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Introdução à LógicaComputacional
Aula: Lógica Proposicional
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Agenda
• Semântica das proposições: Tabela verdade
• Álgebra das proposições
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Validade dos argumentos
• Método da tabela verdade– Dado um argumento 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛𝑄
– Verificar se é possível ter • 𝑉(𝑄) = 𝐹 quando 𝑉(𝑃1) = 𝑉(𝑃2) = ⋯ = 𝑉(𝑃𝑛) = 𝑉
• Procedimento– Construir uma tabela em que cada coluna representa
uma premissa e a última coluna representa aconclusão.
Se 𝑉(𝑄) = 𝐹 em alguma linha da tabela
Então o argumento NÃO É VÁLIDO, ou seja, é um sofisma
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Tabela verdade: negação (˜)
• Se p é uma proposição, ˜p é a negação de p
• A negação inverte o valor verdade de uma expressão
p ˜p
V F
F V
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Tabela verdade: conjunção(ˆ)
• p ocorre ao mesmo tempo que q• p e q são chamados fatores da expressão• Exemplo:
– p: está frio– q: está chovendo– pˆq: Está frio e está chovendo
p q pˆq
V V V
V F F
F V F
F F F
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Tabela verdade: disjunção(v)
• Pelo menos um dos fatos ocorre• p e q são chamados parcelas da expressão• Exemplo:
– p: está frio– q: está chovendo– pvq: Está frio ou está chovendo
p q pvq
V V V
V F V
F V V
F F F
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Tabela verdade: condicional(→)
• p→q• A ocorrência do fato expresso pelo antecedente p garante necessariamente a ocorrência do fato expresso
pelo consequente q• A operação condicional indica que o acontecimento de p é uma condição para o acontecimento de q• Exemplo:
– p: Jantou– q: Está saciado– p→q: Se jantou, então está saciado
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
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Tabela verdade: Bi-Condicional(→)
• p→q• A ocorrência do fato expresso pelo antecedente p garante necessariamente a ocorrência do fato expresso
pelo consequente q e vice-versa• A operação condicional indica que o acontecimento de p é uma condição para o acontecimento de q• Exemplo:
– p: Jantou– q: Está saciado– p→q: Se jantou, então está saciado
p q P→q
V V V
V F F
F V F
F F V
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Tabela verdade: parênteses()
• Objetivo: retirar ambiguidade• Exemplo:
– p=Estudar– q= fazer a prova– r=fazer trabalho– r=Ser aprovado
• p ˆ q v r→ s(p ˆ q) v( r→ s)((p ˆ q) v r )→ s
((p ˆ q) v r)) → sp ˆ ((q v r) → s)(p ˆ (q v r) )→ s
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Construção da Tabela Verdade
• Considerando o principio do terceiro excluído, toda proposição simples só pode ser Verdadeira (V) ou Falsa(F)
• Proposição composta:
– Depende dos valores lógicos das proposições simples
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Construção da Tabela Verdade
• A tabela terá – no mínimo n +1 colunas, em que n é o número
de proposições primitivas– 2n linhas
• Exemplo ((p ^q )v (q→p ))^˜p2 proposições primitivas: p e qTabela verdade 3 colunas e 4 linhas
p q ((p ^q )v (q→p ))^˜p
V V
V F
F V
F F
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Exemplo
• Verificar a validade do argumento: 𝑝 → 𝑞, 𝑞 |-- 𝑝
Argumento não é válido, Pois a conclusão (p) é verdadeira e falsa Mesmo com as premissas(𝑝 → 𝑞) e 𝑞 verdadeiras
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Exemplo
Sabendo-se que:– V(p)=Verdadeiro, – V(q)=Falso e V(r)=Falso
Determine o valor lógico da proposição
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Exemplo
Sabendo-se que:– V(p)=Verdadeiro, – V(q)=Falso e V(r)=Falso
Determine o valor lógico da proposição
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Exercícios
1. Verifique a validade dos argumentos usando o método da tabela verdade
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Exercícios
1. Verifique a validade dos argumentos usando o método da tabela verdade
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Exercícios
2. Verifique a validade do argumento:
O argumento NÃO É válido
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Exercícios
3. Verifique a validade do argumento:
O argumento NÃO É válido
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Exercícios
4. Verifique a validade do argumento:
O argumento É válido
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Exercícios para casa
• 5. Verifique a validade dos argumentosusando o método da tabela verdade
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ÁLGEBRA DA LÓGICA PROPOSICIONAL
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Propriedades da conjunção
• Sejam 𝑝, 𝑞 , 𝑟 , 𝑡 e 𝑐 proposições simplesquaisquer na conjunção as tabelas-verdadedas proposições são idênticas, ou seja, abicondicional é tautológica.
𝑡 e 𝑐 são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente
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Propriedades da disjunção
• Sejam 𝑝, 𝑞 , 𝑟 , 𝑡 e 𝑐 proposições simplesquaisquer na conjunção as tabelas-verdadedas proposições são idênticas, ou seja, abicondicional é tautológica.
𝑡 e 𝑐 são respectivamente elemento neutro e elemento absorvente
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Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas
• Distributivas
• Absorção
• Regras De Morgan
• Negação da Condicional
• Negação da bi-condicional
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Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas
• Distributivas
• Absorção
• Regras De Morgan
• Negação da Condicional
• Negação da bi-condicional
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Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas
• Distributivas
• Absorção
• Regras De Morgan
• Negação da Condicional
• Negação da bi-condicional
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Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas
• Distributivas
• Absorção
• Regras De Morgan
• Negação da Condicional
• Negação da bi-condicional
Negar que duas proposições são ao mesmo tempoverdadeiras, equivale a afirmar que pelo menos uma é falsa
Negar que pelo menos uma das duas proposições éverdadeira, equivale a afirmar que ambas são falsas
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Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas
• Distributivas
• Absorção
• Regras De Morgan
• Negação da Condicional
• Negação da bi-condicional
Tautologiaas tabelas-verdade das duasproposições ~(𝑝 → 𝑞) e 𝑝 ˄ ~𝑞 são idênticas
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Propriedades da conjunção e disjunçãojuntas
• Distributivas
• Absorção
• Regras De Morgan
• Negação da Condicional
• Negação da bi-condicional
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Exercícios
1. Demonstre por tabelas-verdade asequivalências:
a. 𝑝 → 𝑞 ˄ 𝑟⟺ (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑝 → 𝑟)
b. 𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟⟺ (𝑝 → 𝑞) ˅ (𝑝 → 𝑟)
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Exercícios
2.Dê a negação das proposições:
a. Rosas são vermelhas e violetas são azuis.
b. É falso que não está frio ou que está chovendo.
c. Não é verdade que o pai de Marcos e pernambucano ou
que a mãe é gaúcha.
d. Não é verdade que as vendas estão diminuindo e que os
preços estão aumentando.
e. Não é verdade que Jorge estuda Física, mas não Química.
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Tarefa: Ponto extra na média, caso seja necessário para fazer prova final
• Objetivo: – Fomentar uma revisão da matéria e estudar o material apresentado em aula– Fomentar a participação em sala de aula
• Tarefa: – Toda aula haverá um slide com um pequeno erro de lógica. Tal erro será falado em sala de aula.– Apresentar o slide com erro e o consertado– É necessário que se apresente 1 slide por aula para que o aluno ganhar o ponto extra
• Obs.: Só valerá o ponto extra na média, se o aluno apresentar pelo menos um slide por aula, mas de TODAS as aulas.• Exemplo de entrega de 1 aula
Aula 1: erro marcado em rosa Aula 1: slide corrigido em vermelho