Download - Fourier Revisão 05
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1
ELETRNICA DE POTNCIA
CIRCUITOS COM FORMAS DE
ONDAS PERIDICAS NO SENOIDAIS
APLICAO DA SRIE DE FOURIER (REVISO)
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2005
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2
CIRCUITOS COM FORMAS DE ONDA PERIDICAS NO SENOIDAIS
SRIE DE FOURIER (REVISO)
1. FUNES PERIDICAS
Uma funo f(t) peridica se:
f(t+T) = f(t) para -< t < . [1]
Figura 1- Funes Peridicas
O menor T que satisfaz a equao [1] chamado de perodo de f(t).
A equao [1] implica que
f(t + n.T) = f(t); t no intervalo -< t < t; sendo n inteiro.
As funes peridicas so completamente especificadas por seus valores em qualquer perodo.
Seja fT(t) = f(t).[u(t-t0) u(t-t0-T)] [2]
Onde u(t) o degrau unitrio
Ento ( )
=
+=n
T Tntftf .)( [3]
A funo fT(t) chamada de gerador de f(t).
T
T
t t+T t
f(t)
T
f(t)
tt t+T
f(t) = f(t+T)
-
3
Funes peridicas possuem propriedades de simetria que facilitam sua anlise.
Funo par uma funo peridica que f(-t) = f(t).
Figura 2 - Funo par Quando a funo par ela possui simetria com relao ao eixo das ordenadas (eixo y).
Funo mpar uma funo peridica que f(-t) = -f(t).
Figura 3 - Funo mpar Quando a funo mpar ela possui simetria com relao origem.
Das figuras 2 e 3 acima verifica-se que:
( )[ ] ( )
( )[ ] ( ) mpar funo uma .sen..sen.
par funo uma .cos..cos.
tAtA
tAtA
=
=
Soma de funes pares resultam em uma funo par:
( ) ( ) ( )tgKtfKth ppp .. 21 += , onde K1 e K2 so escalares, fp, gp e hp so funes pares.
tt
t
f((((t)
A
A.cos(t)
tt
t
f((((t)
A
A.sen(t)
A1
-A1
-
4
Soma de funes mpares resultam em uma funo mpar:
( ) ( ) ( )tgKtfKth iii .. 21 += , onde K1 e K2 so escalares, fi, gi e hi so funes mpares.
Produto de funes pares resultam em uma funo par:
( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ppp = , onde K1 e K2 so escalares, fp, gp e hp so funes pares.
Produto de funes mpares resultam em uma funo mpar:
( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth iii = , onde K1 e K2 so escalares, fi, gi e hi so funes mpares.
Produto de funes pares por funes mpares resultam em uma funo mpar:
( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ipi = , onde K1 e K2 so escalares, fi uma funo par, e gi e hi so funes mpares.
Qualquer funo peridica f(t) pode ser expressa como sendo a soma de uma funo par com uma funo mpar.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [4c]
[4b] 2
[4a] 2
tftftf
tftftf
tftftf
ip
i
p
=+
=
+=
Definies importantes:
Valor mdio ou mdia de uma funo peridica f(t):
+
=
Tt
tmdiodttf
Tf 0
0).(1 [5]
Valor mdio quadrado de uma funo peridica f(t) ( chamado de potncia mdia em f(t)):
+
=
Tt
tmdio dttf
Tf 0
0.)(1 22 [6]
Raiz quadrada do valor mdio quadrado, ou valor rms de uma funo peridica f(t):
+
==
Tt
tmdiorms dttfTff
0
0.)(1 22 [7]
-
5
2. SRIE TRIGONOMTRICA DE FOURIER
Se uma funo peridica f(t) obedece s condies de Dirichlet, ento a funo pode ser representada pela srie trigonomtrica de Fourier. bom ressaltar que as condies de Dirichlet so suficientes, mas no necessrias, pois existem funes peridicas que no obedecem a estas condies, e, no entanto possuem srie de Fourier. As condies de Dirichlet so:
1. f(t) contnua por partes 2. f(t) possui um nmero de mximos e mnimos finitos em qualquer intervalo
finito. 3. f(t) absolutamente integrvel sobre um perodo, isto : ( )
-
6
Figura 4
( ) ( )
=+=
==
++=
=
n
n
nnnn
n
nn
a
bbac
tfac
tncctf
arctan
)( de mdio valor 2/
.cos.
22
00
10
[10]
ou
( ) ( )
=+=
==
++=
=
n
n
nnnn
n
nn
babac
tfac
tncctf
arctan
)( de mdio valor 2/
.sen.
22
00
10
[11]
3. INFLUNCIA DA SIMETRIA SOBRE OS COEFICIENTES DE FOURIER 3.1. SIMETRIA PAR
Funes peridicas com simetria par so do tipo ( ) ( )tftf = .
Para as funes peridicas com simetria par, as equaes usadas para calcular os coefi-cientes da srie de Fourier se reduzem a:
( )tnan .cos. ( )tnsenbn ..
( ) ( )tnsenbtna nn ..cos. + nn
an
bn
cn
-
7
( )
( ) ( )
... 3, 2, 1, 0
... 3, 2, 1, ...cos.4
.
2
2/
0
2/
00
==
==
=
kb
kdttktfT
a
dttfT
a
k
T
k
T
[12]
Observe que as funes peridicas com simetria par, no possuem termos em seno.
3.2. SIMETRIA MPAR
Funes peridicas com simetria mpar so do tipo ( ) ( )tftf = .
Para as funes peridicas com simetria mpar, as equaes usadas para calcular os coe-ficientes da srie de Fourier se reduzem a:
( ) ( ) ... 3, 2, 1, ... 3, 2, 1, ...sen.4
... 3, 2, 1, 0
0
2/
0
0
===
==
=
kkdttktfTb
ka
a
T
k
k
[13]
Observe que as funes peridicas com simetria mpar, no possuem termos em cosse-no, e seu valor mdio nulo.
3.3. SIMETRIA DE MEIA ONDA
Funes peridicas com simetria de meia-onda so do tipo ( ) ( ) ( )22 TtfTtftf =+= .
Figura 5 - Simetria de meia onda
T/2
t
t+(T/2)
A
-A
T
t
f(t)
-
8
Para as funes peridicas com simetria de meia-onda, as equaes usadas para calcular os coeficientes da srie de Fourier se reduzem a:
( ) ( )
( ) ( ) mpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.4
par) ( ... 6, 4, 2, 0
mpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.4
par) ( ... 6, 4, 2, 0
0
2/
0
2/
0
0
kkdttktfT
b
kkb
kkdttktfT
a
kka
a
T
k
k
T
k
k
==
==
==
==
=
[14]
Observe que as funes peridicas com simetria de meia-onda, s possuem termos m-pares, e seu valor mdio nulo.
3.4. SIMETRIA DE QUARTO DE ONDA
Funes peridicas com simetria de quarto de onda so funes que possuem simetria de meia-onda e, alm disso, simetria em relao ao ponto mdio dos semiciclos positivo e negativo. Quando uma funo possui simetria de quarto de onda, sempre possvel torn-la com simetria par ou mpar.
Figura 6 - (a) simetria de quarto de onda par (b) simetria de quarto de onda mpar
t
f(t)
t
f(t)(a)
(b)
-
9
Para as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, as equa-es usadas para calcular os coeficientes da srie de Fourier se reduzem a:
( ) ( )
)(qualquer ... 3, 2, 1, 0
mpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.8
)par ( ... 6 4, 2, 0
0
4/
0
0
kkb
kkdttktfT
a
kka
a
k
T
k
k
==
==
==
=
[15]
Observe que as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, s possuem termos mpares em cosseno, e seu valor mdio nulo.
Para as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria mpar, as e-quaes usadas para calcular os coeficientes da srie de Fourier se reduzem a:
( ) ( ) mpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.8
)par ( ... 6 4, 2, 0
) (todo ... 3, 2, 1, 0
0
4/
0
0
kkdttktfT
b
kkb
kka
a
T
k
k
k
==
==
==
=
[16]
Observe que as funes peridicas com simetria de quarto de onda, com simetria mpar, s possuem termos mpares em seno, e seu valor mdio nulo.
Exemplo 1 Calcular os coeficientes a1 e b1 da srie de Fourier da senide recortada de amplitude A como mostra a figura 7 abaixo.
Figura 7
seno
f(t)
t
2pi
A
-
10
Soluo: Das relaes [9b] vem que:
Exemplo 2 Calcular a srie de Fourier do trem de pulsos de amplitude A e perodo T da figura 8 a seguir.
Figura 8
Soluo: Das relaes [9a] vem que:
Portanto, escrevendo f(t) em termos dos coeficientes an e bn vem que:
)](sen)([sen2
)()cos()sen(.1)()cos()(1 222
01
pi
pi
pi
pi
============ A
tdttAtdttfa
(((( ))))
++++============ 2
)2sen()2sen(2
)()sen()sen()()sen()(12
01
pi
pi
pi
pi AtdttAtdttfb
T
T1
A
t
f(t)
)]1[sen(.
2)cos(.2)cos()(21
0
0
0
TnTnAdttnA
Tdttntf
Ta
TTt
tn ===
+
)]1cos(1[.
2)sen(.2)sen()(21
0
0
0
TnTnAdttnA
Tdttntf
Tb
TTt
tn ===
+
TTAdtA
Tdttf
Ta
TTt
t
1..
1).(12
1
0
00
0 ===
+
[ ]
=
++=1
)sen()]1cos(1[)cos()1sen(.
22
1.)(n
tnTntnTnTnATA
tf
-
11
4. A SRIE DE FOURIER, O PRINCPIO DA SUPERPOSIO E O CLCU-LO FASORIAL.
O principal conceito que se pode inferir da srie de Fourier trigonomtrica aplicada na anlise de circuitos lineares que possuem geradores de tenso e/ou corrente com formas de ondas peridicas no senoidais, caracteriza-se pelos seguintes pontos:
a) O gerador de forma de onda no senoidal pode ser substitudo por uma soma de geradores senoidais com amplitudes e freqncias dos respectivos harmnicos da srie de Fourier de sua forma de onda peridica, alm de um gerador constan-te (corrente contnua) com amplitude correspondente ao valor mdio da forma de onda.
b) Se o circuito for linear pode-se aplicar o princpio da superposio, isto , a res-posta do circuito a soma das respostas de cada termo (a cada gerador) da srie de Fourier.
c) Se estivermos interessados apenas na resposta no regime permanente, pode-se utilizar a anlise fasorial para se encontrar as respostas de cada termo (de cada gerador) senoidal (e/ou cossenoidal) da srie de Fourier. Neste caso, facilita-se o trabalho se a srie estiver escrita em sua forma compacta, isto , ou somente em termos de seno ou de cosseno (ver item 2).
Figura 8 - Ilustrao do Princpio da Superposio
REDE REDE
0000REDE
i0(t)
1111REDE
i1(t)
nREDE
in(t)
i(t)
i(t)
Fonte Original Fontes Equivalentes Superposio
=
=0n(t)nii(t)
-
12
Vf(t)Vf
on
te =
Vc
arga
R
L VL
VR
i
t0 2pipipipipi/2pi/2pi/2pi/2 pipipipi
300Cosseno
Exemplo 3 Suponha um gerador de onda quadrada, de amplitude A e freqncia f Hertz (ou =2pi.f rad/s) alimentado uma carga RL, conforme a figura 9 abaixo. Deseja-se determinar a corrente de regime permanente do circuito.
Figura 9 - Circuito RL srie
A srie de Fourier da funo vf(t), com forma de onda quadrada, dada por:
( ) ( ) mpar .sen41
nn
tnAtv
n
f
=
=
pi
A soluo ser dada pela srie de Fourier da corrente, onde cada harmnico de corrente pode ser calculado a partir de cada harmnico de tenso, dividindo-se o fasor tenso pela impedncia calculada na freqncia do respectivo harmnico. O fasor corrente de cada harmnico dado por:
( )( ) ( )RLnLnR
nA
Z
VI
nn
nn
nn.arctan.
0.4
22
0
pi
+
==
Portanto a corrente do circuito dada pela seguinte srie de Fourier:
(((( )))) (((( ))))(((( ))))(((( ))))RLntnLnRn
Ati .arctan.sen
..
1422
pi
++++====
Exemplo 4 A onda de tenso da figura a seguir aplicada a um circuito srie RL com R igual a 2000 e L igual a 10 H. Achar a tenso no resistor empregando a srie trigo-nomtrica de Fourier.
Figura 10 - Forma da tenso produzida por um retificador de
meia onda.
-
13
Soluo: A onda aplicada possui simetria par, portanto, contm apenas termos em cos-seno, cujo os coeficientes so obtidos pela integrao:
cos(npi/2) -1 quando n = 2, 6, 10, ... +1 quando n = 4, 8, 12, ... cos(npi/2) 0 quando n mpar
Para n igual a 1 a expresso indeterminada e deve ser calculada separadamente.
O valor de a0/2, que o valor mdio da funo dado por:
Assim, a srie de Fourier da onda de tenso aplicada ao circuito RL srie dada por:
A impedncia total do circuito srie Z = R + j(n.L) e deve ser calculada para cada harmnico na expresso da tenso v. Os resultados so mostrados na tabela abaixo.
n n. R n.L |Z| 0 1 2 4 6
0 377 754
1508 2262
2k 2k 2k 2k 2k
0 3,77k 7,54k
15,08k 22,62k
2k 4,26k 7,78k 15,2k 22,6k
0o 62o
75,1o 82,45o 84,92o
Calculando-se os coeficientes para a srie da corrente (observando os ngulos de atra-so), temos:
n = 0 k
I2
/3000
pi=
n = 1 )62cos(26,4
2/3001
o= t
kI
( ) ( ) ( ) ( )2/cos)1(
600..cos.cos.3001 2
2/
2/pi
pi
pi
pi
pi
nn
tdtntan
==
( ) ( )2
3002
)2sen(2
300.cos.3001
2/
2/
2/
2/
21 =
+==
pi
pi
pi
pi
pi
pi
tttdta
[ ]pi
=pi
=pi
= pi
pi
pi
pi
3002
30030021
2
2
2
22
0/
/
//)tsen()t(d).tcos(.
a
+++= ...)6cos(352)4cos(
152)2cos(
32)cos(
21300 ttttv pi
pi
-
14
n = 2 )1,752cos(78,7
3/6002
o= t
kI pi etc
A srie da corrente , ento:
Fazendo-se o produto da corrente i pelo resistor de 2k vem que a tenso no resistor :
VALOR MDIO E RMS DE UMA FUNO PERIDICA
4.1. VALOR MDIO
O valor mdio de uma funo peridica, conforme j visto, dado pela equao abaixo:
+
==
Tt
tmdiodttf
TFf 0
0).(10 [17]
Representando-se f(t) por sua expanso em srie de Fourier, tem-se:
( )2
...sen.1 0
01
000
0
acdttncc
TF
Tt
tn
nn ==
++=
+
=
[18]
4.2. VALOR RMS
O valor mdio de uma funo peridica, conforme j visto, dado pela equao abaixo:
+
==
Tt
tRRMSdttf
TFf 0
0.)(1 2 [19]
Representando-se f(t) por sua expanso em srie de Fourier, tem-se:
( ) dttnccT
FTt
tn
nnR ...sen.1
2
10
0
0 +
=
++= [20]
A integrao, em um perodo, de termos em seno, ou produtos de termos em seno com freqncias distintas nula. Portanto, a equao anterior se reduz a:
...)92,846cos()6,22(35600
)45,824cos()2,15(15600)1,752cos()78,7(3
600)62cos(26,4)2(
3002300
+
+++=
o
ooo
tk
tk
tk
tkk
i
pi
pi
pi
pi
...)92,846cos(483,0)45,824cos(67,1)1,752cos(4,16)62cos(4,705,95
++++
++++++++++++====o
ooo
t
tttvR
-
15
=
=
+=
+=
1
220
1
220 22
..
1n
n
n
n
Rc
cc
TTcT
F [21]
Observa-se, portanto, que o valor rms consiste na raiz quadrada da soma dos quadrados dos valores rms dos harmnicos individuais mais o quadrado do valor mdio da funo peridica.
5. ONDULAO E FATOR DE ONDULAO DE TENSES E CORRENTES PERIDICAS NO SENOIDAIS.
Considere um dipolo de um circuito linear a parmetros concentrados som uma tenso e corrente peridicas no senoidais, descritas pelas sries de Fourier abaixo:
( )
( )
=
=
++=
++=
1
1
.sen
.sen
n
inpnDC
n
vnpnDC
tnIIi
tnVVv
[22]
onde: VDC valor da componente contnua da tenso (valor mdio da tenso) Vpn amplitude do harmnico de ordem n da tenso (valor de pico) vn ngulo de fase do harmnico de ordem n da tenso IDC valor da componente contnua da corrente (valor mdio da corrente) Ipn amplitude do harmnico de ordem n da corrente (valor de pico) in ngulo de fase do harmnico de ordem n da corrente
A partir dos resultados do item 5.2, pode-se determinar os valores rms (eficazes) da ten-so e da corrente atravs das equaes abaixo:
=
=
+=
+=
1
22
1
22
n
nDCR
n
nDCR
III
VVV
[23]
onde: 2pnn VV = o valor rms (eficaz) do harmnico de ordem n da tenso 2pnn II = o valor rms (eficaz) do harmnico de ordem n da corrente
Os somatrios dentro das equaes [23], referem-se soma dos quadrados dos valores rms (eficazes) dos componentes harmnicos da tenso e da corrente. Como os compo-nentes harmnicos so senides e, portanto possuem mdias nulas, as somatrias refe-rem-se, portanto, ao quadrado do valor rms da componente CA das formas de onda,
-
16
denominada de ondulao. As componentes CA (ou de ondulao) da tenso e da cor-rente so, portanto, definidas pelas equaes a seguir:
22
1
2
22
1
2
DCRn
nCA
DCRn
nCA
IIII
VVVV
==
==
=
=
[24]
A partir das equaes [24], define-se os fatores de ondulao da tenso e da corrente, conforme as equaes abaixo:
%100% spercentuai valores em ou,
%100% spercentuai valores em ou,
========
========
iiDC
CAi
vv
DC
CAv
rrII
r
rrVV
r
[25]
onde: rv fator de ondulao de tenso, e ri o fator de ondulao de corrente.
Observe que para uma tenso (ou corrente) com forma de onda puramente alternada, o fator de ondulao infinito, e para uma tenso (ou corrente) com forma de onda cons-tante, o fator de ondulao nulo.
6. POTNCIA E FATOR DE POTNCIA EM CIRCUITOS LINEARES COM CORRENTES E TENSES PERIDICAS NO SENOIDAIS.
Considere um dipolo de um circuito linear a parmetros concentrados som uma tenso e corrente peridicas no senoidais, descritas pelas sries de Fourier das equaes [22].
A potncia instantnea nos terminais deste dipolo ser dada pelo produto v.i. A potncia mdia (ou eficaz) deste dipolo ser, portanto:
( ) ( )
+
=
=
++
++
++=
==
Tt
tn
inpnDCn
vnpnDC
Tt
t
Tt
t
dttnIItnVVT
P
dtivT
dtpT
P
0
0
0
0
0
0
11.sen..sen
1
..
1.
1
[26]
Tendo em vista que os termos em seno e os termos com produto de senos de freqncias distintas possuem integraes nulas em um perodo, tem-se o seguinte resultado para a equao anterior:
-
17
( ) ( )
onde cos..
cos..cos2.
.
1
11
invnnnn
nnDCDC
invnn
nnDCDCinvnn
pnpnDCDC
IVIVP
IVIVIV
IVP
=+=
+=+=
=
=
=
[27]
A equao [26] mostra que a potncia mdia (eficaz) total a soma das potncias m-dias obtidas a partir da interao de correntes e tenses com a mesma freqncia; cor-rentes e tenses com freqncias diferentes no interagem para produzir potncia mdia (eficaz).
Da mesma forma que definida para circuitos com tenses e correntes senoidais, defi-ne-se tambm a potncia aparente para circuitos com tenses e correntes peridicas no senoidais como sendo o produto da tenso rms (eficaz), com a corrente rms (eficaz), conforme a equao abaixo:
=
=
++==1
22
1
22
n
nDCn
nDCRR IIVVIVS [28]
Convm chamar ateno aqui que o termo potncia eficaz, refere-se potncia mdia, isto , o valor mdio da potncia instantnea, ao passo que os termos tenso e corrente eficazes referem-se aos valores rms da tenso e da corrente.
A partir das equaes [27] e [28], determina-se o fator de potncia, que definido como sendo a relao entre a potncia mdia (eficaz) e a potncia aparente, conforme a equa-o abaixo:
=
=
=
++
+
=
==
1
22
1
22
1cos..
.
n
nDCn
nDC
n
n
nnDCDC
RR
IIVV
IVIVfp
IVP
SPfp
[29]
Observe da equao [29], que quando as formas de onda de corrente e tenso no so senoidais, o fator de potncia no pode ser igualado a cos(), onde o ngulo da im-pedncia do circuito.
6.1. POTNCIA E FATOR DE POTNCIA QUANDO UMA DAS FORMAS DE ONDA (TENSO OU CORRENTE) FOR SENOIDAL.
muito comum em circuitos de eletrnica de potncia ocorrer que uma da formas de onda, geralmente a tenso, de um determinado dipolo seja senoidal, enquanto que a cor-rente do mesmo peridica, mas no senoidal. Neste caso, as equaes dos itens anteri-ores podem ser simplificadas conforme apresentado a seguir.
-
18
Seja um dipolo, cujas formas de onda de tenso e corrente possam ser representadas pelas equaes abaixo:
( )
( )
=
++=
+=
1
11
.sen
.sen
n
inpnDC
vp
tnIIi
tVv
[30]
Ento, o clculo da potncia mdia (equaes [26] e [27]) se reduz a:
111 cos. IVP = [31]
Logo, pode-se observar que apenas o componente de primeiro harmnico da corrente responsvel pela potncia mdia (eficaz). Os demais componentes, tanto o DC, quanto os harmnicos no produzem potncia mdia.
A potncia aparente do dipolo ser dada ento por:
=
+==1
2211
n
nR IIVIVS DC [32]
O fator de potncia, neste caso, determinado pela equao abaixo:
( ) ( )
( )senoidais correntes para 11
coscoscos.
1
22
1
1
1
22
11
1
111
=
+
=
=
+
=
==
=
=
n
n
n
n
R
II
I
II
IIV
IVSPfp
DC
DC
[33]
Quando a forma de onda da corrente possuir componente DC (mdio) nulo, as equaes da potncia aparente e do fator de potncia podem ser reescritas conforme a seguir:
( ) ( )
Harmnico Distoro de Fator :FDH 1
coscoscos.
1
2
1
1
1
2
11
1
111
1
211
=
==
==
==
=
=
=
n
n
n
n
R
n
nR
I
IFDH
FDH
I
IIV
IVSPfp
IVIVS
[34]
-
19
Pode-se, ento, desenvolver-se a expresso da potncia aparente.
( ) 2212
221
211
2. DSIVIVS
n
n +=
+=
=
[35]
onde: S1 a potncia aparente de primeiro harmnico D denominada de potncia de distoro harmnico
A potncia aparente S1 a potncia aparente para formas de onda senoidais e pode ser escrita em termos da potncia mdia (ativa ou eficaz) e da potncia reativa, ambas de primeiro harmnico.
( )
( )1111
1111
21
21
21
sen.
cos.
IVQ
IVP
QPS
=
=
+=
[36]
Logo, a equao [35] pode ser reescrita conforme a equao [37], mostrando que a po-tncia aparente total composta de um componente de potncia ativa, devido ao primei-ro harmnico, um componente de potncia reativa devido ao primeiro harmnico, e um componente de distoro harmnica, devidos aos demais harmnicos de corrente.
221
21
2 DQPS ++= [37]
A equao [37] define um tetraedro de potncias, ao invs de um tringulo de potncias como o caso de circuitos com formas de onda puramente senoidais.
D
S
S1
P1
Q1
-
20
A
-A
t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pi
A
t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi
A
-A
t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi
Srie de Fourier de algumas formas de onda
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
++++++++++++++++==== ...t)(t)(t)(t(
pi
Atf 7sen
715sen
513sen
31)sen4)(
++++++++++++++++++++==== ...)7cos(2)7(
1)5cos(2)5(1)3cos(2)3(
1)cos(24
2)( ttttAAtf
pi
++++++++++++==== ...)5sen(
51)4sen(
41)3sen(
31)2sen(
21)sen(2)( tttttAtf
pi
-
21
A
t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi
meio ciclode senide
A
t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi2pi2pi2pi2pi 3pi3pi3pi3pi
2
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
A
t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi
meio ciclode senide
++++==== ...)8cos(97
2)6cos(75
2)4cos(53
2)2cos(31
2)sen(2
1)( tttttAtf pipi
++++
++++
==== ...)8cos(97
2)6cos(75
2)4cos(53
2)2cos(31
212)( ttttAtf pi
++++++++==== ...
44cos4sen
33cos3sen
22cos2sen
1cossen22)(
pipi
AAtf
-
22
A
t0 2pi2pi2pi2pi2pi2pi2pi2pi4pi4pi4pi4pi
-------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------
A
t0 2pi2pi2pi2pi2pi2pi2pi2pi 4pi4pi4pi4pi
++++++++++++++++++++==== )...5sen(
51)4sen(
41)3sen(
31)2sen(
21)sen(
2)( tttttAAtf
pi
++++++++++++++++==== )...5sen(
51)4sen(
41)3sen(
31)2sen(
21)sen(
2)( tttttAAtf
pi
A
t0
pipipipi
2pi2pi2pi2pipipipipi
2pi2pi2pi2pi
-A
++++++++++++++++++++
++++
++++++++++++++++++++====
)...11sen(111)9sen(
91)7cos(
71)5cos(
51)3cos(
31)sen(2
...)9sen(2)9(1)7cos(2)7(
1)5cos(2)5(1)3cos(2)3(
1)cos(24)(
ttttttA
tttttA
tf
pi
pi
-
23
(pi+) / 2(pi+) / 2(pi+) / 2(pi+) / 2
A
t0 pipipipi 2pi2pi2pi2pipipipipi
-A
(pi) / 2(pi) / 2(pi) / 2(pi) / 2
-------------------------------------------------------------------------
A
t0 pipipipi
2pi2pi2pi2pipipipipi
2pi2pi2pi2pi
-A
senide
[[[[ ]]]]
====++++
++++++++++++
++++
++++
====++++
++++++++++++
++++
++++
++++++++++++====
2).sen(
)1(])1sen[(])1sen[(
)1(])1sen[(])1sen[(
2
2).cos(
)1(])1cos[(])1cos[(
)1(])1cos[(])1cos[(
2
)sen(2
)2sen()2sen()(2
)cos()(2sen)(2sen2
)cos()cos(2
)(
n
tnn
nn
n
nnA
n
tnn
nn
n
nnA
tA
tAA
tf
pi
pi
pi
pi
pi
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
++++
++++
++++
++++
==== ...7sen2
7sen5sen2
5sen3sen2
3sensen2sen
4)( ttttn
Atf
pi
-
24
Forma de onda de um inversor trifsico (Seis pulsos - 3 semicondutores em conduo simultnea)
Srie de Fourier
Forma de onda de um inversor trifsico (Seis pulsos - 2 semicondutores em conduo simultnea)
V
pipipipi2pi2pi2pi2pi
3pi3pi3pi3pi 4pi4pi4pi4pi
-V
t
2V/3V/3
-2V/3-V/3
ABV
ACV
CAV
ANV
BNV
CNV
++++
====
====6
sen6
cos4
1
pi
pi
pitn
n
n
V
nABV
(((( ))))tnnn
V
n
pi
pisen
6cos
34
1
====
====
ANV
-
25
Srie de Fourier
V
pipipipi2pi2pi2pi2pi
3pi3pi3pi3pi 4pi4pi4pi4pi
-V
t
V/2
ABV
ANV
BNV
CNV
-V/2
++++
====
====6
sen6
cos2
1
pi
pi
pitn
n
n
V
nANV
++++
====
====3
sen6
cos34
1
pi
pi
pitn
n
n
V
nABV