Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Interno Completamente limitados por superfcies slidas Exemplos: Tubos, Dutos, Bocais, Difusores, etc.

Escoamento Interno Laminar ou Turbulentos. Alguns casos de Escoamento laminar podem ser resolvidos analiticamente.

Nmero de Reynolds (Re =

) - Determina se o escoamento laminar ou

turbulento. Escoamento laminar no interior de um tubo para Re at 2300

Influncia da parede sobre o escoamento e Desenv. Da Camada Limite

Velocidade = 0 Condio de no deslizamento

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Da conservao da massa tem-se:

sendo:

Comprimento de Entrada L Distncia da entrada do tubo at o ponto em que se inicia o escoamento completamente desenvolvido Para escoamento Laminar, o comprimento de entrada L dado por:

Considerando Re 2300 para Escoamento Laminar, o comprimento de entrada dado:

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido

Escoamento entre placas Planas Paralelas Infinitas e Ambas as Placas Estacionrias.

Exemplo: Vazamento de leo atravs de folgas radiais muito pequenas (tipicamente 0,005mm ou menos) entre um pisto e um cilindro.

Consideraes: Escoamento laminar completamente desenvolvido (velocidade no varia com x) entre placas horizontais paralelas infinitas na direo z (no ocorre variao de propriedade do fluido nesta direo) e escoamento incompressvel e permanente.

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido

Condies de Contorno

Para o escoamento completo desenvolvido - Fluxo lquido da quantidade de movimento atravs da superfcie de controle igual zero.

Da equao de quantidade de movimento, considerando ausncia de foras de campo na direo x, tem-se:

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido Somando-se as foras atuando sobre o volume de controle na direo x Fora de Presso na Face esquerda

Fora de Presso na Face direita

Fora de Cisalhamento na Face Inferior (sentido de x)

Fora de Cisalhamento na Face Inferior (sentido + de x)

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido

O somatrio das foras atuando no volume de controle resulta em:

Na equao acima, o termo de presso independe de y e o termo de tenso cisalhante depende somente de y, sendo esta expresso vlida somente para o caso em que:

A integrao desta equao, considerando as condies de contorno descritas anteriormente, resulta em:

Derivada total pois a tenso cisalhante s varia com y

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido

Distribuio de Tenso de Cisalhamento

Vazo em Volume

Para uma profundidade l na direo z, tem-se que da = ldy e a variao de presso com x sendo constante, pode ser escrita como:

Desta forma a vazo dada por:

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido

Velocidade Mdia

Ponto de Velocidade Mxima

Velocidade mxima o mximo da funo velocidade

Assim a componente u mxima dada por:

O que resulta em y = a/2

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido

Placa Superior movendo-se com velocidade constante u

Exemplo: Escoamento em um Mancal de Deslizamento; O cilindro interior (eixo) gira dentro de um membro estacionrio (mancal).

Como a folga pequena, razovel desenrolar o mancal e modelar o campo de escoamento como se fosse entre placas paralelas infinitas, sendo a placa superior mvel.

As condies de contorno so dadas por:

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido

Distribuio de Velocidade

Considerando as condies de contorno para o caso geral da expresso de velocidade, obtm-se:

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido

Distribuio da Tenso de Cisalhamento

Vazo em Volume

Escoamento Interno Viscoso Incompressvel Escoamento Laminar Completamente Desenvolvido

Velocidade Mdia

Ponto de Velocidade Mxima