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Page 1: Gab Av2 2015 2 Teornúm(a)

Somente passamos a nos conhecer mais profundamente quando somos postos à prova. 1

Resolução da AV2 Modelo A 2015-2 Questão 1 __________________________________________________________________________________________________________(2,0) Observe as definições:

NÚMEROS DE MERSENNE - São números inteiros da forma Mp = 2p -1. Se Mp é um número primo, o número p também é. Só são conhecidos 33 números de Mersenne. O último descoberto corresponde a p = 859 433, cujo número de Mersenne é o 2859433 - 1.

Primos gêmeos- São dois inteiros positivos ímpares consecutivos que são ambos primos. Exemplos: 3 e 5 ; 5 e 7; 17 e 19; 29 e 31.

Justificando cada caso, verifique se (27 – 1) e (25 – 1) são: a) Números de Mersenne; Sendo 27 – 1 = 127 e 25 – 1 = 31 dois números primos da forma 2p -1, logo são números de Mersenne. b) primos gêmeos.

Como 27 – 1 = 127 e 25 – 1 = 31 não são ímpares consecutivos, eles não são primos gêmeos Questão 2 _________________________________________________________________________________________________________ (0,5) Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três mil dias após essa data, cairá em um(a): a) quarta-feira.

b) quinta-feira. c) sexta-feira. d) sábado. e) domingo. Questão 3 _________________________________________________________________________________________________________(0,5) Sabendo-se que um determinado número natural n é um múltiplo de 3 e que a metade desse número é um número inteiro par. Pode-se, então, garantir que n2 é um múltiplo de: a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13 Questão 4 _________________________________________________________________________________________________________(1,5) Dois sinais luminosos acendem juntos num determinado instante. Um deles permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segundos, enquanto o outro permanece aceso 1 minuto e apagado 20 segundos. A partir desse instante qual o número mínimo de minutos necessários para que os dois sinais voltem a acender juntos outra vez? Cada sinal completa seu ciclo, respectivamente, em: 1 min + 30 s = 90 s e 1 min + 20 s = 80 s. Daí, os sinais luminosos voltarão a acender juntos quando o tempo decorrido for um múltiplo comum de 90 e 80. O menor tempo para que isso ocorra é o MMC(80,90) = 720 segundos, o que corresponde a 12 minutos. Questão 5 _________________________________________________________________________________________________________(0,5) Considerando dois números inteiros, a e b, consecutivos e positivos, qual das expressões abaixo corresponde necessariamente a um número par? a) a + b b) 1 + a.b c) 2 + a + b d) 2a + b e) 1 + a + b

3000 7 4 428

Efetuando-se a divisão de 3000 por 7, o resto será 4. Logo, o dia procurado será o quarto após um domingo, isto é, uma quinta-feira.

Sendo n = 3k, com k natural, então teremos n2 = (3k)2 = 9k2. Ou seja, um múltiplo de 9. Independente de ser ele um múltiplo de 4, já que sua metade é par.

Sem perda de generalidade, supondo b > a, tem-se b = a + 1. Daí, a soma a + b = a + a + 1 = 2a + 1, que é ímpar. Para ser par, basta acrescentar uma unidade. Então, 1+ a + b = 2a + + 1 = 2(a + 1) que é par.

Somente passamos a nos conhecer mais profundamente quando somos postos à prova. 2

Questão 6 _________________________________________________________________________________________________________(1,5) Uma regra para saber se um número é divisível por 7 é:

Retira-se o último algarismo do número, em seguida subtrai-se do número que restou o dobro do algarismo retirado. Se esta diferença for um múltiplo de 7, o número analisado é divisível por 7. Aplicando sucessivamente a regra acima, verifique se o número 20142015 é divisível por 7.

20142015 2014191 201407 20126 200 20 ã é í 7. Questão 7 _________________________________________________________________________________________________________(1,5) No almoço de confraternização de uma empresa estavam presentes 250 homens, 300 mulheres e 400 crianças. Em uma brincadeira foram formadas equipes compostas apenas de crianças, equipes apenas de mulheres e equipes somente de homens. Todas as equipes tinham o mesmo número de pessoas e foi feito de maneira que fosse o maior número possível. Determine o número de pessoas em cada equipe. Se todas as equipes tinham o mesmo número de pessoas, este deve ser um divisor comum de 250, 300 e 400. O maior possível será o MDC (250, 300, 400) = 50 pessoas. Questão 8 _________________________________________________________________________________________________________(2,0) Quantos divisores naturais ímpares tem o número N = 62 x 107?

A decomposição em fatores primos será N = 62 107 = 22 32 27 57 = 29 32 57. Esse número só admite divisores ímpares da forma d = 20 3k 5t, com k {0, 1, 2} e t {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} em quantidade igual a (0 + 1) (2 + 1) (7 + 1) = 1 3 8 = 24.

QUESTÃO EXTRA – ENADE 2014 Esta questão pode acrescentar até 1,0 (um) ponto na nota desta prova, caso a resolução apresentada esteja correta. Portanto, não será considerada simplesmente a escolha de uma das opções, mas o desenvolvimento, de acordo com o enunciado.

Justificativa: 64 7 1 9

Efetuando-se a divisão de 64 por 7, o resto será 1. Logo, a pessoa escolhida será a 1ª depois de 9 ciclos completos, ou seja, ANA.

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