2009
1
Introdução
O presente material pedagógico, doravante designado por “Guia de Matemática para o
Acesso à Uni-CV", foi produzido com a intenção de ser utilizado como um auxiliar do estudo
a ser promovido pelo aluno, com vista a um melhor desempenho em provas de acesso na área
de Matemática, para cursos da Universidade de Cabo Verde.
Com a produção deste material visa-se, sobretudo, garantir a todos os estudantes candidatos a
equidade possível na procura de oportunidades de ingresso nos cursos disponibilizados pela
Universidade de Cabo Verde, em que a disciplina de Matemática seja considerada nuclear.
Na sua concepção, foi tido como ponto de partida o perfil de saída do estudante do Ensino
Secundário e o programa de Matemática para esse nível de ensino, particularmente centrado
no 3º ciclo, no pressuposto de que esse ciclo deve também integrar o percurso matemático do
aluno.
Tendo em conta a limitação estabelecida por um lado pela escassez de tempo para uma
produção tão importante e, por outro, pela dimensão e formato impostos ao produto final, será
importante que o aluno realize um estudo mais abrangente, exaustivo e aprofundado dos
temas abordados ao longo do Guia, sendo, contudo, importante que tenha sempre presente que
este Guia de Matemática não terá certamente a abrangência máxima mas sim a possível no
contexto da sua concepção.
A concepção do material visa a aplicação e utilização da Matemática na resolução de
problemas, recomendando-se que o suporte teórico seja procurado em bibliografia específica,
sempre que o estudante candidato na sua auto-avaliação, que deve ser permanente e
sistemática, considerar que nos seus conhecimentos existem lacunas de carácter teórico que
comprometem a resolução dos problemas e desafios propostos. Nesse sentido, este Guia deve
ser considerado como uma orientação para a necessária e indispensável pesquisa teórica a ser
realizada pelo aluno e também na selecção de propostas de problemas em suportes científicos
de origem diversa.
As propostas que constam do Guia pretendem ser variadas nos assuntos e no grau de
dificuldade. O estudante candidato poderá encontrar questões de escolha múltipla, de
aplicação e de desenvolvimento.
2
O Guia de Matemática começa por apresentar os temas considerados importantes para o
ingresso nos cursos de licenciatura disponibilizados pela Uni-CV aos quais sucedem as
expectativas da instituição em relação aos mesmos. Encontra-se organizado em duas partes:
uma em que se propõe um conjunto de exercícios e problemas referentes a cada um dos temas
seleccionados no final dos quais apresenta algumas das propostas resolvidas de modo a
evidenciar os passos mais importantes dessas resoluções. Na outra parte apresentam-se
propostas de provas realizadas por instituições diversas, com vista a propiciar ao estudante
abordagens do mesmo tema sob perspectivas diferentes, com base na variedade. Há também
referências bibliográficas consideradas pertinentes para consulta.
Será bem-vinda qualquer crítica, observação ou correcção dos leitores, em particular daqueles
que trabalham nesta área e que tenham a amabilidade de fazê-la(s) chegar ao nosso
conhecimento.
A expectativa é a de que o desafio lançado com a produção deste Guia de Matemática para a
prova de acesso se traduza num reforço das bases de conhecimento do ensino secundário dos
estudantes candidatos ao ensino superior e que esse reforço possa ser traduzido num melhor
desempenho nas provas de acesso.
A todos os estudantes que pretendem realizar a prova de acesso desejamos os maiores
sucessos.
3
Índice
Introdução ---------------------------------------------------------------------------------------- 1
Temas -------------------------------------------------------------------------------------------- 4
Expectativas sobre conteúdos e processos matemáticos ---------------------------- 5
Expressões Algébricas: Polinómios, Fracções, Expressões irracionais. Condições
- Propostas de questões ----------------------------------------------------------------------- 8
Geometria no plano - Propostas de questões 12
Sucessões - Propostas de questões 20
Funções Reais de Variável real ;Derivadas e suas aplicações - Propostas de
questões 27
Soluções das questões e algumas propostas de resolução 51
Expressões Algébricas e Condições - Soluções
Geometria no plano - Soluções 56
Sucessões - Soluções 57
Funções Reais de Variável real; Derivadas e suas aplicações - Soluções 60
Testes de instituições diversas 63
Bibliografia 87
4
Temas
I. Expressões Algébricas: Polinómios, Fracções, Expressões irracionais.
II. Condições: Equações, Inequações.
III. Geometria no plano: Vectores, produto escalar, ângulo de dois vectores, recta,
posição relativa de rectas e pontos, posição relativa de rectas,
IV. Funções Reais de Variável Natural: Sucessões.
V. Funções Reais de Variável Real: Funções racionais, Funções irracionais, Funções
transcendentes (exponencial, logarítmica, trigonométricas)
VI. Derivadas e aplicações.
5
Expectativas sobre conteúdos e processos matemáticos que os alunos
devem estar habilitados a saber e a fazer
Os alunos deverão estar habilitados para:
1.1. Factorizar polinómios;
1.2. Escrever polinómios a partir de condições iniciais (raízes ou outras condições);
1.3. Determinar o domínio de expressões algébricas fraccionárias e de expressões
algébricas irracionais;
1.4. Escrever formas equivalentes de expressões, equações, desigualdades e sistemas de
equações conducentes à sua simplificação e/ou sua resolução;
1.5. Operar com fracções algébricas;
1.6. Resolver equações algébricas inteiras, fraccionárias, biquadradas, irracionais,
modulares e transcendentes;
1.7. Resolver sistemas de duas equações analítica e geometricamente.
2.1. Calcular termos de qualquer ordem de uma dada sucessão;
2.2. Verificar se um determinado valor é ou não termo de uma sucessão dada e em caso
afirmativo, determinar a sua ordem;
2.2. Analisar e decidir da monotonia de uma sucessão;
2.3. Verificar e decidir se uma sucessão é ou não limitada;
2.4. Reconhecer progressões aritméticas e a sua razão;
2.5. Reconhecer progressões geométricas e a sua razão;
2.6. Determinar o termo geral de progressões (aritméticas e geométricas) a partir de
condições e/ou propriedades dadas;
2.7. Determinar a soma de termos consecutivos de progressões (aritméticas e geométricas).
6
2.8. Classificar uma sucessão quanto à natureza e existência de limites.
2.9. Calcular o limite de sucessões, incluindo o recurso a levantamento de indeterminação
e ao número de Nepper.
3.1. Operar com vectores;
3.2. Determinar norma, versor e co-senos directores de um vector no plano;
3.3. Determinar o produto interno de dois vectores no plano;
3.4. Determinar o ângulo de dois vectores no plano;
3.5. Especificar posições e descrever relações no plano, recorrendo à geometria de
coordenadas
3.6. Resolver problemas que envolvam vectores no plano, norma, produto interno e ângulo
de dois vectores;
3.7. Determinar equações da recta, conhecidos dois de seus pontos ou um ponto por onde
passa e um vector director;
3.8. Determinar pontos de intersecção de rectas no plano;
3.9. Determinar o ângulo de duas rectas no plano.
3.10. Analisar as características e propriedades de entes geométricos e concluir sobre as
suas relações geométricas.
4.1. Determinar a imagem de um dado objecto numa dada função (inteira, fraccionária,
irracional, trigonométrica, exponencial e logarítmica);
4.2. Determinar, numa dada função, o original de uma imagem conhecida;
4.3. Analisar e concluir sobre funções em relação ao domínio, contradomínio, simetria,
injectividade, bijectividade;
4.4. Determinar a função inversa de uma função injectiva;
4.5. Operar com funções;
7
4.5. Caracterizar a função composta de funções dadas.
4.6. Calcular limite de funções reais de variável real (incluindo levantamento de
indeterminação).
4.7. Analisar e decidir da continuidade de uma função dada.
4.8. Identificar a restrição de uma função, sujeita a condições iniciais.
4.9. Reconhecer se uma dada função admite assímptotas e, nesse caso, determinar a
equação.
4.10. Representar graficamente uma função.
4.11. Reconhecer se um gráfico pode ou não ser a representação geométrica de uma dada
função;
4.12. Interpretar taxas de variação de funções com base em dados gráficos e numéricos.
4.1. Determinar a derivada de uma função num ponto utilizando a definição e por recurso
às regras de derivação.
4.2. Aplicar regras de derivação no cálculo da 1ª e 2ª derivada de uma função dada;
4.3. Fazer o estudo de uma função quanto à monotonia;
4.4. Determinar e reconhecer a existência de extremos, o sentido das concavidades e a
existência de pontos de inflexão;
4.5. Resolver problemas que envolvam a determinação de extremos de uma dada função.
6.1. Reconhecer e usar conexões entre ideias matemáticas;
6.2. Organizar o pensamento matemático através da comunicação matemática;
6.3. Usar a linguagem matemática para expressar ideias matemáticas com precisão;
6.4. Aplicar e adaptar estratégias adequadas para resolver problemas;
8
Tema I e II
Propostas de questões
Expressões Algébricas: Polinómios, Fracções,
Expressões irracionais. Condições
1. Simplifique cada uma das fracções e indique o conjunto em que a simplificação é válida:
a) xx
x
2
3
2
2
b) 2
2
3
9
xx
x
c) 42
2
2
x
x d)
1
1292
2
23
x
xxx
32
22 )e
2
23
xx
xxx
xx
xx
33
)23()23( )f
2
2
234
25
)gxxx
xx
2. Efectue as operações e simplifique os resultados indicando o domínio onde a
simplificação é válida:
3
2
4
1
12
3 )a
23
2
xxxxx
xx
1
63:
1
105 )b
2
x
x
x
x
x
x
xx 3
1:
1
3
1 )c
3. Resolva em IR cada uma das seguintes equações e indique o conjunto solução:
01
78 )a
2
x
xx
xx
32
3
4 )b
43
1
36
21 )c
2
2
x
x
x
x
01029 x)d 224 x
0415 x)e 224 x
6x 32x )e
x3x 5x42x )f
4. Resolva, em IR , cada uma das seguintes inequações e sempre que possível escreva as soluções sob a forma de conjunto ou de reunião de conjuntos:
2
34
2
32 )a
xx
x
23
1 )b
x
x
96
650 )c
2
2
xx
xx
9
0)5(
9 )d
2
2
x
x
05
)2)(3( )e
x
xx
0)1(
)3( )f
4
5
2
xx
x
5)12(log 2 )g 3 x
)(log4)1(log )h2
22
xx
14log 2 3 )i 1/5 x
7
1527 )j 1x
032 )k x212-3x
5595 )l x32x
x2x 34632 )m
xgl 272 log2 )7
1( log x)-(1o )n
5. Determine o domínio de cada uma das expressões seguintes:
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
6. Uma condição equivalente à inequação (0,05) log2(x–1) – 1 ≥ 0 é:
a) 0 ≤ x ≤ 2 b) 1 < x ≤ 3 c) 1 < x ≤ 2 d) x ≤ 2 e) x > 1
7. Sabendo que: ln (x) – ln (e1/3) > 0 onde ln designa logaritmo na base e, então
um valor possível para x é:
(A) 0 (B) -1 (C) 1 (D) 2
8. O polinómio P (x) = x3 – 2 x2 – 13 x – 10 é divisível por x + 2 .Com base nesse
conhecimento resolva a condição P (x) < 0,
10
9. Factorize o polinómio5 4 3 2( ) 2 2 6 6 4 4A x x x x x x o mais possível,
sabendo que ele é divisível pelo binómio ( 2x+2 ).
10. O polinómio B(x) = - 2x4 + 6x3 - 4x admite a raiz 1.
10.1. Calcule o resto da divisão de B(x) por 3x- 6.
10.2. Factorize B(x) o mais possível.
11. Os polinômios p(x) e q(x) têm graus n + 2 e n + 3 respectivamente, com n Є IN.
O grau do polinômio p(x).q(x) é:
A) n2 + 5n + 6 B) 2n + 5 C) maior que 2n + 5
D) menor que 2n + 5 E) n2 + 6
12. O polinômio p(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 é divisível por:
a) (x –1)(x –2) b) (x –1)(x+1) c) (x+1)(x –2)
d) (x –2)(x+2) e) (x –3)(x+1)
13.Um polinómio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas por ordem
crescente, constituem três termos consecutivos de uma progressão aritmética.
Sabe-se que a soma dos 3 termos é igual a 9/5.
A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 24/5
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinómio é 5, determine:
13.1. as três raízes do polinómio
13.2. o coeficiente do termo de grau 1 desse polinómio.
11
14. Considere um polinómio P(x ) de grau 3, definido em IR, em que a variação de
sinal é estabelecida de acordo com o quadro seguinte:
x 3 0 3 +
sinal de P(x)
+ 0 0 0 -
14.1. Sem determinar o P(x), resolve as condições:
a) (x 5) . P(x) = 0
b) (x2 4) . P(x) 0
c) P(x) 0
d) P(x 4) 0
14.2. Indique os valores reais de x que dão significado a cada uma das
expressões seguintes:
a) )(
2
xP
x
b) )1( xP
x.
12
Tema III
Propostas de questões
Geometria no plano
1. A recta de equação (x, y) = (2, 4) + K (0, 3), onde K é real , possui o ponto de
coordenadas
(A) A (2, 1) (B) B (0, 0) (C) C(–2, –4)
(D) nenhuma das respostas anteriores está correcta.
2. O vector (3, 5) é colinear com o vector de coordenadas:
(A) (–3, 5) (B) (3, –5) (C) (–5, 3) (D) (6, 10)
3. A equação y = m x + 2 (mЄR) admite como gráfico uma recta que:
(A) Intersecta o eixo das abcissas em valores positivos se m< 0.
(B) Intersecta o eixo das abcissas em valores positivos se m>0.
(C) Intersecta o eixo das abcissas na origem se m=0.
(D) Não intersecta o eixo das abcissas se m≠0.
4. O ponto D = está localizado:
(A) Fora do segmento [AB]
(B) Sobre o ponto médio de [AB]
(C) No segmento [AB], mas não no seu ponto médio.
(D) Num dos extremos do segmento [AB].
5. Considere o vector (1, m). Para que a norma de seja 3, o valor de m terá que
ser igual a:
(A) 3. (B) ou – . (C) .
13
(D) nenhuma das respostas anteriores está correcta.
6. Num r.o.n. considere os pontos A(2, 4) e B(5, 2).
6.1. A expressão representa:
A) Um ponto exterior a [AB]. B) Um ponto de [AB].
C) O ponto médio do segmento [AB]. D) Um vector.
6.2. Existirá algum valor real k que verifique, onde C ( )?
7. A equação 2
1cos2 x , no intervalo ,2 , tem:
(A) 2 soluções (B) 4 soluções (C) 6 soluções (D) 8 soluções.
8. Qual das seguintes expressões representa o conjunto de todos os ângulos ,
com amplitude em radianos, cujo seno é nulo?
(A) Zkk ,2 (B) Zkk ,
(C) Zkk ,2
(D) Zkk ,22
9. A inclinação ( no sistema circular ) da recta
representada na figura ao lado é,
aproximadamente, igual a:
(A) 0,38 rad (B) 2,76 rad
(C) 1,57 rad (D) 0,4 rad
10. Observe o losango de lado a representado na figura ao lado.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A)
(B)
(C)
DC
B A
14
(D)
11. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma recta r. Um
ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na
figura. Inicialmente o ponto P encontra-se à distância de 2 unidades da recta r.
Seja )(d a distância de P a r, após uma rotação de amplitude . Qual das
igualdades seguintes é verdadeira para qualquer real positivo ?
(A) cos1)( d (B) send 2)(
(C) cos1)( d (D) send 2)(
12. Considere as rectas desenhadas
no referencial o.n. simbolizado na
figura ao lado.
Sabendo que:
r: 34
3 xy
r e s são perpendiculares r e t são concorrentes no ponto
C pertencente ao eixo Oy
12.1 Determine:
a) um vector director da recta r;
b) um vector perpendicular à recta r;
c) o declive da recta s;
d) o declive da recta t.
12.2 Escreva uma equação vectorial da recta t.
135º
y
x
t
s
r
F
4
0
C
15
12.3 Determine analiticamente as coordenadas do ponto F.
13. Verifique e justifique se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou
falsa.
A justificação pode ser apoiada numa figura.
13.1. O ângulo de duas rectas no plano é sempre igual ao ângulo dos seus
vectores directores.
13.2. Se é perpendicular a e é colinear com então é perpendicular
a .
13.3. Se e são ambos perpendiculares a então e são colineares.
14. Considere os pontos A (–1, 2), B(0, –3) e C (2, 5).
14.1. Determine D, sabendo que D = A + 2 , e que M é o ponto médio de [AC].
14.2. Determine uma equação da recta que contenha o ponto A e que seja
paralela à recta BC.
14.3. Determine a equação reduzida da recta que contém o ponto B e que
intersecta a recta r de equação y = – 2 x + 1 no ponto de abcissa 1.
14.4. Determine uma equação paramétrica da recta que admite como equação
reduzida y = .
15. Considere, num r.o.n. os pontos A(5, 2) e B(b, b2), e o vector (3,−2) .
15.1. Determine a equação reduzida da recta s que passa pelo ponto A e é
perpendicular ao vector .
15.2. Determine analiticamente os valores de b para os quais AB // .
16. Considere, num referencial o.n. do plano, a recta r de equação y = 2x −1 e o
ponto A (2, –1). Qual das seguintes condições define a recta paralela a r que
passa pelo ponto A?
A) (x, y) = (−1, 2)+ k(1, 2), kЄIR C) (x, y) = k(−1, 2), kЄ IR
B) y = 2x + 3 D) ( x,y ) = (3, 1) + k( 1/2, 1), kЄR
16
17. ABCD é um quadrado, M e N são os pontos
médios dos lados BC e BA , respectivamente.
Mostre, vectorialmente, que MDNC .
18. Seja r uma recta de inclinação º60 . Um vector director de r pode ter de
coordenadas:
(A) 1,2 (B) 3,1 (C) 1,3 (D) 3,2
19. Seja 3,2u o vector director de uma recta s. Então, uma recta
perpendicular à recta s tem como declive:
(A) 3
2m (B)
3
2m (C)
2
3m (D)
2
3m
20. A expressão
cos
2sen é equivalente a :
(A) 0 (B) sen2 (C) cos2 (D) cossen
21. A figura representa uma circunferência de centro O e
diâmetro [AB] cujo raio mede 5 cm. O ponto P
desloca-se sobre a semicircunferência superior de A
para B e o ponto Q desloca-se sobre a
semicircunferência inferior de A para B, de tal forma
que se tem sempre AQAP .
Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude do ângulo PBA
2,0
x .
A área do quadrilátero [APBQ] é dada, em função de x, por
A( x ) = 50sen ( 2x )
21.1. Calcule o valor exacto de
6
A .
N
M
DC
B A
OA B
P
Q
x
17
21.2. Para que o quadrilátero seja um quadrado P e Q têm que estar em lados
opostos de um diâmetro. Indique qual o valor do ângulo x nesse caso e,
utilizando a função, determine a área desse quadrado.
22. Considere os pontos R( 1, -2) e S( 3, 4) e o vector ( 3 , -4) .
22.1. Calcule, pelas suas coordenadas, o vector .
22.2. Calcule as coordenadas de um vector colinear com de norma 9.
22.3. Determine a equação reduzida da recta t que contém o ponto médio de
médio de [RS] e tem a direcção do vector . Determine a posição relativa
das rectas t e RS .
23. Considere a recta m de equação y = - 3x + 2 .
23.1. Mostre que o ponto B( -1, 3) não pertence à recta m.
23.2. Apresente dois vectores directores da recta m de comprimentos diferentes.
23.3. Defina uma equação da recta t paralela à recta m sabendo que intersecta o
eixo dos YY no ponto de ordenada 4.
24. Para cada uma das questões seguintes escolha a opção correcta:
Das seguintes afirmações apenas uma é verdadeira. Qual?
(A) O cosseno de um ângulo pode ser ;
(B) Para qualquer ângulo do 2º quadrante o cosseno é maior do que o seno;
(C) A tangente de um ângulo do 2º quadrante é positiva;
(D) tg(x) . cos (x) > 0 para todo o x do 4º quadrante.
25. O simétrico de um ponto P(a, b) relativamente ao eixo das ordenadas é:
(A) P‟ (–a –b) (B) P‟ (–a, b)
(C) P‟ (a, –b) (D) nenhuma das respostas anteriores está correcta.
18
26. Sabendo que 4 podemos concluir que
(A) e são colineares;
(B) o ângulo formado por e é agudo;
(C) e são simétricos;
(D) o ângulo formado por e é obtuso.
27. No plano, apenas uma das seguintes afirmações é verdadeira. Qual?
(A) a recta x = 5 tem inclinação p ;
(B) a recta definida por y = 2 x –1 faz um ângulo de π /2 rad com a recta definida
por (x,y) = (5,8) + k ( 2,-1) , onde k IR;
(C) as rectas y = 5 x e y = 1/5 x são perpendiculares;
(D) rectas com vectores directores iguais são coincidentes.
28. Das rectas seguintes, qual é a paralela à recta y = 2x – 1.
(A) (x,y)=(-1, 2) + k(1, -2) , k IR (B) (x,y)=(-1, 2) + k(-2, 6) , kIR
(C) (x, y)=(2, -1)+k( 2, 1) , kIR (D) (x,y)=(2, -1) + k (2
1, 1) , kR
29. Resolva, no sistema circular, a equação sen (2x+ π /5) = sen( - 19 π /3).
30. Simplifique o mais possível a expressão:
[sen2 (5x) + cos2 (5x)].[1+ tg2(2x) ].cos2(2x).
31. Considere numa base o. n., os vectores
19
e
onde k representa um número real. Determine k de modo que:
31.1. e sejam perpendiculares.
31.2.
32. Considere num referencial o. n. os vectores (1, -1) e
32.1. Calcule, na base as coordenadas do vector perpendicular a v
e de
norma 3 5 .
32.2. Determine w
de norma 4, sabendo que .
20
Tema IV
Propostas de questões
Sucessões
1. Considera as seguintes sucessões, definidas pelo seu termo geral:
158 1
1 1 2
nnd
n
ncb
na nn
n
nn
Escolha a afirmação verdadeira:
(A) As sucessões são todas limitadas. (B) As sucessões são todas monótonas. (C) Só duas das sucessões são limitadas. (D) Só duas das sucessões são monótonas.
2. Considere a sucessão de termo geral 2
52
n
nun
2.1 Determine o termo de ordem 10 e o termo de ordem 100.
2.2 Prove que a sucessão é limitada.
2.3 Mostre que a sucessão é monótona.
2.4 Determine a ordem a partir da qual todos os termos são maiores do que 1.
3. Esta linha em “serpente” é formada por
semi-circunferências alternadamente
acima e abaixo do nível tracejado. Cada
arco tem de raio metade do anterior.
Prove que, se a “serpente” tiver 12
arcos, o seu comprimento é
9
12
2
12 .
4. Considere a sucessão (Un) definida pelo termo geral n
nun
14
4.1 Calcule o 7º e o 10º termos da sucessão.
4
21
4.2 Verifique se 10
42 é termo da sucessão dada. Em caso afirmativo, indique a
sua ordem.
4.3 Estude a sucessão quanto à monotonia.
4.4 A sucessão é limitada? Justifique.
4.5 Verifique se existem condições para concluir sobre a convergência de Un
5. Se an = cos ( ) , nЄIN, então o valor de a1 + a2 + … + a100 é dado por:
a) b) c) 0 d) e)
6. Considere as sucessões de termos gerais:
12 3 2 1
; 22 1 3
bn n
n n n
n nU V e X
n n
6.1. Determine a menor ordem, a partir da qual todos os termos da sucessão
0,1( 3)nU V .
6.2. Determine o valor de b, de modo que 1
lim nVe
.
6.3. Prove que ( )nX é uma progressão geométrica decrescente e calcule a soma de
todos os seus termos.
6.4. Defina ( )nX por recorrência.
7. Escreva uma expressão simplificada do termo geral de uma progressão
aritmética, sabendo que tem razão 2
3 e o primeiro termo é
2
5.
8. Numa progressão aritmética na de razão 3, o primeiro termo é igual a 5.
8.1. Escreva uma expressão do termo geral de. na
8.2. Calcule 3076 aaa
8.3. Sabendo que a soma dos n primeiros termos é 19208, calcule n.
22
9. Calcule, caso exista o
7
lim5
nn
n
.
10. Num laboratório está a ser efectuado um estudo sobre a evolução de uma
população de vírus.
A seguinte sequência de figuras representa os três primeiros minutos da
reprodução do vírus (representado por um triângulo).
10.1. Supondo que se mantém constante o ritmo de desenvolvimento da
população de vírus, mostre que o número de vírus obedece a uma progressão e
escreve o seu termo geral.
10.2. Determine o número de vírus ao fim de 2 horas.
11. O Pedro foi juntando as suas economias e, neste momento, tem 1000 contos que decide colocar no banco, constituindo uma poupança.
Para o efeito dispõe de duas opções:
Opção A: Por cada ano de aplicação do capital, receber 40 contos de juros. Opção B:
Por cada ano de aplicação do capital, receber juros à taxa anual de 3,5%, a incidir sobre o capital total acumulado até à data.
11.1. Relativamente à opção B, designe por (bn) a sucessão cujos termos são os valores do capital existente decorridos 8 anos. Sabendo que (bn) é uma progressão geométrica, determine a razão. Justifique a sua resposta.
11.2. Comente a seguinte afirmação:
«Comparando as duas opções apresentadas, se nos primeiros anos a opção
A é a melhor escolha, a partir de certa altura a opção B torna-se mais
vantajosa.»
23
(Sugestão: Determine o ano a partir do qual o capital acumulado de acordo com a
opção B é superior ao capital acumulado caso se tivesse escolhido a opção A.
Poderá ser útil ter em atenção que bn=1000x1,035n.)
12. Considera as sucessões Un e Vn de termos gerais
Un = 4n3 e Vn =
Escolha, entre as seguintes, a afirmação verdadeira:
A) lim ( Un x Vn )= -∞ B) lim (Un + Vn )= -∞
C) lim ( Vn / Un )= +∞ D) lim ( Vn - Un )= +∞
13. O valor do limite da sucessão (Wn) definida pelo seu termo geral
Wn =
É dado por: A) e3
B) e-3 C) -e3
D) – 1/ e3
14. A sucessão (Zn) é dada pelo produto de duas outras (Un) e (Xn). Sabe-se que
(Un) tem por termo geral Zn = e que Xn =
14.1. Mostre que - é termo de (Xn) e determine a sua ordem.
14.2. Prove analiticamente que a sucessão (Xn) é estritamente monótona.
14.3. Represente (Xn) geometricamente.
14.4. Determine, caso existam, a ordem de cada um dos termos de (Xn) que
pertencem ao intervalo ] – 3-0,1 ; -3+0,1[.
14.5. Calcule, caso exista, o limite de ( Zn).
15. Seja uma progressão geométrica (an ) de termo geral an = .
15.1. Calcule o 4º termo da progressão
15.2. A soma de todos os termos de na é igual a:
A. 1
1 B.
1
1 C. D. 0