Física do Calor - 23ª Aula
Prof. Alvaro Vannucci
• Na última aula vimos exemplos de como efetuar a
Permutação de um conjunto de n elementos envolvendo p
situações (p estados) possíveis.
• Por exemplo, como saber de quantas maneiras se pode
permutar 5 pessoas P1, P2, P3, P4, P5 (n = 5 elementos
indistinguíveis) em uma fila indiana com 5 lugares (p = 5)?
• Obtivemos: P5,5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = n! = 120 maneiras
• E no exemplo em que se determinou o número de anagramas
que poderia ser formado com a palavra MADEIRA (possui
5 elementos distinguíveis e 2 indistinguíveis)?
• Se fosse desconsiderado o fato que há 2 elementos indistin-
guíveis, o número total de anagramas seria: 7 · 6 · 5! = 5040 ;
• Isto porque, para se levar em conta a existência das duas
letras A, indistinguiveis, temos 7 posições disponíveis para a
primeira e 6 posições disponíveis para a segunda: 7 · 6
• Porém, o total de possibilidades não pode ser dado por
7 · 6 · 5! por conta das 2 letras A que, sendo indistinguíveis,
foram contadas duas vezes nas posições que acabam formando
o mesmo anagrama (2ª - 5ª e 5ª - 2ª posições, por ex.)
• Então, uma divisão por 2 (2!) se fez necessária, resultando:
• As outras 5 letras distintas (elementos distinguíveis) são
permutadas entre as 5 posições restantes: 5!
anagramas da palavra MADEIRA;
onde 7 · 6 · 5! = 7! !
• Supor agora 6 bolas de bilhar - numeradas de 1 a 6 - que
queremos colocar nas 6 caçapas de uma mesa de bilhar. De
quantas maneiras podemos fazer isto?
• Pelo que já vimos, teremos 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6!
• Agora, o que mudaria se tirássemos a bola de número 6 da
mesa e a substituíssemos por uma outra bola número 5?
• Como as 2 bolas (no 5) são agora indistinguíveis, caimos no
exemplo já discutido, e uma divisão por 2! se faz necessária!
• E se tirássemos também a bola de número 4 da mesa e a
substituíssemos por uma outra bola número 5? Teríamos agora
3 elementos distinguíveis e 3 elementos indistinguíveis.
• Observe que as 3 bolas indistinguíveis (todas de número 5)
resulta em 3! = 3 · 2 · 1 situações idênticas, que devem ser
diminuídas do número total, supondo todas distinguíveis.
• Ou seja, teríamos 6!/3! possibilidades (resultados finais
distintos). De forma mais geral, podemos escrever:
• Ou seja, teremos possibilidades !2
!6
2
!6!4
2
56
!
!,
p
nC pn
; onde n é o número total de elementos e
p o número de elementos indistinguíveis
• Finalmente, supor que na mesa de bilhar se tenha 6 bolas
número 5, e 4 bolas número 2.
• Neste caso, a combinação resulta:
• Este tipo de aplicação, que envolve a combinação de objetos
indistinguíveis separados em dois grupos (p e n-p), nos será
particularmente útil no campo da Mecânica Estatística.
• Isto porque será aplicado nas situações em que temos um
certo número n de objetos indistinguíveis (partículas) que
desejaremos alocar de uma certa maneira (em p estados
disponíveis).
• De forma que a expressão geral
das possíveis Combinações será: )!(!
!,
pnp
nC n
pnp
!4!6
!10
)!610(!6
!10
Ex.: Dez acidentados de um ônibus chegam em um hospital e
é preciso escolher 5 para ocupar os leitos (os outros ficariam
em macas, no corredor do hospital). De quantas formas
poderíamos escolher 5 pessoas para ficarem nos leitos?
• Veja que o problema trata-se de escolher as combinações
onde n = 10 (número de ‘elementos disponíveis’) e p = 5
(número de ‘elementos a serem escolhidos’).
• Aplicando a expressão anterior:
)!510(!5
!1010
5
C)!5(2345
!5678910
120
30240 252
)!(!
!
pnp
nC n
p
• Há, então, 252 formas de escolher as 5 pessoas que irão
ocupar os 5 leitos.
Outro ex.: Supor que em uma empresa 15 funcionários se
inscreveram para o time de futebol da casa, dizendo que
aceitam jogar em qualquer posição. De quantas formas é
possível escolher os 11 jogadores do time?
• Sendo n = 15 e p =11:
• Notação: muitas vezes encontramos
)!1115(!11
!1515
11
C234!11
!1112131415
24
32760 1365
pn
n
pnp
n
p
n
)!(!
!
)!(!
!
pnp
nC n
p
Cálculo de PROBABILIDADE
• Sabemos que lançando uma moeda para o alto, a probabi-
lidade de dar ‘cara’ ou ‘coroa’ é de 50% (ou ½ = 0,5).
• Tendo lançado a moeda 3 vêzes consecutivamente, e nas três
vezes saiu “cara”, qual é a probabilidade de, no lançamento
seguinte, sair novamente cara?
• São questões diferentes! Resps: ½ e ½ · ½ · ½ · ½ = 1/16
• “Reformulando” a pergunta: vou lançar uma moeda 4 vêzes,
consecutivamente. Qual é a probabilidade de sair ‘cara’ em
todos os lançamentos?
• Ou seja, quando dizemos que a probabilidade é ½ (50%)
isso não significa que, a cada 2 lançamentos, um vai ser ‘cara’
e o outro vai ser ‘coroa’. O fato da probabilidade ser ½ (ou
50%) quer dizer apenas que as chances são iguais e que, se
fizermos muitos lançamentos, é provável que, aproximada-
mente, metade deles dê ‘cara’, e a outra metade ‘coroa’.
• De forma geral, o cálculo da probabilidade de ocorrer um
resultado (ou um conjunto de resultados) que satisfaça uma
condição ou exigência E, é feito utilizando a expressão:
Ex.: No lançamento de um dado, qual a probabilidade do
resultado ser um número par?
• Para que o resultado seja par devemos ter uma das possibi-
lidades:
• Ou seja, 3 resultados favoráveis (2, 4, 6) de um total de 6
resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6). As chances de dar um
resultado par são 3 num total de 6. Então, podemos dizer que a
probabilidade de isso acontecer é 3/6 = 1/2 .
• Utilizando a expressão anterior:
1ª) Se p indicar a probabilidade de um dado evento ocorrer,
entao q = 1- p indicará a probabilidade dele não ocorrer, de
forma que p + q = 1 (normalização).
2ª) O cálculo de probabilidade que evento A ou evento B
(independentes) ocorram, é dado por: P = P(A) + P(B)
• Considerações importantes:
3ª) O cálculo de probabilidade que evento A e evento B
(independentes) ocorram, é dado por: P = P(A) · P(B)
Ex. Uma empresa tem 30 funcionários, sendo que 10 são
canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho. Qual a
probabilidade de um desses empregados, escolhido ao acaso,
ser canhoto e vá de ônibus para o trabalho?
Ex. Uma caixa contém 10 bolas sendo que 3 são azuis e 3 são
vermelhas. Qual é a probabilidade de se tirar uma bola azul ou
vermelha em uma tentativa?
• As bolas com estas cores são 3+3 (=6) em 10. Desta forma, a
probabilidade de se tirar uma delas será 6/10 = 3/5 , ou 60%
• Calculando: P = P(A) · P(B) = 10/30 · 25/30 = 5/18 = 27,8%
• Ou então: P(A) = 3/10 e P(B) = 3/10. Portanto, para tirar
uma OU outra: P = 3/10 + 3/10 = 60%.
Probabilidade Binomial
• Um Experimento Estatístico possui 3 aspectos em comum:
• Uma distribuição binomial descreve adequadamente
Experimentos Estatísticos que possuem as seguintes
características:
• Possui mais de um resultado (‘cara’ ou ‘coroa’, por ex.).
• Cada resultado possível pode ser especificado com
antecedência (‘cara’ ou ‘coroa’).
• Cada resultado possui uma probabilidade específica dele
ocorrer - ou não (probabilidade ½, no caso de cara ou coroa)
• Pergunta: qual é a diferença entre lançarmos uma moeda ao
ar 10 vezes repetidamente e lançarmos 10 moedas idênticas
(indistinguíveis) simultaneamente?
• O experimento é realizado em n repetidas tentativas.
• Cada tentativa realizada fornece um de apenas dois
resultados possíveis - que estaremos designando por
sucesso (p) ou fracasso (q = 1- p).
• A probabilidade de sucesso (p) mantém-se a mesma
durante todo o experimento.
• Cada nova tentativa é independente das tentativas
realizadas anteriormente.
• Discutiremos posteriormente o conceito de ensemble, mas
quanto a esta questão:
Supor uma moeda sendo lançada 5 vezes seguidas, de forma
independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?
X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O
X O X O
X O
1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma
independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?
X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O
X O X O
X O
1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma
independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?
X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O
X O X O
X O
1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma
independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?
X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O
X O X O
X O
1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma
independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?
X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O
X O X O
X O
1 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma
independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?
X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O
X O X O
X O
1 1 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma
independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?
X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O
X O X O
X O
1 1 1 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma
independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?
X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O
X O X O
X O
1 1 1 1 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma
independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?
X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O
X O X O
X O
1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ex. Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas, de forma
independente. Qual a probabilidade de serem obtidas 3 caras?
X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O X O X O X O X O
X O X O X O X O
X O X O
X O
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 possiveis
sucessosP
32
10
Em termos de uma tabela:
• A expressão usualmente utilizada para cálculos de
probabilidade como este é a da Probabilidade Binomial , ou
Distribuição Binomial, dada por:
XXXOO XXOXO XXOOX XOXXO XOXOX
• Que corresponde à probabilidade (P) de se obter sucesso (p)
k vezes em n tentativas.
XOOXX OXXXO OXXOX OXOXX OOXXX
knk
kn qpknk
nP
)!(!
!,
• No ex. da moeda cair ‘cara’ 3 vêzes em 5 lançamentos,
tem-se: n = 5 ; k = 3; p = ½ e q = 1 - ½ = ½; e portanto:
• Ex. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes.
Encontre a probabilidade do time A ganhar 4 jogos (g,p,e) .
353
3,52
1
2
1
)!35(!3
!5
P
4
1
8
1
!2!3
!345
16
5
• Agora temos: n = 6 ; k = 4; p = 1/3 e q = 1 - 1/3 = 2/3 :
464
4,63
2
3
1
)!46(!4
!6
P
9
4
81
1
2!4
!456
243
20
%3,31; ou
%2,8ou
knk
kn qpknk
nP
)!(!
!,
• Note que neste problema temos n=5 ; k=(0,1,2,3,4,5) ; p=0,3
Utilizando Tabelas e Gráficos
• Calculando para k = 0 :
• Um lote de peças automotivas foi produzido pela fábrica com
30% delas defeituosas. Escolhendo aleatoriamente 5 peças
para teste: a) quais as probabilidades de se retirar(em) 0, 1, 2,
3, 4 e 5 peça(s) defeituosa(s)? b) construa um gráfico da
distribuição de probabilidade correspondente.
050
0,5 7,03,0)!05(!0
!5
P 168,01
!5
!5 168,0
• Igualmente: P5,1 = 0,360, P5,2 = 0,309, P5,3 = 0,132, P5,4 = 0,028,
e P5,5= 0,002
knk
kn qpknk
nP
)!(!
!,
b) Construindo o gráfico correspondente:
0 1 2 3 4 5
Peças Defeituosas (em 5 tentativas)
• Você esperava esta assimetria no formato? E se a
probabilidade fosse ½ = 0,5 ?