Introdução à análise Vetorial

Prof. Luis S. B. Marques

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOSECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICAINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINACAMPUS JOINVILLE

DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINOCOORDENAÇÃO ACADÊMICAEletroEletronica

A derivada23 25 xxy xxy 415 2'

A derivada

• A derivada pode ser interpretada como a medida da inclinação ou coeficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto específico.

A derivada

• A derivada pode também ser interpretada como a taxa de variação instantânea de uma função.

A Integral

?)( dxxf

xxxf 415)( 2

Cxxdxxf 24

315)(

23

Cxxdxxf 23 25)(

A Integral• A integral definida representa a área sob uma

determinada curva.

A Integral

8

0

4)( dxdxxf

4)( xf

804)( xdxxf

3284)( dxxf

A Integral

8

0 83)( dxxdxxf83)( xxf

80

2

283)( xdxxf

12283

28643)(

dxxf

A Integral

4

0 3)( dxxdxxf

3)( xxf

40

2

6)( xdxxf

38

616

64)(

2

dxxf

y = x/3

Vetores e escalares

• Algumas grandezas físicas são totalmente definidas por um número e uma unidade. Quando dizemos, por exemplo, que a temperatura de uma pessoa é 38oC a informação está completa.

• Escalar

• Entretanto, ao informarmos que a velocidade de um carro é igual a 100km/h, não foi dito em que direção e em qual sentido este carro se movimenta.

• Vetor

Vetores e escalares• Os vetores representam grandezas que

possuem módulo, direção e sentido e são representados por setas.

• O deslocamento entre os pontos A e B pode ser representado por um vetor.

• O vetor, no plano, pode ser decomposto em duas componentes: ax e ay.

Vetores e escalares

• Pode-se representar um vetor através de suas componentes em um dado sistema de coordenadas.

cosaax

senaay

jaiaa yx

• Sendo i e j vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Adição de Vetores

jaiaA yx

jbibB yx

jbaibaBA yyxx

)()(

Produto escalar

cosabba

• O produto escalar entre dois vetores a e b resulta em um escalar e é definido através da equação:

• módulo do primeiro multiplicado pela componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro.

• Uma aplicação é encontrada na definição de trabalho, em que a força e a distância estão sobre o mesmo eixo de referência.

dFW

EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida pelo vetor dados abaixo:

SOLUÇÃO : O trabalho é definido como sendo o produto Escalar

entre o Vetor Força e o vetor Deslocamento , portanto :

F

r

zyx aaaF 432 zyx aaar

754

zyxzyx aaaaaarFW

754432

JoulesrFW 357.45.3)4.(2

EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida pelo vetor dados abaixo:

SOLUÇÃO 2 : O ângulo entre os dois vetores é definido:

F

r

zyx aaaF 432 zyx aaar

754

rFrFCos

Rad816,0

cosrFrF

JoulesrF 35816,0cos5,94,5

Produto vetorial

absenba

• O produto vetorial entre dois vetores a e b é definido através da equação:

• O resultado do produto vetorial entre dois vetores a e b é um vetor c perpendicular ao plano formado pelos dois vetores a e b.

• Uma aplicação é a definição de força que atua em um condutor em condução.

)( BVQF

PRODUTO VETORIAL :

Dado os Vetores

Definido como:

zyx

zyx

fffzyxaaa

Fr

zxyyxzxyz afyfxafzfxafzfyFr

....)..(

zzyyxx afafafF

zyx azayaxr

Produto vetorial

EXERCÍCIO : Calcule o Torque em relação à origem realizado pela força aplicado ao ponto (4,5,6) .

SOLUÇÃO : O Torque é definido como sendo o produto Vetortial

entre o vetor Posição do ponto de aplicação e o vetor Força, portanto :

zyx aaaF 32

zyx aaar 654

zyx

zyx

aaaaaa

Fr

363

321654

F

Vetor posição• A localização de um ponto no espaço pode ser

descrita através das suas coordenadas cartesianas (x,y,z).

• O vetor da origem ao ponto (x,y,z) é definido como Vetor Posição r.

Campo escalar Para definir um campo basta atribuir a cada ponto do espaço uma propriedade. Assim, quando definirmos que cada ponto de uma sala possui uma temperatura estamos definindo um campo escalar.

Campo vetorialÉ definido pelo conjunto dos Pontos do ESPAÇO caracterizados por uma FUNÇÃO VETORIAL. Quando observamos um escoamento de água e dizemos que cada partícula possui uma velocidade, estamos definindo um campo vetorial.Exemplos : Velocidade, Campo Gravitacional, Campo Elétrico, Campo Magnético.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

x

yxa

z

ya

za

r

zyx azayaxr

zyx adzadyadxrd

zyxP ,,

x y zdS dydz a dxdz a dxdy a

x x y y z zdS dS a dS a dS a

dV dxdydz

SISTEMAS DE COORDENADAS

SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS

x

y

z

r

a

a

zadzadadrd

zazaar

zP ,,

Cosx Seny zz

zdS d dz a d dz a d d a

z zdS dS a dS a dS a

dV d d dz

SISTEMAS DE COORDENADAS

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS

adrSenardadrrd r

arSenararr r

CosSenrx .

SenSenry .

.z r Cos2222 zyxr

x

y

z

a

ra

r

,,rP

Senr

2rdS r Sen d d a rSen drd a rdrd a

r rdS dS a dS a dS a

2dV r Sen drd d

SISTEMAS DE COORDENADAS

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