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VIII - As Bobinas de Helmholtz e a Razão e/m para o Elétron 65

Eletromagnetismo Experimental L

Experimento VIII AS BOBINAS DE HELMHOLTZ E A

RAZÃO e/m PARA O ELETRON.

1. OBJETIVO. Estudar o campo magnético produzido pelas bobinas de Helmholtz e usa-las junto a um tubo de raios catódicos para medir a carga específica e/m do elétron.

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS. 2.1 BOBINAS DE HELMHOLTZ. O campo magnético produzido por uma espira circular de corrente de raio a, em um ponto do eixo de simetria da espira (eixo z), constitui uma aplicação simples, da lei de Biot e Savart, discutida em diversos textos básicos de eletromagnetismo. Na figura 1 mostra-se o sentido do campo magnético B(z), que pode ser confirmado usando a regra da mão direita, e na expressão (1) apresenta-se o comportamento do campo com z, distância do ponto de observação ao

centro da espira ( z = 0).

zB ˆ)a(z

a2

I (z) 3/222

20

+=

µ (1)

No presente experimento faz-se uso de uma configuração de corrente conhecida como bobinas de Helmholtz, que se compõe de duas bobinas circulares de mesmo raio, com eixo comum, separadas axialmente por uma distância escolhida tal que a segunda derivada de B(z) no ponto eqüidistante das bobinas, no eixo de simetria z, seja nula. A figura 2 ilustra esta distribuição de corrente.

E, usando a expressão (1), escreve-se para o campo magnético no ponto z a relação abaixo. O fator N surge em razão de cada bobina possuir N espiras.

[ ] zB ˆaz)-(2b

1)a(z

12IaN 3/2223/222

20

+

++

=µ

Verifica-se que i) a primeira e terceira derivada de B com respeito a z é nula em z = b, isto é,

0 bzdz

(z)d bzdz

(z)d 3

3=

==

=

BB (2)

ii) e que, escolhendo 2b = a resulta para a segunda derivada de B em z = b, também, um valor zero, isto é,

0 bzdz

(z)d 2

2=

=

B se 2b = a. (3)

I

0 zB

2b N espiras

a

Figura 2. Campo axial de uma bobina de Helmholtz.

I

Figuram 1. Campo axial de uma espira de raio a

I 0 z

B

z

66 As Bobinas de Helmholtz e a Razão e/m para o Elétron


Verifique estes resultados citados em i) e ii). Com essa separação, distância entre as bobinas igual ao raio, a indução magnética no ponto médio (z = b) será

zzB ˆa

NIµ715,0 ˆ5(

8a

INµ (z) 03/2)0 == . (4)

As bobinas de Helmholtz possuem um importante papel na investigação científica, onde são usadas para produzir um campo magnético aproximadamente uniforme em pequena região do espaço. Consideremos o campo magnético num ponto sobre o eixo e próximo à meia distância entre as bobinas. O campo pode ser expandido numa série de Taylor em torno do ponto z = a/2:

⋅⋅⋅+=

+=2

22 a/ zdzdB(z) )a-(z )a( (z) BB .

Como as três primeiras derivadas se anulam em z=a/2, escreve-se

⋅⋅⋅+=

+=2

4

44

2241

2a/ zdz

B(z)d)a-(z )a( (z) BB

. Calculando a quarta derivada explicitamente em z=a/2 e substituindo na relação anterior obtém-se a aproximação:

⋅−= 42125144

2 )aa/-z(1 )a( (z) BB (5)

Consequentemente, na região onde |z-a/2| é menor que a/10, B(z) difere de B(a/2) em menos do que uma parte e meia em dez mil. Verifique esta afirmação. Assim o campo no interior de tal sistema de bobinas é a menos de pequenas flutuações dado pela expressão (4). O valor de µ0 é 1,2563x10-6Tm/A

2.2 A CARGA ESPECIÍFICA e/m. Elétrons em movimento num campo magnético B estão submetido a uma força F, perpendicular à direção do campo e à direção do movimento. A intensidade da força é proporcional à carga e, à velocidade v, à densidade de fluxo magnético B e depende da direção do movimento, isto é,

BF ×−= ev . (6)

Caso a velocidade v do elétron seja perpendicular à densidade do fluxo magnético B, escreve-se

Be F v= (7)

para a intensidade da força, sendo e, nestas relações e nas que seguem, o valor absoluto da carga do elétron.

Sob a ação desta força, em um campo magnético uniforme suficientemente intenso, o elétron movimentará em uma trajetória circular de raio r. Neste caso a foça F, a única atuando sobre elétron, é a força centrípeta e, então, tem-se

rmB

2vev = , (8)

explicitando v resulta

Brme =v . (9)

Considerando que a velocidade v do elétron seja adquirida na aceleração deste por uma diferença de potencial V e tendo em conta o princípio de conservação da energia, segue que

V m21 2 ev = (10)

e, imediatamente, obtém-se

2Vme =v , (11)



que substituída na relação (9) leva à seguinte expressão para a massa específica do elétron

22Br2V

m=

e . (12)

Usando uma montagem experimental, onde todas as grandezas do lado direito da relação (11) podem ser medidas, é possível determinar a massa específica do elétron. Isso faremos na parte prática a seguir.

3. PARTE PRÁTICA Um tubo de raios catódicos filiformes junto a um par de bobinas de Helmholtz, permite estudar o comportamento de um raio eletrônico em um campo magnético orientado perpendicularmente à trajetória dos elétrons, que é visualizada pela fluorescência do gás nobre contido no tubo.

3.1 TUBO DE RAIOS CATÓDICOS. O tubo de raios catódicos contém uma escala constituída de quatro pequenas barras metálicas distanciadas de 4, 6, 8 e 10cm do bico do gerador de raios eletrônicos. Tal escala que se encontra no eixo do tubo permitirá uma medição acurada do diâmetro da órbita dos elétrons, com o fim de determinar a carga específica e/m dos elétrons.

Depois de esvaziado o tubo foi enchido com argônio a uma pressão de aproximadamente 10-1Pa (10-3mbar). Esta pressão residual é importante para obter a concentração do feixe de elétrons. Com efeito, os elétrons chocam ao longo de sua trajetória contra moléculas do gás, ionizando as de tal modo que o raio fica visível pela recombinação fluorescente. Por outro lado, como nos processos de ionização somente os elétrons secundários

produzidos são lançados para o exterior do feixe , os íons positivos e inertes do argônio forma uma linha ao longo da trajetória dos elétrons. Devido às forças de atração eletrostática, esta linha joga um papel muito importante para obter uma excelente concentração do feixe, inclusive através de longas trajetórias.

3.2 BOBINAS DE HELMHOLTZ. Duas bobinas de Helmholtz, idênticas, cada uma sobre um pedestal feito de plástico, são relativamente posicionadas por três distanciadores metálicos, de tal maneira que a distância axial entre elas seja igual ao raio médio de cada bobina. Os distanciadores podem ser montados (ou desmontados) inserindo ou soltando os encaixes, nas extremidades destes, dos suportes com parafuso existentes nas bobinas. As bobinas podem ser usadas, também, separadas, para outros propósitos. Dois destes distanciadores estão providos de garras metálicas para segurar o tubo de raios catódicos filiformes no centro do par de bobinas de Helmholtz. As entradas e saídas (pontos de conexão), para cabos de de energia elétrica, estão embutidas no pedestal de plástico das bobinas. As bobinas podem ser, à escolha, ligadas em série ou em paralelo. A numeração nos pontos de conexão (1; 2) facilita tais ligações. As bobinas apresentam uma seção transversal retangular, onde pode-se contar 14 camadas de fio de cobre, cada camada com 11 espiras, resultando um total de 154 espiras.

3.3 DADOS TÉCNICOS.

Tubo de raios catódicos filiformes:



Gás no tubo de vidro Argônio Pressão do gás 10-1Pa Tensão de aquecimento no cátodo 6,3V Tensão do cátodo, máxima -50V Tensão da grade 0V Tensão do ânodo, máxima +250V Comprimento total do tubo 47cm Diâmetro do bulbo (aprox.) 170mm Par de bobinas de Helmholtz: Diâmetro da bobina 400mm Número de espiras 154 Resistência da bobina 2,1Ω Corrente máxima na bobina 5A Densidade máxima de fluxo com I=5A e a instalação de Helmholtz. 3,5mT

3.4 MATERIAL.

Para a montagem experimental descrita na figura 3 são necessários os seguintes instrumentos:

- Tubo de raios filiformes. - Bobinas de Helmholtz. - Fonte de alimentação dc (0 ... 18V). - Fonte de alimentação dc CONSTANTER, (0...50V), (0...300V), (0...300V) e (6,3V) . - Teslímetro, (Teslamater) digital, com sonda Hall, tangencial ou axial. - 2 multímetro analógico demo ADM 2 ou Instrumento de bobina móvel com fundos de escala iguais ou superiores a 3A e 300V. - Régua milimetrada.

-Braçadeira de ângulo reto.

-Base trípode para suporte, cilíndrico ou quadrado, que com a braçadeira sustentará a régua na horizontal ao longo do eixo das bobinas.

3.5 PROCEDIMENTOS

3.5.1 CAMPO MAGNÉTICO DAS

BOBINAS DE HELMHOTZ. a) Inicialmente, considere uma única bobina e alimente a com uma corrente de 3A usando a fonte de tensão dc (0...18Volts) , tome cuidados para assegurar que a corrente nunca ultrapasse 5A, corrente máxima permitida na bobina segundo especificações do fabricante. Meça, então, usando um teslímetro ("Teslameter digital" com "Hall probe tangencial"), o campo magnético produzido pela bobina, ao longo do eixo da bobina ( z ) a partir do centro da bobina, z = 0. E verifique se os resultados concordam com a relação (1), lembre que tal relação deve ser multiplicada pelo fator N, número de espiras da bobina. Sugestão: Um gráfico log-log de B(z) versus a2 + z2 permite uma análise gráfica rápida e segura. Faça um outro gráfico considerando valores de z a partir de z ∼ 10cm, veja se há concordância com a relação 1. Discuta as possíveis diferenças entre os dois gráficos. b) Aqui, duas bobinas são relativamente posicionadas pelos três distanciadores metálicos, de tal maneira que a distância axial entre elas seja igual ao raio médio de cada bobina. Em seguida, conecte as bobinas em série, escolhendo a polarização de modo que os campos magnéticos de ambas bobinas se somem. Isto se obtém ligando entre se os pontos de conexão, de ambas as bobinas, indexados com o número "1" e conectando a corrente através dos pontos designados com o número "2". Faça a alimentação das bobinas de Helmholtz com uma fonte de tensão dc (0...18Volts). Caso disponha somente de uma fonte de tensão dc de baixa tensão é conveniente conectar as bobinas em paralelo. Com o propósito de assegurar que passe aproximadamente a mesma corrente por ambas bobinas, conecte o amperímetro diretamente na saída da fonte. A corrente



em cada bobina é, então, a metade da corrente lida no amperímetro. Neste ponto, considerando somente o sistema constituído das duas bobinas, sem o tubo de raios catódicos, faça uma análise do campo magnético produzido pelas bobinas de Helmholtz. Com esse propósito: i) Meça, usando um teslímetro, o campo B no ponto eqüidistantes das bobinas, no eixo destas (ponto central), para diversos valores da corrente I (0 ...4A). Faça um gráfico de B versus I e compare seus resultados com a relação (4). ii) Meça o campo em função da distância, ao longo do eixo de simetria e ao longo da direção perpendicular a este eixo, partindo do ponto central. Faça gráficos e observe o comportamento do campo próximo ao ponto central. 3.5.1 MASSA ESPECÍFICA e/m DO ELÉTRON Tendo em conta as garras metálicas nos distanciadores, posiciona-se o tubo de raios

catódicos filiforme entre as bobinas de Helmholtz.

A alimentação elétrica do tubo é feita com a fonte de alimentação DC CONSTANTER, com saídas:VA (0...50V−), VB (0 ... 300V−), VC ( 6,3V∼) e VD (0...300V−). Os pontos de conexão no lado frontal do tubo de raios catódicos estão rotulados, de maneira que não há problemas na conexão deste com a fonte. A figura 4 mostra o esquema de instalação que corresponde à montagem na figura 3. Com a instalação do tubo de raios catódicos descrita anteriormente tem-se: i) uma

voltagem fixa ( ac ) VC de 6,3V, para o aquecimento do filamento incandescente, ii) uma voltagem variável (dc) VA, na grade,

Figura 3. Montagem experimental para medição da carga específica do elétron e/m. Bobinas de Helmholtz e o tubo de raios filiformes.

Figura 4. Esquema de conexão do tubo de raios catódicos filiformes.

-

+0...250V−0...50V− 6,3V~

-50V

0V

250V

+

-

V



de –50 a 0V e iii) uma voltagem (dc) VB no ânodo que deve ser ajustada de 0 a 250V, no máximo, o que resulta num potencial de aceleração V=VA+VB de no máximo 300V, para os elétrons do tubo de raios catódicos Sendo, então, a velocidade ou a energia cinética dos elétrons do feixe determinada pela tensão V. Antes de por em serviço o tubo de raios catódicos, coloque V=VA+VB = 0. Com essa medida evita-se que a emulsão catódica não seja danificada durante o aquecimento. Depois de aproximadamente um minuto de aquecimento eleva-se as tensões VA e VB observando a aparição do feixe filiforme, tendo escurecido previamente o ambiente em volta do aparato experimental. Enquanto a voltagem no ânodo é ajustada usando o cursor giratório na saída " 0 ...300V", a voltagem na grade, isto é, a nitidez e a luminosidade, se ajusta a um valor adequado usando o cursor giratório na saída "0...50V. Normalmente uma intensidade maior do feixe filiforme se alcança após 2 ou 3 minutos de aquecimento do filamento. É recomendado colocar ambas tensões VA e VB=0 se as pausas entre medições forem longas. Desta maneira prolongar-se-á a vida útil do tubo de raios filiformes. Para determina experimentalmente a carga específica do elétron, procede-se como segue: 1. Depois da fase de aquecimento, ajuste adequadamente o raio filiforme, aplicando uma determinada tensão de aceleração, V=VA+VB. 2. Estabeleça uma corrente nas bobinas de Helmholtz e observe a trajetória do feixe filiforme, que resulta da interação do campo magnético com o feixe.( corrente máxima permitida: 5A ).

3. Girando o tubo de raios catódicos em seu suporte de forma adequada, obtenha uma trajetória circular para o feixe filiforme, conseqüência de exata

perpendicularidade entre o feixe e o campo magnético uniforme de suficiente intensidade. 4. Ajuste a corrente nas bobinas de modo que o raio filiforme toque uma das quatros barrinhas metálicas. Desta forma obtém-se trajetórias circulares com raio de 2, 3, 4 e 5cm. 5. Leia a corrente I no amperímetro, a tensão V no voltímetro para cada uma destas quatro trajetórias circulares e determine B usando o teslímetro ou a equação quatro (4) ou, ainda, fazendo interpolações no gráfico B versus I. E, finalmente, com a expressão (12), obtenha a carga específica e/m do elétron ( valor de referência e/m = 1,759⋅1011As/kg). A precisão com que se determina a carga específica e/m do elétron, depende fortemente da precisão de medição dos fatores de segundo grau na equação (4), isto é, do raio r da trajetória e da densidade de fluxo magnético B gerado pelas bobinas de Helmholtz. Nota: O raio é determinado com precisão bastante alta com a ajuda do dispositivo, de medição do diâmetro, integrado ao tubo. O erro no valor de r mantém-se menor que 1%. Caso a densidade do fluxo magnético B seja determinada usando a equação (4), a partir da intensidade da corrente I nas bobinas; a precisão do valor e/m dependerá então, essencialmente, da precisão de medição da corrente I. Devido a isto, para se ter resultados precisos, recomenda-se conectar as bobinas em série, garantindo que passe por ambas bobinas exatamente a mesma corrente. Anotações:

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