UTFPR 1

Prof. Winderson

Dpto. de Eletrotécnica - UTFPR

Cinemática de Robôs Manipuladores

ROBÓTICA

UTFPR 2

Tópicos• Revisão

• Robôs Manipuladores– Configuração de robôs

– Especificação de robôs• Número de eixos → DOF (Degree of Freedom)

• Precisão x Repetibilidade

• Cinemática– Introdução

• Sistema da base, Sistema das juntas, Sistema do efetuador

• Matriz de rotação, composição da matriz de rotação

• Matriz de transformação homogênea

– Cinemática direta• Representação de Denavit-Hartenberg

• Exemplos

– Cinemática inversa

UTFPR 3

Tipos de Robôs• Configuração de robôs:

Cartesianos: PPP Cilindricos: RPP Esféricos: RRP

SCARA: RRP

(Selective Compliance

Assembly Robot Arm)

Articulados: RRR

Coordenadas do punho:

n: vetor normal; s: vetor deslizante;

a: vetor de aproximação, normal à

ferramenta de trabalho

UTFPR 4

Movimento

• Métodos de controle de movimento

– Controle ponto a ponto

• Uma seqüência de pontos discretos

• Soldagem a ponto,pega e solta, carregamento &

descarregamento

– Controle de trajetória contínua

• Segue uma trajetória definida, movimento de

trajetória controlada

• Pintura spray, solda a arco, colagem

UTFPR 5

Manipuladores

• Especificação de robôs– Numero de eixos

• Eixos principais, (1-3) => Posicionamento do punho

• Eixos secundários, (4-6) => Orientação do efetuador

• Redundância, (7-n) => desviar de obstáculos, evitar configurações indesejáveis

– Graus de liberdade (DOF=Degree of Freedom)

– Volume de trabalho

– Capacidade de carga (Payload)

– Precisão x Repetibilidade

UTFPR 6

Precisão x Repetibilidade

UTFPR 7

O que é cinemática

• Cinemática direta

A partir das variáveis de junta

Posição e orientação do efetuador final, -Fórmula?

),,,,,,( 654321 nqqqqqqqq

),,,,,( TAOzyxPx

y

z

UTFPR 8

O que é cinemática

• Cinemática inversa

Para uma posição e orientação

desejada no efetuador

Variáveis de junta -Fórmula?

),,,,,,( 654321 nqqqqqqqq

),,,,,( TAOzyx

x

y

z

UTFPR 9

Exemplo1

0x

0y

1x1y

)/(cos

inversa Cinemática

sin

cos

direta Cinemática

0

1

0

0

lx

ly

lx

l

UTFPR 10

Ponto de origem

• Sistemas de referência de um robô

– da estação de trabalho (W)

– da base do robô (R)

– da ferramenta (T)

– da peça (P) x

yz

x

z

y

W R

PT

UTFPR 11

Coordenadas

• Transformação de coordenadas

– Sistema de referência de

coordenadas Oxyz

– Sistema de referência preso ao

corpo O’uvw

wvu kji wvuuvw pppP

zyx kji zyxxyz pppP

x

y

z

P

u

v

w

O, O’

Representação do ponto em OXYZ:

zwyvxu pppppp

T

zyxxyz pppP ],,[

Ponto representado em O’uvw:

Sistemas coincidentes ==>

UTFPR 12

Rotação

• Transformação de coordenadas

– Rotação pura

wvu kji wvuuvw pppP

x

y

zP

zyx kji zyxxyz pppP

uvwxyz RPP u

vw

Como relacionar as coordenadas nestes dois sistemas?

UTFPR 13

Projeção de um vetor

• Mútua perpendicularidade • Vetores unitários

Propriedades ortonormais dos sistemas de coordenadas

0

0

0

jk

ki

ji

1||

1||

1||

k

j

i

Propriedade: Produto interno

Sejam e vetores quaisquer em e seja o

ângulo desde até , então

3R

cosyxyx

x y

x y

UTFPR 14

Equacionamento

• Rotação simples– , , e representam as projeções de

nos eixos Ox, Oy, Oz, respectivamente

– Como:

– Tem-se:

xp Pyp zp

wvux pppPp wxvxuxx kijiiii

wvuy pppPp wyvyuyy kjjjijj

wvuz pppPp wzvzuzz kkjkikk

wvu kji wvu pppP

UTFPR 15

IMPORTANTE!!!• Matriz de rotação

– Rotação de em torno do eixo X

w

v

u

z

y

x

p

p

p

p

p

p

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

kkjkik

kjjjij

kijiii

x

z

y

v

w

P

uCS

SCxRot

0

0

001

),(

UTFPR 16

Premissas

• Isto é mesmo verdade?

– Rotação de em torno de x

cossin

sincos

cossin0

sincos0

001

wvz

wvy

ux

w

v

u

z

y

x

ppp

ppp

pp

p

p

p

p

p

p

x

z

y

v

w

P

u

UTFPR 17

Matrizes elementares de rotação

– Rotação em torno de x com

– Rotação em torno de y com

– Rotação em torno de z com

uvwxyz RPP

CS

SCxRot

0

0

001

),(

0

010

0

),(

CS

SC

yRot

100

0

0

),( CS

SC

zRot

UTFPR 18

Equação oposta

• Matriz de Rotação Básica

– Obter coordenadas de a partir da coordenada

uvwxyz RPP

wzvzuz

wyvyuy

wxvxux

kkjkik

kjjjij

kijiii

R

xyzuvw QPP

TRRQ 1

RRRRIQR T1

3

uvwPxyzP

<== matriz identidade 3X3

z

y

x

w

v

u

p

p

p

p

p

p

zwywxw

zvyvxv

zuyuxu

kkjkik

kjjjij

kijiii

O produto interno é COMUTÁVEL!

UTFPR 19

Exemplo 2

• Um ponto está sujeito a uma sistema,

onde é executado uma rotação de 60 graus em

torno do eixo Oz da referência. Encontro as

coordenadas do ponto relativas ao sistema de

referência após a rotação.

)2,3,4(uvwa

2

964.4

598.0

2

3

4

100

05.0866.0

0866.05.0

)60,( uvwxyz azRota

UTFPR 20

Exemplo 3

• O ponto é uma coordenada no

sistema de referência após ser rotacionado de

60 graus em torno do eixo Oz, encontre a

coordenada do ponto.

)2,3,4(xyza

uvwa

2

964.1

598.4

2

3

4

100

05.0866.0

0866.05.0

)60,( xyz

T

uvw azRota

UTFPR 21

Rotações sucessivas

• Numa seqüência de rotações:

– A matriz de rotação NÃO É COMUTÁVEL

– Regras para seqüências:

• Se a rotação do sistema for realizada com

referência aos eixos O-X-Y-Z do sistema de base

(fixo), então pré-multiplique a resultante prévia

pela matriz de rotação básica apropriada.

• Se a rotação do sistema O-U-V-W for realizada

com referência aos seus próprios eixos

coordenados então pós-multiplique a resultante

prévia pela matriz de rotação básica apropriada.

UTFPR 22

Exemplo 4

• Encontrar a matriz de rotação das

seguintes operações:

Pós-multiplica se rotação nos eixos OUVW

Pré-multiplica se rotação nos eixos OXYZ

...Resposta

OU eixo no Rotação

OW eixo no Rotação

OY eixo no Rotação

SSSCCSCCSSCS

SCCCS

CSSSCCSCSSCC

CS

SCCS

SC

uRotwRotIyRotR

0

0

001

100

0

0

C0S-

010

S0C

),(),(),( 3

UTFPR 23

Representação de orientação

• São necessários 9 elementos para descrever

completamente a rotação de um corpo rígido

através de matrizes de rotação.

• Um modo mais simples?

10

1333 PRF

Representação por ângulos de Euler

UTFPR 24

Representação de orientações

• Representação em ângulos de Euler ( , , )– Muitos tipos diferentes

– Descrição de representações por ângulos de Euler

Ângulos de Euler I Ângulos de Euler II Roll-Pitch-Yaw

Seqüencia no eixo OZ no eixo OZ no eixo OX

de no eixo OU no eixo OV no eixo OY

Rotação no eixo OW no eixo OW no eixo OZ

UTFPR 25

x

y

z

u'

v'

v "

w"

w'=

=u"

v'"

u'"

w'"=

Ângulo de Euler I, Animado

UTFPR 26

Representação de orientação

• Ângulo de Euler I

100

0cossin

0sincos

,

cossin0

sincos0

001

,

100

0cossin

0sincos

''

'

w

uz

R

RR

UTFPR 27

Ângulo de Euler I

cossincossinsin

sincos

coscoscos

sinsin

cossincos

cossin

sinsincoscossin

sincos

cossinsin

coscos

''' wuz RRRR

Matriz de rotação euleriana resultante:

UTFPR 28

Ângulo de Euler II, Animado

x

y

z

u'

v' =v"

w"

w'=

u"

v"'

u"'

w"'=

Observe o senso oposto

(horário) da terceira

rotação.

UTFPR 29

Orientation Representation

• Matrix with Euler Angle II

cossinsinsincos

sinsin

coscossin

coscos

coscossin

sincos

sincoscoscossin

cossin

coscoscos

sinsin

Problema: Como obter esta matriz ?

UTFPR 30

Representação de orientação

• Descrição de Roll Pitch Yaw

X

Y

Z

Problema: Como obter a matriz de rotação ?

UTFPR 31

Transformação de coordenadas

• o vetor posição P em

{B} é transformado no

vetor posição P em {A}

• descrição de {B}

como visto de um

observador em {A}

Rotação de{B} com respeito a {A}

Translação da origem de {B} com respeito à origem de {A}

UTFPR 32

Transformação de coordenadas• Dois casos especiais

1. Translação pura

– Eixos de {B} e {A} são

paralelos

2. Rotação pura

– As origens de {B} e {A}

são coincidentes

1B

AR

'oAPB

B

APA rrRr

0'oAr

UTFPR 33

Representação Homogênea• Transformação de coordenadas de {B} para {A}

• Matriz de transformação homogênea

'oAPB

B

APA rrRr

1101 31

' PBoA

B

APA rrRr

1010

1333

31

' PRrRT

oA

B

A

B

A

Vetor

posição

Matriz

rotação

Fator de escala

UTFPR 34

Transformação Homogênea• Casos especiais

1. Translação

2. Rotação

10

0

31

13B

A

B

A RT

10 31

'

33

oA

B

A rIT

UTFPR 35

Exemplo 5• Translação de h ao longo do eixo Z:

1000

100

0010

0001

),(h

hzTrans

111000

100

0010

0001

1

hp

p

p

p

p

p

hz

y

x

w

v

u

w

v

u

x

y

z P

u

v

w

O, O’hx

y

z

P

u

v

w

O, O’

UTFPR 36

Exemplo 6• Rotação em torno do eixo X

1000

00

00

0001

),(CS

SCxRot

x

z

y

v

w

P

u

11000

00

00

0001

1

w

v

u

p

p

p

CS

SC

z

y

x

UTFPR 37

Transformações sucessivas

• Seqüência combinada de diversas

transformações homogêneas:

• Regras:

– Transformação (rotação/translação) (X,Y,Z)

(SISTEMA FIXO), usar pré-multiplicação.

– transformação (rotação/translação) (U,V,W)

(SISTEMA MÓVEL), usar pós-multiplicação.

UTFPR 38

Exemplo 7

• Encontrar a matriz de transformação

homogênea (T) para as seguintes operações:

:Re

OZ eixo no Rotação

OZ eixo no d de Translação

OX eixo noa de Translação

OX eixo no Rotação

sposta44,,,, ITTTTT xaxdzz

1000

00

00

0001

1000

0100

0010

001

1000

100

0010

0001

1000

0100

00

00

CS

SC

a

d

CS

SC

UTFPR 39

Representação Homogênea

• Um sistema no espaço

(interpretação geométrica)

x

y

z

),,( zyx pppP

1000

zzzz

yyyy

xxxx

pasn

pasn

pasn

F

n

sa

10

1333 PRF

Eixo principal n com respeito ao sistema

de coordenadas de referência

(X’)

(y’)

(z’)

UTFPR 40

Transformação homogênea

• Translação

y

z

n

sa n

sa

1000

10001000

100

010

001

zzzzz

yyyyy

xxxxx

zzzz

yyyy

xxxx

z

y

x

novo

dpasn

dpasn

dpasn

pasn

pasn

pasn

d

d

d

F

velhozyxnovo FdddTransF ),,(

UTFPR 41

Transformação Homogênea

2

1

1

0

2

0 AAA

Combinação de matrizes de transformações homogêneas

0x

0z

0y

1

0 A2

1A

1x

1z

1y 2x

2z2y

?

i

i A1 Matriz de transformação entre os

sistemas de coord. adjacentes

Produto em cadeia das matrizes de

transformação

UTFPR 42

Exemplo 8• Para o objeto abaixo, encontre as diversas matrizes 4x4 de

transformação homogênea e para i=1, 2, 3, 4, 5

1000

zzzz

yyyy

xxxx

pasn

pasn

pasn

F

i

i A1iA0

0x 0y

0z

a

b

c

d

e

1x

1y

1z

2z

2x

2y

3y3x

3z

4z

4y4x

5x

5y

5z 1000

010

100

0001

1

0

da

ceA

1000

0100

001

010

2

0ce

b

A

1000

0001

100

010

2

1da

b

A

Você consegue visualizar a resposta através

da interpretação geométrica da matriz de

transformação homogênea?