Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
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Operações com Vetores no Espaço R3:
Representação: kvjvivv zyxˆˆˆ
Determinação dos ângulos x, y, z:
v
v
v
v x
x
x
x arccoscos
v
v
v
v y
y
y
y arccoscos
v
v
v
v zx
zz arccoscos
Representação dos ângulos no espaço R3:
Representação: z
kvjvivv zyxˆˆˆ
ou
),,( zyx vvvv
ou
OAAOv
xv : Componente x do vetor v
na direção Ox .
yv : Componente y do vetor v
na direção Oy.
zv : Componente z do vetor v
na direção Oz.
v
A
z
y
x
0 vy y
x vx
Versores:
0,0,1i
0,1,0j
1,0,0k
Módulo do vetor:
222
zyx vvvv
Modo angular na calculadora:
Lembre-se que para encontrar o ângulo
em graus o modo que se deve trabalhar na
calculadora é deg (de “degree”) e se quiser operar
em radianos, rad.
A relação entre um ângulo medido em
grau 0 e um ângulo medido em radiano é dada
por: 0
0180
3.14159...
Importante:
v
é um vetor, por tanto possui módulo
direção e sentido.
v
é o módulo do vetor v
, sendo
portanto um número.
Produto Escalar entre dois vetores:
Representação: BA
Lê-se: Produto escalar entre os vetores A
e
B
Definição: O Produto escalar entre dois
vetores é um número que representa a projeção de
um vetor na direção de outro vetor:
A
cosA
B
zzyyxx BABABABA
Mostramos em aula que:
cosBABABABABA zzyyxx
Podemos encontrar o ângulo entre os
vetores por meio da equação:
cosx x y y z zA B A B A B
A B
arccosx x y y z zA B A B A B
A B
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Aplicações:
Trabalho de uma força:
O trabalho de uma força, ao deslocar um corpo
de uma posição 1r
a outra 2r
no espaço ao longo de
uma trajetória C é dado por:
C
rdF
Quando a força é constante ao longo dessa
trajetória, sendo d o deslocamento sofrido pelo corpo:
dF
Potência de uma força:
vFP
Propriedades:
1ˆˆ ii 0ˆˆˆˆ ijji
1ˆˆ jj 0ˆˆˆˆ ikki
1ˆˆ kk 0ˆˆˆˆ jkkj
CABACBA
vv
vn
AB
ˆ ; onde ABABv
(Normalização de um vetor).
Mostre que:
kjin zyxAB
ˆcosˆcosˆcosˆ
Produto Vetorial entre dois vetores:
Representação: BA
Lê-se: Produto vetorial entre os vetores A
e
B
.
Definição: O Produto vetorial entre dois
vetores é um vetor que possui direção perpendicular ao
plano formado pelos vetores A
e B
, cujo ângulo vale
e cujo módulo é igual a área formada pelo
paralelogramo de lados A
e B
:
A
BA
θ senAh
B
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
ˆˆˆ
Mostramos em aula que:
kBABAjBABAiBABABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ
Podemos encontrar o módulo do vetor que
é originado pelo produto vetorial dos vetores
vetores A
e B
:
senBABA
Aplicações:
Torque ou Momento de uma força
aplicada num ponto A em relação a um ponto
O:
AAOFAOM
AF
A
y
z O x
11. Força magnética sobre uma
partícula de carga q que penetra numa região
de Campo Magnético Uniforme.
Força de Lorentz:
BvqEqF
q E
v
B
Propriedades:
0ˆˆ ii kijji ˆˆˆˆˆ
0ˆˆ jj jkiik ˆˆˆˆˆ
0ˆˆ kk ijkkj ˆˆˆˆˆ
CABACBA
ABBA
BAmBAm
CBACBA
CBABCACBA
0
AA
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Produto misto de três vetores:
O Produto misto entre os vetores A
, B
e C
é um número cujo valor é o volume do paralelepípedo
formado pelo comprimento dos respectivos vetores .
Interpretação Geométrica:
Notação: CBA
cossenCBACBA
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
CBA
Funções com valores Vetoriais:
Se D é um conjunto de números reais,
então, ktzjtyitxr ˆ)(ˆ)(ˆ)(
é uma função
com valores vetoriais para um dado t real.
Se t é o tempo, denominamos o vetor
deslocamento:
ktzjtyitxr ˆ)(ˆ)(ˆ)(
A trajetória de uma partícula para esse
vetor deslocamento é a união de todos os extremos
desses vetores para todo instante de tempo t.
O vetor velocidade instantânea é um vetor
tangente à trajetória e é dado por:
kdt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rdtv ˆˆˆ)(
Observe que:
kvjvivtv zyxˆˆˆ)(
dt
dxvx
dt
dyvy
dt
dzvz
O vetor aceleração instantânea é dado
por:
kdt
zdj
dt
ydi
dt
xd
dt
rdta ˆˆˆ)(
2
2
2
2
2
2
2
2
Observe que:
kajaiata zyxˆˆˆ)(
dt
dva x
x
dt
dva
y
y
dt
dva z
z
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Exercícios de Aplicação:
Desenvolvidos em aula
Em cada ilustração, encontre o que se pede:
1.
(a) AD AB (b) AC AD
(c) AD AB (d) AC AD
(e) Ângulo entre eAC AD .
(f) Ângulo entre eOA OB .
A(0, 20, 0);B(-4, 0, 5); C(12, 0, 3.6);D(-4, 0, -14.8)
4,0, 14.8 0,20,0 4, 20, 14.8AD D A
4,0,5 0,20,0 4, 20,5AB B A
12,0,3.6 0,20,0 12, 20,3.6AC C A
(a)
ˆˆ ˆ
4 20 14.8
4 20 5
i j k
AD AB
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
4 20 14.8 4 20
4 20 5 4 20
i j k i j
ˆ20 5 20 14.8AD AB i ’
ˆ14.8 4 5 4 j
ˆ4 20 4 20 k
ˆˆ ˆ396 79.2 0AD AB i j k
(b) ˆˆ ˆ368 163.2 320AC AD i j k
(c) 342AD AB
(d) 298.72AC AD
(e) Ângulo entre 0 e :59.8AC AD .
(f) Ângulo entre 0 e : 90OA OB
2. O ponto A está a 20m do chão.
O
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
(e) Ângulo entre eAC AB .
(f) Ângulo entre eOA OB .
3.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
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(e) Ângulo entre eAC AB .
(f) Ângulo entre eOA OB .
4.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
(e) Ângulo entre eAC AB .
(f) Ângulo entre eOA OE .
(g) AE AC
5.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
(e) Ângulo entre eAC AB .
(f) Ângulo entre eOA OB .
(g) AD AC
6.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
(e) Ângulo entre eAC AB .
(f) Ângulo entre eOA OD .
(g) AB AC
7.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
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(e) Ângulo entre eAC AB .
(f) Ângulo entre eOE OF .
(g) AD AE
8.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
9. O raio do disco é 5cm.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
10.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
11.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
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12.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OA
13.
(a) AC AB (b) AB AD
(c) AC AB (d) OC OA
14.
(a) OA OB (b) OA OA
(c)OA OB (d) OA OA
15.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
(e) Ângulo entre eAC AB .
(f) Ângulo entre eOE OF .
(g) AD AE
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16.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
(e) Ângulo entre eAC AB .
(f) Ângulo entre eOE OB .
(g) AD AE
17.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
18.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OD
19.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OB
20.
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(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OB
21.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB (d) OC OB
PROBLEMAS
Parte A – Exercícios de treinamento
Problema 1 – São dados os vetores:
jiu ˆˆ3
jiv ˆ5ˆ2
kjir ˆˆ3ˆ2
kjis ˆ8ˆ2ˆ4
Determine:
(a) vu
3
(b) vu
(c) )2( vuu
(d) urvu
32
(e) vr
(f) urvsv
(g) urvsv
(h) iurvsv ˆ
Problema 2 – São dados os vetores:
kjiA
3ˆ4ˆ
kjiB ˆˆ3ˆ2
e kjiC ˆ3ˆ2ˆ5
Verifique as propriedades:
i. CABACBA
ii. ABBA
iii. BAmBAm
iv. CBACBA
v. CBABCACBA
vi. 0
AA
Problema 3 – Encontre os ângulos entre
os vetores:
(a) A
e B
.
(b) A
e C
.
(c) B
e C
.
Problema 4 – Seja:
ktjtittr ˆ)33(ˆ)64(ˆ)49()(
:
(a) Encontre os vetores:
)0(r
; )1(r
e )2(r
.
(b) Esboce os vetores: )0(r
; )1(r
e )2(r
.
(c) Encontre os vetores
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-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0
2
4
6
-1
-0.5
0
0.5
1
-10
-5
0
5
10
-10
0
-1-0.500.51
-10
-5
0
5
10
)0(v
; )1(v
e )2(v
.
Problema 5 – Seja:
kbtjasentitatr ˆˆˆcos)(
, com a e b
constantes.
(a) Faça o traçado de )(tr
completando a
tabela abaixo:
t )(tr
0
/4
/2
3 /4
5 /4
2
(b) Esquematizando a curva que representa a
trajetória, união de vários pontos extremos do vetor
)(tr
, dada para a = 1 e b = 1/3, teremos:
Indique os vetores da tabela na figura que
representa a trajetória C.
Problema 6 – Uma partícula de carga q
penetra numa região onde há um campo elétrico
CNkjiE ˆ6ˆ4ˆ3
, e um campo magnético
TjiB ˆ4.0ˆ2.0
.
Encontre a relação q
F
se a velocidade desta
partícula é de smjiv ˆ22ˆ12
.
Problema 7 – Seja jtittr ˆ)8(ˆ2)( 2.
(a) Faça o traçado de )(tr
completando a
tabela a seguir:
t )(tr
-2
-1
0
1
2
3
4
Indique os vetores da tabela na figura que
representa a trajetória C.
c) Calcule o vetor velocidade instantânea
jvivtv yxˆˆ)(
para os instantes da tabela e
seus módulos.
d) Determine o vetor aceleração
instantânea jaiata yxˆˆ)(
para os instantes
da tabela e seus módulos.
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Parte B – Trabalho.
Problema 1 - Dados os vetores P = 3i - j + 2k,
Q = 4i + 5j - 3k e S = -2i + 3j - k, calcule os produtos
escalares P • Q, P • S e Q•S.
Problema 2 - Calcule o produto escalar
P1 • P2 e utilize o resultado obtido para provar
a identidade:
212121 coscos)cos( sensen
P1
P2
2
1
x
Problema 3 - Três cabos são utilizados para
sustentar um recipiente, como ilustrado. Determine o
ângulo formado pelos cabos AB e AD.
Problema 4 - Três cabos são utilizados para
sustentar um recipiente, como ilustrado. Determine o
ângulo formado pelos cabos AC e AD.
Problema 5 - O tubo AB pode deslizar ao
longo do eixo horizontal. Os extremos A e B do tubo
estão ligados ao ponto fixo C por meios de elásticos. Na
posição correspondente a x = 280 mm, determine o
ângulo formado pêlos dois elásticos
(a) usando o produto escalar entre vetores
apropriados.
(b) aplicando a lei dos co-senos ao triângulo
ABC.
Problema 6 - Resolva o Problema 3.30
quando x = 100 mm.
Problema 7 - Sabendo que a força de tração
no cabo AC é de 1 260 N, determine:
(a) o ângulo entre o cabo AC e o mastro AB e
(b) a projeção sobre AB da força aplicada
pelo cabo A
Problema 8 - Sabendo que a força de
tração no cabo AD é de 810 N, determine: (a)
o ângulo entre AD e o mastro AB e
(b) a projeção sobre AB da força exercida
pelo cabo AD no ponto A.
Problema 9 - Dados os vetores P = 3i - j +
2k, Q = 4i + 5j - 3k e S = -2i + 3j - k, calcule:
(a) (Q x S)
(b) (P x Q) • S
(c) (S x Q) • P.
Problema 10 - Dados os vetores P = 4i - 2j
+ 3k, Q = 2i + 4j - 5k e S = si - j + 2k, determinar
o valor de s para o qual os três vetores são
coplanares.
Problema 11 - Sabendo que a força de
tração no cabo AB é de 570 N, determine o
momento, em relação a cada um dos eixos
coordenados, da força aplicada no ponto 6 da
placa.
Problema 12 - Sabendo que a força de
tração no cabo AC é de 1 065 N, determine o
momento da força aplicada no ponto C da placa,
em relação a cada eixo coordenado.
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
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-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
00.5
1
0
2
4
-1
-0.5
00.5
1
Problema 13 - Um pequeno barco pende de
dois suportes, um dos quais é mostrado na figura. Sabe-
se que o momento, em relação ao eixo z, da força
resultante R aplicada no ponto A do suporte não deve
exceder o valor de 217 N • m, em valor absoluto.
Determine o maior valor possível da força de tração no
cabo ABAD quando x = 1,46m.
Problema 14 - Com referência ao Prob. 3.38,
determine o maior valor de x compatível com uma
força de tração de 214 N no cabo ABAD.
Problema 15 - Uma força única P atua no
ponto C em uma direção perpendicular ao cabo BC da
manivela da figura. Sabendo que Mx = 20 N • m, My =
8,75 N • m e Mz =30 N • m, determine o módulo de P e
os valores de e .
Problema 16 - Uma única força P atua no
ponto C em uma direção perpendicular ao cabo BC da
manivela da figura. Determine o momento M de P em
relação ao eixo x, quando = 700 , sabendo que My= -
20 N • m e Mz = -37,5 N • m.
Problema 17 – Seja:
kbtjaiasenttr ˆˆcosˆ)(
, com a e b
constantes.
(a) Faça o traçado de )(tr
completando a tabela
abaixo:
t )(tr
0
/4
/2
3 /4
5 /4
2
(b) Esquematizando a curva que
representa a trajetória, união de vários pontos
extremos do vetor )(tr
, dada para a = 1 e b = 1/3,
teremos:
Indique os vetores da tabela na figura.
Problema 18 – Determine a
velocidade vetorial )(tv
, se
kbtjaiasenttr ˆˆcosˆ)(
representa o
vetor posição de uma partícula em movimento.
Problema 19 – Uma partícula de
carga q penetra numa região onde há um campo
elétrico CNkjiE ˆ6ˆ4ˆ3
, e um campo
magnético TjiB ˆ4.0ˆ01.0
.
Encontre a relação q
F
se a
velocidade desta partícula é de
smkjiv ˆ5ˆ10ˆ20
.
Problema 20 – Seja o vetor posição de uma
partícula dado por:
kjsentittr ˆ1ˆˆcos)(
A trajetória dessa partícula está indicada na
figura.
(a) Calcule o vetor velocidade instantânea
jvivtv yxˆˆ)(
para os instantes t0 = 0s, t1 = 2s
e t3 = 4 s, e também seus módulos.
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
22
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
1.5
2
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
(b) Determine o vetor aceleração instantânea
jaiata yxˆˆ)(
para os instantes dados e seus
módulos.
Referências:
“Mecânica Vetorial para Engenheiros –
Estática”, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr.,
Makron Books.
Swokowski, V II.