Gabarito 1a Prova de Mecânica dos Fluidos II – PME 2330 09/04/2012
Nome:______________________________________ No. USP_____________________
1ª Questão (3,0 pontos): Em um escoamento plano, não viscoso e incompressível, , onde é uma constante dimensional.
a) (0,5 pto.) Determinar sabendo que . b) (0,5 pto.) Determinar o tensor taxa de deformação. c) (0,5 pto.) Determinar as linhas de corrente do escoamento e fazer um desenho no plano para . d) (0,5 pto.) É válida a equação de Bernoulli numa linha de corrente? Por quê? e) (0,5 pto.) Se for válida a equação de Bernoulli, a constante de Bernoulli é a mesma para todo o
escoamento? Por quê? f) (0,5 pto.) Se for possível, determinar o campo de pressão desprezando forças de volume e sabendo que
.
Solução:
a) Da equação de continuidade: Axu
yv
yv
xu −=
∂∂−=
∂∂⇒=
∂∂+
∂∂ 0
Integrando: ( ) ( )xfyAyxv +−=, Da condição de contorno: ( ) ( ) 000, =⇒= xfxv Resulta finalmente: ( ) yAyxv −=,
b) O tensor taxa de deformação resulta: 0;; =−== yxyyxx AA εεε
c) Da equação de linha de corrente: Cxyxdx
ydy
xy
dxdy
lc
lnlnln =+⇒−=⇒−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
Resulta finalmente: xC
y = , onde C é uma constante dimensional. As linhas de corrente resultam
hipérboles. d) A equação de Bernoulli é válida ao longo de uma linha de corrente. e) Como 0=ζ , a constante é válida para todas as linhas de corrente.
f) O campo de pressões resulta: ( ) cteyxAp =++ 222
21 ρ
Da condição de contorno, resulta ( ) ( )22200 2
1, yxApyxpctep +−=−⇒= ρ
( ) xAyxu =, A
( )yxv , ( ) 00, =xv
0>A
( ) 00,0 pp =
2ª. Questão (3.5 ptos). Vamos admitir, numa primeira aproximação, que a trajetória de uma “bola” de futebol com rotação possa ser determinada pela solução do escoamento potencial ao redor de um cilindro girando com 0,22m de diâmetro e 0,25m de comprimento no sentido perpendicular ao plano do escoamento. Admita que a trajetória da “bola” é um arco de circunferência com raio de curvatura R0 . Esse raio de curvatura é obtido considerando que a força de sustentação devido a rotação seja igual à força centrípeta, isto éFsustentação =
Fcentrípeda = m
V
2
R0er . Isto posto, considere o caso indicado na figura abaixo, no qual ocorre a cobrança
de uma falta. A falta é cobrada a uma distância de 43,3m do gol e a barreira está localizada a uma distância de 9,15m da bola e tem uma largura L igual a 3m (vide figura). Admita que a velocidade da bola após a cobrança seja igual a 180km/h e que o modulo desta velocidade mantenha-se constante. Admita que no momento da cobrança da falta o ângulo α = 300 e a velocidade angular ω = 20rad / s (sentido anti-horário). Considere que a massa da bola é de 450g, a massa específica do ar ρ =1,2kg /m3 e o gol tem 7m de largura. Pede-se:
a) (1,0 pto.) Calcule a força (direção e sentido) exercida na bola devido a rotação. b) (0,5 pto.) Qual o raio de curvatura R0 da trajetória da “bola” devido a rotação dela?
c) (0,5 pto.) Determine as coordenadas do centro de curvatura ( xcentro , ycentro ), em relação à origem (ponto de
cobrança da falta). d) (1,0 pto.) Determine a quantos metros a bola passa da barreira e determine x no instante que a bola atravessa a
linha de fundo (y=43,3m). Ocorre o gol ou não? Dica: equação da trajetória é a da circunferência cuja equação é
x − xcentro( )2 + y − ycentro( )2 = R02 .
e) (0,5 pto.) Determine os pontos de estagnação no cilindro e esboce as linhas de corrente num referencial fixo em relação à “bola”.
3ª. Questão (3.5 pontos). Um fluido não viscoso, num escoamento incompressível e irrotacional, passa ao
redor de uma parede na qual existe um sumidouro de intensidade localizado na origem, como
mostrado na figura. No infinito o escoamento é paralelo com velocidade uniforme e pressão estática da corrente livre .
a) (0,5 pto.) Fazer um desenho mostrando linhas de corrente representativas do escoamento. b) (0,5 pto.) Determinar as velocidades. c) (0,5 pto.) Determinar o campo de pressão. d) (1,0 pto.) Encontrar a distribuição de pressão adimensional !! = ! ! !!!
!/!!!!!!! ao longo da parede como
função de !∗ = !!!!/!. e) (1,0 pto.) Fazer um gráfico da distribuição de pressão adimensional do item anterior.
Dicas: 1) Notar que para um ponto na parede na posição resultam e , enquanto para um
ponto na parede na posição resultam e . 2) Notar que resulta um ponto de estagnação.
!
Solução: a) As linhas de corrente correspondem a um semi-corpo de Rankine, com um ponto de estagnação à direita
do sumidouro. b) A função corrente resulta: θθψ msenrU −= ∞ !!!
As velocidades resultam: rm
cosUr
vr −=∂∂= ∞ θθψ1 ; θψ
θ senUr
v ∞−=∂∂−=
c) Quadrado do módulo da velocidade: θθθ22
2222 senU
rmcosUvvV r ∞∞ +⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=+=
2
222 2
rm
rcosUmUV +−= ∞∞
θ
Por Bernoulli:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−⇒+=+
∞∞∞
∞∞∞∞∞ 22
22
2
2222 12
211
21
21
21
rUm
rcos
Um
UUV
UppVpUpθρρρρ
d) Adimensionalizando a distribuição de pressão, resulta:
( ) ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛ −=−=
∞
∞2**
2
12
21,
rrcos
U
pprcp
θ
ρθ , onde
mUrr ∞=* .
Para a posição da parede, resulta: ( ) 2*** 12
xxxcp −= , onde
mUx
x ∞=* .
Vemos que 021 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
pc e que ( ) 11 =pc (ponto de estagnação).
e) A distribuição resulta:
π2Qm =
∞U∞p
0<x xr −≡ πθ =0>x xr ≡ 0=θ
∞= Umx
Formulário:
Equação de continuidade:
Tensor taxa de deformação:
Equação da linha de corrente: ; Vorticidade componente :
Equação de Bernoulli:
ψ uniforme =U∞r senθ , ψ sumidouro = −mθ ,
Função linha de corrente de um cilindro de raio ! girando imerso num escoamento uniforme:
rra
senrUgirandocilindro ln2
1 2
2
πΓθψ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∞
∫ ⋅=C
ldV
Γ ; Teorema de Kutta-Joukowski: Γρ ∞−= UbL ; Bernoulli:
Equação da circunferência de raio ! e centro em xcentro, ycentro( ) : x − xcentro( )2 + y − ycentro( )2 = R02
Força centrípeta: Fcentrípeda = m
V
2
R0er
!3#
!2,5#
!2#
!1,5#
!1#
!0,5#
0#
0,5#
1#
!3# !2,5# !2# !1,5# !1# !0,5# 0# 0,5# 1# 1,5# 2# 2,5# 3#
( )zA
y
A
xA
AVt
zyx
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=∇+∂∂
.;0. ρρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂=
xv
yu
yv
xu
yxyyxx 21;; εεε
uv
dxdy
lc
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ z
yu
xv
∂∂−
∂∂=ζ
cteVp =+ 2
21 ρ
rv
rvr ∂
∂−=∂∂= ψθψ
θ;1
cteVp =+ 2
21 ρ