Grupos de Estacas sob Aces HorizontaisAnlise com Recurso a Multiplicadores-p Pedro Jorge Borges de Sousa Meneses

Dissertao para obteno do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientador:

Prof. Jaime Alberto dos Santos

Setembro de 2007

NDICE GERALRESUMO.iii ABSTRACT.iv AGRADECIMENTO....v NDICE DE TEXTO.........................vi NDICE DE FIGURAS.......................viii NDICE DE QUADROS.xi SIMBOLOGIA.xii

1 2 3 4 5

CONSIDERAES INICIAIS.......................1 MODELO NUMRICO.3 VALIDAO DO MODELO NUMRICO26 EFEITO DE GRUPO....................31 CONSIDERAES FINAIS..78

BIBLIOGRAFIA.80

ii

RESUMO

Este trabalho teve como objectivo a simulao, no programa SAP2000, do ensaio de carga lateral sobre um grupo de 3x3 estacas em areias sobrejacentes a argila relatado no trabalho de Rollins et al. (2005), com vista comparao dos valores obtidos para os momentos flectores e deslocamentos atravs do modelo computacional elaborado com os valores correspondentes medidos e calculados por aqueles autores. No modelo elaborado adoptaram-se os multiplicadores-p propostos por Rollins et al. para cada linha do grupo de estacas. As curvas py adoptadas para reproduzir o comportamento no linear do solo seguiram a proposta de Reese et al. (1974), no caso das camadas de areia, e a proposta de Matlock (1970), no caso das camadas de argila. Verificou-se haver uma concordncia razovel entre os deslocamentos e os momentos flectores apresentados no trabalho de Rollins et al. (2005) e os obtidos com o modelo computacional realizado. Conclui-se assim serem adequados os multiplicadores-p propostos por aqueles autores para entrar em linha de conta com a distribuio real da carga lateral dentro do grupo de estacas, influenciada pelo designado efeito de grupo, efeito de sombra ou interaco estaca-solo-estaca. Conclui-se tambm serem adequadas as curvas p-y adoptadas na simulao da resposta no linear do solo.

PALAVRAS-CHAVE: Curvas p-y, Efeito de Grupo, Estacas, Multiplicadores-p, Resposta Lateral

iii

ABSTRACT

The aim of this work was the simulation, using the SAP2000 programme, of the lateral load test upon a 3X3 pile group in sand underlain by clay, as is described in the work by Rollins et al. (2005), in order to compare the curves obtained for the bending moments and deflections by using the computational model composed with the corresponding curves, measured and calculated by the aforementioned authors. In the model produced, the p-multipliers proposed by Rollins et al. (2005) were adopted for each row of the pile group. The p-y curves adopted to reproduce the nonlinear behaviour of the soil followed the proposal of Reese et al. (1974), in the case of sand layers, and Matlock's proposal (1970), for clay layers. The displacements and the bending moments presented in the work of Rollins et al. proved to be reasonably in accordance with those obtained by using the computational model constructed. It may thus be concluded that the p-multipliers proposed by these authors are adequate to take into consideration with the real distribution of the lateral load within the pile group, influenced by the so-called group interaction, "shadowing" or pile-soil-pile interaction. One may also conclude that the p-y curves adopted in the simulation of the nonlinear response of the soil are adequate.

KEY WORDS: Group Interaction, Lateral Response, Piles, p-Multipliers, p-y Curves

iv

AGRADECIMENTO

Gostaria de expressar

a minha gratido ao Professor Jaime Santos, pela generosa

disponibilidade com que sempre me recebeu e pela orientao sbia e rigorosa que dele recebi aquando da elaborao deste trabalho. As falhas que nele decerto permanecem, essas so naturalmente da minha total responsabilidade.

v

NDICE DE TEXTO

1

CONSIDERAES INICIAIS

1.1. MBITO DO TRABALHO..1 1.2. ORGANIZAO DA DISSERTAO..1

2

MODELO NUMRICO

2.1. MODELO DE WINKLER3 2.1.1. Coeficiente de reaco kh..5 2.1.2. Mtodos de resoluo do problema6 2.1.2.1. Solues analticas...6 2.1.2.2. Mtodo das diferenas finitas................7 2.1.2.3. Mtodo dos elementos finitos..............13 2.1.3. Desenvolvimentos do modelo de Winkler...14 2.1.3.1. Comportamento no linear do solo: curvas p-y.15 2.1.3.2. Correlaes empricas com resultados de ensaios laboratoriais sobre solos.17 2.1.3.3. Curvas p-y para areias...18 2.1.3.4. Curvas p-y para argilas moles.............23

3

VALIDAO DO MODELO NUMRICO

3.1. MODELO ELSTICO26 3.2. MODELO ELASTO-PLSTICO..28

vi

4

EFEITO DE GRUPO

4.1. COMPORTAMENTO DE UM GRUPO DE ESTACAS......31 4.1.1. Modelo elstico .....33 4.2. ENSAIO EM VERDADEIRA GRANDEZA DE UM GRUPO DE ESTACAS POR ROLLINS ET AL. (2005) ..37 4.2.1. Apresentao dos ensaios..37 4.2.2. Caracterizao geotcnica do local..37 4.2.3. Ensaio de carga e anlise da estaca isolada..40 4.2.3.1. Configurao do ensaio e instrumentao.40 4.2.3.2. Resultados dos ensaios e anlise41 4.2.4. Ensaio de carga e anlise do grupo de estacas47 4.2.4.1. Configurao do ensaio.47 4.2.4.2. Instrumentao48 4.2.4.3. Resposta medida do grupo de estacas..........49 4.2.4.3.1. Distribuio de carga.............................................................49 4.2.4.3.2. Momentos flectores..52 4.2.4.4. Anlise da resposta do grupo de estacas..........53 4.2.4.5. Anlise com recurso aos multiplicadores-p54 4.2.4.6. Anlise pela abordagem da cunha de deformao...58 4.2.5. Concluses do estudo de Rollins et al. (2005) ..59 4.3. COMPARAO DOS RESULTADOS EXPERIMENTAIS DE ROLLINS ET AL. (2005) COM OS RESULTADOS DO MODELO EM SAP2000................................60 4.3.1. Modelao do problema...60 4.3.2. Anlise de resultados67 4.4. COMPARAO COM O MODELO ELSTICO DE SANTOS E GOMES CORREIA (1995).73

5

CONSIDERAES FINAIS

5.1. CONCLUSES DO ESTUDO REALIZADO77 5.2. DESENVOLVIMENTOS FUTUROS...78

vii

NDICE DE FIGURAS

2

MODELO NUMRICO

Figura 2.1 Diviso da estaca para aplicao do mtodo das diferenas finitas segundo Gleser (1953) ..8 Figura 2.2 Coeficientes adimensionais em funo de Z para estacas flexveis (Zmax>5) instaladas em solos com variao linear do mdulo de reaco em profundidade (n=1)13 Figura 2.3 a) Conjunto das curvas p-y que definem a interaco solo-estaca; b) Relao tpica entre a reaco do solo e o deslocamento da estaca a uma dada profundidade (curva py); c) Variao do mdulo de reaco secante do solo com o deslocamento da estaca.16 Figura 2.4 Curvas p-y para areias (Reese et al., 1974) .19 Figura 2.5 Modelo do comportamento do solo incoerente para pequenas profundidades (depois de Reese et al., 1974) ..20 Figura 2.6 Modelo do comportamento do solo para maiores profundidades (depois de Reese et al., 1974) ...21 Figura 2.7 Coeficientes empricos A e B em funo da profundidade e do tipo de carregamento (esttico ou cclico) 22 Figura 2.8 Curvas p-y para argilas moles em carregamento esttico (Matlock, 1970) 24

3

VALIDAO DO MODELO NUMRICO

Figura 3.1 Espaamento conveniente para as molas no modelo de uma estaca solicitada lateralmente...27 Figura 3.2 Obteno da curva fora-deslocamento de uma mola em funo da curva p-y do solo para a profundidade correspondente a essa mola.28

4

EFEITO DE GRUPO

Figura 4.1 Efeito de grupo32 Figura 4.2 Aplicao dos multiplicadores-p s curvas p-y de uma estaca isolada33 Figura 4.3 Variao de em funo de 1/ para estacas flexveis..36 Figura 4.4 Variao de Mmax/Mmax em funo de 1/ para estacas flexveis..36 Figura 4.5 Perfil geotcnico baseado nos ensaios CPT e SPT e valores extrados para a densidade relativa e ngulo de atrito, para o local de implantao do grupo de 3x3 estacas....38

viii

Figura 4.6 Comparao das curvas carga-deslocamento medidas por Rollis et al. (2005) no ensaio da estaca isolada com as curvas calculadas por estes autores com os programas LPILE (Reese et al., 1997) e SWM (Ashour et al. 2002)...41 Figura 4.7 Comparao da curva com o mximo momento flector em funo da carga aplicada na estaca isolada, medida por Rollins et al. (2005), com as curvas calculadas por estes autores com recurso aos programas LPILE (Reese et al., 1997) e SWM (Ashour et al., 2002)...42 Figura 4.8 Recomendao do API para a variao do coeficiente de reaco do solo, kh, em funo da densidade relativa e do ngulo de atrito efectivo.........................................43 Figura 4.9 Comparao das curvas do momento flector em funo da profundidade, medidas por Rollins et al. (2005) para quatro nveis de carga aplicada estaca isolada, com as curvas calculadas pelos autores para os mesmos nveis de carga..46 Figura 4.10 Planta do local de ensaio do grupo de 3x3 estacas..47 Figura 4.11 Identificao das linhas de um grupo de 3x3 estacas em funo da direco do carregamento....49 Figura 4.12 Comparao da curva carga-deslocamento total medida por Rollins et al. (2005) para o grupo de 3x3 estacas com as curvas calculadas por estes autores atravs dos programas GROUP (Reese et al., 1996) e SWM (Ashour et al., 2002). .49 Figura 4.13 Comparao das curvas carga-deslocamento mdias para cada linha do grupo de 3x3 estacas com a curva medida para a estaca isolada. Apresentam-se ainda as curvas carga-deflexo mdias calculadas para cada linha atravs do programa GROUP (Reese et al., 1996), com base nos multiplicadores-p extrados...50 Figura 4.14 Curvas carga-deslocamento medidas por Rollins et al. (2005) para a estaca esquerda, central e direita de cada linha do grupo de 3x3 estacas. 51 Figura 4.15 Curvas dos momentos flectores em funo da profundidade medidas por Rollins et al. (2005) para a estaca central de cada linha do grupo de 3x3 estacas, para cinco nveis de deslocamento da cabea da estaca..52 Figura 4.16 Momento flector mximo em funo do deslocamento da cabea, medido por Rollins et al. (2005) para a estaca central de cada uma das linhas do grupo de 3x3 estacas. .....53 Figura 4.17 Multiplicadores-p extrados de ensaios em verdadeira grandeza e na centrifugadora, em funo do espaamento normalizado das estacas do grupo, juntamente com as curvas de referncia propostas por Rollins et al. (2005), Reese et al. (1996) e AASHTO (2000).....56 Figura 4.18 Comparao das curvas carga-deslocamento medidas por Rollins et al. (2005) para os quatro tipos de estacas dentro do grupo de 3x3 estacas com as curvas calculadas por estes autores atravs do programa SWM (Ashour et al., 2002)...59 Figura 4.19 Afectao das propriedades resistentes da grelha de carregamento, de modo a que pudesse ser considerada rgida relativamente resposta lateral do grupo de estacas...61

ix

Figura 4.20 Obteno da curva fora-deslocamento de uma mola a partir da curva p-y do solo para a profundidade correspondente a essa mola..62 Figura 4.21 Modelao do grupo de 3x3 estacas (vista 3D)..63 Figura 4.22 Aplicao dos multiplicadores-p associados a cada linha do grupo de 3x3 estacas s curvas fora-deslocamento relativas s molas da estaca isolada, a fim de obter a curvas fora-deslocamento para as molas de cada linha do grupo..65 Figura 4.23 Deformada (em alado) do grupo de 3x3 estacas para a aplicao de uma carga horizontal genrica no topo.66 Figura 4.24 Diagramas de momentos flectores para as estacas das filas da frente, do meio e de trs (da direita para a esquerda) do grupo.66 Figura 4.25 Diagramas de esforos transversos para as estacas das filas da frente, do meio e de trs (da direita para a esquerda) do grupo.....67 Figura 4.26 Comparao da curva carga-deslocamento calculada para a estaca isolada com o programa SAP2000 (a vermelho), com as curvas medida e calculadas por Rollins et al. (2005).....68 Figura 4.27 Comparao da curva dos mximos momentos flectores em funo da carga lateral na estaca isolada, calculada com o programa SAP2000 (a vermelho), com as curvas medida e calculadas por Rollins et al. (2005), com base nos valores do ngulo de atrito obtidos pela abordagem de (a) API (1987) e (b) Bolton (1986)..68 Figura 4.28 Comparao das curvas com o momento flector em funo da profundidade para a estaca isolada, calculadas com o programa SAP2000 (a vermelho), com as curvas medida e calculadas por Rollins et al. (2005) com recurso aos programas LPILE e SWM..69 Figura 4.29 Comparao da curva carga-deslocamento para o grupo de estacas calculada com o programa SAP2000 (a vermelho), com as curvas medida e calculadas por Rollins et al. (2005) com recurso aos programas SWM e GROUP.70 Figura 4.30 Comparao das curvas dos momentos flectores em funo da profundidade para a estaca central de cada linha do grupo de 3x3 estacas, medidas por Rollins et al. (2005) para cinco nveis de deslocamento da cabea das estacas, com as curvas calculadas com o programa SAP2000 (a vermelho) para os nveis de carga correspondentes, considerando os multiplicadores-p de 0,8 (frente), 0,4 (meio) e 0,4 (trs)71 Figura 4.31 Comparao das curvas dos momentos flectores em funo da profundidade para a estaca central de cada linha do grupo de 3x3 estacas, medidas por Rollins et al. (2005) para cinco nveis de deslocamento da cabea das estacas, com as curvas calculadas com o programa SAP2000 (a vermelho) para os nveis de carga correspondentes, considerando os multiplicadores-p de 1,0 (frente), 0,15 (meio) e 0,4 (trs)..72 Figura 4.32 Comparao das curvas carga-deslocamento para o grupo de estacas calculadas com o programa SAP2000, admitindo os multiplicadores-p 0,8(F)-0,4(M)-0,4(T) (a verde) e 1,0(F)-0,15(M)-0,4(T) (a vermelho), com a curva medida por Rollins et al. (2005).....................73 Figura 4.33 Variao de em funo de 1/ para estacas flexveis....75 Figura 4.34 Variao de Mmax/Mmax em funo de 1/ para estacas flexveis75

x

NDICE DE QUADROS

2

MODELO NUMRICO

Quadro 2-I Valores de nh [MN/m3] em funo da compacidade relativa do solo (Reese et al., 1974) ..19 Quadro 2-II Valores de 50 em funo de su para argilas normalmente consolidadas e sobreconsolidadas (Reese e Van Impe, 2001) ..24

3

VALIDAO DO MODELO NUMRICO

Quadro 3-I Comparao dos valores de y0 e Mmax obtidos atravs da soluo analtica e dos modelos computacionais elaborados30

4

EFEITO DE GRUPO

Quadro 4-I Valores de 1/....35 Quadro 4-II Camadas e propriedades do solo utilizadas inicialmente por Rollins et al. (2005) na anlise lateral da estaca isolada com os programas LPILE e SWM, com base na correlao para o ngulo de atrito do API (1987)...43 Quadro 4-III Camadas e propriedades do solo utilizadas por Rollins et al. (2005) na anlise lateral da estaca isolada com os programas LPILE e SWM, com base na correlao para o ngulo de atrito de Bolton (1986)...............................45 Quadro 4-IV Multiplicadores-p extrados de ensaios em verdadeira grandeza de grupos de estacas em areia..54 Quadro 4-V Multiplicadores-p extrados de ensaios na centrifugadora de grupos de estacas em areia.55 Quadro 4-VI Propriedades do solo consideradas no modelo elaborado em SAP2000 para a estaca isolada...64 Quadro 4-VII Valores do esforo transverso obtidos para as estacas das diferentes linhas do grupo, para uma carga aplicada ao grupo de 388,2kN..73 Quadro 4-VIII Valores de obtidos para o grupo de 3x3 estacas....75 Quadro 4-IX Valores de Mmax/Mmax obtidos para o grupo de 3x3 estacas..76

xi

SIMBOLOGIA

LETRAS LATINAS a Ai B Bi Ci D D50 DR E Ep Es F fck G*

- profundidade que separa a zona do solo plastificada da zona em regime elstico - coeficiente emprico de Reese et al. (1974) - dimenso transversal da estaca - emprico de Reese et al. (1974) - constante de integrao - dimetro da estaca - dimetro mdio das partculas - compacidade relativa - mdulo de elasticidade do material constituinte da estaca - mdulo de Young efectivo da estaca - mdulo de elasticidade do solo - Fora - resistncia caracterstica do beto compresso - mdulo de distoro modificado do solo - mdulo de distoro caracterstico do solo - mdulo de distoro do solo - fora horizontal concentrada aplicada na cabea da estaca - momento de inrcia da seco transversal da estaca - mdulo de reaco do solo - coeficiente de impulso em repouso - coeficiente de impulso activo (de Rankine) - coeficiente de reaco do solo - mdulo de reaco tangente (inicial) - rigidez de uma mola - mdulo de reaco secante - comprimento da estaca - profundidade crtica - momento flector - momento flector concentrado aplicado na cabea da estaca - momento flector mximo - coeficiente genrico - nmero de intervalos de subdiviso da estaca - expoente da lei de variao do coeficiente de reaco do solo em profundidade

Gc Gs H0 I K K0 Ka kh Ki Kmola Ks L lc M M0 Mmax n

N

- esforo axial - fora vertical concentrada aplicada na cabea da estaca

xii

(N1)60 N60 terica) nh NSPT p pu qc1 R r0 su u V V0 y y0 y50 yk ys yu z Z

- valor normalizado ( tenso efectiva de referncia) de N60 (ensaio SPT) - NSPT corrigido em relao energia de referncia do ensaio SPT (60% da energia - taxa de variao do mdulo de reaco em profundidade - nmero de pancadas na segunda fase do ensaio SPT - fora de reaco do solo por unidade de comprimento da estaca - resistncia ltima do solo - resistncia mdia de ponta normalizada do ensaio CPT - factor de rigidez relativa - raio da estaca - resistncia ao corte no drenado do solo - presso neutra - esforo transverso - esforo transverso no topo da estaca - deslocamento horizontal da estaca - deslocamento horizontal do topo da estaca - deslocamento do solo correspondente a uma resistncia igual a metade da - deslocamento do solo correspondente ao limite do regime elstico do solo - deslocamento do solo - deslocamento do solo correspondente resistncia ltima do solo - profundidade - coeficiente adimensional de profundidade

resistncia ltima do solo

LETRAS GREGAS 50 - ngulo genrico - ngulo genrico - extenso ou deformao - extenso correspondente a metade da diferena entre as tenses principais mximas na rotura - eficincia de um grupo de estacas, relativa sua resistncia lateral - coeficiente de rigidez relativa estaca-solo, quando o mdulo de reaco K cresce linearmente em profundidade - ngulo de atrito interno do solo - ngulo de atrito interno do solo em termos de tenses efectivas - peso volmico do solo - distoro - peso volmico submerso do solo

xiii

s

- coeficiente de rigidez relativa estaca-solo, quando o mdulo de reaco K constante em profundidade - coeficiente de Poisson do solo - rotao - tenso total - tenso efectiva - tenso de corte, tangencial ou distorcional - funo do mdulo de reaco do solo

ABREVIATURAS MAIS UTILIZADAS Instituies AASHTO API ASTM Ensaios in situ CPT SPT - Cone Penetration Test (ensaio com cone penetrmetro) - Standard Penetration Test (ensaio de penetrao dinmica) - American Association of State Highway and Transportation Officials - American Petroleum Institute - American Society for Testing and Materials

xiv

1. CONSIDERAES INICIAIS

1.1. MBITO DO TRABALHOA reposta lateral de fundaes por estacas um assunto de assaz importncia no projecto de estruturas que possam ser submetidas a aces ssmicas, ventos fortes, aco das ondas e impactos de navios. Embora j tenham sido desenvolvidos mtodos de fiabilidade aceitvel para prever o comportamento de estacas isoladas, os mtodos para prever a resposta lateral de grupos de estacas encontram-se menos desenvolvidos, sendo assim um tema de foco da investigao actual. O objectivo deste trabalho consistiu na elaborao, com o programa SAP2000, de um modelo que reproduzisse o ensaio de carga lateral sobre um grupo de 3x3 estacas em areias sobrejacentes a argila relatado no trabalho de Rollins et al. (2005), com o fim de avaliar a qualidade da previso da resposta lateral do grupo de estacas quando baseada num conjunto de factores, designados de multiplicadores-p, propostos por aqueles autores.

1.2. ORGANIZAO DA DISSERTAOEsta dissertao divide-se em cinco captulos. Neste primeiro captulo apresentam-se o mbito e objectivos do trabalho e a estruturao da dissertao. No captulo 2 faz-se um enquadramento do problema em estudo, descrevendo-se o modelo de Winkler, utilizado na anlise de estacas isoladas solicitadas lateralmente, e as solues analticas e numricas desenvolvidas para o mesmo. Dentro das solues numricas, faz-se referncia ao mtodo das diferenas finitas e ao mtodo dos elementos finitos. Descrevem-se ainda os desenvolvimentos dados ao modelo de Winkler para ter em conta o comportamento no linear dos solos, apresentando-se duas propostas para o traado de curvas p-y, uma relativa a areias e a outra relativa a argilas moles, a serem aplicadas na modelao numrica do ensaio relatado no trabalho de Rollins et al. (2005). No captulo 3 apresenta-se a soluo analtica exacta de Santos (2006b) do momento flector mximo e do deslocamento do topo de uma estaca solicitada por uma carga horizontal concentrada na cabea (V0), para os regimes elstico e elasto-plstico. Efectua-se a comparao, para um caso tipo, entre os valores obtidos para aquelas grandezas atravs da soluo analtica e os valores correspondentes obtidos com o modelo computacional elaborado para o problema, com vista validao desse mesmo modelo.

1

No captulo 4 faz-se primeiramente a exposio do ensaio sobre um grupo de 3x3 estacas em areias sobrejacentes a argila relatado no trabalho de Rollins et al. (2005), assim como dos resultados para momentos flectores e deslocamentos medidos e calculados por estes autores. Estabelece-se de seguida uma comparao dos referidos resultados com os obtidos no presente estudo atravs do modelo do grupo de estacas elaborado em SAP2000, tendo como base os multiplicadores-p sugeridos por Rollins et al. (2005), a fim de verificar a adequao desses multiplicadores-p, bem como das curvas p-y adoptadas para a simulao do comportamento no linear do solo. Finalmente, no captulo 5 apresentam-se as etapas principais deste trabalho e as concluses mais importantes relativas ao mesmo, fazendo-se ainda referncia aos seus possveis desenvolvimentos futuros.

2

2. MODELO NUMRICO

A anlise da resposta de estacas solicitadas horizontalmente pode ser baseada no modelo do meio discreto ou no modelo do meio contnuo. O mtodo de anlise baseado no modelo do meio discreto, embora conceptualmente menos correcto, sem dvida o mtodo com maior aceitao prtica, dada a facilidade da sua utilizao, tendo sido o mtodo adoptado neste trabalho.

2.1. MODELO DE WINKLERO modelo do meio discreto foi introduzido por Winkler em 1867, destinando-se ao estudo do problema de uma viga assente em meio elstico sujeita a aces verticais, perpendiculares ao seu eixo. Neste problema Winkler admitiu que a reaco do meio num determinado ponto depende unicamente do deslocamento desse ponto, sendo portanto independente dos deslocamentos dos pontos vizinhos. Este autor admitiu ainda uma relao de proporcionalidade entre a reaco do meio num dado ponto e o deslocamento desse mesmo ponto, pelo que o problema descrito pode assim ser estudado admitindo a viga assente num conjunto de molas isoladas com comportamento elstico linear, que reproduzem o comportamento do meio. O modelo de Winkler foi posteriormente adaptado ao problema de estacas sujeitas a aces horizontais, devido sua analogia com o problema de uma viga assente em meio elstico. Desde ento aquele modelo foi objecto de sucessivos desenvolvimentos, sustentados pela experincia acumulada e pela evoluo dos recursos informticos e de instrumentao. Se admitirmos uma estaca vertical embebida no terreno, com comprimento suficientemente grande em relao s suas dimenses transversais de modo a que possa ser analisada como um elemento linear, temos que, ao aplicarmos uma fora horizontal concentrada H0 na cabea da estaca, a mesma sofre deformaes ao longo do seu eixo, gerando-se alteraes no estado de tenso do solo envolvente. Enquanto que num ponto situado na face anterior da estaca a tenso aumenta, j num ponto situado na sua face posterior sucede o contrrio. A integrao das presses no solo em torno da seco da estaca num comprimento infinitesimal resulta numa fora de reaco no equilibrada p por unidade de comprimento axial (Portugal, 1992; por Tuna de Sousa, 2006). Aplicando o modelo de Winkler ao problema acima descrito, pode-se admitir a seguinte relao entre-1 a fora de reaco p, de dimenses [FL ], e o deslocamento da estaca y, de dimenses [L]:

p = K.y

(2.1)

3

A constante de proporcionalidade entre a reaco do terreno e o deslocamento do mesmo designa-se por mdulo de reaco do solo K [FL-2], que, quando dividido pela dimenso transversal B [L] da estaca, d origem ao coeficiente de reaco kh [FL-3]. O sinal negativo na expresso indica que o sentido da reaco do terreno sempre oposto ao do deslocamento horizontal sofrido pela estaca. Considerando a estaca como uma pea linear sujeita a um determinado carregamento na sua cabea e a uma fora distribuda p ao longo do seu fuste, e admitindo a hiptese dos pequenos deslocamentos, a resposta da estaca pode ser analisada pela equao diferencial

d2 d2y d2y E.I . 2 + N . 2 = p( z, y ) dz 2 dz dz onde, E o mdulo de elasticidade do material constituinte da estaca; I o momento de inrcia da seco transversal da estaca;

(2.2)

z a coordenada ao longo do eixo longitudinal da estaca (positiva no sentido descendente); N a fora vertical actuante na cabea da estaca. As cargas verticais a que as estacas se encontram tipicamente sujeitas so muito pequenas relativamente carga crtica por encurvadura das mesmas, sendo assim usual desprezar-se a contribuio deste fenmeno de instabilidade para o deslocamento horizontal da estaca. Tendo ainda em conta a compatibilidade dos deslocamentos da estaca e do terreno, a expresso (2.2) toma a forma seguinte:

d2 dz 2

d2y E.I . 2 + K ( z ). y = 0 dz

(2.3)

A equao que descreve o problema em estudo ento uma equao diferencial de quarta ordem, pelo que para determinar a sua soluo so necessrias quatro equaes que traduzem as condies de fronteira. Na situao de estacas com a cabea livre, as condies de fronteira estabelecem a relao entre a terceira e segunda derivadas do deslocamento da estaca e a fora e momento concentrados aplicados na sua cabea, respectivamente. Estas relaes esto expressas nas equaes (2.4) e (2.5):

d d 2 y E .I . 2 = H 0 dz z = 0 dz

(2.4)

4

d2y E.I . 2 = M 0 dz z = 0

(2.5)

As duas condies remanescentes traduzem as condies de apoio da ponta da estaca. No caso de estacas flutuantes assume-se que tanto o esforo transverso como o momento flector na ponta da estaca so nulos, como mostram as duas expresses seguintes:

d d 2 y E.I . 2 = 0 dz z = L dz

(2.6)

d2y E.I . 2 = 0 dz z = L

(2.7)

J no caso de estacas encastradas na ponta, as condies de fronteira impem que o deslocamento e a rotao na ponta da estaca sejam nulos, tal como apresentado nas expresses (2.8) e (2.9):

y (L ) = 0

(2.8)

dy (L ) = 0 dz

(2.9)

2.1.1. Coeficiente de reaco khA anlise da resposta de uma estaca solicitada horizontalmente atravs de modelos discretos exige o conhecimento da variao, ao longo do seu comprimento, do coeficiente de reaco kh. De acordo com Varatojo (1986), por Tuna de Sousa (2006), uma das leis de variao mais frequentemente utilizadas surgiu dos trabalhos de Palmer e Thompson (1948), sendo dada pela expresso:

z k h = k L . Lem que,

n

(2.10)

kL o valor do coeficiente de reaco na ponta da estaca; L o comprimento da estaca; n um nmero real, positivo, maior ou menor que a unidade. Em geral considera-se que o expoente n toma um valor nulo para solos coerentes sobreconsolidados e que igual unidade para solos incoerentes ou solos coerentes normalmente consolidados. 5

No caso de se ter n igual unidade, corrente apresentar-se o coeficiente de reaco na forma da expresso (2.11):

k h = nh .em que,

z B

(2.11)

nh a taxa de variao do mdulo de reaco K com a profundidade [FL-3].

2.1.2. Mtodos de resoluo do problemaA soluo do problema em estudo pode ser obtida por duas vias: analtica ou numrica. A via analtica s se revela vivel em casos muito especficos, dada a grande complexidade dos clculos envolvidos. Dentro da via numrica h dois mtodos a referir: o mtodo das diferenas finitas e o mtodo dos elementos finitos.

2.1.2.1. Solues analticas A generalidade das solues analticas para o problema em estudo assenta no pressuposto de inrcia da estaca e mdulo de reaco constantes em profundidade. Para outros casos, a complexidade do clculo obriga ao recurso a desenvolvimentos em sries, de modo que os resultados so obtidos por meio de clculos extremamente trabalhosos, sendo aproximaes dos valores correctos. Hetenyi (1946) desenvolveu equaes para o deslocamento, rotao, momento flector e esforo transverso de uma viga assente em meio elstico (com K constante) solicitada por uma fora em qualquer ponto do seu eixo, de que o problema de uma estaca solicitada horizontalmente na cabea constitui um caso particular, visto que o carregamento se situa numa das extremidades da viga (Varatojo, 1986; por Tuna de Sousa, 2006). A soluo geral da equao (2.3) da forma:

y = (C1. cos(z ) + C2 .sen(z )).ez + (C3 . cos(z ) + C4 .sen(z )).e z

(2.12)

em que C1 a C4 so constantes de integrao que dependem do carregamento e das condies de fronteira e o parmetro dado pela expresso:

6

=4

K 4.E.I

(2.13)

As solues desenvolvidas dividem-se em trs casos: estacas flexveis, semi-flexveis e rgidas, devido s simplificaes que se podem efectuar nos casos limites. No caso de estacas rgidas possvel desprezar a deformao por flexo da prpria estaca, por ser mnima relativamente deformao da fundao em si. Neste caso a soluo do problema pode assim ser obtida pela considerao de equilbrio esttico. Nas estacas semi-flexveis (vigas finitas), uma fora actuante numa das extremidades tem um efeito finito e no desprezvel na extremidade oposta. Por esta razo, na anlise de uma estaca com estas caractersticas o efeito das condies de fronteira na ponta da estaca relevante na avaliao do seu comportamento. Finalmente, no caso das estacas flexveis (vigas semi-infinitas) as condies de fronteira na ponta da estaca so desprezveis. As expresses dos deslocamentos, rotaes, momentos flectores e esforos transversos para as diversas condies de fronteira, sob a condio do solo ser homogneo, podem ser encontradas nos trabalhos de Varatojo de 1986 ou de Santos de 1993. No existem solues analticas exactas para o caso do mdulo de reaco variar linearmente em profundidade, pelo que necessrio o recurso a desenvolvimentos em sries. Segundo Velloso e Lopes (2002), por Tuna de Sousa (2006), Miche (1930) foi o primeiro autor a resolver este problema, tendo contudo vrios outros autores dedicado a sua ateno a este assunto.

2.1.2.2. Mtodo das diferenas finitas A soluo da equao diferencial (2.3), para o caso de haver variao do mdulo de reaco em profundidade (e com a deformao da estaca) foi obtida essencialmente pelo mtodo das diferenas finitas. Segundo Varatojo (1986), por Tuna de Sousa (2006), os primeiros desenvolvimentos da utilizao deste mtodo na anlise de uma estaca solicitada horizontalmente foram levados a cabo por Palmer e Thompson (1948), tendo estes autores obtido a soluo para o caso de uma variao linear do mdulo de reaco em profundidade, considerando a estaca dividida em oito partes iguais e com rotao livre na cabea. Mais tarde, Gleser (1953) determinou a mesma soluo para o caso de uma

7

estaca com rotao impedida na cabea, generalizando, contudo, o mtodo, ou seja, tornando-o aplicvel a qualquer nmero de divises da estaca. Neste mtodo efectua-se a diviso da estaca em n troos de igual comprimento, obtendo-se n+1 pontos nodais (Figura 2.1). Para cada ponto nodal a equao (2.3) reescrita da seguinte forma:

y 4. yi 1 + 6. yi 4. yi +1 + yi + 2 Ei .I i . i 2 + K i . yi = 0 4 L n onde, Ei o mdulo de elasticidade do material constituinte da estaca no ponto i; Ii o momento de inrcia da seco transversal da estaca no ponto i; yi o deslocamento da estaca no ponto i; Ki o mdulo de reaco do solo no ponto i; L o comprimento da estaca; n o nmero de intervalos em que a estaca dividida.

(2.14)

Figura 2.1 Diviso da estaca para aplicao do mtodo das diferenas finitas segundo Gleser (1953).

O problema contm n+5 incgnitas: n+1 dos deslocamentos dos ns da estaca e quatro dos dois ns fictcios em cada extremidade da estaca. possvel escrever a equao de compatibilidade para os pontos 1 a n-1, obtendo-se n-1 equaes. Faltam ento seis equaes para que o sistema seja determinado, sendo quatro delas fornecidas pelas condies de fronteira na cabea da estaca e as outras duas pelas condies de equilbrio dos momentos e foras horizontais. 8

As equaes (2.4) e (2.5), que traduzem as condies de fronteira na cabea da estaca, tomam a seguinte configurao em diferenas finitas:

y2 2. y1 + 2. y1 y 2 =

2.H 0 .L3 E.I .n3

(2.15)

y1 2. y0 + y1 =

M 0 .L2 E.I .n 2

(2.16)

e as equaes (2.6) e (2.7), que estabelecem as condies de fronteira para a ponta de estacas flutuantes, assumem a seguinte forma:

yn + 2 2. yn +1 + 2. yn 1 yn 2 = 0 yn +1 2. yn + yn 1 = 0e, finalmente, no caso de estacas encastradas na ponta:

(2.17)

(2.18)

yn = 0yn 1 yn +1 = 0

(2.19)

(2.20)

Esta metodologia de resoluo do problema vlida para qualquer tipo de variao do mdulo de reaco em profundidade. Contudo, h que solucionar cada problema individualmente de acordo com as caractersticas fsicas da estaca, o mdulo de reaco e as condies de carregamento (Sousa Coutinho, 1995; por Tuna de Sousa, 2006). Por esta razo, so de notvel importncia os trabalhos de 1956, 1960 e 1961 de Matlock e Reese, em que estes autores desenvolveram solues adimensionais para diversas leis de variao do mdulo de reaco em profundidade. Em 1956, estudaram o caso do mdulo de reaco variando linearmente em profundidade. Em 1960 fornecem um encaminhamento para a resoluo do problema com qualquer lei de variao e em 1961 retomam o caso da variao linear do mdulo de reaco em profundidade (Velloso e Lopes, 2002; por Tuna de Sousa, 2006). Segundo Brotas (1980), por Tuna de Sousa (2006), o mtodo dos parmetros adimensionais assenta na semelhana entre um determinado sistema fsico e um modelo que se possa dizer semelhante ao sistema original, resultando que ambos os sistemas tm que obedecer s condies seguintes: Os sistemas tm de ser geometricamente semelhantes; 9

Para cada grandeza envolvida, tem que haver proporcionalidade entre os valores associados aos elementos correspondentes de um e de outro sistema; As relaes entre os valores de todas as grandezas fsicas consideradas, nos dois sistemas, expressas num determinado sistema de unidades, tm de conduzir a relaes unvocas entre as dimenses fundamentais das grandezas de ambos os sistemas.

Deste modo, a soluo do modelo tambm a soluo de todos os sistemas fsicos que lhe sejam semelhantes. No caso de estacas solicitadas horizontalmente, a grandeza fundamental de adimensionalizao do sistema designa-se por factor de rigidez relativa (R), tem as dimenses de um comprimento e uma funo da lei de variao com a profundidade do mdulo de reaco e das grandezas fsicas que determinam a rigidez flexo da estaca. Das diversas leis possveis para a variao em profundidade do mdulo de reaco, a variao exponencial em profundidade, K=Cn.zn, a mais utilizada e, de acordo com Sousa Coutinho (1995), por Tuna de Sousa (2006), esta lei parece ser suficiente para os problemas prticos de macios sem estratificao, desde que haja uma escolha criteriosa dos parmetros intervenientes. Neste caso, o factor de rigidez relativa dado por:

Rn+4 =

E .I Cn

(2.21)

Quando os deslocamentos so pequenos relativamente s dimenses da estaca e se admite para o solo um comportamento elstico linear, vlido o princpio de sobreposio de efeitos e os deslocamentos resultantes da actuao de uma fora e de um momento na cabea da estaca podem ser determinados em separado e adicionados posteriormente. Sendo yA e yB os deslocamentos resultantes da actuao de uma fora concentrada H0 e de um momento concentrado M0, respectivamente, na cabea da estaca, o deslocamento total ser:

y = y A + yB

(2.22)

em que yA e yB so funo das aces, da profundidade, do comprimento da estaca, do factor de rigidez relativa, do mdulo de reaco e da rigidez flexo da estaca (E.I). possvel todavia reduzir de seis para quatro variveis adimensionais independentes, apresentadas de seguida:

10

Coeficiente de profundidade:

Z=

z RL RK 4 .R E .I

(2.23)

Coeficiente de profundidade mxima:

Z max =

(2.24)

Funo do mdulo de reaco do solo:

(Z ) =

(2.25)

Coeficientes de deslocamento:

Ay =

y A .E.I ou y .E.I By = B 2 3 H 0 .R M 0 .R

(2.26)

A fim de satisfazer as condies de semelhana, cada um dos coeficientes acima apresentados deve ser igual no modelo e no prottipo. possvel ento reescrever a equao regente do problema considerando em separado os efeitos da fora e do momento aplicados na cabea da estaca:

d 4 Ay dZ 4

+ (Z ). Ay = 0

e

d 4 By dZ 4

+ (Z ).By = 0

(2.27)

Resolvendo as equaes acima descritas, calculam-se os coeficientes de deslocamento Ay e By como funes de Z para cada lei (Z) considerada. Os movimentos e esforos da estaca so ento dados pelas expresses seguintes:

Deslocamento: Rotao: Momento flector: Esforo transverso: Reaco do solo:

y (Z ) = Ay (Z ).

H 0 .R 3 M .R 2 + By (Z ). 0 E .I E.I

(2.28) (2.29) (2.30) (2.31) (2.32)

(Z ) = A (Z ).

H 0 .R 2 M .R + B (Z ). 0 E .I E.I

M (Z ) = AM (Z ).H 0 .R + BM (Z ).M 0 V (Z ) = AV (Z ).H 0 . + BV (Z ). p (Z ) = Ap (Z ). M0 R

H0 M + B p (Z ). 20 R R

No caso de estacas rgidas, o mtodo das diferenas finitas gera erros considerveis pelo facto de o valor das diferenas sucessivas envolvidas ser muito pequeno, pelo que prefervel utilizar outro mtodo no qual a estaca seja considerada como um elemento rgido e obter as solues com base no equilbrio esttico do sistema. Matlock e Reese defendem ainda a importncia das solues

11

generalizadas obtidas para este tipo de estacas e desenvolvem uma metodologia anloga das estacas flexveis (Varatojo, 1986; por Tuna de Sousa, 2006). Diversos autores compararam os resultados do mtodo adimensional proposto e do mtodo relativo a estacas curtas, com vista determinao da gama de valores de Zmax para a qual cada uma das teorias aplicvel. De acordo com Sousa Coutinho (1995), por Tuna de Sousa (2006), as concluses obtidas resumem-se nos seguintes pontos: Estacas de comprimento menor ou igual a 2.R comportam-se como estacas rgidas, pelo que as solues para estacas rgidas so adequadas, reduzindo-se o problema determinao da profundidade do centro de rotao e da rotao em si; Estacas de comprimento maior ou igual a 4.R podem ser analisadas como se o seu comprimento fosse apenas de 4.R, visto que para comprimentos superiores as solues so praticamente idnticas. O valor de L=4.R geralmente designado de comprimento crtico ou efectivo da estaca; Estacas com comprimento entre 2.R e 4.R tm de ser analisadas individualmente. Na prtica, basta dispor de uma srie de solues em termos de parmetros adimensionais para diferentes coeficientes de profundidade mxima entre aqueles dois limites, de acordo com a lei seleccionada para a variao do mdulo de reaco do solo em profundidade. No caso de estacas flexveis e para uma variao exponencial do mdulo de reaco em profundidade, Matlock e Reese estudaram a influncia do valor do expoente nos deslocamentos e esforos esperados para as estacas. Analisando os casos de n=, 1 e 2, estes autores concluram que apesar de os mdulos de reaco serem bastante diferentes entre si, os deslocamentos e momentos flectores so semelhantes, dado que o desempenho da estaca depende da raiz n+4 do factor de rigidez relativa e, consequentemente, da raiz n+4 do mdulo de reaco. Concluram tambm que os deslocamentos e momentos flectores mximos crescem quando n cresce e que os valores do mdulo de reaco que controlam o desempenho da estaca so os verificados para coeficientes de profundidade Z inferiores unidade. Para os casos em que o mdulo de reaco no varia linearmente com a profundidade (n1), concluram que assumir n=1 satisfatrio na prtica (Velloso e Lopes, 2002; por Tuna de Sousa, 2006). Deste modo e pela sua utilidade, apresentam-se na Figura 2.2 as solues para estacas flexveis instaladas em solos com variao linear do mdulo de reaco em profundidade (n=1):

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Ay ou By-1,0 0 0,0 1,0 2,0 3,0-2,0 -1,5

A ou B-1,0 -0,5 0 0,0 0,5-0,5 0 0,0

Am ou Bm0,5 1,0 1,5

1

1

1

2

2

2

Z3

Z3

Z3

Ay By

44

Am Bm

4

5

5

5

a)Av ou Bv-1,0 -0,5 0 0,0 0,5 1,0 1,5-1,5 -1,0

b)Ap ou Bp-0,5 0 0,0 0,5

c)

1

1

2

2

Z3

Z

Av Bv

Ap Bp

3

4

4

5

5

d)

e)

Figura 2.2 Coeficientes adimensionais em funo de Z para estacas flexveis (Zmax>5) instaladas em solos com variao linear do mdulo de reaco em profundidade (n=1).

2.1.2.3. Mtodo dos elementos finitos O mtodo dos elementos finitos (MEF) uma outra via numrica aplicvel na resoluo do problema de estacas solicitadas horizontalmente. Este mtodo, pela sua grande versatilidade e facilidade de utilizao, tem tido uma utilizao crescente no s neste assunto, mas nos diversos problemas de modelao numrica em Geotecnia, assim como noutros ramos da engenharia. No caso particular de estacas solicitadas horizontalmente, foi a capacidade de incorporar um conjunto de fenmenos associados resposta das estacas, permitindo o apuramento do modelo de interaco solo-estaca, que fomentou a utilizao deste mtodo. A formulao do MEF baseada nos deslocamentos, em que as incgnitas do problema so os deslocamentos nodais, inclui sinteticamente as seguintes operaes:

13

Discretizao do domnio: subdiviso do domnio em zonas, designadas por elementos finitos, que se ligam entre si atravs dos ns localizados nas suas fronteiras; Seleco das funes de interpolao, que definem aproximadamente o campo dos deslocamentos no interior do elemento finito, em funo do comportamento dos seus ns. Estas funes podem ser polinomiais, trigonomtricas ou de outro tipo;

Obteno das matrizes de rigidez dos elementos com recurso ao teorema dos trabalhos virtuais ou ao princpio da energia potencial mnima; Construo da matriz de rigidez global e do vector de solicitao global tendo em conta o contributo de cada elemento finito; Resoluo do sistema de equaes, levando em conta as condies de fronteira, com o fim de obter os deslocamentos nodais incgnitos e as reaces de apoio em ns de deslocamento prescrito;

Determinao, a partir das funes de aproximao, dos deslocamentos no interior dos elementos e posteriormente as deformaes e tenses.

Segundo Tuna de Sousa (2006), a aplicao deste mtodo anlise de estacas solicitadas horizontalmente, utilizando modelos discretos, pode ser encontrada em detalhe no trabalho de Portugal (1992).

2.1.3. Desenvolvimentos do modelo de WinklerO modelo de Winkler, devido larga experincia acumulada ao longo de anos e facilidade da sua utilizao em conjugao com os bacos e solues tabeladas disponveis, em particular para solos com mdulo de reaco constante ou linearmente crescente em profundidade, um mtodo correntemente utilizado. No entanto, este mtodo vrias vezes criticado devido s suas limitaes e natureza semi-emprica. A limitao mais evidente deste mtodo a no continuidade na modelao do solo. Com efeito, o solo um meio contnuo, visto que os deslocamentos num ponto so influenciados pelas tenses e foras possivelmente aplicadas noutros pontos do solo. Outra limitao do mtodo, tal como foi inicialmente proposto, relaciona-se com a hiptese de um comportamento elstico e linear para o solo. Na realidade, o solo s apresenta comportamento linear numa fase inicial do processo de deformao, pelo que, para estgios mais avanados, importa considerar a no-linearidade da curva que relaciona a reaco do solo com o seu deslocamento. A natureza semi-emprica do mtodo, para alm da no considerao dos efeitos do carregamento axial, so outras das crticas apontadas ao modelo. Deste modo, com o intuito de aproximar o mais

14

possvel o modelo realidade, diversos autores tm apresentado alteraes ao modelo originalmente proposto.

2.1.3.1. Comportamento no linear do solo: curvas p-y No modelo de Winkler, como foi inicialmente proposto, o comportamento do solo traduzido por uma srie de molas independentes com comportamento elstico linear. Segundo Varatojo (1986, 1995), por Tuna de Sousa (2006), h diversas razes para que o comportamento dos solos no seja descrito convenientemente por modelos elsticos e lineares: Sendo o solo um meio particulado, exibe um comportamento tenso-deformao no linear e deslocamentos que na sua maioria se mantm na descarga; O solo apresenta nula ou baixa resistncia a esforos de traco; O solo entra em cedncia para nveis de tenso ocasionalmente muito baixos; Verificam-se fenmenos de fluncia e/ou consolidao associados s deformaes.

Tornou-se assim necessria a adopo de molas com comportamento no linear de deformabilidade crescente com o nvel de tenso. A determinao da resposta de uma estaca solicitada horizontalmente envolve portanto a resoluo de um problema de interaco solo-estrutura na qual importa verificar duas condies: as equaes de equilbrio da estaca e a compatibilidade entre o deslocamento e a reaco do solo. McClelland e Focht (1956) foram pioneiros na proposta da definio do mdulo de reaco em funo da deformao da estaca e da profundidade, por meio de curvas que tomaram a designao de curvas p-y. Na Figura 2.3 apresenta-se uma curva p-y pertencente a um famlia de curvas que representam o comportamento do solo em funo da profundidade. Estas curvas podem admitir-se divididas em trs zonas: A primeira zona, da origem ao ponto A, corresponde ao domnio das muito pequenas deformaes, no qual o solo apresenta comportamento elstico linear; A segunda zona, definida entre os pontos A e B, diz respeito ao domnio das pequenas a grandes deformaes, exibindo o crescimento da resistncia do solo com o deslocamento da estaca, com uma taxa de crescimento que contudo decrescente; A terceira zona, aps o ponto B, corresponde ao domnio das grandes deformaes, no qual o solo apresenta um comportamento plstico (Santos, 1999; por Tuna de Sousa, 2006). de notar que a reaco do solo limitada pela sua resistncia ltima pu.

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Figura 2.3 a) Conjunto das curvas p-y que definem a interaco solo-estaca; b) Relao tpica entre a reaco do solo e o deslocamento da estaca a uma dada profundidade (curva p-y); c) Variao do mdulo de reaco secante do solo com o deslocamento da estaca.

A resoluo numrica do problema normalmente conseguida atravs da aplicao do mtodo das diferenas finitas (ou do mtodo dos elementos finitos), com vista obteno da soluo da equao diferencial de 4 ordem (2.3) que descreve o desempenho da estaca solicitada horizontalmente, por analogia com a viga assente em meio elstico. Para baixos nveis de deformao, plausvel representar a relao p-y atravs do mdulo de reaco tangente ou inicial do solo, Ki. Contudo, na anlise da resposta do solo em estdios avanados de deformao, a no linearidade da relao p-y deve ser tida em conta atravs da utilizao do mdulo de reaco secante do solo, Ks, definido pelo declive da secante traada desde a origem at qualquer ponto ao longo da curva p-y (fora do seu troo linear). A lgica do mtodo que utiliza as curvas p-y reside assim na introduo de uma srie destas curvas, de modo a obterem-se valores representativos do mdulo de reaco do solo em funo da profundidade e do deslocamento do solo. De acordo com Varatojo (1995), por Tuna de Sousa (2006), as curvas p-y so influenciadas por uma extensa gama de parmetros, designadamente: Dimenso e forma da seco transversal da estaca; Rigidez de flexo da estaca;

16

Tipo de terreno, de que dependem os parmetros de resistncia ao corte e as relaes tenso-deformao do mesmo; Tipo de carregamento (esttico ou cclico); Velocidade de aplicao das cargas; Nmero de vezes que a carga aplicada e respectivo tempo de actuao; Efeito das sobrecargas no terrapleno; Posicionamento do nvel fretico; Tenso de confinamento; Modo de deformao e fenmenos de consolidao e fluncia do terreno.

A previso da configurao das curvas p-y tem sido desenvolvida com base em diversos estudos que se podem dividir nos seguintes grupos: Ensaios de carga de estacas em verdadeira grandeza; Ensaios de carga de estacas em modelo reduzido; Ensaios in situ; Correlaes empricas baseadas em ensaios laboratoriais.

2.1.3.2. Correlaes empricas com resultados de ensaios laboratoriais sobre solos Os mtodos baseados em correlaes empricas entre ensaios laboratoriais e o traado das curvas py tm sido os mais correntemente utilizados. Estes mtodos assentam no princpio de que possvel correlacionar a relao tenso-deformao obtida dos ensaios laboratoriais de caracterizao do solo com a relao p-y da estaca (Santos, 1999; por Tuna de Sousa, 2006). McClelland e Focht (1956) foram pioneiros nesta matria, tendo determinado as curvas p-y para cada profundidade e para cada escalo de carga de estacas instaladas em argilas, com base no conhecimento dos diagramas de momentos flectores obtidos em ensaios de carga daquelas estacas. Estes autores compararam aquelas curvas com as curvas tenso-deformao obtidas em ensaios triaxiais, convertendo a reaco do solo numa tenso e o deslocamento numa deformao adimensional. Estas converses tiveram como factores o dimetro e o raio da estaca, respectivamente. McClelland e Focht notaram a semelhana na forma de ambas as curvas, embora houvesse uma discrepncia nos resultados numricos, que pode contudo ser justificada pela disparidade dimensional das massas implicadas nos dois tipos de ensaio e pelo diferente modo de aplicao das solicitaes. Esta ocorrncia pode todavia ser ultrapassada desde que se considere que os factores de transposio so independentes das caractersticas do solo, relacionando os mesmos por um factor de escala (Varatojo, 1986; por Tuna de Sousa, 2006).

17

Os mtodos desenvolvidos para o traado de curvas p-y assentam num nmero reduzido de ensaios de carga em verdadeira grandeza. As propostas clssicas existentes para solos incoerentes implicam a determinao de trs parmetros do solo: o peso volmico , o ngulo de atrito interno e a taxa de variao do mdulo de reaco em profundidade, nh. J para solos coerentes, os parmetros a determinar so, para alm do peso volmico, a resistncia no drenada su e a deformao correspondente semi-diferena entre as tenses principais mximas na rotura, 50. No captulo 4 deste documento apresentam-se as metodologias utilizadas no trabalho de Rollins et al. (2005) para a determinao dos parmetros do solo necessrios ao traado das curvas p-y utilizadas na modelao numrica do ensaio de carga lateral de um grupo de estacas realizado naquele trabalho. Abaixo apresentam-se as propostas seguidas no trabalho de Rollins et al. (2005) para o traado de curvas p-y para areias e para argilas moles.

2.1.3.3. Curvas p-y para areias O traado de curvas p-y para areias efectuado neste trabalho seguiu a proposta de Reese et al. (1974). Esta proposta baseou-se em ensaios de carga em verdadeira grandeza realizados em Mustang Island, no Texas, descritos por Cox et. al (1974). As duas estacas ensaiadas eram constitudas por perfis tubulares metlicos de 0,61m de dimetro, 9,5mm de espessura e 21m de comprimento, tendo sido cravadas num solo submerso de elevada compacidade relativa, que variava3 de areia fina a areia siltosa com valores de e de 39 e 10,4kN/m , respectivamente. As estacas

foram ambas instrumentadas com extensmetros elctricos, tendo uma delas sido submetida a carregamentos estticos e a outra a carregamentos cclicos (Reese e Van Impe, 2001; por Tuna de Sousa, 2006). A curva p-y sugerida vlida para carregamentos estticos e cclicos, apresentando-se de seguida os passos necessrios ao seu traado, que devem ser acompanhados da Figura 2.4 para identificao das grandezas referidas.

18

Figura 2.4 Curvas p-y para areias (Reese et al., 1974).

A construo da curva inicia-se com a determinao dos valores de , e nh que melhor representam o solo em estudo. Os autores deste mtodo propem para nh os valores indicados no Quadro 2-I:Quadro 2-I Valores de nh [MN/m ] em funo da compacidade relativa do solo (Reese et al., 1974). Compacidade relativa Areia submersa Areia emersa Solta 5,4 6,8 Mdia 16,3 24,4 Densa 33,9 61,03

O troo inicial da curva p-y linear, sendo definido pela expresso (2.33):

p = (nh .z ). y

(2.33)

De seguida, fixando-se a profundidade para a qual se pretende traar a curva, calcula-se a resistncia ltima do solo. Reese et al. (1974) referem uma metodologia para determinar esta grandeza, distinguindo dois casos: A profundidade a analisar situa-se prxima da superfcie do terreno, pelo que levado em conta o equilbrio da cunha que tem tendncia a destacar-se na face anterior da estaca; Anlise para grandes profundidades, em que j no se verifica influncia dos efeitos da superfcie, tendo o terreno tendncia a escoar-se horizontalmente em torno da estaca.

19

O primeiro modelo referido encontra-se ilustrado na Figura 2.5. A fora horizontal total Fpt desenvolvida pelo solo em oposio ao deslocamento da estaca dada pela expresso (2.34).

Figura 2.5 Modelo do comportamento do solo incoerente para pequenas profundidades (depois de Reese et al., 1974).

K .z. tan .sen tan B z Fpt = .z 2 . 0 . + . tan . tan + + 3. tan ( ). cos tan ( ) 2 3

+onde,

K 0 .z. tan K .B .(tan .sen tan ) a 2 3

(2.34)

K0 o coeficiente de impulso em repouso (os autores propem para as areias, por defeito, o valor 0,4); Ka o coeficiente de impulso activo de Rankine, calculando-se pela expresso (2.35); e so os ngulos que definem a geometria da cunha, calculando-se pelas expresses (2.36) e (2.37), respectivamente.

K a = tan 2 (45 )

(2.35) (2.36)

=

2

= 45 +

2

(2.37)

A resistncia ltima do solo, por comprimento da estaca, obtm-se pela diferenciao da expresso (2.34) em ordem profundidade z:

20

K .z. tan .sen tan + put = .z. 0 .(B + z + tan . tan ) + tan ( ). cos tan ( )

+ K 0 .z. tan .(tan .sen tan ) K a .B ]O modelo aplicvel a maiores profundidades encontra-se ilustrado na Figura 2.6, sendo neste caso a resistncia ltima do solo dada pela expresso:

(2.38)

pud = K a .B. .z. tan 8 1 + K 0 .B. .z. tan . tan 4

(

)

(2.39)

Figura 2.6 Modelo do comportamento do solo para maiores profundidades (depois de Reese et al., 1974).

Os deslocamentos ym e yu e as resistncias pm e pu so determinados pelas expresses (2.40) a (2.43), com base nos coeficientes empricos As (ou Ac) e Bs (ou Bc), dados pela Figura 2.7 para carregamentos estticos ou cclicos em funo da profundidade. Os coeficientes adimensionais A e B tm uma funo de ajuste, justificando-se a sua utilizao pelas disparidades verificadas nas resistncias observadas em resultados experimentais e tericos.

21

Figura 2.7 Coeficientes empricos A e B em funo da profundidade e do tipo de carregamento (esttico ou cclico).

yu =

3.B 80

(2.40) (2.41) (2.42) (2.43)

pu = As .menor{put ; pud }

ym =

B 60

pm = Bs .menor{put ; pud }

Entre ym e yu a curva p-y composta por um troo recto de declive m, definido pela expresso (2.45), sendo m calculado pela expresso (2.44). Para deslocamentos superiores a yu a reaco do solo assume-se constante.

m=

pu pm yu ym

(2.44) (2.45)

p = pm + m.( y ym )

O troo remanescente parablico, desenvolvendo-se entre os pontos k e m de acordo com a expresso (2.46):

p = C . y1 / nem que,

(2.46)

22

n=C=

pm m. ym

(2.47)

( ym )1 / n

pm

(2.48)

O ponto k define-se pelo par ordenado (yk;pk) conforme as expresses (2.49) e (2.50):

C n 1 yk = n .z h

n

(2.49) (2.50)

pk = C.( yk )

1/ n

2.1.3.4. Curvas p-y para argilas moles O traado de curvas p-y para argilas moles efectuado neste trabalho seguiu a proposta apresentada por Matlock em 1970. Esta proposta baseou-se num conjunto de ensaios de carga realizados sobre uma estaca metlica cravada primeiramente em Lake Austin e posteriormente em Sabine Pass. Esta estaca era constituda por um perfil tubular circular de 0,319m de dimetro, 12,7mm de espessura e 12,8m de comprimento. A resistncia no drenada mdia do local de instalao em Lake Austin de 38,3kPa e em Sabine Pass de 14,4kPa. Em ambas as campanhas a estaca foi primeiro ensaiada estaticamente e, aps ser extrada e cravada de novo, foi ensaiada ciclicamente (Reese e Van Impe, 2001; por Tuna de Sousa, 2006). A curva p-y sugerida por Matlock uma parbola cbica, definida pela expresso (2.51) e ilustrada na Figura 2.8. Ao deslocamento do solo y50 corresponde uma resistncia igual a metade da resistncia ltima do solo, sendo sugerida para a sua determinao a expresso (2.52). Para deslocamentos superiores a 8.y50 considera-se atingida a resistncia ltima do solo, pelo que se tem p = pu .

y p = 0,5. y pu 50 y50 = 2,5. 50 .B

1/ 3

(2.51) (2.52)

23

Figura 2.8 Curvas p-y para argilas moles em carregamento esttico (Matlock, 1970).

O traado da curva comea pela estimativa da variao de su e em profundidade e pela determinao do valor de 50 com base em ensaios triaxiais ou, alternativamente, usando os valores apresentados no Quadro 2-II (Reese e Van Impe, 2001; por Tuna de Sousa, 2006), a fim de se calcular y50.Quadro 2-II Valores de 50 em funo de su para argilas normalmente consolidadas e sobreconsolidadas (Reese e Van Impe, 2001). Argilas normalmente consolidadas (Skempton, 1951) su [kPa] 50 [-] < 48 48 - 96 96 - 192 0,02 0,01 0,005 Argilas sobreconsolidadas (Reese et al., 1975) su [kPa] 50 [-] 50 - 100 100 - 200 200 - 400 0,007 0,005 0,004

Para a resistncia ltima do solo em argilas moles submersas, o autor sugere uma expresso genrica do tipo:

pu = K c .su .B

(2.53)

em que Kc um factor de resistncia lateral para solos puramente coesivos. Para grandes profundidades Kc toma o valor de 9, ao passo que junto superfcie do terreno o autor prope a seguinte variao deste factor em profundidade:

Kc = 3 +onde,

'.zsu

+

J .z B

(2.54)

o peso volmico submerso mdio desde a superfcie do terreno at profundidade da curva p-y a traar; J um factor emprico que toma o valor 0,5 para argilas moles e 0,25 para argilas mdias, sendo comum a adopo do primeiro valor indicado. 24

De acordo com a expresso (2.54), o factor Kc toma o valor 3 superfcie do terreno. A segunda parcela da expresso mostra o aumento da resistncia com a profundidade associado ao aumento da tenso efectiva e a terceira parcela diz respeito ao constrangimento geomtrico que mesmo um solo com peso nulo envolvendo a estaca impe contra o escoamento ascensional (Varatojo, 1986; por Tuna de Sousa, 2006). A resistncia ltima do solo toma o menor dos valores calculados admitindo as hipteses de pequenas ou grandes profundidades, isto , o menor dos valores dados pelas expresses (2.55) e (2.56):

'.z J .z pu = 3 + .su .B + su B pu = 9.su .B

(2.55) (2.56)

Finalmente, calculam-se pela expresso (2.51) os pares ordenados y ; p para as vrias y50 pu profundidades a ter em conta. No caso de a solicitao ser cclica o clculo das curvas p-y sofre algumas variaes. Esta situao no ser contudo abordada no presente trabalho.

25

3. VALIDAO DO MODELO NUMRICO

3.1. MODELO ELSTICONeste estudo efectuou-se primeiramente a modelao em SAP2000 de uma estaca isolada submetida a uma carga horizontal concentrada V0 na cabea, a fim de comparar os resultados obtidos com o modelo computacional para os deslocamentos e esforos na estaca com os resultados fornecidos pelas solues analticas disponveis. A estaca modelada era constituda por beto C15/20, com mdulo de elasticidade E=29GPa e resistncia caracterstica compresso fck=16MPa, tendo 20m de comprimento e seco circular de 0,8m de dimetro, com um momento de inrcia I=0,02m4. Admitiu-se para o solo um mdulo de reaco constante K=20MPa. A determinao da soluo analtica implica o clculo do coeficiente de rigidez relativa (), dado por:

=4

K 4.E.I

(3.1)

tendo-se, para os valores previamente definidos, =0,304m-1. O produto .L, em que L designa o comprimento da estaca, um parmetro adimensional que permite quantificar a rigidez relativa estaca-solo, considerando-se uma estaca como rgida se .L3. Para os casos em que 1