Introdução aos
Grupos de Matrizes
Mauro Patrão
UnB - 2010
2
Sumário
Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Séries de Funções 7
1.1 Norma de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Critério de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Critério de diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Exponencial 15
2.1 Norma de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Derivada do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Definição da exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Propriedades da exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Comutador de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Limites de Produtos 23
3.1 Produto e comutador de exponenciais . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Logaritmo do produto e do comutador . . . . . . . . . . . . . 243.3 Exponencial da soma e do comutador . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Homomorfismos 29
4.1 Grupo de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Álgebra de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Grupos a um parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4 Homomorfismos derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Grupos Euclideanos 37
5.1 Grupos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Carta da identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
4 SUMÁRIO
A Exercícios 41
A.1 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.2 Grupos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.3 Álgebras de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.4 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A.5 Grupos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45A.6 Grupos euclideanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
SUMÁRIO 5
Prefácio
Essas notas surgiram de uma experiência colaborativa na internet. Duranteo segundo semestre de 2009, juntamente com os estudantes Fernando Luca-telli e Thiago Ribeiro, elaboramos um material de introdução aos grupos dematrizes no Blog do Grupo de Teoria de Lie e Dinâmica da Universidade deBrasília, localizado no seguinte endereço eletrônico:
www.liedinamica.wordpress.com
Este material foi estruturado diretamente dentro do Blog e foi utilizadocomo referência bibliográfica o seguinte artigo de divulgação matemática:
Roger Howe. Very Basic Lie Theory. The American Mathematical Monthly,Vol. 90, No. 9 (Nov., 1983), pp. 600-623.
O artigo acima tem como objetivo fornecer uma abordagem elementarpara os fundamentos dos grupos de matrizes, evitando a utilização da teoriade variedades diferenciáveis, de modo a permitir que este assunto seja acessí-vel a estudantes no final de uma graduação em matemática. Apesar de seuobjetivo explícito, o artigo de R. Howe possui duas falhas que prejudicam asua eficácia. Por um lado, apresenta algumas demonstrações com excessivadensidade analítica e que se estendem por algumas páginas. Por outro lado,não apresenta uma abordagem auto-contida, de modo que alguns conceitose resultados centrais ao assunto são apresentados sem suas respectivas jus-tificativas. Isso ocorre por exemplo na definição da função exponencial dematrizes e em algumas de suas propriedades básicas, como sua diferenciabi-lidade, apresentada sem qualquer demonstração.
O presente texto procurou suprir estas duas dificuldades presentes notexto de R. Howe. O material foi elaborado para ser utilizado num mini-curso com cinco aulas, de modo que em cada aula fosse abordado um dos seuscinco capítulos. Os pré-requisitos são um curso básico de álgebra linear, umbom curso de análise no Rn e algumas noções de teoria dos grupos. No finaldo texto, encontram-se uma lista com diversos exercícios para o estudantetreinar os conceitos apresentados. Pretendemos divulgar as respostas dessesexercícios no endereço acima do Blog do Grupo de Teoria de Lie e Dinâmicada Universidade de Brasília.
Aproveito a oportunidade para agradecer ao meu orientando FernandoLucatelli pela ajuda na revisão desse material, alertando que as falhas rema-nescentes são de minha inteira responsabilidade.
6 SUMÁRIO
Capítulo 1
Séries de Funções
Denotamos por C(B,Rd) o conjunto das funções contínuas de B em Rd, ondeB ⊂ Rp é uma bola fechada (portanto compacta, por estarmos num espaçovetorial de dimensão finita). Temos que C(B,Rd) é um espaço vetorial.
1.1 Norma de funções
Seja |·| uma norma em Rd. Para podermos falar em convergência de se-qüências e de séries, introduzimos uma norma em C(B,Rd). Note que nemtodas as normas nesse espaço vetorial são equivalentes, afinal não se trata deum espaço vetorial de dimensão finita. Logo é de fundamental importânciadeixar explícito qual norma estamos usando. Dado F ∈ C(B,Rd), definimos
‖F‖ = maxX∈B
|F (X)| ,
que está bem definido, pois B é compacto.
Lema 1.1 A função ‖·‖ é uma norma em C(B,Rd).
Prova: Para provar que ‖·‖ é uma função norma, devemos provar que elasatisfaz às seguintes propriedades:
1. F 6= 0 =⇒ ‖F‖ > 0,
2. ‖λF‖ = |λ| ‖F‖,
3. ‖E + F‖ ≤ ‖E‖+ ‖F‖.
7
8 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES
1. Com efeito, seja F ∈ C(B,Rd) uma função não nula. Segue que existeY ∈ B tal que F (Y ) 6= 0. Logo |F (Y )| > 0. E, então, segue que
‖F‖ = maxX∈B
|F (X)| ≥ |F (Y )| > 0.
2. Dados λ ∈ R e F ∈ C(B,Rd). Temos, pela compacidade de B, que existeY ∈ B tal que ‖F‖ = max
X∈B|F (X)| = |F (Y )|. Segue então que
|λ| |F (Y )| ≥ |λ| |F (X)| ,
para todo X ∈ B. Ou seja, temos que
|λF (Y )| ≥ |λF (X)| ,
para todo X ∈ B. Isso provou que
‖λF‖ = maxX∈B
|λF (X)| = |λF (Y )| = |λ| |F (Y )| = |λ| ‖F‖ .
3. Para provar a desigualdade triangular, temos que existem Y,W,Z ∈ Btais que
‖E‖ = maxX∈B
|E(X)| = |E(Y )|, ‖F‖ = maxX∈B
|F (X)| = |F (W )|
e‖E + F‖ = max
X∈B|(E + F )(X)| = |(E + F )(Z)|
Segue então que
|E(Y )|+ |F (W )| ≥ |E(X)|+ |F (X)| ≥ |E(X) + F (X)|
para todo X ∈ B. E, assim, como Z ∈ B, temos que
|E(Y )|+ |F (W )| ≥ |(E + F )(Z)|,
o que equivale a ‖E‖+ ‖F‖ ≥ ‖E + F‖.�
1.2. CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA 9
1.2 Critério de convergência
Uma seqüência de vetores no espaço vetorial C(B,Rd) é denotada por (Fk).Dizemos que (Fk) converge se existe F ∈ C(B,Rq) tal que
‖Fk − F‖ → 0.
Dada uma seqüência (Fk) em C(B,Rd), sua série C(B,Rd) é denotada por
∑
Fk é o limite da seqüência das somas parciaisl∑
k=0
Fk, quando este limite
existe em C(B,Rd). Nesse caso, temos que∥
∥
∥
∥
∥
∑
Fk −l∑
k=0
Fk
∥
∥
∥
∥
∥
→ 0.
Proposição 1.2 Seja (Fk) uma sequência de funções em C(B,Rd). Se existe
uma sequência numérica (Mk) tal que a série∑
Mk é convergente e tal que
‖Fk‖ ≤ Mk, para todo k ∈ N, então a série∑
Fk é convergente.
Prova: Dado X ∈ B, temos que |Fk(X)| ≤ ‖F‖ ≤ Mk e, então, pelo teste dacomparação, temos que
∑
|Fk(X)| converge. Definimos S(X) =∑
Fk(X).Como temos que
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
k=0
Fk(X)−l∑
k=0
Fk(X)
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
k=l+1
Fk(X)
∣
∣
∣
∣
∣
≤m∑
k=l+1
|Fk(X)|
≤m∑
k=l+1
Mk ≤∑
k>l
Mk,
tomando o limite m → ∞, segue que∣
∣
∣
∣
∣
S(X)−l∑
k=0
Fk(X)
∣
∣
∣
∣
∣
≤∑
k>l
Mk,
para todo X ∈ B e para todo l ∈ N.
10 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES
Agora, provamos que S ∈ C(B,Rd). Como∑
Mk é convergente, dado
ε > 0, existe l ∈ N tal que∑
k>l
Mk <ε
4. Por outro lado, temos que
l∑
k=0
Fk ∈ C(B,Rd) e, pela compacidade de B, segue quel∑
k=0
Fk é unifor-
memente contínua. Logo existe δ > 0 tal que
∣
∣
∣
∣
∣
l∑
k=0
Fk(X)−l∑
k=0
Fk(Y )
∣
∣
∣
∣
∣
<ε
2,
sempre que |X − Y | < δ. Portanto
|S(X)− S(Y )| ≤
∣
∣
∣
∣
∣
S(X)−l∑
k=0
Fk(X)
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
l∑
k=0
Fk(X)−l∑
k=0
Fk(Y )
∣
∣
∣
∣
∣
+
+
∣
∣
∣
∣
∣
l∑
k=0
Fk(Y )− S(Y )
∣
∣
∣
∣
∣
≤ 2∑
k>l
Mk +ε
2< 2
ε
4+
ε
2= ε,
sempre que |X − Y | < δ, o que prova que S é contínua.
Como temos que∣
∣
∣S(X)−
∑lk=0 Fk(X)
∣
∣
∣≤∑
k>l Mk, para todo X ∈ B
e para todo l ∈ N, segue que∥
∥
∥S −
∑lk=0 Fk
∥
∥
∥≤∑
k>l Mk, completando a
demonstração, uma vez que∑
Mk é convergente. �
1.3 Critério de diferenciabilidade
Agora supomos que p = 1. Neste caso, B é um intervalo fechado e, portanto,será denotado por J . Uma função F ∈ C(J,Rd) é inteiramente determinadapelas funções coordenadas, ou seja, as funções F1, . . . , Fd ∈ C(J,R) tais queF (x) = (F1(x), . . . , Fd(x)). Por exemplo, a função F é contínua se e sóse todas suas funções coordenadas são contínuas. Temos também que F éderivável se e só se todas as funções coordenadas são deriváveis e, além disso,quando isso acontece, temos que
F ′(x) = (F ′1(x), . . . , F
′d(x)).
1.3. CRITÉRIO DE DIFERENCIABILIDADE 11
O mesmo acontece no caso da integração. Uma função F : J → Rd éintegrável se e só se as funções coordenadas são integráveis. A primitiva deF (se houver) é a d-upla das primitivas das funções coordenadas, e a integraldefinida de F é a d-upla das integrais definidas de suas funções coordenadas,ou seja,
∫ b
a
F (τ)dτ =
(∫ b
a
F1(τ)dτ, . . . ,
∫ b
a
Fd(τ)dτ
)
.
Note que toda função em C(J,Rd) é integrável, uma vez que as funçõescoordenadas dessa função são contínuas e, portanto, integráveis.
O próximo passo é provar um resultado sobre a derivada de séries defunções contínuas e deriváveis. Para isso, necessitamos do seguinte lema.
Lema 1.3 Se F ∈ C(J,Rd), então existe c ∈ R tal que
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
F (τ)dτ
∣
∣
∣
∣
≤ c
∫ t
0
|F (τ)|dτ.
Prova: Pela equivalência entre as normas em Rd, existem constantes po-sitivas b, c ∈ R tais que |X| ≤ bmax{|X1|, . . . , |Xd|} ≤ c|X|, onde X =(X1, . . . , Xd) ∈ Rd. Temos, então, que
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
F (τ)dτ
∣
∣
∣
∣
≤ bmax
{∣
∣
∣
∣
∫ t
0
F1(τ)dτ
∣
∣
∣
∣
, . . . ,
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
Fd(τ)dτ
∣
∣
∣
∣
}
,
onde Fi é a i-ésima função coordenada de F . Pela monotonicidade da integrale como
−|Fi(τ)| ≤ Fi(τ) ≤ |Fi(τ)|,
temos que∣
∣
∣
∣
∫ t
0
Fi(τ)dτ
∣
∣
∣
∣
≤
∫ t
0
|Fi(τ)|dτ.
Isto implica que∣
∣
∣
∣
∫ t
0
F (τ)dτ
∣
∣
∣
∣
≤ bmax
{∫ t
0
|F1(τ)|dτ, . . . ,
∫ t
0
|Fd(τ)|dτ
}
= max
{∫ t
0
b|F1(τ)|dτ, . . . ,
∫ t
0
b|Fd(τ)|dτ
}
≤
∫ t
0
c|F (τ)|dτ.
12 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES
�
Proposição 1.4 Seja (Fk) uma seqüência de funções deriváveis em C(J,Rd)tal que (F ′
k) também está em C(J,Rd). Se existe uma seqüência de números
reais (Mk) tal que a série∑
Mk é convergente e tal que ‖Fk‖ , ‖F′k‖ ≤ Mk,
para todo k ∈ N, então(
∑
Fk
)′
=∑
F ′k.
Prova: Pela Proposição 1.2 , temos que as séries S =∑
Fk e T =∑
F ′k
são ambas convergentes. Devemos provar que S ′ = T . Pela definição de
convergencia de séries, temos que
∥
∥
∥
∥
∥
T −l∑
k=0
F ′k
∥
∥
∥
∥
∥
→ 0 , quando l → ∞.
Para t ∈ J , pelo teorema fundamental do cálculo, temos que
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
T (τ)dτ −l∑
k=0
(Fk(t)− Fk(0))
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
T (τ)dτ −l∑
k=0
(∫ t
0
F ′k(τ)dτ
)
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
T (τ)dτ −
∫ t
0
(
l∑
k=0
F ′k(τ)
)
dτ
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
(
T (τ)−l∑
k=0
F ′k(τ)
)
dτ
∣
∣
∣
∣
∣
.
Portanto segue do lema precedente que existe uma constante c ∈ R tal que∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
T (τ)dτ −l∑
k=0
(Fk(t)− Fk(0))
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
(
T (τ)−l∑
k=0
F ′k(τ)
)
dτ
∣
∣
∣
∣
∣
≤ c
∫ t
0
∣
∣
∣
∣
∣
T (τ)−l∑
k=0
F ′k(τ)
∣
∣
∣
∣
∣
dτ
≤ c |t− 0|
∥
∥
∥
∥
∥
T −l∑
k=0
F ′k
∥
∥
∥
∥
∥
→ 0,
quando l → ∞. Portanto, pelo teorema do sanduíche, quando l → ∞, temosque
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
T (τ)dτ −l∑
k=0
(Fk(t)− Fk(0))
∣
∣
∣
∣
∣
→ 0.
1.3. CRITÉRIO DE DIFERENCIABILIDADE 13
Segue então que∑
(Fk(t)− Fk(0)) =
∫ t
0
T (τ)dτ,
mostrando que
S(t)− S(0) =
∫ t
0
T (τ)dτ.
Pelo teorema fundamental do cálculo, isso implica S ′ = T . �
14 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES
Capítulo 2
Exponencial
O trabalho neste capítulo estará estreitamente ligado ao espaço das matrizesquadradas Rn2
. Esse espaço pode ser identificado por um isomorfismo (dabase canônica) com o espaço das transformações lineares L(Rn,Rn) .
2.1 Norma de operadores
Lembramos que todas as normas no espaço vetorial Rn2são equivalentes, por
se tratar de um espaço vetorial de dimensão finita. Vamos definir, aqui, umanorma que nos é conveniente. Dada uma matriz X ∈ R
n2, a transformação
linear identificada pelo isomorfismo é tal que associa cada vetor v ∈ Rn aovetor Xv ∈ Rn, onde Xv é o produto usual da matriz quadrada X pela matrizcoluna v. A aplicação v 7→ |Xv| é contínua e portanto assume o máximo nodomínio compacto {v ∈ Rn : |v| = 1}. Dada uma matriz X ∈ Rn2
, podemosentão definir
|X| = max|v|=1
|Xv|.
Lema 2.1 Temos que |·| é uma norma em Rn2
satisfazendo
|XY | ≤ |X| |Y | ,
para quaisquer X, Y ∈ Rn2. Em particular,
∣
∣Xk∣
∣ ≤ |X|k ,
para todo X ∈ Rn2.
15
16 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL
Prova: A demonstração de que se trata de uma norma é idêntica àquela apre-sentada no Lema 1.1, bastando trocar o domínio B por {v ∈ Rn : |v| = 1}.Sejam X, Y ∈ Rn2
. Dado v ∈ Rn com |v| = 1, temos que
|XY v| =
∣
∣
∣
∣
X
(
Y v
|Y v|
)∣
∣
∣
∣
|Y v| ≤ |Y | |X| ,
uma vez que |v| = 1 e∣
∣
∣
Y v|Y v|
∣
∣
∣= 1. Portanto, em particular, temos que
|XY | ≤ |Y | |X|.Para provar que
∣
∣Xk∣
∣ ≤ |X|k, basta fazer indução sobre k. �
2.2 Derivada do produto
Para funções em C(J,Rn2), vale uma regra de derivação, enunciada e provada
abaixo, que é análoga à regra do produto para funções em R.
Lema 2.2 Se F,G ∈ C(J,Rn2) são diferenciáveis, então, para todo t ∈ J ,
(F (t)G(t))′ = F ′(t)G(t) + F (t)G′(t).
Em particular, temos que, para todo t ∈ J ,
(F (t)k)′ =
k∑
l=1
F (t)l−1F ′(t)F (t)k−l.
Prova: A entrada (i, j) da matriz F (t)G(t) é dada pork∑
l=1
Fil(t)Glj(t). A
derivada dessa expressão nos fornece a entrada (i, j) da matriz (F (t)G(t)))′.Utilizando as regras da soma e do produto, obtemos que
(
k∑
l=1
Fil(t)Glj(t)
)′
=
k∑
l=1
F ′il(t)Glj(t) +
k∑
l=1
Fil(t)G′lj(t),
que é igual a entrada (i, j) da matriz F ′(t)G(t) + F (t)G′(t).A segunda afirmação é demonstrada por indução. Temos que
(F (t))′ = F ′(t) =
1∑
l=1
F (t)l−1F ′(t)F (t)1−l.
2.3. DEFINIÇÃO DA EXPONENCIAL 17
Se a fórmula é verdadeira para k − 1, então
(F (t)k)′ = (F (t)F (t)k−1)′
= F ′(t)F (t)k−1 + F (t)(F (t)k−1)′
= F ′(t)F (t)k−1 + F (t)k−1∑
l=1
F (t)l−1F ′(t)F (t)k−1−l
= F ′(t)F (t)k−1 +
k−1∑
l=1
F (t)lF ′(t)F (t)k−1−l
= F ′(t)F (t)k−1 +
k∑
l=2
F (t)l−1F ′(t)F (t)k−l
=k∑
l=1
F (t)l−1F ′(t)F (t)k−l,
completando, portanto, a demonstração por indução. �
2.3 Definição da exponencial
Sejam B ⊂ Rn2uma bola fechada de centro 0 e raio R qualquer e J um
intervalo fechado e limitado de centro 0 na reta. Nos próximos resultados,estamos interessados nos espaços C(B,Rn2
) e C(J,Rn2
) munidos da norma‖·‖ definida na Seção 1. Dado um inteiro k ≥ 0, denotamos por Pk a funçãopotência de grau k, de modo que
Pk(X) = Xk.
Proposição 2.3 Temos que Pk ∈ C(B,Rn2) e que a série
E =∑ Pk
k!
converge em C(B,Rn2).
Prova: A continuidade de Pk segue do fato de que as entradas de Xk sãopolinômios das entradas de X. Pelo Lema 2.1, temos que
‖Pk‖ = maxX∈B
|Pk(X)| = maxX∈B
∣
∣Xk∣
∣ ≤ maxX∈B
|X|k ≤ Rk.
18 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL
Logo, para todo inteiro k ≥ 0, temos que∥
∥
∥
∥
Pk
k!
∥
∥
∥
∥
=‖Pk‖
k!≤
Rk
k!.
Como∑ Rk
k!= eR, pela proposição 1.2 do capítulo 1, segue que
∑ Pk
k!converge em C(B,Rn2
). �
A aplicação E ∈ C(B,Rn2) , definida acima, é denominada exponencial
de matrizes. Dado X ∈ Rn2, denotamos
eX = E(X) =∑ Xk
k!.
2.4 Propriedades da exponencial
Vamos mostrar que de fato ela satisfaz as principais propriedades da funçãoexponencial de números reais. Uma função é de classe C1 se e só se todas assuas derivadas direcionais são contínuas.
Teorema 2.4 A função E é de classe C1 e sua derivada na origem E ′(0) é
a aplicação identidade. Além disso, a função t 7→ etX satisfaz
(etX)′ = XetX ,
para todo t ∈ J .
Prova: Se F ∈ C(J,Rn2) é dada por F (t) = Y + tX, então F (0) = Y e
F ′(t) = X, para todo t ∈ J . Para cada k ≥ 0, definimos Fk ∈ C(J,Rn2) por
Fk(t) =F (t)k
k!. Pelo Lema 1.2, segue que
F ′k(t) =
1
k!
k∑
l=1
F (t)l−1XF (t)k−l.
Temos então que, para todo t ∈ J ,
|Fk(t)| ≤|F (t)|k
k!≤
‖F‖k
k!
2.4. PROPRIEDADES DA EXPONENCIAL 19
e que
|F ′k(t)| ≤
1
k!
k∑
l=1
|F (t)|l−1 |X| |F (t)|k−l = |X|‖F‖k−1
(k − 1)!.
Portanto seguem as desigualdades
‖Fk‖ ≤‖F‖k
k!e ‖F ′
k‖ ≤ |X|‖F‖k−1
(k − 1)!.
Como∑ ‖F‖k
k!= e‖F‖
e também∑
k≥1
|X|‖F‖k−1
(k − 1)!= |X| e‖F‖,
segue, pela Proposição 1.4, que
(E(F (t)))′ =(
∑
Fk(t))′
=∑
k≥1
F ′k(t).
Temos que a derivada direcional de E no ponto Y ∈ B e na direção X édada por
∂XE(Y ) = (E(F (t)))′t=0 =∑
k≥1
Gk(Y ),
onde
Gk(Y ) = F ′k(0) =
1
k!
k∑
l=1
Y l−1XY k−l.
Como |Y | ≤ R, temos então que
|Gk(Y )| ≤1
k!
k∑
l=1
|Y |l−1|X||Y |k−l
≤ |X|Rk−1
(k − 1)!,
mostrando que
‖Gk‖ ≤ |X|Rk−1
(k − 1)!.
20 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL
Como∑
k≥1
|X|Rk−1
(k − 1)!= |X|eR,
segue, pela Proposição 1.2, que ∂XE =∑
k≥1Gk ∈ C(B,Rn2), mostrando
que E é de classe C1.Por outro lado, temos que a derivada de E na origem é dada por
E ′(0)X = ∂XE(0) =∑
k≥1
Gk(0) = X,
mostrando que E ′(0) é a aplicação identidade.Quando Y = 0, temos que
Fk(t) =(tX)k
k!=
tk
k!Xk
e então
F ′k(t) =
tk−1
(k − 1)!Xk = X
(tX)k−1
(k − 1)!.
Nesse caso, temos que, para todo t ∈ J ,
(etX)′ = (E(F (t)))′ =∑
k≥1
X(tX)k−1
(k − 1)!= XetX .
�
2.5 Comutador de matrizes
O comutador entre as matrizes X e Y é a matriz dada por
[X, Y ] = XY − Y X.
É fácil de notar que duas matrizes X, Y comutam se e só se [X, Y ] = 0.
Proposição 2.5 Temos que eX+Y = eXeY , sempre que [X, Y ] = 0.
2.5. COMUTADOR DE MATRIZES 21
Prova: Pelo teorema da existência e unicidade de equações diferenciais,basta mostrarmos que O(t) = et(X+Y ) e P (t) = etXetY satisfazem o mesmoproblema de valor inicial. Pela Teorema 2.4, temos que O′(t) = (X+Y )O(t)e que O(0) = I. Por outro lado, temos que que P (0) = I e, pela regra doproduto, segue que
P ′(t) = XetXetY + etXY etY
= (X + Y )etXetY
= (X + Y )P (t)
onde utilizamos que o fato que Y comuta com etX , já que comuta com X. �
Corolário 2.5.1 Sejam X, Y ∈ Rn2. Temos que [X, Y ] = 0 se e só se
etXesY = esY etX para todo t ∈ R e todo s ∈ R.
Prova: Dados t, s ∈ R, se [X, Y ] = 0, segue, evidentemente, que [tX, sY ] =0. Logo, pelo teorema precedente, etXesY = etX+sY = esY+tX = esY etX . Re-ciprocamente, supõe-se que etXesY = esY etX para todo t ∈ R e todo s ∈ R.Derivando em relação a s em s = 0, tem-se que etXY = Y etX . E, derivandoem relação a t em t = 0, tem-se XY = Y X. Isso completa a prova da recí-proca. �
22 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL
Capítulo 3
Limites de Produtos
Fazendo uso dos resultados dos capítulos anteriores, demonstramos algunsresultados fundamentais para os próximos capítulos.
3.1 Produto e comutador de exponenciais
Definimos
P (t) = etXetY , e C(t) = e−tXe−tY etXetY
para t num intervalo real de centro 0.
Proposição 3.1 Temos que P (0) = C(0) = I, que
P ′(0) = X + Y, C ′(0) = 0
e que
P ′′(0) = X2 + 2XY + Y 2, C ′′(0) = 2[X, Y ].
Prova: A igualdade P (0) = C(0) = I é imediata de e0 = I. Usando a regrado produto, temos que
P ′(t) = XetXetY + etXY etY ,
mostrando que P ′(0) = X + Y. Temos que C(t) = T (t)P (t), onde
T (t) = P (−t), T ′(t) = −P ′(−t) e T ′′(t) = P ′′(−t).
23
24 CAPÍTULO 3. LIMITES DE PRODUTOS
Pela regra do produto, segue que
C ′(0) = T (0)P ′(0) + T ′(0)P (0) = P ′(0) + T ′(0) = 0.
Temos queP ′′(t) = X2etXetY + 2XetXY etY + etXY 2etY ,
de onde segue que
P ′′(0) = X2 + 2XY + Y 2 = T ′′(0).
Novamente pela regra do produto, segue que
C ′′(0) = T (0)P ′′(0) + T ′(0)P ′(0) + T ′(0)P ′(0) + T ′′(0)P (0)
= 2(P ′′(0)− P ′(0)2)
= 2(X2 + 2XY + Y 2 − (X + Y )2)
= 2[X, Y ].
�
3.2 Logaritmo do produto e do comutador
Como a derivada da exponencial E na origem é a identidade (ver Teorema2.4), pelo teorema da função inversa, segue que E é um difeomorfismo deuma vizinhança V da origem com uma vizinhança U de E(0) = I. Assimestá definido em U a função logaritmo E−1, de modo que podemos definir
Q(t) = E−1(P (t)) e B(t) = E−1(C(t))
numa intervalo J centrado em 0 tal que P (t), C(t) ∈ U para todo t ∈ J . Aexistência desse intervalo J é garantida pela continuidade de P e C. Note,então, que
E(Q(t)) = P (t) e E(B(t)) = C(t).
Proposição 3.2 Temos que Q(0) = B(0) = 0, que
B′(0) = 0 e Q′(0) = X + Y.
Além disso,
limt→0
Q(t)
t= X + Y e lim
t→0
B(t)
t2= [X, Y ].
3.2. LOGARITMO DO PRODUTO E DO COMUTADOR 25
Figura 3.1: Logaritmo do produto e do comutador.
Prova: Temos que E(Q(0)) = P (0) = I, e que E(B(0)) = C(0) = I. Pelainjetividade da exponencial, segue que Q(0) = B(0) = 0. Pela regra dacadeia, temos que
C ′(0) = E ′(B(0))B′(0) = E ′(0)B′(0) = B′(0).
Portanto, pela proposição precedente, segue que B′(0) = C ′(0) = 0.Pela fórmula de Taylor,
C(t) = I + tC ′(0) +t2
2C ′′(0) +R(t)
= I +t2
2(2[X, Y ]) +R(t)
= I + t2[X, Y ] +R(t),
onde limt→0
R(t)
t2= 0. Logo
1
t2(C(t)− I) = [X, Y ] +
R(t)
t2
e então
limt→0
(
1
t2(C(t)− I)
)
= limt→0
(
[X, Y ] +R(t)
t2
)
= [X, Y ].
26 CAPÍTULO 3. LIMITES DE PRODUTOS
Temos também que
B(t) = B(0) +B′(0)t+ r(t),
onde limt→0
r(t)
t= 0. Como B(0) = B′(0) = 0, temos que
limt→0
B(t)
t= lim
t→0
r(t)
t= 0.
Por outro lado,
1
t2(C(t)− I) =
1
t2(E(B(t))− I)
=1
t2
(
B(t) +∑
k≥2
B(t)k
k!
)
=B(t)
t2+
(
B(t)2
t2
)
∑
k≥2
B(t)k−2
k!.
Evidente que∑
k≥2
B(t)k−2
k!é contínua e que, portanto,
limt→0
∑
k≥2
B(t)k−2
k!=
I
2.
Como
limt→0
B(t)2
t2=
(
limt→0
B(t)
t
)2
= 0,
segue que
limt→0
(
1
t2(C(t)− I)
)
= limt→0
(
1
t2(E(B(t))− I)
)
= limt→0
B(t)
t2+ lim
t→0
(
B(t)2
t2
∑
k≥2
B(t)k−2
k!
)
= limt→0
B(t)
t2
3.3. EXPONENCIAL DA SOMA E DO COMUTADOR 27
Isso provou que
limt→0
B(t)
t2= lim
t→0
(
1
t2(C(t)− I)
)
= [X, Y ].
Por outro lado, pela regra da cadeia, temos que
P ′(0) = E ′(Q(0))Q′(0) = E ′(0)Q′(0) = Q′(0)
mostrando que Q′(0) = P ′(0) = X + Y . Pela definição de derivada, temosque
Q(t) = Q(0) +Q′(0)t+ r(t) = t(X + Y ) + r(t)
onde limt→0
r(t)
t= 0. Logo lim
t→0
Q(t)
t= X + Y . �
3.3 Exponencial da soma e do comutador
A próxima proposição será de extrema importância nas próximas etapas dotrabalho.
Proposição 3.3 Temos que
eX+Y = limk→∞
(
eXk e
Yk
)k
e também que
e[X,Y ] = limk→∞
(
e−Xk e−
Yk e
Xk e
Yk
)k2
.
Prova: Temos que X + Y = limt→0
Q(t)
t, pelo resultado anterior. Logo
eX+Y = elimt→0Q(t)t
= elimk→∞ kQ( 1k)
= limk→∞
(ekQ(1/k))
= limk→∞
(
eQ(1/k))k
= limk→∞
(P (1/k))k
= limk→∞
(
eXk e
Yk
)k
.
28 CAPÍTULO 3. LIMITES DE PRODUTOS
De maneira análoga, como [X, Y ] = limt→0
B(t)
t2, segue que
e[X,Y ] = elimt→0B(t)
t2
= elimk→∞ B( 1k)k2
= limk→∞
eB( 1k)k2
= limk→∞
(
eB( 1k))k2
= limk→∞
(C(1/k))k2
= limk→∞
(
e−Xk e−
Yk e
Xk e
Yk
)k2
.
�
Capítulo 4
Homomorfismos
4.1 Grupo de matrizes
Denotamos por Gl(n) ⊂ Rn2o grupo das matrizes inversíveis de ordem n,
denominado grupo linear geral. Um grupos (de Lie) de matrizes G é subgrupode Gl(n) fechado em Gl(n).
Proposição 4.1 Sejam G ≤ Gl(n) e H ≤ Gl(m) grupos de matrizes. Dado
um homomorfismo φ : G → H, definimos
F =
{(
gφ(g)
)
: g ∈ G
}
.
Se φ é contínuo, então F é um grupo de matrizes de Gl(n+m).
Prova: Com efeito, dada uma seqüência de termos
(
gnφ(gk)
)
∈ F
convergente em Gl(n+m), supomos que
(
gh
)
é o limite dessa seqüência
em Gl(n +m). Segue então que gk → g (em G) e φ(gk) → h (em H). Mas,pela continuidade de φ, temos que φ(gk) → φ(g), logo, pela unicidade doslimites, h = φ(g). Portanto
(
gkφ(gk)
)
→
(
gφ(g)
)
∈ F,
mostrando que F é fechado em Gl(n +m).
29
30 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS
Resta, então, provar que F é um subgrupo de Gl(m + n). Como efeito,
dados
(
gφ(g)
)
,
(
hφ(h)
)
∈ F , segue que
(
gφ(g)
)−1
·
(
hφ(h)
)
=
(
g−1
φ(g)−1
)
·
(
hφ(h)
)
=
(
g−1hφ(g)−1φ(h)
)
=
(
g−1hφ(g−1h)
)
∈ F
uma vez que g−1h ∈ G. Isso completa a prova de que F é subgrupo deGl(n +m). �
4.2 Álgebra de matrizes
Uma álgebra (de Lie) de matrizes g é um subespaço vetorial de Rn2que é
fechado para o comutador de matrizes. Ou seja, uma álgebra de Lie é umsubespaço de Rn2
tal que
[X, Y ] = XY − Y X ∈ g,
para todos X, Y ∈ g. Denotamos por gl(n) a álgebra Rn2de todas as matrizes
de ordem n, denominada álgebra linear geral.
Figura 4.1: Álgebra g do grupo G.
4.3. GRUPOS A UM PARÂMETRO 31
A cada grupo de matrizes G ≤ Gl(n) associamos o conjunto
g ={
X ∈ gl(n) : etX ∈ G, ∀t ∈ R}
,
denominado a álgebra de G. Mostraremos que g é, de fato, uma álgebra dematrizes.
Proposição 4.2 A álgebra g de um grupo de matrizes G ≤ Gl(n) é uma
álgebra de matrizes.
Prova: Pela definição de g, para todo X ∈ g e todo α ∈ R, temos queet(αX) ∈ G para todo t ∈ R, mostrando que αX ∈ g. Além disso, dado t ∈ R
e dados X, Y ∈ g, para todo k ∈ N, temos que etXk , e
tYk ∈ G. Como G é um
subgrupo de Gl(n), temos então que(
etXk e
tYk
)k
∈ G, para todo k ∈ N. Pela
Proposição 3.3, temos que
limk→∞
(
etXk e
tYk
)k
= etX+tY = et(X+Y ) ∈ Gl(n)
Como G é fechado em Gl(n), segue que et(X+Y ) ∈ G para todo t ∈ R,mostrando que X + Y ∈ g. Isso mostra que g é subespaço vetorial de Rn2
.Resta mostrar que g é fechado para o comutador. Analogamente ao
parágrafo anterior, é fácil verificar que, para todo k ∈ N e todo t ∈ R,(
e−tXk e−
tYk e
tXk e
tYk
)k2
∈ G. Pela Proposição 3.3, temos que
limk→∞
(
e−tX/ke−tY/ketX/ketY/k)k2
= e[tX,tY ] = et[X,Y ] ∈ Gl(n)
Como G é fechado em Gl(n), segue que et[X,Y ] ∈ G para todo t ∈ R, mos-trando que [X, Y ] ∈ g. �
4.3 Grupos a um parâmetro
Nessa seção, vamos caracterizar os homomorfismos contínuos da reta nogrupo linear geral, denominados de grupos a um parâmetro. Para isso énecessário o seguinte resultado.
Proposição 4.3 Se g, h ∈ B(I, 1) ⊂ Rn2e g2 = h2, então g = h.
32 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS
Prova: Temos que g = I + A e h = I + B , onde |A| < 1 e |B| < 1. Logog2 = (I +A)2 = (I +B)2 = h2, donde segue que I +2A+A2 = I +2B+B2.Ou seja, 2(A− B) = (B2 −A2).
E, fatorando, temos que 2(A − B) = B(B − A) + (B − A)A. Portanto,tomando a norma,
2 |A− B| = |B(B − A) + (B − A)A|
≤ |B| |B − A|+ |B −A| |A|
= |B − A| (|A|+ |B|) .
Se, por absurdo, B 6= A, segue que 2 |A− B| < 2 |B − A|. Absurdo.Portanto temos A = B, ou seja, g = h. �
Proposição 4.4 Temos que t 7→ g(t) é um grupo a um parâmetro se e só se
existe um único X ∈ gl(n) tal que g(t) = etX .
Prova: Com efeito, se g(t) = etX para algum X ∈ Rn2, então, pelo teorema
2.4, segue imediatamente que t 7→ g(t) é um grupo a um parâmetro.Reciprocamente, pelo teorema da função inversa, existe r > 0 tal que a
função exponencial E : Rn2→ Gl(n) é um difeomorfismo da bola B(0, r)
numa vizinhança aberta U de I em Gl(n) contida na bola B(I, 1), comoilustrado pela Figura 4.2.
Figura 4.2: Exponencial é difeomorfismo de B(0, r) em U .
Pela continuidade de g, segue que existe δ > 0 tal que |x| ≤ δ implicag(t) ∈ U . Em particular, g(δ) ∈ U . Logo g(δ) = eY para algum Y ∈B(0, r) ⊂ Rn2
. Definindo X = 1δY , note que g(δ) = eδX .
4.4. HOMOMORFISMOS DERIVADOS 33
Provemos, por indução, que g
(
δ
2k
)
= eδ
2kX para todo k ∈ N. A afirma-
ção é verdadeira para k = 0. Utilizando o fato de g ser um homomorfismo,temos que
(
g
(
δ
2k+1
))2
= g
(
2δ
2k+1
)
= g
(
δ
2k
)
.
Por outro lado, pela hipótese de indução, temos que
(
eδ
2k+1X)2
=(
eδ
2kX)
= g
(
δ
2k
)
.
Como
∣
∣
∣
∣
δ
2k+1X
∣
∣
∣
∣
≤ |δX| < r, segue que eδ
2k+1X ∈ U . Como U é vizinhança
aberta de I com diâmetro menor que 1, pela proposição anterior, temos que
eδ
2k+1 X = g
(
δ
2k+1
)
. Isso completa, então, a prova por indução da afirmação.
Para qualquer m ∈ Z e para todo k ≥ 0, temos que
g
(
mδ
2k
)
=
(
g
(
δ
2k
))m
= emδ
2kX .
Ficou provado que g(t) = etX para todo t ∈
{
mδ
2k: k ∈ N, m ∈ Z
}
, que é
um subconjunto denso na reta. Como as funções g(t) e etX são contínuas,segue que g(t) = etX para todo t ∈ R.
Resta provar a unicidade de X. Com efeito, supomos que
etX = etY .
Derivando os dois lados da igualdade em t = 0, segue que X = Y . �
4.4 Homomorfismos derivados
Um homomorfismo entre álgebras de matrizes é uma transformação linearque preserva o comutador de matrizes.
34 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS
Proposição 4.5 Sejam G ≤ Gl(n) e H ≤ Gl(m) grupos de matrizes. Se
φ : G → H é contínuo, existe um único homomorfismo φ′ : g → h de álgebras
de Lie tal que o seguinte diagrama comuta
gφ′
→ h
↓E ↓E
Gφ→ H
ou seja
φ(eX) = eφ′X ,
para todo X ∈ g.
Prova: Considere
F =
{(
gφ(g)
)
: g ∈ G
}
.
Pela Proposição 4.1, temos que F é um grupo de matrizes de Gl(n + m).Então podemos considerar a álgebra de matrizes f associada a F .
Para cada X ∈ g, temos que t 7→ φ(etX) é um homomorfismo contínuo.Logo, pela Proposição 4.4, existe um único Xφ ∈ h tal que φ(etX) = etXφ ,para todo t ∈ R. Temos então que, para todo X ∈ g,
Z =
(
XXφ
)
∈ f,
uma vez que, para todo t ∈ R,
etZ =
(
etX
etXφ
)
=
(
etX
φ(etX)
)
∈ F.
Como f é uma algebra de matrizes, para quaisquer
Z =
(
XXφ
)
e W =
(
YYφ
)
∈ f
e para todo λ ∈ R, temos que(
λXλXφ
)
= λZ
(
X + YXφ + Yφ
)
= Z +W
(
[X, Y ][Xφ, Yφ]
)
= [Z,W ]
4.4. HOMOMORFISMOS DERIVADOS 35
pertencem a f. Pela definição da álgebra f, para todo t ∈ R, temos que
etλZ =
(
etλX
etλXφ
)
∈ F,
mostrando que
et(λXφ) = φ(
et(λX))
= et(λX)φ.
De forma análoga, concluímos que
et(Xφ+Yφ) = φ(
et(X+Y ))
= et(X+Y )φ
e que
et[Xφ,Yφ] = φ(
et[X,Y ])
= et[X,Y ]φ .
Definindo φ′ : g → h por φ′(X) = Xφ e utilizando as equações acima e aunicidade dada pela Proposição 4.4, segue que φ′ é homomorfismo de álgebrasde matrizes.
Resta então provar a unicidade de φ′. Supomos que existe homomorfismosde álgebras de Lie φ′, ϕ′ : g → h tais que os diagramas
gφ′
→ h
↓E ↓E
Gφ→ H
eg
ϕ′
→ h
↓E ↓E
Gφ→ H
comutam. Segue que, dado X ∈ g, eφ′X = φ(eX) = eϕ
′X . Pela injetividadeda exponencial numa vizinhança da origem, temos que φ′X = ϕ′X, para todoX numa vizinhança da origem. Como φ′ e ϕ′ são transformações lineares,segue que elas são iguais. �
O homomorfismo de álgebras φ′ associado ao homomorfismo topológicoφ é denominado homomorfismo derivado de φ. O próximo resultado mostrahomomorfismos derivados de isomorfismos topológicos são isomorfismos deálgebras.
Corolário 4.5.1 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes. Se G e H são
isomorfos, então suas álgebras também são isomorfas.
36 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS
Prova: Com efeito, seja φ : G → H um isomorfismo de grupos (topológicos).Pelo teorema precedente, temos que existe um homomorfismo φ′ : g → h
φ′ : g → h tal que
gφ′
→ h
↓E ↓E
Gφ→ H
comuta. Da mesma forma, existe um homomorfismo (φ−1)′: h → g tal que
h(φ−1)
′
→ g
↓E ↓E
Hφ−1
→ G
comuta. Logo segue que
hφ′◦(φ−1)
′
−→ h
↓E ↓E
Hφ◦φ−1
−→ H
comuta. Pela unicidade do homomorfismo de álgebras de Lie associado a(φ ◦ φ−1) = idH : H → H , segue que
(
φ′ ◦ (φ−1)′)
= idh : h → h. De formaanáloga, concluímos que
(
(φ−1)′◦ φ′)
= idg : g → g.Isso completou a prova de que (φ−1)
′= (φ′)−1, ou seja, completou a prova
de que φ′ é um isomorfismo e, portanto, g e h são isomorfos. �
Capítulo 5
Grupos Euclideanos
O principal objetivo deste capítulo é mostrar que os grupos de matrizes sãolocalmente homeomorfos às suas álgebras.
5.1 Grupos topológicos
Um grupo topológico é um grupo munido de uma topologia tal que as opera-ções de produto e inversão são contínuas. Um grupo euclideano é um grupotopológico tal que, para todo elemento g ∈ G, existe uma vizinhança U deg ∈ G tal que U é homeomorfo a um aberto de R
d, para algum d ∈ N.
Lema 5.1 Seja G um grupo topológico. Segue que G é um grupo euclideano
se e só se existe uma vizinhança da identidade que é homeomorfa a um aberto
de Rd, para algum d ∈ N.
Prova: Sejam G um grupo topológico e U uma vizinhança do elemento neu-tro homeomorfa a um aberto V ⊂ Rd. Dado g ∈ G, tem-se que Dg : G → G,dado por Dg(h) = hg é evidentemente um homeomorfismo, pois sua inversaDg−1 é contínua. Temos, então, que Dg(V ) = Ug é uma vizinhança de ghomeomorfa a U e, portanto, homeomorfa a V . Isso completa a prova deque, para todo g ∈ G, existe uma vizinhança gU homeomorfo a um abertoV de um espaço euclideano. �
37
38 CAPÍTULO 5. GRUPOS EUCLIDEANOS
5.2 Carta da identidade
Vamos mostrar que a restrição da exponencial a uma vizinhança aberta daorigem da álgebra de um grupo de matrizes é um homeomorfismo com umavizinhança aberta da identidade do respectivo grupo de matrizes.
Lema 5.2 Seja G ⊂ Gl(n) um grupo de matrizes. Se (Yk) é uma seqüência
em E−1(G) tal que Yk → 0 e se (sk) é uma seqüência de números reais tal
que skYk → X, então X ∈ g.
Prova: Dado t ∈ R, existe lk ∈ Z tal que |lk − tsk| ≤ 1. Temos, então, que
|lkYk − tX| = |(lk − tsk)Yk + t(skYk −X)|
≤ |lk − tsk| |Yk|+ |t| |skYk −X|
≤ |Yk|+ |t| |skYk −X| .
Por hipótese, temos que Yk → 0 e |skYk −X| → 0. Assim, usando o teoremado confronto, segue que |lkYk − tX| → 0, de modo que lkYk → tX. MasE(lkYk) = E(Yk)
lk ∈ G e portanto lkYk ∈ E−1(G). Como E−1(G) é fechado,isso implica que tX ∈ E−1(G) . Temos então que tX ∈ E−1(G) para todot ∈ R. Portanto X ∈ g. �
Teorema 5.3 Sejam G ≤ Gl(n) um grupo de matrizes e g a sua álgebra. A
exponencial E : g → G é um homeomorfismo de uma vizinhança aberta de 0em g numa vizinhança aberta de I em G.
Prova: Seja c ⊂ gl(n) tal que gl(n) = g ⊕ c. Para cada X ∈ gl(n), temosque X = Xg +X c, onde Xg ∈ g e X c ∈ c estão unicamente determinados.
Definimos F : gl(n) → Gl(n), onde
F (X) = E(Xg)E(X c) = eXg
eXc
.
Para qualquer X ∈ gl(n), temos que
F ′(0)X =F (tX)
dt|t=0 =
(
etXg
etXc)′
|t=0
=(
(
etXg)′
etXc
+ etXg (
etXc)′)
|t=0
= Xg +X c
= X.
5.2. CARTA DA IDENTIDADE 39
Isso mostra que F ′(0) é a identidade em gl(n). Pelo teorema da funçãoinversa, segue que existe uma vizinhanças aberta V de 0 tais que E e Frestritas a V são difeomorfismos sobre suas imagens (que são abertas).
Figura 5.1: Sequência Yk e suas componentes.
Caso I não estivesse no interior de E(g) em G, existiria gk → I tal quegk ∈ G e gk 6∈ E(g). Definindo-se Yk = F−1(gk), segue que
gk = F (Yk) = E(Y gk )E(Y c
k ).
Segue também que Y ck 6= 0, pois o contrário implicaria gk = E(Y g
k ) ∈ E(g),o que contraria as hipóteses acima. Como gk e E(Y g
k ) pertencem a G, segueque
E(Y ck ) = E(Y g
k )−1gk ∈ G,
mostrando queY ck ∈ E−1(G).
Como gk → I, tem-se que
Yk = F−1(gk) → F−1(I) = 0.
Temos então que Y ck → 0, que Y c
k 6= 0 e que Y ck ∈ E−1(G). Pela compacidade
da esfera unitária em c, podemos supor sem perda de generalidade que
1
|Y ck |Y ck → X,
para algum X ∈ c com |X| = 1. Pelo lema anterior, é fácil verificar que issoimplica que X ∈ g, o que é um absurdo, pois g ∩ c = {0}. �
40 CAPÍTULO 5. GRUPOS EUCLIDEANOS
Corolário 5.3.1 Se G é um grupo de matrizes, então G é euclideano.
Prova: Com efeito, seja G um grupo de matrizes. Sua álgebra associada é,em particular, um espaço euclideano. Pelo provado, existe uma vizinhançada identidade homeomorfa a uma aberto da álgebra associada. Logo, pelolema 5.1, tem-se que G é um grupo euclideano. �
Apêndice A
Exercícios
A.1 Exponencial
Exercício 1 Mostre que se
X =
(
λ−λ
)
,
então
etX =
(
etλ
e−tλ
)
.
Exercício 2 Demonstre que se
X =
(
−11
)
,
então
etX =
(
cos(t) −sen(t)sen(t) cos(t)
)
.
Exercício 3 Prove que seX = gY g−1,
entãoetX = getY g−1.
41
42 APÊNDICE A. EXERCÍCIOS
A.2 Grupos de matrizes
Exercício 4 Sejam G ≤ Gl(n) e H ≤ Gl(m) grupos de matrizes. Proveque
G×H =
{(
gh
)
: g ∈ G, h ∈ H
}
≤ Gl(n +m)
é um grupo de matrizes, denominado grupo produto de G por H . Mostre queG×H é compacto se e só se G e H são compactos.
Exercício 5 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes. Mostre que
Z(H,G) = {g ∈ G : gh = hg, ∀h ∈ H}
é um grupo de matrizes, denominado centralizador de H em G.
Exercício 6 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, demonstre que
N(H,G) = {g ∈ G : gH = Hg}
é um grupo de matrizes, denominado normalizador de H em G.
Exercício 7 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, prove que G ∩ H éum grupo de matrizes.
Exercício 8 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, se H é compacto eG ≤ H , então G é compacto.
Exercício 9 Prove que
Sl(n) = {g ∈ Gl(n) : det(g) = 1}
é um grupo de matrizes não compacto, denominado grupo linear especial.
A.2. GRUPOS DE MATRIZES 43
Exercício 10 Prove que
O(n) ={
g ∈ Gl(n) : gTg = I}
é um grupo de matrizes compacto, denominado grupo ortogonal. Mostretambém que O(n) ≤ Sl(n).
Exercício 11 Como conseqüência dos quatro exercícios anteriores, verifiqueque SO(n) = O(n) ∩ Sl(n) é um grupo de matrizes compacto, denominadogrupo ortogonal especial.
Exercício 12 Denotando
J =
(
−II
)
∈ Gl(2n),
prove queSp(n) =
{
g ∈ Gl(2n) : gTJg = J}
é um grupo de matrizes, denominado grupo simplético.
Exercício 13 Mostre que
S1 = {z ∈ C : |z| = 1}
é topologicamente isomorfo a SO(2).
Exercício 14 Como conseqüência do exercícios anterior, demonstre que otoro
T n = S1 × · · · × S1
é topologicamente isomorfo a um grupo de matrizes em Gl(2n).
44 APÊNDICE A. EXERCÍCIOS
A.3 Álgebras de matrizes
Exercício 15 Sejam G ≤ Gl(n), H ≤ Gl(m) grupos de matrizes, g aálgebra de G e h a álgebra de H . Prove que
g× h =
{(
XY
)
: X ∈ g, Y ∈ h
}
≤ gl(n+m)
é a álgebra do grupo G×H , denominada álgebra produto de g por h.
Exercício 16 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, g a álgebra de G eh a álgebra de H . Mostre que g ∩ h é a álgebra de G ∩H .
Exercício 17 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, demonstre que
z(h, g) = {X ∈ g : [X, h] = 0}
é a álgebra do centralizador Z(H,G), denominada centralizador de h em g.
Exercício 18 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, prove que
n(h, g) = {X ∈ g : [X, h] ⊂ h}
é a álgebra do normalizador N(H,G), denominada normalizador de h em g.
Exercício 19 Mostre que
sl(n) = {X ∈ gl(n) : tr(X) = 0}
é a álgebra do grupo SL(n).
A.4. HOMOMORFISMOS 45
Exercício 20 Demonstre que
o(n) ={
X ∈ gl(n) : XT +X = 0}
é a álgebra de O(n) e também de SO(n).
Exercício 21 Prove que
sp(n) ={
X ∈ gl(2n) : XTJ + JX = 0}
é a álgebra de Sp(n).
A.4 Homomorfismos
Exercício 22 Sejam det : GL(n) → R∗ a função determinante e tr :
gl(n) → R a função traço. Mostre que
det(eX) = etr(X).
Exercício 23 Sejam G,H ≤ H grupos de matrizes. Demonstre que seφ : G → H é um homomorfismo e φ′ : g → h seu homomorfismo derivado,então a álgebra do núcleo Ker(φ) de φ é o núcleo Ker(φ′) de φ′.
A.5 Grupos topológicos
Exercício 24 Sejam G um grupo topológico. Se H ≤ G é aberto em G.Prove que H também é fechado em G.
46 APÊNDICE A. EXERCÍCIOS
Exercício 25 Sejam G um grupo topológico conexo e U uma vizinhançado elemento neutro. Mostre que
G =⋃
k≥1
Uk,
ondeUk = {g1 · · · gk : g1, . . . , gk ∈ U}.
Exercício 26 Seja G um grupo topológico conexo. Demonstre que se H ≤G é tal que int(H) 6= ∅, então H = G. Conclua que o único subgrupo abertode um grupo topológico G conexo é o próprio G. Em particular, não hásubgrupos próprios do grupo aditivo R que contenha intervalos.
Exercício 27 Sejam G1, G2 grupos topológicos, H1 ⊳ G1 e H2 ⊳ G2. Proveque
G1 ×G2
H1 ×H2≃
G1
H1×
G2
H2.
Exercício 28 Mostre que S1 é topologicamente isomorfo R/Z.
Exercício 29 Demonstre que T k é topologicamente isomorfo Rk/Zk.
Exercício 30 Prove que se G ≤ Rn é discreto, então G ≃ Zk (k ≤ n).
Exercício 31 Sejam G,H grupos topológicos. Mostre que se φ : G → H éum homomorfismo topológico sobrejetivo e aberto, então
H ≃ G/Ker(φ).
A.6. GRUPOS EUCLIDEANOS 47
A.6 Grupos euclideanos
Exercício 32 Demonstre que se G é um grupo de matrizes abeliano, entãog é abeliano.
Exercício 33 Prove que a recíproca do exercício anterior é verdadeiraquando G é um grupo de matrizes abeliano conexo.
Exercício 34 Seja G um grupo de matrizes. Mostre que se H é subgruponormal de G, então h é ideal de g (subálgebra tal que n(h, g) = g).
Exercício 35 Demonstre que quando G é conexo, a recíproca do exercícioanterior é verdadeira.
Exercício 36 Sejam G um grupo de matrizes e g a álgebra de G. Prove quese G é abeliano conexo, então a exponencial E : g → G é um homomorfismotopológico sobrejetivo e aberto. Mostre que Ker(E) é subgrupo normal dogrupo aditivo g.
Exercício 37 Mostre que se G é abeliano conexo, então
G ≃ g/Ker(E) ≃ T k × Rm.
Exercício 38 Mostre que se G é abeliano, conexo e compacto, então G éalgum toro, ou seja, G ≃ T k.
