ESTUDO DE VIABILIDADE DE DETECÇÃO DE MELANOMA ATRAVÉS DA
VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PELE
Diego Totti Montes
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Mecânica da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro.
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Ph.D.
Rio de Janeiro
Março de 2018
MONTES, Diego Totti
Estudo de Viabilidade de Detecção de Melanoma
Através da Variação da Temperatura da Pele / Diego Totti
Montes. - Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2018.
XII, 106 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Mecânica, 2018.
Referências Bibliográficas: p. 70-73.
1. Introdução. 2. Revisão Bibliográfica. 3. Problema
Físico e Formulação Matemática. 4. Resultados e
Discussões. 5. Conclusões. I. Rangel Barreto Orlande,
Hélcio. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III.
Estudo de Viabilidade de Detecção de Melanoma Através
da Variação da Temperatura da Pele.
iv
AGRADECIMENTOS
Aproveito o ensejo para agradecer ao professor Helcio Rangel Barreto Orlande pela
oportunidade de desenvolver este trabalho inspirador. Tanto a sugestão do tema quanto
a orientação fornecida ao longo dos últimos meses foram recebidas de braços abertos.
Agradeço à minha família, tanto do Brasil quanto do Chile, por ser meu alicerce e estar
sempre disposta a ajudar quando necessário. Em especial gostaria de agradecer aos
meus pais que nunca mediram esforços para prover tudo o que precisei para crescer e
me desenvolver como ser humano.
Agradeço também aos amigos e colegas que passaram pela minha história nesses longos
anos de UFRJ. Cada um que de alguma forma fez parte desse meu caminho contribuiu
para deixar a rotina um pouco mais divertida e instigante. Um agradecimento especial
para os amigos Lucas Rodrigues dos Santos e Michel Besso pelos longos anos de
companheirismo e amizade. Sem eles a trajetória teria sido completamente diferente.
v
Seja a mudança que você quer ver no mundo.
(Mahatma Gandhi)
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.
ESTUDO DE VIABILIDADE DE DETECÇÃO DE MELANOMA ATRAVÉS DA
VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DA PELE
Diego Totti Montes
Fevereiro/2018
Orientador: Helcio Rangel Barreto Orlande
Curso: Engenharia Mecânica
O desenvolvimento da tecnologia de medição de temperatura tem permitido cada vez
mais aplicações de engenharia em diversas áreas, como a medicina, por exemplo. Em
particular, câmeras térmicas tem se mostrado cada vez mais precisas e com preços mais
acessíveis. Com isso em mente o presente trabalho utiliza conceitos de biotransferência
de calor com o intuito de avaliar uma técnica não invasiva, sem contato e de simples
aplicação, que permita a detecção de tumores malignos superficiais, como o melanoma.
Para isso utilizou-se o software COMSOL Multiphysics® para modelar a
biotransferência de calor em uma região da pele contendo um tumor, a qual sofre um
estímulo térmico. O resultado de tal estudo se mostrou bastante positivo, indicando que
este é um método bastante promissor para detecção de malignidade do tumor.
Palavras-chave: Câncer, Melanoma, Método dos Elementos Finitos, Modelo de Pennes,
Biotransferência de calor.
vii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Mechanical Engineer.
VIABILITY STUDY OF MELANOMA DETECTION THROUGH THE VARIATION
OF THE SKIN TEMPERATURE
Diego Totti Montes
February/2018
Advisor: Helcio Rangel Barreto Orlande
Course: Mechanical Engineering
The development of temperature measurement technology is expanding the number of
engineering applications in several areas such as medicine, for example. In particular,
thermal cameras are becoming more accurate and less costly. With this is mind the
present work uses concepts of bioheat transfer in order to asses a non-invasive,
contactless and easy-to-use technique that allows the detection of surface malignant
cancers such as melanomas. To achieve this objective the software COMSOL
Multiphysics® was used to model the bioheat transfer in a region of the skin containing
a melanoma which receives a thermal stimulus. The result of this study was quite
positive indicating that this is a very promising method to detect the malignancy of the
tumor.
Keywords: Cancer, Melanoma, Finite Element Method, Pennes Model, Bioheat
Transfer.
viii
Lista de Figuras
Figura 1 – Anatomia da Pele (JAMES et al., 2011) ....................................................... 5
Figura 2 – Anatomia da Epiderme (SKINIPEDIA, 2017) .............................................. 6
Figura 3 – Dermatoscópio Sendo Utilizado Sobre a Pele de um Paciente (CARDIFF
UNIVERSITY, 2018) ................................................................................................... 7
Figura 4 – Anatomia da Pele (WEBMD, 2014) ........................................................... 12
Figura 5 – Modelo da Pele Proposto por ÇENTIGÜL (2011) ...................................... 13
Figura 6 – Desenho Bidimensional do Modelo Criado no COMSOL Multiphysics® ... 14
Figura 7 – Desenho Tridimensional do Modelo Criado no COMSOL Multiphysics® .. 15
Figura 8 – Desenho Tridimensional do Modelo Criado com o Tumor em Destaque ..... 15
Figura 9 – Janela de Construção do COMSOL Multiphysics® .................................... 22
Figura 10 – Configurações dos Parâmetros Globais ..................................................... 22
Figura 11 – Configurações das Propriedades do Material Gordura .............................. 23
Figura 12 – Variáveis Locais da Gordura .................................................................... 23
Figura 13 – Configurações de ‘Bioheat’ ...................................................................... 23
Figura 14 – Pontos Auxiliares no Modelo ................................................................... 25
Figura 15 – Malha 'Normal' do Modelo tridimensional ................................................ 26
Figura 16 – Malha 'Fine' do Modelo Bidimensional Axissimétrico .............................. 27
Figura 17 – Código Escrito em Python Usado para Calcular as Diferenças de
Temperatura ao Longo do Tempo ............................................................................... 30
Figura 18 – Caso 1: Regime Permanente ..................................................................... 31
Figura 19 – Temperatura Longitudinal ........................................................................ 32
Figura 20 – Caso 1: Resfriamento após 50 segundos ................................................... 33
Figura 21 – Caso 1: Reaquecimento após 100 segundos .............................................. 33
Figura 22 – Caso 1: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo ............... 34
Figura 23 – Caso 2: Regime Permanente ..................................................................... 35
Figura 24 – Caso 2: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente .... 35
Figura 25 – Caso 2: Resfriamento após 50 segundos ................................................... 36
Figura 26 – Caso 2: Reaquecimento após 100 segundos .............................................. 37
Figura 27 – Caso 2: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo ............... 38
Figura 28 – Caso 2: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do Tempo ........ 39
Figura 29 – Caso 3: Regime Permanente ..................................................................... 40
Figura 30 – Caso 3: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente .... 41
Figura 31 – Caso 3: Resfriamento após 50 segundos ................................................... 42
Figura 32 – Caso 3: Reaquecimento após 100 segundos .............................................. 42
Figura 33 – Caso 3: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo ............... 43
Figura 34 – Caso 3: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do Tempo ........ 44
Figura 35 – Caso 4: Regime Permanente ..................................................................... 45
Figura 36 – Caso 4: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente .... 46
Figura 37 – Caso 4: Resfriamento após 50 segundos ................................................... 46
Figura 38 – Caso 4: Reaquecimento após 100 segundos .............................................. 47
Figura 39 – Caso 4: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo ............... 48
ix
Figura 40 – Caso 4: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do Tempo ........ 49
Figura 41 – Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente Para os
Casos 2, 3 e 4 .............................................................................................................. 50
Figura 42 – Caso 5: Regime Permanente ..................................................................... 51
Figura 43 – Caso 5: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente .... 52
Figura 44 – Caso 5: Resfriamento após 50 segundos ................................................... 53
Figura 45 – Caso 5: Reaquecimento após 100 segundos .............................................. 53
Figura 46 – Caso 5: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo ............... 54
Figura 47 – Caso 5: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do Tempo ........ 55
Figura 48 – Caso 6: Regime Permanente ..................................................................... 56
Figura 49 – Caso 6: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente .... 56
Figura 50 – Caso 6: Resfriamento após 50 segundos ................................................... 57
Figura 51 – Caso 6: Reaquecimento após 100 segundos .............................................. 58
Figura 52 – Caso 6: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo ............... 59
Figura 53 – Caso 6: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do Tempo ........ 60
Figura 54 – Caso 7: Regime Permanente ..................................................................... 61
Figura 55 – Caso 7: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente .... 62
Figura 56 – Caso 7: Resfriamento após 50 segundos ................................................... 62
Figura 57 – Caso 7: Reaquecimento após 100 segundos .............................................. 63
Figura 58 – Caso 7: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo ............... 64
Figura 59 – Caso 7: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do Tempo ........ 65
Figura 60 – Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente Para os
Casos 5, 6 e 7 .............................................................................................................. 66
Figura 61 – Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente Para os
Casos 3 e 6 .................................................................................................................. 67
Figura 62 – Geometria do Problema de Verificação .................................................... 77
Figura 63 – Materiais do Problema de Verificação 1 ................................................... 77
Figura 64 – Física do Problema de Verificação 1......................................................... 78
Figura 65 – Linha de Corte do Problema de Verificação 1 ........................................... 79
Figura 66 – Gráfico do Problema de Verificação 1 ...................................................... 79
Figura 67 – Geometria do Problema de Verificação 2.................................................. 83
Figura 68 – Material do Problema de Verificação 2 ..................................................... 84
Figura 69 – Física do Problema de Verificação 2......................................................... 84
Figura 70 – Linha de Corte do Problema de Verificação 2 ........................................... 85
Figura 71 – Gráfico do Problema de Verificação 2 ...................................................... 86
Figura 72 – Código do Problema de Verificação 3 ...................................................... 92
Figura 73 – Geometria do Problema de Verificação 3.................................................. 93
Figura 74 – Material do Problema de Verificação 3 ..................................................... 94
Figura 75 – Física do Problema de Verificação 3......................................................... 95
Figura 76 – Malha do Problema de Verificação 3 ........................................................ 95
Figura 77 – Estudo do Problema de Verificação 3 ....................................................... 96
Figura 78 – Gráficos do Problema de Verificação 3 .................................................... 96
Figura 79 – Código do Problema de Verificação 4 .................................................... 102
x
Figura 80 – Física do Problema de Verificação 4....................................................... 103
Figura 81 – Malha do Problema de Verificação 4 ...................................................... 104
Figura 82 – Estudo do Problema de Verificação 4 ..................................................... 104
Figura 83 – Gráfico do Problema de Verificação 4 .................................................... 105
xi
Lista de Tabelas
Tabela 1 - Resumo das Propriedades Termofísicas ...................................................... 21
Tabela 2 - Coordenadas dos Pontos ............................................................................. 25
Tabela 3 - Resultado da Análise de Convergência ....................................................... 28
Tabela 4 - Produto Cartesiano dos Valores das Propriedades ....................................... 29
Tabela 5 - Explanação dos Casos Estudados ................................................................ 31
Tabela 6 - Resumo dos Casos ...................................................................................... 68
Tabela 7 – Comprimentos e Condutividades Térmicas do Problema de Verificação 1 . 75
Tabela 8 – Temperaturas Teóricas e Calculadas com o COMSOL Multiphysics® para o
Problema de Verificação 1 .......................................................................................... 80
Tabela 9 – Parâmetros Utilizados no Problema de Verificação 2 ................................. 82
Tabela 10 – Temperaturas Teóricas para Algumas Posições Particulares ..................... 83
Tabela 11 – Temperaturas Teóricas e Calculadas com o COMSOL Multiphysics® para
O Problema de Verificacao 2 ...................................................................................... 87
Tabela 12 – Propriedades Utilizadas no Problema de Verificação 3 ............................. 89
Tabela 13 – Comparação Entre os Valores Teóricos e Calculados pelo COMSOL
Multiphysics® para o Problema de Verificação 3 ........................................................ 98
Tabela 14 – Comparação Entre os Valores Teóricos e Calculados pelo COMSOL
Multiphysics® para o Problema de Verificação 4 ...................................................... 106
xii
Sumário
1 Introdução .................................................................................................................. 1
2 Revisão Bibliográfica ................................................................................................. 3
2.1 Biotransferência de Calor .................................................................................... 3
2.2 Câncer de Pele ..................................................................................................... 5
2.3 Termografia por Infravermelho ............................................................................ 8
3 Problema Físico e Formulação Matemática .............................................................. 10
3.1 Problema Físico ................................................................................................. 10
3.2 Geometria .......................................................................................................... 11
3.3 Formulação Matemática..................................................................................... 16
3.4 Método de Solução ............................................................................................ 18
4 Resultados e Discussões ........................................................................................... 20
4.1 Parâmetros do Modelo ....................................................................................... 20
4.2 Verificação do Modelo ...................................................................................... 24
4.3 Estudo de Convergência de Malha ..................................................................... 24
4.4 Simulações ........................................................................................................ 28
5 Considerações Finais ................................................................................................ 69
6 Referências Bibliográficas........................................................................................ 70
Apêndice A – Problemas de Verificação ..................................................................... 74
1
1 Introdução
O câncer tem se tornado uma grande preocupação e tem ganhado cada vez mais a
atenção de médicos e da população em geral. Hoje ele já causa mais mortes do que
todas as doenças arteriais coronarianas e derrames somados (FERLAY et al.,2015). Nas
próximas décadas, se espera um aumento deste problema que vem atormentando a
humanidade, o que é sugerido pelas mudanças demográficas e epidemiológicas vividas
atualmente, principalmente em países de baixa renda. São esperados pelo menos 20
milhões de novos casos de câncer anualmente a partir de 2025 (FERLAY et al.,2015).
Dentre todos os tipos existentes, o câncer de pele é o tipo mais comum nos Estados
Unidos. De acordo com dados da AMERICAN CANCER SOCIETY (2017), a cada ano
surgem mais casos de câncer de pele do que cânceres de mama, próstata, pulmão e
cólon combinados. No Brasil o cenário não é muito diferente, dos cerca de 600 mil
novos casos de câncer que eram esperados para 2016, segundo a estimativa do INCA
feita em 2015, aproximadamente 180 mil seriam de câncer de pele, tornando-se o tipo
de câncer mais frequente. Logo atrás do câncer de pele os tipos mais comuns são o de
próstata para os homens, com 61 mil casos e o de mama para as mulheres, com 58 mil
(INCA, 2015).
Os tipos de câncer de pele encontrados são basicamente três: o melanoma, o carcinoma
basocelular e o carcinoma de células escamosas (STEWART, 2014). O tipo mais
comum é o carcinoma basocelular, que raramente é fatal, mas tem o poder de desfigurar
a região atingida. O segundo mais comum é o carcinoma de células escamosas. Os
melanomas respondem por apenas 3% dos casos de câncer de pele; entretanto, eles são
de longe o tipo mais agressivo (SKIN CANCER FOUNDATION, 2010). Devido a isso,
muitos autores dividem os cânceres de pele em melanoma e não-melanoma (os outros
tipos supracitados se enquadrariam dentro desta categoria) (STEWART, 2014). Neste
trabalho focaremos no melanoma, pelo fato dele ser o tipo mais perigoso de câncer de
pele e, por isso, ser o mais importante de ser detectado numa fase inicial.
Nos últimos anos houve um grande avanço na tecnologia de medições na engenharia
térmica, em particular, as câmeras de termografia por infravermelho se desenvolveram
de forma considerável e agora, além de mais acessíveis, produzem resultados de maior
qualidade e maior precisão. Isso contribui de forma significativa para o
2
desenvolvimento de técnicas de detecção de câncer, em particular, o diagnóstico por
imagem infravermelha. Essa técnica tem como vantagens o fato de ser não invasiva e
não necessitar de contato (ÇETINGÜL, 2011).
O objetivo deste trabalho é avaliar numericamente se a atividade metabólica de tumores
malignos pode acarretar numa variação de temperatura significativa o suficiente,
quando comparada a tecidos saudáveis e tumores benignos na superfície da pele, de
forma a possibilitar a detecção de tais tumores. Ao invés de se analisar as temperaturas
na superfície da pele para uma situação de regime permanente, admitiu-se um
resfriamento da região estudada, seguido de um reaquecimento natural da região,
momento no qual as temperaturas são medidas. Tal processo é empregado porque já foi
demonstrado que um estímulo térmico por resfriamento aumentou o contraste térmico
entre os tecidos saudáveis e cancerígenos numa termografia mamária (CHENG e
HERMAN, 2014). Isso, por sua vez, é muito interessante já que aumenta a sensibilidade
dos resultados obtidos.
Com tal intuito, um modelo foi implementado no software COMSOL Multiphysics®,
de forma a simular uma região da pele infectada por um melanoma e que passa por esse
estresse térmico descrito anteriormente. Além disso, assume-se que a transferência de
calor entre os tecidos do modelo é regida pelo modelo de Pennes. Os resultados de tal
simulação são interpretados de forma a concluir se essa abordagem é favorável ou não
para se detectar melanomas malignos.
3
2 Revisão Bibliográfica
2.1 Biotransferência de Calor
Biotransferência de calor é a área que estuda a transferência de calor em sistemas
biológicos. Sua origem remonta ao final do século XIX, quando o cientista francês
Claude Bernard publicou estudos experimentais sobre os efeitos da circulação sanguínea
na transferência de calor em tecidos vivos. Contudo, o estabelecimento de um modelo
físico que retrate a relação entre a variação de temperatura em tecidos biológicos e a
vascularização destes é uma árdua tarefa e só começou a ser discutido muitos anos
depois (CHATO, 1981).
Pennes foi um dos primeiros a estudar e formular um modelo simples que descrevesse
satisfatoriamente a troca de calor em tecidos biológicos e que levasse em conta a
complexidade desse problema com seu trabalho histórico em 1948. Não é à toa que tal
trabalho é citado em praticamente todo artigo que envolva biotransferência de calor.
Além da condução térmica e acúmulo de energia presente nos tecidos, o modelo
também abrange a perfusão sanguínea e a geração de calor metabólica (PENNES,
1948).
Em seu trabalho, Pennes comparou as temperaturas calculadas através de seu modelo
teórico com temperaturas obtidas experimentalmente em que as medidas foram feitas ao
longo dos antebraços de pessoas. O termo de perfusão sanguínea foi ajustado até que as
comparações entre as temperaturas teóricas e experimentais concordassem. A hipótese
de Pennes era de que a troca de calor entre os vasos sanguíneos e os tecidos em seu
entorno aconteciam principalmente através da parede de vasos capilares, onde a
velocidade do sangue é baixa. Em outras palavras era como se o sangue entrasse à
temperatura arterial 𝑇𝑏 numa piscina imaginária, que seriam os capilares, e
imediatamente se equilibrasse termicamente com os tecidos do entorno com temperatura
𝑇. Desta forma faria sentido que a troca de calor fosse proporcional ao fluxo
volumétrico de sangue e à diferença entre as temperaturas 𝑇 e 𝑇𝑏 (ARKIN et al., 1994).
A principal hipótese de Pennes era de que o sangue adentrava os tecidos locais com
temperatura arterial 𝑇𝑏 e saia com a temperatura dos tecidos 𝑇. Com isso o fluxo de
calor convectivo poderia ser modelado pela diferença de temperatura 𝑇 − 𝑇𝑏 e pelo
coeficiente de transferência de calor empírico 𝑐𝑏 𝜔𝑏 (BODO et al., 1998).
4
O modelo de Pennes é assim expresso:
𝜌 𝑐 𝜕𝑇
𝜕𝑡 = ∇ ∙ (𝑘 ∇𝑇) + 𝜌𝑏 𝑐𝑏 𝜔𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇) + 𝑞𝑚
onde 𝑇 é a temperatura e 𝑡 o tempo. 𝜌, 𝑐 e 𝑘 são respectivamente a massa específica, o
calor específico e a condutividade térmica do tecido. O índice 𝑏 serve para indicar que o
parâmetro corresponde a uma propriedade sanguínea. Assim, 𝜌𝑏 , 𝑐𝑏 e 𝑇𝑏 são, massa
específica, calor específico e temperatura do sangue, respectivamente. 𝜔𝑏 é o
coeficiente de perfusão sanguínea e finalmente 𝑞𝑚 é o termo de geração de calor devido
à atividade metabólica.
O termo 𝜌𝑏 𝑐𝑏 𝜔𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇) é responsável por incluir no modelo a influência do sangue
na troca de calor, enquanto o termo 𝑞𝑚 representa o calor gerado pelo metabolismo ao
modelo. Já as propriedades de condução térmica e acúmulo de energia são entendidos
como sendo do tecido (LAMIEN, 2015).
Como aludido por KHALED e VAFAI (2003), o modelo de Pennes apresenta algumas
limitações como, por exemplo, assumir que a temperatura arterial é constante e a
temperatura do sangue venoso está em equilíbrio térmico com o tecido local. Além
disso, outra hipótese é a de que um fluxo de calor aparece de forma instantânea quando
se supõe que um gradiente de temperatura dado num certo tempo. Ou seja, a velocidade
na qual o calor se propaga seria infinita (BITTENCOURT, 2017).
Além dessas dificuldades ressaltadas, a transferência de calor em tecidos biológicos
ainda conta com outros fatores que podem entrar em cena como, por exemplo, os
mecanismos de controle termo regulatórios do corpo. Tremores, transpiração
regulatória, vasodilatação e vasoconstrição não são contemplados no modelo de Pennes
e podem causar grande influência nas condições térmicas do organismo. Com o intuito
de superar esse impasse, ZOLFAGHARI e MAEREFAT (2010) desenvolveram um
novo modelo de biotransferência de termoregulação simplificado. Tentando superar as
limitações do modelo de Pennes diversos outros modelos acabaram sendo propostos na
literatura. Alguns deles são o modelo de Wulff, o modelo de Klinger e o modelo de
Chen e Holmes, mas existem muitos outros além desses (ZOLFAGHARI e
MAEREFAT, 2011).
5
2.2 Câncer de Pele
O câncer nada mais é que o crescimento desordenado e descontrolado de células, que
por algum motivo não conseguem ser paradas pelos mecanismos de defesa do corpo.
Esse crescimento vem a gerar o que é conhecido por neoplasia, que é a massa de células
proveniente do crescimento anormal e que possui comportamento diferente das células
saudáveis. Os motivos que podem causar o câncer são vários, eles vão desde
alimentação inadequada e uso do cigarro até fatores hereditários (HOSPITAL
ISRAELITA ALBERT EINSTEIN, 2016).
O tumor, forma como a neoplasia é popularmente conhecida, pode ser classificado em
benigno ou maligno. Os tumores benignos tendem a ter um crescimento lento,
geralmente são cercados por um invólucro que os separa de estruturas adjacentes e não
geram metástases. Já os tumores malignos são aqueles que tipicamente têm um
crescimento mais rápido, são constituídos por células que diferem das normais e não
estão envolvidos em uma cápsula. Além disso, eles podem resultar em metástases
(OLIVÉ, 2012).
Vale a pena analisar brevemente a anatomia da pele para entender como ela se estrutura,
que tipo de células possui e onde exatamente o câncer pode ser originar. A figura 1 é um
corte transversal e uma ilustração bastante detalhada do que podemos encontrar nesse
órgão do corpo humano.
Figura 1 – Anatomia da Pele (JAMES et al., 2011)
6
A camada mais superior e mais fina da pele é chamada epiderme e é onde a maioria dos
cânceres de pele aparece devido a sua grande exposição à radiação proveniente do sol.
A camada logo abaixo é denominada derme e pode ser dividida em derme papilar e
derme reticular. Ela contém vasos capilares, nervos, cabelo, glândulas sudoríparas,
glândulas sebáceas, etc. A camada mais profunda é a subcutânea e é a que contém a
gordura. Na figura 2 pode ser visto uma imagem mais detalhada da epiderme e como se
pode observar ela é constituída de diferentes tipos de célula (KOLARSICK et al.,
2011).
Figura 2 – Anatomia da Epiderme (SKINIPEDIA, 2017)
As células da camada mais abaixo são as células basais e são nelas que se desenvolve o
carcinoma de células basais. Elas são responsáveis por criar todas as outras células da
pele; para tal elas se dividem e se desenvolvem em outros tipos de célula. Os
queratinócitos são as principais células da epiderme e tem a função de produzir
queratina. São delas que vai surgir o carcinoma de células escamosas. E por último, a
célula central é o melanócito e é ela a responsável por produzir os pigmentos da pele, a
melanina (KOLARSICK et al., 2011).
O termo médico usado para se referir a uma lesão na pele popularmente conhecida
como sinal de pele é “nevo melanocítico”. Uma das formas de se avaliar os nevos para
decidir se eles são de fato um câncer de pele é através do critério ABCDE onde cada
letra corresponde a um critério: assimetria, fronteira, cor, diâmetro e evolução. Esse
método corresponde em avaliar cada um desses itens e de acordo com certas condições
para cada um deles decidir se a mancha se trata de um potencial câncer ou não.
Evidentemente não é um critério muito preciso, mas é utilizado devido a sua
simplicidade e facilidade de se memorizá-lo e aplicá-lo. Outro método também usado é
7
o do “patinho feio” em que se tenta identificar um nevo que seja diferente de todos os
outros presentes, isto é, que não haja nenhum outro nevo similar a este. Esse método se
justifica, pois tipicamente nevos que são muito diferentes dos outros tem uma tendência
a possuírem um risco maior de ser um tumor maligno (JAMES et al., 2011).
Além desses exames clínicos que podem ser realizados por dermatologistas, também há
um tipo de exame chamado dermatoscopia que é realizado com a ajuda de um aparelho
chamado dermatoscópio. A figura 3 exibe este aparelho sendo utilizado.
Figura 3 – Dermatoscópio Sendo Utilizado Sobre a Pele de um Paciente
(CARDIFF UNIVERSITY, 2018)
O dermatoscópio serve para ampliar a imagem e minimizar o reflexo proveniente de
outras superfícies. Ele permite que o médico veja estruturas de pigmentos, a estrutura de
vasos sanguíneos e a estrutura da queratina e de glândulas. Para uma análise mais
detalhada, contudo pode ser feita uma biópsia da pele, em que uma porção da lesão é
coletada e enviada para um patologista para uma análise cuidadosa.
Como mencionado previamente, os três tipos mais comuns de câncer de pele são o
carcinoma basocelular, o carcinoma de células escamosas e o melanoma. O carcinoma
basocelular é o mais comum deles e o carcinoma de células escamosas vem logo em
seguida. Apesar de o melanoma não possuir uma frequência tão alta quanto os outros
dois, ele é o mais perigoso e por isso é o foco deste trabalho (STEWART, 2014).
O melanoma é um tumor que surge no melanócito. Metade deles se desenvolve a partir
da pele normal e metade de sinais de pele pré-existentes. Fatores de risco para o
melanoma em geral são: histórico de exposição intermitente ao sol, pele clara, mais de
50 sinais de pele pelo corpo e histórico familiar de melanoma. Na verdade, existem
diferentes tipos de melanoma com diferentes graus de agressividade, caracterizados por
uma tendência a crescer para dentro da pele.
8
O melanoma superficial é o tipo mais comum de melanoma e tem a tendência de se
espalhar horizontalmente, mas eventualmente ele acaba adentrando a pele. O melanoma
Lentigo maligna costuma aparecer em peles expostas ao sol todo dia e costuma aparecer
em pacientes mais velhos, sendo comum na cabeça e pescoço. Já o melanoma Nodular
apresenta características distintas, porque praticamente não tem crescimento horizontal
e mais agilmente parte para um crescimento para dentro da pele. O melanoma acral
lentiginoso aparece em extremidades, em geral palma da mão e sola do pé. É mais
comum em pessoa com cor de pele mais escura.
O fator independente mais robusto para o prognóstico de um melanoma é sua espessura,
isto é, o quanto o tumor adentra a pele. Ele é medido na vertical desde a camada
granular da epiderme até a camada mais profunda em que se detecta o melanoma
(STEWART, 2014).
2.3 Termografia por Infravermelho
Existem diferentes técnicas que são empregadas atualmente com o objetivo de detectar
o câncer e muitas outras estão sendo estudadas e desenvolvidas com o mesmo intuito.
Há um interesse em particular em técnicas que sejam não invasivas in vivo, ou seja, em
tecidos vivos de organismos vivos.
Algumas das ferramentas desenvolvidas dentro da dermatologia para analisar
melanomas são a fotografia digital, a dermatoscopia, os sistemas de imagem
multiespectro, o ultrassom e a imagem por ressonância magnética. Contudo muitas
dessas técnicas são subjetivas e não possuem padrões para se aplicar em larga escala
(ÇENTIGÜL, 2011).
O desenvolvimento de instrumentos que produzam diagnósticos objetivos e
quantitativos significaria um grande avanço na área, uma vez que poderia ser utilizado
em larga escala e tornaria o diagnóstico mais eficiente e mais barato.
Com o significativo avanço na tecnologia de câmeras térmicas nos últimos anos, há um
interesse crescente na aplicação de técnicas de imagem infravermelha na identificação
de estruturas que ficam abaixo da superfície, tanto em sistemas de engenharia como em
sistemas biológicos. A termografia por infravermelho é um método de detecção não
9
invasivo e sem contato que quantifica a radiação emitida na região infravermelha do
espectro eletromagnético (0,75 − 10 𝜇𝑚). Ela permite a medição das variações
espaciais e temporais de temperatura associadas à radiação emitida por uma superfície
(GULYAEV, 1995).
Câmeras térmicas detectam essa radiação e a distribuição da temperatura da superfície
pode ser recuperada depois de processar a informação do sensor e da devida calibração.
Como a distribuição da temperatura da superfície depende das propriedades de
estruturas e regiões abaixo da superfície, a termografia por infravermelho pode ser
usada para detectar a presença e identificar a natureza dessas estruturas através da
análise de diferentes respostas térmicas, devido a um resfriamento ou aquecimento na
região estudada (JONES e PLASSMANN, 2002).
A termografia por infravermelho pode ser tanto passiva (método estático) quanto ativa
(método dinâmico). O método passivo envolve a visualização da radiação emitida na
região do infravermelho do espectro eletromagnético. Já o ativo envolve a adição de um
fator adicional, como um aquecimento ou um resfriamento para induzir ou aumentar os
contrastes térmicos relevantes observados na superfície. Essa técnica se baseia no
princípio de que quando uma superfície é aquecida ou resfriada, a variação nas
propriedades térmicas da estrutura logo abaixo da superfície resulta em um perfil de
temperaturas identificável na própria superfície, diferente do que ocorria no método
passivo. Esses perfis são característicos das propriedades térmicas da estrutura base e
das perturbações abaixo da superfície e podem, quando combinadas com o modelo
térmico adequado, prover informações a respeito da geração de calor metabólica,
formato, profundidade e outras propriedades da perturbação (ÇENTIGÜL, 2011).
10
3 Problema Físico e Formulação Matemática
3.1 Problema Físico
Como já enunciado, o foco do nosso estudo é a modelagem matemática da pele e de um
potencial câncer (melanoma) que esteja se desenvolvendo nela. Para que a detecção de
tal tumor seja possível vamos nos aproveitar do fato de tumores malignos apresentarem
características biológicas que acarretam numa geração de calor maior que de tecidos
considerados saudáveis.
O ponto de início do nosso estudo será o estágio em que a região estudada atinge o
regime estacionário, o que pode ser interpretado como a região ter sido deixada em
repouso num ambiente controlado com temperatura do ar ambiente igual a 23℃ e
condições que simulem uma convecção natural que pode ser representada por uma
condição de contorno na superfície exposta com coeficiente de transferência de calor de
10 𝑊/𝑚2 𝐾, que é um valor típico para convecção natural e radiação linearizada
(CHENG e HERMAN, 2014).
Para aumentar mais ainda o contraste térmico entre os tecidos saudáveis e os
cancerígenos, será simulado um resfriamento em uma região da pele, que pode ser
interpretado como a aplicação de gelo na região por um intervalo de tempo
predeterminado. Tal medida é fundamentada pelos resultados obtidos em trabalhos
passados, como os de GULYAEV et al. (1995), JONES e PLASSMANN (2002) e
OTSUKA et al. (2002). A temperatura escolhida para simular que a superfície da pele
está em contato com o gelo é de 0℃ e o tempo de contato é definido como sendo de 50
segundos, pois é curto o suficiente para não apresentar grandes desconfortos a um
paciente, mas extenso o suficiente para provocar o transiente térmico desejado.
Esta etapa é seguida de um reaquecimento natural da região, na qual o contato com o
gelo é interrompido e a superfície da pele volta a ficar exposta ao ar do ambiente
controlado. Assim, a região estudada tende a retornar à situação original e a distribuição
de temperaturas tende para a distribuição do regime permanente.
Resumindo então o que foi argumentado, fisicamente nosso problema pode ser dividido
em três etapas: (i) a primeira, na qual o modelo atinge o regime permanente; (ii) a
segunda, na qual o modelo tem uma de suas superfícies colocadas em contato com o
11
gelo, o que equivalerá para o nosso modelo a uma condição de contorno na qual essa
mesma superfície se encontra a uma temperatura constante e igual a 0℃; (iii) e
finalmente a terceira etapa, que consistirá da retirada do gelo e da exposição da
respectiva superfície ao ar ambiente, que equivalerá a uma condição de contorno
convectiva nessa superfície com coeficiente de transferência de calor igual a 10 𝑊/
𝑚2 𝐾.
Esse problema será simulado diversas vezes e em cada uma delas será variado um
parâmetro. O primeiro estudo a ser feito é o caso em que não há tumor. Esse estudo é
feito por um lado para confirmar o que se espera encontrar nessa situação, ou seja, que
não há porque haver muita discrepância entre a temperatura encontrada em pontos
diferentes da superfície da pele, e por outro lado, para servir como base de comparação
para os casos em que há a presença de tumores malignos.
Os próximos estudos todos incluem um tumor, mas esse varia de acordo com dois
parâmetros: seu raio 𝑤 e sua profundidade 𝑝. Como os melanomas tipicamente
começam a se desenvolver a partir da epiderme, nós assumimos que eles poderiam se
alastrar basicamente na horizontal e na vertical e daí os dois parâmetros escolhidos para
serem variados.
3.2 Geometria
Como mencionado anteriormente, a pele pode ser dividida em três grandes camadas, a
saber: epiderme, derme e uma camada subcutânea (gordura). Logo abaixo da camada de
gordura vem uma camada de músculo, onde a temperatura já é suficientemente próxima
da temperatura corporal. Uma imagem exibindo todas as camadas da pele, mais a
camada muscular é ilustrada na figura 4.
12
Figura 4 – Anatomia da Pele (WEBMD, 2014)
Apesar de haver diversos elementos no interior da pele, termicamente cada camada se
comporta de maneira quase homogênea. É por isso que vamos assumir nosso modelo
como sendo composto de quatro camadas sobrepostas, sendo as propriedades
termofísicas uniformes em cada uma das camadas.
Além disso, a camada muscular é bastante vascularizada e como a parte mais inferior
dela em nosso modelo é profunda o suficiente, vamos assumir que essa superfície
possui temperatura corporal, isto é, temperatura constante e igual a 37℃.
O modelo simplificado dessas estruturas proposto por ÇENTIGÜL (2011) pode ser
visto na figura 5 abaixo.
13
Figura 5 – Modelo da Pele Proposto por ÇENTIGÜL (2011)
Apesar de tais simplificações não há muita perda de informação para o nosso estudo,
pois estamos interessados apenas nas variações térmicas da superfície e por isso
adotaremos, assim como fez LAMIEN (2015), modelo muito semelhante a este visto
acima. Por simplicidade vamos considerar a derme reticular e derme papilar como
sendo uma única camada, já que suas propriedades termofísicas são muito próximas e
quase não causam distorções nos resultados encontrados.
O tumor é assumido como estando contido na derme. Este inicia na epiderme e cresce
para os lados e em direção ao músculo (crescimento mais perigoso). Apesar de o tumor
assumir os formatos mais irregulares, nós vamos considerá-lo como sendo um pequeno
cilindro. Isso é justificado, pois em trabalhos passados, como os de ÇETINGÜL e
HERMAN (2008a e 2008b), se foi demonstrado que independente do formato
assumido, o que mais influencia o modelo são o volume total, o diâmetro equivalente
médio e a penetração do neoplasma. Pequenas saliências e irregularidades tem impacto
mínimo nos resultados.
Supõe-se que o modelo possui simetria axial, já que não há motivos para supor que uma
posição angular tenha características diferentes de outra. Dessa maneira, simplificamos
o modelo e reduzimos em muito o tempo computacional exigido.
Nosso modelo terá, portanto, a forma de um cilindro com simetria axial, e será
constituído de quatro camadas homogêneas paralelas, cada uma com uma espessura
14
específica. Além disso, o tumor será um pequeno cilindro contido na camada da derme
que inicia na epiderme.
Como veremos mais adiante, a axissimetria permite que o modelo seja inicialmente
desenhado em duas dimensões no COMSOL Multiphysics® e entendido como sendo
um modelo tridimensional. O COMSOL Multiphysics® faz essa interpretação de forma
automática quando se seleciona o modelo bidimensional axissimétrico. Uma ilustração
de como o modelo foi desenhado em duas dimensões é vista na figura 6.
Figura 6 – Desenho Bidimensional do Modelo Criado no COMSOL
Multiphysics®
Repare que a região da epiderme é de difícil visualização, pois sua espessura é
consideravelmente menor que das outras regiões. Com o intuito de auxiliar na
visualização do modelo, um desenho em três dimensões foi construído e foi feito um
corte de forma a permitir a visualização do interior do modelo e consequentemente do
tumor (ver figura 7).
15
Figura 7 – Desenho Tridimensional do Modelo Criado no COMSOL
Multiphysics®
Além dessa imagem, uma outra em que o tumor é destacado é exibida a seguir na figura
8 para tornar ainda mais visual a posição do tumor e sua proporção em relação ao
modelo.
Figura 8 – Desenho Tridimensional do Modelo Criado com o Tumor em
Destaque
No exemplo das figuras 7 e 8, o tumor possui raio de 6 𝑚𝑚 e profundidade de
0,75 𝑚𝑚. A título de comparação o modelo todo possui raio de 25 𝑚𝑚 e espessura de
16
11,6 𝑚𝑚. Serão testadas diversas configurações diferentes de tumor, conforme será
mostrado a seguir.
3.3 Formulação Matemática
Para cada uma das três etapas definidas no problema físico é feita uma formulação
matemática baseada no modelo de PENNES (1948). O sistema de coordenadas adotado
é naturalmente o sistema cilíndrico e devido à simetria axial os termos que aparecem
nas equações dependem de apenas duas coordenadas, a radial e a longitudinal (𝑟 e 𝑧).
Para que fosse possível fazer a hipótese de meio semi-infinito, o modelo foi definido
como tendo diâmetro igual a 50 𝑚𝑚. Dessa forma sua dimensão radial é muito maior
que a do tumor, que atinge no máximo 12 𝑚𝑚 de diâmetro e, portanto os extremos do
cilindro (no sentido radial) estão suficientemente afastados das perturbações térmicas
decorrentes do tumor. A consequência dessa hipótese é o surgimento de uma condição
de contorno nessa superfície do cilindro de isolamento térmico.
A superfície superior do cilindro corresponde ao ponto mais extremo do músculo no
nosso modelo e como explicado antes vamos supor que toda essa superfície possui
temperatura constante e igual a 37℃. Essa hipótese acarreta numa condição de contorno
que será comum às três etapas do problema.
A outra superfície do cilindro, a inferior, vai assumir mais de uma condição de contorno
dependendo da etapa considerada. Na segunda etapa, do resfriamento, essa superfície é
assumida como possuindo temperatura constante e igual a 0℃. Nas outras duas a
condição de contorno adotada é de convecção com o ambiente externo com coeficiente
de transferência de calor ℎ = 10 𝑊/𝑚2 𝐾.
Na primeira etapa considera-se regime permanente e, portanto não há dependência
temporal da temperatura.
As equações que regem nosso problema para cada uma das etapas, portanto, ficam
assim:
1) Regime Permanente:
17
0 = ∇ ∙ (𝑘∇𝑇) + 𝜌𝑏 𝑐𝑏 𝜔𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇) + 𝑞𝑚 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿 (1)
𝑇 = 𝑇𝑎 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 𝐿 (2)
𝐧 ∙ 𝑘 ∇𝑇 + ℎ𝑇 = ℎ𝑇∞ 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 0 (3)
𝐧 ∙ 𝑘 ∇𝑇 = 0 𝑟 = 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿 (4)
2) Resfriamento:
𝜌 𝑐 𝜕𝑇
𝜕𝑡 = ∇ ∙ (𝑘 ∇𝑇) + 𝜌𝑏 𝑐𝑏 𝜔𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇) + 𝑞𝑚
0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿,
0 < 𝑡 < 50 𝑠
(5)
𝑇 = 𝑇𝑎 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 𝐿, 0 < 𝑡 < 50 𝑠 (6)
𝑇 = 273.15𝐾 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 0,0 < 𝑡 < 50 𝑠 (7)
𝐧 ∙ 𝑘 ∇𝑇 = 0 𝑟 = 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿, 0 < 𝑡 < 50 𝑠 (8)
𝑇 = 𝑓(𝑟, 𝑧) 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿, 𝑡 = 0 𝑠 (9)
3) Reaquecimento Natural:
𝜌 𝑐 𝜕𝑇
𝜕𝑡 = ∇ ∙ (𝑘 ∇𝑇) + 𝜌𝑏 𝑐𝑏 𝜔𝑏(𝑇𝑏 − 𝑇) + 𝑞𝑚 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿, 𝑡 > 50 𝑠 (10)
𝑇 = 𝑇𝑎 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 𝐿, 𝑡 > 50 𝑠 (11)
𝐧 ∙ 𝑘 ∇𝑇 + ℎ𝑇 = ℎ𝑇∞ 0 ≤ 𝑟 < 𝑅, 𝑧 = 0, 𝑡 > 50 𝑠 (12)
18
𝐧 ∙ 𝑘 ∇𝑇 = 0 𝑟 = 𝑅, 0 < 𝑧 < 𝐿, 𝑡 > 50 𝑠 (13)
𝑇 = 𝑔(𝑟, 𝑧) 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿, 𝑡 = 50 𝑠 (14)
Uma observação importante que merece ser feita é a de que as equações (9) e (14) são,
respectivamente, as condições iniciais dos problemas transientes 2) e 3). A função
𝑓(𝑟, 𝑧) em (9) é a solução do problema dado pela equações (1 − 4) de regime
estacionário. A função 𝑔(𝑟, 𝑧) em (14) é a solução do problema dado pela equações
(5 − 9) para 𝑡 = 50 𝑠. Vale ainda ressaltar que tanto o termo de geração de calor
devido à atividade metabólica quanto o coeficiente de perfusão sanguínea foram
assumidos constantes.
3.4 Método de Solução
O COMSOL Multiphysics® é um software de simulação que abrange uma vasta gama
de aplicações com foco no mundo real e que pretende, ao mesmo tempo, ser de fácil uso
e de implementação intuitiva. Ele pretende trazer os resultados mais acurados possíveis,
minimizando a quantidade de hipóteses feita pelo usuário, sem restringir o poder de
controle sobre seu modelo. É possível programar nele de forma a se obter sob medida o
problema que se deseja estudar e como já sinalizado a linguagem oferecida para isso é
de bastante alto nível.
A lógica por trás do COMSOL Multiphysics® está baseada em realizar simulações
através de sete passos. Isto é, não importa qual o problema físico que o usuário pretenda
simular, por mais simples ou complexo que ele seja, a estrutura da simulação deve
seguir sete passos fundamentais que são listados a seguir.
O primeiro passo é definir o ambiente do modelo, o COMSOL Multiphysics® permite
criar modelos de zero dimensões até três dimensões. Além disso, ele proporciona um
tipo especial de modelo, que é o axissimétrico. No caso do usuário escolher o ambiente
bidimensional axissimétrico, por exemplo, apesar do modelo possuir três dimensões, a
simetria em torno do seu eixo faz com que o problema seja mais simples e diminui o
19
tempo de execução dos estudos já que existem apenas dois graus de liberdade para esse
problema.
O segundo passo é a definição da geometria do problema. É nesse momento que os
objetos são desenhados ou então importados de outro arquivo caso já tenham sido
criados previamente. O terceiro passo consiste em especificar os materiais utilizados e
suas propriedades. Já existe um número de materiais predefinidos no próprio programa,
mas, caso seja necessário a escolha de um material que não exista no programa, é
perfeitamente possível definir um novo material. Além disso, mesmo materiais
existentes podem ser modificados de modo que suas propriedades sejam as que o
usuário deseja.
O quarto passo é aquele na qual a física e as condições de contorno são estabelecidas. É
aqui que as equações que regem a física do problema são declaradas. Um dos pontos
fortes do COMSOL Multiphysics® é a grande variedade de físicas que ele possui e a
possibilidade de utilizar mais de uma, ao mesmo tempo, para modelar um problema. O
quinto passo consiste da criação da malha preparando o problema para ser resolvido
através do método dos elementos finitos. Em outras palavras, nesta etapa o problema é
discretizado e o objeto estudado é divido em pequenos elementos de forma a possibilitar
a resolução do problema através de métodos numéricos. Quanto mais fina a malha, mais
acurada será a simulação. Contudo, refinar a malha também aumenta o tempo que se
leva para rodar a simulação.
O sexto passo é basicamente rodar a simulação e o sétimo e último passo é analisar os
resultados. Dentro desse passo existem inúmeras ferramentas e métodos a serem
utilizados. O COMSOL Multiphysics® permite que diversos tipos de gráfico sejam
criados, além de também possibilitar a comparação de estudos diferentes num mesmo
gráfico.
20
4 Resultados e Discussões
4.1 Parâmetros do Modelo
As propriedades termofísicas da pele variam não só ao longo do corpo, como também
de indivíduo para indivíduo (fora outros fatores), o que torna a escolha de apenas um
valor para elas tarefa nada trivial. Por outro lado, restringindo algumas condições elas
passam a assumir variações relativamente pequenas e a escolha de um valor médio
passa a ser uma boa aproximação.
Para determinar os valores escolhidos das propriedades que contribuem para nossa
simulação foi feita uma análise do que se encontra na literatura (BITTENCOURT,
2017, ÇENTIGÜL, 2010, LAMIEN, 2015, DOMBROVSKY, 2011, GHANBARI,
2013). Foi decidido basear-se nos estudos de ÇENTIGÜL (2010), pois muitos dos
outros artigos já se baseiam nele e não o fazem por acaso. Nele foi feito um estudo
detalhado da variação dessas propriedades baseado em estudos anteriores e foi
construído um valor nominal para cada uma delas.
Devido a maior atividade metabólica e ao maior fluxo de sangue no tumor, assumimos
que a taxa de perfusão sanguínea 𝜔𝑏 é cinco vezes maior e a geração metabólica de
calor 𝑞𝑚 dez vezes maior que de um tecido saudável (ÇENTIGÜL, 2011).
Os valores adotados neste trabalho estão resumidos na tabela 1 abaixo.
21
Tabela 1 - Resumo das Propriedades Termofísicas
Propriedades Músculo Gordura Derme Epiderme Tumor
Massa específica 𝜌 (𝑘𝑔/𝑚3)
1085 1000 1200 1200 1030
Calor específico 𝑐𝑝 (𝐽/𝑘𝑔 𝐾)
3800 2674 3300 3589 3852
Condutividade térmica
𝑘 (𝑊/𝑚 𝐾) 0,51 0,185 0,445 0,235 0,558
Taxa de perfusão sanguínea 𝜔 (𝑠−1)
0,0027 0,0001 0,0009 0 0,0063
Fonte metabólica de geração de calor
𝑞𝑚 (𝑊/𝑚3)
684,2 368,3 368,1 0 3680
Espessura ℎ (𝑚𝑚)
8 2 1,5 0,1 P
Os valores da espessura do tumor estudados neste trabalho foram de 1,5 𝑚𝑚 e
0,75 𝑚𝑚. Além disso, as propriedades do sangue adotadas são: massa específica, 𝜌𝑏 =
1060 𝑘𝑔/𝑚3 e calor específico, 𝑐𝑝 = 3770 𝐽/(𝑘𝑔 𝐾) (ÇENTIGÜL, 2010).
A janela de construção é a principal janela do COMSOL Multiphysics® e é onde fica a
árvore contendo todos os nós que são editados na simulação. Na figura 9 é possível ver
uma imagem dessa janela e os nós que ela possui. Tomando as propriedades da camada
de gordura como exemplo, os nós editados para se adicionar os valores dessas
propriedades estão ressaltados por retângulos vermelhos.
22
Figura 9 – Janela de Construção do COMSOL Multiphysics®
Dentro de ‘Parameters’ é onde se encontram todos os parâmetros globais e onde estão
definidos, por exemplo, as espessuras de cada camada e as propriedades do sangue.
Uma imagem das configurações dessa aba pode ser visualizada na figura 10.
Figura 10 – Configurações dos Parâmetros Globais
As propriedades termofísicas da tabela 1 são inseridas em dois nós diferentes no
COMSOL Multiphysics®, um deles é dentro de ‘Materials’ e outro está dentro de
23
‘Definitions’ e funcionam como parâmetros locais. Novamente tomando a gordura
como exemplo, temos abaixo ilustrações de onde são definidas essas propriedades.
Massa específica, calor específico e condutividade térmica são definidos dentro de cada
material (ver figura 11).
Figura 11 – Configurações das Propriedades do Material Gordura
Por outro lado, taxa de perfusão sanguínea e fonte metabólica de geração de calor estão
em nós dentro de ‘Definitions’ (ver figura 12) e são usados nas físicas dentro de
‘Bioheat’ para cada tecido biológico, como pode ser visto na figura 13.
Figura 12 – Variáveis Locais da Gordura
Figura 13 – Configurações de ‘Bioheat’
24
Na aba da figura 12 é onde se definem o coeficiente de perfusão sanguínea e a geração
de calor metabólico, que são parâmetros locais, ou seja, dependem de que camada estão.
A figura 13, por sua vez, é a aba de ‘Bioheat’, que está dentro de uma aba de tecido
biológico denominada ‘Gordura’, que por sua vez pertence à física de biotransferência
de calor. Nessa aba foi escrito o nome das variáveis 𝜔𝑏 e 𝑞𝑚, que dessa forma
chamaram os valores dessas variáveis que haviam sido definidas na aba da esquerda.
4.2 Verificação do Modelo
Antes de se realizarem as simulações pretendidas, foram estudados problemas mais
simples com o intuito de verificar se de fato os resultados gerados pelo COMSOL
Multiphysics® estavam de acordo com os resultados obtidos através dos conceitos de
transferência de calor. Esses problemas de verificação são apresentados ao final do texto
no Apêndice A.
Em todos quatro problemas estudados foi considerado o modelo geométrico
apresentado anteriormente sem a presença do tumor. Além disso, assumiu-se como
condição inicial, temperatura constante e uniforme, igual a 𝑇𝑎 e condições de contorno
iguais as da formulação matemática da etapa 1. No primeiro problema, o modelo está
em regime permanente, não possui geração de energia no meio e todas as camadas são
distintas. No segundo problema, as camadas são supostas do mesmo material e assim
vão seguir sendo para os problemas seguintes. Além disso, neste problema é suposto
que há geração de energia. No terceiro problema o regime passa a ser transiente e mais
uma vez é suposto que não há geração de energia no meio. A única diferença do quarto
e último problema é que se adota a hipótese de haver geração de energia.
A conclusão obtida no apêndice é a de que para os quatro casos estudados, os resultados
obtidos pelo programa concordam muito bem com os resultados analíticos.
4.3 Estudo de Convergência de Malha
Foi feito um estudo de convergência de malha para determinar qual tipo deveria ser
utilizado ao longo das simulações a seguir. Esse estudo se mostra vital, pois é desejado
que se adote uma malha refinada o suficiente para trazer resultados acurados, mas que
25
por outro lado não comprometa o trabalho com tempos computacionais
demasiadamente grandes. As malhas adotadas foram definidas automaticamente pelo
COMSOL Multiphysics® de acordo com a física escolhida para o problema. Dentre
elas, as opções disponíveis variavam desde ‘Extremely coarse’ até ‘Extremely fine’
abrangendo um total de nove opções.
Para realização do teste pretendido foi escolhida a situação em que o modelo contém um
tumor de raio 𝑤 = 3 𝑚𝑚 e profundidade 𝑝 = 1,5 𝑚𝑚 (corresponde ao caso 3, que será
explicado com mais detalhes adiante) e presencia o reaquecimento natural da região.
Três pontos foram definidos no nosso modelo para auxiliar no estudo. O primeiro ponto
está dentro do tumor, o segundo está na superfície da pele e o terceiro dentro da derme,
conforme ilustrado na figura 14.
Figura 14 – Pontos Auxiliares no Modelo
As coordenadas dos pontos são expostas na tabela 2.
Tabela 2 - Coordenadas dos Pontos
Ponto 𝒓 [𝒎𝒎] 𝒛 [𝒎𝒎]
1 2 0,85
2 5 0
3 10 0,85
Antes de realizar o estudo foi feita uma comparação com um modelo construído usando
um ambiente tridimensional e um modelo desenhado em duas dimensões, mas que
26
possui simetria axial. Ambos geram eventualmente o mesmo modelo, a única diferença
é que no último a simetria é explicitamente definida antes mesmo de se começar a
desenhar o modelo. A malha do modelo tridimensional foi definida como sendo
‘Normal’.
Como pode ser visto na figura 15, esta malha possui 36953 elementos de domínio,
13962 elementos de fronteira e 896 elementos de aresta.
Figura 15 – Malha 'Normal' do Modelo tridimensional
A malha do modelo bidimensional axissimétrico foi escolhida como sendo ‘Fine’, que é
mais refinada que a ‘Normal’ (ver figura 16).
Esta malha possui 1301 elementos de domínio e 333 elementos de fronteira.
27
Figura 16 – Malha 'Fine' do Modelo Bidimensional Axissimétrico
Isso comprova que a escolha do modelo bidimensional axissimétrico é muito vantajosa,
pois diminui em muito o número de elementos necessários para a criação da malha e
possibilita resultados mais precisos e mais rápidos.
O próximo passo foi testar três malhas para essa escolha. Elas são a ‘Fine’, ‘Finer’ e
‘Extra fine’, que foram testadas para três tempos arbitrariamente escolhidos do
reaquecimento, a saber, 10𝑠, 50𝑠 e 100𝑠.
Os valores das temperaturas para os tempos selecionados são listados na tabela 3 e
como se pode observar, estes mostram-se muito próximos uns dos outros. De fato,
quase todas as temperaturas equiparam-se até a quarta casa decimal, em cada uma das
linhas. A discrepância relativa foi calculada entre as temperaturas com malha ‘Fine’ e as
com malha ‘Extra Fine’ e encontrou-se que o pior caso é o do ponto 3, para um tempo
de 10 segundos, em que a discrepância é de 0,007%. Tais valores são bastante
satisfatórios e demonstram um bom comportamento das malhas.
28
Tabela 3 - Resultado da Análise de Convergência
Ponto Tempo [𝒔] Temperatura [℃]
Malha 'Fine' Malha 'Finer' Malha 'Extra Fine'
1
10 9,60001 9,60005 9,59980
50 18,02078 18,02077 18,02073
100 23,07520 23,07519 23,07517
2
10 7,66109 7,66109 7,66109
50 16,24916 16,24916 16,24916
100 21,59630 21,59630 21,59630
3
10 8,53899 8,53904 8,53836
50 16,25417 16,25417 16,25413
100 21,39637 21,39637 21,39636
Diante disso decidiu-se adotar a malha ‘Fine’ para todas as simulações realizadas neste
projeto, haja vista que ela apresenta um refinamento bom o suficiente e ao mesmo
tempo demanda menores tempos computacionais que as outras malhas mais refinadas.
4.4 Simulações
Uma vez definidas as propriedades termofísicas adotadas, a geometria utilizada no
modelo, a física que rege o problema (modelo de Pennes) e a malha usada para o
cálculo dos perfis de temperatura, já é possível a realização de estudos que simulem a
situação desejada. No total foram feito sete estudos. O primeiro deles assume que não
haja tumor ou então que o tumor presente seja benigno e que suas propriedades sejam
compatíveis com a de um tecido saudável em que ele se encontra. Essa abordagem é
pertinente, pois estamos olhando para os tecidos biológicos pela ótica das propriedades
térmicas e, portanto a grande preocupação e o que buscamos é a detecção de tumores
malignos que tem potencial de causar danos muitas vezes irreparáveis.
Cada estudo é divido em três etapas. A primeira delas consiste no regime permanente e
o COMSOL Multiphysics® resolve a equação do modelo de Pennes para o caso que a
temperatura não depende mais do tempo. Uma distribuição de temperatura é, portanto
encontrada e esta, por sua vez, depende apenas do parâmetro espacial. A segunda etapa
utiliza a distribuição encontrada na primeira etapa como condição inicial do problema e
29
ao invés de convecção na sua superfície livre, agora a condição de contorno é
temperatura constante e igual a 0℃ nessa superfície. Esse estudo é rodado para um
intervalo de tempo de 50 segundos, com passos de 1 segundo. Isso significa que o
COMSOL Multiphysics® calcula os valores de temperatura para cada região criada pela
malha para cada intervalo de 1 segundo do instante 0 segundos até o instante 50
segundos. A terceira e última etapa também consiste de um regime transiente. Ela
utiliza a distribuição de temperaturas final da segunda etapa como condição inicial deste
estudo e como condição de contorno para a superfície livre utiliza a condição de
convecção com coeficiente de transferência de calor de 10 𝑊/𝑚2𝐾 como ocorria na
primeira etapa. Nesta etapa o intervalo de tempo estudado é de 300 segundos e o passo
escolhido é de 2 segundos.
Para os casos com tumor foi feito um estudo paramétrico em que se considerou três
tamanhos diferentes de largura e dois tamanhos diferentes de profundidade para o
tumor, gerando um total de seis estudos diferentes, que buscaram abranger tamanhos
típicos de tumores que seriam desejáveis de serem detectados precocemente. Os seis
casos são resumidos na tabela 4, onde 𝑤 se refere ao raio do tumor e 𝑝 à profundidade
do tumor:
Para cada um dos casos estudados vamos analisar visualmente cada uma das três etapas
através de gráficos tridimensionais e estudar também gráficos da temperatura
transversal para a primeira e terceira etapas; regime permanente e reaquecimento
natural, respectivamente. Elas vão nos mostrar as diferenças de temperatura que podem
ser capturadas através das termografias passiva e ativa. Além disso, como a diferença de
Tabela 4 - Produto Cartesiano dos Valores das
Propriedades
w [mm]
. p [mm]1 3 6
0,75 p = 0,75, w = 1 p = 0,75, w = 3 p = 0,75, w = 6
1,5 p = 1,50, w = 1 p = 1,50, w = 3 p = 1,50, w = 6
30
temperatura entre a maior e menor temperatura num comprimento de arco varia com o
tempo, uma outra análise se viu necessária. Foi escrito um código em Python que
calculava o valor absoluto da diferença entre as temperaturas nas posições 0 𝑚𝑚 e
15 𝑚𝑚 para cada instante de tempo e que criava um gráfico exibindo tal resultado.
Dessa forma foi possível identificar o momento da recuperação térmica da pele com o
maior contraste térmico. O código criado pode ser visto na figura 17.
Figura 17 – Código Escrito em Python Usado para Calcular as Diferenças de
Temperatura ao Longo do Tempo
Para facilitar a apresentação das simulações e dos resultados obtidos através delas, os
sete casos mencionados aparecerão numerados em ordem crescente de acordo com a
tabela 5.
31
Tabela 5 - Explanação dos Casos Estudados
Caso p (mm) w (mm)
1 - -
2 1,5 6
3 1,5 3
4 1,5 1
5 0,75 6
6 0,75 3
7 0,75 1
Caso 1:
Nosso primeiro estudo foi o do caso sem tumor. A ausência do tumor acarreta num
modelo unidimensional.
O resultado da simulação do caso sem tumor para o regime permanente pode ser visto
no gráfico tridimensional apresentado na figura 18.
Figura 18 – Caso 1: Regime Permanente
Como esperado vemos que a temperatura varia longitudinalmente, mas não
transversalmente. Como o gráfico de cores é um pouco impreciso e serve apenas de
32
auxílio visual, um gráfico da temperatura ao longo do eixo longitudinal foi construído
de modo a se observar com mais detalhes a variação da temperatura, conforme
apresentado pela figura 19.
O eixo 𝑥 está em milímetros e vai desde a parte mais profunda do músculo (do nosso
modelo) até a parte mais superficial da pele. Podemos ver claramente que a temperatura
sofre grande influência dependendo da região que ela se encontra e que a diferença de
temperatura entre a posição mais quente e mais fria não é muito grande, estando em
torno de 2,6℃. Note na figura 19 os perfis lineares de temperatura, característica do
regime permanente, unidimensional em coordenadas cartesianas (neste caso, a
coordenada longitudinal).
Figura 19 – Temperatura Longitudinal
Em seguida, a etapa de resfriamento é computada e seu gráfico tridimensional é
apresentado na figura 20, para o instante em que o tempo decorrido é de 50 segundos.
33
Figura 20 – Caso 1: Resfriamento após 50 segundos
Finalmente, simulamos o reaquecimento cujos resultados são apresentados na figura 21
para o tempo de 100 𝑠 após o início do reaquecimento.
Figura 21 – Caso 1: Reaquecimento após 100 segundos
Essa etapa de reaquecimento é a de maior interesse, pois são onde os dados seriam de
fato colhidos por câmeras térmicas e a evolução da temperatura estudada. Como forma
de organizar os estudos, alguns tempos específicos foram selecionados de forma que
34
pudéssemos estudar os gráficos de temperatura ao longo da pele no sentido transversal
nesses tempos. Os primeiros momentos de reaquecimento são os mais interessantes,
pois são onde veremos de forma mais clara a atuação do diferente metabolismo na
região do tumor. Com isso em mente, vamos seguir o padrão de analisar os gráficos
correspondentes aos tempos 𝑡 = {0𝑠, 2𝑠, 6𝑠, 10𝑠, 20𝑠, 50𝑠, 100𝑠}. A figura 22 mostra
tais perfis para o caso 1, mais uma vez demonstrando o comportamento unidimensional
deste caso. Como esperado as temperaturas praticamente não variam ao longo da
posição, mas crescem em relação ao tempo tendendo a voltar à distribuição que se
encontrava no regime permanente.
Figura 22 – Caso 1: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo
Caso 2:
O primeiro caso com tumor analisado vai ser o de maior tamanho, tanto radial quanto de
profundidade. Espera-se que não haja dificuldade em detectar uma significativa
diferença de temperatura, entre a região do tumor e longe dela, até mesmo para o regime
permanente.
O gráfico da distribuição de temperatura em nosso modelo é exibido na figura 23 para o
regime permanente. Nota-se que a distribuição é muito similar a do caso sem tumor,
mas ao invés de analisar a temperatura através de uma reta de corte longitudinal, agora
35
vamos analisar a temperatura através de uma reta de corte transversal que está na
superfície da pele. O resultado é mostrado na figura 24.
Figura 23 – Caso 2: Regime Permanente
Figura 24 – Caso 2: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime
Permanente
36
A influência da presença do tumor é evidente. Entre o centro do tumor e uma distância
de 15 𝑚𝑚 desse ponto há uma diferença de mais de 0,5℃, o que já seria mais do que
suficiente para que câmeras térmicas revelassem a presença de uma anomalia.
Continuando o estudo, temos na figura 25 a imagem da distribuição de temperaturas
para o fim do período de resfriamento.
Figura 25 – Caso 2: Resfriamento após 50 segundos
A última etapa é a do reaquecimento e a distribuição de temperatura para um tempo de
300 segundos é exibida na figura 26.
37
Figura 26 – Caso 2: Reaquecimento após 100 segundos
Como mencionado anteriormente, para cada instante da fase de reaquecimento da região
teremos um gráfico de temperaturas na superfície e, portanto a figura 27 reúne sete
gráficos para os seguintes tempos particulares: 0𝑠, 2𝑠, 6𝑠, 10𝑠, 20𝑠, 50𝑠 𝑒 100𝑠.
38
Figura 27 – Caso 2: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo
Dois pontos saltam aos olhos ao analisar a figura. O primeiro é que, à medida que o
tempo decorre, a distribuição de temperatura como um todo é transladada para cima e
tende a recuperar a distribuição encontrada no regime permanente. O segundo é que fica
evidente que a temperatura perto da região do tumor (neste caso de 0 𝑚𝑚 a 6 𝑚𝑚) e
redondezas está acima do resto da pele. Além disso, esta diferença de temperatura
evolui com o tempo. Por isso, se criou um pequeno programa em Python que importava
os dados desses gráficos e estudava essa evolução ao longo do tempo (ver figura 17). O
resultado desse programa pode ser visto na figura 28.
39
Figura 28 – Caso 2: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do
Tempo
Desse programa obtemos que a maior diferença de temperatura surge aos 74 segundos
de recuperação térmica e tal diferença é de 3,39℃, valor muito superior aos 0,5℃ que
havíamos encontrado a princípio analisando apenas o regime permanente.
Caso 3:
Diminuímos agora o raio do tumor à metade de seu valor e vamos analisar as
consequências dessa mudança. Primeiro olhemos como fica a distribuição de
temperatura para o regime permanente, na figura 29.
40
Figura 29 – Caso 3: Regime Permanente
Mais uma vez vemos que longe do tumor a distribuição de temperaturas se comporta da
mesma forma que o caso sem tumor e a extensão das temperaturas encontradas também
é muito similar.
Plotando o gráfico da temperatura ao longo da superfície obtemos a figura 30.
41
Figura 30 – Caso 3: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime
Permanente
A diferença de temperatura é de aproximadamente 0,4℃ para esse caso e percebe-se
que a queda de temperatura é mais acentuada, isto é, para um mesmo comprimento há
uma queda mais brusca da temperatura em relação ao caso anterior.
A próxima etapa é a do resfriamento. Simulamos esse evento e encontramos a
distribuição de temperaturas para 50 segundos de simulação, que pode ser vista na
figura 31.
42
Figura 31 – Caso 3: Resfriamento após 50 segundos
Finalmente o gráfico da distribuição de temperaturas para o reaquecimento da região
após 300 segundos é exibido na figura 32.
Figura 32 – Caso 3: Reaquecimento após 100 segundos
Novamente, traçamos os gráficos da temperatura ao longo da superfície da pele para os
tempos 𝑡 = {0𝑠, 2𝑠, 6𝑠, 10𝑠, 20𝑠, 50𝑠, 100𝑠}. O resultado é ilustrado na figura 33.
43
Figura 33 – Caso 3: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo
O resultado do programa feito em Python pode ser visto na figura 34.
44
Figura 34 – Caso 3: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do
Tempo
A maior diferença de temperaturas é encontrada aos 50 segundos e corresponde a
2,25℃.
Caso 4:
O último estudo para o caso que a profundidade é de 1,5 𝑚𝑚, é o caso em que o raio
tem 1 𝑚𝑚, ou seja, é três vezes menor que o caso anterior e seis vezes menor que o
primeiro caso estudado. Tal caso é de profundo interesse, pois tumores de pequeno raio
como esse tendem a ser perigosos pela alta probabilidade de passarem despercebidos.
A distribuição de temperaturas para o regime permanente é vista na figura 35.
45
Figura 35 – Caso 4: Regime Permanente
Repare que o tamanho do tumor é bem pequeno em relação ao modelo. Quanto menor o
tumor mais se espera que a distribuição se assemelhe ao caso sem tumor, afinal o caso
limite fazendo o raio 𝑤 ir para zero é exatamente esse.
A figura 36 apresenta o gráfico da temperatura sobre a superfície da pele para este caso.
46
Figura 36 – Caso 4: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime
Permanente
O gráfico da figura 36, como pode ser visto acima, mostra que a variação de
temperatura é de aproximadamente apenas 0,12℃.
A distribuição de temperaturas para 50 segundos de resfriamento é exibida na figura 37.
Figura 37 – Caso 4: Resfriamento após 50 segundos
47
E o gráfico tridimensional para 300 segundos de reaquecimento é disposto na figura 38.
Figura 38 – Caso 4: Reaquecimento após 100 segundos
Logo em seguida, o conjunto de gráficos bidimensionais para a temperatura na
superfície da pele para os tempos estabelecidos a priori é plotado na figura 39.
48
Figura 39 – Caso 4: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo
Para este caso já se começa a perceber as dificuldades que podem ser encontradas.
Ainda é possível identificar variações de temperatura nas regiões de tumor, mas elas
estão cada vez menores em relação aos casos anteriores. O gráfico que estuda a
diferença de temperatura entre os pontos 0 𝑚𝑚 e 15 𝑚𝑚 ao longo do tempo é
construído conforme ilustra a figura 40.
49
Figura 40 – Caso 4: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do
Tempo
Para este caso é possível ver que a maior diferença de temperaturas é detectada aos 22
segundos e corresponde a 0,77℃.
Com intuito de comparar esses três primeiros casos e analisar como suas distribuições
de temperatura se comportam para o regime permanente, agrupou-se os três primeiros
gráficos de cada caso numa só ilustração (ver figura 41).
As variações máximas de temperatura diminuem e ocorrem para tempos menores,
quando se diminui o tamanho do tumor (ver figuras 28, 34 e 40).
50
Figura 41 – Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente
Para os Casos 2, 3 e 4
Confirmando o que já havia sido observado anteriormente, não só a variação de
temperatura diminui, mas também a região de influência do tumor diminui.
Caso 5:
Nos próximos três casos, adotou-se uma profundidade de 0,75 𝑚𝑚 para o tumor. Isso é
metade da profundidade que vinha sendo utilizada. No presente caso, o raio do tumor é
de 6 𝑚𝑚.
O gráfico da temperatura para o regime estacionário pode ser visto na figura 42.
51
Figura 42 – Caso 5: Regime Permanente
Mais uma vez vemos que a distribuição de temperaturas para o caso do regime
permanente não se distancia muito do caso sem tumor, que por sua vez traz consigo o
risco da não identificação do mesmo. O gráfico da temperatura ao longo da superfície
da pele é apresentado na figura 43.
52
Figura 43 – Caso 5: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime
Permanente
A faixa de temperatura para esse caso é menor que 0,4℃ e, portanto ligeiramente menor
comparado ao caso em que o tumor tem profundidade de 1,5 𝑚𝑚 (ver figura 24). Na
figura 44 é possível visualizar o final da simulação do resfriamento, em que a superfície
da pele se encontra com temperatura constante de 0℃.
53
Figura 44 – Caso 5: Resfriamento após 50 segundos
Na figura 45 a seguir, expõe-se a distribuição de temperatura após 300 segundos de
reaquecimento natural da região.
Figura 45 – Caso 5: Reaquecimento após 100 segundos
O gráfico contendo a variação da temperatura ao longo da pele para os sete tempos
previamente definidos é revelado na figura 46.
54
Figura 46 – Caso 5: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo
Nota-se na figura 46 que a diferença máxima de temperatura para cada tempo não é tão
grande, apesar de a faixa de comprimentos influenciando esse aumento de temperatura
perto do centro ser diretamente relacionada ao tamanho do tumor. Dessa forma, o
gráfico produzido pelo programa escrito em Python (ver figura 17) permite uma analise
mais detalhada, como pode ser visto na figura 47.
55
Figura 47 – Caso 5: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do
Tempo
A diferença máxima de temperatura é de 1,89℃ graus e ocorre aos 104 segundos. Até o
momento foi o experimento que mais demorou a alcançar a diferença máxima. Isso
explica a impressão de que as diferenças pareciam pequenas. Para este caso os primeiros
segundos não eram os mais interessantes de se observar, forçando uma espera
ligeiramente maior para se obter resultados melhores.
Caso 6:
O caso seguinte é o de largura do tumor igual à metade do anterior. A distribuição de
temperaturas para o regime permanente pode ser vista na figura 48.
56
Figura 48 – Caso 6: Regime Permanente
Com a diminuição do tamanho do tumor espera-se uma influencia cada vez menor por
parte deste na distribuição de temperatura da região. Isso fica evidenciado no gráfico da
figura 49.
Figura 49 – Caso 6: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime
Permanente
57
A faixa de temperatura agora é menor que 0,25℃ e região de temperatura mais elevada
se estreitou. Na figura 50 a distribuição de temperaturas para o final do estágio de
resfriamento é exibida.
Figura 50 – Caso 6: Resfriamento após 50 segundos
A faixa de temperatura está dentro do esperado e a temperatura na superfície da pele é
igual a 0℃ como desejado. A última etapa é a do reaquecimento natural e a distribuição
de temperaturas para um tempo de 300 segundos pode ser vista na figura 51.
58
Figura 51 – Caso 6: Reaquecimento após 100 segundos
Uma analise mais minuciosa da situação é possibilitada através do gráfico da
temperatura ao longo da superfície da pele para os tempos já predeterminados de 𝑡 =
{0𝑠, 2𝑠, 6𝑠, 10𝑠, 20𝑠, 50𝑠, 100𝑠} (ver figura 52).
59
Figura 52 – Caso 6: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo
O grupo de curvas da figura 52 indica que a variação de temperatura das curvas parece
aumentar com o tempo e diminuir ligeiramente para o tempo de 100 segundos. Além
disso, para posições acima dos 5 𝑚𝑚 já fica difícil se notar diferenças de temperatura
significativas.
O gráfico desenvolvido com a ajuda do Python aparece de forma muito conveniente
para esclarecer esses pontos. Ele indica que a maior diferença de temperatura que se
atinge é de 1,27℃, que por sua vez ocorre aos 50 segundos de reaquecimento, como
pode ser visto na figura 53.
60
Figura 53 – Caso 6: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do
Tempo
Caso 7:
O último caso é aquele do qual se espera mais dificuldade, pois é o caso em que o tumor
possui o menor tamanho tanto em largura quanto em profundidade. A distribuição de
temperatura para o regime permanente é vista na figura 54 abaixo.
61
Figura 54 – Caso 7: Regime Permanente
A semelhança com o caso sem tumor é nítida, o que não surpreende, pois o tamanho do
tumor é relativamente bastante menor que o do modelo em si.
O gráfico da figura 55 é o da temperatura ao longo da superfície da pele para este
mesmo caso.
62
Figura 55 – Caso 7: Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime
Permanente
Nota-se que aqui que a variação da temperatura cai para menos de 0,1℃ e que a região
de influencia do tumor é bem estreita.
O gráfico das temperaturas para a fase de resfriamento é exibido na figura 56.
Figura 56 – Caso 7: Resfriamento após 50 segundos
O fato da faixa de temperatura ser relativamente extensa nesse caso – há uma faixa de
37℃ – faz com que o gráfico de cores não consiga transmitir informação. Contudo, isso
não chega a ser um problema, pois a etapa seguinte é que é a nossa principal fonte de
informações. Um gráfico da sua distribuição de temperaturas é mostrado na figura 57.
63
Figura 57 – Caso 7: Reaquecimento após 100 segundos
A impressão que o gráfico nos passa é que o tumor é tão pequeno que praticamente não
influencia a temperatura da pele. Contudo, a temperatura da pele se mostra mais
eficiente em avaliar se este é de fato o caso.
Um gráfico contendo a variação de temperatura ao longo da pele para diferentes tempos
é exibido na figura 58.
64
Figura 58 – Caso 7: Temperatura na Superfície da Pele ao Longo do Tempo
Como podemos observar na figura 58, de fato a diferença de temperatura causada pelo
tumor parece ser mínima e somente o estudo da variação dessa diferença ao longo do
tempo é que vai poder nos dizer com mais precisão se a diferença de temperatura é
significativa ou não.
Um gráfico com a diferença máxima de temperatura para cada tempo é construído e
apresentado na figura 59.
65
Figura 59 – Caso 7: Variação da Diferença de Temperatura ao Longo do
Tempo
Extraímos dessa análise que a maior diferença encontrada é de 0,48℃ para o tempo de
22 segundos, como pode ser visto na figura 59. Apesar de não ser uma diferença muito
grande ela é sim grande o suficiente para os nossos propósitos e é claramente maior do
que para o caso do regime permanente onde ela não passava dos 0,1℃.
Novamente, é exibido um gráfico comparando a temperatura ao longo da superfície da
pele para o regime permanente, com o intuito de comparar a variação da largura para a
profundidade de 0,75 𝑚𝑚 (ver figura 60).
66
Figura 60 – Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente
Para os Casos 5, 6 e 7
Por uma questão de completude também se pareceu razoável criar um gráfico para
analisar a influencia da variação da profundidade. Por isso, foi desenvolvido um gráfico
que agrupava as duas curvas de temperatura ao longo da superfície da pele quando a
largura 𝑤 é igual a 3 𝑚𝑚 e este pode ser visto na figura 61.
67
Figura 61 – Temperatura na Superfície da Pele Para o Regime Permanente
Para os Casos 3 e 6
O gráfico da figura 61 acima nos releva informações importantes. A primeira
observação a ser feita, é que a curva com maior profundidade possui temperatura maior
que a outra curva, para todas as posições radiais. Ou seja, não importa qual ponto se
esteja observando, é esperado que a temperatura para um caso em que a profundidade
do tumor é maior seja mais elevada. Outro ponto digno de menção é que a profundidade
do tumor influencia sensivelmente a variação de temperatura obtida em cada curva.
Além disso, o mesmo raio para as duas curvas parece evidenciar que este parâmetro
influencia diretamente na região de influência do tumor. Isto é, a faixa de comprimento
em que os valores da temperatura estão significativamente acima dos valores
encontrados nas extremidades é muito similar para as duas curvas.
Finalmente, a tabela 6, que agrupa os resultados obtidos ao final de cada experimento,
foi produzida. Nela constam os casos que contêm tumor, ou seja, os seis casos últimos
casos. E para cada um deles é assinalado a maior diferença de temperatura encontrada
na recuperação térmica e o tempo em que tal diferença foi obtida.
68
Tabela 6 - Resumo dos Casos
Caso 2 Caso 3 Caso 4
𝟑, 𝟑𝟗℃ 74𝑠 𝟐, 𝟐𝟓℃ 50𝑠 𝟎, 𝟕𝟕℃ 22𝑠
Caso 5 Caso 6 Caso 7
𝟏, 𝟖𝟗℃ 104𝑠 𝟏, 𝟐𝟕℃ 50𝑠 𝟎, 𝟒𝟖℃ 22𝑠
Os gráficos das figuras 28, 34, 40, 47, 53 e 59 apresentam todos a mesma estrutura.
Começam valendo 0℃ no tempo 0 𝑠, aumentam até atingir um valor máximo e então
decrescem e convergem para um valor limite no infinito. Isso ocorre pela forma que eles
foram definidos, isto é, por ser a diferença de temperatura entre dois pontos na
superfície da pele, pelo fato de que no instante inicial a temperatura é constante e igual a
0℃ para toda a superfície da pele e ainda por a temperatura na superfície da pele tender
ao regime permanente quando o tempo tende a infinito.
A tabela 6 nada mais é que um resumo das temperaturas máximas destes gráficos e dos
tempos em que elas são atingidas. Ela nos evidencia que à medida que as larguras do
tumor vão diminuindo, também diminuem o tempo necessário para a diferença de
temperatura atingir seu valor máximo. Outro ponto que também fica claro é a correlação
positiva entre a profundidade do tumor e a diferença máxima de temperatura.
O último, e talvez mais importante, ponto a ser ressaltado é a magnitude das diferenças
de temperatura obtidas. A menor delas foi obtida no caso mais extremo, em que o tumor
possuía a menor largura e a menor profundidade. Ainda assim, o valor de 0,48℃ é
grande o suficiente para ser facilmente detectado por uma termografia por
infravermelho, que é nosso objetivo final.
69
5 Considerações Finais
No presente projeto foi feito um estudo para se avaliar se a análise do desenvolvimento
dos perfis de temperatura da superfície da pele que sofreu um estímulo térmico teria a
capacidade de passar informação o suficiente de modo a servir como detecção de um
melanoma. Esse estudo teórico foi realizado com a ajuda do software COMSOL
Multiphysics®. Procurou-se através desta análise identificar se esse caminho era ou não
promissor e se valia a pena investir nessa direção no combate ao câncer.
De forma resumida, os resultados mostraram que, de fato, a abordagem ativa do
problema traz resultados muito melhores que a abordagem passiva, em que não há
estímulo térmico. Mesmo para o pior caso estudado, em que a largura e a profundidade
do tumor foram as menores consideradas, ainda foi possível detectar uma diferença de
temperatura significativa o suficiente para se afirmar que havia a presença de um tumor
maligno. Podemos, portanto afirmar com base nos resultados obtidos que, de fato, o
método desenvolvido parece promissor e mostra a capacidade de avaliar a presença de
um tumor maligno com alta sensibilidade.
Como sugestão de trabalho futuro seria muito interessante tentar reproduzir os
resultados aqui obtidos em experimentos realizados em laboratório. Em outras palavras
seria muito produtivo reproduzir em um laboratório os experimentos que foram
simulados no COMSOL Multiphysics® de forma a avaliar se de fato os resultados aqui
obtidos se reproduzem na vida real.
Neste caso, diversos novos obstáculos apareceriam de forma natural devido ao novo
ambiente. Incertezas relacionadas à medida da temperatura, imprecisões que algumas
das simplificações acarretam e até o próprio modelo de Pennes, que tem limitações
inerentes, teriam de ser comtemplados. O que torna essa pesquisa atraente, de acordo
com o ponto de vista deste trabalho, é avaliar quais das simplificações adotadas e
hipóteses feitas são pertinentes, quais não são e quais mais interferem no resultado final.
Com base em resultados experimentais obtidos em laboratório poder-se-ia até retornar a
um estudo similar a este tentando aprimorar cada passo do estudo. Ou seja, se poderia
adotar um modelo que descreva melhor a situação física que o modelo de Pennes, se
poderia adotar um modelo geométrico que melhor representa o modelo real e assim por
diante.
70
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73
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S. (Ed.). Developments in Heat Transfer. New York: InTech, 2011. cap. 9.
74
Apêndice A – Problemas de Verificação
Com o intuito de verificar a validade das simulações desenvolvidas no COMSOL
Multiphysics® foram estudados quatro problemas de verificação, em que algumas
situações de limitada complexidade, porém pertinentes, foram escolhidas, pois era
possível resolvê-las analiticamente.
Uma vez resolvidos tais problemas analiticamente (para dois deles foi necessário a
utilização do software Python para executar o cálculo dos resultados obtidos), resultados
foram reunidos e comparados com aqueles extraídos das simulações realizadas no
COMSOL Multiphysics® que resolviam o mesmo problema.
Ao final de cada um dos problemas é feita uma comparação entre as duas soluções e
uma análise de verificação dos resultados obtidos através do COMSOL Multiphysics®.
Todos os problemas abordados tem apenas uma dimensão espacial, os dois primeiros
são assumidos estacionários e, portanto não dependem do tempo e os dois últimos são
assumidos transientes e, portanto além da dimensão espacial também possuem uma
dimensão temporal.
Problema de Verificação 1:
O primeiro problema consiste em camadas justapostas, sem geração de energia no meio
e na qual a transferência de calor se dá em regime permanente. Em uma das
extremidades a temperatura é mantida constante em 𝑇0 = 37℃ e na outra extremidade
há convecção de calor para o meio externo com coeficiente de transferência de calor
ℎ = 10 𝑊/𝑚2 ℃ e temperatura ambiente igual a 𝑇ar = 23℃.
Como nosso problema está em regime permanente e não há geração de energia a
equação governante para cada uma das camadas será d2𝑇(x)
dx2= 0 e percebe-se facilmente
que a distribuição de temperatura ao longo de cada uma das camadas será dada por uma
reta. Em outras palavras, basta determinarmos as temperaturas nos pontos de interseção
de uma camada com outra. Para resolver este problema podemos utilizar o conceito de
resistência térmica já que não há geração de energia no meio. Adotando uma área da
seção de A = 100mm2 = 10−4m2, vemos que a taxa de fluxo de calor será:
75
𝑄 =
𝑇0 − 𝑇1𝑅1
=𝑇1 − 𝑇2𝑅2
=𝑇2 − 𝑇3𝑅3
=𝑇3 − 𝑇4𝑅4
=𝑇4 − 𝑇5𝑅5
=𝑇5 − 𝑇𝑎𝑟𝑅𝑏
(1)
Onde as resistências térmicas são:
𝑅1 =
𝐿1𝐴𝑘1
, 𝑅2 =𝐿2𝐴𝑘2
, 𝑅3 =𝐿3𝐴𝑘3
, 𝑅4 =𝐿4𝐴𝑘4
, 𝑅5 =𝐿5𝐴𝑘5
, 𝑅𝑏 =1
𝐴ℎ
(2)
Somando os numeradores e denominadores das razões individuais na equação (1),
chegamos a equação (3).
𝑄 =
𝑇0 − 𝑇𝑎𝑟𝑅
(3)
Onde
𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅𝑏 (4)
De posse do valor de 𝑄 podemos facilmente encontrar as temperaturas:
𝑇1 = 𝑇0 −𝑄𝑅1, 𝑇2 = 𝑇1 −𝑄𝑅2, 𝑇3 = 𝑇2 −𝑄𝑅3 (5)
𝑇4 = 𝑇3 − 𝑄 ∙ 𝑅4, 𝑇5 = 𝑇4 − 𝑄 ∙ 𝑅5 (6)
Os valores dos comprimentos e condutividade térmica de cada camada são dados na
tabela 7.
Tabela 7 – Comprimentos e Condutividades Térmicas do Problema de
Verificação 1
Músculo Gordura Derme Tumor Epiderme
𝐿𝑖 [𝑚𝑚] 8 2 0,75 0,75 0,1
𝑘𝑖 [W/m ∙ ℃ ] 0,51 0,185 0,445 0,558 0,235
De posse desses valores podemos calcular as resistências térmicas, a taxa de fluxo de
calor e finalmente as temperaturas desejadas.
76
𝑅1 =𝐿1𝐴𝑘1
=8 ∙ 10−3
10−4 ∙ 0,51= 156,862745℃ 𝑊⁄ ,
𝑅2 =2 ∙ 10−3
10−4 ∙ 0,185= 108,108108℃ 𝑊⁄
𝑅3 =𝐿3𝐴𝑘3
=0,75 ∙ 10−3
10−4 ∙ 0,445= 16,853933℃ 𝑊⁄ ,
𝑅4 =0,75 ∙ 10−3
10−4 ∙ 0,558= 13,440860℃ 𝑊⁄
𝑅5 =𝐿5𝐴𝑘5
=0,1 ∙ 10−3
10−4 ∙ 0,235= 4,255319℃ 𝑊⁄ , 𝑅𝑏 =
1
10−4 ∙ 10= 1000℃ 𝑊⁄
𝑅 = 1299,520965℃ 𝑊⁄
𝑄 =𝑇0 − 𝑇𝑎𝑟
𝑅=
37 − 23
1299,520965= 0,0107732 𝑊
𝑇1 = 𝑇0 −𝑄𝑅1 = 37 − 0,0107732 ∙ 156,862745 = 35,310086℃
𝑇2 = 𝑇1 − 𝑄𝑅2 = 35,310086− 0,0107732 ∙ 108,108108 = 34,145416℃
𝑇3 = 𝑇2 − 𝑄𝑅3 = 34,145416 − 0,0107732 ∙ 16,853933 = 33,963845℃
𝑇4 = 𝑇3 −𝑄𝑅4 = 33,963845 − 0,0107732 ∙ 13,440860 = 33,819044℃
𝑇5 = 𝑇4 −𝑄𝑅5 = 33,819044 − 0,0107732 ∙ 4,255319 = 33,773201℃
O próximo passo é implementar o mesmo problema no COMSOL Multiphysics® e
extrair os dados pertinentes para compararmos com nosso modelo teórico e analisar se
de fato eles concordam ou se há alguma discrepância nos valores.
Seguindo o procedimento padrão do COMSOL Multiphysics®, a primeira coisa a ser
feita é definir a geometria do problema. Como queríamos um problema relativamente
simples e que recaísse num problema unidimensional, estendemos a largura do tumor de
forma que todas as camadas tivessem a mesma largura e o problema originalmente
tridimensional virasse essencialmente um problema unidimensional devido à
axissimetria e ao fato das camadas serem todas de mesmo raio.
77
Como pode ser visto na figura 62 a seguir, dentro da aba ‘Geometry 1’ foram
construídas 5 camadas com as devidas medidas já mencionadas.
Figura 62 – Geometria do Problema de Verificação
O próximo passo foi definir os materiais, como pode ser visto na figura 63.
Figura 63 – Materiais do Problema de Verificação 1
Para cada camada foi definido seu material respectivo (com suas devidas propriedades)
e foi tomado o cuidado de se usar as mesmas condutividades térmicas que haviam sido
utilizadas quando o problema analítico foi resolvido.
78
Na figura 63 podemos ver que o material selecionado é o músculo cuja condutividade
térmica foi alterada para 𝑘 = 0,51 W/m℃ para concordar com o valor utilizado na
resolução do problema feita anteriormente.
Depois disso, foi definida a física do problema. Foi escolhida a transferência de calor
em sólidos e definidas as condições inicial e de contorno do problema.
Na figura 64 podemos observar a condição de contorno de convecção na camada
externa da pele sendo aplicada. Como se pode notar foi escolhido um coeficiente de
transferência de calor ℎ = 10 W/m2 ℃ e temperatura externa como sendo a
temperatura do ar previamente definida.
Figura 64 – Física do Problema de Verificação 1
Os passos seguintes foram criar uma malha para o modelo geométrico e definir o
estudo. No nosso caso o estudo é o de regime estacionário. Tendo definido isso, o
COMSOL Multiphysics® já tem condições de rodar o problema.
De forma a analisar os resultados definimos uma linha de corte para exibir os valores da
temperatura sobre os pontos desta linha. A linha escolhida foi uma perpendicular às
camadas e que passa bem no meio do modelo, que é um cilindro; ou seja, em 𝑟 = 0𝑚𝑚.
A figura 65 ilustra a definição de tal linha de corte.
79
Figura 65 – Linha de Corte do Problema de Verificação 1
Por último, cria-se um ‘Plot Group’, como pode ser visto na figura 66, onde podem ser
criados gráficos com os dados do problema e dentro deste grupo cria-se um gráfico de
linha com a linha anteriormente definida. É deste gráfico que os dados serão retirados,
pois queremos os valores da temperatura quando o sistema atinge o regime permanente
nos pontos de distância 0 𝑚𝑚; 8 𝑚𝑚; 10 𝑚𝑚; 10,75 𝑚𝑚; 11,5 𝑚𝑚 𝑒 11,6 𝑚𝑚.
Figura 66 – Gráfico do Problema de Verificação 1
O gráfico apresenta um bom resultado visual, mas queremos algo mais palpável e fácil
de analisar. Para isso, foram extraídos os dados do gráfico. O COMSOL Multiphysics®
80
permite que esta extração se dê para um arquivo ‘.txt’ em que são criadas duas colunas,
a primeira com os valores da abcissa e a segunda com os respectivos valores da
ordenada.
Esses valores foram então importados num arquivo Excel e tratados de forma a
comparar os valores recém coletados com os calculados anteriormente. A tabela 8
comparando tais valores é exibida abaixo.
Tabela 8 – Temperaturas Teóricas e Calculadas com o COMSOL
Multiphysics® para o Problema de Verificação 1
𝑥 [𝑚𝑚] 𝑇 (𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜) [℃] 𝑇 (𝐶𝑂𝑀𝑆𝑂𝐿) [℃]
0 37 37
8 35,310086 35,31008619
10 34,145416 34,14541585
10,75 33,963845 33,96384506
11,5 33,819044 33,81904397
11,6 33,773201 33,77320057
A proximidade dos dados é notável e o resultado é considerado bastante positivo para
este primeiro problema de verificação.
Problema de Verificação 2:
No segundo problema se é assumido que há geração de energia 𝑔0 = 400 W m3⁄ e que
todas as camadas são do mesmo material ou mesmo tecido, que foi arbitrariamente
escolhido ser tecido muscular. Ainda se está no caso do regime permanente e devido ao
fato de todas as camadas serem iguais, pode-se encarar esse modelo como sendo apenas
uma camada grossa de tecido muscular.
A equação que rege tal problema é:
81
𝑑2𝑇(𝑥)
𝑑𝑥2+1
𝑘𝑔(𝑥) = 0
0 < 𝑥 < L (7)
Novamente as condições de contorno são que a temperatura é mantida constante em
𝑇0 = 37℃ numa extremidade e na outra há convecção de calor para o meio externo com
coeficiente de transferência de calor ℎ = 10 W/m2 ℃ e temperatura ambiente igual a
𝑇𝑎𝑟 = 23℃. Elas podem ser resumidas nas equações a seguir.
𝑇(0) = 𝑇0 = 37℃ (8)
𝑘𝑑𝑇(𝑥)
𝑑𝑥+ ℎ𝑇 = ℎ𝑇𝑎𝑟
em 𝑥 = L (9)
É assumido que a geração de energia é uniforme e, portanto 𝑔(𝑥) = 𝑔0 para todo 𝑥.
Para encontrar a distribuição de temperatura integra-se a equação (7):
𝑑𝑇(𝑥)
𝑑𝑥= −
𝑔0𝑘x + 𝐶1
(10)
Que avaliada em 𝑥 = L resulta em:
𝑑𝑇(𝐿)
𝑑𝑥= −
𝑔0𝑘𝐿 + C1
(11)
Integrando mais uma vez a equação (7) obtém-se:
𝑇(𝑥) = −𝑔02𝑘𝑥2 + C1𝑥 + C2
(12)
Usando a condição de contorno (8) na última equação encontramos:
C2 = 𝑇0 = 37℃
Avaliando-se (12) em 𝑥 = 𝐿 chega-se a:
𝑇(𝐿) = −𝑔02𝑘𝐿2 + 𝐶1𝐿 + 𝑇0
(13)
Substituindo-se (11) e (13) em (9) obtém-se:
𝑘 (−𝑔0𝑘𝐿 + 𝐶1) + ℎ (−
𝑔02𝑘𝐿2 + 𝐶1𝐿 + 𝑇0) = ℎ𝑇𝑎𝑟
82
𝐶1(𝑘 + ℎ𝐿) = ℎ𝑇𝑎𝑟 + 𝑔0𝐿 +ℎ𝑔02𝑘
𝐿2 − ℎ𝑇0
𝐶1 =ℎ(𝑇𝑎𝑟 − 𝑇0)
(𝑘 + ℎ𝐿)+
𝑔0𝐿
(𝑘 + ℎ𝐿)+
ℎ𝑔0𝐿2
2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)
Finalmente,
𝑇(𝑥) = −𝑔02𝑘𝑥2 + [
ℎ(𝑇𝑎𝑟 − 𝑇0)
(𝑘 + ℎ𝐿)+
𝑔0𝐿
(𝑘 + ℎ𝐿)+
ℎ𝑔0𝐿2
2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)] 𝑥 + 𝑇0
Para facilitar as contas os valores dos parâmetros envolvidos são relembrados na tabela
9.
Tabela 9 – Parâmetros Utilizados no Problema de Verificação 2
𝑔0 [Wm3⁄ ] 𝑘 [W/m ∙ ℃ ] ℎ [W/m2 ∙ ℃] 𝐿 [mm] 𝑇𝑎𝑟 [℃] 𝑇0 [℃]
400 0,51 10 11,6 23 37
Calculam-se agora os coeficientes que aparecem na equação de 𝑇(𝑥):
−𝑔02𝑘
= −400
2 ∙ 0,51= −392,156863 ℃/m2
ℎ ∙ (𝑇𝑎𝑟 − 𝑇0)
(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)+
𝑔0𝐿
(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)+
ℎ ∙ 𝑔0 ∙ 𝐿2
2𝑘 ∙ (𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)
=10 ∙ (23 − 37)
(0,51 + 10 ∙ 11,6 ∙ 10−3)+
400 ∙ 11,6 ∙ 10−3
(0,51 + 10 ∙ 11,6 ∙ 10−3)
+10 ∙ 400 ∙ (11,6 ∙ 10−3)2
2 ∙ 0,51 ∙ (0,51 + 10 ∙ 11,6 ∙ 10−3)= −215,387083 ℃/m
Ou seja, 𝑇(𝑥) é dado por:
𝑇(𝑥) = −392,156863 ℃/m2 ∙ 𝑥2 − 215,387083 ℃/m ∙ 𝑥 + 37 ℃
(8)
Avalia-se T em cada um dos 𝑥 =
{0 mm; 8 mm; 10 mm; 10,75 mm; 11,5 mm; 11,6 mm}, chegando ao resultado
resumido na tabela 10.
83
Tabela 10 – Temperaturas Teóricas para Algumas Posições Particulares
𝑥 [mm] 0 8 10 10,75 11,5 11,6
𝑇(𝑥) [℃] 37,000000 35,251805 34,806913 34,639270 34,471186 34,448741
Agora implementa-se o problema no COMSOL Multiphysics®. Seguindo a mesma
metodologia do problema 1, primeiro define-se a geometria, que será igual a do
problema 1 (ver figura 67).
Figura 67 – Geometria do Problema de Verificação 2
Apesar de na prática o problema consistir de apenas uma camada do mesmo tecido, não
há problema em definir a priori que existem cinco camadas, já que em seguida estas
serão definidas como possuindo o mesmo material. A figura 68 deixa essa explicação
mais clara. Apenas um material foi selecionado (músculo), sua condutividade térmica
alterada para o valor desejado, isto é, 𝑘 = 0,51 W/m ℃ e então definido que todas as
camadas são constituídas de tal material.
84
Figura 68 – Material do Problema de Verificação 2
O passo seguinte foi definir a física deste problema, como pode ser visto na figura 69.
Figura 69 – Física do Problema de Verificação 2
A figura 69 evidencia que foi utilizada a mesma física e as mesmas condições de
contorno no problema 1. Vale ressaltar que a condição inicial é irrelevante neste caso
(assim como no problema 1) já que estamos analisando apenas o regime permanente. A
grande diferença deste caso fica por conta de termos adicionado uma geração de
energia, que como pode ser visto na figura 69, foi definida como sendo 𝑔0 =
400 W m3⁄ para todo o domínio do nosso modelo.
85
Após isso é necessário criar uma malha, que, como pode ser visto a frente com o
resultado, pode ser a própria malha sugerida para a física utilizada com o tamanho do
elemento de malha sendo normal. Isso se deve ao fato da complexidade do problema
não ser muito elevada e esse tamanho do elemento de malha já ser suficiente para
produzir excelentes resultados. Depois da malha é preciso definir o estudo, que assim
como no problema anterior foi escolhido como sendo regime permanente. Finalmente, é
possível resolver o problema e analisar seus resultados.
Mais uma vez define-se uma linha de corte, perpendicular às camadas, e passando pelo
centro do cilindro para se analisar as temperaturas ao longo desta linha, como pode ser
visto na figura 70.
Figura 70 – Linha de Corte do Problema de Verificação 2
De posse dessa linha de corte é possível criar um gráfico de linha dentro de um ‘Plot
Group’ em que se espera visualizar o gráfico da equação (8). A figura 71 exibe tal
gráfico.
86
Figura 71 – Gráfico do Problema de Verificação 2
A primeira vista o gráfico da figura 71 pode parecer um tanto inusitado, pois se
esperava o gráfico de uma parábola. Entretanto, não passa de uma impressão, se analisa-
se com mais cautela nota-se que os valores de 𝑥 utilizados na equação (8) devem estar
em metros, e isso faz com que o intervalo dos valores utilizados seja de apenas
11,6 𝑚𝑚 enquanto os coeficientes da mesma equação tem magnitude muito maior. Em
outras palavras, a variação dos valores de 𝑥 é tão pequena que a variação dos valores de
𝑦 também será pequena. Isso concorda com o fato já conhecido de que para variações
suficientemente pequenas uma função bem definida pode ser aproximada por uma reta.
Para obter os dados desejados a partir deste gráfico novamente faz-se uma exportação
dos dados para um arquivo ‘.txt’. Neste arquivo estão contidos os valores de 𝑇(𝑥) para
um número de valores de 𝑥. Todo o arquivo é importado para um arquivo em Excel e de
lá são ressaltados apenas os valores da temperatura para os valores 𝑥 =
{0 mm; 8 mm; 10 mm; 10,75 mm; 11,5 mm; 11,6 mm}. Finalmente, foi criada uma
tabela nos mesmos moldes do problema 1 para comparar os resultados obtidos de forma
analítica e os resultados obtidos pelo COMSOL Multiphysics® (ver tabela 11).
87
Tabela 11 – Temperaturas Teóricas e Calculadas com o COMSOL
Multiphysics® para O Problema de Verificacao 2
𝑥 [𝑚𝑚] 𝑇 (𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜) [℃] 𝑇 (𝐶𝑂𝑀𝑆𝑂𝐿) [℃]
0 37 37
8 35,2518053 35,2518053
10 34,80691348 34,80691349
10,75 34,63927023 34,63927023
11,5 34,4711858 34,4711858
11,6 34,44874121 34,44874121
Mais uma vez a proximidade dos valores é incontestável e o COMSOL Multiphysics®
demonstra elevada acurácia no cálculo das temperaturas.
Problema de Verificação 3:
O problema 3 apresenta um grau de complexidade levemente maior que os anteriores.
Apesar de se utilizar a mesma geometria do problema 2 (todas as camadas do mesmo
tecido muscular), agora o regime de estudo é transiente e a função temperatura vai ter
duas variáveis independentes, uma espacial 𝑥 e uma temporal 𝑡.
Será assumido que não há geração de energia no meio e que as condições de contorno
seguem as mesmas; temperatura arterial constante 𝑇𝑏 = 37℃ em uma extremidade e
fluxo de calor convectivo na outra com coeficiente de transferência de calor ℎ =
10 W/m2 ℃ e temperatura do meio externo 𝑇∞ = 23℃.
O modelo matemático que descreve esse problema é dado abaixo:
{
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2=1
α
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑇 = 𝑇𝑏
𝑘𝜕𝑇
𝜕𝑥+ ℎ𝑇 = ℎ𝑇∞
𝑇 = 𝑇𝑏
0 < 𝑥 < L, 𝑡 > 0 s (9)
𝑥 = 0, 𝑡 > 0 𝑠 (10)
𝑥 = 𝐿, 𝑡 > 0 𝑠 (11)
0 < 𝑥 < L, 𝑡 = 0 s (12)
88
Para resolver o sistema de equações (9 − 12) escreve-se 𝑇 como sendo a soma de uma
parcela homogênea e uma parecela particular, isto é:
𝑇(𝑥, 𝑡) = 𝑇𝑝(𝑥) + 𝑇ℎ(𝑥, 𝑡) (13)
Substituindo (13) em cada uma das equações do sistema (9 − 12), recai-se em 2
sistemas mais simples, um para 𝑇ℎ:
{
𝜕2𝑇ℎ𝜕𝑥2
=1
α
𝜕𝑇ℎ𝜕𝑡
𝑇ℎ = 0
𝑘𝜕𝑇ℎ𝜕𝑥
+ ℎ𝑇ℎ = 0
𝑇ℎ = 𝑇𝑏 − 𝑇𝑝 = 𝐹(𝑥)
0 < 𝑥 < L, 𝑡 > 0 s (14)
𝑥 = 0, 𝑡 > 0 𝑠 (15)
𝑥 = 𝐿, 𝑡 > 0 𝑠 (16)
0 < 𝑥 < L, 𝑡 = 0 s (17)
E um sistema para 𝑇𝑝:
{
d2𝑇𝑝dx2
= 0
𝑇𝑝 = 𝑇𝑏
𝑘𝜕𝑇𝑝𝜕𝑥
+ ℎ𝑇𝑝 = ℎ𝑇∞
0 < 𝑥 < L (18)
𝑥 = 0 (19)
𝑥 = 𝐿 (20)
O coeficiente α que apareceu nos sistemas (9 − 12) e (14 − 17) é a difusividade
térmica e é definida como:
𝛼 =
𝑘
𝜌 ∙ 𝑐𝑝
(21)
A variável 𝜌 é a massa específica e 𝑐𝑝 é o calor específico do material (músculo no
nosso caso) e todos esses dados são resumidos na tabela 12 abaixo.
89
Tabela 12 – Propriedades Utilizadas no Problema de Verificação 3
𝑘 [W/m ∙ ℃ ] 𝜌 [𝑘𝑔 𝑚3⁄ ] 𝑐𝑝 [𝐽 𝑘𝑔⁄ ∙ ℃] 𝛼 [𝑚2 𝑠⁄ ]
0,51 1085 3800 1,23696 ∙ 10−7
O sistema (18 − 20) nada mais é que nosso problema de verificação 2 com 𝑔0 = 0.
Sua solução, portanto é dada por:
𝑇𝑝(𝑥) = [
ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)
(𝑘 + ℎ𝐿)] 𝑥 + 𝑇𝑏
(22)
Para resolver o sistema (14 − 17) vamos usar separação de variáveis, ou seja, teremos:
𝑇ℎ(x, t) = 𝛹(𝑥) ∙ 𝛤(𝑡) ⇒
1
𝛹
𝑑2𝛹
𝑑𝑥2=
1
𝛼 ∙ 𝛤
𝑑𝛤
𝑑𝑡= −𝜆2
(23)
Como consegue-se escrever uma igualdade em que o lado esquerdo depende apenas de
𝑥 e o lado direito apenas de 𝑡, tem-se que tal igualdade deve obrigatoriamente ser uma
constante. Tal constante foi escrita desta forma, pois se pode mostrar que as EDO’s
apresentam solução não trivial apenas quando a constante é negativa. Portanto:
𝑑𝛤(𝑡)
𝑑𝑡+ 𝛼 ∙ 𝜆2 ∙ 𝛤(𝑡) = 0
(24)
𝑑2𝛹(𝑥)
𝑑𝑥2+ 𝜆2 ∙ 𝛹(𝑥) = 0
(25)
Usando as condições de contorno do sistema (14 − 17), conclui-se sem dificuldades
que:
𝛹(𝑥) = 0 em 𝑥 = 0 (26)
𝑘𝑑𝛹(𝑥)
𝑑𝑥+ ℎ ∙ 𝛹(𝑥) = 0
em 𝑥 = L (27)
Não é difícil mostrar que a solução da EDO (13) é:
𝛤(𝑡) = 𝑒−𝛼𝜆2𝑡 (28)
A constante de integração foi suprimida, pois não será necessária.
90
A EDO (25) é um pouco mais complicada, mas foi resolvida por ÖZISIK (1990) e sua
solução é dada pelas autofunções:
𝛹𝑛(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝜆𝑛𝑥) (29)
Onde os 𝜆𝑛 são dados pela solução da equação:
𝜆 cot(𝜆𝐿) = −𝐻 (30)
E 𝐻 dado por:
𝐻 = ℎ/𝑘
Para encontrar tais autovalores, manipulou-se um pouco a equação (30) e aplicou-se o
método de Newton-Raphson, que foi escrito usando Python. Uma menção que merece
ser feita em relação ao código é que a equação estudada foi:
𝛽 cos𝛽 − 𝐻∗ sin 𝛽 = 0 (31)
Para ver que elas são equivalentes basta fazer as seguintes manipulações:
𝜆 cot(𝜆𝐿) = −𝐻⇒cot(𝜆𝐿) =−𝐻𝐿
𝜆𝐿=𝐻∗
𝜆𝐿
cos(𝜆𝐿)
sin(𝜆𝐿)=𝐻∗
𝜆𝐿⇒ 𝜆𝐿 cos(𝜆𝐿) − 𝐻∗ sin(𝜆𝐿) = 0
A preferência por esta equação e não a equação (30) se deve ao fato de que dentro do
método de Newton-Raphson é necessário dividir pela derivada da função estudada em
certos pontos, logo vale a preocupação de se evitar funções que tenham singularidades
como a função cotangente possui.
Tendo encontrado as soluções das EDO’s (24) e (25) é possível combinar as soluções
para então formar a solução procurada de 𝑇ℎ(x, t). Ela será dada, portanto pela equação
(32).
𝑇ℎ(x, t) = ∑1
𝑁
∞
𝑛=1
𝑒−α𝜆𝑛2 𝑡𝛹𝑛(𝑥)∫ 𝐹(x′)𝛹𝑛(x
′)𝑑𝑥′𝐿
0
(32)
91
N é a constante de integralização e é dada por:
1
𝑁=
2(𝜆𝑛2 +𝐻2)
𝐿(𝜆𝑛2 +𝐻2) + 𝐻
(33)
A integral que aparece em (32) é calculada a seguir:
𝐼 = ∫ 𝐹(x′) ∙ 𝛹𝑛(𝑥′)𝑑𝑥′
𝐿
0
𝐹(𝑥) = 𝑇𝑏 − 𝑇𝑝 = 𝑇𝑏 − ([ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)
(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)]𝑥 + 𝑇𝑏) = −[
ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)
(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)] 𝑥
𝐼 = −ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)
(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)∫ 𝑥 sin(𝜆𝑛𝑥)𝑑𝑥𝐿
0
= −ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)
(𝑘 + ℎ𝐿)∙sin(𝜆𝑛𝑥) − 𝜆𝑛𝑥 cos(𝜆𝑛𝑥)
𝜆𝑛2|0
𝐿
𝐼 = −ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)
(𝑘 + ℎ ∙ 𝐿)[sin(𝜆𝑛𝐿) − 𝜆𝑛𝐿 cos(𝜆𝑛𝐿)
𝜆𝑛2]
(34)
Finalmente, ao substituirmos as equações (29), (33) e (34) na equação (32) chegamos
a expressão procurada de 𝑇ℎ(x, t).
De posse de expressões para 𝑇𝑝 e 𝑇ℎ já podemos calcular 𝑇 analiticamente para
quaisquer (𝑥, 𝑡) que quisermos.
O código em Python que implementa esse cálculo pode ser ver visto na figura 72.
92
Figura 72 – Código do Problema de Verificação 3
Neste código calculou-se o valor de T(x, t) para x =
{0 mm; 8 mm; 10 mm; 10,75 mm; 11,5 mm; 11,6 mm} e tempos de 0 a 180
segundos com intervalos de tamanho 36 segundos, ou seja, t =
{0 s; 36 s; 72 s; 108 s; 144 s; 180 s}. A escolha de x foi baseada nos mesmos valores
93
adotados nos problemas 1 e 2 e a escolha dos valores de t foi baseada no fato de
180 s = 3 min ser um tempo suficiente para demonstrar a progressão da variação de
temperatura, e o intervalo de 36 segundos foi escolhido de modo a termos 6 valores de t
para analisar.
A primeira parte do código foi conseguir calcular as raízes da equação (18), ou seja, os
λn necessários para realizar o cálculo do somatório. Os primeiros 5000 autovalores
foram calculados e armazenados numa lista. Então, foi-se estabelecido um critério de
parada no cálculo de Th, ou em outras palavras, um critério que decidisse se Th estava
próximo o suficiente do valor real.
A última parte do código cria um documento ‘.txt’ e armazena nela o cômputo dos
valores de T(x, t) para os valores de x e t descritos anteriormente levando em conta o
critério de parada no cálculo de Th, ou seja, o erro máximo admitido.
A segunda parte do problema consiste em realizar a simulação do mesmo no COMSOL
Multiphysics® e extrair os valores de T para os mesmos x e t utilizados no
desenvolvimento analítico da função temperatura.
Novamente, o primeiro passo é definir a geometria do problema, que continua sendo a
mesma adotada nos problemas anteriores. Esta pode ser vista na figura 73.
Figura 73 – Geometria do Problema de Verificação 3
94
Em seguida é feita a seleção do material, que será músculo para todas as camadas, assim
como no problema 2 e cuja condutividade térmica é 𝑘 = 0,51 W/m℃ (ver figura 74).
Figura 74 – Material do Problema de Verificação 3
A física desse problema será dada pela transferência de calor em sólidos e as condições
de contorno são temperatura mantida fixa e igual a 𝑇𝑏 = 37℃ em uma extremidade e
convecção de calor com coeficiente de transferência de calor ℎ = 10 W/m2℃ na outra
extremidade e temperatura do meio externo 𝑇∞ = 23℃. Além disso, a condição inicial é
de grande relevância nesse caso já que estamos no caso de regime transiente. Ela é
adotada como sendo 𝑇 = 𝑇𝑏 = 37℃ para todo o sólido. Uma imagem da definição de
uma condição de contorno é exibida na figura 75 como exemplo.
95
Figura 75 – Física do Problema de Verificação 3
Na figura 75 pode ser visto que a condição de isolamento térmico é adotada nas laterais
do sólido para que tenhamos essencialmente uma condição de apenas uma dimensão
espacial.
Por esse ser um problema que apresenta um nível de complexidade mais elevado e por
estarmos atrás de uma solução assaz precisa foi-se adotado uma malha mais fina como
se pode observar na figura 76. A categoria escolhida foi a ‘Extra fine’.
Figura 76 – Malha do Problema de Verificação 3
96
O estudo escolhido para este caso foi o dependente do tempo, pois queremos estudar o
regime transiente e mais precisamente os primeiros 180 segundos da evolução térmica.
A definição dos parâmetros do estudo é vista na figura 77 abaixo.
Figura 77 – Estudo do Problema de Verificação 3
A mesma linha de corte dos problemas anteriores foi definida dentro da aba de
resultados e a partir dela foi criado um gráfico de linha que pode ser observado na figura
78.
Figura 78 – Gráficos do Problema de Verificação 3
97
O COMSOL Multiphysics® oferece a opção de selecionar o tempo para o qual se deseja
criar tal gráfico. Ademais ele também oferece a opção de selecionar vários tempos e,
por conseguinte de criar vários gráficos, um para cada tempo selecionado. Foram
selecionados os tempos 𝑡 = {0 𝑠; 36 𝑠; 72 𝑠; 108 𝑠; 144 𝑠; 180 𝑠} e criados os 6
gráficos correspondentes como se pode observar na figura 78.
A partir do conjunto de gráficos apresentado se extraem os dados correspondentes para
um arquivo ‘.txt’ em que os valores de 𝑇 estão armazenados para cada valor de 𝑥 e de 𝑡
correspondentes.
Neste ponto estamos de posse dos valores calculados através do código escrito em
Python e dos valores computados pelo COMSOL Multiphysics®. Todos os dados são
agrupados num arquivo Excel e tratados a partir daí. A tabela 13 reúne e compara cada
uma das temperaturas para cada (𝑥, 𝑡) e cada forma como foi obtida, de forma analítica
ou pelo COMSOL Multiphysics®.
98
Tabela 13 – Comparação Entre os Valores Teóricos e Calculados pelo COMSOL Multiphysics® para o Problema de Verificação 3
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 108𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 144𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 180𝑠
Posição [𝑚𝑚] Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
0 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000%
8 36,6118222774 36,6185063123 0,018253% 36,4818619815 36,4877626071 0,016172% 36,3646421524 36,3697893966 0,014153%
10 36,2939605912 36,3057048508 0,032348% 36,1432585867 36,1517565226 0,023506% 36,0119580131 36,0183995407 0,017884%
10,75 36,1381136869 36,1508291516 0,035173% 35,9845413867 35,9935029142 0,024898% 35,8515944104 35,8582479151 0,018555%
11,5 35,9612406193 35,9742288865 0,036104% 35,8079065184 35,8169718394 0,025310% 35,6755003099 35,6821786204 0,018716%
11,6 35,9360628878 35,9490329233 0,036079% 35,7830006378 35,7920512773 0,025287% 35,6508339070 35,6575009557 0,018697%
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 0𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 36𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 72𝑠
Posição [𝑚𝑚] Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
0 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000%
8 37,0000000674 37,0000000000 0,000000% 36,9114675331 36,9093534829 0,005728% 36,7561409296 36,7613694630 0,014223%
10 37,0000007069 36,9999999991 0,000002% 36,7029521443 36,7163929235 0,036607% 36,4733540964 36,4871633352 0,037847%
10,75 36,9999990064 36,9999999606 0,000003% 36,5678080354 36,5842509962 0,044945% 36,3232474005 36,3386689669 0,042438%
11,5 36,9999867503 36,9999765439 0,000028% 36,3954702760 36,4127280758 0,047395% 36,1470058642 36,1629354646 0,044050%
11,6 36,9998609317 36,9989777747 0,002387% 36,3695968320 36,3868899874 0,047526% 36,1215118092 36,1374170043 0,044013%
99
Problema de Verificação 4:
O problema 4 é uma variação do problema 3. A situação é a mesma com a diferença de
que agora o tecido muscular apresenta geração de energia que é assumida uniforme e
igual a 𝑔0 = 400 W m3⁄ .
O modelo matemático que descreve esse problema é dado abaixo:
{
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2+g0k=1
𝛼
𝜕𝑇
𝜕𝑡
𝑇 = 𝑇𝑏
𝑘𝜕𝑇
𝜕𝑥+ ℎ𝑇 = ℎ𝑇∞
𝑇 = 𝑇𝑏
0 < 𝑥 < L, 𝑡 > 0 s (35)
𝑥 = 0, 𝑡 > 0 𝑠 (36)
𝑥 = 𝐿, 𝑡 > 0 𝑠 (37)
0 < 𝑥 < L, 𝑡 = 0 s (38)
Para resolver o sistema (35 − 38) vamos escrever 𝑇 como sendo a soma de uma
parcela homogênea e uma parcela particular, isto é:
𝑇(𝑥, 𝑡) = 𝑇𝑝(𝑥) + 𝑇ℎ(𝑥, 𝑡) (39)
Substituindo (39) em cada uma das equações do sistema (35 − 38), recaímos em 2
sistemas mais simples, um para 𝑇ℎ:
{
𝜕2𝑇ℎ𝜕𝑥2
=1
α
𝜕𝑇ℎ𝜕𝑡
𝑇ℎ = 0
𝑘𝜕𝑇ℎ𝜕𝑥
+ ℎ𝑇ℎ = 0
𝑇ℎ = 𝑇𝑏 − 𝑇𝑝 = 𝐹(𝑥)
0 < 𝑥 < L, 𝑡 > 0 s (40)
𝑥 = 0, 𝑡 > 0 𝑠 (41)
𝑥 = 𝐿, 𝑡 > 0 𝑠 (42)
0 < 𝑥 < L, 𝑡 = 0 s (43)
E um sistema para 𝑇𝑝:
100
{
d2𝑇𝑝dx2
+g0k= 0
𝑇𝑝 = 𝑇𝑏
𝑘𝜕𝑇𝑝𝜕𝑥
+ ℎ𝑇𝑝 = ℎ𝑇∞
0 < 𝑥 < L (44)
𝑥 = 0 (45)
𝑥 = 𝐿 (46)
O sistema (44 − 46) nada mais é que nosso problema de verificação 2.
Sua solução, portanto é dada por:
𝑇𝑝(x) = −𝑔02𝑘𝑥2 + [
ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)
(𝑘 + ℎ𝐿)+
𝑔0𝐿
(𝑘 + ℎ𝐿)+
ℎ𝑔0𝐿2
2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)] 𝑥 + 𝑇𝑏
O sistema (40 − 43) é o mesmo do problema 3 com a única distinção que o 𝐹(𝑥) é
diferente pois os 𝑇𝑝(𝑥) são diferentes.
Novamente, portanto 𝑇ℎ será dado por:
𝑇ℎ(𝑥, 𝑡) = ∑1
𝑁
∞
𝑛=1
𝑒−𝛼𝜆𝑛2 𝑡𝛹𝑛(𝑥)∫ 𝐹(𝑥′)𝛹𝑛(𝑥
′)𝑑𝑥′𝐿
0
(47)
Onde N é a constante de integralização e é dada por:
1
𝑁=
2(𝜆𝑛2 +𝐻2)
𝐿(𝜆𝑛2 +𝐻2) + 𝐻
(48)
𝛹𝑛 é dado por :
𝛹𝑛(𝑥) = sin(𝜆𝑛𝑥) (49)
Onde os λn são dados pela solução da equação:
𝜆 cot(𝜆𝐿) = −𝐻 (50)
E 𝐻 dado por:
𝐻 = ℎ/𝑘
A integral que aparece em (47) é calculada a seguir:
101
𝐼 = ∫ 𝐹(𝑥′)𝛹𝑛(𝑥′)𝑑𝑥′
L
0
𝐹(𝑥) = 𝑇𝑏 − 𝑇𝑝 = 𝑇𝑏 − (−𝑔02𝑘𝑥2 + [
ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)
(𝑘 + ℎ𝐿)+
𝑔0𝐿
(𝑘 + ℎ𝐿)+
ℎ𝑔0𝐿2
2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)] 𝑥 + 𝑇𝑏)
=𝑔02𝑘𝑥2 − [
ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)
(𝑘 + ℎ𝐿)+
𝑔0𝐿
(𝑘 + ℎ𝐿)+
ℎ𝑔0𝐿2
2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)]𝑥 =
𝑔02𝑘𝑥2 − 𝑅𝑥
𝐼 = ∫ (𝑔02𝑘𝑥2 − 𝑅𝑥)sin(𝜆𝑛𝑥)𝑑𝑥
L
0
=𝑔02𝑘(2 − 𝜆𝑛
2𝑥2
𝜆𝑛3 cos(𝜆𝑛𝑥) +
2𝑥 sin(𝜆𝑛𝑥)
𝜆𝑛2)|0
𝐿
− 𝑅(−𝑥 cos(𝜆𝑛𝑥)
𝜆𝑛+sin(𝜆𝑛𝑥)
𝜆𝑛2)|0
𝐿
𝐼 =
𝑔02𝑘[2 − 𝜆𝑛
2𝐿2
𝜆𝑛3 cos(𝜆𝑛𝐿) −
2
𝜆𝑛3 +
2𝐿 sin(𝜆𝑛𝐿)
𝜆𝑛2
]
− 𝑅 [sin(𝜆𝑛𝐿)
𝜆𝑛2−𝐿 cos(𝜆𝑛𝐿)
𝜆𝑛]
(51)
Onde
𝑅 =
ℎ(𝑇∞ − 𝑇𝑏)
(𝑘 + ℎ𝐿)+
𝑔0𝐿
(𝑘 + ℎ𝐿)+
ℎ𝑔0𝐿2
2𝑘(𝑘 + ℎ𝐿)
(52)
Finalmente, ao substituirmos as equações (48), (49) e (51) na equação (47) chegamos
a expressão procurada de 𝑇ℎ(𝑥, 𝑡). De posse de expressões para 𝑇𝑝 e 𝑇ℎ já podemos
calcular 𝑇 analiticamente para quaisquer (𝑥, 𝑡) que quisermos.
O código em Python que implementa esse cálculo pode ser ver visto na figura 79.
102
Figura 79 – Código do Problema de Verificação 4
Neste código calculou-se o valor de 𝑇(𝑥, 𝑡) para 𝑥 =
{0 mm; 8 mm; 10 mm; 10,75 mm; 11,5 mm; 11,6 mm} e tempos entre 0 e 180
segundos com intervalos de tamanho de 36 segundos, ou seja, 𝑡 =
{0 s; 36 s; 72 s; 108 s; 144 s; 180 s}. A escolha de tais valores baseou-se na escolha
feita anteriormente no problema 3. Além dos argumentos já apresentados, a escolha dos
103
mesmos (𝑥, 𝑡) servirá para compararmos estes 2 últimos resultados e analisarmos a
consequência da adoção da hipótese de geração de energia.
A última parte do código cria um documento ‘.txt’ e armazena nela o cômputo dos
valores de 𝑇(𝑥, 𝑡) para os valores de 𝑥 e 𝑡 descritos anteriormente levando em conta o
critério de parada no cálculo de 𝑇ℎ, ou seja, o erro máximo admitido.
A seguir se constrói a simulação do mesmo problema no COMSOL Multiphysics® e se
extrai dele os valores de 𝑇 para os mesmos 𝑥 e 𝑡 utilizados no desenvolvimento
analítico da função temperatura.
Novamente, o primeiro passo é definir a geometria do problema e a escolha dos
materiais utilizados. Ambos são os mesmos do problema anterior e podem ser
consultados nas figuras 73 e 74 exibidas anteriormente.
A física adotada é a da transferência de calor em sólidos e as condições de contorno são
temperatura mantida fixa e igual a 𝑇𝑏 = 37℃ em uma extremidade e convecção de
calor com coeficiente de transferência de calor ℎ = 10 W/m2 ℃ na outra extremidade e
temperatura do meio externo 𝑇∞ = 23℃. Além disso, o diferencial desse problema é
que há geração de energia 𝑔0 = 400 W m3⁄ em todas as camadas da geometria, como
se pode observar na figura 80.
Figura 80 – Física do Problema de Verificação 4
104
Mais uma vez adotou-se uma malha extra fina para se obter resultados tão precisos
quanto possíveis, como pode ser visto na figura 81.
Figura 81 – Malha do Problema de Verificação 4
O estudo realizado é o mesmo do caso 3, estamos interessados na progressão da
temperatura ao longo dos primeiros 180 segundos (regime transiente). A definição do
estudo pode ser vista na figura 82.
Figura 82 – Estudo do Problema de Verificação 4
É possível observar que essas foram de fato as escolhas dos parâmetros selecionados
antes de rodar o programa, como se pode ver na figura 82. Por último, é traçado o
105
gráfico de linha da linha de corte que temos adotados em todos os problemas, como
pode ser visto na figura 83.
Figura 83 – Gráfico do Problema de Verificação 4
Os tempos selecionados para criar os gráficos são 𝑡 =
{0 s; 36 s; 72 s; 108 s; 144 s; 180 s}, totalizando 6 gráficos, assim como no problema
3. Os resultados são visualmente semelhantes ao do problema anterior como se pode ver
na figura 83 e para a análise mais detalhada extraímos os dados do grupo de gráficos
para um arquivo ‘.txt’, que por sua vez é acessado através do Excel para tratar tais
dados.
Neste mesmo arquivo de Excel também carregamos os valores de 𝑇(𝑥, 𝑡) computados
de forma analítica pelo nosso programa escrito em Python e exibido na figura 79. Os
valores são então comparados na tabela 14, onde também se é calculado as
discrepâncias relativas dos valores obtidos através dos dois métodos.
106
Tabela 14 – Comparação Entre os Valores Teóricos e Calculados pelo COMSOL Multiphysics® para o Problema de Verificação 4
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 108𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 144𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 180𝑠
Posição [𝑚𝑚] Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
0 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000%
8 36,6217438776 36,6282952671 0,017886% 36,4946117110 36,5003858694 0,015819% 36,3799678093 36,3850007139 0,013832%
10 36,3039778178 36,3156125333 0,032038% 36,1562575249 36,1646355264 0,023166% 36,0277020272 36,0340269478 0,017553%
10,75 36,1480704890 36,1606807910 0,034873% 35,9974823617 36,0063255839 0,024560% 35,8672884972 35,8738254673 0,018222%
11,5 35,9710863859 35,9839721697 0,035810% 35,8207106115 35,8296593567 0,024976% 35,6910359552 35,6975988331 0,018385%
11,6 35,9458898697 35,9587576389 0,035785% 35,7957804015 35,8047146933 0,024953% 35,6663401357 35,6728919692 0,018366%
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 0𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 36𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 = 72𝑠
Posição [𝑚𝑚] Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
Temperatura (Python) [℃]
Temperatura (COMSOL) [℃]
Discrepância Relativa
0 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000% 37,0000000000 37,0000000000 0,000000%
8 37,0000000674 37,0000000330 0,000000% 36,9149484058 36,9128017672 0,005815% 36,7629680136 36,7680968328 0,013949%
10 37,0000007069 37,0000000330 0,000002% 36,7064086225 36,7198332840 0,036560% 36,4801719366 36,4939176933 0,037666%
10,75 36,9999990064 37,0000000206 0,000003% 36,5712398166 36,5876671423 0,044899% 36,3300142173 36,3453773023 0,042270%
11,5 36,9999867503 36,9999757919 0,000030% 36,3988634789 36,4161057905 0,047348% 36,1536940076 36,1695675544 0,043886%
11,6 36,9998609317 36,9989776594 0,002387% 36,3729835692 36,3902612857 0,047479% 36,1281871533 36,1440364252 0,043850%