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  • 1. ApresentaoBem-vindo ou bem-vinda! Este o seu segun-do volume do curso de Fsica Apresentamos os principais conceitos estudados Fsica!em Fsica. A maioria deles aparece em situaes que podem ser observadas noseu dia-a-dia, em casa, na rua, no trabalho, no cu...Com isso, buscamos mostrar a voc que os fenmenos fsicos ocorrem emtodo lugar e a todo momento e que os conhecimentos da Fsica esto acessveis momento,a todas as pessoas que tm curiosidade em relao a eles, mesmo as pessoas queestejam fora das universidades ou dos laboratrios cientficos.Essa maneira de expor idias - por meio de situaes comuns, observandoo que ocorre ao nosso redor - facilita a compreenso dos conceitos cientficos,muitas vezes abstratos, e ajuda a explicar os mais diversos fenmenos queocorrem na natureza.Seu livro de Fsica est dividido em dois volumes. No primeiro, vocaprende um pouco mais sobre os fenmenos fsicos e de que modo essa cinciaestuda tais fenmenos. Observar fenmenos relacionados aos movimentos movimentos,analisa foras verifica que existem diferentes formas de energia na natureza,foras,descobre fenmenos que ocorrem, por exemplo, quando mergulhamos objetosem lquidos, e muitas outras questes. Nesta parte da Fsica, a maioria dosfenmenos estudados so macroscpicos isto , so visveis para todos ns.macroscpicos,No segundo volume, voc aprende mais coisas sobre o calor e a temperatu-ra sobre o som sobre a luz e como ela se comporta, e estuda fenmenosra,som,relacionados eletricidade Alm disso, v alguns temas de Fsica Modernaeletricidade. Moderna,como a to falada Fsica Nuclear Nessa parte, voc estuda a interpretaoNuclear.microscpica dos fenmenos, isto , interpretao daquilo que no diretamenteobservado a olho nu.Os livros esto organizados da seguinte maneira.Cada aula abre com a seo Para comear Ali voc vai comear.encontar uma introduo ao principal assunto tratado naaula. Apresentamos uma situao, ou uma pergunta, re-lacionada aos conceitos que sero discutidos.A aula, propriamente dita, tem incio na seo Fique li-gado A bom ficar bem atento, pois sero discutidos egado.explicados os conceitos novos.

2. Outras duas sees vo aparecer com freqncia: Com a mo na massa na qual sugerimos atividades massa, ou exerccios para serem feitos no decorrer da aula. Passo-a-passo em que apresentamos exemplos ou Passo-a-passo, exerccios resolvidos detalhadamente. No final da aula existem mais duas sees importantes: Para terminar na qual apresentamos, de forma reduzi-terminar, da, os principais conceitos discutidos. Finalmente, na seo Mos obra voc vai encontrarobra, alguns exerccios que vo ajudar a fortalecer seus estu- dos. Esperamos que, a partir deste estudo, voc, caro aluno ou cara aluna, passea observar de outra forma a natureza que o[a] cerca, e mais do que isso, saiba quea cincia uma maneira mais organizada de estudar o que acontece na natureza,e que o conhecimento - que vem sendo acumulado durante sculos e milnios- fruto da curiosidade de vrias geraes de homens e de mulheres. Compreendendo melhor a cincia, possvel observar o mundo com outrosolhos, com os olhos no apenas de um simples observador, mas de um cidadoou de uma cidad que compreende muitas coisas e que pode participar daconstruo das transformaes que ocorrem no mundo de hoje e na nossasociedade!Desejamos a voc bons estudos!AUTORIAAlberto GasparCristiano Rodrigues de Mattos - coordenadorErnst W. Hamburger - supervisorNorberto Cardoso FerreiraRoberta SimonettiAPOIOUniversidade de So Paulo 3. A UA U L A L A 11 O mundo da Fsica Acuriosidade do homem pode ser compre- endida de vrias maneiras: alguns dizem que vem de uma necessidade de sobrevivncia, outros dizem que uma forma de prazer ou, ainda, no pensamen- to religioso, que uma forma de conhecer a Deus. Mas uma coisa no podemos negar: o homem curioso! l Por que as coisas caem? l O Sol uma bola de fogo? l A Terra est parada? E a Lua, como ela fica l em cima? l Quando comeou o tempo? l Como surge o pensamento? l Como surgiu a vida? Existe vida depois da morte? Essas so perguntas que o homem vem se fazendo h muito tempo. Algumas sabemos responder, outras no. Algumas tm mais de uma resposta, a diferena est no mtodo usado para respond-las. Alguns mtodos permitem conhecer o mundo que nos cerca, outros nos levam a iluses sobre este mundo. Observe estes casos:HORSCOPO:ESPELHO, ESPELHO MEU... VOC SABIA? A Lua energiza seu signo apesar Para vermos inteiramente nosso de estar em fase com saturno com rosto num espelho plano sufici- o qual apresenta tenso Voc devetenso. ente que ele tenha metade do ta- aproveitar as vibraes de mer-manho (altura) do rosto. Tente crio que completa hoje seu ciclo ciclo. observar este fato. Assim, curta hoje os seus amigos. Nmero de sorte 23. Os trechos escritos nos quadros acima poderiam ser encontrados num jornal ou falados pela televiso. Freqentemente encontramos frases que propem, sugerem, ou mesmo ordenam que faamos, ou no faamos, certas coisas: No fume no elevador. Lei Municipal nmero tal. 4. Essa afirmao tenta nos dizer que se fumarmos no elevador estaremos A U L Asujeitos s penas da tal lei. Voltemos aos quadros.O primeiro nos diz algumas coisas a respeito da situao dos astros em quepodemos, ou no, acreditar. Mais ainda, nos fala para curtir os nossos amigos,1o que bom, e, indiretamente, prope que joguemos no nmero 23. Dentro doquadro encontramos palavras que parecem cientficas: energizar vibraoenergizar, vibrao,tenso fase O texto usa essa linguagem para tentar nos convencer de que tudotenso, fase.que foi escrito verdade. Mas os horscopos so produtos da Astrologia que no uma cincia. Suas definies no so exatas e variam de astrlogo paraastrlogo. Na verdade o que foi dito a opinio de quem fez o horscopo e oastrlogo pode, ou no, acertar as suas previses.No segundo quadro estamos no campo da cincia. Ele procura nos descreverum fato Se uma pessoa, em qualquer lugar do mundo, seguir as instrues e sefato.olhar num espelho que tenha, pelo menos, metade da altura do seu rosto,conseguir ver o rosto por inteiro. No estamos mais diante de uma opinio mas opinio,sim de um fato, que pode ser verificado.Devemos ouvir o que as pessoas tm a dizer, porm devemos ser capazes dejulgar o que foi dito. No porque saiu no jornal ou deu na tv que verdade!Por outro lado, devemos ter cuidado, pois julgar no discordar de tudo, oimportante fazer perguntas ter curiosidade e ir em busca dos fatos e suasperguntas,explicaes. A cincia e seus mtodos podem nos ajudar a responder muitasperguntas, a tomar posies e a fazer julgamentos.Uma questo de mtodoA cincia uma forma de olhar o mundo, mas no a nica.Muitas pessoas imaginam que as perguntas religiosas esto completamenteseparadas das perguntas cientficas, mas isso nem sempre verdade. Por exemplo,Isaac Newton, quando criou o conceito de fora queria evidenciar a ao de Deus fora,no mundo: suas perguntas eram religiosas e se confundiam com as cientficas.O mtodo cientfico tem permitido humanidade construir conhecimentossobre o mundo, propiciando compreender e controlar a natureza em algunsaspectos.O mtodo cientfico busca uma verificao dos fenmenos por meio deobservaes e experincias (fatos), ou seja, busca na natureza a resposta parasuas perguntas e a confirmao de suas hipteses (opinies baseadas em fatos).Por exemplo, uma pergunta que vem sendo feita desde a Antigidade serefere queda dos corpos um corpo pesado e um leve, soltos ao mesmo tempocorpos:e de uma mesma altura, chegam juntos ao cho?Vrias pessoas deram solues para essa pergunta. Os gregos antigos acha-vam que o lugar natural das coisas pesadas era o solo, por isso caem, sendo queas de maior peso chegam primeiro. Assim como as coisas leves sobem para o cu,lugar natural do que leve, como o fogo ou os gases quentes. Essa forma de olhara queda dos corpos se manteve por muitos milnios, quase como uma afirmaosagrada, da qual no se podia duvidar, mas, por volta de 1500, cientistas criaramo mtodo experimental que a base do mtodo cientfico. Um fenmeno que experimental,ocorre em todos os lugares, como o reflexo de um rosto num espelho, chamadode um fenmeno natural. Galileu Galilei, o primeiro a escrever sobre esse mtodo,estudou o fenmeno da queda dos corpos fazendo observaes e medies dofenmeno, ou seja, ele comeou a observar como, quando e em que situao ofenmeno ocorria Galileu deixou cair uma bala de canho e uma de mosquete,ocorria.cem vezes mais leve, do alto da Torre de Pisa, na Itlia. 5. A U L A Isso permitiu a Galileu chegar seguinte concluso: 1Dois corpos abandonados, ao mesmo tempo, Homem dede uma mesma altura,esprito cientfico echegam juntos pesquisador, o (simultaneamente)italiano Galileuao solo, mesmo queGalilei (1564-1642)tenham pesosdeu muitas diferentes.contribuies cincia, principalmente no campo daAstronomia. Figura 1. Torre de Pisa primeira vista essa afirmao nos surpreende, porque raramente temos aoportunidade de ver uma formiga e um elefante caindo simultaneamente deuma mesma altura e verificar se eles chegam juntos ao cho! Ento usemos o mtodo cientfico, duvidemos dessa afirmativa!Vamos usaro mtodo experimental para verificar se ela correta!O mtodo experimentalO que voc vai fazer agora uma experincia simples para observar a quedados corpos na superfcie da Terra e conhecer um pouco mais sobre o mtodoexperimental.Pegue uma folha de papel do seu caderno. Segure a folha sobre a palma damo esquerda e o caderno sobre a palma da direita, mantendo os dois mesmaaltura do cho, como mostra a Figura 2. Espere alguns instantes e solte-os aomesmo tempo. Qual dos dois objetos cai mais rpidorpido? Voc deve estar pensando que aresposta bvia: o caderno chega pri-meiro! Afinal ele mais pesado. Pois bem, voc tem razo, mas so-mente na primeira parte da sua respos-ta. Realmente, nessas condies, o ca-derno cai mais rpido do que a folha depapel. Ou seja, apenas confirmamos oque j se esperava. Figura 2 6. Faamos outra experincia. A U L A Pegue duas folhas iguais de papel. Coloque cada uma na palma de cada mo.Espere alguns instantes e solte-as ao memo tempo. Qual dos dois objetos cai 1mais rpido?Provavelmente uma das duas caiu mais rpido do que a outra. E se vocrepetir essa experincia diversas vezes, em vrias tentativas, a da direita cairprimeiro e em outras a da esquerda cair primeiro. Isso significa que essaexperincia no conclusiva. No podemos afirmar, antes de fazer a experincia,qual folha cair mais rpido.Mas como podem dois corpos de mesmo peso no cairem juntos?O que est atrapalhando?Podemos fazer algumas hipteseshipteses.Talvez o ar esteja, de alguma forma, atrapalhando a descida das folhas e demaneira incontrolvel, pois a cada descida as folhas percorrem caminhos dife-rentes, e chegam em instantes diferentes.Podemos, e devemos testar essa hiptese hiptese:Pegue duas folhas de papel, amasse uma completamente, at formar umabola e segure-a com a mo direita; com a palma da mo esquerda, segure a outrafolha sem amass-la. Espere alguns instantes e solte-as. Faa novamente apergunta: qual dos dois objetos cai mais rpidorpido?Nessa experincia podemos ver claramente que o ar interfere na queda doscorpos, pois a folha amassada cai rapidamente, e em linha reta, e a outra no.Ser possvel diminuir a influncia do ar sobre o movimento da folha de papel?Pegue seu caderno novamente, sustentando-o sobre a palma da mo direita.E agora coloque a folha sobre o caderno. Espere alguns instantes e solte-os. Qual rpido?dos dois objetos cai mais rpidoSe voc repondeu que os dois caem juntos, maravilha!O que fizemos? Ns controlamos a experincia. Impedimos que o ar atrapa-lhasse a queda da folha de papel e tambm pudemos ver que tanto a folha,cho.quanto o caderno, caem juntos at o choCom essa experincia foi possvel compreender que:Nem sempre, os fenmenos naturais so observados com facilidade. Para estudar as leis da natureza, temos de criarcondies adequadas, que possam ser controladas.Essa foi a grande sacada de Galileu ao criar o mtodo experimental. Nasprximas aulas, voltaremos a estudar o movimento da queda dos corpos nasuperfcie da Terra.Demos um exemplo do mtodo experimental, que a base do mtodocientfico, utilizado pela cincia, incluindo a Fsica. Mas, o que mesmo Fsica? 7. A U L A O que a Fsica? 1H cerca de 200 anos, no precisaramos nos preocupar com essa pergunta.Os conhecimentos que esto includos no que hoje chamamos Fsica, Qumica,Astronomia (no confunda com Astrologia!), Engenharia etc. estavam todosdentro do que se chamava Filosofia NaturalNatural.Mas as informaes sobre as substncias, sobre o movimento dos astros, aconstruo de mquinas sobre a natureza e os artefatos construdos peloshomens foram crescendo tanto, que foi necessrio o estabelecimento decincias diferentes. O escocs James Watt (1736- 1819) aperfeiooua mquina a vapor. Sua contribuiopara a Revoluo Industrial foidecisiva.Com Galileu Galilei, houve um grande avano na cincia. Com a ajuda domtodo experimental, desenvolveram-se muitas tcnicas que, cada vez mais,foram sendo aplicadas no dia-a-dia do homem. A inveno da mquina a vapor, em 1769, por James Watt e, mais asdescobertas de Ampre e outros com relao eletricidade, fez com que surgis-sem pessoas interessadas tambm em o que fazer com esses conhecimentos.Pessoas se preocupavam e se dedicavam a aplicar os conhecimentos da cinciae so agora os engenheiros, mais interessados na tecnologia, que abandonarama Filosofia Natural. Daquele conjunto de conhecimentos que era a Filosofia Natural restou oestudo da Mecnica, do Calor, da Eletricidade, do Eletromagnetismo, da Luz,etc, que recebeu o nome de Fsica. 8. As divises da Fsica A U L A A Fsica estuda vrios tipos de fenmenos da Natureza. Para facilitar o seuestudo costuma-se dividi-la. At o incio do sculo as principais partes da Fsica 1eram: a Mecnica a Termodinmica e o Eletromagnetismo Mecnica, Termodinmica,Eletromagnetismo. No sculo XX, a partir de grandes descobertas, surgiram novos ramos, entreeles: Fsica Atmica e Nuclear Mecnica Quntica Relatividade Os novos Nuclear, Quntica, Relatividade.conceitos introduzidos neste sculo provocaram uma verdadeira revoluo naFsica. Hoje comum tambm dividir a Fsica em Clssica (antes de 1900) eModerna (aps 1900). Alguns desses assuntos sero abordados ao longo donosso curso. O quadro a seguir mostra algumas perguntas que podem surgir no nossodia-a-dia, e identifica qual o ramo da Fsica que trata de respond-las. PERGUNTAS QUEM RESPONDE ALGUNS CONCEITOSl Por que somos jogados para frente doMECNICAForaEspaonibus quando ele freia bruscamente?Inrcial Por que nos dias de chuva maisTempoVelocidadedifcil frear um automvel? Massal Como um navio consegue boiar? AceleraoEnergiaDensidadel Como funciona um termmetro? TERMODINMICACalorEnergia trmical Por que o congelador fica na partePressosuperior da geladeira?VolumeDilataol O que ocorre com a naftalina, que Temperaturasome do fundo da gaveta?Mudanas de estadol Como vemos os objetos? PTICARaio de luz Reflexol Como os culos ajudam a melhorar a Refraoviso? Lentes Espelhosl Como se forma a nossa imagem numespelho?l O que a corrente eltrica? ELETROMAGNETISMOCarga eltrica Corrente eltrical Como funciona um chuveiro eltrico?Campos eltricosl Para que serve um fusvel? Campos magnticos Ondas eletromagnticasl O que , de fato, a luz?FSICAtomos ATMICA/NUCLEARNcleosl O que compe todas as coisas? Ftonsl O que so microondas? Eltrons 9. A U L A Aplicaes da Fsica 1 Desde tempos imemoriais homens e mulheres investigam os fenmenos danatureza para poderem viver melhor. Sua curiosidade os fez aprofundar em seusconhecimentos sobre os ciclos do dia e da noite, sobre as fases da Lua, as estaesdo ano; sobre como se desenvolvem plantas e animais, para melhorar a agriculturae as criaes, e assim produzir mais alimentos; sobre como produzir e controlaro fogo, e inventar ferramentas que facilitam o trabalho.A construo de casas, represas, pontes; a utilizao da roda, de carros e dosdiferentes tipos de mquinas, tudo isso foi sendo incorporado ao conhecimentoda humanidade.Nos ltimos sculos, a cincia vem avanando muito rapidamente, assimcomo a tecnologia, que aplica os conhecimentos cientficos a situaes prticas.Tornou-se possvel fazer mquinas muito pesadas - os avies - voarem, facilitando,depois, a construo de outras - as naves espaciais, que levaram o homem Luae que nos ajudam a desvendar os mistrios do universo.J se conhece muita coisa sobre o universo e as estrelas mas as pesquisasestrelas,ainda no se esgotaram. Sabemos que o Sol, a estrela mais prxima da Terra, essencial para a existncia da vida em nosso planeta planeta.Praticamente toda energia utilizada na Terra provm do Sol: ele nos forneceluz e calor que so fundamentais para a manuteno da vida. E, hoje, existemcalor,equipamentos que permitem aproveitar mais e melhor essa energia. Um ramo importante da Fsica a Fsica Nuclear, que deu origem a reatoresnucleares que produzem energia eltrica Com os conhecimentos desse ramo daeltrica.Fsica tambm foi possvel construir bombas nucleares, que so as armas dedestruio mais ameaadoras, para a humanidade e para nosso planeta, jconstrudas.No entanto, graas a esse mesmo conjunto de conhecimentos, foramdesenvolvidos equipamentos e tcnicas para a Medicina que salvam muitasvidas, pois permitem saber como esto funcionando os rgos no interior docorpo humano. Exemplo disso so as radiografias (chapas de raios X asX),tomografias e as ultra-sonografias.Os conhecimentos adquiridos no ramo da Fsica Atmica nos permitiramconstruir lmpadas especiais que produzem o laser - um tipo de luz dotada decertas caractersticas que permitem fazer microcirurgias (como as realizadas nosolhos), abrir cortes e fech-los em cirurgias diversas, dispensando, em algumassituaes, o uso do bisturi. O laser tem tambm muitas aplicaes na indstria,como em dispositivos para cortar metais, em aparelhos de som que fazem aschamadas leituras digitais e em outros equipamentos. 10. A inveno dos computadores tambm ocorreu em conseqncia da aplicao A U L Ade conceitos da Fsica Eletrnica e Microeletrnica. A utilizao decomputadores vem revolucionando as indstrias com a automatizao dosprocessos de produo, como, por exemplo, nas fbricas de automveis, de 1tecidos e de alimentos. Tambm est presente em bancos e lojas: os cartesmagnticos de bancos e de crdito so usados como substitutos do dinheiro.Nossa sociedade est aproveitando cada vez mais os avanos cientficos etecnolgicos que possibilitam uma melhor qualidade de vida para um nmerocada vez maior de pessoas. O resultado desses avanos aparecem na maiorquantidade e na melhor qualidade de alimentos, na melhoria da sade, numavida mais longa, na maior comunicao entre as pessoas (livros, jornais, rdio,televiso, informtica), entre outras coisas.Na prxima aula, vamos dar o primeiro passo dessa longa caminhada pelo Fsica.mundo da Fsica 11. A UA U L A L A 22 A culpa da barreira!A torcida vibra. Daquela distncia gol na certa, quase um pnalti. O rbitro conta os passos regulamentares. A regra diz: so 10 passos (9,15 metros) para a formao da barreira, mas ela nunca fica na posio correta. Os jogadores avanam, o rbitro ameaa, mostra o carto amarelo para um ou outro jogador, eles se afastam, voltam a avanar e a falta acaba sendo batida assim mesmo. gol?Figura 1 Nem sempre e, muitas vezes, a culpa da barreira. Todos concordam, torcida, comentaristas, rbitros, dirigentes, mas parece que nada se pode fazer. Afinal quem garante que a distncia no estava certa? Ser que os passos do juiz so um instrumento de medida confivel ? E se ele for baixinho ou muito alto ou estiver mal-intencionado, querendo prejudicar um dos times? Voc compraria um terreno medido desse jeito? Muitas sugestes j foram feitas - at proibir a formao da barreira -, mas ningum pensaria em dar uma trena ao juiz para que ele, com o auxlio do bandeirinha, medisse a distncia correta. Seria to absurdo como levar um juiz de futebol para medir um terreno. So coisas diferentes que exigem formas diferentes de agir. No futebol, a preciso das medidas no muito necessria e, de certa forma, toda aquela movimentao na cobrana de uma falta tambm faz parte do jogo. Muita gente at acha que se fosse tudo muito certinho o futebol perderia a graa, mas certamente medir um terreno desse jeito no teria graa nenhuma. 12. Entretanto, durante muito tempo, as medidas de comprimento foramA U L Afeitas assim, utilizando partes do corpo humano como instrumentos de medi-da. O dimetro de um dedo, o tamanho de um palmo, p ou brao, o compri-mento de um passo foram utilizados como medidas de comprimento durante2sculos por todos os povos da Antigidade. comum, at nos dias de hojeouvir dizer: esta mesa tem 10 palmos ou esta sala tem 30 ps. E, assim,todos os objetos so medidos comparando-os com outros objetos especiaisque hoje chamamos de padres padres. medida que o comrcio entre os povos foi se desenvolvendo, surgiu anecessidade de criar padres utilizveis por todos. Pense na dificuldade doschineses em comercializar sua seda com os europeus se ambos no usassem umpadro comum de comprimento? Porm, de nada adiantaria criar padres se no fosse possvel compar-los.Para isso foram criados instrumentos de medida que, com o tempo, foramsendo to aperfeioados que exigiram que se adotassem padres mais precisos. A histria das grandezas fsicas a histria da necessidade de fazer medidase de todo o progresso que da resultou. Apesar de existir uma quantidade enormede grandezas, unidades e instrumentos de medida, a Fsica procura operar como menor nmero possvel para simplificar sua tarefa e tornar mais fcil a troca deinformaes entre todos aqueles que com ela trabalham ou dela precisam. oque vamos ver em seguida.Grandezas, padres e unidades Nem tudo pode ser medido. Como medir a preguia de uma pessoa ou oamor que ela sente por outra? Seria possvel criar um amormetro? Para osfsicos isso impossvel, preguia e amor no so grandezas fsicas No d fsicas.para dizer que algum tem 300 de preguia e 689,5 de amor. Esses nmeros nosignificam nada porque no existe um padro para essas grandezas. Grandeza .fsica alguma coisa que pode ser medida, isto , que pode ser representadapor um nmero e uma unidade. Veja alguns exemplos:lA distncia da bola barreira deve ser de 10 jardas ou 9,15 metros metros.lA bola deve ter entre 400 gramas e 500 gramasgramas.lO tempo de uma partida de 90 minutos minutos. No primeiro exemplo, a grandeza fsica o comprimento e a unidade ajarda ou o metro. No segundo, a grandeza fsica a massa a unidade omassa,grama um submltiplo da unidade quilograma. No terceiro exemplo, agrama, .grandeza fsica o tempo a unidade o minuto, um mltiplo da unidadetempo,segundo.segundo Nesses exemplos esto trs grandezas fundamentais comprimento, massafundamentais:e tempo. A partir dessas grandezas fundamentais, pode-se definir outrasgrandezas que, por isso, chamam-se grandezas derivadas . So exemplos dederivadas.grandezas derivadas a rea de uma superfcie, o volume e a densidade de umcorpo, a velocidade e acelerao de um automvel, a fora exercida por ummotor e muitas outras. Veja alguns exemplos prticos onde aparecem grandezas (*) derivadas esuas unidades:lUm terreno retangular tem 8 metros de frente por 25 metros de fundo. A sua2 rea (A) : A = 8 m 25 m = 200 m ou 200 metros quadrados, que uma unidade de rea.(*) Essas grandezas foram colocadas aqui apenas para servir de exemplo. Elas seroestudadas mais adiante no curso. 13. 3A U L A l Uma lata de leo de 900 cm (centmetros cbicos) contm 720 g (gramas)3 3de leo. A densidade (d)* desse leo : d = 720 g 900 cm = 0,8 g/cm ou 2l0,8 gramas por centmetro cbico que uma unidade de densidade. cbico,Um carro percorre 120 km (quilmetros) em 2 h (horas). A sua velocidademdia (vm)* : vm = 120 km 2 h = 60 km/h ou 60 quilmetros por horahora,que uma unidade de velocidade.Todas essas unidades so derivadas. O metro quadrado deriva do metro ometro,grama por centmetro cbico deriva do quilograma e do metro o quilmetrometro,por hora deriva do metro e do segundosegundo. At h algum tempo, no havia ainda um conjunto de unidades fundamen-tais que fosse reconhecido e adotado em todo mundo ( por isso que no futebol,inventado pelos ingleses, as distncias costumam ser medidas em jardas). Apartir de 1948, esse conjunto comeou a ser estabelecido e, em 1960, recebeu onome de Sistema Internacional de Unidades (SI) Atualmente, s os Estados (SI).Unidos ainda no adotam o SI, mas passaro a utiliz-lo em breve.O Sistema Internacional de Unidades (SI)O SI estabelece 7 grandezas fsicas fundamentais das quais so derivadastodas as outras. So elas:CORRENTEQUANTIDADEINTENSIDADECOMPRIMENTO MASSATEMPOTEMPERATURAELTRICADE MATRIALUMINOSAA Mecnica utiliza as trs primeiras e suas derivadas.Cada unidade fundamental tem um padro alguma coisa que pode serpadro,reproduzida em qualquer lugar. Por exemplo, se algum for verificar se umargua tem suas divises corretas deve utilizar o padro adequado.Os padres de comprimento, o metro e, de tempo, o segundo tm definies segundo,muito complicadas devido s exigncias da Cincia e da Tecnologia modernas. O padro de massa o mais antigo, criado em 1889, e tambm o maissimples (Quadro 1). Cada pas deve ter laboratrios capazes de reproduzir ospadres ou cpias devidamente aferidas e cuidadosamente guardadas.No Brasil essa tarefa desempenhada pelo Inmetro, Instituto Nacional deMetrologia, Normalizao e Qualidade Industrial, do Ministrio da Indstria edo Comrcio.No necessrio saber essas definies, entretanto importante saber queexistem os padres, as unidades fundamentais e derivadas e formas corretas deexpress-las (Quadro 2 - ver pgina 19).QUADRO 1- TRS UNIDADES FUNDAMENTAIS DO SI GRANDEZA NOMESMBOLODEFINIO MetromDistncia percorrida pela luz, no vcuo, numComprimento intervalo de tempo de 1/299792458 s. Massa de um cilindro padro de platina-Massa Quilograma kg-irdio conservada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Svres, na Frana. Durao de 9.192.631.770 perodos daTempoSegundos radiao de transio de dois nveis do estado fundamental do tomo do csio 133.Observaes1. Note que os smbolos no so abreviaturas, por isso no tm ponto final.2. As definies sero discutidas mais adiante no curso, por isso, no necessrio decor-las. 14. QUADRO 2 - ALGUMAS UNIDADES DERIVADAS DO SIA U L A 2 GRANDEZANOME SMBOLOreaMetro quadrado m2 3VolumeMetro cbico m VelocidadeMetro por segundom/s AceleraoMetro por segundo ao quadradom/s2 3 DensidadeQuilograma por metro cbicokg/mExistem inmeras unidades prticas ainda em uso devido ao costume ou ssuas aplicaes tecnolgicas. Muitas dessas unidades, principalmente as deorigem inglesa, tendem a desaparecer com o tempo e serem substitudas porunidades do SI. Por enquanto elas ainda so muito usadas e interessanteconhec-las (algumas delas se encontram no Quadro 3).QUADRO 3- ALGUMAS UNIDADES PRTICAS MAIS USADAS RELAO COM A UNIDADE GRANDEZANOME (S )SMBOLO ( S) CORRESPONDENTE DO SIMilmetro v mm 0,001 mvoc deve Centmetro v cm0,01 mter notado que Quilmetro R km 1.000 malgumas unidades ComprimentoPolegada Y in0,0254 m ou 2,54 cmtm smbolosdiferentes, como aP Y ft0,3048 m ou 30,48 cmpolegada o pJarda Y yd 0,9144 m ou 91,44 cme a jarda.Milha Y mi 1.609 m ou 1,609 kmEssas Grama vg0,001 kg unidades foramTonelada Rt1.000 kg adaptadas do Massa Quilate Y-0,0002 kg ou 0,2gingls:Libra Ylb 0,454 kg ou 454gpolegada inches, Arroba Y - 14,688 kg da o smbolo in; Minuto R min 60 sp feet, por isso TempoHora Rh60 min ou 3.600 sseu smbolo ft e a Dia R d24 h ou 86.400 sjarda yard, por Hectare Rha10.000 m2 isso seu smboloyd. Atualmente rea Alqueire (SP) Y - 2,42 hacomum utilizar o Alqueire (MG, RJ e - 4,84 hasmbolo pol. para GO) Yindicar a unidade Volume Litro R l0,001 m3 ou 1.000 cm3polegada.Quilmetrokm/h(1/3,6) m/spor hora RVelocidade Milha por hora Y mi/h1,609 km/h N Y-1,852 km/h vSubmtiplos do SI R Mltiplos do SI Y Unidades no-pertencentes ao SI Algarismos significativos Quando se trabalha com medidas quase sempre aparece uma dvida: comquantos algarismos se escreve uma medida? Tente medir o dimetro do seu lpis. Que resultado voc obteve? 7 mm?7,1 mm?7,15 mm? Essa pergunta tem inmeras respostas e todas podem estar certasrespostas,certas! 15. A U L ASe voc mediu com uma rgua comum, provavelmente achou 7 mm, ou talvez7,5 mm ou ainda 0,7 cm. Se voc dispe de um instrumento mais preciso, como um 2micrmetro ou um paqumetro, pode ter achado 7,34 mm ou 7,4082 mm. Se vocrepetir a medida vrias vezes pode ser que em cada uma ache um valor diferente!Como saber qual o valor correto? Como escrever esse valor? Na verdade, nem sempre existe um valor correto nem uma s forma deescrev-lo. O valor de uma medida depende do instrumento utilizado, da escalaem que ele est graduado e, s vezes, do prprio objeto a ser medido e da pessoaque faz a medida. Por exemplo, a medida do dimetro do lpis com uma rgua comum serfeita na escala em que ela graduada (centmetros ou milmetros) e dificilmentealgum conseguir express-la com mais de dois algarismos. Nesse caso, certa-mente o segundo algarismo avaliado ou duvidoso. Se for utilizado um instrumento mais preciso, possvel fazer uma medidacom um nmero maior de algarismos e, ainda, acrescentar mais um, o duvidoso. Todos os algarismos que se obtm ao fazer uma medida, incluindo oduvidoso, so algarismos significativos. Se outra pessoa fizer a mesma medida,talvez encontre um valor um pouco diferente mas, ao escrev-lo, dever utilizaro nmero correto de algarismos significativos. Paqumetro e micrmetro - instrumentos de preciso Figura 2 - Paqumetro Figura 3 - Micrmetro Uma rgua comum no permite medidas muito precisas porque noh como subdividir o espao de 1 mm: a distncia entre os traos muitopequena. O paqumetro e o micrmetro so instrumentos que utilizamduas escalas, uma fixa, semelhante escala de uma rgua comum e umaescala mvel que, de maneira muito engenhosa, permite dividir a menordiviso da escala fixa. No paqumetro, essa escala corre junto escalafixa, enquanto que no micrmetro ela est gravada numa espcie decilindro mvel que gira medida que se ajusta ao instrumento paraefetuar a medida (veja as Figuras 2 e 3). 16. Passo a passoA U L ASuponha que, ao medir o dimetro desse lpis com um paqumetro, Maristelaencontre o valor 7,34 mm e Rosinha 7,37 mm. Pelo resultado, percebe-se que elas 2tm certeza do 7 e do 3, mas o ltimo algarismo incerto.Imagine agora que elas resolvam entrar num acordo e considerar, comomelhor medida, um valor que seja igual mdia aritmtica dos seus resultados.Qual ser esse valor?Para achar a mdia aritmtica m basta somar as medidas de cada um e dividirpor 2 (que o nmero total de medidas). Assim teremos:7, 34mm + 7, 37mmm=2 14,71mmm== 7,355 mm2Ser correto expressar o dimetro do lpis com tantos algarismos? claro que no! Se cada uma s teve certeza de dois algarismos e avalia-ram, discordando, mais um no tem sentido dar uma resposta com quatroum,algarismos!Nesse caso, para manter a coerncia e expressar a medida com o nmerocorreto de algarismos significativos, deve-se desprezar o ltimo algarismoobtido no clculo da mdia aritmtica. comum utilizar a seguinte regra: quando esse algarismo (o que deve serdesprezado) for maior ou igual a 5 acrescenta-se 1 ao ltimo algarismo que restou.Teremos ento 7,355 mm = 7,36 mm que a melhor forma de expressar amm,mdia aritmtica das medidas de Maristela e Rosinha: mantm-se os mesmosdois algarismos dos quais tm certeza, o 7 e o 3, mas o algarismo duvidoso passaa ser o 6. provvel que esse valor seja, provisoriamente, o melhor valor dessamedida. Se outras pessoas participarem e fizerem outras medidas, a mdiaaritmtica ter um nmero muito maior de parcelas e o seu valor representarmelhor o dimetro do lpis.Talvez no haja um s dia em nossas vidas em que no se conviva comalguma forma de medida. Ao nascer ganham-se os primeiros nmeros: alturae peso (seria melhor, comprimento e massa). A partir de ento, as grandezas eas medidas povoam nosso dia-a-dia, tornando-se cada vez mais variadas ecomplexas. Temos que nos familiarizar com novos instrumentos de medida,relgios, balanas, termmetros, medidores de combustvel, de presso, deconsumo de gua ou energia eltrica e o que mais o progresso exigir. Noentanto, mais importante que tudo isso, entender que toda medida resulta deum esforo do homem para compreender e interpretar a natureza. Fomos ns,seres humanos, que criamos as grandezas, os padres, as unidades e osinstrumentos de medida. Portanto, nenhuma medida a expresso da verda-de, independentemente do nmero de algarismos significativos que possua.H, certamente, medidas e instrumentos mais confiveis, processos de medi-o mais adequados a determinados fins. E importante distinguir uns dosoutros. A vida tem mais barreiras do que parece e preciso ser capaz deperceber se elas esto distncia correta, se o juiz mediu corretamente ospassos regulamentares, se os jogadores no avanaram. Caso contrrio, comodizem os jogadores, fazer um gol fica muito difcil! 17. A U L A Exerccio 1 Nas palavras a seguir, procure distinguir quais so, ou no, grandezas 2 fsicas: cansao, calor, energia rapidez curiosidade trabalho honestida-energia, rapidez, curiosidade, trabalho, de pontualidade temperatura, fora acelerao e coragem. de, pontualidade,fora,Exerccio2 Siga os exemplos e faa as transformaes de unidades pedidas ao lado: Exemplos Transforme5 cm = 5 0,01 m = 0,05 mI a) 3 cm em m0,75 km = 0,75 1.000 m = 750 mb) 2,5 mm em m5,8 in = 5,8 0,0254 m = 0,14732 m c) 0,8 km em md) 1,2 ft em me) 4,5 in em mf) 20 yd emmg) 500 mi em m1 m = 1 000 mmIIa) 5memmm1 m = 100 cmb) 0,4 m emmm1 m = 0,00 1kmc) 3memcmd) 1,2 m emcme) 150 m emkmf) 180.000 m emkm3,5 g = 3,5 0,001 kg = 0,0035 kgIII a) 12 g em kgb) 20 t em kgc) 50 lbem kg1 kg = 1.000 gIVa) 0,7 kg em g1 kg = 0,001 tb) 8,2 kg em gc) 300 kg em td) 630.000 kg em t5 min = 5 60 s = 300 sV a) 1,5 min em s1 h 20 min = 1h + 20 min =b) 2 h 15 min em s= (1 3.600 s) + (20 60 s) = c) 5 h 22 min13 s em s= 3.600 + 1.200 = 4.800 s2,8 l = 2,8 0,001 m3VIa) 500l em m 3 3 3 34,5 l = 4,5 1.000 cm = 4.500cmb) 69lem cmExerccio 3 O dimetro de muitas peas cilndricas (canos, roscas, parafusos etc.) costuma ser dado em polegadas ou fraes de polegadas. Seguindo o exemplo ao lado, faa as tranformaes pedidas.Exemplos Transforme em mmI) Transformar 4,5 in em mm: a) 3,0 in4,5in=4,5 25,4 mm = 114,3 mm b) 6,8 inII) Transformar 3/4 in em mm:c) 1/4 in3/4 in = 0,75 in = 0,75 25,4 mm = 19,05 mm d) 5/16 in 18. Exerccio 4 A U L A comum encontrar em nossas estradas uma placa onde est escrito: Velo- cidade mxima 80 km Voc acha que essa placa est certa?km. 2Exerccio 5 Trs pessoas, utilizando um paqumetro, medem o dimetro de um cilindro e obtm as seguintes medidas: 38,45 mm, 38,41 mm e 38,42 mm. Qual o valor mdio dessa medida, expresso com o nmero correto de algarismos significativos?Exerccio 6 Uma estrela est a 400 anos-luz da Terra. Isso significa que a luz dessa estrela demora 400 anos para chegar Terra. Qual a distncia entre essa estrela e a Terra? (Dado: velocidade da luz no vcuo = 3 108 m/s ou 300.000.000 m/s).Sugestes A distncia da estrela Terra a distncia percorrida pela luz. Comovamos ver na prxima aula, essa distncia pode ser calculada multipli-cando-se a velocidade da luz pelo tempo que ela gasta para vir daestrela Terra. O tempo deve ser dado em segundos, logo voc deve transformar anosem segundos. Admita que 1 ano = 365 dias. 19. A UA U L A L A 33 Bola pra frente N as aulas anteriores, descrevemos alguns aspectos da Fsica, bem como discutimos algumas unidades utilizadas nessa cincia, principalmente num de seus ramos: a Mecnica. exatamente aqui que iniciaremos o estudo da Fsica propriamente dito. Vamos comear por uma das partes da Mecnica: a Cinemtica.A Cinemtica o estudo dos movimentos. Mas ela no vai muito a fundo. Se estivermos interessados em descrever apenas como um determinado objeto est se movendo, estaremos trabalhando dentro da Cinemtica. nesse campo que vamos estudar a velocidade dos objetos, sua acelerao, fazer previses sobre onde poder ser localizado um objeto que est se movendo com determinadas caractersticas e assim por diante. Porm, se quisermos conhecer as causas, ou seja, por que um objeto est se movendo de uma certa maneira, j estaremos em um outro campo da Mecnica: a Dinmica.Para saber como se movem os objetos e fazer previses a respeito de seu movimento precisamos, inicialmente, localiz-los, isto , saber onde eles esto.Figura 1 Localizando os objetos Estdio cheio! O goleiro bate o tiro de meta, tentando jogar a bola fora de campo para ganhar tempo. A torcida vaia! Um torcedor tira uma foto do lance e, mais tarde, mostrando a foto, tenta explicar a situao para o filho: A bola estava a 15 m da bandeirinha, do lado esquerdo do nosso goleiro, a 6 m de distncia da lateral esquerda e a 3 m de altura. Aparentemente, a bola estava localizada. A foto ajudou muito! Na realidade, ele deveria dizer que os 15 m foram medidos sobre a lateral esquerda e, no, entrando 15 m pelo campo e, assim por diante. Um fato importante que, para localizarmos um objeto que se movimenta no espao, como o caso da bola, precisamos fornecer trs distncias. Alm disso, necessrio explicar como foram feitas as medidas, e a partir de que ponto. No exemplo, o ponto em questo era uma das bandeirinhas que limitam o campo. 20. Todavia, os objetos em seu movimento, s vezes podem ser localizados de A U L Amaneira mais fcil. o caso, por exemplo, das bolas de bilhar que, em geral,andam apenas sobre uma superfcie plana.3Figura 2B ILHETE DE SHERLOCK HOLMES PARA SEU ASISTENTE Quando cheguei aqui, percebi que a bola branca tinha sido movida. Ontem eu tinha feito uma marca de giz num dos cantos da tabela,perto de uma das caapas. Eu medi, ento, 80 centmetros sobre a lateralmaior da mesa. Depois, medi 67 centmetros at a bola. Eu tinha dado ordens expressas para que nada fosse tocado, pois abola branca deveria estar com as impresses digitais do criminoso. Eufechei tudo antes de sair! Hoje, quando cheguei aqui, a situao tinha mudado. As novasmedidas eram, na mesma ordem, 68 cm e 79 cm. Algum esteve aqui!A bola no pode ter se deslocado sozinha! Discutiremos depois.Abraos, SherlockLendo o bilhete deixado pelo famoso detetive Sherlock Holmes para seuassistente, que estava chegando ao local do crime, vemos que Holmes procuralocalizar bem a bola branca. Para tanto, ele utiliza apenas duas distncias, e, almdisso, um ponto a partir do qual efetuou as medidas das distncias. No caso, oponto era a marca de giz feita perto da caapa.Existem situaes cuja localizao do pontoque desejamos estudar pode ser feita de maneiraainda mais fcil.A Figura 3 mostra um pisto dentro de ummotor de automvel. O pisto se move, dentro deum cilindro, para cima e para baixo. Assim sendo,para localizarmos o ponto P, marcado no cilin-dro, bastar conhecer apenas uma distncia: porexemplo, sua distncia at a base do pisto 6 cm.Figura 3 21. A U L A Os objetos mudam de posio - Referenciais 3 Para localizar os objetos no espao, no plano e ao longo de uma reta, a Fsicautiliza maneiras especiais. So os sistemas de referncia (ou referenciais).(a)(b)(c) Figura 4 No primeiro caso, no campo de futebol, a posio da bola poderia ser dadada seguinte maneira: escolhemos um ponto O - no caso, a base da bandeirinhae trs eixos que podem ser entendidos como trs rguas: OX, OY e OZ. Com oauxlio dessas trs rguas, medimos as distncias: x = 15 m, y = 6 m e z = 3 m.Com esses trs valores podemos localizar a bola de futebol.No segundo caso, na mesa de bilhar, necessitamos da origem, ou seja, docanto marcado com giz e das duas distncias. Aqui, houve uma mudana deposio. Ento teremos duas posies da bola de bilhar:A - primeira posio: x = 80 cm, y = 67 cmB - segunda posio: x = 68 cm, y = 79 cmFinalmente, para o pisto, teremos de indicar que a origem a base do pistoe que a posico do ponto P x = 6 cm.Esses sistemas de referncia servem para localizar os objetos que estamosestudando e tambm para auxiliar na compreenso das mudanas de sua posio.Foi assim que Sherlock descobriu que a bola de bilhar tinha sido movimentada.Os objetos se movimentamVimos anteriormente que os referenciais podem nos ajudar a saber quandoa posio de um objeto varia. A bola de bilhar mudou da primeira posio: quepodemos chamar de A (x = 80, y = 67), para a posio que poderamos chamar deB (x = 68 cm, y = 79 cm). Falamos, nesse caso, em deslocamento.Deslocamento apenas uma mudana de posio.Porm, o deslocamento poderia ter sido feito em 1 segundo, em 1 hora ounum tempo qualquer.Mais ainda: a bola poderia ter ido diretamente de A para B ou, ento, terpassado por caminhos os mais variados, com maior ou menor velocidade etc.Quando estivermos interessados em conhecer no somente o deslocamentoda bola, mas tambm o percurso que ela fez, como se deslocou ao longo dessepercurso, se foi mais ou menos rapidamente, assim por diante, estaremosestudando o movimento da bola.No movimento de um objeto, estudamos, portanto, como ocorreram seusdeslocamentos ao longo do tempo e a trajetria (o caminho, o percurso) que eleseguiu. 22. A U L A 3Figura 5 Na mesma marchaVamos iniciar nosso estudo dos movimentos por uma situao bastante simples. A Figura 6 representa um tubo de vidro contendo leo de cozinha. O tubo tapado com uma rolha de borracha. Se, com auxlio de uma seringa e de uma agulha de injeo, colocarmos uma gota de gua dentro do leo, a gota vai descer lentamente, sempre na mesma marcha.Podemos estudar tambm gotas que subam! claro que, nesse caso, gua no serve! Mas, se usarmos lcool, podere- mos colocar uma gota espetando a agulha da seringa na rolha de borracha. Ela vai subir, tambm, sempre na mesma marcha, isto , sempre com a mesma velocidade. esse movimento que iremos estudar: o de uma gota de lcool subindo num tubo contendo leo.J vimos que, para o estudo de um movimento, necessita- mos de um referencial. O movimento da gota , de certo modo, parecido com o do pisto. A gota vai andar apenas numa direo. Assim, bastar apenas uma rgua para ser usada como referencial. Precisamos tambm saber quando a gota estava em determinada posio. Ento, ser necessrio um Figura 6relgio ou, melhor ainda, um cronmetro. Bola pra cima! Vamos supor que a gota de lcool j estejax (cm) subindo atravs do leo. Se fotografssemos o tubo e o relgio, de 4 em 4 segundos, ficaramos com um conjunto de fotos semelhante ao repre- sentado na Figura 7. Os nmeros que aparecem perto dos relgios representam os instantes em que foram tiradas as fotos. A primeira foto aquela em que o cronme- tro estava marcando zero. Depois, temos fotos nos instantes 4, 8 at 32 s. Ns acrescentamos, nesse conjunto de fotos, um eixo que substitui a rgua, e outro no qual so indicados os instantes. Vamos supor que, lendo a posio na rgua em Figura 7 cada foto, obtivssemos a Tabela 1. Ou seja: na primeira foto,a gota estaria na posio x = 18 cm, da rgua. Na segunda foto ela estaria na posiox = 22 cm etc. No instante 32 s, a gota se encontraria na posio x = 50 cm. 23. A U L AAnalisando a Tabela 1 podemos ver, por exemplo, que entre os instantest1= 4 s e t2 = 20 s, a gota passou da posio x1 = 22 cm para a posio x2 = 38 cm. 3 TABELA t (s) 1x (cm)Portanto ela se deslocou38 - 22 = 16 cm0 184 22Porm, entre 4 s e 20 s, decorreram:8 26123020 - 4 = 16 s16342038 Dessa maneira, a gota percorreu 16 cm em 16 s.2442 Como a gota percorreu o trecho sempre com a mesma2846 marcha, sua velocidade foi de 1 cm/s. Essa foi sua3250 velocidade mdia.Definimos velocidade mdia como sendo: deslocamentox 2 - x1vmdia = =tempot 2 - t1 As duas diferenas x2- x1 e t2 - t1 , costumam ser representadas por Dx e Dt(D uma letra grega, delta, assim, lemos delta x e delta t). No necessrio usar obrigatoriamente os instantes t1 = 4 s e t2 = 20 s.Poderamos usar t1 = 12 s (nesse caso a posio x1 seria 30 cm - veja na Tabela 1),e t2 = 32 s (nesse caso, a tabela diz que a posio x2 50 cm). Ento: 50 - 3020 cm vmdia = == 1 cm / s 32 - 1220 sNesse movimento, como se v, a velocidade da gota no varia. Ela andasempre em linha reta e na mesma marcha! Em todos os instantes, a velocidadeda gota igual sua velocidade mdia. por isso que esse movimento chamadoMovimento Retilneo Uniforme No necessitamos ento escrever vmdia bastar Uniforme.escrevermos v (de velocidade).Uma caracterstica do Movimento Retilneo Uniforme esta: a velocidade em qualquer instante, igual velocidade mdia.Outras gotas, outras velocidades TABELA2 Se introduzssemos outras gotas dentro do leo,t (s) x (cm) por exemplo uma gota maior, poderamos constatar 012 que a velocidade seria diferente. Se a gota fosse maior, 420 ela subiria com velocidade maior. Poderamos ter, 828 por exemplo, uma situao igual quela representada1236 pelo grfico da Figura 8 e pela Tabela 2.16442052 24. x (cm)A U L A 3 Tanto nesse caso, como na situa-o anterior, todos os pontos do grfi-t (s) co ficam numa reta. Essa outra carac-terstica do Movimento Retilneo Uni-Figura 8forme.No Movimento Retilneo Uniforme, o grfico da posio em funo do tempo uma linha reta.Vamos calcular a velocidade da gota neste caso. Se escolhermos:t 1 = 4 s ento x1 = 20 cmt 2 = 12 s ento x2 = 36 cmA velocidade ser:Dx x 2 - x1 36 - 2016 v = vmdia ===== 2 cm / sDt t 2 - t1 12 - 48 Se compararmos os grficos dos dois movimentos, como est na Figura 8,podemos ver que a reta que representa o movimento da gota mais rpida, maisinclinada do que a primeira. Pode-se dizer que: Quanto maior for a velocidade de um objeto, mais inclinada, comrelao ao eixo dos tempos, a reta que representa esse movimento.Desce! Vamos voltar e supor, agora, que a gota seja de gua. Ela vai ser introduzida pela parte superior e descer ao longo do tubo. Se no mexermos na rgua as posies da gota, em seu rgua,movimento, vo diminuir, ou seja, os valores da posio vo decrescer. Poderamos TABELA 3 ter uma tabela como a 3 et (s) x (cm) um grfico como o da 055Figura 9. 305 4510 3515 2520 15255t (s) Figura 9 25. A U L A Vamos calcular a velocidade da gota nesse caso. Se escolhermos: 3t 1 = 5 s ento x1 = 45 cmt 2 =20 s ento x2 = 15 cmA velocidade ser:Dxx 2 - x1 15 - 45 30 v = vmdia = == == - 2 cm / sDtt 2 - t1 20 - 515Qual o significado dessa velocidade negativa? Ela indica que a gota est sedeslocando no sentido oposto orientao da rgua. Trocando em midos: agota est indo de posies que so representadas por nmeros maiores paraposies representadas por nmeros menores. Porm, se tivssemos invertido argua antes de colocar a gota, a velocidade seria positiva! Isso porque a gota iriadas posies menores para as posies maiores. Esse um fato bastante impor-tante: o sinal da velocidade depende de como colocamos a rgua!A velocidade depende do referencial.Como localizar a gota em qualquer instante TABELA4 Vamos supor que tivssemos uma tabela que t (s) x (cm) descrevesse um movimento uniforme, como os an-8 20teriores, mas que os valores estivessem embaralhados 10 24(Tabela 4). Mais ainda: no meio deles, colocamos umt x par de valores desconhecidos: t e x . Vamos ver que,6 16se utilizarmos a definio de velocidade mdia duas4 12vezes, poderemos obter uma funo muito impor- 12 28tante.2 8Vamos calcular a velocidade mdia escolhendo: t1 = 8 s ento x1 = 20 cm t2 = 10 s ento x2 = 24 cmA velocidade ser: Dx x 2 - x1 24 - 20 4 v = vmdia = == = = 2 cm/s Dt t 2 - t110 - 8 2Vamos agora escolher: s entoxt1 = 6 s ento x1 = 16 cmt2 = t s ento x2 = x cm entoxA velocidade mdia ser:Dxx 2 - x1 x - 16 vmdia = D t = t - t = t - 6 21Porm, sabemos que vmdia= 2 cm/s, como foi visto um pouco atrs. 26. Ento, ficaremos com: A U L Ax - 16t - 6 =2 ou seja,x - 16 = 2 (t - 6)x - 16 = 2 t - 123ento: x=2t+4Esta a chamada funo horria da posio Ela serve para determinarmosposio.a posio do objeto que est se movendo em linha reta com velocidade constante,em qualquer instante. Por exemplo: se fizermos t = 6 s, teremos: x = 2 6 + 4 = 16 cm, que o valor dado na Tabela 4.Podemos fazer o inverso, calcular em que instante o objeto passou, ou vaipassar, por determinada posio. Por exemplo: saber, em que instante o objetovai estar na posio x = 40 cm.Assim, teremos:40 = 2 t + 440 - 4 = 2 t36 = 2 t2 t = 36t = 18 sPor outro lado, para o instante t = 0, teramos x = 4 cm. Esse valor exatamente o 4 que aparece na funo horria.De maneira geral, podemos escrever a funo horria como:x = x0 + v tonde: x a posio no instante t; v a velocidade; x0 a posio no instante t = 0. Um outro grficoNa Figura 6, tnhamos uma gota que descia pelo TABELA 5tubo com leo numa velocidade constante de 2 cm/s.t (s)v (cm/s)Qualquer que fosse o instante, a velocidade era a mes- 02ma: 2 cm/s. Assim, uma tabela para a velocidade em 42funo do tempo e o grfico correspondente seriam: 82v (cm/s) v (cm/s) 122162202 t (s)t (s) Figura 10Figura 11 27. A U L A Aparentemente, o grfico da Figura 10 no nos d muitas informaes.Todavia, com ele podemos saber quanto a gota se deslocou entre dois instantes. 3Vamos calcular qual a rea do retngulo que foi desenhado no grfico davelocidade, que est na Figura 11. A altura do retngulo vale 2 cm/s, e sua base(12 s - 4 s), ou seja, 8 s.Como a rea do retngulo o produto da base pela altura, teremos: rea = 2 cm/s 8 s = 16 cm.Por outro lado, consultando a Tabela 2 (Figura 8), veremos que entre osinstantes 4 s e 12 s, a gota foi da posio 20 cm para a posio 36 cm e, dessamaneira, andou 16 cm, que foi o valor encontrado para a rea do retngulo.Poderamos pensar que isso foi uma coincidncia. Porm, voc poder calculara rea de outros retngulos na mesma figura e verificar que a rea vai ser igualao deslocamento!Passo a passo TABELA 6Uma pessoa anotou as posies e os tempos parat (s) x (cm) um objeto movendo-se em linha reta e obteve a056Tabela 6. Construa o grfico da posio em funo do148tempo e o da velocidade em funo do tempo. Admi-240tindo-se que esse objeto se mova sempre dessa ma-332neira, determine o instante em que passa pela posi-424o x = 20 cm e qual a posio nos instantes t = 7,0 s516e t = 3,5 s. Usando o grfico da velocidade, determine6 8o deslocamento entre 2 s e 6 s.x (cm)6 Os pontos da tabela que do a posio, em fun- o do tempo, quando colocados num grfico, ficam 30 como o que est na Figura 12. 16 t (s)Figura 12 Se escolhermos dois instantes, e suas respectivas posies, podemos calcu-lar a velocidade mdia do objeto. Vamos usar, por exemplo, os valores: t1 = 2 s x1 = 40 cm t2 = 5 s x2 = 16 cmA velocidade mdia ser:Dx x 2 - x1 16 - 40 - 24v = vmdia == == = - 8 cm / sDt t 2 - t15 - 2 3 28. Como a velocidade constante, e igual A U L A- 8 cm/s o grfico da velocidade uma retaparalela ao eixo t como mostra a Figura 13.A posio no instante t = 0 vale 56 cm, a3funo horria da posio vai ser portanto:x = 56 - 8 t Figura 13Com auxlio dessa funo, calculamos o ins-tante que o objeto passa pela posio x = 20 cm:20 = 56 - 8 t20 - 56=-8t - 36=-8t t = 4,5 sPodemos calcular tambm a posio, x no instante t = 3,5 s x = 56 - 8 3,5 x = 56 - 28 x = 28 cm tv (cm/s) Calculando-se a rea do retngulo no grfi- 0co da velocidade entre os instantes t = 2 s e t = 6 t -2 1 2 3 45 6 7 t (s)s (Figura 14), vemos facilmente que esse valor -4- 32: -32 cm. Isso pode ser verificado observan- -6do que, entre esses dois instantes, o objeto foi -8da posio 40 cm para a posio 8 cm. Isto ,voltou 32 cm. Figura 14Passo a passo Pedro mora em So Pedro da Aldeia que fica a 200 km de So Joo das Almasonde mora Joo. Exatamente entre as duas cidades, est Meipolis, outra cidadeda regio. Um carro est a 40 km de So Pedro e vai para So Joo por uma estradareta, com velocidade constante de 80 km/h. Depois de quanto tempo vai passarpor Meipolis e quando vai chegar em So Joo? Em geral, os problemas sobre movimento retilneo uniforme tm um aspectosemelhante ao descrito acima. Para resolv-lo, necessitamos definir umreferencial Como dissemos anteriormente, qualquer pessoa pode definir o seureferencial.sistema de referncia. Suponhamos que Pedro tivesse definido um e Joo, umoutro. Veremos que as respostas s questes vo ser as mesmas. Figura 15 29. A U L A Pedro pensou assim:Joo pensou assim: 3Vou medir as distncias a partir deVou medir as distncias a partir de So Pedro. O carro partiu de uma posi- So Joo. O carro partiu de uma posi- o situada a 40 km daqui, ento, suao situada a 160 km daqui, ento sua posio inicial x0 ser 40. medida posio inicial x0 ser 160. A medida que o tempo passa, os valores da posi- que o tempo passa, os valores da posi- o vo aumentando. Ento sua veloci-o vo diminuindo. Ento sua veloci- dade v positiva, e vale 80 km/h. Logo, dade v negativa, e vale 80 km/h. Logo, a funo horria da posio vai ser: a funo horria da posio vai ser: x Pedro = 40 + 80 tx Joo = 160 - 80 t Com essa funo, eu posso calcular Com essa funo eu posso calcular em que instante o carro vai passar em que instante o carro vai passar por Meipolis. Basta que eu faa por Meipolis. Basta que eu faa x Pedro = 100 km, pois Meipolis est axJoo = 100 km, pois Meipolis est a 100 km daqui. Ento: 100 km daqui. Ento:100 = 40 + 80 t100 = 160 - 80 t 100 - 40 = 80 t 100 - 160 = - 80 t 60 = 80 t- 60 = - 80 t33t = h = 45 min t = h = 45 min44 E vai chegar em So Joo quando E, vai chegar em So Joo quando x Pedro = 200 km x Joo = 0 km pois eu conto as distncias 200 = 40 + 80 t partir daqui. Ento:200 - 40 = 80 t0 = 160 - 80 t 160 = 80 t- 160 = - 80 tt=2ht=2hComo podemos ver, os resultados obtidos foram idnticos apesar dasfunes horrias serem diferentes. As funes horrias dependem do referencialque cada pessoa constri. Porm, desde que o raciocnio seja coerente, osresultados para as questes vo ser os mesmos.Exerccio 1 Um carro anda 160 km em 2 horas. Qual sua velocidade mdia? Qual a distncia que ele percorre em 4 horas? Se essa velocidade for mantida, quanto tempo gastar para percorrer 400 km?Exerccio 2 Um objeto est se movendo numa trajetria retilnea e suas posies com relao ao tempo esto dadas no grfico da figura abaixo. Determine: x (m)a) Sua posio no instante t = 0 (x0).x120b) Sua velocidade mdia. 100c) Sua funo horria.80d) Sua posio no instante t = 10 s.60e) Quando passa pela posio x = 180 m. 4020 0 1 2 3 4 5 6 7 t (s) 30. Exerccio 3 A U L A Um objeto move-se em uma trajetria retilnea. O grfico de sua velocidade est na figura abaixo. v (cm/s)315a) Qual o valor de sua velocidade?10b) Qual seu deslocamento entre os instantes t = 4 s e t = 20 s?5 048 12 16 20 t (s)Exerccio 4 Um objeto se move sobre uma trajetria retilnea. As posies ocupadas por esse objeto, com relao ao tempo, esto dadas na tabela. Determine:TABELA 7T (S)X (M )110215a) A funo horria da posio.320b) A posio no instante t = 12 s.425c) O instante no qual a posio vale 80 m.530Exerccio 5 Considere um problema semelhante ao do exemplo descrito no texto. Nesse caso, o carro est indo de So Joo para So Pedro, com uma velocidade de 50 km/h. Em que instante vai passar por Meipolis e quando vai chegar em So Pedro? v = 50 km/hNesta aula voc aprendeu: que para localizar um ponto precisamos saber uma, duas ou trs distnciasdo mesmo at um ponto fixo (referencial); que um corpo em movimento, pode ser localizado por meio de uma relaochamada funo horria; como obter a funo horria para um corpo movendo-se com velocidadeconstante; como descrever esse movimento por meio de grficos e tabelas. 31. A UA U L A L A 44 Acelera Brasil!S uponhamos que tenha sido realizado um estudo que avalia dois novos veculos do mercado: o Copa e o Duna. As pesquisas levantaram os seguintes dados:TABELA 1VECULOCOPA DUNA Velocidade mxima50 m/s (180 km/h) 50 m/s (180 km/h)Velocidade aps 30 m/s (108 km/h) 20 m/s (72 km/h) 10 segundos Levando em conta apenas essas informaes, voc seria capaz de responder: qual o melhormelhor? Para poder responder, preciso analisar as informaes fornecidas. lQuanto velocidade mxima atingida os dois podem andar no mximoa 180 km/h: houve empate e no podemos responder pergunta. lQuanto velocidade do veculo aps 10 segundos so diferentes nos doiscasos, mas para afirmar qual o melhor precisamos saber o que indicaessa medida, isto , entender o seu significadosignificado. Entendendo mais sobre a pesquisa Veja como ela foi realizada: inicialmente os veculos estavam parados; portanto suas velocidades eram nulas (zero). Num dado momento, o juiz deu a largada e os dois partiram numa pista reta reta. O primeiro fato importante que voc deve observar que a velocidade deixa de ser nula aps a largada. Isso quer dizer que houve variao da velocidade velocidade. O segundo fato importante que no mesmo tempo (10 segundos) o Copa atinge 30 m/s e o Duna apenas 20 m/s. A segunda medida relaciona duas grandezas: a variao da velocidade e o tempo gasto para ocorrer essa variao Observe a Tabela 2.variao.TABELA 2VECULOCOPADUNA Velocidade inicial 00 Velocidade final30 m/s20 m/s Variao da velocidade30 m/s20 m/s Intervalo de tempo10 s10 s 32. Veja que a velocidade do Copa variou de 0 a 30 m/s e a velocidade do DunaA U L Avariou de 0 a 20 m/s nos mesmos 10 segundos!Voc j sabe qual a velocidade de cada veculo aps 10 segundos, mas...4O que ocorre com a velocidade a cada instante?TABELA 3 A Tabela 3 indica, para alguns ins-COPADUNA tantes, o valor da velocidade marcada pelo velocmetro. Observe que, medi- v (m/s)t (s)v (m/s) t (s) da que o tempo passa, a velocidade0 0 0 0varia para ambos os veculos.6 2 4 2124 8 4Observe que num mesmo instante,186 126a velocidade do Copa maior do que a248 168do Duna. Pode-se dizer que o Copa 301020 20melhor, porque arranca mais rpido.Uma nova grandeza fsicaQuando falamos em arranque, na verdade estamos nos referindo relaoentre duas grandezas: variao da velocidade e tempo Essa nova grandeza, que tempo.nos ajudou a decidir qual dos dois o melhor uma grandeza fsica e recebe onome de acelerao acelerao. Acelerao uma medida da variao da velocidade de um corpo num certo intervalo de tempo.Esse o conceito de acelerao Pode-se tambm definir acelerao com a acelerao.ajuda da Matemtica. Como calcular a acelerao?Pegue, na Tabela 3, o valor da velocidade em dois instantes quaisquer ecalcule inicialmente a variao da velocidade (v), isto , a diferena entre asduas e o intervalo de tempo correspondente (t). Por exemplo, para o Copa:t1 = 2s e v1 = 6 m/s v = v2 - v1 = 24 - 6 = 18t2 = 8s e v2 = 24 m/s t = t2 - t1 = 8 - 2 = 6 Para calcular a acelerao, basta dividir essa variao pelo intervalo detempo necessrio para que ela ocorra. Definimos: Dv Acelerao a = DtAssim teremos: 18a = = 3(?) 6Qual a unidade usada para a grandeza acelerao acelerao? 33. A U L A Uma unidade para a acelerao 4Veja que a grandeza acelerao vem da combinao de duas outras gran-dezas: velocidade e tempo portanto a sua unidade obtida a partir das tempo,unidades dessas duas grandezas. Observe que a velocidade do Duna variadois metros por segundo a cada segundo, assim teremos metro por2segundo por segundo, abreviando m/s s ou m/s .De forma geral, a unidade da acelerao dada por uma unidade decomprimento dividida por uma unidade de tempo ao quadrado. 2Portanto, a acelerao do Copa 3 m/s . Lembre-se uma grandeza fsica Lembre-se:deve sempre vir acompanhada de sua unidade (Aula 2).Nesse caso, se voc calcular a acelerao para dois instantes de tempoquaisquer ir obter sempre o mesmo valor Isso quer dizer que a acelerao novalor.varia Podemos concluir que:varia.Nesse movimento a acelerao constante.Verifique essa afirmao calculando a acelerao para quatro intervalos detempo diferentes para o Copa e quatro para o Duna.Outra maneira de representar um conjunto de dados Os dados da Tabela 3 podem ser representados por um grfico, bastamarcar os valores de v e t , isto , v1 e t1,v2 e t2,v3 e t3,v4 e t4,v5 e t5 e uni-los comuma reta:v (m/s)v (m/s)30 3028 2826 2624 2422 2220 2018 1816 1614 1412 1210 10 88 66 44 220 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 34 5 678 910 t (s) t (s)Figura 1. Grficos v X t para o Copa ( esquerda) e para o Duna ( direita). DunaVoc viu como calcular a v (m/s)acelerao a partir dos dados 30da Tabela 3. Viu que, com esses28 26mesmos dados, foi construdo 24 av v8 v4 22 t t8 t4o grfico da Figura 1. Portanto20o grfico e a tabela represen- 18 16(v8, t8)tam o mesmo conjunto de da-14 12dos Logo, deve ser possveldos. 108obter o valor da acelerao a 6(v4, t4)4partir do grfico. Agora, obser-2ve o grfico da Figura 2, que0 1 2 34 5 678 910 t (s)mostra a velocidade do Dunaem funo do tempo.Figura 2. Grfico v X t para o Duna. 34. Tome dois pontos, por exemplo os pontos (v4 e t4) e (v8 e t8). A U L APela definio, a acelerao obtida dividindo-se a variao da velocidade(representada pela linha pontilhada vertical) pelo intervalo de tempo (represen-tado pela linha pontilhada horizontal). Assim teremos:416 - 8 8a == = 2 m / s2 8 - 4 4 Observe o grfico da Figura 3; nele esto representadas as retas que descre-vem as velocidades do Copa e do Duna em funo do tempo. Grfico de v x t v (m/s) 30Copa 28 26 24 22 20Duna 18 16 14 12 108642 0 1 234 5 6 78 9 10 t (s)Figura 3. Grfico de v X t do Copa e do Duna.Observe que a reta que representa o movimento do Copa mais inclinada,e lembre-se de que ele tem maior acelerao. Portanto, pode-se afirmar que: Num grfico de velocidade em funo do tempo v X t(que se l "v versus t"), quanto maior for a acelerao mais inclinada ser a reta que representa o movimento.Prevendo resultadosTABELA 4Ser possvel conhecer a velocidade dos veculosem outros instantes, por exemplo, quando t = 9 v (m/s) t (s)segundos? v0 = 3t0 = 0A resposta sim! Mas como? Veja: num certo v1 = 6t1 = 1momento, o co-piloto do Copa decidiu anotar os v2 = 9t2 = 2valores da velocidade, porm, o veculo j estava em v3 = 12 t3 = 3movimento naquele instante Observe na Tabela 4instante. v4 = 15 t4 = 4os dados que ele anotou.Voc j conhece duas maneiras de representar um conjunto de dados:atravs de tabelas e de grficos; mas existe outra!Vamos calcular outra vez a acelerao do Copa, agora escolhendo o par (v4, t4)da tabela 4 e um par (v,t) qualquer: t4 = 4s e v4 = 15 m/s t e vv - 15Podemos escrever: a=t-4 35. 2A U L A Sabemos que a acelerao do Copa 3 m/s , assim: 4v - 153 =t - 4ou seja, v - 15 = 3 (t - 4) v - 15 = 3 t - 12ento: v=3+3tEssa funo matemtica fornece o valor da velocidade em funo do tempo. Ela chamada de funo horria da velocidade que descreve o movimento do copa,que recebe o nome de Movimento Retlineo Uniformemente Variado (MRUV).Retilneo, pois o veculo anda em linha reta; variado, pois sua velocidade varia;e uniformemente vem do fato de a acelerao ter sempre o mesmo valor e,portanto, a velocidade varia sempre da mesma forma(uniforme). Note que, para o instante t = 0s, obtm-se v 0 = 3 m/s; e, se voc observar aTabela 4, ver que essa a velocidade inicial, isto , no instante em que o co-pilotoiniciou as anotaes! De uma maneira geral, podemos escrever para a velocidade v num instantet qualquer:v = v0 + a tonde v0 a velocidade inicial (em t=0) e a a acelerao, que constante.Agora possvel responder qual o valor da velocidade quando t = 9 s! ssubstituir o tempo na funo horria da velocidade:v9 = 3 + 3 9 = 3 + 27 = 30 m/sComo saber onde o veculo estar num certo instante?Na aula passada, voc estudou o Movimento Retilneo Uniforme (MRU),caso em que a velocidade no varia, ela constante. Para descrever o MRU vocestudou apenas como varia a posio em funo do tempo.Nesta aula voc est estudando um movimento em que, alm de a posiovariar, varia tambm a velocidade.Mas como varia a posio no MRUV claro que ela varia, pois esse fatoMRUV?caracteriza um estado de movimento!Voc capaz de se lembrar como foi calculado o deslocamento do carrono MRU?Foi pelo grfico da velocidade em funo do tempo (v X t): a rea da figuraformada pelo grfico fornece o deslocamento.Pode-se fazer de forma semelhante para o caso do MRUV. O quadro, no final daaula, indica, passo a passo, como obter a funo horria da posio do MRUV: 1 2 x = x0 + v0 t + at 2onde x 0 a posio inicial, v 0 a velocidade inicial, e a a acelerao.Nesse caso, como ser o grfico da posio em funo do tempo? Voc esperaque seja uma reta como no MRU? 36. Note que essa funo diferente daquela obtida para a velocidade: elaA U L A 2contm uma terceira parcela proporcional ao quadrado do tempo (t ). Isso fazcom que o grfico no seja mais uma reta, mas uma curva. Para construir o grfico de posio (x) por tempo (t) a partir da funo til, 4inicialmente, fazer uma tabela que indique os valores de x e t. Para encontrar as .posies, basta substituir o tempo na funo e calcular o valor de x! Mas preciso tambm conhecer o valor de x0 e v0. Tome, por exemplo, a Tabela 4. No instante inicial, isto , quando comeam aanotar os valores de v , a velocidade era 3 m/s; portanto, v0 = 3 m/s. Suponha quenesse instante o carro passou pelo marco 100 m da pista. Portanto, x0 = 100 m. 2Lembre-se de que a acelerao do Copa, nesse exemplo a=3 m/s . Substituindo esses valores na funo horria da posio temos: 2 x = 100 + 3 t + 1,5 t Essa funo descreve o movimento do Copa e fornece sua posio x emqualquer instante de tempo t . Como exemplo, vamos calcular a posio no instante t = 2 s. 2 x = 100 + 3 2 + 1,5 2 x = 100 + 6 + 6 = 112 mProsseguindo dessa maneira, possvel obter os outros valores e montara Tabela 6:TABELA 6Agora possvel construir o grfico dav (m/s) t (s) posio em funo do tempo:x0 = 100 t0 = 0v (m)x1 = 104,5 t1 = 1 155x2 = 112 t2 = 2150x3 = 122,5 t3 = 3145 140x4 = 136 t4 = 4135 130x5 = 152,5 t5 = 5125 120 115 110 105 Figura 410001 2 3 45 t (s)Observe que no se obtm mais uma reta: o grfico uma curva, que tem onome de parbola. possvel tambm representar as posies do veculo por intermdio de umeixo orientado, (lembre-se da Aula 3). Sentido0 x0 = 100 m x1 = 104,5 m x2 = 112 m x3 = 122,5 m x4 = 136 m x5 = 152,5 m 162,5 t0 = 0 s t1 = 1 s t2 = 2 s t3 = 3 s t4 = 4 s t5 = 5 sFigura 5 37. A U L A Observe na Figura 5 que, nesse caso, os deslocamentos aumentam com otempo: a cada segundo o deslocamento maior do que no instante anterior. 4Isso indica que a velocidade est aumentando: o movimento variado, nessecaso dizemos que ele acelerado acelerado.Breeeeeca! TABELA 5 v (m/s) t (s)No meio da pista havia um cachorro, v0 = 30t0 = 0havia um cachorro no meio do pista! De v1 = 25t1 = 1repente o piloto do Copa avistou o animal e v2 = 20t2 = 2rapidamente acionou os freios. Sem perder v3 = 15t3 = 3tempo, o seu co-piloto anotou os valores da v4 = 10t4 = 4velocidade: v5 = 5 t5 = 5 v6 = 0 t6 = 6 Note que a velocidade agora est dimi-nuindo o veculo est freando!nuindo:Qual ser agora o valor da acelerao nesse caso? Pegue, por exemplo: t1 = 1 s e v1 = 25 m/s t4 = 4 s e v4 = 10 m/sCalculando a acelerao: v 4 - v1 10 - 25 ento: a = - 5 m/s 2a== t 4 - t1 4-1 Observe que o valor da acelerao negativo! O sinal da acelerao oposto ao da velocidade (que positiva). Isso indica que o movimento desacelerado isto , o carro est freando.Observe o grfico v X t nesse caso:desacelerado,Veja que a reta tem uma inclinao v (m/s)diferente do caso em que o movimento acelerado quando a velocidade cresce.35Abaixo esto representados os grficos 30v X t para os trs casos; quando o movi- 25mento acelerado (a > 0); quando 20desacelerado (a < 0), ambos exemplos de15Movimento Retilneo Uniformemente 10Variado e; no caso especial, quando a ace- 5lerao nula (a = 0): nesse caso, a veloci-dade no varia e temos um exemplo de 0 1 2 3 45 6 t (s)Movimento Retilneo Uniforme - MRU(Aula 3).Figura 6 38. MRUVMRUV MRUA U L A 4 acelerado desaceleradodesacelerado v constante v a>0 va fat grande e pequeno -> fat pequeno. N constante nos dois casos!Mas o que ocorre com a fora de atrito quando o corpo est parado?Atritoesttico e atrito dinmico Se no h algum puxando ou empurrando o armrio, no haver motivopara que o solo impea seu movimento (Figura 6); mas, se comeamos aempurrar o armrio com uma fora pequena, que no suficiente ainda para queele se mova, (por exemplo, o armrio sendo empurrado por uma pessoa),podemos ver que aparece uma fora de atrito para impedir que o armrio ande,e, medida que mais pessoas vo empurrando, a fora de atrito vai aumentando,at que, finalmente, um nmero suficiente de pessoas consiga empurrar oarmrio. Isso significa que a fora de atrito parou de crescer. FR N = FRNF fat PAPAFigura 6Podemos fazer um grfico do comportamento da fora de atrito em relao fora que est sendo aplicada no armrio (Figura 7) fat EstticoDinmico 450F Figura 7. Grfico fat X F Enquanto a fora de atrito est aumentando, o armrio no se move.Chamamos, nessa situao, o atrito de: atrito estticoesttico. 88. Quando a fora que est sendo feita sobre o armrio aumenta o suficiente A U L Apara moviment-lo, a fora de atrito passa a ter seu valor constante, chamamosento, nessa situao, o atrito de atrito dinmico. Um exemplo muito comum disso acontece quando empurramos um carro:10inicialmente comeamos a fazer uma certa fora e vamos aumentando essafora at que o carro comece a andar; nesse momento, a fora que fazemos paraempurrar o carro menor do que no instante anterior em que o carro aindaestava parado. preciso observar que, em cada uma dessas situaes, o coeficiente deatrito diferente apesar de estarmos olhando para o mesmo corpo, ou seja,estando ele parado ou em movimento. Por isso, haver o coeficiente de atrito esttico (e) e o coeficiente de atritocintico (c ), que sero usados, dependendo se o objeto que est sob a ao dafora de atrito estiver parado ou se movendo.Aspectos positivosdafora deatrito Nem sempre a fora de atritonos atrapalha nas tarefas que temosque cumprir. Ao contrrio, muitasvezes ela nos ajuda. Por exemplo, quando andamos,estamos empurrando o cho paratrs e este nos empurra para frente,permitindo que andemos. Imaginese caminhssemos sobre uma su-perfcie de gelo, ou mesmo por umcho cheio de cera, teramos pro- Figura 8blemas para nos deslocar, pois nohaveria atrito. Um automvel anda para a frente quando seus pneus empurram o chopara trs e este os empurra para frente. Quando o carro faz uma curva, isso ocorreporque existe o atrito entre o pneu e o cho; se no houvesse esse atrito o carrosairia reto nas curvas. Em vrias indstrias, existem esteiras para transporte de material, desdegros de trigo a limalha de ferro (esta ltima para ser jogada em fornos). Essasesteiras transportam o material porque existe um atrito entre elas e o material. Seno houvesse, o material ficaria escorregando na esteira sem conseguir sair dolugar. Vrios so os exemplos em que o atrito nos ajuda em nosso dia-a-dia. Mas, voltemos ao problema do armrio. Como j fizemos o isolamentoisolamento,agora vamos ao segundo passo: construir as equaes dinmicas usando adinmicas,segunda lei de Newton.2 passo - equaes dinmicasQual ser a fora mnima que deve ser feita para que o armrio se mova,supondo que o armrio tenha um peso de 200 kg e que o coeficiente de atritoesttico entre o solo e o armrio e seja igual 0,5? 89. A U L A Sabendo que ele no vai se mover no sentido vertical, por isso, podemosescrever que a soma das foras na vertical igual a zero:10P - N = 0 -> N = PSupondo a fora mxima que podemos fazer para que o armrio estejaprestes a se mover, mas que ainda no tenha se movido:F - fat = 0 => F = fatObteremos, ento, duas equaes dinmicas: N=Pe F = fat Podemos, assim, passar para o terceiro passo que resolve esse sistema deduas equaes e duas incgnitas (F e N):Soluodasequaes dinmicasNa primeira equao temos que: N = P = mg = 200 kg 10 m/s = 2.000 N N = 2.000 N Na segunda equao, precisamos lembrar da relao entre a fora de atritoe a fora normal: F = Fat = m N = 0,5 2.000 = 1.000 N F = 1.000 N E essa a fora mxima que podemos fazer antes que o armrio se mova. Essafora equivalente a levantar um peso de 100 kg. Com isso, pudemos prever a fora mnima que devemos fazer para que oarmrio esteja prestes a se mover. Mas precisamos de alguma forma diminuir afora de atrito para empurrar com mais facilidade o armrio. Uma soluo jhavia sido dada, que simplesmente diminuir o peso do armrio, com issodiminumos a fora normal e, conseqentemente, a fora de atrito. Mas s vezes isso no suficiente. Precisamos controlar a fora de atrito deoutra forma: a nica forma que nos resta, fora controlar o peso do armrio, controlar a fora de atrito pelo coeficiente de atrito (). No coeficiente de atrito,est a informao se o atrito entre duas superfcies grande ou no. Se o atrito entre o cho e o armrio grande, temos que colocar algummaterial entre o armrio e o cho que diminua o coeficiente de atrito. Vamos supor que o cho de madeira. Uma forma de diminuir o atrito seriacolocar um pano entre o armrio e o cho. Alguns mveis poderiam ser rapidamentemovimentados com essa soluo, principalmente os de fundo muito spero. Uma outra forma seria colocar cera no cho. Assim como a gua provoca aderrapagem de um carro, por se transformar numa pequena camada entre opneu e o asfalto, fazendo com que o carro perca o contato com o asfalto, a cerafaria o mesmo papel, seria uma pequena camada entre o mvel e o cho de modoque este deslizaria pela madeira. Andar num cho encerado, uma experinciamuito comum e pode provocar grandes quedas e escorreges! Essas so solues que podem ser aplicadas em vrias situaes, por exem-plo quando queremos pendurar um quadro ou prender uma estante na parede;fazemos um furo e colocamos uma bucha, mas quando posicionamos o parafuso,temos dificuldade para gir-lo at o fim da bucha. Isso pode ser solucionadocolocando-se um pouco de leo de cozinha, ou mesmo um lubrificante dentro dabucha, que tem a funo de diminuir o atrito entre o parafuso e a bucha. 90. Vimos nesta aula: A U L AO conceito de fora de atrito ( fat ).10ll sua relao com a fora normal ( N );que pode ser representada pela equao: Fat = Nl vimos tambm como resolver situaes em que o atrito atrapalha nossoservio, ou seja, podemos planejar para antecipar as conseqncias domovimento de um corpo em situaes onde haja atrito;l e outras situaes em que o atrito nos ajuda a realizar movimentos ou tarefas.Exerccio 1 Para pensar: nas fbricas de automvel, so pintados carros de vrias cores. O que aconteceria se a lataria do carro fosse muito lisa? A tinta se prende- ria na lataria?Exerccio 2 Na figura abaixo, vemos um plano, que tem uma inclinao segundo o ngulo q com a horizontal. Qual ser a inclinao mxima que o plano pode ter sem que a caixa escorregue ladeira abaixo? Suponha que a massa m da caixa seja igual a 100 kg e que o coeficiente de atrito esttico seja igual a 0,5.Exerccio 3 Um operrio deseja empurrar uma caixa de 100 kg, sobre uma superfcie de madeira, mas no sabe quanta fora no mnimo ter que fazer para conseguir seu intento. Para descobrir, ele precisa obter o coeficiente de atrito esttico entre o fundo da caixa e a superfcie. Portanto, realiza a seguinte experincia: coloca a caixa sobre um pedao de madeira e, com seu macaco hidrulico, vai inclinando o conjunto como vemos na figura abaixo. Finalmente, ele mede o ngulo em que a caixa comea a deslizar. Faz isso vrias vezes e descobre um valor mdio de 26,50, para o ngulo. Dadas essas informaes, qual o coeficiente de atrito entre a caixa e a madeira? 91. A UA U L A L A1111 Vamos dar uma voltinha?A patinadora desliza sobre o gelo, braos estendidos, movimentos leves, msica suave. De repente encolhe os braos junto ao corpo, gira velozmente como um pio, volta a estender os braos e pra por alguns instantes. O pblico, encantado, aplaude.Cristiana, comovida, assiste cena pela televiso. Ento, uma pergunta lhe ocorre. Por que sempre que giram desse jeito os patinadores encolhem os braos e, quando querem parar, voltam a estend-los? Ser que isso tem alguma coisa a ver com a Fsica? claro que sim. Tudo tem a ver com a Fsica. Se ela fizer essa pergunta a um fsico, ele provavelmente lhe dir que a patinadora encolhe os braos para girar mais depressa, devido ao princpio da conservao do momento angular uma angular. forma complicada de explicar uma idia razoavelmente simples. Suponha que um corpo est girando e no h nenhuma ao externa atuando sobre ele. Quanto mais concentrada a massa desse corpo estiver no seu eixo de rotao, mais rapidamente ele pode girar, ou vice-versa. Se a distribuio da massa se afastar do eixo de rotao, ele vai girar mais lentamente. Figura 1aObserve a Figura 1a. Com os braos encolhidos, a massa da patinadora est mais concentrada junto ao seu eixo de rotao, por isso ela gira mais rapidamente do que com os braos abertos. Abrindo os braos, ela distribui sua massa de forma a afast-la ao mximo do seu eixo de rotao. Assim, o seu movimento fica mais lento e mais fcil de parar.Uma demonstrao experimental muito interessante pode ilustrar essa afirmao. 92. A U L A11 Figura 1b Observe a Figura 1b. Uma pessoa sentada numa cadeira giratria, segurandodois halteres com os braos estendidos, posta a girar. Se ela encolher os braos,trazendo os halteres para junto do seu corpo, a rapidez do seu movimento derotao aumenta. Se ela voltar a estend-los, a rapidez diminui, sem que para issotenha sido feita qualquer ao externa. Essa compensao entre rapidez de rotaoe distribuio de massa explicada pelo tal princpio da conservao do momentoangular.angular Mas essas no so as nicas caractersticas interessantes do movimentode rotao. Um pio, por exemplo, s pode permanecer em equilbrio en-quanto gira; as bicicletas s podem se manter em equilbrio devido aomovimento de rotao de suas rodas.Veja na Figura 2 que, graas rotao, o pio se mantm emp sozinho, em equilbrio, apoiado apenas numa extremidadedo seu eixo. A prpria Terra mantm constante a inclinao doseu eixo graas ao seu movimento de rotao. Figura 2O movimento de rotao est sempre presente em nosso dia-a-dia. Todos osveculos tm rodas, quase todas as mquinas tm eixos e polias que giram ligadaspor correias e engrenagens. Infelizmente, nem todos os aspectos da rotaopodero ser estudados neste curso. Muitos exigem uma formulao matemticamuito complicada, mas algumas noes bsicas necessrias sua compreensosero vistas aqui.Rotao: um movimento peridico Imagine uma roda de bicicleta ou a polia de um motor girando. Durante essemovimento, cada ponto da roda ou da polia descreve circunferncias, continu-amente. Em outras palavras, durante o movimento, cada ponto passa repetidasvezes pela mesma posio. Por isso, o movimento de rotao considerado um peridico.movimento peridico O nmero de circunferncias, ou ciclos descritos numa unidade de tempo ciclos, a freqncia desse movimento. Assim, se cada ponto da polia de um motordescreve 600 ciclos em 1 minuto, dizemos que essa polia gira com uma freqnciade 600 ciclos por minuto. Nesse caso, ao invs de ciclos, costuma-se dizerrotaes. Logo, a freqncia de 600 rpm (rotaes por minuto). Se adotarmoso SI, a unidade de tempo deve ser o segundo Portanto, como essa polia descrevesegundo.600 ciclos em 60 segundos (1 minuto), a sua freqncia ser:600 ciclos = 10 ciclos / s 60 segundos 93. A U L A A unidade ciclos/s denominada hertz cujo smbolo Hz. Portanto, ahertz,freqncia dessa polia, no SI, de 10 Hz. fcil ver que 1 Hz = 60 rpm rpm.11Se um ponto passa vrias vezes pela mesma posio, h um intervalo detempo mnimo para que ele passe por duas vezes por essa posio. o intervalode tempo que ele gasta para descrever apenas uma volta ou um ciclo Esseciclo. movimento.intervalo de tempo denominado perodo do movimentoQual ser o perodo do movimento de rotao da polia do nosso exemplo?Para responder essa pergunta, vamos, inicialmente, adotar o minuto comounidade de tempo. Se a polia descreve 600 ciclos em 1 minuto, para determinaro seu perodo, preciso calcular o tempo que ela gasta para descrever 1 ciclociclo.Uma regra de trs simples resolve o problema:600 ciclos 1 minuto 1 ciclo x minutosLogo, teremos:1 x = min 600que o perodo do movimento da polia, em minutos.Se fizermos o mesmo clculo utilizando o segundo, como unidade de tempo,vamos obter:1x = s, 10que o perodo do movimento da polia, em segundos.Observe que quando a freqncia era 600 rpm, o perodo era 1/600 min,quando a freqncia era 10 Hz, o valor do perodo era 1/10 s. fcil ver que ovalor do perodo sempre o inverso do valor da freqncia. Simbolizando afreqncia com f e o perodo com T podemos representar essa relao pelaexpresso: 11 f = ou ainda:T = Tf Sempre que o perodo estiver em segundos a freqnciacorrespondente ser dada em hertzhertz.Passo-a-passo Qual a freqncia e perodo do movimento dos ponteiros de um relgio? Um relgio geralmente tem trs ponteiros: (a) um, que marca os segundos,(b) um, que marca os minutos e (c) um, que marca as horas. Cada um deles, temfreqncia e perodo diferentes.a) O ponteiro dos segundos d uma volta a cada 60 segundos. Portanto, o seu perodo : T = 60 s Como a freqncia o inverso do perodo, temos: 11 f = =Hz T 60 94. b) O ponteiro dos minutos d uma volta por hora, ou 60 minutos, ou 3.600 A U L A segundos. Logo, o seu perodo em segundos, : A freqncia : T = 3.600 s 11 1 1 f = = Hz T 3.600c) Com raciocnio semelhante, voc pode obter para o ponteiro das horas: 1 T = 43.200 s e f =Hz43.200Passo-a-passoUm satlite de telecomunicaes fica parado em relao Terra. Qual operodo e a freqncia desse satlite?Para que o satlite fique parado em relao Terra, preciso que eleacompanhe o movimento de rotao do planeta. Isso significa que, quando aTerra der uma volta em torno do seu eixo, o satlite tambm dever fazer omesmo (veja a Figura 3). Logo, o perodo do satlite igual ao perodo da Terra.Portanto: T = 1 dia, ou T = 24 h, ou T = 86.400 s 11A freqncia : f = 1 rotao/dia, ou f =rotaes/hora, ou f =Hz24 86.400 rraa Te odnte vim MoMo vim ento d o S a t li t eFigura 3Velocidade angularSuponha que um disco est girando. Numintervalo de tempo Dt seus raios descrevem ouvarrem um determinado ngulo Dj (veja a Fi-gura 4).A relao entre esse ngulo e o tempo gastopara descrev-lo a velocidade angular dodisco. Matematicamente: Dj w = Dt Figura 4 95. A U L A Como no SI os ngulos so medidos em radianos, a unidade de velocida-de angular rad/s. Assim, se um disco gira descrevendo um ngulo de 60,11que igual a p/3 rad, num intervalo de tempo de 2 segundos, sua velocidadeangular ser: p p w = 3 = rad / s 2 6A rigor, essa a velocidade angular mdia nesse intervalo de tempo.Entretanto, como vamos estudar apenas movimentos de rotao em que avelocidade angular constante, no haver, aqui, distino entre velocidadeangular mdia e velocidade angular instantnea. Ambas sero chamadas sim-plesmente de velocidade angular angular.Veja como se faz para transformar graus em radianos: Relaes entre graus e radianospSabe-se que p rad = 180, logo 1 = rad .180Ento, para transformar um ngulo em graus para radianos basta multiplicaro seu valor por p . 180 ppExemplo: 60 = 60 rad = rad 180 3Para transformar radianos em graus, s inverter o procedimento multiplicando180por p p p 180Exemplo: rad = = 60 3 3 p Se a velocidade angular de um disco for constante, ele descreve ngulosiguais em tempos iguais. Isso significa que o tempo gasto para dar uma voltacompleta, que corresponde a um ngulo de 360 ou 2p rad, ser sempre igual.Portanto, o perodo e a freqncia do disco sero, tambm, constantes. Almdisso possvel, nessas condies, relacionar essas trs grandezas. Ao descrever uma volta completa, o disco varre um ngulo Dj igual a 2 p rad.Como o intervalo de tempo Dt para dar uma volta completa igual ao perodo,T, a velocidade angular desse disco ser: Dj2pw = w = DtT1Mas f = , portanto, podemos escrever:T1 w = 2p w = 2 pfT 96. Movimento Circular UniformeA U L A et r da formigui a Suponha que um disco gire com veloci- dade angular constante. Como vimos, a fre-11ajin qncia e o perodo tambm sero constantes.haTr Nesse caso, cada ponto desse disco descreve um Movimento C ircular Uniforme (MCU) (MCU). Se voc vir uma formiguinha apavorada agar- rada a um disco girando no seu toca-discos, voc estar vendo a coitadinha descrever um movimento circular uniforme. Isso vale tam- bm, por exemplo, para qualquer ponto de Figura 5 uma polia ligada a um motor que gira com freqncia de rotao constante.Como se pode equacionar o movimento circular uniforme? Que variveisdevemos escolher para equacionar o movimento circular uniforme, lembrandoque equacionar um movimento estabelecer uma relao matemtica entre duasde suas variveis (posio tempo, velocidade tempo etc.). As mesmas variveisdo MRU ou do MRUV?A resposta no Em vez de uma equao da posio em funo do tempo, no.por exemplo, ser mais til uma equao do ngulo descrito em funo dotempo, uma equao angular Isso porque a posio no uma varivel muito angular.conveniente, pois um mvel com MCU passa seguidamente pelo mesmo ponto.Isso no acontece com o ngulo D j que esse mvel descreve ou varre enquantose movimenta. Os seus valores nunca se repetem. Cada vez que o mvel passapelo mesmo ponto, o valor do ngulo acrescido de 360 ou 2 p rad.Assim, possvel estabelecer uma relao matemtica entre esse ngulo e oinstante em que ele est sendo descrito, porque no existem dois ngulos iguaispara instantes diferentes. Essa equao, conhecida como equao ou lei angulardo MCU, expressa por:j = j0 + wtVeja a deduo no quadro abaixo: Deduo da lei angular de um MCUtLembrando a definio de velocidade angular Dj w = (1) Dtt0 fcil ver, na figura, que D j = j - j0 (2), como D t = t - t0 .0 Fazendo t0 = 0, temos D t = t (3), substituindo (1) e (2), em (3), obtemos: Figura 6 j - j w = j = j0 + w t tonde j o ngulo, ou fase, no instante t e j0 o ngulo ou fase inicial no instanteinicial,t0 = 0. 97. A U L A Sabendo-se o ngulo descrito por um mvel num certo instante e o raio dacircunferncia descrita, fcil determinar a posio de um mvel em MCU.11Suponha, por exemplo, que a nossa pobre formiguinha, ainda mais apavo-rada, est presa a uma roda de bicicleta de 0,5 m de raio, que gira com um perodoconstante de 2 s. Se acionarmos um cronmetro no instante em que o raio da rodaem que est a formiguinha descreve um ngulo nulo, qual ser a posio dacoitadinha depois de 4,2 s?Para resolver esse problema, preciso, inicialmente, determinar o ngulodescrito por esse raio no instante t = 4,2 s. Isso significa aplicar a lei angular doseu movimento e calcular o valor de j para t = 4,2 s. Para determinar a lei angular,j = j0 + wt, basta determinar o valor de w j que o ngulo inicial j0 = 0, conformeo enunciado (o cronmetro foi acionado quando o ngulo era zero). Lembrandoque w = 2 p/T e T= 2s obtemos w = p rad/s. Assim, a lei angular do movimentodo ponto A :j=ptNo instante t = 4,2 s o ngulo descrito :rad180 0Localizao da formiguinhaj = p 4, 2 s = p 4, 2 = 756 0 sp Onde estar ento a pobre formiguinha?5m 0, fcil, basta desenhar um ngulo de 756,r=36isto , 2 360 + 36 e a localiz-la. Veja aFigura 7. Figura 7Velocidade de um ponto material em MCUAt agora s falamos em velocidade angular de um ponto material. umavelocidade meio esquisita - ela sempre nos obriga a imaginar que existe umsegmento de reta ligando o ponto ao centro da circunferncia. Seno, nopoderamos falar em ngulos descritos ou varridos Mas claro que, estando em varridos.movimento, o ponto vai percorrer distncias em intervalos de tempo, isto , eletem tambm uma velocidade. Essa a sua velocidade (v) sem sobrenome, a que (v),temos nos referido at aqui, no estudo dos outros movimentos. Muitos gostamde cham-la de velocidade linear ou escalar para distingui-la da velocidadeangular, mas isso no necessrio pois no estamos introduzindo um novoconceito.Se calcularmos o valor da velocidade v de um ponto material com MCU,vamos obter sempre o mesmo resultado. Isso porque esse ponto percorredistncias (arcos de circunferncia) iguais em tempos iguais. Em cada ciclo, porexemplo, o percurso sempre o mesmo, o comprimento da circunferncia. Otempo gasto para percorr-la tambm, pois, nesse caso, o tempo o perodo (T),e o perodo no MCU constante.Alis, a partir dessa observao, podemos obter uma expresso para ovalor de v no MCU. Como o comprimento da circunferncia 2pr e o tempopara descrever 1 ciclo igual ao perodo T, dividindo-se o comprimento dopercurso, 2pr, pelo tempo gasto para descrev-lo (T), tem-se o valor davelocidade. Logo: 2 pr v =T 98. 1 Essa expresso pode ser escrita como v = 2 pr A U L A T 11 1 Lembrando que f = , temos T v = 2 prf Lembrando ainda que, se: 2p w =Tpodemos achar uma relao entre a velocidade v e a velocidade angular w desseponto material. Basta fazer2p v = r To que nos leva a: v=wrEssas relaes nos ajudam a perceber uma propriedade muito importante domovimento circular: a velocidade v do ponto material depende da freqncia(ou perodo) do movimento e do raio da circunferncia descrita, enquanto avelocidade angular w depende apenas da freqncia (ou perodo), mas nodepende do raio. Esse, alis, um resultado esperado j que num MCU, avelocidade angular constante.Passo-a-passo Os pneus de um carro tm 60 cm de dimetro, com calotas de 30 cm dedimetro. Suponha que o carro esteja com velocidade de 108 km/h. Determine:a) a velocidade de um ponto localizado na borda de um pneu (v p);b) a velocidade angular (wp) desse ponto;c) a velocidade angular (wc) de um ponto na borda de uma das calotas;d) a velocidade (vc) desse ponto;e) a freqncia e o perodo do movimento desses pneus.a) Se os pneus no esto derrapando, os pontos localizados nas suas bordas, em contato com o cho, tm a mesma velocidade do carro. Portanto, a velocida- de de um ponto localizado na borda de um pneu :vp = 108 km/h ou vp = 30 m/sb) Lembrando que v = wr, podemos escrever:vvp = wp r wp = p r Mas, como o ponto est na borda do pneu de 60 cm de dimetro, o raio : 60 cmr= = 30 cm = 0,3 m 230 m / s Portanto, wp = wp = 100 rad/s 0, 3 mc) Como a velocidade angular constante, wp = wc Logo, a velocidade angular de um ponto na borda da calota :wc = 100 rad/s 99. A U L A d) Lembrando, novamente, que v = wr, podemos escrever vc = wc rc, onde rc o raio da calota.11 Como rc = 30 cm 2 = 15 cm = 0,15 m, temos: vc = 100 0,15 vc = 15 m/se)Como a relao entre velocidade angular e freqncia w = 2 pf, pode-se obter f fazendo: w f=2p Portanto, a freqncia do movimento dos pneus :100 f= f @ 16 Hz (aproximadamente)2p Isso significa que o pneu d 16 voltas por segundo ou 960 rotaes por minuto.11 Sendo: T = , o perodo de movimento do pneu : T =s f16 Movimentos circulares acoplados Os motores, em geral, tm uma freqncia de rotao fixa que depende daforma como eles so construdos e das suas condies de utilizao. Entretanto, asmquinas acionadas por eles tm, quase sempre, sistemas girantes que exigemdiferentes freqncias de rotao fornecidas, muitas vezes, por um s motor. Paraisso, o eixo desse motor acoplado a polias de diferente


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