Esquema de distribuição dos tratamentos:
Fatorial;
Parcelas subdivididas.
1
Experimentos em esquema Experimentos em esquema Fatorial Fatorial
2
Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros
DTAiSeR-Ar
Experimentos em esquema fatorialExperimentos em esquema fatorial
Experimentos em esquema fatorial são usados quando dois ou mais fatores são estudados, ao mesmo tempo, para que possam nos conduzir a resultados de interesse.
Pode ser usado em qualquer delineamento: DIC, DCB e DQL.
Os tratamentos são as combinações dos níveis de cada fator.
3
ExemploExemplo 1:
Há o interesse em estudar 2 variedades de cana de açúcar, com 3 diferentes herbicidas.
Seja Variedades (V) e Herbicidas (H), sendo:Seja Variedades (V) e Herbicidas (H), sendo:
2 níveis (V1, V2) e
3 níveis (H1, H2, H3).
Teremos 6 tratamentos:
T1 = V1H1 T2 = V1H2 T3 = V1H3
T4 = V2H1 T5 = V2H2 T6 = V2H3.
4Fatorial 2 3
Exemplo 2: Exemplo 2:
Medir os efeitos dos macronutrientes:Nitrogênio (2 níveis), Fósforo (2 níveis) e Potássio (2 níveis)
sobre a produção de cana-de-açúcar da variedade tardia.
Tratamentos: 2 2 2 = 23 = 8N0 P0 K0 N1 P0 K0
N0 P0 K1 N1 P0 K1
N0 P1 K0 N1 P1 K0
N P K N P K
Fatores NíveisNitrogênio (N): N0 – dose 0 de N
N1 – dose 1 de N
Fósforo (P): P – dose 0 de P N0 P1 K1 N1 P1 K1Fósforo (P): P0 – dose 0 de P P1 – dose 1 de P
Potássio (K): K0 – dose 0 de KK1 – dose 1 de K
Forma alternativa de representar o número de fatores e níveis em
um esquema fatorial : (n. de níveis)(n. de fatores)
5
Fatorial 2 2 2 = 23
Efeitos avaliadosEfeitos avaliados
EfeitoEfeito PrincipalPrincipal:: é o efeito de cada fator, independente do efeito dosoutros fatores;
EfeitoEfeito dede InteraçãoInteração: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável emestudo. Dizemos que ocorre interação entre os fatores quando os efeitosdos níveis de um fator são modificados pelos níveis do outro fator.
6
Para ilustrar o efeito da interação, podemos fazer gráficos exploratórios:
B0 B1
A0
A1
A0
A1
Y
Y
Figuras. Gráfico da resposta média (Y) em função do efeito dos níveis do fator B para os níveis do fator A.
Gráfico exploratórioGráfico exploratório
Não há interação, mas há efeito de escala.
B0 B1
A0
A1
B0 B1
Não há interação, nem há efeito de escala.
Quando há paralelismo, não há interação
Y
7
A0
A1
A0
A1
YY
Figuras. Gráfico da resposta média (Y) em função do efeito dos níveis do fator B para os níveis do fator A.
Interação devida à diferença na grandeza da resposta
A interaçãointeração ocorre devido a um:
sinergismo entre os fatores (Interação positiva).
antagonismo entre os fatores (Interação negativa).
Interação devida à diferença na direção da resposta
B0 B1 B0 B1
8
Modelo estatísticoModelo estatístico
DIC em esquema fatorial com 2 fatores DIC em esquema fatorial com 2 fatores (A e B)(A e B)
ij i j ij ijyij = m + ai + bj + (ab)ij + eij
Efeitos principais
Interação dupla
DCB em esquema fatorial com 2 fatores DCB em esquema fatorial com 2 fatores (A e B)(A e B)
com i=1,2,...,I; j=1,2,...,J, k=1,2,...,K
ijk i j ij k ijkyijk = m + ai + bj + (ab)ij + wk + eijk
Efeitos principais
Interação dupla
9
Tabela 1 - Quadro da análise de variância de um experimento DIC em esquema fatorialcom 2 fatores, A e B, com I e J níveis, respectivamente, e K repetições.
O quadro da ANOVA O quadro da ANOVA –– DICDIC em esquema fatorial com 2 fatoresem esquema fatorial com 2 fatores
C.V. g.l. SQ QM F_calc F_tab
A (I - 1) SQA QMA QMA/QMRes
B (J - 1) SQB QMB QMB/QMRes
AB (I - 1) (J - 1) SQAB QMAB QMAB/QMRes [(I - 1) (J – 1); n1]
(Trat.) (IJ – 1) (SQTrat) - - -
10
(Trat.) (IJ – 1) (SQTrat) - - -
Resíduo n1 = IJ(K – 1) SQRes QMRes - -
Total IJK – 1 SQTotal - - -
C.V. g.l. SQ QM F_calc F_tab
A (I - 1) SQA QMA QMA/QMRes
B (J - 1) SQB QMB QMB/QMRes
AB (I - 1) (J - 1) SQAB QMAB QMAB/QMRes [(I - 1) (J – 1); n2]
Tabela 2 - Quadro da análise de variância de um experimento em DBC em esquemafatorial, com 2 fatores A e B, com I e J níveis, respectivamente, e K repetições (oublocos):
O quadro da ANOVA O quadro da ANOVA –– DCBDCB em esquema fatorial com 2 fatoresem esquema fatorial com 2 fatores
(Trat.) (IJ – 1) (SQTrat) - - -
Bloco (K - 1) SQBloco QMBloco QMBloco/QMRes -
Resíduo n2 = (IJ – 1)(K – 1) SQRes QMRes - -
Total IJK – 1 SQTotal - - -
11
Hipóteses a serem testadasHipóteses a serem testadas
A primeira hipótese a ser testada em um esquema fatorial é o efeito dainteração, que é dado pelas hipóteses:
H0: Não há efeito da interação dos fatores
Ha: Há efeito da interação dos fatores
Se o efeito da interação não for significativo, ou seja, os efeitos dosfatores atuam de forma independente, estudamos os efeitos principais defatores atuam de forma independente, estudamos os efeitos principais decada fator como antes.
Agora, se o efeito da interação for significativo, ou seja, os efeitos dosfatores atuam de forma dependente, o efeito de um fator depende do níveldo outro fator, devemos fazer o desdobramento.
12
Esquema Fatorial: 2 fatoresEsquema Fatorial: 2 fatoresEsquema Fatorial: 2 fatoresEsquema Fatorial: 2 fatores
13
Exemplo 1Exemplo 1
Um ensaio foi executado para determinar os efeitos da irrigação (com esem) e da adubação (química e orgânica) sobre a produção total de matériaseca (kg/ha) de capim elefante (Pennisetum purpureum: Schum.) cv“Cameroon”, em um DIC com 4 repetições.
TratamentosTratamentos: 2 2 = 22 = 4I0 A0 I1 A0
FatoresFatores NíveisNíveisAdubação (A): A0 – adubação orgânica
A1 – adubação química I0 A0 I1 A0
I0 A1 I1 A1
A1 – adubação química
Irrigação (I): I0 – sem irrigação I1 – com irrigação
I0 A0 I1 A1 I0 A1 I0 A0
I0 A1 I0 A1 I0 A0 I0 A1
I1 A1 I0 A1 I1 A1 I0 A1
I0 A0 I0 A1 I1 A1 I0 A1
Croqui do experimento:Croqui do experimento:
14
Irrigação AdubaçãoRepetição
Totais1 2 3 4
ComOrgânica 32,70 30,50 31,55 28,00 122,75
Química 28,40 28,50 25,86 29,68 112,44
SemOrgânica 18,05 18,10 20,72 19,80 76,67
Química 18,13 21,00 19,50 20,50 79,13
Os dados do experimento em DIC em esquema fatorial com 2 fatores são:
Exemplo 1Exemplo 1
irrig adub repet ms
Tabulação:irrig_adub.csv
Química 18,13 21,00 19,50 20,50 79,13
Total - - - - - 390,99
15
irrig adub repet ms
CI Ao 1 32,70
CI Aq 1 28,40
SI Ao 1 18,05
SI Aq 1 18,13
CI Ao 2 30,50
CI Aq 2 28,50
SI Ao 2 18,10
SI Aq 2 21,00
CI Ao 3 31,55
CI Aq 3 25,86
SI Ao 3 20,72
SI Aq 3 19,50
CI Ao 4 28,00
CI Aq 4 29,68
SI Ao 4 19,80
SI Aq 4 20,50
No R:
## Entrada dos dados para análise
dados<- read.csv2(‘irrig_adub.csv’, head=T); dados
hatCIAO /6875,304
75,122
hatSIAO /1675,194
67,76
hatCIAQ /11,284
44,112
hatSIAQ /7825,194
13,79
Exemplo 1Exemplo 1Gráfico da interaçãoGráfico da interação
16Interação devida à diferença
na grandeza da resposta
O modelo para o DIC em esquema fatorial com 2 fatores é dado por:Considere os fatores A (com I níveis) e B (com J níveis), com Krepetições dos tratamentos
i = 1, 2, ..., I j = 1, 2, ..., J k = 1, 2, …, K
y : valor da parcela que recebeu o nível i do fator A e o nível j do
yijk = m + ai + bj + (ab)ij + eijk
Exemplo 1Exemplo 1Modelo estatísticoModelo estatístico
yijk : valor da parcela que recebeu o nível i do fator A e o nível j do fator B na repetição k.
i : média geral
ai: efeito do nível i de A
bj : efeito do nível j de B
(ab)ij : efeito da interação dos fatores A e B
eijk : efeito dos fatores não controlados que recebeu a combinação de tratamento, envolvendo o nível i de A e o nível j de B na repetição k.
17
DIC com esquema fatorial com 2 fatores: A (I níveis), B (J níveis) e K repetições.
Quadro da ANOVAQuadro da ANOVAExemplo 1Exemplo 1
C.V. g.l. SQ QM F_calc
A (I - 1) SQA QMA QMA/QMRes
B (J - 1) SQB QMB QMB/QMRes
AB (I - 1) (J - 1) SQAB QMAB QMAB/QMRes
(Trat.) (IJ – 1) (SQTrat) - -
18
(Trat.) (IJ – 1) (SQTrat) - -
Resíduo IJ(K – 1) SQRes QMRes -
Total IJK – 1 SQTotal - -
I J K
Irrigação AdubaçãoRepetição
Totais1 2 3 4
ComOrgânica 32,70 30,50 31,55 28,00 122,75
Química 28,40 28,50 25,86 29,68 112,44
SemOrgânica 18,05 18,10 20,72 19,80 76,67
Química 18,13 21,00 19,50 20,50 79,13
Total - - - - - 390,99
I = 2 (Adub.)J = 2 (Irrig.)K = 4 (Rep.)
I J
Correção:
19
Quadro auxiliar para o cálculo das variações de A, B e (A B)
(4) Com Irrigação Sem Irrigação Totais
Adub. Orgânica 122,75 76,67 199,42
Adub. Química 112,44 79,13 191,57
Totais 235,19 155,80 390,99
Uma tabela auxiliar sempre
ajuda nos cálculos!
= 10,192020
QMRes = 29,8219/12 = 2,4851
QMA = ...
QMB = ...QMB = ...
QMAB = ...
OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO
A análise de um delineamento em esquema fatorial SEMPREcomeça pela interação de maior grau, no caso a dupla.
21
C.V. g.l. SQ QM F_calc
Irrigação (I) 1 393,9233 393,9233 158,51
Adubação (A) 1 3,8514 3,8514 1,55
I A 1 10,1920 10,1920 4,10
Resíduo 12 29,8219 2,4851 -
Total 15 437,7886 - -
ANOVAANOVA Seja = 0,05
75,4%)5,12,1( F
*ns
ns
Para α = 5%, a interação não foi significativa, indicando existir umparalelismo ou independência entre os efeitos dos fatores. Então asconclusões são feitas para efeito principal de IRRIGAÇÃO e ADUBAÇÃO.
Logo, existe apenas efeito do fator IRRIGAÇÃO.
Teste de comparações múltiplas
(Por exemplo: Tukey.)
Mas qual nível de irrigação difere de qual?
22
ANOVAANOVA Seja = 0,10
18,3%)10,12,1( F
C.V. g.l. SQ QM F_calc
Irrigação (I) 1 393,9233 393,9233 158,51
Adubação (A) 1 3,8514 3,8514 1,55
I A 1 10,1920 10,1920 4,10
Resíduo 12 29,8219 2,4851 -
Total 15 437,7886 - -
*ns
*
Para α = 10%, a interação foi significativa, indicando existir um efeito dainteração ou dependência entre os fatores.
Logo, o procedimento é realizar o desdobramento do efeito da interação,desconsiderando os testes para os efeitos principais.
23
DesdobramentoDesdobramentoDesdobramentoDesdobramento
24
Exemplo 2Exemplo 2
Um pesquisador pretende estudar o comportamento de 4 operadores namanipulação 5 aparelhos, para medição de alturas de plantas (Eucaliptus salignacom 7 anos de idade). O DCB com 10 blocos em esquema fatorial 4 5, em quecada árvore é um bloco.
Aparelho 1: hipsômetro de Blume-LeissAparelho 2: hipsômetro de HagaAparelho 3: hipsômetro de WeiseAparelho 4: Prancheta dendrométricaAparelho 5: Trena
DesdobramentoDesdobramento
Aparelho 5: Trena
FV gl SQ QM F
Aparelhos (A) 4 15,4697 3,8674 9,37**
Operadores (O) 3 1,4277 0,4759 1,15n.s.
Interação (AO) 12 10,5503 0,8792 2,13*
(Tratamento) (19) (27,4477) (1,4446) (3,50)
Bloco 9 1565,2699 173,9189 –
Resíduos 171 70,6004 0,4129 –
Total 199 1663,3180 – –
Fatores dependentesdependentes: estudar um fator dentro
do outro (e/ou vice e versa).
25
FV gl SQ
Aparelhos (A) 4 15,4697
Operadores d. A1 3 SQO_d._A1
Operadores d. A2 3 SQO_d._A2
FV gl SQ
Operadores (O) 3 1,4277
Aparelhos d. O1 4 SQA_d._O1
Aparelhos d. O2 4 SQA_d._O2
No exemploexemplo 22:
Estudar o comportamento dasOPERADORES dentro de cadanível de APARELHO.
Estudar o comportamento dasAPARELHO dentro de cadanível de OPERADOR.
Operadores d. A3 3 SQO_d._A3
Operadores d. A4 3 SQO_d._A4
Operadores d. A5 3 SQO_d._A5
(Tratamento) (19) (27,4477)
Bloco 9 1565,2699
Resíduos 171 70,6004
Total 199 1663,3180
Aparelhos d. O3 4 SQA_d._O3
Aparelhos d. O4 4 SQA_d._O4
(Tratamento) (19) (27,4477)
Bloco 9 1565,2699
Resíduos 171 70,6004
Total 199 1663,3180
= glO + gl(AO) = glA + gl(AO)26
NoNo exemploexemplo 11 Estudar o comportamento das
IRRIGAÇÕES dentro de cadanível de ADUBAÇÃO.
Estudar o comportamento dasADUBAÇÕES dentro de cadanível de IRRIGAÇÃO.
DesdobramentoDesdobramento
Para realizar o desdobramento deve-se fazer uma nova análise de variância em que os níveis de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator
(e/ou vice e versa).
nível de ADUBAÇÃO.
FV gl SQ
Adubação (A) 1 SQAdub
Irrigação d. A0 1 SQI_d._A0
Irrigação d. A1 1 SQI_d._A1
(Tratamento) (3) (SQTrat)
Resíduos 12 SQRes
Total 15 SQTotal
nível de IRRIGAÇÃO.
FV gl SQ
Irrigação (I) 1 SQI
Adubação d. I0 1 SQA_d._I0
Adubação d. I1 1 SQA_d._I1
(Tratamento) (3) (SQTrat)
Resíduos 12 SQRes
Total 15 SQTotal
27
Quadro auxiliar para o cálculo das variações de A, B e (A B)
(4) Com Irrigação Sem Irrigação Totais
Adub. Orgânica 122,75 76,67 199,42
Adub. Química 112,44 79,13 191,57
Totais 235,19 155,80 390,99
Irrigação dentro de aduboIrrigação dentro de aduboExemplo 1:Exemplo 1:
28
ANOVA do comportamento das IRRIGAÇÕES dentro de cada nível de ADUBAÇÃO
Irrigação dentro de aduboIrrigação dentro de adubo
Conclusões:
Quando se utiliza Adubo Orgânico, o efeito de irrigação é significativo naprodução de M.S. de capim elefante.
Quando se utiliza Adubo Químico, o efeito de irrigação é significativo naprodução de M.S. de capim elefante;
Mas em qual nível é responsável por diferença?
18,3%)10,12,1( F
29
1) É melhor irrigar ou não irrigar quando utiliza-se adubo orgânico?
2) É melhor irrigar ou não irrigar quando utiliza-se adubo químico?
Teste de Médias duas a duas
Teste t
Irrigação dentro de aduboIrrigação dentro de adubo
Teste t
Teste de Tukey
Teste de Duncan
etc...
30
Comparações múltiplas Comparações múltiplas -- TukeyTukey
(4) Com Irrigação Sem Irrigação Totais
Adub. Orgânica 122,75 76,67 199,42
Adub. Química 112,44 79,13 191,57
Totais 235,19 155,80 390,99
IRRIGAÇÃO dentro adubo orgânico IRRIGAÇÃO dentro adubo químico
Irrigação dentro de aduboIrrigação dentro de adubo
9863,14
4851,252,2
.
Re%)10;12,2(
rep
sQMq
a
b
a
b
hatCIAO /6875,304
75,122
hatSIAO /1675,194
67,76
hatCIAQ /11,284
44,112
hatSIAQ /7825,194
13,79
émelhor irrigar
émelhor irrigar
52,11|ˆˆ||ˆ| 1 SIAOCIAO
mmy 3275,8|ˆˆ||ˆ| 2 SIAQCIAQ
mmy
31
Conclusões:
1. Quando se utiliza Adubo Orgânico, há diferença significativa na produçãode M.S. de capim elefante, sendo melhor com Irrigação.
2. Quando se utiliza Adubo Químico, há diferença significativa na produçãode M.S. de capim elefante, sendo melhor com Irrigação.
Irrigação dentro de aduboIrrigação dentro de adubo
Irrigação
Adubo Com Sem
Orgânica 30,68 A 19,16 B
Química 28,11 A 19,78 B
As comparações devem ser feitas nas linhas.
32
Quadro auxiliar para o cálculo das variações de A, B e (A B)
(4) Com Irrigação Sem Irrigação Totais
Adub. Orgânica 122,75 76,67 199,42
Adub. Química 112,44 79,13 191,57
Totais 235,19 155,80 390,99
Adubação dentro de IrrigaçãoAdubação dentro de IrrigaçãoExemplo 1:Exemplo 1:
33
ANOVA do comportamento das ADUBAÇÕES dentro de cada nível de IRRIGAÇÃO
Adubação dentro de IrrigaçãoAdubação dentro de Irrigação
****
18,3FConclusões
Quando se utiliza Irrigação, o efeito de adubação é significativo naprodução de M.S. de capim elefante;
Quando não se utiliza irrigação, o efeito de adubação não é significativo naprodução de M.S. de capim elefante.
Mas em qual nível é responsável por diferença?
18,3%)10,12,1( F
34
Comparações múltiplas Comparações múltiplas -- TukeyTukey
ADUB. dentro COM IRRIGAÇÃO
(4) Com Irrigação Sem Irrigação Totais
Adub. Orgânica 122,75 76,67 199,42
Adub. Química 112,44 79,13 191,57
Totais 235,19 155,80 390,99
ADUB. dentro SEM IRRIGAÇÃO
Adubação dentro de IrrigaçãoAdubação dentro de Irrigação
615,0|ˆˆ||ˆ| 2 AQSIAOSI
mmy
ADUB. dentro COM IRRIGAÇÃO
a
a
a
b
ADUB. dentro SEM IRRIGAÇÃO
5775,2|ˆˆ||ˆ| 1 AQCIAOCI
mmy
hatAOCI /6875,304
75,122
hatAQCI /11,284
44,112
é melhor adubo
orgânico
hatAOSI /1675,194
67,76
hatAQSI /7825,194
13,79
Tanto faz o adubo
9863,14
4851,252,2
.
Re%)10;12,2(
rep
sQMq
35
Conclusões: 1. Quando se utiliza Irrigação, há diferença significativa na produção de
M.S. de capim elefante, sendo melhor com Adubo Orgânico.
2. Quando não se utiliza Irrigação, não há diferença na produção de M.S.de capim elefante, tanto com adubo orgânico como adubo químico.
Adubação dentro de IrrigaçãoAdubação dentro de Irrigação
Irrigação
Adubo Com Sem
Orgânica 30,68 a 19,16 a
Química 28,11 b 19,78 a
As comparações devem ser feitas nas colunas
36
Irrigação
Adubo Com Sem
Orgânica 30,68 a A 19,16 a B
Química 28,11 b A 19,78 a B
Forma de apresentar os resultadosForma de apresentar os resultados
Quadro resumo das médiasQuadro resumo das médias
a) Para Adubo, letras minúsculas iguais nas colunas indicam que as médias não diferem entre si, pelo teste de TUKEY ( = 10%).
b) Para Irrigação, letras maiúsculas iguais nas linhas indicam que asmédias não diferem entre si, pelo teste TUKEY ( = 10%) .
37
Temos o seguinte esquema para um delineamento em esquema fatorial com 2 fatores
Fator Quantitativo: Regressão
Significativa
Fatores dependentes:
estudar um fator dentro do outroIteração de maior
ordem AB
Fator Qualitativo: Teste de comparações
múltiplas
H0
H1
Não significativa
ANOVA
As pressuposições devem ser satisfeitas!
Fatores independentes:
estudar os fatores
principais Fator Quantitativo: Regressão
Fator Qualitativo: Teste de comparações
múltiplas
38
Esquema fatorialEsquema fatorial
VantagensVantagens
a)a) Pode-se num mesmo experimento estudarem-se 2 ou mais fatores;
b)b) Permitem tirar conclusões mais amplas, permitindo o estudo dos efeitosprincipais e o efeito da interação entre os fatores;
c)c) O n.º de graus de liberdade associado ao resíduo é alto quando comparado comc)c) O n.º de graus de liberdade associado ao resíduo é alto quando comparado comos experimentos simples dos mesmos fatores, o que contribui para diminuir avariância residual, aumentando a precisão do experimento.
39
Esquema fatorialEsquema fatorial
DesvantagensDesvantagens
a)a) Requer maior número de unidades experimentais em relação aos experimentossimples.
b)b) O número de tratamentos (combinações) cresce rapidamente quando seaumenta ou o n.o de níveis por fator, ou o n.o de fatores, ou ambos. Isso podetrazer problemas quanto à homogeneidade da área experimental.
Fatores Níveis Tratamento
A e B 3 e 4 12
A e B 5 e 5 25
A, B e C 3, 4 e 2 24
A, B e C 3, 4 e 3 36
Há, no entanto, alternativas para secontornar essa desvantagem:
Usar Fatoriais Fracionários;
Usar Blocos Incompletos;
Usar o confundimento que é umatécnica específica para fatoriais em blocos.
40
Tarefa
1) Tabule os dados do exemplo 1 no excel, salve com extensão “csv” eexporte os dados para o software R.
2) Utilize a função fat2.dic (com as devidas substituições) do pacoteExpDes.pt para realizar a análise estatística feita anteriormente.
Verifique as pressuposições da ANOVA também.
No R:require(ExpDes.pt)? fat2.dic
41
# fat2.dic(fator1, fator2, resp, quali = c(TRUE, TRUE), mcomp = "tukey", fac.names = c("F1", "F2"), sigT = 0.05, sigF = 0.05)