Download - FunGeo_Parte 3A_Cargas e Darcy
Fluxo de Água em Solos
PUC-RioNGA
FUNDAMENTOS DE GEOTECNIAC
once
itos
Bás
icos
T.M
.P.
de C
ampo
s (2
011)
Fluxo de Água em SolosPUC-Rio
NGA •Solos são permeáveis em função da existência devazios interconectados pelos quais a água pode fluirde pontos de alta energia para pontos de baixaenergia.
•O estudo de fluxo de água em solos é de vitalimportância para o engenheiro, pois a água, ao semover no interior de um maciço de solo, exerce emsuas partículas sólidas forças que influenciam oestado de tensões do maciço.
•Os valores de poro-pressão e, com isso, os detensão efetiva em cada ponto do maciço sãoalterados em decorrência de alterações no regime defluxo.
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Fun
dam
ento
s de
Geo
tecn
ia –
Par
te 3
Conceitos de fluxo de água nos solos são aplicados em problemas tais como:
Estimativa da vazão de água através de uma zona de fluxo (p.ex. uma
barragem);
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Fluxo de água em solos
Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do
lençol freático;
Problemas de colapso e expansão em solos não saturados;
Dimensionamento de sistemas de drenagem;
Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de resíduos;
Previsão de recalques ao longo do tempo (adensamento de solos moles
– baixa permeabilidade);
Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa
de solo (estabilidade de taludes);
Análise da possibilidade da água de infiltração produzir erosão interna ou
“piping”, etc.Transporte de contaminantes pelo
subsolo;
Análise da possibilidade de ocorrência de problemas de instabilidade hidráulica no meio poroso (e.g. levantamento de fundo de escavações; areia movediça)
Fluxo em Solos
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Fluxo de água em solos
Fluxo em escala microscópica (real)
Fluxo em escala macroscópica (adotado)
Escalas micro e macroscópica
Exemplos de Condições de Fluxo:
� Unidimensional:Fluxo paralelo ou subparalelo à superfície deuma encosta
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Fluxo de água em solos
Exemplos de Condições de Fluxo:
� Bidimensional:
Fluxo pela fundação de uma barragem deconcreto
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Fluxo de água em solos
Exemplos de Condições de Fluxo:
� Tridimensional:
Fluxo em um poço de extração de fluido
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Fluxo de água em solos
Planta
Perfil
Fluxos Laminar e Turbulento
� Fluxo Laminar: a trajetória seguida por uma partícula de água qualquer no domínio de fluxo é a mais linear possível, não interceptando a trajetória seguida por nenhuma das outras partículas de água fluindo na direção do escoamento.
v < vc
� Fluxo Turbulento: a trajetória seguida por uma partícula de água qualquer é caótica, cruzando a trajetória seguida por uma outra partícula qualquer no domínio de fluxo.
v > vc
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Fluxo de água em solos
v < vc
v > vc
Fluxos Laminar e Turbulento
vc = velocidade crítica, abaixo da qual o fluxo é laminar (LT-1)D = diâmetro do conduto (L)γw = peso específico da água (ML-2T-2)µw = viscosidade absoluta ou dinâmica da água (ML-1T-1)g = aceleração da gravidade (LT-2)νw = viscosidade cinemática da água (L2T-1)ρw = massa específica da água (ML-3)R = número de Reynolds
Assumindo que o diâmetro dos poros, φ, é pelo menos 10 vezes menor que odiâmetro dos grãos do solo, δ, e que R=2.000 (válido para a maioria das tubulaçõesde água comerciais) constitui um limite inferior para a ocorrência de fluxo turbulento,obtém-se as velocidades críticas, vc, abaixo. Comparando estas com as velocidadesde percolação, vp, assumidas como representativas para os materiais considerados,verifica-se ser de se esperar que, em solos, predomine a ocorrência de fluxo laminar.
DD
gv
w
wc
υ
γ
µ ℜ=
ℜ=
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Fluxo de água em solos
Solo ν (m2/s) R δ (mm) φ (mm) vc (m/s) vp (m/s)Pedregulho 1,0E-06 2000 6,0 6,0E-01 3,33 1,0E-01
Areia 1,0E-06 2000 0,2 2,0E-02 1,0E+02 1,0E-03Silte 1,0E-06 2000 0,06 6,0E-03 3,3E+02 1,0E-05
Argila 1,0E-06 2000 0,002 2,0E-04 1,0E+04 1,0E-07
Fluxos Permanente e Transiente
� Fluxo permanente ou estacionário: As característicasdo fluxo da água através do solo não variam com o tempo.
Ex.: fluxo através de uma barragem de terra, tempos após oenchimento do reservatório, que permanece com alturaconstante ao longo do tempo.
Tipo de problema a ser tratado no presente curso.
� Fluxo transiente: as características do fluxo da águaatravés do solo variam com o tempo.
Ex.: fenômeno de adensamento de solos.
Tipo de problema a ser tratado no Curso de Mecânica dosSolos subseqüente ao de Fundamentos de Geotecnia
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Fluxo de água em solos
Fluxo: Equações Principais
� Equação de Bernoulli → Conservação de energia
� Lei de Darcy → Equação constitutiva fenomenológica (define permeabilidade)
� Equação de Laplace → Conservação de massa (fluxo 2D)
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Fluxo de água em solos
Equação de BernoulliO conceito de energia total de um fluido em um dado ponto foiformulado por Bernoulli (Mecânica dos Fluidos), sendorepresentado por:
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eΦ+Φ+Φ=Φ vp
p = pressão; ρ = massa específica do fluido; g = aceleração da gravidade;v = velocidade de fluxo do fluido; M = massa; L = comprimento; T = tempo
Φ = energia total [ ML ]
= energia de pressãoρ
pMp =Φ
2
2Mv
v =Φ
MgLe =Φ
= energia cinética
= energia potencial
=
2
23
22T
ML
M
L
LT
MLM
2
2
T
ML
=
2
2
2T
MLL
T
ML
T.M
.P.
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Fluxo de água em solos
Conceito de CargasEm solos, é usual expressar a equação de Bernoulli em termosde carga, ou seja, em termos de energia por unidade de peso, ouseja:
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u = pressão da água nos vazios do solo; γw= peso específico da águavp = velocidade de percolação da água; g = aceleração da gravidade;z = distância de um referencial ou datum ao ponto considerado.
evp hhh ++=H
H = carga total [L]
= carga de pressãow
p
u
Mg
pMh
γρ==
g
v
Mg
Mvh
p
v 22
22
==
zMg
MgLhe ==
= carga de velocidade
= carga de elevação
= L
ML
T
M
L
LT
MLM23
22
= L
ML
T
T
ML2
2
2
= L
ML
T
T
MLL2
2
T.M
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Fluxo de água em solos
Conceito de Cargas
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Nível de Referência ou Datum
Nível piezométrico
wγ
u
2gv2p
z
H
=wγ
u
=z
=2g
v2p
carga de pressão ou carga piezométrica (L)
carga de velocidade (L)
carga de elevação ou carga altimétrica (L)
Ppiez
ômet
ro
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Fluxo de água em solos
Cargas em Solos Saturados
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Conforme se verá adiante, a velocidade de percolação da águaem solos é muito pequena, fazendo com que a carga develocidade (vp
2/2g) se torne desprezível em presença das cargasde pressão e de elevação. Logo, a carga total (H) em um dadoponto no solo será:
zγ
uH
w
+=+= ep hh
Carga de pressão, hp
Carga de elevação, he
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Fluxo de água em solos
Perda de carga entre dois pontos
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A
B
w
A
γ
u
w
B
γ
u
Bz
AH
BH
L
DATUM
Piezômetros
A carga piezométricaem um ponto é igualà altura da colunad’água no interior dopiezômetro instaladono ponto
A perda de carga h entre os pontos A e B será igual à
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Fluxo de água em solos
Conceito Fundamental
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Para que haja fluxo de água entre dois pontos é necessário que a carga total existente em cada um destes dois pontos seja diferente, ou seja, que exista diferença de carga total entre os dois pontos.A água fluirá sempre do ponto de maior para o de menor carga total.
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Fluxo de água em solos
Ponto Carga de elevação
Carga de pressão
Carga total
A
B
Aeh
Beh
Aph
Bph
HhhAp
Ae =+
HhhBp
Be =+
N.A.
A
B
Datum
Aeh
Beh
Aph
Bph
H
No balde impermeável, cheio de água, as cargas de elevação e de pressão em A e B são diferentes. Entretanto, não há fluxo,
pois as cargas totais em A e B são iguais.
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Fluxo de água em solos
Princípio de Bernoulli
BABA HHH ,∆+=
Dados dois pontos A e B, onde HA > HB, tem-se:
ou seja:
A carga total em um ponto B é igual à carga total em um ponto A menos a perda de carga entre estes dois pontos, com a carga total em A sendo maior do que a carga total em B.
Assim sendo, conhecendo-se a direção do fluxo de água no solo, a carga total em um dado ponto e a perda de carga entre este ponto e outro qualquer, é possível obter a carga total neste segundo ponto.
Cargas em Solos Não SaturadosPUC-Rio
NGA Em solos não saturados, a carga de pressão, hp,
passa a ser dada por:
A carga total, H, passa, então a ser igual a:
sendo: hs = carga decorrente da sucção matricial eho = carga decorrente da sucção osmótica
ose hhhH ++=
osp hhh +=
w
soo
uh
γ=
( )
w
was
uuh
γ
−=
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Fluxo de água em solos
Lei de Darcy
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Henry Darcy (1856) realizou um experimento clássico para estudar as propriedades dofluxo de água através de uma camada de areia saturada.
Darcy demonstrou que a vazão de água que flui entre dois pontos de uma amostra desolo é diretamente proporcional à diferença entre as cargas totais atuantes nestespontos, diretamente proporcional à área da seção transversal da amostra einversamente proporcional à distância entre os pontos, ou seja:
(Eq. 1)
onde: Q = vazão
∆Vw= variação de volume de água
∆t = intervalo de tempo
H1 e H2 = cargas totais nos pontos 1 e 2
L1,2 = distância entre os pontos 1 e 2
A = área transversal da amostra
A constante de proporcionalidade da Eq. 1 foi definida como sendo a permeabilidadeou coeficiente de permeabilidade, k, do solo. Assim, a equação da lei de Darcy é dadapor:
Onde: h = (H1 – H2) e L = L1,2
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Fluxo de água em solos
AL
HH
t
VQ w •
−≈
∆
∆=
2,1
21
AL
hkQ =
Experimento de Darcy
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Fluxo de água em solos
A Figura mostra um esquema aproximado do experimento de Darcy.
Considerando que a perda de carga nas tubulações é desprezível, ou seja, que só ocorre perda de carga no solo, tem-se:
Solo
Reservatório superior
Reservatório inferior
Tubulação
L
P1
P2
PA
PB
N.A.
N.A.
Área AZ1
Z2DATUM
AL
hkQDarcydeLei =Ponto he hp H
PA Z1 0 Z1
P1 Z2+L Z1-(Z2+L) Z1
P2 Z2 -Z2 0
PB 0 0 0
A carga total em P1 é maior que em P2. Assim, o fluxo é vertical descendente.
A perda de carga total, igual à diferença entre a carga total em P1 e P2, é :
h = Z1
Gradiente Hidráulico
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A lei de Darcy pode, então, ser reescrita da seguinte forma:
AikQ ∗∗=
ikA
Qv ∗==
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Fluxo de água em solos
A razão entre a perda de carga total (h = diferença entre as cargas totais nos pontos P1 e P2) e a distância entre estes pontos (L) é denominada gradiente
hidráulico, i, ou seja:
L
h
L
Hi =
∆=
A razão entre a vazão e a área tem a dimensão de velocidade, logo:
Velocidade de Fluxo ou de Darcy
Velocidades de Fluxo e de Percolação
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A velocidade de fluxo (v), definida a partir da lei de Darcy,corresponde ao volume de água fluindo por unidade de tempo(vazão) através da área de uma seção transversal do solo, que énormal à direção do fluxo. Tal velocidade não corresponde àvelocidade real com que a água flui através dos vazios do solo.
A velocidade efetiva da água pelos espaços vazios, denominadavelocidade de percolação, vp, é maior que a velocidade de fluxoou de Darcy, v.
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Fluxo de água em solos
ikA
Qv ∗==
Velocidade de Percolação (vp)
PUC-RioNGA Vazão, Q Vazão, Q
L
=
Área da amostra de solo = A
Área de sólidos = As
Área de vazios = Av
n
vvp =T.
M.P
. de
Cam
pos
(201
1)
Fluxo de água em solos
n = porosidade
( )
( ) ( )
( )
+∗=
+
∗=+∗
=
∗
∗+∗=
+∗=
∗=+∗=
e
e1v
VV
VV
1
vV
VVvv
LA
LAAv
A
AAvv
vAAAvQ
s
v
s
v
v
svp
v
sv
v
svp
pvsv
sv AAA +=pv vAAvQ ∗=∗=
Coeficiente de Permeabilidade (k)
PUC-RioNGA
[k]=[L/T]Tipicamente, k é definido em cm/s ou m/s, sendo que:
1 m/s = 10-2 cm/s
T.M
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Fluxo de água em solos
Da Lei de Darcy:i
vk =
Como o gradiente hidráulico, i, é adimensional, k tem a dimensão de velocidade:
AREIA MUITO FINA E SILTE, MISTURA DE AMBOS E ARGILA
Cálculo de Cargas
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Fluxo de água em solos
Dado o permeâmetro abaixo, determinar a distribuição de cargas total, de elevação e de pressão e a distribuição de velocidade entre as cotas 0 e 26.
Obs.: Não há perda de carga na tubulação. A carga de pressão nos N.A. = 0
Ponto H (cm) he (cm) hp (cm)
P1 80 80 0
P2 80 0 80
P3 80 5 75
P4 50 21 29
P5 50 26 24
P6 50 50 0
Solo Areiak (cm/s) 0,5n 0,33
0
21
5
42
50
26
80
Solo
N.A.
N.A.
Cot
a (c
m)
P3
P1
P2
P4
P5
P6
DA
TU
M
875,116
5080
L
H4-H3
L
hi =
−===
0,94cm/s1,8750,5 ki v =∗==
cm/s84,20,33
0,94
n
vvp ===
Dir
eção
do
Flux
o
Cálculo de Cargas
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.P.
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s (2
011)
Fluxo de água em solos
Solo Areiak (cm/s) 0,5n 0,33
0
21
5
42
50
26
80
Solo
N.A.
N.A.
Cot
a (c
m)
P3
P1
P2
P4
P5
P6
DA
TU
M
Dir
eção
do
Flux
o
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60 70 80Cargas (cm)
Co
ta (
cm
)
H hp he
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3Velocidade (cm/s)
Co
ta (
cm
)
Cálculo de Cargas
PUC-RioNGA
T.M
.P.
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s (2
011)
Fluxo de água em solos
Dado o permeâmetro abaixo, determinar a distribuição de cargas total, de elevação e de pressão e a distribuição de velocidade ao longo do mesmo.
Ponto H (m) he (m) hp (m)
P1 12 4 8
P2 12 8 4
P3 12 8 4
P4 4 8 -4
P5 4 8 -4
P6 4 4 0
0,18
412
L
H4-H3
L
hi =
−===
0,5cm/s1,00,5 ki v =∗==
cm/s52,10,33
0,5
n
vvp ===
Solo Areiak (cm/s) 0,5n 0,33
Direção do Fluxo
Par
Solo
0 84 12 16
N.A. N.A.
4
8
12
0DATUM
Cota (m)
Distância (m)
Par = 8mH2O
P1
P2 P5P3
P6
P4
Cálculo de Cargas
PUC-RioNGA
T.M
.P.
de C
ampo
s (2
011)
Fluxo de água em solos
Solo Areiak (cm/s) 0,5n 0,33
Direção do Fluxo
Par
Solo
0 84 12 16
N.A. N.A.
4
8
12
0DATUM
Cota (m)
Distância (m)
Par = 8mH2O
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Distância (m)
Ca
rga
s (
m)
H
hp
he
0
1
2
0 2 4 6 8 10 12 14 16Distância (m/s)
Ve
loc
ida
de
(m
/s)
(m)
Fluxo em Meios Estratificados
PUC-RioNGA
T.M
.P.
de C
ampo
s (2
011)
Fluxo de água em solos
Paralelo ao Acamamento
k1
kn
Z1
k2 Z2
Zn
ki ZiFluxo
x
z1
2
i
n
Não há fluxo na direção z, logo a perda de carga nesta direção é nula. Assim sendo, a carga total é constante em qualquer ponto ao longo de uma mesma linha z (no caso, linha vertical), o que leva a:
fluxo) do direção na(i solo no carga de perdah sendohhhh ini21 ====
Além disto, sendo Q a vazão de entrada, tem-se que:
ni21 QQQQQ +++++= LL
Permeabilidade Equivalente, keq
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011)
Fluxo de água em solos
Fluxo Paralelo ao Acamamento
k1
kn
A1
k2 A2
An
ki AiFluxo
x
z1
2
i
n
ni21 hhhh ===
nQQQQ 21 +++= L
nn
nn2
2
221
1
11eq A
l
hkA
l
hkA
l
hkA
l
hk +++= L
l
a bln
ni21 llll ===
A
Ak...AkAkk nn2211
eq
+++=
a b
A
Fluxo em Meios Estratificados
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.P.
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s (2
011)
Fluxo de água em solos
Perpendicular ao Acamamento
k1
kn
Z1
k2 Z2
Zn
ki Zi
Flux
o
x
z1
2
i
n
Sendo Q a vazão de entrada, pelo princípio da continuidade tem-se que:
ni1 QQQQ ===
Além disto, tem-se:
i solo no carga de perda a éh ondehhhhh ini21 +++++= LL
Permeabilidade Equivalente, keq
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s (2
011)
Fluxo de água em solos
Fluxo Perpendicular ao Acamamento
k1
kn
l1
k2 l2
ln
ki li
Flux
o
x
z 1
2
i
n
ni1 QQQQ ===
n21 hhhh +++= L
a b
ba A
An
n21 AAAA ==== L
ln21 vvvv ==== L
k
lvh
l
hkikv
∗=∴=∗=
n
nn
2
22
1
11
eq k
lv
k
lv
k
lv
k
lv ∗+⋅⋅⋅+
∗+
∗=
∗
n
n
2
2
1
1eq
kl
kl
kl
lk
+⋅⋅⋅++
=
Cálculo de Cargas
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.P.
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Fluxo de água em solos
Dado o permeâmetro abaixo, determinar a distribuição de cargas total, de elevação e de pressão e a distribuição de velocidade entre as cotas 0 e 67,8cm.
Ponto H he hp
P1 67,80 67,80 0
P2 67.80 57,50 10,30
P3 49,31 27,5 21,81
P4 0 7,50 -7,50
P5 0 0 0
62,030
31,498,67
L
H-Hi
1
321 =
−==
0,62cm/s0,621,0 v1 =∗=
0
67,8
27,5
7,5
57,5
N.A.
N.A.
Solo 1
Sol
o 2
P1
P2
P3
P4
P5
Cot
a (c
m)
Flu
xoD
AT
UM
Solo 1 2
k (cm/s) 1,0 0,50
n 0,5 0,33
A (cm2) 40 20
21 QQ =222111 AikAik =
22
4321
1
321 A
L
HHkA
L
HHk
−=
−
2020
03H5,040
30
H8,671 3 −
=−
67,8 - H3 = 0,375*H3
47,220
031,49
L
H-Hi
2
432 =
−==
cm/s23,12,470,5 v2 =∗=
1,23cm/s0,5
0,62 v
1p ==
3,74cm/s0,33
1,23 v
2p ==
(Cargas em cm)
Cálculo de Cargas
PUC-RioNGA
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.P.
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ampo
s (2
011)
Fluxo de água em solos
0
10
20
30
40
50
60
70
-10 0 10 20 30 40 50 60 70
Cargas (cm)
Co
ta (
cm
)
H hp he
0
67,8
27,5
7,5
57,5
N.A.
N.A.
Solo 1
Solo
2
P1
P2
P3
P4
P5
Cot
a (c
m)
Flu
xoD
AT
UMSolo 1 2
k (cm/s) 1,0 0,50
n 0,5 0,33
A (cm2) 40 20
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
0 1 2 3 4Velocidade (cm/s)
Co
ta (
cm
)
Cálculo de Cargas
PUC-RioNGA
T.M
.P.
de C
ampo
s (2
011)
Fluxo de água em solos
Dado o permeâmetro abaixo, determinar a distribuição de cargas total, de elevação e de pressão e a distribuição de velocidade entre as cotas 0 e 60,0cm.
Ponto H he hp
P1 60 60 0
P2 e P3 60 46 14
P4 e P5 0 16 -16
P6 0 0 0
0,230
060
L
H-Hi
1
421 =
−==
2,0cm/s2,01,0 v1 =∗=
0,230
060
L
H-Hi
2
532 =
−==
cm/s0,12,00,5 v2 =∗=
4,0cm/s0,5
2,0 v
1p ==
3,03cm/s0,33
1,0 v
2p ==
(Cargas em cm)
Solo 1 2
k (cm/s) 1,0 0,50
n 0,5 0,33
A (cm2) 40 20
N.A.
So
lo 1
So
lo 2
P1
P2 P3
P4 P5
0
60
46
16
Cot
a (c
m)
Flu
xo
DA
TU
M
N.A.
P6
532421 HHhHHh −==−=
546321 HHHeHHH ====
2025,040*21AikAikQQQ 22211121 ∗∗+∗=+=+=
221
3 cm60AAAA
vs/cm100Q =+===
s/cm67,1v60
100v =∴=
Cálculo de Cargas
PUC-RioNGA
T.M
.P.
de C
ampo
s (2
011)
Fluxo de água em solos
Solo 1 2
k (cm/s) 1,0 0,50
n 0,5 0,33
A (cm2) 40 20
N.A.
So
lo 1
So
lo 2
P1
P2 P3
P4 P5
0
60
46
16
Cot
a (c
m)
Flu
xo
DA
TU
M
N.A.
P6
0
10
20
30
40
50
60
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70
Cargas (cm)
Co
ta (
cm
)
H hp he
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4Velocidade (cm/s)
Co
ta (
cm
)
Solo 1
Solo 2