FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
CAMPUS JI-PARANÁ
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
JOSÉ HENRIQUE TEIXEIRA
AJUSTE DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE PARA EVAPOTRANSPIRAÇÃO
DE REFERÊNCIA EM UMA REGIÃO NO SUDOESTE DA AMAZÔNIA
Ji-Paraná – RO
2019
i
JOSÉ HENRIQUE TEIXEIRA
AJUSTE DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE PARA EVAPOTRANSPIRAÇÃO
DE REFERÊNCIA EM UMA REGIÃO NO SUDOESTE DA AMAZÔNIA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Matemática e Estatística, da Fundação Universidade Federal de Rondônia (UNIR) Campus de Ji-Paraná como parte dos requisitos para obtenção do título de Bacharel em Estatística.
Orientadora: Profa. Dra. Roziane Sobreira do Santos
Ji-Paraná – RO
2019
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação
Fundação Universidade Federal de Rondônia
Gerada automaticamente mediante informações fornecidas pelo(a) autor(a)
Teixeira, José Henrique.
Ajuste de distribuição de probabilidade para evapotranspiração dereferencia em uma região no sudoeste da Amazônia / José Henrique Teixeira. -- Ji-Paraná, RO, 2019.
34 f. : il.
1.ETo. 2.Distribuição de probabilidades. 3.Weibull. 4.Penman-Monteith.5.Kolmogorv-Smirnov. I. Santos, Roziane Sobreira do. II. Título.
Orientador(a): Prof.ª Dra. Roziane Sobreira do Santos
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Estatística) - FundaçãoUniversidade Federal de Rondônia
T266a
CDU 517.982.4
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________CRB 11.853Bibliotecário(a) Alex Almeida
ii
RESUMO
Esse trabalho objetivou ajustar um modelo de distribuição de probabilidade para a evapotranspiração de referência (ETo). Os dados foram obtidos na estação meteorológica de superfície automática de Cacoal, pertencente à rede de estações do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET), compreendendo os anos de 2009 a 2018, no estado de Rondônia. Utilizou-se o método de Penman-Monteith (PM) para estimação da ETo. Para a caracterização da ETo foram utilizadas técnicas estatísticas de descrição e ajuste de distribuição de probabilidade. Para identificar um modelo de função densidade de probabilidade que melhor se ajusta a ETo, deve-se considerar a distribuição e variabilidade dos mesmos, neste estudo foi proposto os modelos de distribuição de probabilidade Normal, Log-normal, Gamma e Weibull. As estimações dos parâmetros das distribuições candidatas foram realizadas utilizando o método de máxima verossimilhança. A aderência dos dados a distribuição proposta foi verificada visualmente pelo diagrama QQ-plot e pelo teste de aderência Kolmogorv-Smirnov (KS) ao nível de 0,05 de significância. Os dados da ETo foram ajustados mensalmente para o período de 2009 a 2018. Os resultados mostraram que a distribuição de probabilidade Weibull, ajustou-se a todos os meses analisados e teve os melhores valores de ajuste. A distribuição normal apresentou bons resultados, porém, não se ajustou aos meses de Junho, Julho e Maio. A distribuição Gamma ajustou-se aos meses de Janeiro, Fevereiro, Março, Agosto, Setembro, Novembro e Dezembro. Verificou-se que a distribuição Log-normal não se ajustou a nenhum dos meses de dados da ETo.
Palavras-Chave: ETo; Distribuição de probabilidades; Weibull; Normal; Gamma; Log-
normal; Penman-Monteith; Kolmogorv-Smirnov.
iii
ABSTRACT
This work aimed to adjust a model of probability distribution for reference evapotranspiration (ETo). The data were obtained from the automatic surface meteorological station of Cacoal, belonging to the network of stations of the National Institute of Meteorology (INMET), comprising the years from 2009 to 2018, in the state of Rondônia. The Penman-Monteith (PM) method was used to estimate ETo. For the characterization of the ETo statistical techniques of description and adjustment of probability distribution were used. In this study the Normal, Log-normal, Gamma and Weibull probability distribution models were proposed. The estimations of the parameters of the candidate distributions were performed using the maximum likelihood method. The adherence of the data to the proposed distribution was verified by the QQ-plot diagram and by the Kolmogorov-Smirnov (KS) adhesion tests at the 0.05 level of significance. The ETo data were adjusted on a monthly basis for the period from 2009 to 2018. The results showed that the Weibull probability distribution, adjusted to all analyzed months and had the best fit values. The normal distribution showed good results, but did not adjust to the months of June, July and May. The Gamma distribution was adjusted for the months of January, February, March, August, September, November and December. It was found that the Log-normal distribution did not fit any of the ETo data months.
Keywords: ETo ; Distribution of probabilities; Weibull; Normal; Gamma; Log-normal;
Penman-Monteith; Kolmogorv-Smirnov.
iv
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1. Efeitos da variação marginal dos parâmetros de posição e escala sobre X~N
(μ,σ) ........................................................................................................................... 14
Figura 2. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Log-Normal ............ 15
Figura 3. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Gamma .................. 17
Figura 4. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Weibull ................... 18
Figura 5. Gráfico de barras da precipitação total mensal em mm no período 2009 a
2018 .......................................................................................................................... 21
Figura 6. Box-plot da ETo por mês no período de 2008 a 2018 ............................... 23
Figura 7. Histograma da ETo e curvas de densidade teórica (Normal, Weibull,
Gamma, Lognormal) por mês. ................................................................................... 25
Figura 8. Ajustamento das funções de densidades da ETo, com base no diagrama de
QQ-plot. ..................................................................................................................... 26
v
LISTA DE QUADROS E TABELAS
Tabela 1. Estatísticas descritivas mensal da evapotranspiração de referência (ETo)
em mm d-1, no período de 2009 a 2018. ................................................................... 22
Tabela 2. Teste de Kolmogorov-Smirnov para aderência das distribuições
estatísticas aos dados ............................................................................................... 27
Tabela 3. Valores dos parâmetros por mês das distribuições que se ajustaram aos
dados de ETo em mm d-1 .......................................................................................... 28
vi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
Embrapa Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária
ET Evapotranspiração
ETo Evapotranspiração de referência
FAO Organização para a Alimentação e Agricultura das Nações Unidas
INMET Instituto Nacional de Meteorologia
Kc Coeficiente de cultura
KS Kolmogorov-Sminorv
mm dia-1 Milímetro por dia
PM Penman Monteith
vii
LISTA DE EQUAÇÕES
1 Método de Penman-Monteith
2 Constante psicrométrica
3 Pressão atmosférica
4 Declividade da curva de pressão do vapor
5 Coeficiente es do método PM
6 Coeficiente ea do método PM
7 Função de densidade de probabilidade Normal ou Gaussiana
8 Função de densidade de probabilidade Log-normal
9 Função de densidade de probabilidade Gamma
10 Função de densidade de probabilidade Weibull
11 Estatística de teste Kolmogorv-Smirnov (KS)
12 Função de máxima verossimilhança
viii
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 9
2. OBJETIVOS ..................................................................................................... 10
2.1. OBJETIVO GERAL ..................................................................................... 10
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................... 10
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................ 11
3.1. EVAPOTRANSPIRAÇÃO ........................................................................... 11
3.2. MODELOS PROBABILÍSTICOS ................................................................ 12
3.2.1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA ................................... 13
3.2.2. DISTRIBUIÇÃO LOG NORMAL ....................................................... 14
3.2.3. DISTRIBUIÇÃO GAMMA ................................................................. 16
3.2.4. DISTRIBUIÇÃO WEIBULL ............................................................... 17
3.3. ADERÊNCIA DOS DADOS ........................................................................ 18
3.3.1. TESTE DE KOLMOGOV-SMIRNOV (KS) ........................................ 18
3.4. ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS ............................................................ 19
4. MATERIAIS E MÉTODOS ................................................................................ 19
5. RESULTADOS E DISCUSÕES ........................................................................ 20
6. CONCLUSÃO ................................................................................................... 29
7. REFERÊNCIAS ................................................................................................ 29
9
1. INTRODUÇÃO
A evapotranspiração (ET) é definida como um processo combinado de
transferência de água para a atmosfera por evaporação da água do solo e por
transpiração das plantas por meio dos estômatos (ALLEN et al., 1998, ALLEN et al.,
2006).
Evapotranspiração (ET) é uma parte importante do ciclo hidrológico. Não se
relaciona apenas com o equilíbrio hídrico e a transformação dos recursos hídricos,
mas também com o balanço energético da superfície terrestre (XU et al., 2006;
ZHANG et al., 2011). Estudos mostram que em torno de 60-65% da precipitação
retorna à atmosfera através de ET (BAUMGARTNER E REICHEL 1975; OKI e KANAE
2006; MIRALLES et al., 2011)
O procedimento para estimar as taxas ET envolve duas etapas: como primeiro
passo, o cálculo da evapotranspiração de referência (ETo) que é realizado usando
dados climáticos regularmente registrados e no segundo passo a ETo é multiplicado
pelo coeficiente de cultura (Kc) que inclui as diferenças entre a cultura de estudo e a
cultura de referência.
Allen et al. (1998) define a ETo como taxa de evapotranspiração de uma
cultura de referência hipotética com uma altura fixa de 0,12 m, uma resistência de
superfície fixa de 70 sm-1 e um albedo de 0,23, semelhante à evapotranspiração de
uma superfície extensa de grama verde de altura uniforme, crescendo ativamente,
bem irrigada e cobrindo completamente o solo.
A Organização para a Alimentação e Agricultura das Nações Unidas (FAO),
definiu o conceito de evapotranspiração de referência (ETo) e padronizou a equação
de Penman Monteith (PM) no boletim 56 (ALLEN et al., 1998; ALLEN et al., 2006). A
partir desse boletim, quando há disponibilidade de dados a equação de Penman-
Monteith é recomendada como o melhor método para calcular a ETo (ALLEN et al.,
1998, DROOGERS e ALLEN, 2002).
O conhecimento da evapotranspiração é essencial para o gerenciamento
eficiente de recursos hídricos, produção agrícola e avaliação ambiental. Continua a
ser ainda mais importante no planejamento e gestão de recursos hídricos. O
planejamento da irrigação deve basear-se na abordagem probabilística e, para isso,
10
é necessário conhecer os valores de ETo nos diferentes níveis de probabilidade.
Portanto, é essencial conhecer a distribuição de probabilidade da ETo. Além disso, a
análise de probabilidade pode ser usada para prever a ocorrência de eventos futuros
a partir dos registros disponíveis (BHAGAT et al., 2014).
Debnath et al. (2015) apresentam em seu estudo, que estimativas precisas da
ETo é a base para a resolução de uma variedade de problemas, tais como o cálculo
da demanda de água da cultura, o planejamento da irrigação, a computação do
balanço hídrico, a avaliação das mudanças no uso da terra, etc.
Diante do exposto, o ajuste de uma função a densidade de probabilidade,
pode oferecer indicações mais precisas sobre a ETo e consequentemente a ET, desde
que se conheça a densidade de probabilidade que melhor descreve seu
comportamento. Dessa forma, objetivou-se verificar o ajuste de distribuições de
probabilidades contínuas a um conjunto de dados de evapotranspiração de referência
diária e fornecer subsídios que auxilie profissionais e outros pesquisadores que
utilizem os conceitos de ET.
2. OBJETIVOS
2.1. OBJETIVO GERAL
Ajustar um modelo de distribuição de probabilidade mensal para a
evapotranspiração de referência (ETo).
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
a) Estimar a evapotranspiração de referência (ETo), através da equação de
Penman-Monteith;
b) Escolher as distribuições de probabilidade aspirantes, com base nas
características da variável e em estudos anteriores;
c) Estimar os parâmetros das distribuições;
d) Aplicar os testes de aderência e identificar as distribuições que melhor se
ajustam a ETo.
11
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.1. EVAPOTRANSPIRAÇÃO
A evapotranspiração de referência (ETo) expressa a demanda evaporativa da
atmosfera independente da cobertura vegetal do local, sendo afetada somente por
fatores climáticos (ALLEN et al., 1998)
Há uma multiplicidade de métodos para a medição e estimativa de ETo, que
podem ser métodos diretos ou indiretos. A medição direta da ETo, usando lisímetro
ou a abordagem do equilíbrio da água é um processo caro e demorado (ADAMALA et
al., 2014). Portando, com base nas características de localização (altitude e latitude)
e parâmetros meteorológicos, muitos métodos indiretos foram desenvolvidos para
estimativa ETo.
ALLEN et al. (1998) sugerem que quando o conjunto de dados climáticos
necessários estão disponíveis em uma localidade, a ETo é frequentemente calculada
usando o método de combinação Penman-Monteith (PM). Este método é
recomendado como o único método padrão pela Organização das Nações Unidas
para Agricultura e Alimentação (FAO) para a estimativa da ETo, caso todos os dados
necessários estiverem disponíveis.
Os autores Uliana et al. (2017) ressaltam que o método de Penman-Monteith
(PM) é recomendado, pois estudos científicos provaram seu desempenho satisfatório
quando comparados a medidas lisimétricas.
Este modelo é assumido como o padrão para a definição e estimativa da ETo,
o método de PM-FAO requer parâmetros meteorológicos de Radiação, Temperatura,
Umidade do Ar e Velocidade do Vento, conforme a equação:
VV
eeVVT
GRn
ET
as
media
o34.01
273
900408.0
(1)
Em que,
ETo = Evapotranspiração de referência [mm dia-1];
∆ = Declividade da curva de pressão do vapor [kPa °C-1];
12
Rn = Saldo de Radiação à superfície da cultura [MJ m-2 dia-1];
G = Densidade do fluxo de calor do solo [MJ m-2 dia-1];
= Constante psicrométrica [kPa °C-1];
VV = Velocidade do vento [m s-1];
Tmédia = Temperatura média diária do ar [°C];
(es – ea) = Déficit de pressão do vapor de saturação [kPa].
O coeficiente “ “ é calculado empregando-se a expressão:
= 0,665 10-3
Patm (2)
Em que "Patm" é a pressão atmosférica local (kPa) que, por sua vez, pode ser
calculada com base na altitude do local (z):
Patm = 101,3 (293-0,0065 z
293)
5,26 (3)
Onde, "z" é a altitude do local (m).
O valor de “∆” é calculado pela seguinte expressão:
∆= 4098⌈0,6108 𝑒𝑥𝑝(
17,27 𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎+237,3
)⌉
(𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎+237,3)2 (4)
A diferença entre “es” e “ea”. Esses valores podem ser calculados utilizando-
se as seguintes expressões:
𝑒𝑠 = 0,6108 𝑒𝑥𝑝 [17,27 𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎
𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎+237,3] (5)
𝑒𝑎 =𝑒𝑠 𝑈𝑅
100 (6)
Em que “UR” é a Umidade relativa média do ar em (%)
Mediante a quantidade de informações necessárias para estimar a
evapotranspiração de referência (ETo), através do método Penman-Monteith, o uso
de ferramentas estatísticas torna-se indispensável para entendermos o
comportamento e a variabilidade da ETo.
3.2. MODELOS PROBABILÍSTICOS
Segundo Assis et al. (2014), o estudo das distribuições de variáveis aleatórias
é importante para compreensão dos fenômenos meteorológicos, através da qual
pode-se determinar seus padrões de ocorrência e permitir uma previsibilidade
13
razoável do comportamento climático de uma região. Da Silva et al. (2015) destaca
que conhecer a distribuição de frequências da ETo em um local facilita a predição
hidrológica adequada no dimensionamento de sistemas de irrigação e drenagem.
O uso de análises estatísticas nas variáveis aleatórias meteorológicas
observadas ao longo do tempo, servem como forma de se compreender os fenômenos
atmosféricos, determinando seus padrões de ocorrência e propiciando uma adequada
previsibilidade do comportamento do tempo e clima de uma região, é uma ferramenta
de grande valor no planejamento e na gestão de inúmeras atividades agrícolas,
agropecuárias, sociais, de turismo e humanas em geral (ASSIS et al., 2013). Por
exemplo, uma das alternativas para racionalizar o uso dos recursos hídricos em
projetos agrícolas é estimar a perda de água da cultura a partir da estimativa da ETo
(NETO et al., 2005).
O ajuste de distribuição é um procedimento de seleção de uma distribuição
estatística que melhor se adapta a um conjunto de dados gerado por alguns processos
aleatórios. A distribuição de probabilidade é uma ferramenta importante para lidar com
a incerteza e a seleção incorreta da distribuição levará a um resultado errôneo
(KHUDRI e SADIA, 2013).
Segundo Prela-Pantano et al. (2010), calcular a probabilidade de ocorrência
de valores estimados de evapotranspiração é um importante instrumento na tomada
de decisões relacionadas às atividades agropecuárias.
Para o estudo da ETo, as distribuições de probabilidade mais utilizadas
apresentadas na literatura são: Normal, Log-normal, Weibull e Gamma (WILKS, 2006;
JERSZURKI et al., 2012; ASSIS et al., 2014; SANTOS et al., 2014; BHAGAT et al.,
2014; DENSKI e BACK, 2015; JERSZURKI, SOUZA e EVANGELISTA, 2015; DA
SILVA et al., 2015; ULIANA et al., 2017; SOUZA, JERSZURKI e GOMES, 2018).
3.2.1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA
Bussab e Morettin (2010) destacam que a distribuição de densidade de
probabilidade normal ou gaussiana é um dos modelos mais importantes para
representar variáveis aleatórias contínuas, servem como modelo de distribuição para
muitos problemas reais, sua importância na análise matemática resulta de fato muitas
14
técnicas estatísticas, como análise de variância e regressão, além de alguns testes
de hipóteses, que assumem ou exigem a normalidade dos dados.
A distribuição Normal é um modelo com dois parâmetros, cuja função
densidade da distribuição é expressa por:
𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋𝜎 𝑒𝑥𝑝 [−
1
2(
𝑥 − 𝜇
𝜎)
2
] 𝑝𝑎𝑟𝑎 − ∞ < 𝑥 < ∞ (7)
Onde,
x= São os valores de ETo, com −∞ < 𝑥 < ∞;
μ= Média dos dados de ETo, com −∞ < 𝜇 < ∞;
σ= Desvio padrão dos dados de ETo, com σ > 0.
Portanto, a média (μ) de uma variável Normal X é igual ao parâmetro de
posição, em torno do qual os valores de X se dispersam simetricamente. O grau com
que a variável X se dispersa em torno de μ, é dado pelo parâmetro de escala, que é
igual ao desvio padrão σ (NAGHETTINI e PINTO, 2007), uma variável aleatória X
normal é denotada por X~N (μ, σ). A Figura 1 exemplifica os efeitos das variações
marginais dos parâmetros de posição e escala da distribuição Normal
Figura 1. Efeitos da variação marginal dos parâmetros de posição e escala sobre X~N (μ,σ) Fonte: Elaboração do autor no software R
3.2.2. DISTRIBUIÇÃO LOG NORMAL
A distribuição log-normal é aplicável a variáveis aleatórias que assumem
valores positivos. Uma abordagem para lidar com dados dispersos é submetê-los a
uma transformação que produz uma distribuição aproximadamente gaussiana. A
aplicação de uma transformação logarítmica, de dados são realizadas para tornar a
15
distribuição de valores mais simétrica e a simetria resultante pode permitir o uso de
técnicas estatísticas que necessitam da pressuposição de normalidade.
A distribuição Log-normal é assimétrica e inclinada positivamente. Em
algumas ocasiões, uma transformação produtiva de simetria pode fazer análises
exploratórias mais reveladoras (FORBES et al., 2011; WILKS, 2006).
A função densidade de uma variável log-normal, X e dada por:
𝑓(𝑥) = {
1
𝑥𝜎𝑦√2𝜋𝑒𝑥𝑝 [−
1
2(
𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 𝜇𝑦
𝜎𝑦)
2
] , 𝑠𝑒 𝑥 > 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
(8)
Onde,
x = São os valores da variável ETo, com 𝑥 > 0;
μ𝑦= Média dos logaritmos de x, com −∞ < 𝜇𝑦 < ∞;
σ𝑦= Desvio padrão dos logaritmos de x, com σ𝑦 > 0.
A Figura 2 exemplifica a variação da forma da densidade Log-Normal para
alguns valores específicos de μ𝑦 e σ𝑦.
Figura 2. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Log-Normal Fonte: Elaboração do autor no software R
16
3.2.3. DISTRIBUIÇÃO GAMMA
A função densidade de probabilidade Gamma pode assumir uma variedade
de formatos dependendo do valor do parâmetro de forma, por exemplo para valores
muito grandes do parâmetro de forma (maiores que 50 a 100), a distribuição Gamma
se aproxima da distribuição normal (WILKS, 2006).
Unindo a versatilidade na forma da distribuição Gamma, o coeficiente de
assimetria da variável é positivo, aliados ao fato da variável aleatória não ser definida
para valores negativos torna a distribuição Gamma uma candidata atraente para
representação de dados hidrológicos e hidrometeorológicos (NAGHETTINI e PINTO,
2007; WILKS, 2006).
A variável aleatória contínua X, assumindo valores positivos, tem função
densidade de distribuição Gamma com parâmetros α > 0 e β > 0 pela equação:
𝑓(𝑥; 𝛼, 𝛽) = {
1
𝛤(𝛼)𝛽𝛼 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥/𝛽 , 𝑥 > 0
0, 𝑥 < 0
(9)
Onde,
x = São os valores da variável ETo, com 𝑥 > 0
α = Parâmetro de forma; com 𝛼 > 0;
β = Parâmetro de escala, com 𝛽 > 0.
𝛤(𝛼) = Função gamma
A Figura 3 exemplifica a variação da forma da densidade Gamma para alguns
valores específicos de α e β.
17
Figura 3. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Gamma FONTE: Elaboração do autor no software R
3.2.4. DISTRIBUIÇÃO WEIBULL
A distribuição Weibull pode ser utilizada para eventos extremos,
principalmente em estudos hidrológicos (DUAN et al., 1998). Também em comum com
a distribuição gamma, o parâmetro de escala atua de maneira similar para esticar ou
comprimir a forma básica ao longo do eixo x, para um determinado valor de α.
A função densidade de probabilidade da distribuição Weibull é dada por:
𝑓(𝑥) = (
𝛼
𝛽) (
𝑥
𝛽)
𝛼−1
𝑒𝑥𝑝 [− (𝑥
𝛽)
𝛼
] , 𝑥, 𝛼, 𝛽 > 0 (10)
Onde,
x = São os valores da variável ETo, com 𝑥 ≥ 0;
α = Parâmetro de forma, com 𝛼 > 0;
β = Parâmetro de escala, com 𝛽 > 0;
A Figura 4 apresenta o gráfico de função densidade de probabilidade para
diferentes valores de α e β. Observa-se que a distribuição Weibull pode representar
tanto dados simétricos como assimétricos à direita.
18
Figura 4. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Weibull Fonte: Elaboração do autor no software R
3.3. ADERÊNCIA DOS DADOS
3.3.1. TESTE DE KOLMOGOV-SMIRNOV (KS)
Em conjunto com a inspeção visual será empregado o teste estatístico para
indicar se os dados provêm ou não da distribuição em análise. O teste estabelece as
seguintes hipóteses:
H0: Os dados da amostra veem da distribuição especificada
H1: Os dados da amostra não veem da distribuição especificada
O teste estatístico de Kolmogorov-Sminorv (KS) é amplamente utilizado na
literatura para verificar o ajuste de distribuições empíricas (HOLLANDER et al. 2013;
FISCHER et al., 2012; CORDER e FOREMAN, 2009; SU et al. 2009).
O teste KS é baseado na distância entre a função distribuição acumulada
empírica (Fn(x)) dos dados e a função distribuição acumulada teórica (F(x)) de cada
distribuição candidata (CORDER e FOREMAN, 2009; SU et al. 2009; SCHÖNWIESE,
2006). A estatística de teste é o limite superior entre a diferença em valor absoluto
entre F(x) e Fn(x), conforme equação a seguir:
𝐷𝑛 = 𝑚𝑎𝑥𝑥∈𝑅
|𝐹𝑛(𝑥) − 𝐹(𝑥)| (11)
19
3.4. ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS
As estimações dos parâmetros das distribuições candidatas foram realizadas
utilizando o método de máxima verossimilhança. Fischer et al. (2012) destacam que
este método apresenta os melhores resultados, com menor variância das estimativas.
Martins et al. (2011) afirmam que este método é indicado para estimar parâmetros das
principais distribuições de probabilidade em estudos hidrológicos.
A máxima verossimilhança é um dos procedimentos mais usados para a
obtenção de estimadores. Considerando uma população e um variável aleatória X,
relacionada a essa população, com função densidade de probabilidade 𝑓(𝑥, 𝜃), onde
θ é o parâmetro desconhecido. Então, a partir de uma amostra aleatória simples de
X, e tamanho n, X1, …, Xn e sejam x1, ..., xn os valores observados (HOLLANDER et
al. 2013).A função de verossimilhança L é definida por:
𝐿(𝜃; 𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥1; 𝜃) × … × 𝑓(𝑥𝑛; 𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)
𝑛
𝑖=1
(12)
O estimador de máxima verossimilhança pode ser encontrado seguindo os
passos:
Encontrar a função de verossimilhança;
Aplicar o logaritmo;
Fazer a derivada em relação ao parâmetro θ;
Igualar o resultado a zero;
E por fim verificar que este estimador é ponto de máximo.
4. MATERIAIS E MÉTODOS
Foram utilizados dados da estação meteorológica de superfície automática de
Cacoal, localizada na latitude -11,45º sul e longitude -61,43º oeste, a 184 metros de
altitude, pertencente à rede de estações do Instituto Nacional de Meteorologia
(INMET), no estado de Rondônia. Os dados foram analisados em base mensal,
referentes ao período de 2009 a 2018.
A partir dos dados disponíveis da estação meteorológica de Cacoal, a
estimativa da ETo diária foi obtida através do modelo PM-FAO apresentado por Allen
e seus colaboradores no Boletim da FAO No 56 (ALLEN et al., 1998) conforme a
20
Equação (1). Foi seguido o roteiro da Embrapa para o cálculo da evapotranspiração
de referência pelo método de PM-FAO (CONCEIÇÃO, 2006).
Devido ao número de parâmetros meteorológicos (radiação solar, velocidade
do vento, umidade relativa e a temperatura do ar) necessários para estimação da ETo
por meio do método PM-FAO, foi encontrado durante o processo de estimação da ETo
a ausência ou falha dos valores referentes aos parâmetros meteorológicos, portanto,
o mês foi considerado completo caso, o número de ausência/falha dos dados fossem
menor ou igual a 5 dias no mês. Logo, os meses que apresentaram 5 dias ou mais de
valores ausentes, o mês foi descartado da análise.
Para a caracterização da ETo foram utilizadas técnicas estatísticas de
descrição e ajuste de distribuição de probabilidade. Para identificar a função
densidade de probabilidade que melhor se ajusta a ETo, considerou-se a distribuição
e variabilidade dos mesmos, foi proposto os seguintes modelos probabilísticos:
Normal (Gaussiana), Lognormal, Gamma e Weibull.
A estimação dos parâmetros das distribuições candidatas foi realizada
utilizando o método de máxima verossimilhança (HOLLANDER et al., 2013; FISCHER
et al., 2012).
A aderência dos dados as distribuições propostas, foi verificado visualmente
pelo diagrama QQ-plot (quantil-quantil) e pelo teste estatístico de Kolmogorov-
Smirnov (KS) ao nível de 5% de significância para indicar se os dados provêm ou não
da distribuição em análise. Para escolha do melhor ajuste das distribuições candidatas
aos dados, foi observado o p-valor do teste.
Inicialmente as tabulações e o arranjo dos dados foram feitos em planilha
eletrônica, e as análises e gráficos realizados no software livre R (R TEAM CORE,
2018). Para o ajuste das distribuições aos dados de ETo utilizou-se o pacote
“fitdistrplus” (DELIGNETTE-MULLER et al., 2015).
5. RESULTADOS E DISCUSÕES
A estimação da evapotranspiração de referência (ETo), foi obtida através do
método de PM-FAO, a partir dos dados da estação meteorológica de superfície
automática de Cacoal, além da estimação da ETo, foi realizado uma breve análise
gráfica com os dados de precipitação com o objetivo de definir os meses chuvosos e
21
secos na região e comparar a precipitação com as taxas de evapotranspiração,
posteriormente foi realizado a caracterização mensal da variável ETo, durante o
período de 2009 a 2018. A Figura 5 apresenta a distribuição de precipitação mensal
em mm.
Figura 5. Gráfico de barras da precipitação total mensal em mm no período 2009 a 2018 Fonte: Elaboração do autor no software R
Pela Figura 5 é possível identificar que a estação chuvosa é bem definida,
entre os meses de dezembro e março com maior volume de precipitação, e a estação
seca entre junho e agosto com menor volume de precipitação. Furlan (2009)
apresenta em seus estudos que os meses de Junho, Julho e Agosto são os mais
secos, Maio e Setembro como meses de transição e os meses de Dezembro a Março
como chuvosos.
A descrição estatística dos dados da ETo está resumida na (Tabela 1), onde
é enunciado os meses, número de observações (Obs), média, variância, desvio
padrão, mediana, mínimo, máximo, curtose e assimetria.
22
Tabela 1. Estatísticas descritivas mensal da evapotranspiração de referência (ETo) em mm d-1, no período de 2009 a 2018.
Meses *Obs Média Variância Desvio Padrão
Mediana Mínimo Máximo Curtose Assimetria
Jan 274 4,64 1,41 1,19 4,70 1,70 7,41 -0,58 -0,17
Fev 274 4,44 1,47 1,21 4,50 1,30 7,55 -0,35 -0,13
Mar 303 4,58 1,18 1,09 4,65 1,78 7,16 -0,41 -0,24
Abr 269 4,62 0,93 0,97 4,75 1,84 6,67 -0,22 -0,42
Mai 248 4,18 0,74 0,86 4,33 1,01 5,78 1,08 -0,92
Jun 210 4,30 0,36 0,60 4,44 2,12 5,20 1,57 -1,28
Jul 279 4,71 0,37 0,61 4,82 1,87 6,10 2,80 -1,20
Ago 216 5,37 0,32 0,57 5,45 2,91 6,79 1,76 -0,72
Set 236 5,61 0,73 0,85 5,64 1,47 7,70 2,05 -0,85
Out 217 5,43 1,44 1,20 5,62 2,10 7,43 0,04 -0,76
Nov 267 5,10 1,67 1,29 5,19 1,81 7,78 -0,63 -0,24
Dez 248 4,81 1,68 1,29 4,94 1,35 7,87 -0,46 -0,28
*Obs= número de observações por dia no período 2009 a 2018
Fonte: Elaboração do autor no software R
A Tabela 1 apresenta o número de observações diárias (Obs), da ETo por
mês durante o período de 2009 a 2018. Os meses de Junho, Agosto e Outubro são
os meses em que ocorreram o maior número de ausências/falhas nos dados das
variáveis climáticas necessários para estimar a ETo. O total de dias em que foi
possível estimar ETo para esses meses foi de 210, 216 e 217 dias, respectivamente.
Assim, os números de observações mensais variam devido as ausências/falhas nos
dados meteorológicos para estimar a ETo.
A mediana, assimetria e Curtose (Tabela 1), são úteis para verificar se os
dados têm características de uma distribuição normal. A mediana dos meses próximas
as suas respectivas médias, indica que os valores da ETo estão próximos do centro
da distribuição. Os valores de assimetria próximos de 0 e curtose próximos de 3
também são características de uma distribuição normal. A curtose indica o grau de
“achatamento” de uma distribuição e a assimetria remete ao grau de simetria da
distribuição da ETo. Quando a curva é simétrica (igual a 0), a média, mediana e a
moda coincidem, num mesmo ponto.
Os valores médios mensais da ETo (Tabela 1) apresentaram variações ao
longo dos meses, sendo Agosto, Setembro e Outubro os meses em que a
evapotranspiração foi maior. Os maiores valores obtidos para as médias da ETo foi
5,37 mm d-1 em Agosto, 5,61 mm d-1 em Setembro e 5,43 mm d-1 em Outubro. As
23
menores médias da ETo, ocorre nos meses de Maio e Junho, com valores de 4,18
mm d-1 e 4,30 mm d-1, respectivamente. Para o restante dos meses, os valores médios
estão dentro do intervalo de 4,30 mm d-1 a 5,37 mm d-1. Nota-se também que o valor
mínimo da ETo foi de 1,01 mm d-1 no mês de Maio e o máximo foi de 7,87 mm d-1 em
Dezembro.
A variância e o desvios padrão são medidas utilizadas para medir a dispersão
dos dados em torno de sua média. Os resultados para variância e desvio padrão estão
abaixo de 1,67mm d-1 e 1,29mm d-1, respectivamente. Quanto menor são esses
valores mais próximos os valores de ETo estão da média. Nota-se que os meses de
seca (Junho a Agosto) apresentam os menores valores de variância e desvio padrão
(Tabela 1).
Para analisar melhor o comportamento da ETo mensal durante o período de
2009 e 2018 foi elaborado um diagrama de box-plot (Figura 6). O box-plot dá uma
ideia da posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes dos dados
(MORETTIN e BUSSAB, 2010).
Figura 6. Box-plot da ETo por mês no período de 2008 a 2018 Fonte: Elaboração do autor no software R
24
A linha no centro do retângulo na Figura 6 indica o valor de posição que é
dado pela mediana, além disso a posição da mediana dentro retângulo, informar sobre
a simetria da distribuição dos valores de ETo, onde, uma distribuição simétrica teria a
mediana no centro do retângulo (NAGHETTINI e PINTO, 2007). Logo, nota-se que os
meses chuvosos parecem ser mais simétricos em relação aos meses seco.
E em relação a dispersão da ETo, pelo diagrama de Box-plox (Figura 6)
observa-se que os meses de secas apresentam uma variabilidade menor, porém, é
possível identificar alguns pontos discrepantes (Outliers), sendo um indicativo para
uma possível falta de ajuste da distribuição Normal nos meses de seca. Como todos
os valores estão próximos devido à baixa variabilidade, a média é muito afetada por
qualquer valor que seja muito diferente dos demais no conjunto de dados da ETo.
Quando se tem esses valores extremos, deve-se evitar usar a média (LEVINE et al.,
1999).
A escolha das distribuições de probabilidade candidatas para o estudo do
conjunto de dados da ETo, foi fundamentada através das estatísticas de descrição,
gráficos empíricos e recomendações literárias. Para verificar o ajuste de distribuição
que melhor se adequa aos dados da ETo por mês, foi elaborado o Histograma e QQ-
Plot (Figura 7 e Figura 8). As distribuições de probabilidade proposta foram os
seguintes modelos: Normal (Gaussiana), Weibull, Gamma e Lognormal.
25
Figura 7. Histograma da ETo e curvas de densidade teórica (Normal, Weibull, Gamma, Lognormal) por mês. Fonte: Elaboração do autor no software R
26
Figura 8. Ajustamento das funções de densidades da ETo, com base no diagrama de QQ-plot. FONTE: Elaboração do autor no software R
27
Na Figura 7 é apresentado a forma geral da distribuição da ETo por mês
através dos gráficos de histograma e as linhas de densidade teórica das distribuições
propostas para o ajuste. Verificou-se que as funções de distribuição de probabilidade
Weibull e Normal, visualmente, são as que melhor se ajustam a forma geral da
distribuição da ETo por mês.
Os gráficos de QQ-plot (Figura 8) é uma ferramenta gráfica para avaliar se um
conjunto de dados veio de alguma distribuição teórica. Pode-se notar, assim como
nos histogramas (Figura 7) as distribuições Weibull e Normal parecem ser as que
melhor se ajustam aos dados da ETo, pois os pontos estão mais próximos da reta.
Também é possível notar que a distribuição Log-normal não aparenta ajuste a nenhum
dos meses, pois contém muitos pontos fora no começo e fim da reta em todos os
meses observados.
Embora os gráficos de Histograma e QQ-plot possam identificar a forma geral
da distribuição e permite visualizar se a suposição de ajuste é plausível, não é possível
inferir em relação aos dados da ETo, pois ambos os gráficos são baseados na
observação do pesquisador e torna-se algo subjetivo. Dessa forma, para avaliar e
quantificar o ajustamento das distribuições de probabilidade em cada mês, foi aplicado
o teste de Kolmogorov-Smirnov (KS) utilizando α = 5% de significância para a
aceitação do teste (Tabela 2).
Tabela 2. Teste de Kolmogorov-Smirnov para aderência das distribuições estatísticas aos dados
** Não houve ajuste de distribuição. Fonte: Elaboração do autor no software R
1 - Distribuição p-valor 2 - Distribuição p-valor 3 - Distribuição p-valor 4 - Distribuição p-valor
Jan Weibull 0,902 Normal 0,637 Gamma 0,117 ** **
Fev Weibull 0,982 Normal 0,785 Gamma 0,06 ** **
Mar Weibull 0,989 Normal 0,776 Gamma 0,137 ** **
Abr Weibull 0,925 Normal 0,279 ** ** ** **
Mai Weibull 0,199 ** ** ** ** ** **
Jun Weibull 0,101 ** ** ** ** ** **
Jul Weibull 0,431 ** ** ** ** ** **
Ago Weibull 0,514 Normal 0,279 Gamma 0,09 ** **
Set Weibull 0,994 Normal 0,554 Gamma 0,107 ** **
Out Weibull 0,545 Normal 0,104 ** ** ** **
Nov Weibull 0,824 Normal 0,676 Gamma 0,103 ** **
Dez Weibull 0,893 Normal 0,73 Gamma 0,069 ** **
MesesTeste de Kolmogov-Smirnov
28
A regra de decisão do teste é se o p-valor > 0,05 não rejeita H0. Logo, quando
o p-valor > 0,05 significa que há evidências de que a distribuição se ajusta aos dados
de ETo por mês ao nível de 5% de significância. A Tabela 2 apresenta em ordem as
distribuições que melhor se ajustaram ao determinado mês, para ordenar levou-se em
conta o p-valor, quanto maior o p-valor melhor o ajuste da distribuição.
Portanto a distribuição estatística Weibull é a que melhor se ajusta aos dados
de ETo, sendo a única distribuição que se ajustou em todos os meses. A distribuição
normal não se ajustou aos meses de Maio, Junho e Julho. A distribuição Gamma não
se ajustou aos meses de Abril, Maio, Junho, Julho e Outubro. E verificou-se que não
foi possível ajustar a distribuição Log-Normal em nenhum dos meses.
Na Tabela 3 é apresentado os valores estimados dos parâmetros das
distribuições de probabilidade que se ajustou aos dados de ETo por mês. Os
parâmetros das distribuições foram estimados pelo método de máxima
verossimilhança.
Tabela 3. Valores dos parâmetros por mês das distribuições que se ajustaram aos dados de ETo em mm d-1
** Não houve ajuste de distribuição. Fonte: Elaboração do autor no software R
Dentre as distribuições que se ajustaram aos dados de ETo mensal, a
distribuição Gamma foi a que apresentou os menores valores de ajuste. Todavia, a
α β μ σ α β
Jan 4,48 5,09 4,64 1,19 13,67 2,95
Fev 4,15 4,88 4,44 1,21 11,78 2,66
Mar 4,86 5,00 4,58 1,09 15,87 3,46
Abr 5,67 5,00 4,62 0,97 ** **
Mai 6,09 4,51 ** ** ** **
Jun 9,91 4,54 ** ** ** **
Jul 9,70 4,95 ** ** ** **
Ago 10,97 5,62 5,37 0,57 82,99 15,45
Set 7,94 5,96 5,61 0,85 36,45 6,50
Out 5,69 5,89 5,43 1,20 ** **
Nov 4,59 5,59 5,10 1,29 13,87 2,72
Dez 4,31 5,29 4,81 1,29 11,85 2,46
MesesWeibull Normal Gamma
29
distribuição Gamma ajustou-se em todos os meses chuvosos e aos meses de Agosto,
Setembro e Novembro.
Verificou-se que a distribuição Log-normal não se ajustou a nenhum dos
meses de dados da ETo. Logo, a distribuição Log-normal não é uma boa candidata
para representar os dados de ETo mensal na região analisada.
Através das estimativas dos parâmetros para cada distribuição ajustada da
ETo por mês (Tabela 3), é possível calcular a característica de uma dada amostra,
com este cálculo é possível resumir informações sobre a população desconhecida.
Além disso, a análise de probabilidade pode ser usada para prever a ocorrência de
eventos futuros a partir dos registros disponíveis.
6. CONCLUSÃO
Pelos gráficos de Histograma, QQ-plot e o teste de Kolomorov-Smirnov (KS)
ao nível de 5% de significância, a função de densidade de probabilidade Weibull é a
distribuição candidata com os melhores resultados de ajuste aos dados de ETo por
mês. A distribuição Weibull ajustou-se a todos os meses analisados e teve os
melhores valores de ajuste.
Para a distribuição normal, foi verificado que os melhores valores do ajuste
ocorreram principalmente nos meses chuvosos (Dezembro a Março). E verificou-se
pelo teste de KS que a distribuição normal não se ajustou aos meses de Junho, Julho
e Maio, sendo dois deles meses de seca (Junho e Julho) e um mês de transição
(Maio), assim a distribuição Normal não é uma boa candidata para representar os
dados de ETo nos meses de Junho, Julho e Maio.
A distribuição Gamma, ajustou-se em todos os meses chuvosos e aos meses
de Agosto, Setembro e Novembro. E a distribuição Log-normal não se ajustou a
nenhum dos meses de dados da ETo.
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