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UN I VER S I DADE FEDERAL DO ABC : CMCC

UFABC

Funções de Uma VariávelAula 23/10/2015

Cristian F. Coletti

Universidade Federal do ABC: CMCC

October 23, 2015Slide 1/38

UFABC UN I VER S I DADE FEDERAL DO ABC : CMCC

1 Pontos de Inflexão

2 Assintotas

3 Esboço do gráfico de uma funçãoExemplos

4 Polinómios de Taylor

Slide 2/38 — Coletti - Yepes — Funções de Uma Variável Aula 23/10/2015 — October 23, 2015



2 Assintotas





Pontos de inflexão

Um ponto a é um ponto de inflexão de f se esta mudar de detipo de côncavidade em (a, f (a)).

DefinitionSeja f : I→ R uma função contínua em a ∈ I. O número a é umponto de inflexão de f se existirem b,c ∈ R tais quea ∈ (b,c)⊂ I e

• f é cóncava para cima em (b,a) e f é cóncava para baixoem (b,c)ou

• f é cóncava para baixo em (b,a) e f é cóncava para cimaem (b,c)



Figure: Ponto de Inflexão.



Pontos de inflexão

TeoremaSeja f : I→ R uma função continua em a. Se a,b,c ∈ I tal quea ∈ (b,c)⊂ I. Se o sinal de f ′′ em (b,a) for diferente do sinal def ′′ em (a,c) então a é um ponto de inflexão de f .




2 Assintotas





Assintotas

DefinitionSeja f : I→ R uma função qualquer. Se existem a,b ∈ R taisque

limx→+∞(f (x)−(ax +b)) = 0

dizemos que a reta y(x) = ax +b é uma assintota inclinada àfunção f . Se a = 0 dizemos que y(x) = b é uma assintotahorizontal à função f .



Como encontrar a e b?

O coeficiente a é dado pelo valor do seguinte limite, se existir.

a = limx→+∞ f (x)

x.

Uma vez encontrado o valor de a podemos utiliza-lo paraencontrar o valor de b. O coeficiente b é dado pelo valor doseguinte limite, se existir.

b = limx→+∞(f (x)−ax) .



DefinitionSeja f : I→ R uma função qualquer. Se existem c,d ∈ R taisque

limx→−∞(f (x)−(cx +d)) = 0

dizemos que a reta m(x) = cx +d é uma assintota inclinada àfunção f . Se c = 0 dizemos que m(x) = d é uma assintotahorizontal à função f .



Como encontrar c e d?

O coeficiente c é dado pelo valor do seguinte limite, se existir.

c = limx→−∞ f (x)

x.

Uma vez encontrado o valor de c podemos utiliza-lo paraencontrar o valor de d . O coeficiente d é dado pelo valor doseguinte limite, se existir.

d = limx→−∞(f (x)−cx) .



Assintotas verticais

A reta x = a é uma assintota vertical de uma função f se pelomenos uma das seguintes afirmações for verdadeira:

limx→a+

f (x) = +∞ limx→a−

f (x) = +∞lim

x→a+f (x) = −∞ lim

x→a−f (x) = −∞




2 Assintotas





Construção de Gráficos

É possível fazer um esboço do gráfico de uma funçãoutilizando os conceitos e resultados obtidos ao longo do curso.A seguir damos um roteiro que não pretende ser exaustivo.Isto é, o roteiro a seguir serve apenas como um guia. Porém,destacamos que cada função apresenta suas peculiaridades eseria inútil tentar gerar um algoritmo que sirva para todas asfunções.



Roteiro para a construção de gráficos

1 Encontrar o domínio D de f .2 Calcular os pontos de intersecção com os eixos.3 Encontrar os pontos críticos e os valores críticos.4 Determine, quando possível, se f for par ou ímpar.5 Determine intervalos de crescimento e decrescimento.6 Encontre os máximos e mínimos de f .7 Determine intervalos de concavidade para cima e para baixo.8 Determine os pontos de inflexão.9 Encontre as assintotas.10 Faça o esboço do gráfico de f .



Observação:1 Saber se a função f é par ou ímpar pode diminuir o

trabalho a ser feito.2 Distinga entre pontos de máximos e mínimos locais e

globais.3 Distinga entre assintotas inclinadas, horizontais e

inclinadas.



Esboço do gráfico de f (x) = 11+x2

• D(f ) = R.• f (0) = 1.• A equação f (x) = 0 não tem solução. Não há raízes.• f é uma função par já que f (x) = 1

1+x2 = 11+(−x)2 = f (−x)




• Pontos Críticos: f ′(x) = − 2x(1+x2)

2 . Neste caso, o único

ponto crítico é onde f ′(x) = 0. Isto é, x = 0.• Intervalos de crescimento e de decrescimento:

Claramente, f ′(x)> 0 em (−∞,0) e desta forma f écrescente nessa região. Por outro lado, f ′(x)< 0 em(0,∞) e f é decrescente nessa região.

• f ′′(x) = 2 3x2−1(1+x2)

3 . Logo, f ′′(0)< 0. Logo, 0 é um ponto de

máximo. Observe que f (0) = 1 é um ponto de máximoglobal.




Intervalos de concavidade para cima e para baixo. Para istoestudamos o sinal da derivada segunda. Note que o sinal daderivada segunda

23x2 −1

(1+x2)3

está determinado pelo sinal de 3x2 −1 já que tanto 2 como(1+x2

)3 são positivos.Desta forma, é fácil ver que f ′′ > 0 na região(

−∞,−1√3

)∪(

1√3,∞)

e portanto a função f é côncava para cima nessa região.




Logo, f ′′ < 0 em(− 1√

3, 1√

3

)e a função f é côncava para baixo

nessa região.Concluímos que os pontos − 1√

3e 1√

3são pontos de inflexão.

Observe que f(

1√3

)= 3

4 = f(− 1√

3

).

Assintotas: Apenas horizontais: limx→+∞ f (x) = 0. Observeque limx→−∞ f (x) = 0.




Figure: Esboço do Gráfico de f (x) = 11+x2



Exemplo: f (x) = x2

x+1

• D(f ) = {x ∈ R : x 6=−1}= (−∞,−1)∪ (−1,+∞).• f (0) = 0 e x = 0 é a única solução da equação f (x) = 0.

• Pontos críticos: f ′(x) = x(x+2)(x+1)2 . Os pontos críticos são os

valores de x onde f ′(x) = 0. Isto é, x = 0 e x =−2.



Exemplo: f (x) = x2

x+1

• Intervalos de crescimento e de decrescimento:Claramente, f ′(x)> 0 se e somente se x(x +2)> 0 ex 6=−1 já que (x +1)2 > 0 se x 6=−1 e −1 /∈ D(f ).

Observe que x(x +2)> 0 see [x > 0 e x >−2 see x > 0]ou [x < 0 e x +2< 0 see x < 0 e x <−2 see x <−2)].

É imediato que f ′(x)> 0 se e somente se

x ∈ (−∞,−2)∪ (0,+∞) .

Desta forma f (x) é crescente em (−∞,−2)∪ (0,+∞)

Uma análise semelhante mostra que f (x) é decrescenteem (−2,2) já que f ′(x)< 0 em (−2,2).



Exemplo: f (x) = x2

x+1

• f ′′(x) = 2(x+1)3 .

Logo, f ′′(0) = 2> 0 e 0 é um ponto de mínimo. Observe quef (0) = 0Por outro lado, f ′′(−2) = −2< 0 e −2 é um ponto de máximo.Observe que f (−2) = −4.



Exemplo: f (x) = x2

x+1

• Intervalos de concavidade para cima e para baixo. Paraisto estudamos o sinal da derivada segunda. Note que osinal da derivada segunda 2

(x+1)3 está determinado pelo

sinal de (x +1)3. Desta forma, é fácil ver que f ′′(x)> 0 naregião (−1,∞) e portanto a função f (x) é côncava paracima nessa região.Por outro lado, f ′′(x)< 0 em (−∞,−1) e a função f (x) écôncava para baixo nessa região.



Exemplo: f (x) = x2

x+1

• Assintotas: Não há assintotas horizontais:limx→+∞ f (x) = +∞ e limx→−∞ f (x) = −∞.

• Assintotas verticais: limx→−1+ f (x) = +∞. Logo, a retax =−1 é uma assintota vertical. Observe quelimx→−1− f (x) = −∞.

• Assintotas obliquas: limx→+∞ f(x)x = 1 e

limx→+∞ f (x)−x = limx→+∞− xx+1 =−1. Logo,

y(x) = x −1 é uma assintota obliqua.



Exemplo: f (x) = x2

x+1

• limx→−1+x2

x+1 =+∞ então x =−1 é uma assintotahorizontal de f (x).

A efeitos de realizar o esboço do gráfico de f (x) é útil calcular

limx→−1−

x2

x +1=−∞.



Exemplo: f (x) = x2

x+1

Figure: Esboço do Gráfico de f (x) = x2

x+1Slide 28/38 — Coletti - Yepes — Funções de Uma Variável Aula 23/10/2015 — October 23, 2015



2 Assintotas





Polinómio de TaylorPn,a(x) é um polinómio de grau n centrado em a se

Pn,a(x) = a0 +a1(x −a)+a2(x −a)2

+ a3(x −a)3 + . . .+an(x −a)n.

Problema: dada uma função f ,n vezes diferenciável,procuramos um polinómio de grau n centrado em a quesatisfaça as condições P(k)

n,a (a) = f (k)(a) para k = 0,1, . . . ,n .Ao impormos estas condições obtemos:

Pn,a(x) = f (a)+ f ′(a)(x −a)+f ′′(a)

2!(x −a)2

+f ′′′(a)

3!(x −a)3 + . . .+

f (n)(a)n!

(x −a)n.



Polinómio de Taylor

DefinitionSeja f uma função n vezes diferenciável. O polinómio de Taylor degrau n associado a f em a é o polinómio

Pn,a(x) = f (a)+ f ′(a)(x −a)+f ′′(a)

2!(x −a)2

+f ′′′(a)

3!(x −a)3 + . . .+

f (n)(a)n!

(x −a)n.




Observe que se n = 1, então o polinómio de Taylor de grau 1centrado em a nada mais é do que a reta tangente à curva noponto (a, f (a)).

Uma aplicação do Teorema de L´Hôpital nos permite concluirque

limx→a

f (x)−Pn,a(x)(x −a)n = 0.




TeoremaSeja f uma função n+1 vezes diferenciável. Então,

f (x) = Pn,a(x)+Rn,a(x)

onde

Rn,a(x) =f (n+1)(c)(n+1)!

(x −a)n+1

e c ∈ (a,x).




Observação: A expressão Rn,a(x) pode ser rescrita daseguinte forma:

Rn,a(x) =f (n+1)(a+θ(x −a))

(n+1)!(x −a)n+1

onde 0< θ < 1.



Polinómio de Taylor de ex em 0

• Se f (x) = ex então f (k)(x) = ex para todo k ef (k)(0) = e0 = 1. Logo, o polinómio de Taylor de ex de graun em 0 é

Pn,0 = Pn(x) = 1+x +x2

2+

x3

3!+ . . .+

xn

n!.

e pelo teorema acima

ex = 1+x +x2

2+

x3

3!+ . . .+

xn

n!+

xn+1

(n+1)!eθx ,

onde 0< θ < x .



Polinómio de Taylor de ex em 0

• Se |x |6 1 então |Rn,0|= | xn+1

(n+1)!eθx |6 3

(n+1)! .

• Se |x |6 1 e n = 8 então |R8,0|= |x8+1

9! eθx |6 39! 6

39! .

• Se x = 1,

e = 1+1+12!

+13!

+ . . .+18!

+19!

eθ.

• Logo,

1+1+12!

+13!

+ . . .+18!

= 2,71827

é uma aproximação de e com erro de no máximo39! = 0,00001.



Polinómio de Taylor de sin(x) em 0

Seja f (x) = sin(x). Logo,

f (2k)(x) = (−1)k sin(x)

e

f (2k+1)(x) = (−1)k cos(x).

Logo, o polinómio de Taylor de sin(x) em 0 de grau 2n+1 édado pela seguinte expressão

P2n+1,0(x) = x −x3

3!+

x5

5!− . . .+(−1)n x2n+1

(2n+1)!.



Polinómio de Taylor de sin(x) em 0

O erro é limitado por

|R2n+1,0| = |sin(θx)(2n+2)!

|

61

(2n+2)!,

onde 0< θ < 1.


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