EXERCÍCIO PROPOSTO 2 (PAG. 17) Prof. Dr. Bruno Honda
Enunciado Ex. 02: Os blocos de pesos PP e (=100N) estão em equilíbrio conforme a figura anexa. Os ângulos são conhecidos (desenho). Pede-se:
a) O peso do bloco P; b) A tração no fio AC;
Resolução • Dividir em 2 partes: física e matemática; • Física: desenhar as forças e reações no diagrama e
individualmente; • Matemática: projeções e sistema linear;
Diagrama de Forças
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑄𝑄
𝑇𝑇1
𝑇𝑇1
𝑇𝑇2 𝑇𝑇2
𝑇𝑇3
Antes de comecar.... • Perder algum tempo deixando o problema em uma
geometria adequada; • Procurar facilitar o problema (explorar a simetria); • Técnica comum para facilitar o problema: se a solução é
a mesma, procurar sempre a maneira mais simples*!!
Antes de começar... • Geometria plana: triângulos; • Propriedade: soma dos ângulos internos de qualquer
triângulo é SEMPRE 180º; • Ângulos complementares: soma igual a 90º;
Agora sim podemos começar... • Re-escrevemos o problema de acordo com nossa
comodidade; • Ganho: tempo, segurança; • Facilitar o problema do ponto de vista matemático;
Simplificação • Hipótese de partícula (ponto material); • Princípio da superposição; • Re-desenhar o diagrama de forças
Bloco P Bloco Q Nó
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑇𝑇2
𝑃𝑃𝑄𝑄
𝑇𝑇1 𝑇𝑇1
𝑇𝑇2
𝑇𝑇3
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑄𝑄
𝑇𝑇1
𝑇𝑇3 𝑇𝑇1
𝑇𝑇2 𝑇𝑇2
Física • Equilíbrio: somatória das forças (força resultante) agindo
na partícula é zero; • Primeira e segunda lei de Newton; • OBS. hipótese, não consequência!!
��⃗�𝐹𝑅𝑅 = 0
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0
Soma das projeções das forças no eixo x é nula
Soma das projeções das forças no eixo y é nula
Resolução (projeções) • Princípio da superposição;
• Não há forças horizontais; • Sentidos opostos, mesma direção; • Mesma direção: soma algébrica,
obedecendo sempre a convenção de sinais
𝑃𝑃𝑄𝑄 + 𝑇𝑇1=0
−𝑃𝑃𝑄𝑄 + 𝑇𝑇1=0
−𝑃𝑃𝑄𝑄 + 𝑇𝑇1 +𝑃𝑃𝑄𝑄=0+𝑃𝑃𝑄𝑄
𝑃𝑃𝑄𝑄 = 𝑇𝑇1 𝑇𝑇1 = 100𝑁𝑁
Bloco Q
𝑃𝑃𝑄𝑄
𝑇𝑇1
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0
(1)
Resolução (projeções) • Princípio da superposição;
• Não há forças horizontais; • Sentidos opostos, mesma direção; • Mesma direção: soma algébrica,
obedecendo sempre a convenção de sinais
𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝑇𝑇2=0
−𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝑇𝑇2=0
−𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝑇𝑇2 +𝑃𝑃𝑃𝑃=0+𝑃𝑃𝑃𝑃
Bloco P
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑇𝑇2
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0
𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑇𝑇2 (2)
Resolução (projeções) • Princípio da superposição;
Nó
𝑇𝑇1
𝑇𝑇2
𝑇𝑇3
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0
Resolução (projeções) • Princípio da superposição;
𝑇𝑇1
𝑇𝑇1𝑥𝑥
𝑇𝑇1𝑦𝑦
𝑇𝑇1𝑥𝑥 = 𝑇𝑇1. cos 30° 𝑇𝑇1𝑦𝑦 = 𝑇𝑇1. sin 30°
(3)
Resolução (projeções) • Princípio da superposição;
𝑇𝑇3
𝑇𝑇3𝑥𝑥
𝑇𝑇3𝑦𝑦 𝑇𝑇3𝑥𝑥 = −𝑇𝑇3. cos 45° 𝑇𝑇3𝑦𝑦 = 𝑇𝑇3. sin 45°
(4)
Resolução (projeções) • Princípio da superposição;
Nó
𝑇𝑇1
𝑇𝑇2
𝑇𝑇3
Condição de equilíbrio • Devemos impor que a soma de forças em qualquer eixo
(em notação vetorial, qualquer direção) é igual a zero; • Projeções horizontais e verticais;
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 → 𝑇𝑇1𝑥𝑥 − 𝑇𝑇3𝑥𝑥 = 0
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 → 𝑇𝑇1𝑦𝑦 + 𝑇𝑇3𝑦𝑦 − 𝑇𝑇2 = 0
Somatória no eixo x
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 → 𝑇𝑇1𝑥𝑥 − 𝑇𝑇3𝑥𝑥 = 0
𝑇𝑇1𝑥𝑥 = 𝑇𝑇1. cos 30° 𝑇𝑇1𝑦𝑦 = 𝑇𝑇1. sin 30°
𝑇𝑇3𝑥𝑥 = −𝑇𝑇3. cos 45° 𝑇𝑇3𝑦𝑦 = 𝑇𝑇3. sin 45°
𝑇𝑇1𝑥𝑥 − 𝑇𝑇3𝑥𝑥 = 𝑇𝑇1. cos 30°−𝑇𝑇3. cos 45° = 0
𝑇𝑇1. cos 30°−𝑇𝑇3. cos 45° = 0,87.𝑇𝑇1 − 0,71.𝑇𝑇3 = 0 0,87.𝑇𝑇1 − 0,71.𝑇𝑇3 +0,71.𝑇𝑇3 = 0 + 0,71.𝑇𝑇3
0,87.𝑇𝑇1 = 0,71.𝑇𝑇3 0,71 0,71
𝑇𝑇3~122,5𝑁𝑁 𝑇𝑇3 = 1,225.𝑇𝑇1
→ 𝑇𝑇3 =0,870,71
.𝑇𝑇1
(3)
(4)
(5)
Somatória no eixo y
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 → 𝑇𝑇1𝑦𝑦 + 𝑇𝑇3𝑦𝑦 − 𝑇𝑇2 = 0
𝑇𝑇1𝑥𝑥 = 𝑇𝑇1. cos 30° 𝑇𝑇1𝑦𝑦 = 𝑇𝑇1. sin 30°
𝑇𝑇3𝑥𝑥 = −𝑇𝑇3. cos 45° 𝑇𝑇3𝑦𝑦 = 𝑇𝑇3. sin 45°
𝑇𝑇1𝑦𝑦 + 𝑇𝑇3𝑦𝑦−𝑇𝑇2= 𝑇𝑇1. sen 30° +𝑇𝑇3. sen 45°−𝑇𝑇2= 0
𝑇𝑇2 = 136,98 N
0,5.100 + 122,5. 0,71−𝑇𝑇2= 0
50 + 86,98 − 𝑇𝑇2 + 𝑇𝑇2 = 0 + 𝑇𝑇2
𝑇𝑇2 = 50 + 86,98 (6)
(3)
(4)
Substituindo (6) em (1): 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 136,98 N
Respostas
𝑃𝑃𝑃𝑃~136,98 𝑁𝑁
𝑇𝑇3~122,5 𝑁𝑁