Download - Hamilton-Capítulo 1-2010
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Ecuaciones en Diferencias de Orden Uno
Estelibroestdedicadoalasconsecuenciasdinmicasdeloseventosalolargodeltiempo.
Digamosqueestamosestudiandounavariablecuyosvaloreseneltiempo t esdenotadopor
ty .Supongamosquesenosdaunaecuacindinmicaquerelacionaelvalor y quetomaenel
tiempo tconotravariable tw yconelvalorde y quetomaenelperodoprevio:
1t t t y y w = + (1.1)
Laecuacin(1.1)esunaecuacinendiferencialinealdeprimerorden.Unaecuacinen
diferenciaesunaexprecinquerelacionaunavariable ty consusvaloresprevios.Estaesuna
ecuacinendiferenciadeprimerordenporquesloelprimerrezagodelavariable
( )1ty apareceenlaecuacin.Notequeellaexpresaa ty comounafuncinlinealde 1ty y
tw .
Unejemplodelaecuacin(1.1)esGoldfelds(1973)funcindedemandadedineroparalos
EstadosUnidos.ElmodelodeGoldfeldrelacionaellogdelastenenciasrealesdedineropor
partedel
pblico
( )tm conellogdelingresorealagregado ( )tI ,ellogdelatasadeinters
sobrelosdepsitosbancarios ( )btr ,yellogdelatasadeinterssobrepapelescomerciales
( )ctr :
10.27 0.72 0.19 0.045 0.019 .
t t t bt ct m m I r r = + + (1.2)
Este
es
un
caso
especial
de
(1.1)
con
, 0.72 yt ty m = =
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0.27 0.19 0.045 0.019 .t t bt ct w I r r = +
Paralospropsitosdeanalizarladinmicadeunsistemacomoste,simplificaellgebraun
pocoresumirlosefectosdetodaslasvariablesdeinsumo ( ), ,t bt ct I r r entrminosdeun
escalar tw comoaqu.
Ms adelanteconsideraremosalavariabledeinsumo tw comounavariablealeatoria,ylas
implicacionesde(1.1)sobrelaspropiedadesestadsticasdelasseriesderesultado ty sern
exploradas.Enpreparacinparaestadiscusin,esnecesarioprimeroentenderlamecnicade
lasecuacionesendiferencias.Paraladiscusinenlosprimerosdoscaptulos,lasvariables
input{ }1 2, , ...,w w sernconsideradassimplementecomounasecuenciadenmeros
determinsticos.Nuestametaserresponderalasiguientepregunta:siunsistemadinmicoes
descritopor(1.1),cualessonlosefectossobre ty decambiosenlosvaloresde ?w
Resolviendo una Ecuacin en Diferencias por Substitucin
Recursiva
Lapresuncinesquelaecuacindinmica(1.1)gobiernaelcomportamientode y paratodos
los t.Porlotanto,paracadadatotenemosunaecuacinquerelacionaelvalorde y paraese
datoconsuvalorprevioyelvaloractualde w :
Dato Ecuacin
00 1 0 y y w = +
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1 1 2
1 1 2
1... .
j j j j
t j t t t t
t j t j
y y w w w
w w
+ + + +
+ +
= + + + +
+ + + (1.5)
Elefectode tw sobre t jy + estdadopor
.t j j
t
y
w
+ =
(1.6)
Estoeselmultiplicadordinmico(1.6)slodependede j ,ellargodeltiempoqueseparael
choquealinput ( )tw yelvalorobservadodeloutput ( )t jy + .Elmultiplicadornodependede
;t estoes,nodependedelostiemposdelaobservacinmisma.Estoesverdaderopara
cualquierecuacinendiferenciaslineal.
Comounejemploparacalcularelmultiplicadordinmico,consideremosdenuevola
especificacindedemandadedinerodeGoldfelds.Supongamosquequeremosconocerque
pasarala
demanda
por
dinero
dos
trimestres
desde
ahora
si
el
ingreso
actual
tI sefuera
a
incrementarporunaunidadhoyconlosingresosfuturos 1tI+ y 2tI + sinafectar:
22 2 .t t t t
t t t t
m m w w
I w I I + +
= =
(1.7)
De(1.2),unincrementounitarioen tI incrementar tw por0.19unidades,loquesignificaque
0.19.t
t
wI
=
Dado
que
0.72 = ,calculamos:
( ) ( )22 0.72 0.19 0.098.t
t
m
I
+ = =
(1.8)
Porque tI esellogdelingreso,unincrementoen tI de0.01unidadescorrespondeaun1%de
aumentoenelingreso.Unincrementoen tm de ( )( )0.01 0.098 0.001 correspondeaun
0.1%deincrementoenlastenenciasdedinero.Porlotantoelpblicoaumentarasus
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multiplicadordinmicoseincrementaexponencialmenteconeltiempocomoenelpanel(c).
Unincrementodadoen tw tieneunmayorefectocuantomslejosvamosenelfuturo.Para
1, < elsistema(1.1)exhibeoscilacionesexplosivascomoenelpanel(d).
Porlotanto,si 1 < ,elsistemaesestable;lasconsecuenciasdeuncambiodadoen
tw eventualmenteirndesapareciendo.Si 1 > ,elsistemaesexplosivo.Uninteresantecaso
escuando 1 = .Enestecaso,lasolucin(1.5)sevuelve
1 1 1... .t j t t t t j t j y y w w w w+ + += + + + + + (1.9)
Aqulavariableoutput y eslasumadeloshistricosinputs w .Unincrementounitarioen
w causarunpermanenteincrementodeunaunidaden :y
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1 para 0,1,...t j
t
yj
w
+ = =
(1.10)
Tambinpodramosestarinteresadosenelefectode w sobreelvalorpresentedeunflujode
futurasrealizaciones
de
y .
Para
un
flujo
dado
de
futuros
valores
1 2, , ,...t t t y y y+ + yunatasade
intersconstante 0r > ,elvalorpresentedelflujoeneltiempo t estdadopor
( ) ( )1 2 3
2 3...
1 1 1
t t tt
y y yy
r r r
+ + ++ + + ++ + +
(1.11)
Latasadeintersesmedidaaqucomounafraccinde1;porlotanto 0.1r = correspondea
un10%deinters.
Seaelfactordedescuento:
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Encalculandolosmultiplicadoresdinmicos(1.6)o(1.14),nosotrosnospreguntamosque
pasarasi tw seincrementaraenunaunidadsinque 1 2, ,...,t t t jw w w+ + + permanecierasin
afectarse.Porlotanto,encontramosslolosefectosdeuncambiopuramentetransitorioen
w .Elpanel(a)delaFigura1.2muestralatrayectoriatemporalde w asociadaconesta
cuestin,yelpanel(b)muestralatrayectoriatemporalpara .y Porqueelmultiplicador(1.6),
calculalarespuestade y querespondeaunsimpleimpulsoen w ,estambinreferidocomo
lafuncinimpulsorespuesta.
Avecesestamosinteresadossinembargoenlasconsecuenciasdeuncambiopermanenteen
.w Uncambiopermanenteen w significaque 1, ,...,t t t jw w w+ + podraincrementarseporuna
unidad.Desdelafrmula(1.6),elefectosobre t jy + deuncambiopermanenteen
w empezandoenelperodo testardadopor
1
1 2
... ... 1.t j t j t j t j j j
t t t t j
y y y y
w w w w
+ + + +
+ + +
+ + + + = + + + +
(1.15)
Suponiendoque 1 < ,ellmitedeestaexpresinenlamedidaque j vaainfinitodescrita
comoelefectodelargoplazode w sobre y :
( )
2
1 2
lim ... 1 ...
1.
1
t j t j t j t j
jt t t t j
y y y y
w w w w
+ + + +
+ + +
+ + + + = + + + =
=
(1.16)
Porejemplo,laelasticidaddelargoplazodelademandapordineroenelsistema(1.2)est
dadopor
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0.190.68
1 072=
(1.17)
Unincrementodel1%enelingresollevareventualmenteaun0.68%deincrementoenla
demandapor
dinero.
Otrapreguntarelacionadaconciernealasconsecuenciasacumulativaspara y deuncambio
deunavezen w .Aquseconsideraunaperturbacintransitoriaa w ,perodeseamos
acumularlasumadelasconsecuenciasparatodoslosvaloresfuturosde y .Otraformade
pensarestoeselefectosobreelvalorpresentede y conunatasadedescuento 1 = .
Haciendoque 1 = en(1.14)muestraqueesteefectoacumulativoesiguala
( )0
1,
1
t j
j t
y
w
+
=
=
(1.18)
suponiendoque 1 < .Notemosqueelefectoacumulativosobre y deuncambiotransitorio
en w (1.18)eslomismoqueelefectodelargoplazosobre y deuncambiopermanenteen
w (expresin1.16)).
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Ecuaciones en Diferencias de Orden .thp
Generalicemosahoraelsistemadinmico(1.1)permitiendoqueelvalorde y eneltiempo
tdependade p desuspropiosrezagosconelvaloractualdelavariabledeinput tw :
1 1 2 2 ... .t t t p t p t y y y y w = + + + + (1.19)
Laecuacin(1.19)esunaecuacinendiferenciaslinealdeordenp.
Esconvenientereescribiraestaecuacin(1.19)queesunaecuacinendiferenciasdeorden
penelescalar ty comounaecuacinendiferenciasdeprimerordenenunvector t .
Definamosel
vector
( )1p t ,por:
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1
2
1
.
t
t
tt
t p
y
y
y
y
+
=
(1.20)
Estoes,elprimerelementodelvector entiempoteselvalorqueytomeneltiempot.El
segundoelementoeselvalordeyeneltiempot1yassucesivamente.Definamoslamatriz
F de ( )p p dadapor:
1 2 3 1
1 0 0 0 0
.0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
p p
F
(1.21)
Porejemplo,para 4p = , F serefierealasiguientematrizde4x4:
1 2 3 4
1 0 0 0 .0 1 0 0
0 0 1 0
=
F
(1.22)
Parap=1, F essloelescalar . Finalmente,definimoselvector tv por
0
.0
0
t
t
w
v
(1.23)
Consideremoslasiguienteecuacinendiferenciasvectorialdeprimerorden:
1t t t= + F v (1.24)
Esteesunsistemadepecuaciones.Laprimeraecuacinenelsistemaesidnticaalaecuacin
(1.19).La
segunda
ecuacin
es
simplemente
la
identidad:
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( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
11 1 12 2 1 11 0
1 1
11 1 11 1
...
... .
t t t t
t p p
t
t t
y f y f y f y f w
f w f w w
+ + +
= + + + + +
+ + + + (1.30)
Estodescribeelvalordeyeneltiempotcomounafuncinlinealdelospvaloresinicialesdey
( )1 2, ,..., p y y y ylahistoriadelavariableinputwdesde0 ( )0 1, , ..., tw w w .
Laobviageneralizacinde(1.5)es
1 2
1 1 2
1
...
...
t j j j j
t j t t t t
t j t j
+ + + +
+ +
= + + + +
+ +
F F v F v F v
Fv v
(1.31)
desdedondepodemosobtener:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
11 1 12 2 1 11
1 2 1
11 1 11 2 11 1
...
... .
j j j j
t j t t p t p t
j j
t t t j t j
y f y f y f y f w
f w f w f w w
+ + +
+
+ + + +
= + + + + +
+ + + + + (1.32)
Porlotanto,paraunaecuacinendiferenciasdeordenp,elmultiplicadordinmicoestdado
por
( )11
t j j
t
yf
w
+ =
(1.33)
donde( )
11
jf denotaelelemento(1,1)de .jF Paraj=1,estoessimplementeelelemento(1,1)de
F ,oseaelparmetro 1 .Porlotanto,paraunsistemadeordenp,elefectosobre 1ty + deun
incrementounitarioen tw estdadoporelcoeficientequerelacionaa ty con 1ty enla
ecuacin(1.19):
11.
t
t
y
w+
=
(1.34)
Lamultiplicacindirectade F revelaqueelelemento ( )1,1 de 2F es ( )21 2 , + demanera
que:
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221 2
t
t
y
w +
= +
(1.35)
enunsistemadeordenp.
Paravaloreslargos ,j uncaminofacilparaobtenerunvalornumricoparaelmultiplicador
dinmico
t j
t
y
w
+
(1.36)
essimularelsistema.Estoeshechodelasiguientemanera.Seestablece
1 2 0... 0, 1,p y y y w = = = = = yseestableceelvalorde w paratodoslosotrosperodos
igualesa0.Luegousamos(1.19)paracalcularelvalorde ty parat=0(estoes, 0 1).y = Luego
substituimosestevalorenconjuntocon 1 2 1, ,...,t t t p y y y + devueltaen(1.19)paracalcular
1ty + ycontinuamosrecursivamentedeestamanera.Elvalorde y enelpasotnosdaelefecto
deuncambiounitarioen 0w sobre ty .
Apesardequelasimulacinnumricapuedeseradecuadaparamuchascircunstancias,es
tambinconvenientetenerunacaracterizacinanalticasimpledet j
t
y
w
+
,lacual,sabemos
estdadaporelelemento(1,1)dej
F .Estoesbastantefacildeobtenerentrminosdelos
eigenvaloresdelamatriz F .Recordemosqueloseigenvaloresdeunamatriz F sonaquellos
nmeros paraloscuales
0. =F I (1.37)
Porejemplo,para 2p = loseigenvaloressonlassolucionesa:
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1 2 00
1 0 0
=
(1.38)
o
( ) 21 21 2 0.
1
= =
(1.39)
Losdoseigenvaloresde F paraunaecuacindiferencialdeordendosestnporlotantodados
por:
2
1 1 2
1
2
1 1 2
2
4
2
4
2
+ +
=
+=
(1.40)
Paraunsistemadeordenp,eldeterminantede(1.37)esunpolinomiodeordenpen cuyas
psolucionescaracterizanlospeigenvaloresde F .Estepolinomiotieneunaformamuysimilar
a(1.39).ElsiguienteresultadoesprobadoenelApndicealfinaldeestecaptulo.
Proposicin 1.1
Loseigenvaloresdelamatriz F sonlosvaloresde quesatisfacen:
1 2
1 2 1... 0. p p p
p p
= (1.41)
Unavezqueconocemosloseigenvalores,esdirectocaracterizarelcomportamientodinmico
delsistema.Primeroconsideramoselcasocuandoloseigenvaloresde F sondistintos;por
ejemplo,requerimosque 1 y 2 seannmerosdiferentes.
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Solucin General de una Ecuacin en Diferencias de Orden p con
Eigenvalores Diferentes
Recordemosquesiloseigenvaloresdeunamatriz ( )p p F sondistintos,entoncesexisteuna
matriz ( )p p T talque:
1=F TT (1.42)
donde es
una
matriz
( )p p conloseigenvaloresde F enladiagonalprincipalycerosen
lasdemspartes:
1
2
0 0 0
0 0 0.
0 0 0 p
=
(1.43)
Estonospermitecaracterizarelmultiplicadordinmico(elelemento(1,1)dej
F en(1.33)muy
fcilmente.Porejemplo,desde(1.42)podemosescribir2
F como:
( )
2 1 1
1
1
2 1.
p
= =
= =
= =
=
-1
F TT TT
T T T T
T I T
T T
(1.44)
Laestructuradiagonalde implicaque2
estambinunamatrizdiagonalcuyoselementos
sonloscuadradosdeloseigenvaloresde F :
2
1
2
22
2
0 0 0
0 0 0.
0 0 0p
=
(1.45)
-
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20
Msgeneralmente,
1j j =F T T (1.46)
donde:
1
2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
j
j
j
j
p
=
(1.47)
Sea ijt elelementodelafilaiylacolumnaj,enlamatriz T yseaij
t elelementodelafilai,
columnaj,de1T .Laecuacin(1.46)escritaenformacompletaseconvierteen:
11 12 111 12 1 1
21 22 221 22 2 2
1 21 2
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
j pp
j ppj
j p p pp p p pp p
j j j
p p
j j j
p p
j j
p p pp
t t t t t t
t t t t t t
t t t t t t
t t t
t t t
t t t
= =
=
F
11 12 1
21 22 2
1 2
p
p
j p p ppp
t t t
t t t
t t t
(1.48)
desdelacualelelemento(1,1)delamatrizj
F estdadapor:
( ) 11 12 111 11 1 12 2 1...
j j j p j
p p f t t t t t t = + + + (1.49)
o
( )11 1 1 2 2 ...
j j j j
p p f c c c = + + + (1.50)
donde
1
1 .i
i ic t t = (1.51)
Notemosquelasumadelos ic trminostienelasiguienteinterpretacin:
-
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11 21 1
1 2 11 12 1... ... ,p
p pc c c t t t t t t + + + = + + + (1.52)
elcualeselelemento(1,1)de1
TT .Dadoque
1TT
(1.53)
esslolamatrizidentidad ( )p p implicaquelasumadelos ic debeserigualauno.
Sustituyendo(1.50)enlafrmuladelmultiplicadordinmiconosdaelmultiplicadordinmico
paraunaecuacinendiferenciasdeordenp:
1 1 2 2 ... .t j j j j
p p
t
yc c c
w
+ = + + +
(1.54)
Laecuacin(1.54)caracterizaalmultiplicadordinmicocomounpromedioponderadodecada
unodelospeigenvaloreselevadosalapotenciaj.
Elsiguienteresultadoproveeunaexpresinenformacerradaparalasconstantes .ic
Proposicin 1.2
Silos
eigenvalores
( )1,..., p delamatriz F sondistintos,entonceslasmagnitudes ic en
(1.54)puedenserescritascomo:
( )
1
1
.p
i
i p
i k
kk i
c
=
=
(1.55)
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Parasintetizar,