Introducao aos Metodos de Crivosem Teoria dos Numeros
(Aula 1)
Julio Andrade
[email protected]://www.math.brown.edu/˜de-andrade/
ICERM - Brown Universitye
University of Bristol
29o Coloquio Brasileiro de MatematicaIMPA, Rio de Janeiro, 21 de julho a 02 de agosto de 2013
Citacao
“Encontramos em matematica avancada um grau muito elevado deimprevisibilidade, combinada com inevitabilidade e economia.”
G.H. Hardy (1941)
Conteudo1 Introducao
O que e a Teoria de Crivos?ExemploGeneralidadesO Problema de GoldbachPrimos da forma m2 + 1Primos Gemeos
2 Funcoes Aritmeticas e NotacoesNotacoesFuncoes AritmeticasSomas ParciaisO Teorema de Tchebychef
3 Crivos ElementaresGeneralidadesCrivo de GallagherO Crivo para Quadrados PerfeitosO Crivo Usando Series de Dirichlet
Introducao
Por que estudar Crivos?Os metodos de Crivos podem ser usados para atacar as seguintesquestoes:
• Existem infinitos numeros primos p tais que p + 2 tambem eum numero primo?
• Existem infinitos numeros primos p tal que p = n2 + 1 paraalgum n ∈ N?
• Existem infinitos numeros primos p tal que 4p + 1 tambem eum numero primo?
• E verdade que para todo numero n suficientemente grande, npode ser escrito como a soma de dois primos?
• E verdade que o intervalo (n2, (n + 1)2) contem no mınimoum numero primo para todo n ∈ N∗?
Introducao
Por que estudar Crivos?Os metodos de Crivos podem ser usados para atacar as seguintesquestoes:
• Existem infinitos numeros primos p tais que p + 2 tambem eum numero primo?
• Existem infinitos numeros primos p tal que p = n2 + 1 paraalgum n ∈ N?
• Existem infinitos numeros primos p tal que 4p + 1 tambem eum numero primo?
• E verdade que para todo numero n suficientemente grande, npode ser escrito como a soma de dois primos?
• E verdade que o intervalo (n2, (n + 1)2) contem no mınimoum numero primo para todo n ∈ N∗?
Introducao
Por que estudar Crivos?Os metodos de Crivos podem ser usados para atacar as seguintesquestoes:
• Existem infinitos numeros primos p tais que p + 2 tambem eum numero primo?
• Existem infinitos numeros primos p tal que p = n2 + 1 paraalgum n ∈ N?
• Existem infinitos numeros primos p tal que 4p + 1 tambem eum numero primo?
• E verdade que para todo numero n suficientemente grande, npode ser escrito como a soma de dois primos?
• E verdade que o intervalo (n2, (n + 1)2) contem no mınimoum numero primo para todo n ∈ N∗?
Introducao
Por que estudar Crivos?Os metodos de Crivos podem ser usados para atacar as seguintesquestoes:
• Existem infinitos numeros primos p tais que p + 2 tambem eum numero primo?
• Existem infinitos numeros primos p tal que p = n2 + 1 paraalgum n ∈ N?
• Existem infinitos numeros primos p tal que 4p + 1 tambem eum numero primo?
• E verdade que para todo numero n suficientemente grande, npode ser escrito como a soma de dois primos?
• E verdade que o intervalo (n2, (n + 1)2) contem no mınimoum numero primo para todo n ∈ N∗?
Introducao
Por que estudar Crivos?Os metodos de Crivos podem ser usados para atacar as seguintesquestoes:
• Existem infinitos numeros primos p tais que p + 2 tambem eum numero primo?
• Existem infinitos numeros primos p tal que p = n2 + 1 paraalgum n ∈ N?
• Existem infinitos numeros primos p tal que 4p + 1 tambem eum numero primo?
• E verdade que para todo numero n suficientemente grande, npode ser escrito como a soma de dois primos?
• E verdade que o intervalo (n2, (n + 1)2) contem no mınimoum numero primo para todo n ∈ N∗?
Introducao
Por que estudar Crivos?Os metodos de Crivos podem ser usados para atacar as seguintesquestoes:
• Existem infinitos numeros primos p tais que p + 2 tambem eum numero primo?
• Existem infinitos numeros primos p tal que p = n2 + 1 paraalgum n ∈ N?
• Existem infinitos numeros primos p tal que 4p + 1 tambem eum numero primo?
• E verdade que para todo numero n suficientemente grande, npode ser escrito como a soma de dois primos?
• E verdade que o intervalo (n2, (n + 1)2) contem no mınimoum numero primo para todo n ∈ N∗?
O que e a Teoria de Crivos?
• E um conjunto de tecnicas em Teoria dos Numeros usada paracontar ou estimar o tamanho de certos conjuntos de numerosinteiros.
Por exemplo: Seja P o conjunto dos numeros primos. Nos iremosestimar ou contar a quantidade de numeros p ∈ P que sao ≤ x?Vejamos este exemplo com um pouco mais de detalhe. Seja x umnumero positivo e
A = {n ≤ x}.
Nos vamos selecionar os primos neste conjunto. Escolhamosx = 30.
O que e a Teoria de Crivos?
• E um conjunto de tecnicas em Teoria dos Numeros usada paracontar ou estimar o tamanho de certos conjuntos de numerosinteiros.
Por exemplo: Seja P o conjunto dos numeros primos. Nos iremosestimar ou contar a quantidade de numeros p ∈ P que sao ≤ x?Vejamos este exemplo com um pouco mais de detalhe. Seja x umnumero positivo e
A = {n ≤ x}.
Nos vamos selecionar os primos neste conjunto. Escolhamosx = 30.
O que e a Teoria de Crivos?
• E um conjunto de tecnicas em Teoria dos Numeros usada paracontar ou estimar o tamanho de certos conjuntos de numerosinteiros.
Por exemplo: Seja P o conjunto dos numeros primos. Nos iremosestimar ou contar a quantidade de numeros p ∈ P que sao ≤ x?Vejamos este exemplo com um pouco mais de detalhe. Seja x umnumero positivo e
A = {n ≤ x}.
Nos vamos selecionar os primos neste conjunto. Escolhamosx = 30.
O que e a Teoria de Crivos?
• E um conjunto de tecnicas em Teoria dos Numeros usada paracontar ou estimar o tamanho de certos conjuntos de numerosinteiros.
Por exemplo: Seja P o conjunto dos numeros primos. Nos iremosestimar ou contar a quantidade de numeros p ∈ P que sao ≤ x?Vejamos este exemplo com um pouco mais de detalhe. Seja x umnumero positivo e
A = {n ≤ x}.
Nos vamos selecionar os primos neste conjunto.
Escolhamosx = 30.
O que e a Teoria de Crivos?
• E um conjunto de tecnicas em Teoria dos Numeros usada paracontar ou estimar o tamanho de certos conjuntos de numerosinteiros.
Por exemplo: Seja P o conjunto dos numeros primos. Nos iremosestimar ou contar a quantidade de numeros p ∈ P que sao ≤ x?Vejamos este exemplo com um pouco mais de detalhe. Seja x umnumero positivo e
A = {n ≤ x}.
Nos vamos selecionar os primos neste conjunto. Escolhamosx = 30.
Exemplo
Comecamos com a lista de numeros ate 30 e iremos riscar aquelesnumeros que sao compostos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30
O primeiro numero primo e 2. Desta forma circulamos o primeironumero primo e riscamos aqueles que sao multiplos de 2.
1 2 3 /4 5 /6 7 /8 9 /1011 /12 13 /14 15 /16 17 /18 19 /2021 /22 23 /24 25 /26 27 /28 29 /30
Exemplo
Comecamos com a lista de numeros ate 30 e iremos riscar aquelesnumeros que sao compostos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30
O primeiro numero primo e 2. Desta forma circulamos o primeironumero primo e riscamos aqueles que sao multiplos de 2.
1 2 3 /4 5 /6 7 /8 9 /1011 /12 13 /14 15 /16 17 /18 19 /2021 /22 23 /24 25 /26 27 /28 29 /30
ExemploO primeiro numero apos 2 que nao foi riscado e o proximo primo,3, assim circulamos ele e riscamos os seus multiplos.
1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 /1011 //12 13 /14 /15 /16 17 //18 19 /20/21 /22 23 //24 25 /26 /27 /28 29 //30
Note que os multiplos de 6 foram riscados duas vezes. Procedemosadiante com o algoritmo e obtemos:
1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 //1011 //12 13 /14 //15 /16 17 //18 19 //20/21 /22 23 //24 /25 /26 /27 /28 29 ///30
Note que
todos os numeros restantes da lista nao riscados sao primos (exceto1). Efetuamos o algoritmo ate p ≤
√x , neste caso p ≤
√30.
ExemploO primeiro numero apos 2 que nao foi riscado e o proximo primo,3, assim circulamos ele e riscamos os seus multiplos.
1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 /1011 //12 13 /14 /15 /16 17 //18 19 /20/21 /22 23 //24 25 /26 /27 /28 29 //30
Note que os multiplos de 6 foram riscados duas vezes. Procedemosadiante com o algoritmo e obtemos:
1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 //1011 //12 13 /14 //15 /16 17 //18 19 //20/21 /22 23 //24 /25 /26 /27 /28 29 ///30
Note que
todos os numeros restantes da lista nao riscados sao primos (exceto1). Efetuamos o algoritmo ate p ≤
√x , neste caso p ≤
√30.
ExemploO primeiro numero apos 2 que nao foi riscado e o proximo primo,3, assim circulamos ele e riscamos os seus multiplos.
1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 /1011 //12 13 /14 /15 /16 17 //18 19 /20/21 /22 23 //24 25 /26 /27 /28 29 //30
Note que os multiplos de 6 foram riscados duas vezes. Procedemosadiante com o algoritmo e obtemos:
1 2 3 /4 5 //6 7 /8 /9 //1011 //12 13 /14 //15 /16 17 //18 19 //20/21 /22 23 //24 /25 /26 /27 /28 29 ///30
Note que
todos os numeros restantes da lista nao riscados sao primos (exceto1). Efetuamos o algoritmo ate p ≤
√x , neste caso p ≤
√30.
• O que vimos acima e um algoritmo que produz a tabela detodos os primos ate x .
• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa os
multiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).
• Devido ao fato que alguns numeros sao riscados varias vezes,nos devemos corrigir esta contagem adicionando ou subtraindotais numeros novamente, de acordo com a multiplicidade devezes que isto acontece.
Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao: nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30), paracada primo p ≤
√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p e entao
para cada par de primos distintos p1 < p2 ≤√
x nos adicionamosde volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante. No finalobtemos a seguinte contagem
• O que vimos acima e um algoritmo que produz a tabela detodos os primos ate x .
• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:
• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa osmultiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).
• Devido ao fato que alguns numeros sao riscados varias vezes,nos devemos corrigir esta contagem adicionando ou subtraindotais numeros novamente, de acordo com a multiplicidade devezes que isto acontece.
Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao: nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30), paracada primo p ≤
√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p e entao
para cada par de primos distintos p1 < p2 ≤√
x nos adicionamosde volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante. No finalobtemos a seguinte contagem
• O que vimos acima e um algoritmo que produz a tabela detodos os primos ate x .
• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa os
multiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).
• Devido ao fato que alguns numeros sao riscados varias vezes,nos devemos corrigir esta contagem adicionando ou subtraindotais numeros novamente, de acordo com a multiplicidade devezes que isto acontece.
Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao: nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30), paracada primo p ≤
√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p e entao
para cada par de primos distintos p1 < p2 ≤√
x nos adicionamosde volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante. No finalobtemos a seguinte contagem
• O que vimos acima e um algoritmo que produz a tabela detodos os primos ate x .
• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa os
multiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).
• Devido ao fato que alguns numeros sao riscados varias vezes,nos devemos corrigir esta contagem adicionando ou subtraindotais numeros novamente, de acordo com a multiplicidade devezes que isto acontece.
Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao: nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30), paracada primo p ≤
√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p e entao
para cada par de primos distintos p1 < p2 ≤√
x nos adicionamosde volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante. No finalobtemos a seguinte contagem
• O que vimos acima e um algoritmo que produz a tabela detodos os primos ate x .
• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa os
multiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).
• Devido ao fato que alguns numeros sao riscados varias vezes,nos devemos corrigir esta contagem adicionando ou subtraindotais numeros novamente, de acordo com a multiplicidade devezes que isto acontece.
Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao:
nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30), paracada primo p ≤
√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p e entao
para cada par de primos distintos p1 < p2 ≤√
x nos adicionamosde volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante. No finalobtemos a seguinte contagem
• O que vimos acima e um algoritmo que produz a tabela detodos os primos ate x .
• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa os
multiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).
• Devido ao fato que alguns numeros sao riscados varias vezes,nos devemos corrigir esta contagem adicionando ou subtraindotais numeros novamente, de acordo com a multiplicidade devezes que isto acontece.
Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao: nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30),
paracada primo p ≤
√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p e entao
para cada par de primos distintos p1 < p2 ≤√
x nos adicionamosde volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante. No finalobtemos a seguinte contagem
• O que vimos acima e um algoritmo que produz a tabela detodos os primos ate x .
• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa os
multiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).
• Devido ao fato que alguns numeros sao riscados varias vezes,nos devemos corrigir esta contagem adicionando ou subtraindotais numeros novamente, de acordo com a multiplicidade devezes que isto acontece.
Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao: nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30), paracada primo p ≤
√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p
e entaopara cada par de primos distintos p1 < p2 ≤
√x nos adicionamos
de volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante. No finalobtemos a seguinte contagem
• O que vimos acima e um algoritmo que produz a tabela detodos os primos ate x .
• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa os
multiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).
• Devido ao fato que alguns numeros sao riscados varias vezes,nos devemos corrigir esta contagem adicionando ou subtraindotais numeros novamente, de acordo com a multiplicidade devezes que isto acontece.
Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao: nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30), paracada primo p ≤
√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p e entao
para cada par de primos distintos p1 < p2 ≤√
x nos adicionamosde volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante.
No finalobtemos a seguinte contagem
• O que vimos acima e um algoritmo que produz a tabela detodos os primos ate x .
• Estamos agora interessados em contar estes primos. Para isso:• seguimos o procedimento acima e contamos em cada etapa os
multiplos que foram riscados (e conveniente tambem incluirnesta contagem o primo que foi circulado).
• Devido ao fato que alguns numeros sao riscados varias vezes,nos devemos corrigir esta contagem adicionando ou subtraindotais numeros novamente, de acordo com a multiplicidade devezes que isto acontece.
Totalizando os resultados da contagem atraves dainclusao–exclusao: nos comecamos com [x ] inteiros (x = 30), paracada primo p ≤
√x nos subtraımos [x/p] multiplos de p e entao
para cada par de primos distintos p1 < p2 ≤√
x nos adicionamosde volta [x/p1p2] multiplos de p1p2, e assim por diante. No finalobtemos a seguinte contagem
[x ]−∑
p≤√
x
[xp
]+
∑p1,p2
p1<p2≤√
x
[ xp1p2
]−
∑p1,p2,p3
p1<p2<p3≤x
[ xp1p2p3
]+ · · · .
Nao e dificil de ver que
π(x)− π(√
x) + 1 =∑
dp|d⇒p≤
√x
µ(d)
[xd
]. (1.1)
Aqui, na notacao usual, π(x) e funcao que conta os primos
π(x) =∑p≤x
1, (1.2)
e a funcao de Mobius µ(d) e (−1)ν quando d e o produto deν ≥ 0 primos distintos e e zero se d possui um fator multiplo dealgum primo.
[x ]−∑
p≤√
x
[xp
]+
∑p1,p2
p1<p2≤√
x
[ xp1p2
]−
∑p1,p2,p3
p1<p2<p3≤x
[ xp1p2p3
]+ · · · .
Nao e dificil de ver que
π(x)− π(√
x) + 1 =∑
dp|d⇒p≤
√x
µ(d)
[xd
].
(1.1)
Aqui, na notacao usual, π(x) e funcao que conta os primos
π(x) =∑p≤x
1, (1.2)
e a funcao de Mobius µ(d) e (−1)ν quando d e o produto deν ≥ 0 primos distintos e e zero se d possui um fator multiplo dealgum primo.
[x ]−∑
p≤√
x
[xp
]+
∑p1,p2
p1<p2≤√
x
[ xp1p2
]−
∑p1,p2,p3
p1<p2<p3≤x
[ xp1p2p3
]+ · · · .
Nao e dificil de ver que
π(x)− π(√
x) + 1 =∑
dp|d⇒p≤
√x
µ(d)
[xd
]. (1.1)
Aqui, na notacao usual, π(x) e funcao que conta os primos
π(x) =∑p≤x
1,
(1.2)
e a funcao de Mobius µ(d) e (−1)ν quando d e o produto deν ≥ 0 primos distintos e e zero se d possui um fator multiplo dealgum primo.
[x ]−∑
p≤√
x
[xp
]+
∑p1,p2
p1<p2≤√
x
[ xp1p2
]−
∑p1,p2,p3
p1<p2<p3≤x
[ xp1p2p3
]+ · · · .
Nao e dificil de ver que
π(x)− π(√
x) + 1 =∑
dp|d⇒p≤
√x
µ(d)
[xd
]. (1.1)
Aqui, na notacao usual, π(x) e funcao que conta os primos
π(x) =∑p≤x
1, (1.2)
e a funcao de Mobius µ(d) e (−1)ν quando d e o produto deν ≥ 0 primos distintos e e zero se d possui um fator multiplo dealgum primo.
Podemos escrever a equacao (1.1) como
π(x)− π(√
x) + 1 = x∑
d
µ(d)
d + R = x∏p≤x
(1− 1
p
)+ R (1.3)
onde d percorre os produtos de primos distintos e o restoR = R(x) e dado por
R = −∑
dµ(d)
{xd
}.
Usando a estimativa trivial {t} < 1 e facil de ver que
|R| ≤∑
d1 = 2π(
√x),
que e enorme! E devido ao trabalho de Tchebyshev e Mertens, otermo principal de (1.1) e dado por∏
p≤√
x
(1− 1
p
)∼ 2e−γ
log x ,
o qual e errado. Qual e a esperanca entao para os Crivos?
Podemos escrever a equacao (1.1) como
π(x)− π(√
x) + 1 = x∑
d
µ(d)
d + R = x∏p≤x
(1− 1
p
)+ R (1.3)
onde d percorre os produtos de primos distintos e o restoR = R(x) e dado por
R = −∑
dµ(d)
{xd
}.
Usando a estimativa trivial {t} < 1 e facil de ver que
|R| ≤∑
d1 = 2π(
√x),
que e enorme! E devido ao trabalho de Tchebyshev e Mertens, otermo principal de (1.1) e dado por∏
p≤√
x
(1− 1
p
)∼ 2e−γ
log x ,
o qual e errado. Qual e a esperanca entao para os Crivos?
Podemos escrever a equacao (1.1) como
π(x)− π(√
x) + 1 = x∑
d
µ(d)
d + R = x∏p≤x
(1− 1
p
)+ R (1.3)
onde d percorre os produtos de primos distintos e o restoR = R(x) e dado por
R = −∑
dµ(d)
{xd
}.
Usando a estimativa trivial {t} < 1 e facil de ver que
|R| ≤∑
d1 = 2π(
√x),
que e enorme!
E devido ao trabalho de Tchebyshev e Mertens, otermo principal de (1.1) e dado por∏
p≤√
x
(1− 1
p
)∼ 2e−γ
log x ,
o qual e errado. Qual e a esperanca entao para os Crivos?
Podemos escrever a equacao (1.1) como
π(x)− π(√
x) + 1 = x∑
d
µ(d)
d + R = x∏p≤x
(1− 1
p
)+ R (1.3)
onde d percorre os produtos de primos distintos e o restoR = R(x) e dado por
R = −∑
dµ(d)
{xd
}.
Usando a estimativa trivial {t} < 1 e facil de ver que
|R| ≤∑
d1 = 2π(
√x),
que e enorme! E devido ao trabalho de Tchebyshev e Mertens, otermo principal de (1.1) e dado por∏
p≤√
x
(1− 1
p
)∼ 2e−γ
log x ,
o qual e errado.
Qual e a esperanca entao para os Crivos?
Podemos escrever a equacao (1.1) como
π(x)− π(√
x) + 1 = x∑
d
µ(d)
d + R = x∏p≤x
(1− 1
p
)+ R (1.3)
onde d percorre os produtos de primos distintos e o restoR = R(x) e dado por
R = −∑
dµ(d)
{xd
}.
Usando a estimativa trivial {t} < 1 e facil de ver que
|R| ≤∑
d1 = 2π(
√x),
que e enorme! E devido ao trabalho de Tchebyshev e Mertens, otermo principal de (1.1) e dado por∏
p≤√
x
(1− 1
p
)∼ 2e−γ
log x ,
o qual e errado. Qual e a esperanca entao para os Crivos?
Algumas Generalidades e Exemplos
Consideramos uma sequencia finita de numeros reais nao–negativos
A = (an), n ≤ x ,
e um conjunto geral de primos P.
Denotamos tambem
P(z) =∏p∈Pp<z
p.
O principal objetivo da teoria de crivos e estimar a funcao crivo
S(A, z) =∑n≤x
(n,P(z))=1
an.
Algumas Generalidades e Exemplos
Consideramos uma sequencia finita de numeros reais nao–negativos
A = (an), n ≤ x ,
e um conjunto geral de primos P. Denotamos tambem
P(z) =∏p∈Pp<z
p.
O principal objetivo da teoria de crivos e estimar a funcao crivo
S(A, z) =∑n≤x
(n,P(z))=1
an.
Algumas Generalidades e Exemplos
Consideramos uma sequencia finita de numeros reais nao–negativos
A = (an), n ≤ x ,
e um conjunto geral de primos P. Denotamos tambem
P(z) =∏p∈Pp<z
p.
O principal objetivo da teoria de crivos e estimar a funcao crivo
S(A, z) =∑n≤x
(n,P(z))=1
an.
Exemplo 1: O Problema de Goldbach
Seja A = {n(2N − n) : n ∈ N, 2 ≤ n ≤ 2N − 2} e P o conjunto detodos os primos.
Entao se considerarmos
S(A,P; z) := #{n ∈ A : p | n⇒ p ≥ z para p ∈ P}
temos que
S(A,P; z) = #{p ∈ P : 2N−p ∈ P,√
2N ≤ p, 2N−p ≤ 2N−2}.(1.4)
E estimativas sobre este conjunto estao relacionados com aconjectura de Goldbach.
Exemplo 1: O Problema de Goldbach
Seja A = {n(2N − n) : n ∈ N, 2 ≤ n ≤ 2N − 2} e P o conjunto detodos os primos. Entao se considerarmos
S(A,P; z) := #{n ∈ A : p | n⇒ p ≥ z para p ∈ P}
temos que
S(A,P; z) = #{p ∈ P : 2N−p ∈ P,√
2N ≤ p, 2N−p ≤ 2N−2}.(1.4)
E estimativas sobre este conjunto estao relacionados com aconjectura de Goldbach.
Exemplo 1: O Problema de Goldbach
Seja A = {n(2N − n) : n ∈ N, 2 ≤ n ≤ 2N − 2} e P o conjunto detodos os primos. Entao se considerarmos
S(A,P; z) := #{n ∈ A : p | n⇒ p ≥ z para p ∈ P}
temos que
S(A,P; z) = #{p ∈ P : 2N−p ∈ P,√
2N ≤ p, 2N−p ≤ 2N−2}.(1.4)
E estimativas sobre este conjunto estao relacionados com aconjectura de Goldbach.
Exemplo 2: Primos da forma m2 + 1
Seja A = {m2 + 1 ≤ x} e P = {p; p 6≡ 3(mod 4)}.
Consideremos
A(x) =[√
x − 1], X =
√x
g(p) =
{2/p se p ≡ 1(mod 4),1/2 se p = 2
e |rd (x)| ≤ 2ν(d). Uma cota inferior neste exemplo para S(A,√
x)ira nos produzir primos da forma m2 + 1.
Exemplo 2: Primos da forma m2 + 1
Seja A = {m2 + 1 ≤ x} e P = {p; p 6≡ 3(mod 4)}. Consideremos
A(x) =[√
x − 1], X =
√x
g(p) =
{2/p se p ≡ 1(mod 4),1/2 se p = 2
e |rd (x)| ≤ 2ν(d).
Uma cota inferior neste exemplo para S(A,√
x)ira nos produzir primos da forma m2 + 1.
Exemplo 2: Primos da forma m2 + 1
Seja A = {m2 + 1 ≤ x} e P = {p; p 6≡ 3(mod 4)}. Consideremos
A(x) =[√
x − 1], X =
√x
g(p) =
{2/p se p ≡ 1(mod 4),1/2 se p = 2
e |rd (x)| ≤ 2ν(d). Uma cota inferior neste exemplo para S(A,√
x)ira nos produzir primos da forma m2 + 1.
Exemplo 3: Primos Gemeos
Consideremos
A = {m(m + 2) ≤ x} , P = {todos os primos} ,
eg(p) =
{2/p se p e ımpar,1/2 se p = 2
e |rd (x)| ≤ 2ν(d).
Uma cota inferior positiva neste exemplo paraS(A, x1/4) ira nos produzir inteiros m(m + 2) onde ambos fatoressao primos e diferem por 2. A Conjectura dos Primos Gemeospreve que existem infinitos pares de tais primos.
Exemplo 3: Primos Gemeos
Consideremos
A = {m(m + 2) ≤ x} , P = {todos os primos} ,
eg(p) =
{2/p se p e ımpar,1/2 se p = 2
e |rd (x)| ≤ 2ν(d). Uma cota inferior positiva neste exemplo paraS(A, x1/4) ira nos produzir inteiros m(m + 2) onde ambos fatoressao primos e diferem por 2.
A Conjectura dos Primos Gemeospreve que existem infinitos pares de tais primos.
Exemplo 3: Primos Gemeos
Consideremos
A = {m(m + 2) ≤ x} , P = {todos os primos} ,
eg(p) =
{2/p se p e ımpar,1/2 se p = 2
e |rd (x)| ≤ 2ν(d). Uma cota inferior positiva neste exemplo paraS(A, x1/4) ira nos produzir inteiros m(m + 2) onde ambos fatoressao primos e diferem por 2. A Conjectura dos Primos Gemeospreve que existem infinitos pares de tais primos.
Funcoes Aritmeticas e Notacoes: Notacaode Bachmann–Landau
Definicao (notacao grande ‘O’)
Seja D um subconjunto dos numeros complexos C, e f : D → Cuma funcao que assume valores complexos definida em D.Escrevemos
f (x) = O(g(x))
se g : D → R+ e se existe uma constante positiva A tal que
|f (x)| ≤ Ag(x)
para todo x ∈ D.Uma notacao alternativa para f (x) = O(g(x)) e
f (x)� g(x) ou g(x)� f (x).
Funcoes Aritmeticas e Notacoes: Notacaode Bachmann–Landau
Definicao (notacao grande ‘O’)Seja D um subconjunto dos numeros complexos C, e f : D → Cuma funcao que assume valores complexos definida em D.
Escrevemos
f (x) = O(g(x))
se g : D → R+ e se existe uma constante positiva A tal que
|f (x)| ≤ Ag(x)
para todo x ∈ D.Uma notacao alternativa para f (x) = O(g(x)) e
f (x)� g(x) ou g(x)� f (x).
Funcoes Aritmeticas e Notacoes: Notacaode Bachmann–Landau
Definicao (notacao grande ‘O’)Seja D um subconjunto dos numeros complexos C, e f : D → Cuma funcao que assume valores complexos definida em D.Escrevemos
f (x) = O(g(x))
se g : D → R+ e se existe uma constante positiva A tal que
|f (x)| ≤ Ag(x)
para todo x ∈ D.
Uma notacao alternativa para f (x) = O(g(x)) e
f (x)� g(x) ou g(x)� f (x).
Funcoes Aritmeticas e Notacoes: Notacaode Bachmann–Landau
Definicao (notacao grande ‘O’)Seja D um subconjunto dos numeros complexos C, e f : D → Cuma funcao que assume valores complexos definida em D.Escrevemos
f (x) = O(g(x))
se g : D → R+ e se existe uma constante positiva A tal que
|f (x)| ≤ Ag(x)
para todo x ∈ D.Uma notacao alternativa para f (x) = O(g(x)) e
f (x)� g(x) ou g(x)� f (x).
Notacao de Bachmann–Landau
Definicao (Ordem de Magnitude)
Se f (x)� g(x) e g(x)� f (x), entao escrevemos
f (x) � g(x).
Definicao (notacao pequeno ‘o’)Se D e ilimitado, escrevemos
f (x) = o(g(x))
se
limx→∞x∈D
f (x)
g(x)= 0.
Notacao de Bachmann–Landau
Definicao (Ordem de Magnitude)Se f (x)� g(x) e g(x)� f (x), entao escrevemos
f (x) � g(x).
Definicao (notacao pequeno ‘o’)Se D e ilimitado, escrevemos
f (x) = o(g(x))
se
limx→∞x∈D
f (x)
g(x)= 0.
Notacao de Bachmann–Landau
Definicao (Ordem de Magnitude)Se f (x)� g(x) e g(x)� f (x), entao escrevemos
f (x) � g(x).
Definicao (notacao pequeno ‘o’)
Se D e ilimitado, escrevemos
f (x) = o(g(x))
se
limx→∞x∈D
f (x)
g(x)= 0.
Notacao de Bachmann–Landau
Definicao (Ordem de Magnitude)Se f (x)� g(x) e g(x)� f (x), entao escrevemos
f (x) � g(x).
Definicao (notacao pequeno ‘o’)Se D e ilimitado, escrevemos
f (x) = o(g(x))
se
limx→∞x∈D
f (x)
g(x)= 0.
Notacao de Bachmann–Landau
Definicao
Dizemos que f (x) e assintotica a funcao g(x) e escrevemos
f (x) ∼ g(x)
se
limx→∞x∈D
f (x)
g(x)= 1.
No decorrer deste curso, p, q, l irao denotar numeros primos,n, d , k inteiros positivos, x , y , z numeros reais positivos. Quaisquerdesvios nestes padroes estarao evidentes no contexto em que elesaparecerem. Tambem iremos denotar, algumas vezes, mdc(n, d)como (n, d) e mmc(n, d) como [n, d ].
Notacao de Bachmann–Landau
DefinicaoDizemos que f (x) e assintotica a funcao g(x) e escrevemos
f (x) ∼ g(x)
se
limx→∞x∈D
f (x)
g(x)= 1.
No decorrer deste curso, p, q, l irao denotar numeros primos,n, d , k inteiros positivos, x , y , z numeros reais positivos. Quaisquerdesvios nestes padroes estarao evidentes no contexto em que elesaparecerem. Tambem iremos denotar, algumas vezes, mdc(n, d)como (n, d) e mmc(n, d) como [n, d ].
Notacao de Bachmann–Landau
DefinicaoDizemos que f (x) e assintotica a funcao g(x) e escrevemos
f (x) ∼ g(x)
se
limx→∞x∈D
f (x)
g(x)= 1.
No decorrer deste curso, p, q, l irao denotar numeros primos,n, d , k inteiros positivos, x , y , z numeros reais positivos. Quaisquerdesvios nestes padroes estarao evidentes no contexto em que elesaparecerem. Tambem iremos denotar, algumas vezes, mdc(n, d)como (n, d) e mmc(n, d) como [n, d ].
A Funcao de MobiusDefinicaoA funcao de Mobius µ e definida da seguinte maneira:
µ(1) = 1;
Se n > 1, escrevemos n = pa11 · · · p
akk . Entao
µ(n) = (−1)k se a1 = a2 = · · · = ak = 1,µ(n) = 0 caso contrario.
Agora temos um lema basico:Lema (Propriedade Fundamental da funcao de Mobius)
∑d |n
µ(d) =
{1 se n = 1,0 caso contrario.
A Funcao de MobiusDefinicaoA funcao de Mobius µ e definida da seguinte maneira:
µ(1) = 1;
Se n > 1, escrevemos n = pa11 · · · p
akk . Entao
µ(n) = (−1)k se a1 = a2 = · · · = ak = 1,µ(n) = 0 caso contrario.
Agora temos um lema basico:Lema (Propriedade Fundamental da funcao de Mobius)
∑d |n
µ(d) =
{1 se n = 1,0 caso contrario.
Proof.Se n = 1, entao a formula e facilmente verificada.
Se n > 1,denotemos por n = pa1
1 · · · parr a fatoracao unica de n em potencias
de primos distintos. Agora, seja N = p1 · · · pr (chamado de radicalde n) e como µ(d) = 0 a menos que d seja livre de quadrados, nostemos ∑
d |nµ(d) =
∑d |N
µ(d).
A ultima soma contem 2r somandos, cada um correspondendo aum subconjunto de {p1, . . . , pr}, uma vez que os divisores de Nestao em correspondecia um–a–um com tais subconjuntos. Onumero de subconjuntos com k elementos e
(rk), e para cada
divisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k . Assim
∑d |N
µ(d) =r∑
k=0
(rk
)(−1)k = (1− 1)r = 0.
Proof.Se n = 1, entao a formula e facilmente verificada.Se n > 1,denotemos por n = pa1
1 · · · parr a fatoracao unica de n em potencias
de primos distintos.
Agora, seja N = p1 · · · pr (chamado de radicalde n) e como µ(d) = 0 a menos que d seja livre de quadrados, nostemos ∑
d |nµ(d) =
∑d |N
µ(d).
A ultima soma contem 2r somandos, cada um correspondendo aum subconjunto de {p1, . . . , pr}, uma vez que os divisores de Nestao em correspondecia um–a–um com tais subconjuntos. Onumero de subconjuntos com k elementos e
(rk), e para cada
divisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k . Assim
∑d |N
µ(d) =r∑
k=0
(rk
)(−1)k = (1− 1)r = 0.
Proof.Se n = 1, entao a formula e facilmente verificada.Se n > 1,denotemos por n = pa1
1 · · · parr a fatoracao unica de n em potencias
de primos distintos. Agora, seja N = p1 · · · pr (chamado de radicalde n) e como µ(d) = 0 a menos que d seja livre de quadrados, nostemos ∑
d |nµ(d) =
∑d |N
µ(d).
A ultima soma contem 2r somandos, cada um correspondendo aum subconjunto de {p1, . . . , pr}, uma vez que os divisores de Nestao em correspondecia um–a–um com tais subconjuntos. Onumero de subconjuntos com k elementos e
(rk), e para cada
divisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k . Assim
∑d |N
µ(d) =r∑
k=0
(rk
)(−1)k = (1− 1)r = 0.
Proof.Se n = 1, entao a formula e facilmente verificada.Se n > 1,denotemos por n = pa1
1 · · · parr a fatoracao unica de n em potencias
de primos distintos. Agora, seja N = p1 · · · pr (chamado de radicalde n) e como µ(d) = 0 a menos que d seja livre de quadrados, nostemos ∑
d |nµ(d) =
∑d |N
µ(d).
A ultima soma contem 2r somandos, cada um correspondendo aum subconjunto de {p1, . . . , pr}, uma vez que os divisores de Nestao em correspondecia um–a–um com tais subconjuntos.
Onumero de subconjuntos com k elementos e
(rk), e para cada
divisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k . Assim
∑d |N
µ(d) =r∑
k=0
(rk
)(−1)k = (1− 1)r = 0.
Proof.Se n = 1, entao a formula e facilmente verificada.Se n > 1,denotemos por n = pa1
1 · · · parr a fatoracao unica de n em potencias
de primos distintos. Agora, seja N = p1 · · · pr (chamado de radicalde n) e como µ(d) = 0 a menos que d seja livre de quadrados, nostemos ∑
d |nµ(d) =
∑d |N
µ(d).
A ultima soma contem 2r somandos, cada um correspondendo aum subconjunto de {p1, . . . , pr}, uma vez que os divisores de Nestao em correspondecia um–a–um com tais subconjuntos. Onumero de subconjuntos com k elementos e
(rk),
e para cadadivisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k . Assim
∑d |N
µ(d) =r∑
k=0
(rk
)(−1)k = (1− 1)r = 0.
Proof.Se n = 1, entao a formula e facilmente verificada.Se n > 1,denotemos por n = pa1
1 · · · parr a fatoracao unica de n em potencias
de primos distintos. Agora, seja N = p1 · · · pr (chamado de radicalde n) e como µ(d) = 0 a menos que d seja livre de quadrados, nostemos ∑
d |nµ(d) =
∑d |N
µ(d).
A ultima soma contem 2r somandos, cada um correspondendo aum subconjunto de {p1, . . . , pr}, uma vez que os divisores de Nestao em correspondecia um–a–um com tais subconjuntos. Onumero de subconjuntos com k elementos e
(rk), e para cada
divisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k .
Assim
∑d |N
µ(d) =r∑
k=0
(rk
)(−1)k = (1− 1)r = 0.
Proof.Se n = 1, entao a formula e facilmente verificada.Se n > 1,denotemos por n = pa1
1 · · · parr a fatoracao unica de n em potencias
de primos distintos. Agora, seja N = p1 · · · pr (chamado de radicalde n) e como µ(d) = 0 a menos que d seja livre de quadrados, nostemos ∑
d |nµ(d) =
∑d |N
µ(d).
A ultima soma contem 2r somandos, cada um correspondendo aum subconjunto de {p1, . . . , pr}, uma vez que os divisores de Nestao em correspondecia um–a–um com tais subconjuntos. Onumero de subconjuntos com k elementos e
(rk), e para cada
divisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k . Assim
∑d |N
µ(d) =r∑
k=0
(rk
)(−1)k
= (1− 1)r = 0.
Proof.Se n = 1, entao a formula e facilmente verificada.Se n > 1,denotemos por n = pa1
1 · · · parr a fatoracao unica de n em potencias
de primos distintos. Agora, seja N = p1 · · · pr (chamado de radicalde n) e como µ(d) = 0 a menos que d seja livre de quadrados, nostemos ∑
d |nµ(d) =
∑d |N
µ(d).
A ultima soma contem 2r somandos, cada um correspondendo aum subconjunto de {p1, . . . , pr}, uma vez que os divisores de Nestao em correspondecia um–a–um com tais subconjuntos. Onumero de subconjuntos com k elementos e
(rk), e para cada
divisor d , determinado por tal subconjunto, nos temosµ(d) = (−1)k . Assim
∑d |N
µ(d) =r∑
k=0
(rk
)(−1)k = (1− 1)r = 0.
Teorema (A formula de inversao de Mobius)
Sejam f e g duas funcoes a valores complexos e ambas definidasnos numeros naturais. Se
f (n) =∑d |n
g(d),
entao
g(n) =∑d |n
µ(d)f (n/d),
e reciprocamente.
Teorema (A formula de inversao de Mobius)Sejam f e g duas funcoes a valores complexos e ambas definidasnos numeros naturais. Se
f (n) =∑d |n
g(d),
entao
g(n) =∑d |n
µ(d)f (n/d),
e reciprocamente.
Proof.Temos que,
∑d |n
µ(d)f (n/d) =∑d |n
µ(d)∑e| nd
g(e)
=∑
des=nµ(d)g(e)
=∑e|n
g(e)∑d |ne
µ(d)
= g(n),
uma vez que a soma interna na penultima linha e zero a menos quen/e = 1. Para estabelecermos a recıproca usamos as mesmas ideiasapresentadas acima e tal exercıcio e deixado para o leitor.
Proof.Temos que,
∑d |n
µ(d)f (n/d) =∑d |n
µ(d)∑e| nd
g(e)
=∑
des=nµ(d)g(e)
=∑e|n
g(e)∑d |ne
µ(d)
= g(n),
uma vez que a soma interna na penultima linha e zero a menos quen/e = 1. Para estabelecermos a recıproca usamos as mesmas ideiasapresentadas acima e tal exercıcio e deixado para o leitor.
Proof.Temos que,
∑d |n
µ(d)f (n/d) =∑d |n
µ(d)∑e| nd
g(e)
=∑
des=nµ(d)g(e)
=∑e|n
g(e)∑d |ne
µ(d)
= g(n),
uma vez que a soma interna na penultima linha e zero a menos quen/e = 1. Para estabelecermos a recıproca usamos as mesmas ideiasapresentadas acima e tal exercıcio e deixado para o leitor.
Proof.Temos que,
∑d |n
µ(d)f (n/d) =∑d |n
µ(d)∑e| nd
g(e)
=∑
des=nµ(d)g(e)
=∑e|n
g(e)∑d |ne
µ(d)
= g(n),
uma vez que a soma interna na penultima linha e zero a menos quen/e = 1.
Para estabelecermos a recıproca usamos as mesmas ideiasapresentadas acima e tal exercıcio e deixado para o leitor.
Proof.Temos que,
∑d |n
µ(d)f (n/d) =∑d |n
µ(d)∑e| nd
g(e)
=∑
des=nµ(d)g(e)
=∑e|n
g(e)∑d |ne
µ(d)
= g(n),
uma vez que a soma interna na penultima linha e zero a menos quen/e = 1. Para estabelecermos a recıproca usamos as mesmas ideiasapresentadas acima e tal exercıcio e deixado para o leitor.
Somas Parciais
Teorema
Seja c1, c2, . . . uma sequencia de numeros complexos e defina
S(x) :=∑n≤x
cn.
Seja n0 um inteiro positivo e fixado. Se cj = 0 para j < n0 e sejaf : [n0,∞)→ C uma funcao com derivadas contınuas em [n0,∞),entao se x e um inteiro tal que x > n0 nos temos que
∑n≤x
cnf (n) = S(x)f (x)−∫ x
n0S(t)f ′
(t)dt.
Somas Parciais
TeoremaSeja c1, c2, . . . uma sequencia de numeros complexos e defina
S(x) :=∑n≤x
cn.
Seja n0 um inteiro positivo e fixado. Se cj = 0 para j < n0 e sejaf : [n0,∞)→ C uma funcao com derivadas contınuas em [n0,∞),entao se x e um inteiro tal que x > n0 nos temos que
∑n≤x
cnf (n) = S(x)f (x)−∫ x
n0S(t)f ′
(t)dt.
Somas Parciais
TeoremaSeja c1, c2, . . . uma sequencia de numeros complexos e defina
S(x) :=∑n≤x
cn.
Seja n0 um inteiro positivo e fixado. Se cj = 0 para j < n0 e sejaf : [n0,∞)→ C uma funcao com derivadas contınuas em [n0,∞),entao se x e um inteiro tal que x > n0 nos temos que
∑n≤x
cnf (n) = S(x)f (x)−∫ x
n0S(t)f ′
(t)dt.
Somas Parciais
TeoremaSeja c1, c2, . . . uma sequencia de numeros complexos e defina
S(x) :=∑n≤x
cn.
Seja n0 um inteiro positivo e fixado. Se cj = 0 para j < n0 e sejaf : [n0,∞)→ C uma funcao com derivadas contınuas em [n0,∞),entao se x e um inteiro tal que x > n0 nos temos que
∑n≤x
cnf (n) = S(x)f (x)−∫ x
n0S(t)f ′
(t)dt.
Proof.
∑n≤x{S(n)− S(n − 1)}f (n)
=∑n≤x
S(n)f (n)−∑
n≤x−1S(n)f (n + 1)
= S(x)f (x)−∑
n≤x−1S(n)
∫ n+1
nf ′
(t)dt
= S(x)f (x)−∫ x
n0S(t)f ′
(t)dt,
pois S(t) e uma funcao escada que e constante em intervalos daforma [n, n + 1).
Proof.
∑n≤x{S(n)− S(n − 1)}f (n) =
∑n≤x
S(n)f (n)−∑
n≤x−1S(n)f (n + 1)
= S(x)f (x)−∑
n≤x−1S(n)
∫ n+1
nf ′
(t)dt
= S(x)f (x)−∫ x
n0S(t)f ′
(t)dt,
pois S(t) e uma funcao escada que e constante em intervalos daforma [n, n + 1).
Proof.
∑n≤x{S(n)− S(n − 1)}f (n) =
∑n≤x
S(n)f (n)−∑
n≤x−1S(n)f (n + 1)
= S(x)f (x)−∑
n≤x−1S(n)
∫ n+1
nf ′
(t)dt
= S(x)f (x)−∫ x
n0S(t)f ′
(t)dt,
pois S(t) e uma funcao escada que e constante em intervalos daforma [n, n + 1).
Proof.
∑n≤x{S(n)− S(n − 1)}f (n) =
∑n≤x
S(n)f (n)−∑
n≤x−1S(n)f (n + 1)
= S(x)f (x)−∑
n≤x−1S(n)
∫ n+1
nf ′
(t)dt
= S(x)f (x)−∫ x
n0S(t)f ′
(t)dt,
pois S(t) e uma funcao escada que e constante em intervalos daforma [n, n + 1).
Proposicao
∑n≤x
log n = x log x − x + O(log x).
Proof.Usamos o teorema anterior com cn = 1 e f (t) = log t e deduzimosque
∑n≤x
log n = [x ] log x −∫ x
1
1x
[t]
t dt,
onde a notacao [x ] indica o maior inteiro menor ou igual a x . Eusando que [x ] = x + O(1) concluımos a proposicao.
Proposicao∑n≤x
log n = x log x − x + O(log x).
Proof.Usamos o teorema anterior com cn = 1 e f (t) = log t e deduzimosque
∑n≤x
log n = [x ] log x −∫ x
1
1x
[t]
t dt,
onde a notacao [x ] indica o maior inteiro menor ou igual a x . Eusando que [x ] = x + O(1) concluımos a proposicao.
Proposicao∑n≤x
log n = x log x − x + O(log x).
Proof.Usamos o teorema anterior com cn = 1 e f (t) = log t e deduzimosque
∑n≤x
log n = [x ] log x −∫ x
1
1x
[t]
t dt,
onde a notacao [x ] indica o maior inteiro menor ou igual a x . Eusando que [x ] = x + O(1) concluımos a proposicao.
Proposicao∑n≤x
log n = x log x − x + O(log x).
Proof.Usamos o teorema anterior com cn = 1 e f (t) = log t e deduzimosque
∑n≤x
log n = [x ] log x −∫ x
1
1x
[t]
t dt,
onde a notacao [x ] indica o maior inteiro menor ou igual a x .
Eusando que [x ] = x + O(1) concluımos a proposicao.
Proposicao∑n≤x
log n = x log x − x + O(log x).
Proof.Usamos o teorema anterior com cn = 1 e f (t) = log t e deduzimosque
∑n≤x
log n = [x ] log x −∫ x
1
1x
[t]
t dt,
onde a notacao [x ] indica o maior inteiro menor ou igual a x . Eusando que [x ] = x + O(1) concluımos a proposicao.
O Teorema de TchebychefUma notacao padrao em teoria dos numeros e que p (e algumasvezes q ou l) denotam numeros primos,
e somas ou produtos daforma ∑
p≤x,∑
p,∏p≤x
,∏p
indicam que as somas e os produtos sao tomados sobre os numerosprimos. Denotemos por π(x) o numero de primos ate x .Claramente, π(x) = O(x). Em 1850, Tchebychef demonstrou,utilizando um metodo elementar, que
π(x) = O( x
log x
). (2.1)
De fato, se definirmos
θ(x) :=∑p≤x
log p,
entao Tchebychef provou:
O Teorema de TchebychefUma notacao padrao em teoria dos numeros e que p (e algumasvezes q ou l) denotam numeros primos, e somas ou produtos daforma ∑
p≤x,∑
p,∏p≤x
,∏p
indicam que as somas e os produtos sao tomados sobre os numerosprimos.
Denotemos por π(x) o numero de primos ate x .Claramente, π(x) = O(x). Em 1850, Tchebychef demonstrou,utilizando um metodo elementar, que
π(x) = O( x
log x
). (2.1)
De fato, se definirmos
θ(x) :=∑p≤x
log p,
entao Tchebychef provou:
O Teorema de TchebychefUma notacao padrao em teoria dos numeros e que p (e algumasvezes q ou l) denotam numeros primos, e somas ou produtos daforma ∑
p≤x,∑
p,∏p≤x
,∏p
indicam que as somas e os produtos sao tomados sobre os numerosprimos. Denotemos por π(x) o numero de primos ate x .
Claramente, π(x) = O(x). Em 1850, Tchebychef demonstrou,utilizando um metodo elementar, que
π(x) = O( x
log x
). (2.1)
De fato, se definirmos
θ(x) :=∑p≤x
log p,
entao Tchebychef provou:
O Teorema de TchebychefUma notacao padrao em teoria dos numeros e que p (e algumasvezes q ou l) denotam numeros primos, e somas ou produtos daforma ∑
p≤x,∑
p,∏p≤x
,∏p
indicam que as somas e os produtos sao tomados sobre os numerosprimos. Denotemos por π(x) o numero de primos ate x .Claramente, π(x) = O(x). Em 1850, Tchebychef demonstrou,utilizando um metodo elementar, que
π(x) = O( x
log x
).
(2.1)
De fato, se definirmos
θ(x) :=∑p≤x
log p,
entao Tchebychef provou:
O Teorema de TchebychefUma notacao padrao em teoria dos numeros e que p (e algumasvezes q ou l) denotam numeros primos, e somas ou produtos daforma ∑
p≤x,∑
p,∏p≤x
,∏p
indicam que as somas e os produtos sao tomados sobre os numerosprimos. Denotemos por π(x) o numero de primos ate x .Claramente, π(x) = O(x). Em 1850, Tchebychef demonstrou,utilizando um metodo elementar, que
π(x) = O( x
log x
). (2.1)
De fato, se definirmos
θ(x) :=∑p≤x
log p,
entao Tchebychef provou:
O Teorema de TchebychefTeorema (Teorema de Tchebychef)Existem constantes positivas A e B tais que
Ax < θ(x) < Bx .
• Atraves do uso da tecnica de soma parcial, este teorema nosda o resultado de (2.1).
• Podemos deduzir do Teorema 2.11 que sempre existe umnumero primo entre x e Bx/A, uma vez que
θ
(BxA
)> A
(BxA
)= Bx > θ(x).
• Obtendo constantes A e B tal que B/A ≤ 2, Tchebychef foicapaz de deduzir o seguinte teorema:
O Teorema de TchebychefTeorema (Teorema de Tchebychef)Existem constantes positivas A e B tais que
Ax < θ(x) < Bx .
• Atraves do uso da tecnica de soma parcial, este teorema nosda o resultado de (2.1).
• Podemos deduzir do Teorema 2.11 que sempre existe umnumero primo entre x e Bx/A, uma vez que
θ
(BxA
)> A
(BxA
)= Bx > θ(x).
• Obtendo constantes A e B tal que B/A ≤ 2, Tchebychef foicapaz de deduzir o seguinte teorema:
O Teorema de TchebychefTeorema (Teorema de Tchebychef)Existem constantes positivas A e B tais que
Ax < θ(x) < Bx .
• Atraves do uso da tecnica de soma parcial, este teorema nosda o resultado de (2.1).
• Podemos deduzir do Teorema 2.11 que sempre existe umnumero primo entre x e Bx/A, uma vez que
θ
(BxA
)> A
(BxA
)= Bx > θ(x).
• Obtendo constantes A e B tal que B/A ≤ 2, Tchebychef foicapaz de deduzir o seguinte teorema:
O Teorema de TchebychefTeorema (Teorema de Tchebychef)Existem constantes positivas A e B tais que
Ax < θ(x) < Bx .
• Atraves do uso da tecnica de soma parcial, este teorema nosda o resultado de (2.1).
• Podemos deduzir do Teorema 2.11 que sempre existe umnumero primo entre x e Bx/A, uma vez que
θ
(BxA
)> A
(BxA
)= Bx > θ(x).
• Obtendo constantes A e B tal que B/A ≤ 2, Tchebychef foicapaz de deduzir o seguinte teorema:
Teorema (postualdo de Bertrand)Sempre existe um numero primo entre n e 2n, para n ≥ 1.
Demonstracao de Tchebyshev do Teorema 2.11.O ponto chave da demonstracao e notar que
∏n<p≤2n
p |(
2nn
).
Uma vez que (2nn
)≤ 22n,
nos obtemos, depois de tomar logaritmos,
θ(2n)− θ(n) ≤ 2n log 2.
Escrevendo sucessivamente obtemos,
Teorema (postualdo de Bertrand)Sempre existe um numero primo entre n e 2n, para n ≥ 1.
Demonstracao de Tchebyshev do Teorema 2.11.O ponto chave da demonstracao e notar que
∏n<p≤2n
p |(
2nn
).
Uma vez que (2nn
)≤ 22n,
nos obtemos, depois de tomar logaritmos,
θ(2n)− θ(n) ≤ 2n log 2.
Escrevendo sucessivamente obtemos,
Teorema (postualdo de Bertrand)Sempre existe um numero primo entre n e 2n, para n ≥ 1.
Demonstracao de Tchebyshev do Teorema 2.11.O ponto chave da demonstracao e notar que
∏n<p≤2n
p |(
2nn
).
Uma vez que (2nn
)≤ 22n,
nos obtemos, depois de tomar logaritmos,
θ(2n)− θ(n) ≤ 2n log 2.
Escrevendo sucessivamente obtemos,
Teorema (postualdo de Bertrand)Sempre existe um numero primo entre n e 2n, para n ≥ 1.
Demonstracao de Tchebyshev do Teorema 2.11.O ponto chave da demonstracao e notar que
∏n<p≤2n
p |(
2nn
).
Uma vez que (2nn
)≤ 22n,
nos obtemos, depois de tomar logaritmos,
θ(2n)− θ(n) ≤ 2n log 2.
Escrevendo sucessivamente obtemos,
Teorema (postualdo de Bertrand)Sempre existe um numero primo entre n e 2n, para n ≥ 1.
Demonstracao de Tchebyshev do Teorema 2.11.O ponto chave da demonstracao e notar que
∏n<p≤2n
p |(
2nn
).
Uma vez que (2nn
)≤ 22n,
nos obtemos, depois de tomar logaritmos,
θ(2n)− θ(n) ≤ 2n log 2.
Escrevendo sucessivamente obtemos,
θ(n)− θ(n
2
)≤ n log 2
θ
(n2
)− θ
(n4
)≤ n
2 log 2,· · ·
e somando as desigualdades, obtemos
θ(2n) ≤ 4n log 2.
Em outras palavras,
θ(x) = O(x).
θ(n)− θ(n
2
)≤ n log 2
θ
(n2
)− θ
(n4
)≤ n
2 log 2,
· · ·
e somando as desigualdades, obtemos
θ(2n) ≤ 4n log 2.
Em outras palavras,
θ(x) = O(x).
θ(n)− θ(n
2
)≤ n log 2
θ
(n2
)− θ
(n4
)≤ n
2 log 2,· · ·
e somando as desigualdades, obtemos
θ(2n) ≤ 4n log 2.
Em outras palavras,
θ(x) = O(x).
θ(n)− θ(n
2
)≤ n log 2
θ
(n2
)− θ
(n4
)≤ n
2 log 2,· · ·
e somando as desigualdades, obtemos
θ(2n) ≤ 4n log 2.
Em outras palavras,
θ(x) = O(x).
θ(n)− θ(n
2
)≤ n log 2
θ
(n2
)− θ
(n4
)≤ n
2 log 2,· · ·
e somando as desigualdades, obtemos
θ(2n) ≤ 4n log 2.
Em outras palavras,
θ(x) = O(x).
θ(n)− θ(n
2
)≤ n log 2
θ
(n2
)− θ
(n4
)≤ n
2 log 2,· · ·
e somando as desigualdades, obtemos
θ(2n) ≤ 4n log 2.
Em outras palavras,
θ(x) = O(x).
Logo
x � θ(x)
≥∑
√x<p≤x
log p
≥ 12(log x)(π(x)− π(
√x))
≥ 12(log x)π(x) + O(
√x log x),
e assim π(x) = O(x/ log x).
�
Usando o mesmo cırculo de ideias podemos provar mais umresultado devido a Tchebychef.
Teorema∑p≤n
log pp = log n + O(1).
Logo
x � θ(x) ≥∑
√x<p≤x
log p
≥ 12(log x)(π(x)− π(
√x))
≥ 12(log x)π(x) + O(
√x log x),
e assim π(x) = O(x/ log x).
�
Usando o mesmo cırculo de ideias podemos provar mais umresultado devido a Tchebychef.
Teorema∑p≤n
log pp = log n + O(1).
Logo
x � θ(x) ≥∑
√x<p≤x
log p
≥ 12(log x)(π(x)− π(
√x))
≥ 12(log x)π(x) + O(
√x log x),
e assim π(x) = O(x/ log x).
�
Usando o mesmo cırculo de ideias podemos provar mais umresultado devido a Tchebychef.
Teorema∑p≤n
log pp = log n + O(1).
Logo
x � θ(x) ≥∑
√x<p≤x
log p
≥ 12(log x)(π(x)− π(
√x))
≥ 12(log x)π(x) + O(
√x log x),
e assim π(x) = O(x/ log x).
�
Usando o mesmo cırculo de ideias podemos provar mais umresultado devido a Tchebychef.
Teorema∑p≤n
log pp = log n + O(1).
Logo
x � θ(x) ≥∑
√x<p≤x
log p
≥ 12(log x)(π(x)− π(
√x))
≥ 12(log x)π(x) + O(
√x log x),
e assim π(x) = O(x/ log x).
�
Usando o mesmo cırculo de ideias podemos provar mais umresultado devido a Tchebychef.
Teorema∑p≤n
log pp = log n + O(1).
Logo
x � θ(x) ≥∑
√x<p≤x
log p
≥ 12(log x)(π(x)− π(
√x))
≥ 12(log x)π(x) + O(
√x log x),
e assim π(x) = O(x/ log x).
�
Usando o mesmo cırculo de ideias podemos provar mais umresultado devido a Tchebychef.
Teorema∑p≤n
log pp = log n + O(1).
Logo
x � θ(x) ≥∑
√x<p≤x
log p
≥ 12(log x)(π(x)− π(
√x))
≥ 12(log x)π(x) + O(
√x log x),
e assim π(x) = O(x/ log x).
�
Usando o mesmo cırculo de ideias podemos provar mais umresultado devido a Tchebychef.
Teorema∑p≤n
log pp = log n + O(1).
Crivos ElementaresSeja A um conjunto finito de objetos
e P um conjunto indexado denumeros primos tal que para cada p ∈ P nos temos associado umsubconjunto Ap de A. O problema de crivo e estimar,superiormente e inferiormente, o tamanho do conjunto
S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.
Precisamente, para cada subconjunto I de P, denotamos por
AI := ∩p∈IAp.
Entao o principio de inclusao–exclusao nos fornece
#S(A,P) =∑I⊆P
(−1)#I#AI ,
onde para o conjunto vazio ∅ nos interpretamos A∅ como sendo oproprio conjunto A.
Crivos ElementaresSeja A um conjunto finito de objetose P um conjunto indexado denumeros primos tal que para cada p ∈ P nos temos associado umsubconjunto Ap de A.
O problema de crivo e estimar,superiormente e inferiormente, o tamanho do conjunto
S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.
Precisamente, para cada subconjunto I de P, denotamos por
AI := ∩p∈IAp.
Entao o principio de inclusao–exclusao nos fornece
#S(A,P) =∑I⊆P
(−1)#I#AI ,
onde para o conjunto vazio ∅ nos interpretamos A∅ como sendo oproprio conjunto A.
Crivos ElementaresSeja A um conjunto finito de objetose P um conjunto indexado denumeros primos tal que para cada p ∈ P nos temos associado umsubconjunto Ap de A. O problema de crivo e estimar,superiormente e inferiormente, o tamanho do conjunto
S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.
Precisamente, para cada subconjunto I de P, denotamos por
AI := ∩p∈IAp.
Entao o principio de inclusao–exclusao nos fornece
#S(A,P) =∑I⊆P
(−1)#I#AI ,
onde para o conjunto vazio ∅ nos interpretamos A∅ como sendo oproprio conjunto A.
Crivos ElementaresSeja A um conjunto finito de objetose P um conjunto indexado denumeros primos tal que para cada p ∈ P nos temos associado umsubconjunto Ap de A. O problema de crivo e estimar,superiormente e inferiormente, o tamanho do conjunto
S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.
Precisamente, para cada subconjunto I de P, denotamos por
AI := ∩p∈IAp.
Entao o principio de inclusao–exclusao nos fornece
#S(A,P) =∑I⊆P
(−1)#I#AI ,
onde para o conjunto vazio ∅ nos interpretamos A∅ como sendo oproprio conjunto A.
Crivos ElementaresSeja A um conjunto finito de objetose P um conjunto indexado denumeros primos tal que para cada p ∈ P nos temos associado umsubconjunto Ap de A. O problema de crivo e estimar,superiormente e inferiormente, o tamanho do conjunto
S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.
Precisamente, para cada subconjunto I de P, denotamos por
AI := ∩p∈IAp.
Entao o principio de inclusao–exclusao nos fornece
#S(A,P) =∑I⊆P
(−1)#I#AI ,
onde para o conjunto vazio ∅ nos interpretamos A∅ como sendo oproprio conjunto A.
Crivos ElementaresSeja A um conjunto finito de objetose P um conjunto indexado denumeros primos tal que para cada p ∈ P nos temos associado umsubconjunto Ap de A. O problema de crivo e estimar,superiormente e inferiormente, o tamanho do conjunto
S(A,P) := A\ ∪p∈P Ap.
Precisamente, para cada subconjunto I de P, denotamos por
AI := ∩p∈IAp.
Entao o principio de inclusao–exclusao nos fornece
#S(A,P) =∑I⊆P
(−1)#I#AI ,
onde para o conjunto vazio ∅ nos interpretamos A∅ como sendo oproprio conjunto A.
Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.
Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.
Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar.
Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.
Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P.
Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.
Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).
Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.
Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos
e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.
Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos.
Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.
Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B.
Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.
Nos podemos tambem reverter esta perspectiva.Ou seja, podemos pensar de S = S(A,P) como sendo umconjunto dado, cujo tamanho nos queremos estimar. Procuramosfazer isso olhando a sua imagem modulo primos p ∈ P para algumconjunto de primos P. Este sera o ponto de vista para o grandecrivo (Capıtulo 8).Seja B um conjunto finito de inteiros positivos e seja T umconjunto de potencias de primos. Nos entao podemos procurarestimar o tamanho do proprio conjunto B. Este tratamento seradiscutido a seguir e e o Crivo de Gallagher.
Crivo de Gallagher• B um conjunto (nao–vazio) finito de numeros inteiros.
• T um conjunto de potencias de primos.• Suponha que para cada t ∈ T nos temos
#B (mod t) ≤ u(t)
para alguma u(t). Assim B representa no maximo u(t) classesde resıduo modulo t.
Teorema (Maior Crivo de Gallagher)Nos mantemos a notacao acima e seja X := maxb∈B |b|. Se
∑t∈T
Λ(t)
u(t)− log(2X ) > 0, entao
#B ≤∑
t∈T Λ(t)− log(2X )∑t∈T
Λ(t)u(t) − log(2X )
,
onde Λ(·) e funcao de von Mangoldt.
Crivo de Gallagher• B um conjunto (nao–vazio) finito de numeros inteiros.• T um conjunto de potencias de primos.
• Suponha que para cada t ∈ T nos temos#B (mod t) ≤ u(t)
para alguma u(t). Assim B representa no maximo u(t) classesde resıduo modulo t.
Teorema (Maior Crivo de Gallagher)Nos mantemos a notacao acima e seja X := maxb∈B |b|. Se
∑t∈T
Λ(t)
u(t)− log(2X ) > 0, entao
#B ≤∑
t∈T Λ(t)− log(2X )∑t∈T
Λ(t)u(t) − log(2X )
,
onde Λ(·) e funcao de von Mangoldt.
Crivo de Gallagher• B um conjunto (nao–vazio) finito de numeros inteiros.• T um conjunto de potencias de primos.• Suponha que para cada t ∈ T nos temos
#B (mod t) ≤ u(t)
para alguma u(t).
Assim B representa no maximo u(t) classesde resıduo modulo t.
Teorema (Maior Crivo de Gallagher)Nos mantemos a notacao acima e seja X := maxb∈B |b|. Se
∑t∈T
Λ(t)
u(t)− log(2X ) > 0, entao
#B ≤∑
t∈T Λ(t)− log(2X )∑t∈T
Λ(t)u(t) − log(2X )
,
onde Λ(·) e funcao de von Mangoldt.
Crivo de Gallagher• B um conjunto (nao–vazio) finito de numeros inteiros.• T um conjunto de potencias de primos.• Suponha que para cada t ∈ T nos temos
#B (mod t) ≤ u(t)
para alguma u(t). Assim B representa no maximo u(t) classesde resıduo modulo t.
Teorema (Maior Crivo de Gallagher)Nos mantemos a notacao acima e seja X := maxb∈B |b|. Se
∑t∈T
Λ(t)
u(t)− log(2X ) > 0, entao
#B ≤∑
t∈T Λ(t)− log(2X )∑t∈T
Λ(t)u(t) − log(2X )
,
onde Λ(·) e funcao de von Mangoldt.
Crivo de Gallagher• B um conjunto (nao–vazio) finito de numeros inteiros.• T um conjunto de potencias de primos.• Suponha que para cada t ∈ T nos temos
#B (mod t) ≤ u(t)
para alguma u(t). Assim B representa no maximo u(t) classesde resıduo modulo t.
Teorema (Maior Crivo de Gallagher)Nos mantemos a notacao acima e seja X := maxb∈B |b|.
Se
∑t∈T
Λ(t)
u(t)− log(2X ) > 0, entao
#B ≤∑
t∈T Λ(t)− log(2X )∑t∈T
Λ(t)u(t) − log(2X )
,
onde Λ(·) e funcao de von Mangoldt.
Crivo de Gallagher• B um conjunto (nao–vazio) finito de numeros inteiros.• T um conjunto de potencias de primos.• Suponha que para cada t ∈ T nos temos
#B (mod t) ≤ u(t)
para alguma u(t). Assim B representa no maximo u(t) classesde resıduo modulo t.
Teorema (Maior Crivo de Gallagher)Nos mantemos a notacao acima e seja X := maxb∈B |b|. Se
∑t∈T
Λ(t)
u(t)− log(2X ) > 0,
entao
#B ≤∑
t∈T Λ(t)− log(2X )∑t∈T
Λ(t)u(t) − log(2X )
,
onde Λ(·) e funcao de von Mangoldt.
Crivo de Gallagher• B um conjunto (nao–vazio) finito de numeros inteiros.• T um conjunto de potencias de primos.• Suponha que para cada t ∈ T nos temos
#B (mod t) ≤ u(t)
para alguma u(t). Assim B representa no maximo u(t) classesde resıduo modulo t.
Teorema (Maior Crivo de Gallagher)Nos mantemos a notacao acima e seja X := maxb∈B |b|. Se
∑t∈T
Λ(t)
u(t)− log(2X ) > 0, entao
#B ≤∑
t∈T Λ(t)− log(2X )∑t∈T
Λ(t)u(t) − log(2X )
,
onde Λ(·) e funcao de von Mangoldt.
Demonstracao do Teorema de Gallagher
Seja t ∈ T
e para cada classe de resıduos r(mod t) definimos
Z (B; t, r) := #{b ∈ B : b ≡ r(mod t)}.
Entao
#B =∑
r( mod t)
Z (B; r , t).
Usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, temos que
≤ u(t)1/2
∑r( mod t)
Z (B; r , t)2
1/2
.
Demonstracao do Teorema de Gallagher
Seja t ∈ T e para cada classe de resıduos r(mod t) definimos
Z (B; t, r) := #{b ∈ B : b ≡ r(mod t)}.
Entao
#B =∑
r( mod t)
Z (B; r , t).
Usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, temos que
≤ u(t)1/2
∑r( mod t)
Z (B; r , t)2
1/2
.
Demonstracao do Teorema de Gallagher
Seja t ∈ T e para cada classe de resıduos r(mod t) definimos
Z (B; t, r) := #{b ∈ B : b ≡ r(mod t)}.
Entao
#B =∑
r( mod t)
Z (B; r , t).
Usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, temos que
≤ u(t)1/2
∑r( mod t)
Z (B; r , t)2
1/2
.
Demonstracao do Teorema de Gallagher
Seja t ∈ T e para cada classe de resıduos r(mod t) definimos
Z (B; t, r) := #{b ∈ B : b ≡ r(mod t)}.
Entao
#B =∑
r( mod t)
Z (B; r , t).
Usando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, temos que
≤ u(t)1/2
∑r( mod t)
Z (B; r , t)2
1/2
.
Demonstracao do Teorema de GallagherLogo
(#B)2
u(t)≤
∑r( mod t)
∑b,b′∈B
b,b′≡r( mod t)
1
≤ #B +∑
b,b′∈Bb 6=b′
∑t|b−b′
1.
Nos multiplicamos esta desigualdade por Λ(t) e somamos sobret ∈ T . Usando ∑
t|nΛ(t) = log n,
nos obtemos∑t∈T
(#B)2
u(t)Λ(t) ≤ (#B)
∑t∈T
Λ(t) + (log 2X )((#B)2 −#B).
�
Demonstracao do Teorema de GallagherLogo
(#B)2
u(t)≤
∑r( mod t)
∑b,b′∈B
b,b′≡r( mod t)
1
≤ #B +∑
b,b′∈Bb 6=b′
∑t|b−b′
1.
Nos multiplicamos esta desigualdade por Λ(t) e somamos sobret ∈ T . Usando ∑
t|nΛ(t) = log n,
nos obtemos∑t∈T
(#B)2
u(t)Λ(t) ≤ (#B)
∑t∈T
Λ(t) + (log 2X )((#B)2 −#B).
�
Demonstracao do Teorema de GallagherLogo
(#B)2
u(t)≤
∑r( mod t)
∑b,b′∈B
b,b′≡r( mod t)
1
≤ #B +∑
b,b′∈Bb 6=b′
∑t|b−b′
1.
Nos multiplicamos esta desigualdade por Λ(t) e somamos sobret ∈ T .
Usando ∑t|n
Λ(t) = log n,
nos obtemos∑t∈T
(#B)2
u(t)Λ(t) ≤ (#B)
∑t∈T
Λ(t) + (log 2X )((#B)2 −#B).
�
Demonstracao do Teorema de GallagherLogo
(#B)2
u(t)≤
∑r( mod t)
∑b,b′∈B
b,b′≡r( mod t)
1
≤ #B +∑
b,b′∈Bb 6=b′
∑t|b−b′
1.
Nos multiplicamos esta desigualdade por Λ(t) e somamos sobret ∈ T . Usando ∑
t|nΛ(t) = log n,
nos obtemos
∑t∈T
(#B)2
u(t)Λ(t) ≤ (#B)
∑t∈T
Λ(t) + (log 2X )((#B)2 −#B).
�
Demonstracao do Teorema de GallagherLogo
(#B)2
u(t)≤
∑r( mod t)
∑b,b′∈B
b,b′≡r( mod t)
1
≤ #B +∑
b,b′∈Bb 6=b′
∑t|b−b′
1.
Nos multiplicamos esta desigualdade por Λ(t) e somamos sobret ∈ T . Usando ∑
t|nΛ(t) = log n,
nos obtemos∑t∈T
(#B)2
u(t)Λ(t) ≤ (#B)
∑t∈T
Λ(t) + (log 2X )((#B)2 −#B).
�
O Crivo para Quadrados PerfeitosTeorema (O Crivo para Quadrados)Seja A um conjunto finito de inteiros positivos nao-nulos
e P umconjunto de primos ımpares. Definimos
S(A) := #{α ∈ A : α e um quadrado}.
EntaoS(A) ≤ #A
#P+ max
q1 6=q2q1,q2∈P
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣+ E
onde(·
q1q2
)denota o sımbolo de Jacobi e
E := O(
1#P
∑α∈A
νP(α) +1
(#P)2
∑α∈A
νP(α)2),
νP(α) :=∑
p∈P, p|α1.
O Crivo para Quadrados PerfeitosTeorema (O Crivo para Quadrados)Seja A um conjunto finito de inteiros positivos nao-nulos e P umconjunto de primos ımpares.
Definimos
S(A) := #{α ∈ A : α e um quadrado}.
EntaoS(A) ≤ #A
#P+ max
q1 6=q2q1,q2∈P
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣+ E
onde(·
q1q2
)denota o sımbolo de Jacobi e
E := O(
1#P
∑α∈A
νP(α) +1
(#P)2
∑α∈A
νP(α)2),
νP(α) :=∑
p∈P, p|α1.
O Crivo para Quadrados PerfeitosTeorema (O Crivo para Quadrados)Seja A um conjunto finito de inteiros positivos nao-nulos e P umconjunto de primos ımpares. Definimos
S(A) := #{α ∈ A : α e um quadrado}.
EntaoS(A) ≤ #A
#P+ max
q1 6=q2q1,q2∈P
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣+ E
onde(·
q1q2
)denota o sımbolo de Jacobi e
E := O(
1#P
∑α∈A
νP(α) +1
(#P)2
∑α∈A
νP(α)2),
νP(α) :=∑
p∈P, p|α1.
O Crivo para Quadrados PerfeitosTeorema (O Crivo para Quadrados)Seja A um conjunto finito de inteiros positivos nao-nulos e P umconjunto de primos ımpares. Definimos
S(A) := #{α ∈ A : α e um quadrado}.
EntaoS(A) ≤ #A
#P+ max
q1 6=q2q1,q2∈P
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣+ E
onde(·
q1q2
)denota o sımbolo de Jacobi
e
E := O(
1#P
∑α∈A
νP(α) +1
(#P)2
∑α∈A
νP(α)2),
νP(α) :=∑
p∈P, p|α1.
O Crivo para Quadrados PerfeitosTeorema (O Crivo para Quadrados)Seja A um conjunto finito de inteiros positivos nao-nulos e P umconjunto de primos ımpares. Definimos
S(A) := #{α ∈ A : α e um quadrado}.
EntaoS(A) ≤ #A
#P+ max
q1 6=q2q1,q2∈P
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣+ E
onde(·
q1q2
)denota o sımbolo de Jacobi e
E := O(
1#P
∑α∈A
νP(α) +1
(#P)2
∑α∈A
νP(α)2),
νP(α) :=∑
p∈P, p|α1.
Demonstracao do Crivo para QuadradosComecamos por observar que se α ∈ A e um quadrado, entao
∑q∈P
(α
q
)= #P − νP(α).
Assim
S(A) ≤∑α∈A
1(#P)2
∑q∈P
(α
q
)+ νP(α)
2
. (3.1)
Apos elevarmos ao quadrado e invertermos as somas, nos obtemosque o lado direito da desigualdade (3.1) e
∑α∈A
1(#P)2
∑q1,q2∈P
(α
q1
)(α
q2
)+ 2νP(α)
∑q∈P
(α
q
)+ νP(α)2
.
Demonstracao do Crivo para QuadradosComecamos por observar que se α ∈ A e um quadrado, entao
∑q∈P
(α
q
)= #P − νP(α).
Assim
S(A) ≤∑α∈A
1(#P)2
∑q∈P
(α
q
)+ νP(α)
2
.
(3.1)
Apos elevarmos ao quadrado e invertermos as somas, nos obtemosque o lado direito da desigualdade (3.1) e
∑α∈A
1(#P)2
∑q1,q2∈P
(α
q1
)(α
q2
)+ 2νP(α)
∑q∈P
(α
q
)+ νP(α)2
.
Demonstracao do Crivo para QuadradosComecamos por observar que se α ∈ A e um quadrado, entao
∑q∈P
(α
q
)= #P − νP(α).
Assim
S(A) ≤∑α∈A
1(#P)2
∑q∈P
(α
q
)+ νP(α)
2
. (3.1)
Apos elevarmos ao quadrado e invertermos as somas, nos obtemosque o lado direito da desigualdade (3.1) e
∑α∈A
1(#P)2
∑q1,q2∈P
(α
q1
)(α
q2
)+ 2νP(α)
∑q∈P
(α
q
)+ νP(α)2
.
Demonstracao do Crivo para QuadradosComecamos por observar que se α ∈ A e um quadrado, entao
∑q∈P
(α
q
)= #P − νP(α).
Assim
S(A) ≤∑α∈A
1(#P)2
∑q∈P
(α
q
)+ νP(α)
2
. (3.1)
Apos elevarmos ao quadrado e invertermos as somas, nos obtemosque o lado direito da desigualdade (3.1) e
∑α∈A
1(#P)2
∑q1,q2∈P
(α
q1
)(α
q2
)+ 2νP(α)
∑q∈P
(α
q
)+ νP(α)2
.
Demonstracao do Crivo para Quadrados
A primeira soma e
∑q1,q2∈P
1(#P)2
∑α∈A
(α
q1
)(α
q2
)
≤ #A#P
+∑
q1,q2∈Pq1 6=q2
1(#P)2
∑α∈A
(α
q1q2
)
≤ #A#P
+ maxq1,q2∈Pq1 6=q2
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣ .E facil de ver que a contribuicao para (3.1) das ultimas somas e
E ≤ 2#P
∑α∈A
νP(α) +1
(#P)2
∑α∈A
νP(α)2.
Isto completa a demonstracao.�
Demonstracao do Crivo para Quadrados
A primeira soma e
∑q1,q2∈P
1(#P)2
∑α∈A
(α
q1
)(α
q2
)≤ #A
#P+
∑q1,q2∈Pq1 6=q2
1(#P)2
∑α∈A
(α
q1q2
)
≤ #A#P
+ maxq1,q2∈Pq1 6=q2
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣ .E facil de ver que a contribuicao para (3.1) das ultimas somas e
E ≤ 2#P
∑α∈A
νP(α) +1
(#P)2
∑α∈A
νP(α)2.
Isto completa a demonstracao.�
Demonstracao do Crivo para Quadrados
A primeira soma e
∑q1,q2∈P
1(#P)2
∑α∈A
(α
q1
)(α
q2
)≤ #A
#P+
∑q1,q2∈Pq1 6=q2
1(#P)2
∑α∈A
(α
q1q2
)
≤ #A#P
+ maxq1,q2∈Pq1 6=q2
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣ .
E facil de ver que a contribuicao para (3.1) das ultimas somas e
E ≤ 2#P
∑α∈A
νP(α) +1
(#P)2
∑α∈A
νP(α)2.
Isto completa a demonstracao.�
Demonstracao do Crivo para Quadrados
A primeira soma e
∑q1,q2∈P
1(#P)2
∑α∈A
(α
q1
)(α
q2
)≤ #A
#P+
∑q1,q2∈Pq1 6=q2
1(#P)2
∑α∈A
(α
q1q2
)
≤ #A#P
+ maxq1,q2∈Pq1 6=q2
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣ .E facil de ver que a contribuicao para (3.1) das ultimas somas e
E ≤ 2#P
∑α∈A
νP(α) +1
(#P)2
∑α∈A
νP(α)2.
Isto completa a demonstracao.�
Demonstracao do Crivo para Quadrados
A primeira soma e
∑q1,q2∈P
1(#P)2
∑α∈A
(α
q1
)(α
q2
)≤ #A
#P+
∑q1,q2∈Pq1 6=q2
1(#P)2
∑α∈A
(α
q1q2
)
≤ #A#P
+ maxq1,q2∈Pq1 6=q2
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣ .E facil de ver que a contribuicao para (3.1) das ultimas somas e
E ≤ 2#P
∑α∈A
νP(α) +1
(#P)2
∑α∈A
νP(α)2.
Isto completa a demonstracao.�
O Crivo para Quadrados Perfeitos
CorolarioSeja A um conjunto de numeros inteiros nao–nulos
e P umconjunto de numeros primos que sao coprimos com os elementosde A. Entao
S(A) = #{α ∈ A : α e um quadrado} ≤ #A#P
+ maxqq ,q2∈Pq1 6=q2
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣ .
O Crivo para Quadrados Perfeitos
CorolarioSeja A um conjunto de numeros inteiros nao–nulos e P umconjunto de numeros primos que sao coprimos com os elementosde A.
Entao
S(A) = #{α ∈ A : α e um quadrado} ≤ #A#P
+ maxqq ,q2∈Pq1 6=q2
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣ .
O Crivo para Quadrados Perfeitos
CorolarioSeja A um conjunto de numeros inteiros nao–nulos e P umconjunto de numeros primos que sao coprimos com os elementosde A. Entao
S(A) = #{α ∈ A : α e um quadrado} ≤ #A#P
+ maxqq ,q2∈Pq1 6=q2
∣∣∣∣∣∑α∈A
(α
q1q2
)∣∣∣∣∣ .
O Crivo Usando Series de Dirichlet
• P um conjunto de primos.
• P o complemento no conjunto de todos os primos.
Suponha que queremos contar a quantidade de numeros naturaisn ≤ x que nao sao divisıveis por nenhum dos primos em P. Sedefinirmos a serie de Dirichlet
F (s) =∑n≥1
anns :=
∏p∈P
(1− 1
ps
)−1,
nos vemos que an = 1 se n nao for divisıvel por nenhum p ∈ P ean = 0 caso contrario. Assim nos queremos estudar∑
n≤xan.
O Crivo Usando Series de Dirichlet
• P um conjunto de primos.• P o complemento no conjunto de todos os primos.
Suponha que queremos contar a quantidade de numeros naturaisn ≤ x que nao sao divisıveis por nenhum dos primos em P. Sedefinirmos a serie de Dirichlet
F (s) =∑n≥1
anns :=
∏p∈P
(1− 1
ps
)−1,
nos vemos que an = 1 se n nao for divisıvel por nenhum p ∈ P ean = 0 caso contrario. Assim nos queremos estudar∑
n≤xan.
O Crivo Usando Series de Dirichlet
• P um conjunto de primos.• P o complemento no conjunto de todos os primos.
Suponha que queremos contar a quantidade de numeros naturaisn ≤ x que nao sao divisıveis por nenhum dos primos em P.
Sedefinirmos a serie de Dirichlet
F (s) =∑n≥1
anns :=
∏p∈P
(1− 1
ps
)−1,
nos vemos que an = 1 se n nao for divisıvel por nenhum p ∈ P ean = 0 caso contrario. Assim nos queremos estudar∑
n≤xan.
O Crivo Usando Series de Dirichlet
• P um conjunto de primos.• P o complemento no conjunto de todos os primos.
Suponha que queremos contar a quantidade de numeros naturaisn ≤ x que nao sao divisıveis por nenhum dos primos em P. Sedefinirmos a serie de Dirichlet
F (s) =∑n≥1
anns :=
∏p∈P
(1− 1
ps
)−1,
nos vemos que an = 1 se n nao for divisıvel por nenhum p ∈ P ean = 0 caso contrario.
Assim nos queremos estudar∑n≤x
an.
O Crivo Usando Series de Dirichlet
• P um conjunto de primos.• P o complemento no conjunto de todos os primos.
Suponha que queremos contar a quantidade de numeros naturaisn ≤ x que nao sao divisıveis por nenhum dos primos em P. Sedefinirmos a serie de Dirichlet
F (s) =∑n≥1
anns :=
∏p∈P
(1− 1
ps
)−1,
nos vemos que an = 1 se n nao for divisıvel por nenhum p ∈ P ean = 0 caso contrario. Assim nos queremos estudar∑
n≤xan.
O Crivo Usando Series de DirichletTeorema (Teorema Tauberiano)Seja F (s) =
∑n≥1 an/ns uma serie de Dirichlet com coeficientes
nao–negativos convergindo para Re(s) > 1.
Suponha que F (s) seestende analiticamente em todos os pontos em Re(s) = 1 excetoem s = 1, e que em s = 1 nos podemos escrever
F (s) =H(s)
(s − 1)1−α
para algum α ∈ R e alguma H(s) holomorfica na regiao Re(s) ≥ 1e nao–nula la. Entao ∑
n≤xan ∼
cx(log x)α
comc :=
H(1)
Γ(1− α).
O Crivo Usando Series de DirichletTeorema (Teorema Tauberiano)Seja F (s) =
∑n≥1 an/ns uma serie de Dirichlet com coeficientes
nao–negativos convergindo para Re(s) > 1. Suponha que F (s) seestende analiticamente em todos os pontos em Re(s) = 1 excetoem s = 1,
e que em s = 1 nos podemos escrever
F (s) =H(s)
(s − 1)1−α
para algum α ∈ R e alguma H(s) holomorfica na regiao Re(s) ≥ 1e nao–nula la. Entao ∑
n≤xan ∼
cx(log x)α
comc :=
H(1)
Γ(1− α).
O Crivo Usando Series de DirichletTeorema (Teorema Tauberiano)Seja F (s) =
∑n≥1 an/ns uma serie de Dirichlet com coeficientes
nao–negativos convergindo para Re(s) > 1. Suponha que F (s) seestende analiticamente em todos os pontos em Re(s) = 1 excetoem s = 1, e que em s = 1 nos podemos escrever
F (s) =H(s)
(s − 1)1−α
para algum α ∈ R e alguma H(s) holomorfica na regiao Re(s) ≥ 1e nao–nula la.
Entao ∑n≤x
an ∼cx
(log x)α
comc :=
H(1)
Γ(1− α).
O Crivo Usando Series de DirichletTeorema (Teorema Tauberiano)Seja F (s) =
∑n≥1 an/ns uma serie de Dirichlet com coeficientes
nao–negativos convergindo para Re(s) > 1. Suponha que F (s) seestende analiticamente em todos os pontos em Re(s) = 1 excetoem s = 1, e que em s = 1 nos podemos escrever
F (s) =H(s)
(s − 1)1−α
para algum α ∈ R e alguma H(s) holomorfica na regiao Re(s) ≥ 1e nao–nula la. Entao ∑
n≤xan ∼
cx(log x)α
comc :=
H(1)
Γ(1− α).
ExemploConsideremos o problema de contar o numero de numeros naturaisn ≤ x que podem ser escritos como a soma de dois quadrados.
Ebem conhecido que n pode ser escrito como uma soma de doisquadrados se e somente se para todo primo p ≡ 3( mod 4) dividindon, a potencia de p aparecendo na fatoracao unica de n e par.Assim, an = 1 sempre que n puder ser escrito como uma soma dedois quadrados e e 0 caso contrario, nos entao vemos que
F (s) :=∑n≥1
anns
=
(1− 1
2s
)−1 ∏p≡1( mod 4)
(1− 1
ps
)−1 ∏p≡3( mod 4)
(1− 1
p2s
)−1.
Agora nos precisamos invocar algumas propriedades basicas dafuncao zeta de Riemann ζ(s) e de funcoes L de Dirichlet L(s, χ4)associado com o caractere quadratico χ4.
ExemploConsideremos o problema de contar o numero de numeros naturaisn ≤ x que podem ser escritos como a soma de dois quadrados. Ebem conhecido que n pode ser escrito como uma soma de doisquadrados se e somente se para todo primo p ≡ 3( mod 4) dividindon, a potencia de p aparecendo na fatoracao unica de n e par.
Assim, an = 1 sempre que n puder ser escrito como uma soma dedois quadrados e e 0 caso contrario, nos entao vemos que
F (s) :=∑n≥1
anns
=
(1− 1
2s
)−1 ∏p≡1( mod 4)
(1− 1
ps
)−1 ∏p≡3( mod 4)
(1− 1
p2s
)−1.
Agora nos precisamos invocar algumas propriedades basicas dafuncao zeta de Riemann ζ(s) e de funcoes L de Dirichlet L(s, χ4)associado com o caractere quadratico χ4.
ExemploConsideremos o problema de contar o numero de numeros naturaisn ≤ x que podem ser escritos como a soma de dois quadrados. Ebem conhecido que n pode ser escrito como uma soma de doisquadrados se e somente se para todo primo p ≡ 3( mod 4) dividindon, a potencia de p aparecendo na fatoracao unica de n e par.Assim, an = 1 sempre que n puder ser escrito como uma soma dedois quadrados e e 0 caso contrario,
nos entao vemos que
F (s) :=∑n≥1
anns
=
(1− 1
2s
)−1 ∏p≡1( mod 4)
(1− 1
ps
)−1 ∏p≡3( mod 4)
(1− 1
p2s
)−1.
Agora nos precisamos invocar algumas propriedades basicas dafuncao zeta de Riemann ζ(s) e de funcoes L de Dirichlet L(s, χ4)associado com o caractere quadratico χ4.
ExemploConsideremos o problema de contar o numero de numeros naturaisn ≤ x que podem ser escritos como a soma de dois quadrados. Ebem conhecido que n pode ser escrito como uma soma de doisquadrados se e somente se para todo primo p ≡ 3( mod 4) dividindon, a potencia de p aparecendo na fatoracao unica de n e par.Assim, an = 1 sempre que n puder ser escrito como uma soma dedois quadrados e e 0 caso contrario, nos entao vemos que
F (s) :=∑n≥1
anns
=
(1− 1
2s
)−1 ∏p≡1( mod 4)
(1− 1
ps
)−1 ∏p≡3( mod 4)
(1− 1
p2s
)−1.
Agora nos precisamos invocar algumas propriedades basicas dafuncao zeta de Riemann ζ(s) e de funcoes L de Dirichlet L(s, χ4)associado com o caractere quadratico χ4.
ExemploConsideremos o problema de contar o numero de numeros naturaisn ≤ x que podem ser escritos como a soma de dois quadrados. Ebem conhecido que n pode ser escrito como uma soma de doisquadrados se e somente se para todo primo p ≡ 3( mod 4) dividindon, a potencia de p aparecendo na fatoracao unica de n e par.Assim, an = 1 sempre que n puder ser escrito como uma soma dedois quadrados e e 0 caso contrario, nos entao vemos que
F (s) :=∑n≥1
anns
=
(1− 1
2s
)−1 ∏p≡1( mod 4)
(1− 1
ps
)−1 ∏p≡3( mod 4)
(1− 1
p2s
)−1.
Agora nos precisamos invocar algumas propriedades basicas dafuncao zeta de Riemann ζ(s) e de funcoes L de Dirichlet L(s, χ4)associado com o caractere quadratico χ4.
ExemploConsideremos o problema de contar o numero de numeros naturaisn ≤ x que podem ser escritos como a soma de dois quadrados. Ebem conhecido que n pode ser escrito como uma soma de doisquadrados se e somente se para todo primo p ≡ 3( mod 4) dividindon, a potencia de p aparecendo na fatoracao unica de n e par.Assim, an = 1 sempre que n puder ser escrito como uma soma dedois quadrados e e 0 caso contrario, nos entao vemos que
F (s) :=∑n≥1
anns
=
(1− 1
2s
)−1 ∏p≡1( mod 4)
(1− 1
ps
)−1 ∏p≡3( mod 4)
(1− 1
p2s
)−1.
Agora nos precisamos invocar algumas propriedades basicas dafuncao zeta de Riemann ζ(s) e de funcoes L de Dirichlet L(s, χ4)associado com o caractere quadratico χ4.
Funcao Zeta ζ(s) e Dirichlet L–funcaoPor definicao
ζ(s) :=∑n≥1
1ns , L(s, χ4) :=
∑n≥1
χ4(n)
ns
para s ∈ C com Re(s) > 1.
Aqui, χ4(n) e 0 se n e par e(−1)(n−1)/2 se n ımpar. Usando o produto de Euler para ζ(s) eL(s, χ4) nos escrevemos
F (s) = [ζ(s)L(s, χ4)]1/2H1(s),
onde H1(s) e analıtica e diferente de zero para Re(s) > 1/2. ComoL(s, χ4) se estende para uma funcao inteira e e nao–nula paraRe(s) ≥ 1, nos temos
F (s) = ζ(s)1/2H2(s)
para alguma funcao H2(s) holomorfica e nao–nula em Re(s) ≥ 1.
Funcao Zeta ζ(s) e Dirichlet L–funcaoPor definicao
ζ(s) :=∑n≥1
1ns , L(s, χ4) :=
∑n≥1
χ4(n)
ns
para s ∈ C com Re(s) > 1. Aqui, χ4(n) e 0 se n e par e(−1)(n−1)/2 se n ımpar.
Usando o produto de Euler para ζ(s) eL(s, χ4) nos escrevemos
F (s) = [ζ(s)L(s, χ4)]1/2H1(s),
onde H1(s) e analıtica e diferente de zero para Re(s) > 1/2. ComoL(s, χ4) se estende para uma funcao inteira e e nao–nula paraRe(s) ≥ 1, nos temos
F (s) = ζ(s)1/2H2(s)
para alguma funcao H2(s) holomorfica e nao–nula em Re(s) ≥ 1.
Funcao Zeta ζ(s) e Dirichlet L–funcaoPor definicao
ζ(s) :=∑n≥1
1ns , L(s, χ4) :=
∑n≥1
χ4(n)
ns
para s ∈ C com Re(s) > 1. Aqui, χ4(n) e 0 se n e par e(−1)(n−1)/2 se n ımpar. Usando o produto de Euler para ζ(s) eL(s, χ4) nos escrevemos
F (s) = [ζ(s)L(s, χ4)]1/2H1(s),
onde H1(s) e analıtica e diferente de zero para Re(s) > 1/2.
ComoL(s, χ4) se estende para uma funcao inteira e e nao–nula paraRe(s) ≥ 1, nos temos
F (s) = ζ(s)1/2H2(s)
para alguma funcao H2(s) holomorfica e nao–nula em Re(s) ≥ 1.
Funcao Zeta ζ(s) e Dirichlet L–funcaoPor definicao
ζ(s) :=∑n≥1
1ns , L(s, χ4) :=
∑n≥1
χ4(n)
ns
para s ∈ C com Re(s) > 1. Aqui, χ4(n) e 0 se n e par e(−1)(n−1)/2 se n ımpar. Usando o produto de Euler para ζ(s) eL(s, χ4) nos escrevemos
F (s) = [ζ(s)L(s, χ4)]1/2H1(s),
onde H1(s) e analıtica e diferente de zero para Re(s) > 1/2. ComoL(s, χ4) se estende para uma funcao inteira e e nao–nula paraRe(s) ≥ 1, nos temos
F (s) = ζ(s)1/2H2(s)
para alguma funcao H2(s) holomorfica e nao–nula em Re(s) ≥ 1.
Continuacao do ExemploUsando o fato que a funcao zeta de Riemann tem um polo simplesem s = 1
e que e analıtica e nao–nula para Re(s) = 1, nosdeduzimos que
F (s) =H(s)
(s − 1)1/2 ,
com H(s) holomorfica e nao–nula na regiao Re(s) ≥ 1. Peloteorema Tauberiano citado acima nos obtemos:
TeoremaO numero de n ≤ x que podem ser escritos como a soma de doisquadrados e
∼ cx√log x
para algum c > 0, quando x →∞.
Continuacao do ExemploUsando o fato que a funcao zeta de Riemann tem um polo simplesem s = 1 e que e analıtica e nao–nula para Re(s) = 1,
nosdeduzimos que
F (s) =H(s)
(s − 1)1/2 ,
com H(s) holomorfica e nao–nula na regiao Re(s) ≥ 1. Peloteorema Tauberiano citado acima nos obtemos:
TeoremaO numero de n ≤ x que podem ser escritos como a soma de doisquadrados e
∼ cx√log x
para algum c > 0, quando x →∞.
Continuacao do ExemploUsando o fato que a funcao zeta de Riemann tem um polo simplesem s = 1 e que e analıtica e nao–nula para Re(s) = 1, nosdeduzimos que
F (s) =H(s)
(s − 1)1/2 ,
com H(s) holomorfica e nao–nula na regiao Re(s) ≥ 1.
Peloteorema Tauberiano citado acima nos obtemos:
TeoremaO numero de n ≤ x que podem ser escritos como a soma de doisquadrados e
∼ cx√log x
para algum c > 0, quando x →∞.
Continuacao do ExemploUsando o fato que a funcao zeta de Riemann tem um polo simplesem s = 1 e que e analıtica e nao–nula para Re(s) = 1, nosdeduzimos que
F (s) =H(s)
(s − 1)1/2 ,
com H(s) holomorfica e nao–nula na regiao Re(s) ≥ 1. Peloteorema Tauberiano citado acima nos obtemos:
TeoremaO numero de n ≤ x que podem ser escritos como a soma de doisquadrados e
∼ cx√log x
para algum c > 0, quando x →∞.
Continuacao do ExemploUsando o fato que a funcao zeta de Riemann tem um polo simplesem s = 1 e que e analıtica e nao–nula para Re(s) = 1, nosdeduzimos que
F (s) =H(s)
(s − 1)1/2 ,
com H(s) holomorfica e nao–nula na regiao Re(s) ≥ 1. Peloteorema Tauberiano citado acima nos obtemos:
TeoremaO numero de n ≤ x que podem ser escritos como a soma de doisquadrados e
∼ cx√log x
para algum c > 0, quando x →∞.