 y=1 y 1 y=1 yPROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS
1 y 2 = 12 y 2 = 1 y 1 y m.m.c 1 y , 1 y , 1 y 2 = 1 y 1 y Reduzindo ao mesmo denominador
3 4 8 3 4 8 = = 2 1 y 1 y 1 y 1 y /1 y 1 y /1 y 1 y 2 /1 31 y 41 y 81 3 3y 4 4 y 8 = = 1 y 1 y 1 y 1 y 3 3y 4 4 y 8 7 7y = 1 y1 y 1 y 1 y3 4 8 7 7y = 2 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y
=
=
Frao reduzida ao mesmo denominador: Resolvendo a operao:
=
3 3y 4 4 y 8 7 7y 71 y = = = 1 y1 y 1 y 1 y 1 y1 y 71 y 71 y 7 = = 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y
=
3 4 8 7 = 2 1 y 1 y 1 y 1 y6) Efetuar:
3a 2 b 3 10x 3 y 2 5a 4 x 6a 3 y
Antes de proceder a multiplicao temos que efetuar a simplificao, desta forma a operao ser facilitada. Simplificando cada frao separadamente: PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS
3a b 10x y 3a b 10/5 x y y 3b 5x y = = 4 3 2 2 3 2 5a x 6a y 5a a x 6/ 3a y 5 a x 3a 3Agora simplificando cruzado:
2
3
3
2
2
3
3
3
3
3a 2 b3 10x 3 y 2 3b3 5x 3 y 3 b3 5 x2 x y b3 x2 y = 3 3 = = 2 3 = 5a 4 x 6a 3 y 5a x 3a y 5 a2 x 3 a3 a a b3 x2 y b3 x2 y b3 x 2 y b 3 x 2 y = 2 3 = 3 2 = 32 = a a a a a a5 3a 2 b3 10x 3 y 2 b 3 x 2 y = 4 3 5a x 6a y a57) Efetuando e simplificando a expresso:
2a 2b a 2 b2 10 5a 5b
, obtemos o nmero:
Primeiro temos que transformar a diviso numa multiplicao. Lembete: Repetimos a primeira frao invertemos o sinal da operao de diviso para multiplicao e em seguida invertemos a segunda frao.
2a 2b a 2 b2 2a 2b 5a 5b = 2 10 5a 5b 10 a b2Antes de proceder a multiplicao temos que efetuar a simplificao, desta forma a operao ser facilitada. Para isto preciso fatorar cada termo das fraes. Fatorando:
2a 2b = 2 a b 5a 5b = 5a b a b = a ba bA expresso ficar assim:2 2
2a b 5a b 2a 2b a 2 b2 = 10 5a 5b 10 a ba b
Simplificando cada frao separadamente
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS
2a b 5a b 2/1a b 5a b a b 5 = = 10 a ba b 10/5 a ba b 5 a bAgora simplificando cruzado:
a b 5 a b 5 /1 = =1 5 a b 5/1 o a b 2a 2b a 2 b2 =1 10 5a 5b8) efetue a operao:
1 1 a 2 1 ab ab bb)
2
e marque o resultado correto.
a)
2 b
2 b
c)
a2
d)
2 a
Primeiro resolvemos as operaes dentro dos parnteses e para isso temos que reduzir cada fator ao mesmo denominador: Est fcil de visualizar que: m.m.c ( a + b; a -b) = (a + b) . (a b) e m.m.c (b2) = b2
1 1 a2 1 1 a2 1 2 1 = 2 = ab ab a b /a b a b /a b b b 1 /b 2= 1a b 1 a b a 2 1b 2 a b a b a2 b2 2 2 = 2 2 = a b a b a ba b a b a b a ba b b b b b2 2 2 2 2 2
a ba b a b a b a b a b b b a b = = = = 2 2 2 a ba b a ba b a ba b b b b 2b a b = = 2 a ba b bA expresso reduzida ao mesmo denominador ficar assim:2 2
1 1 a2 2b a 2 b2 2 1 = ab ab a ba b b b2Resolvendo a operao: Lembrete:2 2
a b = a bab
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS
1 1 a 2b a b 2b a b 2 1 = = 2 = 2 2 ab ab a ba b b b a b b2Simplificando cruzado:
2
2
2
2
2
2b a2 b2 2 = 2 = 2 2 b a b b 1 1 a2 2 2 1 = ab ab b b9) (colgio naval/1971) Simplifique o mximo possvel.5 8 x 3 x 2 4 [ 2 ] x 4x 4 x 2 2x 44 2x
Lembrete:
a b = a bab a 3 b 3 = a ba 2 ab b 2 a b2 = a 2 2ab b 2Primeiro devemos simplificar o mximo possvel e para isso precisaremos fatorar o que pudermos, logo:
2
2
8 x 3 = 23 x 3 = 2 x 4 2x x 2 x 4 = x 2 = x2 x2 x 4x 4 = x 2 x 2 = x2 4 2x = 22 xSubstituindo estes valores na expresso teremos: [ 8 x x 4 ] 2 2 x 4x 4 x 2x 44 2x 3 2 5
2
2
2
2
2
=[
2 x 4 2x x x2 x2 ] 2 x 2 x 2 x 2x 4 22 x
2
5
=
Vamos deixar a expresso mais elegante fazendo alguns ajustes:
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS
x 2 x 2x 4x 2 x2 =[ ] x 2 x 2 x 2 2x 4 22 x Simplificando:
2
5
=
x 2 x 2 2x 4 x 2 x2 5 x2 5 =[ ] =[ ] = 22 x x 2 x 2 x 2 2x 422 x Lembrete: x 2 e 2 x so simtricos, logo se multiplicarmos o numerador e a frao toda por 1, no alteraremos o seu valor.
x 2 5 x 2 5 = [ ] = [ ] = 22 x 22 xsimplificando teremos:
Deixando o numerador mais elegante e
2x = [ ] 22 x Lembrete:
5
2 x /1 = [ ] 22 x
5
1 = [ ] 2
5
=
a 2 b 2 = b a5 5
invertermos os termos da frao e tornamos o expoente positivo.
1 = [ ] 2[
2 = [ ] = [ 2] 5 = 32 1
5 8 x 3 x 2 4 ] = 32 x 2 4x 4 x 2 2x 44 2x
10) Reduzindo a expresso Lembrete:
a 2 b3 4 a 3 b2 3 a 4 b 5 2
a sua forma mais simples encontraremos:
ab2 = a 2 b2expoente.
potncia de um produto, elevamos cada fator da multiplicao ao
a 2 3 = a 23
potncia de potncia, multiplicamos os expoentes.
PROFESSOR: LIMA
LISTA 3 FRAES ALGBRICAS Aplicando as propriedades na expresso encontraremos:
a 2 b3 4 a 3 b2 3 a 24 b 34 a 33 b 23 a 8 b 12 a 9 b6 = = = a 4 b 5 2 a 42 b 52 a 8 b10Lembrete:
a 3 a 2 = a 3 2 = a 5somamos os expoentes.
multiplicao de potncias de mesma base, repetimos a base e
a5 = a5 3 = a 2 3 aexpoentes.
diviso de potncias de mesma base, repetimos a base e subtramos os
a 8 9 b 12 6 a17 b18 178 1810 9 8 = = 8 10 = a b = a b 8 10 a b a b a 2 b3 4 a 3 b2 3 = a9 b8 4 5 2 a b
PROFESSOR: LIMA