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2. A INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL DE ESTRUTURAS
2.1 Aplicação da Análise Experimental de Estruturas
A qualidade de um sistema estrutural é caracterizada por um determinado
conjunto de seus atributos chamados de variáveis de estado do sistema. A
fixação de quais variáveis são de interesse na caracterização do estado do
sistema depende dos requisitos necessários a uma operação satisfatória desse
mesmo sistema. De maneira geral, pode-se dizer que toda investigação
experimental tem como objetivo obter ou uma variável de estado do sistema
estrutural ou a ratificação de uma hipótese formulada a respeito desse mesmo
sistema. FUSCO (1996).
Na Engenharia, a análise experimental de estruturas pode ser utilizada como
ferramenta no estudo da qualidade dos sistemas estruturais ao longo das
quatro fases em que se desdobram todas as atividades de engenharia:
planejamento, projeto, construção e operação, figura 2.1.
No planejamento da obra, as maquetes, construídas como modelos de
visualização do produto, contribuem para a concepção estrutural, podendo
inclusive esperar-se a realização de ensaios físicos utilizando estes modelos.
Na fase de projeto, a análise pode ser realizada por meios numéricos ou
físicos, dependendo das necessidades apontadas pelo projetista. Durante a
construção, é feito o controle do sistema material pelas amostras coletadas ao
longo de cada fase do processo. Após o término da construção, em alguns
casos, são executadas provas de carga de aceitação do produto, ou melhor,da estrutura como um todo, procedimento este comum em alguns países
europeus. Na fase de operação, ou seja, durante a utilização normal da
estrutura, podem ser realizados ensaios de monitoração para avaliar o
comportamento da estrutura quando submetida às cargas de utilização ou,
ainda, podem ser realizadas provas de carga para determinar parâmetros
estruturais. Desta forma, a análise experimental de estruturas, tanto numérica
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quanto física, gera informações necessárias ao processo de tomada de
decisões em relação ao produto “estrutura”.
Figura 2.1 Aplicação da análise experimental de estruturas, ALMEIDA (1996)
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2.2 Conceitos Básicos
Pela natureza dos fenômenos abordados neste trabalho, torna-se necessário o
entendimento dos conceitos da Dinâmica das Estruturas.
Para tal, deve-se apresentar a classificação de ações que podem atuar nesses
sistemas estruturais:
Ações determinísticas são aquelas em que os valores da ação podem ser
determinados a cada instante. Em ações aleatórias, os valores da ação em
cada instante não podem ser previstos exatamente, mas somente utilizando
funções estatísticas.
Os tipos de ações determinísticas estão mostrados na figura 2.2.
Figura 2.2 Ações determinísticas, BACHMANN; AMMANN (1987)
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Uma ação que representa um processo aleatório estacionário possui mesma
distribuição de probabilidades independente da escala de tempo adotada. Caso
contrário, esta será chamada de não estacionária.
As equações de movimento de qualquer sistema dinâmico representam
expressões da 2a lei de Newton para pontos materiais. CLOUGH; PENZIEN
(1993). Considerando que na maioria dos problemas da dinâmica das
estruturas pode-se assumir que a massa não varia, então matematicamente
tem-se:
( ) ( )tvmtf &&r
r
= (2.1)
onde ( )tf r
é o vetor resultante das forças aplicadas na partícula;
( )tvr
é o vetor de posição da partícula de massa m .
O segundo termo da equação, ( )tvm &&r
, é definido como força de inércia.
Aplicando o conceito que uma massa desenvolve uma força inercial
proporcional a sua aceleração, de sentido contrário, conhecido como Princípiode D’Alembert, permite que a equação de movimento seja expressada como
uma equação de equilíbrio dinâmico:
( ) ( ) ( ) ( )tf tf tf t p SDIrrrr
++= (2.2)
Logo, para o sistema dinâmico mostrado na figura 2.3, tem-se:
Figura 2.3 Sistema dinâmico com um grau de liberdade, CLOUGH; PENZIEN
(1993)
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• ( )t pr
é o carregamento atuante;
• ( ) ( )tvmtf I &&rr
= é a força inercial;
• ( ) ( )tvctf D &rr
= é a força de amortecimento, considerando um amortecimentoviscoso;
• ( ) ( )tvk tf Srr
= é a força elástica.
Desta forma, determinar a resposta dinâmica de um sistema com um grau de
liberdade consiste, em última análise, em integrar uma equação diferencial do
tipo:
( ) ( ) ( ) ( )t ptkvtvctvm =++ &&& (2.3)
Analogamente, determinar a resposta dinâmica de um sistema com n graus de
liberdade consiste, em última análise, em integrar n equações diferenciais do
tipo da equação 2.3. Desta forma, pode-se representar as forças
matricialmente:
( ) ( ) ( ) ( )tttt PKvvCvM =++ &&& (2.4)
A desconsideração do caráter vetorial nas equações 2.3 e 2.4 pode ser feita
dentro da formulação da Mecânica Analítica, baseada em conceitos de energia,
ou seja, grandezas escalares. LANCZOS (1966) apud MAZZILLI (1996).
• Vibrações Livres
Neste caso, ( ) 0t p = . A solução é obtida integrando-se a seguinte equação:
( ) ( ) ( ) 0tkvtvctvm =++ &&& (2.5)
CLOUGH; PENZIEN (1993) mostram que a solução é:
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a) para sistemas não amortecidos ( )0c = :
( ) ( )
( )tsenωω
0v
tcosω0vtv nn
n
&
+= (2.6)
onde ( )0v e ( )0v& são condições de contorno do problema;
nω é a freqüência natural do sistema.
b) para sistemas amortecidos, considerando amortecimento sub-crítico, usual
em estruturas civis ( 0020ξ〈 ):
( ) ( ) ( ) ( ) tξω
d
d
n
dn
etsenωω
ξω0v0v
tcosω0vtv −
+
+=
&
(2.7)
onde ( )0v e ( )0v& são condições de contorno do problema;
2
nd ξ1ωω −= é a freqüência de vibrações livres do sistema amortecido;
cc
cξ = é a taxa de amortecimento;
nc 2mωc = é o amortecimento crítico.
Da equação 2.7, percebe-se que a curva formada pelos picos da resposta é
exponencial. Desta forma, obtem-se:
δξ1
2ππ
v
vln
21n
n =−
=+
(2.8)
onde δ é o decremento logarítmico de amortecimento
Figura 2.4 Vibrações livres em um sistema com amortecimento sub-crítico, CLOUGH;
PENZIEN (1993)
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• Vibrações Forçadas
Neste caso podem ser utilizadas as notações de Euler:
isenθcosθe
isenθcosθe
iθ
iθ
+=
−=− (2.9)
Quando a excitação é harmônica, ou seja ( ) tωioe pt p = , tem-se:
( ) ( ) ( ) tωi0e ptkvtvctvm =++ &&& (2.10)
Neste caso, é natural esperar que uma solução particular da equação seja a
harmônica com a mesma freqüência do carregamento:
( ) tωi0evtv = (2.11)
onde ( ) 0n
2
00 pωH
icωωmk
pv =
+−= (2.12)
A defasagem entre o carregamento e a resposta é dada por:
22 β1
β2
ωmk
ωcarctanφ
−=
−
= ξ
(2.13)
ondenω
ωβ =
Segundo CLOUGH; PENZIEN (1993), o fator de amplificação dinâmica D é
dado por:
( ) ( )[ ] 21
222
0
0 β2β1/k p
vD
−
+−== ξ (2.14)
Utilizando-se a equação 2.14, pode-se obter o gráfico da figura 2.5.
A função ( )ωH é chamada função resposta em freqüências e representa a
relação entre a amplitude da resposta dinâmica e a amplitude da excitação.
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Desta forma, as respostas de um sistema dinâmico elástico linear podem ser
determinadas tanto no domínio do tempo como no domínio da freqüência. A
figura 2.6 mostra as relações entre esses dois domínios e as ligações por meiode transformadas de Fourier. As transformadas de Fourier são processos
matemáticos utilizados para transformar uma função no domínio do tempo para
o domínio da freqüência e vice-versa.
Figura 2.5 Fator de amplificação dinâmica em função do amortecimento e da freqüência,
CLOUGH; PENZIEN (1993).
PFT: transformada de Fourier de função periódicaTFT: transformada de Fourier de função transientePIFT: transformada inversa de Fourier de função periódicaTIFT: transformada inversa de Fourier de função transiente
Figura 2.6 Relações entrada-saída dos sistemas dinâmicos elásticos lineares mostrando as
transformadas de Fourier como ponte entre processos de convolução e função
resposta em freqüências, McCONNELL (1995).
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A função ( )τth − é chamada função resposta ao impulso ( )dττ p aplicado no
instante τ . Este impulso matematicamente corresponde a uma função delta de
Dirac. A função delta de Dirac tem valor zero para todos os valores de t, exceto
em τt = . É, portanto, o limite conforme ∆t tende a zero de uma área retangular
unitária como mostrado na figura 2.7.
Figura 2.7 Conceitos de convolução. (a) função delta de Dirac. (b) função resposta ao impulso,
McCONNELL (1995)
A resposta no domínio do tempo é:
( ) ( ) ( )∫∞
∞−−= dττthτ ptv (2.15)
A equação 2.15 é chamada de integral de convolução ou de Duhamel.
Conforme mostra a figura 2.6, as funções ( )τth − e ( )ωH formam um par de
transformadas de Fourier:
( ) ( )
( ) ( )∫
∫∞
∞−
−
∞
∞−
=
=
dtethωH
dωeωH2π
1th
i
ti
t ω
ω
(2.16)
Quando a excitação é periódica, tanto a resposta como a excitação podem ser
representadas como uma soma de harmônicos, ou seja, em séries de Fourier:
( ) ∑
∞
=
++= 1k
k k 0T
kt2
sen bT
kt2
cosaatx
π π
(2.17)
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onde 0a , k a e k b são chamados coeficientes de Fourier:
( )∫−
=T/2
T/2
0 dttxT1a
( )∫−≥
=T/2
T/21k k dt
T
kt2costx
T
2a
π (2.18)
( )∫−≥
=T/2
T/21k k dt
T
kt2sentx
T
2 b
π
Supondo que o valor médio de ( )tx seja igual a zero e, portanto, 0a também
nulo, os valores dos coeficientes k a e k b podem ser mostrados graficamente
de forma que a freqüênciaT
k 2ωk
π = corresponda ao eixo horizontal e seus
respectivos coeficientes k a e k b ao eixo vertical, figura 2.8. A distância entre
harmônicos adjacentes é
T
2π∆ω = . O gráfico mostrado na figura 2.8, onde são
apresentados os valores discretos dos coeficientes em cada harmônico, é
chamado de espectro discreto de freqüências. Ações periódicas podem ser
representadas por este tipo de espectro.
Figura 2.8 Representação gráfica dos coeficientes de Fourier, NEWLAND (1989)
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Percebendo-se que conforme ∞→T , 0∆ω → (os valores discretos do gráfico
da figura 2.8 aproximem-se muito), no limite, sob certas condições, as séries de
Fourier tornam-se integrais de Fourier e os coeficientes de Fourier tornam-sefunções contínuas da freqüência.
Substituindo as equações 2.18 na equação 2.17, e considerando 0a0 = , no
limite ∞→T , quando dω∆ω → , FOURIER (1822) apud NEWLAND (1989)
prova que:
( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞
+=0 0
tdωsenωωB2tdωcosωA2tx ω (2.19)
onde os termos ( )ωA e ( )ωB são chamados de componentes da Transformada
de Fourier de ( )tx :
( ) ( )
( ) ( )∫
∫∞
∞−
∞
∞−
=
=
tdtsentx2π
1ωB
tdtcostx2π
1ωA
ω
ω
(2.20)
A equação 2.19 é a representação de ( )tx por uma integral de Fourier ou
transformada inversa de Fourier. A equação só é válida na seguinte condição:
( )∫∞
∞−
〈∞dttx
Ações transientes podem ser descritas por integrais de Fourier chamadas de
densidade espectral contínua.
Definindo ( )ωX como: ( ) ( ) ( )ωiBωAωX −= (2.21)
FOURIER (1822) apud NEWLAND (1989) mostra que:
( ) ( )
( ) ( )∫
∫∞
∞−
−
∞
∞−
=
=
ti
ti
etx2π
1
ωX
dωeωXtx
ω
ω
(2.22)
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onde ( )ωX é a transformada complexa de Fourier de ( )tx ;
( )tx é a transformada complexa inversa de Fourier de ( )ωX .
Conforme foi visto, as transformadas de Fourier são fundamentais no estudo de
sistemas dinâmicos. Percebe-se entretanto que as integrais são difíceis de
serem calculadas analiticamente. Existem processos numéricos para
determinação dos espectros de freqüências que são chamados de
transformadas discretas de Fourier e serão abordados no item 2.3.2.
2.3 Experimentação Física
2.3.1 Investigações de Campo
A investigação de campo geralmente pode ser caracterizada por 2 tipos de
ensaios: ensaios de monitoração e provas de carga.
Os ensaios de monitoração são caracterizados pela medida da resposta da
estrutura quando submetida a carregamentos onde não se tem controle de suanatureza no espaço e no tempo.
As provas de carga são caracterizadas pela medida da resposta da estrutura
submetida a carregamentos onde são conhecidos tanto sua natureza quanto a
sua ocorrência no espaço e no tempo.
As provas de cargas podem ser divididas em estáticas ou dinâmicas. Em
provas de carga estáticas, a estrutura é submetida a carregamentosconsiderados estáticos ou quase-estáticos, desprezando-se então os efeitos
dinâmicos na estrutura. Quando, no entanto, um carregamento tiver
intensidade variável no tempo, de forma que transfira para a estrutura, além de
energia de deformação, energia cinética, este carregamento é considerado
dinâmico e tem-se portanto uma prova de carga dinâmica.
As principais provas de carga dinâmicas são os ensaios de vibrações livres e
os ensaios de vibrações forçadas.
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Em ensaios de vibrações livres, a estrutura deve ser deslocada de sua
configuração estática de equilíbrio e liberada de forma que possa vibrar
livremente, ou seja, sem ação de nenhuma força externa (Equação 2.5).
Em ensaios de vibrações forçadas, a estrutura é excitada por carregamentos
dinâmicos controlados, geralmente senoidais (Equação 2.10). Os excitadores
das estruturas podem ser de translação ou de rotação.
O excitador de translação normalmente tem seu mecanismo baseado em
atuadores hidráulicos controlados por servosistemas. Os servosistemas
possuem mecanismos de controle para compensação entre a carga aplicada ea carga desejada, figura 2.9.
Figura 2.9 Esquema do servosistema, REESE; KAWAHARA (1993)
O excitador de rotação consiste em dois discos girando em um mesmo plano
com a mesma velocidade angular e em sentidos opostos, onde são fixadas
duas massas excêntricas, as quais podem ter suas posições ajustadas, figura
2.10
Da decomposição vetorial das forças centrífugas, obtém-se a intensidade da
força produzida pelo excitador de rotação:
( ) ( )2
k 2cosR F ω
α=ω (2.23)
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Figura 2.10 Excitador de rotação de massa excêntrica, McCONNELL (1995)
onde R : constante característica do excitador utilizado;
α : angulo relativo entre as duas massas excêntricas;
ω : velocidade angular.
2.3.2 Aquisição de Dados
Os métodos de investigação experimental de estruturas podem ser divididos
nas seguintes fases:
Fenômeno ⇒ transdutores ⇒ condicionadores ⇒ cabos ⇒ conversores ⇒ gravadoresde sinais analógico-
digitais
Figura 2.11 Configuração básica de um sistema de aquisição de dados
Fenômeno
É o processo que se deseja estudar. A análise do fenômeno é baseada no
estudo de grandezas físicas que são medidas por meio de transdutores.
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Figura 2.12 Utilização de transdutores de referência fixa ou variável
Como exemplo, pode-se apresentar a medição das grandezas que descrevem
movimentos na extremidade de uma arquibancada de estádio de futebol (ponto
A), figura 2.12. Na direção vertical Z, pode-se utilizar transdutores fixados
diretamente ao solo ou transdutores sísmicos. Na direção horizontal Y, só
podem ser utilizados transdutores sísmicos devido a inexistência de
referenciais fixos nesta direção.
A configuração básica de um transdutor sísmico é mostrada na figura 2.13.
Figura 2.13 Transdutor sísmico, HARRIS (1996)
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Aplicando-se o equilíbrio de forças dinâmicas (equação 2.3) na massa m
localizada no interior do transdutor, tem-se:
( )0k δ
dt
dδc
dt
vδdm
2
2
=−−+
− (2.24)
Admitindo-se tanto δ quanto v funções senoidais defasadas entre si:
( )θωtcosδδ
tcosvv
0
0
−=
= ω (2.25)
Mostra-se que:
−=
+
−
=
2
22
2
2
0
0
ωm
k m
cω
arctanθ
m
cωω
m
k
ω
v
δ
(2.26)
+
−
−=
k
mω4ξ
k
mω1
1
k
m
v
δ
22
20
0 (2.27)
Dessa forma, conhecendo-se as características dinâmicas do transdutor, pode-
se determinar deslocamentos v e acelerações v&& no ponto onde o mesmo está
fixado.
O desempenho de um transdutor sísmico pode ser avaliado com o auxílio do
gráfico da figura 2.5. Verifica-se neste que, considerando um transdutor com
0,7ξ = , a indesejável amplificação dinâmica só acontece para valores de
0,6β ≥ . Neste caso, para avaliar comportamentos de estruturas submetidas a
carregamentos, cuja faixa de interesse dos harmônicos é 21 ωω − , deve-se ter
um acelerômetro com freqüência natural superior a pelo menos 22 ω1,7ω0,6
1
= .
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Os principais tipos de transdutores sísmicos são: a) acelerômetros
piezoresistivos, b) acelerômetros piezoelétricos e os c) servo-acelerômetros.
a) acelerômetros piezoresistivos
Acelerômetros piezoresistivos utilizam extensômetros elétricos nas duas
superfícies opostas, no plano de maior flexão de barras em balanço, figuras
2.14 e 2.15. A deformação específica da seção está relacionada com o
deslocamento da massa sísmica pela expressão da curvatura, dada por:
EIρ
1
M = (2.28)
onde M é o momento fletor atuante na seção transversal onde estão coladosos extensômetros elétricos;
21 εε
hρ
+= é o raio de curvatura da seção com altura h; (2.29)
1ε , 2ε são as deformações específicas medidas nos extensômetros
elétricos.
Figura 2.14 Princípio de funcionamento dos acelerômetros piezoresistivos.
Mostra-se que:
3EIb
Mlδ
3
= (2.30)
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A relação anterior só é válida dentro do regime elástico do material. Logo, a
capacidade de medição dos acelerômetros piezoresistivos é estabelecida de
forma que as tensões atuantes não ultrapassem o limite elástico do material
Figura 2.15 Acelerômetros piezoresistivos, HARRIS (1996)
b) acelerômetros piezoelétricos
Acelerômetros piezoelétricos utilizam materiais piezoelétricos, ou seja, aqueles
que produzem cargas elétricas proporcionais a tensões aplicadas. São
constituídos também de massas e molas. A mola é utilizada para comprimir a
massa contra o cristal piezoelétrico. As tensões aplicadas no material
piezoelétrico são proporcionais aos deslocamentos da massa δ. Os
acelerômetros piezoelétricos têm como principais características alta
sensibilidade e abrangem extensa banda de freqüências. Figuras 2.16 e 2.17
Figura 2.16 Princípio de funcionamento dos acelerômetros piezoelétricos
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MA: massa MO: mola P: elemento piezoelétrico B: base C: cabo
Figura 2.17 Acelerômetros piezoelétricos, DOEBELIN (1990)
c) servo-acelerômetros
O servo-acelerômetro consiste basicamente em uma massa com um sensor de
deslocamento de um lado e um sistema servo compensador do outro. Quando
o acelerômetro é movimentado, a massa é deslocada e gera um sinal de erro
devido ao desequilíbrio elétrico. Este erro é restabelecido por uma força
restauradora aplicada na massa de forma que esta retorne a sua configuraçãoinicial. A aceleração é proporcional a força restauradora. Um tipo de servo-
acelerômetro é mostrado na figura 2.18. Neste caso, o sensor de deslocamento
é capacitivo e a posição da massa é restabelecida por meio de um torque
mecânico proveniente da força magnética gerada pela passagem de corrente
elétrica na bobina.
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Figura 2.18 Servo-acelerômetros, DOEBELIN (1990)
Condicionamento de Sinais
Os condicionadores de sinais são equipamentos eletrônicos que modificam o
sinal de entrada de alguma forma. Alguns exemplos de condicionamento de
sinais são:
• Transformação Impedância-Tensão Elétrica
As variações de impedâncias (resistências, capacitâncias e indutâncias) nos
transdutores precisam ser convertidas em tensões elétricas. Nesse sentido,
são utilizados basicamente os circuitos da ponte de Wheatstone e os circuitos
potenciométricos, figura 2.19.
Figura 2.19 Circuitos básicos usados para condicionamento de sinais, DALLY; RILEY (1991)
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• Amplificação ou Atenuação
Como os sinais elétricos enviados pelos transdutores podem ser de baixa ou
alta tensão, faz-se necessário o uso respectivo de amplificadores ou
atenuadores.
• Filtros
Os filtros analógicos são utilizados basicamente com um dos seguintes
propósitos: eliminação de ruídos causados por campos magnéticos vizinhos ou
seleção da banda das freqüências de interesse.
• Isolação Galvânica
Servem para eliminar ruídos por meio da linha de aterramento do sistema de
aquisição de dados.
Cabos
Os cabos interligam os transdutores, condicionadores, conversores e
gravadores. Desta forma, o número de fios presentes num cabo de ligação
transdutor-condicionador depende do tipo de transdutor utilizado. Os servo-
acelerômetros empregados nos ensaios de monitoração do estádio do
Morumbi, por exemplo, utilizam cabos de 4 fios e uma malha externa.
A utilização de cabos compridos pode acarretar erros devido a queda detensão que ocorre nos fios do cabo. Neste caso, estes erros devem ser
corrigidos.
Conversão de Sinais Analógicos em Digitais
O conversor A/D converte um sinal analógico em digital. O sinal digitalizado é
desejável porque pode ser manipulado pelo computador. O conversor constitui-
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se em uma placa de circuito impresso que pode ser colocada na unidade de
computação. A principal característica de um conversor é o número de bits
para os quais o mesmo é projetado, que define a sua resolução básica. Ofuncionamento de um conversor A/D de aproximações sucessivas é ilustrado
na figura 2.20.
Figura 2.20 Conversor A/D de aproximações sucessivas, DOEBELIN (1990)
Registro de Sinais Analógicos
Algumas maneiras de registrar dados analógicos são as seguintes: gravadores
XT e XY eletromecânicos do tipo servo, gravadores matriciais térmicos e
eletrostáticos, gravadores de fitas magnéticas, etc.
Gravação de Sinais Digitais
Para a gravação de sinais digitalizados, utiliza-se principalmente
microcomputadores. Nesse caso os dados são armazenados normalmente no
disco rígido do micro. Outras formas de registrar esses sinais são por meio de
osciloscópios ou impressoras.
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Frequências de Amostragem
A discretização de um sinal é feita por meio da sua amostragem em intervalos
regulares. A freqüência de amostragem é o inverso deste intervalo. Esta
freqüência não pode ser muito baixa (comparada com a freqüência de variação
do sinal) devido ao efeito de sub-amostragem, fenômeno referido na literatura
como “aliasing”.
Figura 2.21 Representação gráfica da sub-amostragem, ROMBERG (1996)
O teorema de Nyquist mostra que o efeito de sub-amostragem ocorre sempre
que a freqüência de amostragem é menor que duas vezes a maior freqüência
que se deseja considerar no sinal. Portanto, deve-se sempre ter:
Ba
2f f ≥ (2.31)
onde af : frequência de amostragem
Bf : frequência mais alta do sinal (banda de interesse do sinal)
A equação 2.31 decorre do fato que os valores de transformadas de Fourier
calculados (equação 2.22) fora da faixa de frequências rad/s∆
πωrad/s
∆
π≤≤−
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Nos ensaios de monitoração de estádios de futebol, onde foram medidas as
respostas estruturais às cargas induzidas por pessoas, verificou-se que as
freqüências importantes estavam no intervalo entre 0 e 80 Hz.
Tabela 2.1 Características de alguns sinais, LYNX (1993)
2.3.3 Análise de Sinais
Análise no Domínio do Tempo
A análise de séries temporais leva a valores imediatos tais como amplitudes
máximas e, além disso, a conclusões qualitativas em relação ao tipo de sinal
de acordo com a classificação apresentada na figura 2.2.
Análise no Domínio da Freqüência É antiga a idéia de desmembrar uma função periódica em seus componentes
harmônicos e, mais ainda, tratar e avaliar essa função segundo estes
componentes. Por muitos anos, matemáticos famosos como Euler, D’Alembert
e Lagrange discordavam que funções arbitrárias pudessem ser representadas
por séries trigonométricas. NEWLAND (1989)
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Jean Baptiste Joseph Fourier, entretanto, provou que qualquer função periódica
( )tx pode sempre ser expressa por meios de infinitas séries trigonométricas,
chamadas séries de Fourier (Equação 2.17).
• Transformadas discretas de Fourier
O desenvolvimento das integrais que compõem as transformadas de Fourier
(Equação 2.22) só é possível em casos onde são disponíveis as expressões
analíticas das funções ( )tx ou ( )ωX . Quando dispõe-se de dados na forma devalores discretos, como no caso dos ensaios de monitoração realizados no
estádio do Morumbi, as transformadas só podem ser obtidas por meio de
procedimentos numéricos.
Desta forma, a função ( )tx será expressa por uma seqüência de números
{ }r x dada por:
{ } { },...x,x,xx 210r =
com intervalo de amostragem igual a ∆ como mostra a figura abaixo.
Figura 2.23 Amostragem da função ( )tx , NEWLAND (1989)
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Demonstra-se que:
∑
∑−
=
−
=
−
=
=
1n
0k
N
kr 2i
k r
1n
0r
N
kr 2i
r k
eX N
1x
ex N1X
πω
πω
(2.32)
k X e r x são chamadas de transformadas discretas de Fourier (DFT’s).
Em rotinas computacionais, como no programa SISDIN, que será referido
adiante, utiliza-se um algoritmo computacional que requer cerca de 2000 vezes
menos operações que a DFT, chamado de transformada rápida de Fourier
(FFT). Consiste, basicamente, na partição da seqüência original em seqüências
menores. Obtem-se a DFT das seqüências menores. Estas são combinadas
conforme mostrado na figura 2.24 de modo a obter a DFT completa de { }r x .
Figura 2.24 Passos da FFT, NEWLAND (1989).
A análise de sinais no domínio da freqüência é feita em todos os ensaios
citados no item 2.3.1 (ensaios de vibrações livres, forçadas e ensaios de
monitoração), pois os espectros obtidos pela amostragem discreta do sinal
mostra os valores de freqüência nos quais a estrutura apresenta maiores
amplitudes da grandeza considerada (aceleração, velocidade ou
deslocamento), ou seja, as bandas de freqüência que apresentam maior
energia de vibração.
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• Parâmetros Utilizados na FFT.
Na prática, os programas computacionais que desenvolvem o algoritmo da FFT
apresentam alguns parâmetros que o usuário precisa determinar para a
obtenção do espectro. No programa SISDIN, por exemplo, o espectro é
calculado pela média dos espectros de cada uma das janelas de dados do sinal
analisado individualmente, sendo o tamanho da janela fixado pelo usuário. Os
parâmetros utilizados na análise são:
a) tipo de janela
A operação de janelamento da série temporal é necessária, pois o algoritmo da
FFT é baseado na hipótese da repetição da série ao longo do tempo, ou seja,
na periodicidade da série.
Figura 2.25 Erros devido a falta de janelamento, HEWLETT PACKARD (1982)
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O janelamento é feito multiplicando-se a série temporal por uma função ( )tW
cujos valores iniciais e finais são nulos. Alguns tipos de janelas utilizadas são
apresentadas na figura 2.26.
O programa SISDIN dispões dos seguintes tipos de janelas: retangular,
hanning, hamming, triangular e blackman.
Figura 2.26 Alguns tipos de janelas utilizadas na FFT, ROMBERG (1996)
b) Resolução
Indica o número de raias espectrais e, portanto, define o tamanho da janela de
dados da série temporal utilizada para cálculo do espectro.
2r d = (2.33)
onde d é o número de dados
r é a resolução
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O programa SISDIN admite os seguintes valores de resolução: 1024, 512, 256
e 128 raias.
c) Fator de aumento da resolução na freqüência (zoom de freqüência)
A resolução na banda de freqüência de interesse corresponde à divisão da
freqüência de amostragem por este fator. Para evitar efeitos de sub-
amostragem, o valor deste parâmetro deve ser limitado pela relação:
≤
b
f 2z a (2.34)
onde z é o fator de aumento da resolução na freqüência;
af é a freqüência de amostragem;
b é a banda do sinal de interesse.
d) Número de janelas
Indica o número de janelas de dados utilizadas no cálculo da média.
n2.j.z.r ≤ (2.35)
onde j é o número de janelas;
n é o número de amostras
2.4 Experimentação Numérica
2.4.1 Fundamentos Teóricos
O método dos elementos finitos é um método numérico que pode ser usado na
determinação da solução da equação 2.4 de sistemas dinâmicos complexos.
Neste método, a estrutura é representada por um modelo matemático
composto de elementos que se comportam como estruturas contínuas
chamados elementos finitos. Os deslocamentos medidos num sistema de
coordenadas locais no interior de cada elemento é assumido como uma função
dos deslocamentos dos N pontos nodais finitos. BATHE (1996).
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Para o elemento m, tem-se:
( )( ) ( )( )v̂zy,x,Hzy,x,v mm = (2.36)
onde ( )mH é a matriz de interpolação dos deslocamentos;
[ ].....wvuwvuv̂ 222111= é vetor dos 3 componentes
globais de deslocamentos em todos os pontos nodais.
Partindo-se dessa hipótese, podem ser determinadas as matrizes de massa,
amortecimento e rigidez das estruturas para então ser desenvolvida a equação
2.4:
R KVVCVM =++ &&& (2.37)
Matematicamente a equação acima representa um sistema de equações
diferenciais lineares de segunda ordem. A princípio, as respostas poderiam ser
obtidas utilizando-se procedimentos padrões para solução de equações
diferenciais com coeficientes constantes. Entretanto esses procedimentos
tornam-se inadequados quando as matrizes possuem grandes dimensões.
2.4.2 Métodos Numéricos para Solução de Equações de Equilíbrio Dinâmico
Métodos no domínio do tempo
Para a determinação da resposta ( )tv são utilizados principalmente dois
métodos:
Método da superposição modal
Neste método, assume-se que a resposta pode ser escrita na forma:
( ) ( )tΦYtv = (2.38)
onde Φ é a matriz modal
( )tY é um vetor de r funções do tempo
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A matriz modal é definida como o conjunto de vetores modais r v̂ para os quais:
( ) 0v̂MωK 2 =− , desconsiderando a solução trivial 0v̂ = . A cada modo normal
r v̂ está associada uma freqüência r ω determinada pela condição:
( ) 0MωK det 2 =− . Nessas formas elásticas r v̂ , os pontos da estrutura
movimentam-se todos em fase, com amplitude variando harmonicamente. Os
modos normais possuem certas propriedades de ortogonalidade importantes
na análise dinâmica de estruturas:
0K
0M
r
t
s
r
t
s
=
=
φ φ
φ φ r s ≠ (2.39)
Define-se massa modal como: r t
r r MM φ φ = ;
rigidez modal como: r t
r r K K φ φ =
Para a normalização dos vetores modais, deve-se fazer com que as
componentes do modo normal r φ sejam tais que as correspondentes massas
modais tenha um valor especificado, em geral unitário. Desta forma, as
rigidezes modais devem ser dadas por: 2r r r ωMK = .
Após a determinação dos vetores normais, as várias equações de equilíbrio
global são reduzidas a r equações diferenciais de segunda ordem
desacopladas para cada modo:
r r
2
r r r r r FYωYω2ξY =++ &&& (2.40)
onde r F é a carga modalr ξ é a taxa de amortecimento modal
As equações desacopladas são resolvidas para o intervalo de tempo de
interesse. Para este cálculo, são utilizados métodos de integração numérica.
Após a determinação dos valores de ( )tYr , reconstitui-se a resposta do sistema
físico:
( ) ( )∑==m
1r
r r tYtv φ (2.41)
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Segundo WILSON (1997), quando admite-se um movimento sísmico
tridimensional, a equação 2.40 pode ser escrita como:
gznzgynygxnxr
2
r r r r r v pv pv pYωYω2ξY &&&&&&&&& ++=++ (2.42)
onde it
nni M p φ −= são os fatores de participação modais
Nos resultados dos processamentos numéricos é utilizado o fator de
participação de massa modal dado por:
∑
∑=
=i
r
1n
ni
im
p
γ (2.43)
onde são incluídos r modos de vibração;
∑ im é a massa total na direção i.
Método de integração direta (passo-a-passo)
É um método incremental no qual as equações de equilíbrio 2.4 são resolvidaspara os instantes ∆t, 2∆t, 3∆t, etc. Os processos desta categoria dividem-se em
explícitos, quando a equação 2.4 é formulada no instante em que a solução é
conhecida, e implícitos, quando é formulada no próprio instante que se busca a
solução. No primeiro grupo, estão o método das diferenças centrais e o de
Runge-Kutta. No outro, estão o método da aceleração linear (Newmark), de
Houbolt e o de Wilson.
Métodos no domínio da freqüência
Além desses dois métodos, pode ser utilizada a integral de convolução para
cálculo da resposta a excitações gerais ( )t p . No domínio da freqüência,
existem as técnicas baseadas na análise harmônica de Fourier. Neste caso,
dado o espectro de solicitação, a determinação do espectro de resposta é feita
utilizando-se a função de resposta em freqüências, onde são consideradas as
características da estrutura (eq. 2.12).