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Notas de aula --- Parte II

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Escritas pelo Professor Wilson Canesin Utilizada na disciplina Matemática C para o curso de Ciências Aeronáuticas da Universidade Braz Cubas

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1- FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Em muitas situações práticas, o valor de uma certa quantidade, depende dos valores de duas outras ou de três outras. Então, é usual representar estas relações como funções de várias variáveis. Por exemplo, numa fábrica, uma quantidade chamada de produção (P), depende do número de homens-hora (L) e do número de máquinas (K) , usadas para produzir algum produto. A representação funcional dessa relação é P = f( L, K)

O mesmo conceito se estende para qualquer número de variáveis. 1.2 – Funções de duas variáveis Seja D um subconjunto (região) do espaço R2 (plano) . Chama-se função f de D toda relação que associa, a cada par (x,y) ε D, um único número real, representado por f(x,y). O conjunto D é o domínio da função. Assim, D é o domínio da função em R2 , f é a função f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). Exemplos de valores de função de 2 variáveis: Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , então f(2,3) = 22 +2.3 = 10 Ex.2- f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32 Domínio das funções de duas variáveis O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D ε R2 , tal que os valores calculados da função,para todo (x,y) ε D resultem em valores finitos e reais para f(x,y). Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = xy − A condição de existência dessa função é y-x ≥0 (real) , portanto o seu domínio é D = (x,y) ε R2 / y - x ≥ 0 .

yzx

z

(x,y) D

f(x,y)

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Ex.2 – Ache o domínio da função f(x,y) = yxx−2

2

, a função é finita

quando 2x-y≠ 0. Assim, domínio D ε (xy) é o conjunto de pontos, tais que, D = (x,y) ε R2 / y ≠ 2x .

Ex.3 - Ache o domínio da função f(x,y) = yx

x−3

2

, a função é finita

quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que, D = (x,y) ε R2 / 3x - y > 0 .

1.3 - Gráfico de uma função de 2 variáveis Já vimos que para as funções de uma variável, o gráfico é no plano x,y e y=f(x). Para funções de 2 variáveis o gráfico é em R3 e z = f(x,y). Uma função de 2 variáveis sempre gera uma superfície no espaço R3.

yz

z

x D

D

A superfície é obtida para cada par x,y , fixando um valor de x e variando y, em seguida fixa um 2o valor de x e varia y , depois fixa um 3o x e varia y ,etc., até variar x e y em todo o domínio.

Y

X Y 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 1 3 2 0 2 1 2 2 2 3 3 0 3 1 ... ...

X

Z

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Exemplos de funções de 2 variáveis: Ex.1 – A função é z = f(x,y) = 5 Ex.2 - A função é z = f(x,y) = 6 – 2 x + 3 y . Esta função pode ser escrita na forma 2x – 3y + z = 6 que é a equação de um plano. Para achar os pontos onde este plano intercepta os eixos, é so fazer :

a) x =0 e y =0 → z = 6 b) x =0 e z = 0 → y = 2 c) y =0 e z = 0 → x = 3

X

Y

5

Z

A superfície é um plano infinito, paralelo a x,y e passando por z=5

X

Y

Z

(3,0,0) (0,2,0)

(0,0,6)

Portanto, o gráfico de f no plano é ⇒

Z

Y

X

A superfície é um parabolóide de revolução.

A superfície gerada é uma semi-esfera de centro na origem.

Z

Y

X

Ex. 4 - A função é

z = f(x,y) = 221 yx −− Ex.3 – A função é z = f(x,y) = x2 + y2

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1.4 – Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por

),(),(),(

00 yxyxLyxfmil

→=

Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.

Nas funções abaixo o limite existirá sempre,com exceção nas restrições. Ex. 1 f(x,y) = x2 + y2 – xy , é contínua para todo par x,y Ex.2 f(x,y) = x3y2 –xy + y3 + 6, contínua ∀ x , y

Ex.3 f(x,y) = 1

22

−+yx

yx é contínua ∀ x.y ≠ 1 ou y ≠ 1/x

Ex. 4 f(x,y) = yxyx

−+

é contínua se ∀ x ≠ y

X

y

D

X

y

D

y = x

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Ex.5 f(x,y) = ln(x-y) é contínua ∀x,y tal que x - y > 0 ou y > x Ex.6 f(x,y) = 221 yx −− é contínua se 1-x2-y2 ≥ 0 ,ou x2+y2 ≤ 1 Ex.7 f(x,y) = xy /1− a função é contínua se y – 1/x ≥ 0 , y ≥ 1/x Que resulta no gráfico:

y > x y

x

x

y

D

O domínio é uma circunferência de centro na origem e de raio r ≤ 1

y

x

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1.5 – Derivadas de Funções de 2 Variáveis A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y) , sua derivada em relação a x é ),(),( yxfyxxff −∆+=∆ incremento da função

xyxfyxxf

xf

∆−∆+

=∆∆ ),(),( taxa de variação da função

Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante a derivada parcial em relação a y é 1.6 – Interpretação geométrica da derivada parcial Nas funções de uma variável, a derivada mede a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Nas funções do tipo f(x,y) de duas variáveis, a derivada em relação a x, mede a inclinação da reta tangente à superfície, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seção paralela ao eixo x, com y constante, e numa seção paralela a y e com x constante.

),( yxfxf

xf

x=∂∂

=∆∆ Derivada parcial em x

y0 y x0

x

z

β

α

Assim, tanα = fx(x0,y0) = ∂ f / ∂x tanβ = fy(x0,y0) = ∂ f / ∂y

l i m ∆x→0

0→∆ymil ),( yxf

yf

xf

y=∂∂

=∆∆

Derivada parcial em y

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TABELA DE DERIVADAS (adaptada p/derivadas parciais)

Número Função f = f(x,y) Derivada fs = ∂f/∂s , s = x,y

1 f = k ( k = constante) fs = 0 (derivada de 1 const.)

2 f = x ou f = y fs = 1 s = x ou y

3 f = un ; u = f(x,y) Ds un = n un-1 us , us=∂u/∂(x,y)

4 f = n mu Dsn msn m u

unumu =

5 f = ln u Ds ln u = uu s

6 f = lga u Ds lga u = au

u s

ln

7 f = au Ds au = au lna us

8 f = eu Ds eu = eu us

9 f = u v fs = v us + u vs

10 f = u / v , us=∂u/∂(x,y) fs =(v us – u vs ) / v2

11 f = senu fs = cosu .us

12 f = cosu fs = -senu .us

13 f = tanu fs = sec2u .us

14 f = secu fs = secu.tanu.us

15 f = cscu fs = -cscu.cotu.us

16 f = cotu fs = -cotu.cscu.us

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1.6.1- A técnica de Derivadas Parciais A derivada parcial em relação a "x" , considera y como constante, enquanto que a derivada parcial em relação na "y" considera x como constante. fx = ∂ f / ∂ x → y=constante fy = ∂ f / ∂ y → x=constante Ex.1- Derivar a função f(x,y) =3 x3y2 fx = ∂ (3x3y2) / ∂ x = 9x2y2 fy = ∂ (3x3y2) / ∂ y = 6x3y Ex.2 - Derivar a função f(x,y) = x2 + y2 fx = ∂ ( x2 + y2) / ∂ x = 2x fy = ∂ (x2 + y2) / ∂ y = 2y Ex.3 - Derivar a função f(x,y) =x /( x2 + y2 ) f = u / v , u =x e v = x2 + y2 fs = [ v us – u vs ]/v2

fx =[(x2 + y2).1 – x. 2x]/( x2 + y2)2 = (y2-x2)/(x2 + y2)2 fy =[(x2 + y2).0 – x. 2y]/( x2 + y2)2 = -2xy/(x2 + y2)2 Ex.4 – Calcular a inclinação da reta tangente à interseção da superfície z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48). Solução: Para derivar em relação a x, mantém y constante.

332 8)()4( yyxyxx

yxxx

z−=

∂∂

−∂∂

=∂∂

mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se tanα = )2,3(

xf

∂∂ = 40 ⇒ α = tan-1(40) = 88,57°

Ex. 6 – Calcular a inclinação da tangente à interseção da superfície z = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).

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xf

∂∂ = 3x2 + 2y

tanα = )1,1(xf

∂∂ = 5 ⇒ α = tan-1(5) = 78,69°

Ex. 7 – Achar as derivadas parciais da função f(x,y) =( x2 + y3).senx

xf

∂∂ =

xvu

∂∂ ).( =

xvuv

xu

∂∂

+∂∂ .. = 2x.senx + ( x2 + y3).cosx

yf

∂∂ =

yvu

∂∂ ).( =

yvuv

yu

∂∂

+∂∂ .. = 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx

1.7 – Diferencial total de uma função de 2 ou mais variáveis A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam. Assim, dada a função z = f(x,y) , sua diferencial total é :

dyyfdx

xfzd

∂∂

+∂∂

=

Ex.1 diferenciar a função z = 3x3y2 – 2xy3 +xy –1

xf

∂∂ = 9x2y2 – 2y3 +y e

yf

∂∂ = 6x3y – 6xy2 + x

assim, a diferencial da função é

df = (9x2y2 – 2y3 +y ) dx + (6x3y – 6xy2 + x) dy A função de várias variáveis é diferenciável se suas derivadas parciais forem contínuas. A diferencial de uma função F(x1,x2,...xn) de n variáveis é:

dF = 11

dxxF∂∂ + 2

2

dxxF

∂∂ +......+ n

n

dxxF

∂∂ = ∑

= ∂∂n

ii

i

dxxF

1

Ex.2-Calcule a diferencial da função F(x,y,z) =2x+3xy-2zy Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y

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dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy –2ydz 1.8 – Derivada de funções compostas Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . A derivada desta função em relação a “t” é

tdyd

yf

tdxd

xf

tdfd

∂∂

+∂∂

=

Ex.1 Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5 , onde x(t) = et e y(t) = t3 .

a) A função pode ser posta em função de t , F(t) = e2t +3t3 – 5 E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2

b) Calcula-se pelas derivadas parciais

xf

∂∂ = 2x ;

yf

∂∂ = 3 ; =

tdxd et ; =

tdyd 3t2

Assim

tdFd = 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2

Se a função tiver mais de 2 variáveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t), x2(t),...xn(t) , são funções de t, então a sua derivada em relação a “t” é dada pela regra da cadeia

tdxd

xf

dtdf i

n

i∑= ∂∂

=1

= tdxd

xf

tdxd

xf

tdxd

xf n

n∂∂

++∂∂

+∂∂ ...2

2

1

1

Ex.2– Dada a função f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2 fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t

tettdfd t 4.3cos.2 −+=

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Exercícios propostos: achar as derivadas df/dt

1) f(x,y,z) =x+x2y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3 2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-1 3) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t3

1.9 – Derivada de uma função implícita de 2 ou mais variáveis

Uma função está na forma implícita, quando não está resolvida para uma variável específica. As funções resolvidas para uma variável são chamadas de explícitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na forma implícita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc.

A derivada de uma função implícita do tipo f(x,y)=0, em relação a x é

0=∂∂

+∂∂

dxdy

yf

dxdx

xf → 0=

∂∂

+∂∂

dxdy

yf

xf

ou,

Ex.1 – Derivar a função f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente a fórmula acima,

2154yx

yfxf

dxdy

−=

∂∂∂∂

−=

Ex.2 – Derivar a função f(x,y) = 4y2 – 6xy = 0

xyy

yfxf

dxdy

686−

=

∂∂∂∂

−=

Para mais de 2 variáveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) e

diferenciando, e após algumas considerações teremos

y

x

ff

yfxf

dxdy

−=

∂∂∂∂

−=

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Ex.3 - Achar as derivadas xz ∂∂ e yz ∂∂ , da função x2+y3- z=0. Solução;

zfxf

xz

∂∂∂∂

−=∂∂

= xx 21

2=

−−

zfyf

yz

∂∂∂∂

−=∂∂

= 22

31

3 yx=

−−

Exercícios propostos: Derivar as funções implícitas e achar xz ∂∂ e

yz ∂∂ , nas expressões abaixo 1) 2 x3- 4 y2 – 6 z = 0 2) x2 + xy2 + xyz3 –3 =0 1.10 – Derivadas parciais de segunda ordem Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais são fx =∂f /∂x e fy = ∂f /∂y . Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por

2

2

xff xx ∂

∂= ,

yxff xy ∂∂

∂=

2

, xy

ff yx ∂∂∂

=2

, xy

ff yy ∂∂∂

=2

Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx . Ex.1 – Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 – 6xy

fx =∂f /∂x = 8x – 6y e fy = ∂f /∂y = 6y – 6x

z

x

ff

zfxf

xz

−=∂∂∂∂

−=∂∂

e z

y

ff

zfyf

yz

−=∂∂∂∂

−=∂∂

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2

2

xff xx ∂

∂= = 8 ; ;

xyff yx ∂∂

∂=

2

= -6

yxff xy ∂∂

∂=

2

= -6 ; xy

ff yy ∂∂∂

=2

= -6

EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y fx =∂f /∂x = 2e2x+5y fy = ∂f /∂y = 5e2x+5y

2

2

xff xx ∂

∂= = 4e2x+5y ;

xyff yx ∂∂

∂=

2

= 10e2x+5y

yx

ff xy ∂∂∂

=2

= 10e2x+5y ; xy

ff yy ∂∂∂

=2

= 25e2x+5y

EX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2) fx =∂f /∂x = 22

2yx

x+

; fy = ∂f /∂y = VU

yxy

=+ 22

2

2

2

xff xx ∂

∂= = 2

..V

VUUV xx − = 222

22

)()(2

yxxy

+− ;

xyff yx ∂∂

∂=

2

= 222 )(4

yxxy

+−

yx

ff xy ∂∂∂

=2

= 2

..V

VUUV yy − = 222 )(4

yxxy

+− ;

xyff yy ∂∂

∂=

2

= 222

22

)()(2

yxyx

+−

Note que fxy = fyx

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1.11 – Derivadas Parciais de Funções de Várias Variáveis As derivadas parciais têm a mesma definição já vista para 2 variáveis e são representadas da mesma forma. Exemplos:

1) f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x

fx = 2x+z2 ; fy = 3y2 ; fz = 2zx

2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 ) fx = 2232

2tzyx +−+

; fy = 22323

tzyx +−+

fz = 22322

tzyxz

+−+− ; ft = 2232

2tzyx

t+−+

Exercícios propostos - Derivar as funções:

1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z 2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz

3) f(x,y,z) = zxyx

−+

4) f(x,y,z) = xyz 5) f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3 6) f(x,y,z,t) = 2x-3zt 7) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3)

1.12 – Derivadas de Ordem Superior Seja a função f de n variáveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de ordem superior são calculadas a partir de suas primeiras derivadas. fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc. Ex.1 – f(x,y,z) = x2 + 4xy2 – 3y2z3 fx = 2x + 4y2 ; fxx =2 ; fxy = 8y ; fxz = 0 fy = 8xy – 6yz3 ; fyx = 8y ; fyy= 8x – 6 z3 ; fyz =-18yz2 fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 z

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Ex.2 – Calcule as derivadas de ordem superior da função : f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us

fx = y2z3 / xy2z3 =1/x ; fxx = )( 1−

∂∂ xx

= -1.x-2 = -1/x2

fxy = 0 ; fxz = 0 fy = 2xyz3/xy2z3 = 2 / y ; fyx = 0 ; fyy = )2( 1−

∂∂ yy

= -2y-2 = -2 / y2

fyz = )2( 1−

∂∂ yz

= 0

fz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ; fzy = 0 ; fzz = -3 /z2 EXERCÍCIOS -Derivar as funções a seguir (c/respostas) 1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4y fxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3 f yx=2 ; fyy=0 ; fyz=4 fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0 2) f(x,y,z) =

zyyx

−+ ; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2

fxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ; fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy = fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)3

3) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2

;fxx= 6(x+2y+3z) ; fxy= 12(x+2y+3z) ; fxz= 18(x+2y+3z) fyx= 12(x+2y+3z)

;fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z)

; fzz= 18(x+2y+3z) . 4) f(x,y,z)= xyz =(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2

fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ; fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ; fyx=(1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;fyz= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;

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fzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ; fzz=(1/2)(yx)2(xyz)-1/2 . 5) f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2) fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2; fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2; fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2/(2x2+y2-zt2)2; fzx=4xt2/( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2/(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4/(2x2+y2-zt2)2 6) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ; fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2); fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2) fxy = -cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)(x+z2)sen(x2+xy+yz2) fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2) fyx = fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ; fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2) 7) f(x,y,z) =

322 zyxe ++ ; fx=2x322 zyxe ++ ; fy=2y

322 zyxe ++ ; fz=3z2 322 zyxe ++ fxx=2

322 zyxe ++ +4x2 322 zyxe ++ ; fxy=4xy322 zyxe ++ ; fxz=6xz2 322 zyxe ++

fyx=fxy ; fyy=2322 zyxe ++ + 4y2 322 zyxe ++ ; fyz= 6yz2 322 zyxe ++

fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z322 zyxe ++ +9z4 322 zyxe ++

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1.13 – Máximos e mínimos para funções de duas variáveis Uma importante aplicação do estudo de derivadas parciais, é a da otimização de funções. Otimizar uma função, significa encontrar seu desempenho máximo ou mínimo. Como para as funções de uma variável, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontos extremos que podem ser máximos ou mínimos. Para saber de que tipo são esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessiano calculado no ponto (x0,y0 ), que é definido a seguir.

H(x0,y0 ) = ),( 00 yxyyyx

xyxx

ffff

Assim , Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) é um extremo, e a) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) <0 então (x0,y0) é um máximo. b) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 então (x0,y0) é um mínimo. c) H(x0,y0 )<0 então (x0,y0) é um ponto de sela. d) H(x0,y0 )= 0 o teste é inconclusivo.

P Q

S

L

T

Os pontos P e Q são pontos de máximo, porque qualquer deslocamento em sua vizinhança, irá descer. O ponto S é uma sela porque nos sentidos SP e SQ sobe, mas no sentido SL ou ST desce.

F(x,y)

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Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metálica de 12cm de largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidade máxima. A área da seção da calha é a área do retângulo, mais a área dos dois triângulos. A = f = (1/2).xcosθ.xsenθ. 2 + x senθ.(12-2x) (a) f(x, θ) = x2 cosθsenθ + 12xsenθ -2x2senθ Estudar os extremos (máximos e mínimos) da função. fx = (∂ f / ∂x) = 2xsenθcosθ + 12senθ - 4xsenθ=0 2xcosθ = 4x – 12 ou cosθ = 2-6/x fθ = (∂ f / ∂θ ) = x2 cos2θ + 12xcosθ - 2x2 cosθ=0

= x ( 2cos2θ - 2cosθ-1)+12cosθ

substituindo o valor cosθ = 2 – 6/x na 2a equação e resolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cosθ =2-6/4=1/2 cosθ = ½ → θ = 60o O resultado é tão razoável, que omitimos o teste das 2as derivadas, também pó causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certeza podemos calcular a área (a) para valores de x e θ abaixo e acima destes e confirmaremos se a capacidade é ou não máxima.

sen2θ = 2senθcosθ =2 cos2θ - 1 cos2θ =cos2θ - sen2θ = 2cos2θ -1

x x

x senθ y cosθ

12-2x

θ

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X Y, Z, Ponto de máximo: (x,y) = ( 4, 60 )

0 5 10 15 20

05

1015

20

0

5

10

15

20

XYZ

0 1 2193194195196197198199200201202203204205206207

4 6 3.3364 12 6.584 18 9.6474 24 12.4534 30 14.9284 36 17.0134 42 18.6624 48 19.8464 54 20.5534 60 20.7854 66 20.5624 72 19.9194 78 18.9044 84 17.5764 90 16

=

Ex.2 – Achar os extremos da função f(x,y) = sen[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y) + 4,5]. Calculando as primeiras derivadas , tem-se: fx = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 x – 0,45) = 0 fy = cos[0,0225(x2+y2) –0,45(x+y)+4,5].(0,045 y – 0,45) = 0 Como o cos(...) é diferente de zero(para não dar uma solução nula) então quem deve ser zero são : 0,045 x – 0,45 = 0 , e 0,045 y – 0,45 = 0 , que resulta x = 10 e y =10 . Para verificar se o ponto é de máximo ou de mínimo calcula-se as segundas derivadas. fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045 fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(…). 0,045 Então, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se: fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mínimo da função.

máximo

100 75 50 25

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Substituindo os valores x = y = 10 na função f(x,y) vemos que vai dar zero, e portanto a função tem um mínimo nesse ponto. Isso é confirmado pelo gráfico tridimensional da função.

MGráfico 3D da função seno

0 5 10 15

05

1015

0.5

0

0.5

Ex.3 – Achar os extremos da função, com os mesmos valores do exemplo 2, para uma exponencial.

f(x,y) = 5,4)(45,0)(0225,0 22 ++++− yxyxe = ef(x,y)

fx = [-0,045 x + 0,45] . 5,4)(45,0)(0225,0 22 ++−+ yxyxe

fy = [-0,045 y + 0,45] . 5,4)(45,0)(0225,0 22 ++−+ yxyxe

fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y) fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y) + 0,045 . ef(x,y) No ponto x=y=10, tem-se: fxx + fyy < 0 que corresponde a um ponto de máximo, conforme pode ser verificado no gráfico da função.

Note que nos pontos x =10 e y =10, a função tem um de seus mínimos.

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MGráfico 3D da função exponencial

010

20

0

10

20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ex.4 – A temperatura T (°C) em cada ponto de um painel plano é dada pela equação T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nos pontos mais quentes e mais frios da região. fx = (∂ f / ∂x) =32x +24 ; fy = (∂ f / ∂y) = 80y Os pontos extremos são calculados para fx =0 e fy =0 , resultando x= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 .

H(x0,y0 ) = ),( 00 yxyyyx

xyxx

ffff

= )0,4/3(800

032

− > 0

H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 é um ponto de mínimo. O ponto de mínimo é (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outro

ponto na vizinhança dele, a temperatura já será maior, conforme mostra o gráfico da superfície.

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X Y, Z,Ponto de mínimo: (x,y) =(-0,75 , 0)

05

1015

2005

1015

200

100XYZ

0 1 28910111213141516171819202122

-1 1.2 49.6-1 1.6 94.4-1 2 152-0.8 -2 151.04-0.8 -1.6 93.44-0.8 -1.2 48.64-0.8 -0.8 16.64-0.8 -0.4 -2.56-0.8 0 -8.96-0.8 0.4 -2.56-0.8 0.8 16.64-0.8 1.2 48.64-0.8 1.6 93.44-0.8 2 151.04-0.6 -2 151.36

=

Ex.5 – Achar os pontos críticos da função f(x,y) =x2 + y2 –2x . Os pontos críticos de f(x,y) , são a solução do sistema: fx = 2x –2 = 0 , ou x=1 fy = 2y =0 , ou y=0 , o ponto é (x,y) =(1,0) Por outro lado, fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2

H(1,0) = yyyx

xyxx

ffff

=2002 = 4 >0

fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto é um mínimo de f(x,y). 1.14 – Máximos e mínimos (locais) de funções de várias variáveis

Seja f uma função de n variáveis x1,x2,...xn , diz-se que um ponto P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de máximo local de f(x1,x2,...xn), quando f(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinho de P0(x10,x20,...xn0).

mínimo

Escala em x = x-10Escala em y =y-10

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Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) é um ponto de mínimo local de f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinho de P0(x10,x20,...xn0).

O ponto P0 é encontrado, pela solução das equações: fx1 =0 , fx2=0 , ......., fxn = 0 (tangentes à superfície no ponto) O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de máximo ou

de mínimo, para o caso de n variáveis é dado por:

H(P0) =

)(....)()(................

)(....)()()(....)()(

000

000

000

11

12212

12111

PfPfPf

PfPfPfPfPfPf

nnnn

n

n

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

Além disso é necessário calcular os n determinantes ∆0 =1 ∆1 = )( 011

Pf xx

∆2 = )()()()(

00

00

2212

2111

PfPfPfPf

xxxx

xxxx

∆3 = )()()()()()()()()(

000

000

000

332313

322212

312111

PfPfPfPfPfPfPfPfPf

xxxxxx

xxxxxxx

xxxxxx

..................................................................

∆n =

)(....)()(................

)(....)()()(....)()(

000

000

000

11

12212

12111

PfPfPf

PfPfPfPfPfPf

nnnn

n

n

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

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Então, se:

a) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n forem todos positivos, P0 é um ponto de mínimo de f .

b) ∆0, ∆1, ∆2,...,∆n são alternadamente positivos e negativos, P0 é

um ponto de máximo de f. Ex.1 – Achar os pontos críticos da função f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 e verificar se são de máximos ou de mínimos.

H(0,0,0) = 200020002

= 8

∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 = 2002

= 4 ; ∆3 = 200020002

=8

todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) é um ponto de mínimo de f. Ex.2 – Estudar a função f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 . Os pontos críticos da função são:

fx = 2x = 0 →x =0 fy = 2y = 0 →y =0 → P0(0,0,0) ,que é o único ponto crítico fz = 2z =0 → z =0 fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0 fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0 fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2

fx = -2x = 0 →x =0 fy = -2y+4 = 0 →y =2 → P0(0,2,1) ,que é o único ponto crítico fz = -2z=2 =0 → z =1 fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0 fyx = 0 , fyy = -2 , fyz = 0 fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = - 2

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H(0,2,1) = 200

020002

−−

= - 8

∆0=1 ; ∆1= 2− = -2 ; ∆2 = 2002−

−= 4 ; ∆3 =

200020002

−−

−=-8

Os sinais dos ∆(s) são alternados, logo o ponto P0(0,2,1) é um ponto de máximo da função f. Ex.3 – Estudar os extremos da função:

f(x,y) = x3 / 3 + 2y3 / 3 – 3x2+ 10y2 + 8x + 42y + 2

O Hessiano calculado nestes pontos é H(x,y) = 2040

062−

−y

x

H(4,7) = 8002 >0 e ∆0=1 ; ∆1= 2 = 2 ; ∆2 = 80

02= 4 ;

O ponto é de mínimo.

H(4,3) =80

02−

<0 (sela)

H(2,7) =8002− < 0 (sela)

H(2,3) = 80

02−

− >0 e ∆0=1 ; ∆1= 2− = -2 ; ∆2 = 8002−

−= 16

fxx =2x-6 , fxy =0 , fyx = 0 , fyy = 4y - 20 . → existem pontos que podem ser críticos, ou seja P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3)

fx = x2 – 6x +8 = 0 → x1=4 e x2 =2 fy = 2y2 – 20y + 42 = 0 → y1=7 e y2=3

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O ponto é de máximo. Exercícios propostos: 1 - Achar os extremos da função f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 – y3/3 +1

Resp. P1(0,0) é mínimo e P4(4,6) é máximo e P2(0,6) e P3(4,0) são selas.

2 - Achar os extremos da função f(x,y)=senx + sen(y+π/2) Resp. P1(π/2,0) é máximo.

3- Achar os extremos da função f(x,y)= x3/3 + y4/4 - 25x + 27y + 1

Resp. P1(5,-3) é mínimo. 4- Achar os extremos da função f(x,y)= -x3/3 -y3/3 -2x2-3y2+4x+8y+1

Resp. P1(2,4) e P2(2,2) são de máximo.

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1.15 – Operadores especiais da física 1.15.1 - Gradiente Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e representa-se por grad f ou ∇f, a expressão:

grad f = ∇f = ixf ˆ

∂∂

+ jyf ˆ

∂∂

+ kzf ˆ

∂∂

O gradiente é um vetor e i , j , k são os vetores unitários. 1.15.2 - Divergência Denomina-se divergência de um vetor kVjViVV zyx

ˆˆˆ ++=r

, e representa-se por div V ou ∇. V , a expressão

div V = ∇. V = xVx

∂∂

+ yVy

∂+ z

Vz

∂∂

Uma aplicação de divergência é em aerodinâmica, no escoamento de um fluido, onde V = ρ v , ou seja, o produto da densidade pela velocidade então div (ρ v) representa o escoamento por unidade de volume num ponto do fluido. 1.15.3 - Rotacional O rotacional do vetor V, representado por rot V, ou ∇×V é definido por

rot V = ∇×V = ⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

∂∂

∂∂

∂∂

zyx VVVzyx

kji ˆˆˆ

= iz

Vy

V yz ˆ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂ + j

xV

zV zx ˆ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂ + k

yV

xV xy ˆ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

O rotacional em mecânica dos fluidos, mede a velocidade de rotação (Ω) do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma Ω = (1/2). rot (ρ v)

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1.16 – Integrais múltiplas As integrais múltiplas podem ser definidas ou indefinidas, ou podem ser mistas. Porém, seguem as mesmas regras das integrais simples e por isso relembremos aqui as principais fórmulas de integração simples:

∫ undx = 1

1

+

+

nu n

+ C , onde u =f(x) e

n≠ 1

=∫ u

duln u + C

∫ eudu = eu + C

∫ audu = au / lna + C

∫cosu du = senu + C

∫senu du = -cosu + C

∫ tanu du = -ln|cosu ⎢ + C

∫secu du = ln ⎢secu + tanu ⎢ + C

∫csu du = ln ⎢cscu - cotu⎢ + C

∫cotu du = ln ⎢senu ⎢ + C

∫ sec2u du = tanu + C

∫ csc2u du = - cotu + C

∫ secu tanu du = secu + C

∫ cscu cotu du = -cscu + C

∫sen2 u du = [2u - sen2u] / 4 + C

∫cos2 u du = [2u + sen2u] / 4 + C

A integral múltipla mais simples é a integral dupla para calcular a

área de uma figura plana.

x

y

dx

dy

x1 x2

f(x)

dA

A área infinitesimal dA = dx. dy é obtida integrando de x1 até x2

[ ]∫∫ ∫ ==2

1

2

1

)(0

)(

0.

x

x

xfx

x

xfdxydydxA

∫=2

1

)(x

xdxxfA

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Ex.1 Achar a área sob a função y= -2x2 + 18 , de x=0 até x=3.

A = ∫ ∫2

1

)(

0.

x

x

xfdydx = ∫

2

1

)(x

xdxxf = ∫ +−

3

0

2 )182( dxx = [ ]303

1832 xx

+−

A = - 18 + 54 = 46 (unid2) Outros exemplos de integrais são:

Ex. 2 Calcular a integral múltipla mista (definida e indefinida) ∫ ∫2x

x

xydxdy

Solução:

∫ ∫2x

x

xydxdy = dxyxx

x∫ ⎥

⎤⎢⎣

⎡2

2.

2

= dxxxx∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

22.

24

= cxx+−

812

46

Ex.3 Calcular a integral múltipla mista ∫ ∫ +x

o

dxdyyx )sen(

∫ ∫ +x

o

dxdyyx )sen( = [ ] dxyx x∫ +− 0)cos( = - ∫ − dxxx ]cos)2[cos( =

= cxx ++− sen)2sen(21

As integrais múltiplas são muito usadas para calcular integrais de volume de sólidos, conforme mostra a figura

dx dy

dz

x

y

z O volume do sólido pode ser calculado por uma integral tripla, do tipo:

∫ ∫ ∫=a b c

dxdydzV0 0 0

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1.16.1- Volume de sólidos de revolução

Um sólido de revolução se forma girando uma figura plana em

torno de uma reta fixa.

Girando o gráfico de uma função f(x) em tono do eixo x, tem-se:

Ex1: Usando o método do disco circular, calcule o volume do sólido

gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo

[1,2].

V = π12

7xdxxdx]x[dx)]x(f[

72

1

62

1

232

1

2 π∫ =π∫ =π=∫ = π7

127 (unid)3

Ex2: Achar o volume gerado pela função f(x) = 22 xa − em [-a, a]

a b x

y = f(x) r = f(x)

dV = πr2 dx dV = π[f(x)]2 dx

∫=b

a

dxxfV 2)]([π

y

Figura plana girando em x Cálculo do elemento de volume

1 2 x

y = x3

(1,1)

(2,8)

R

y

(1,1)

(2,8)

x

r

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V = πa

a3

xxadx]xa[dx]xa[dx)]x(f[3

22

1

22a

a

222a

a

2−⎥

⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−π∫ =−π∫ =−π=∫

−−

= π ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+−−

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−

3aa

3aa

33

33 = π

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+− 3

aa3

aa 3

33

3 = π ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

− 3a2a2

33

= 2πa3

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

311 =

34 πa3 que é o volume da esfera gerada.

Ex3: Calcule o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno

do eixo de y, no intervalo [0,4].

V = π04

2yydydy]y[dy)]y(g[dyr

4

0

24

0

2b

a

2b

a

2 ∫π

=π=∫π=∫π=∫ = 8π = 25,13 unid3.

Sólido (esfera) gerado pela rotação do semi-círculo

-a a x

y

y = 22 xa − = r

Semi-círculo em rotação

y 4

0 x

y = x2

Seção plana parábola girando em y

x = y

x

y

Sólido gerado pela parábola de revolução

Page 33: Funcoes de varias variaveis  calculo 2

Matemática C – prof. Wilson C. Canesin da Silva

Universidade Braz Cubas – Bacharelado em Tecnologia em Ciências Aeronáutica 49

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Calcule o gradiente da função Φ(x,y,z)= x2+2xy+z3

Resp. gradΦ = (2x+2y)i + 2xj + 3z2 k 2) Dada a função vetorial V = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k , calcule a sua divergência. Resp. div V = 6x2 + 3xz2 3) Calcule o rotacional do vetor V = x2 i + 2xy j + 5yz2 k

Resp. rot V = 5z2 i + 2y k

4) Calcular a integral ∫ ∫ +x

dxdyyx0

)( Resp. x3 / 2 = C

5) ∫ ∫a b

xydxdy0 0

Resp. a2b2 / 4

6) Integrar as expressões do centróide de uma figura plana,

transformando integral dupla em integral simples. As expressões em

integral dupla são: xc = (1/A) ∫ ∫2

1

)(

)(

x

x

xf

xg

dxdyx e yc = (1/A) ∫ ∫2

1

)(

)(

x

x

xf

xg

dxdyy

Resp. xc =(1/A). ∫ −2

1

.)]()([x

x

dxxxgxf e yc =(1/2A). ∫ −2

1

)]()([ 22x

x

dxxgxf

7) Calcular o volume gerado pela hipérbole y =1/x , girando em x e de

0,5 até 3

Resp . V = π ∫∫ ==3

5,0

23

5,0

2 ]1[)]([ dxx

dxxf π 8,34 unid3


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