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PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA

DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

ESCOLA DE ENGENHARIA

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Tese de Doutorado

ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS:

EFEITO DA TEMPERATURA A ALTAS

PRESSÕES E BAIXA PERMEABILIDADE;

DEPENDÊNCIA DA

PERMEABILIDADE/POROSIDADE EM

MISTURAS SÓLIDO-FLUIDO

JESÚS ALFONSO PUENTE ANGULO

SETEMBRO DE 2015

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JESÚS ALFONSO PUENTE ANGULO

ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS: EFEITO DA

TEMPERATURA A ALTAS PRESSÕES E BAIXA

PERMEABILIDADE; DEPENDÊNCIA DA

PERMEABILIDADE/POROSIDADE EM MISTURAS

SÓLIDO-FLUIDO

Tese de Doutorado apresentada ao

Programa Francisco Eduardo Mourão

Saboya de Pós-Graduação em Engenharia

Mecânica da UFF como parte dos requisitos

para a obtenção do título de Doutor em

Ciências em Engenharia Mecânica

Orientadores: Maria Laura Martins-Costa (PGMEC/UFF )

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, 25 DE SETEMBRO DE 2015

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ESCOAMENTO EM MEIOS POROSOS: EFEITO DA

TEMPERATURA A ALTAS PRESSÕES E BAIXA

PERMEABILIDADE; DEPENDÊNCIA DA

PERMEABILIDADE/POROSIDADE EM MISTURAS SÓLIDO-FLUIDO

Esta Tese é parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de

DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA

Área de concentração: Termociências

Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:

Profª. Maria Laura Martins Costa (D.Sc.)

Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

(Orientador)

Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (D.Sc.)

Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Prof. Felipe Bastos de Freitas Rachid (D.Sc.)

Universidade Federal Fluminense

Prof. Luiz Nelio Henderson Guedes de Oliveira (D.Sc.)

Universidade do Estado de Rio de Janeiro

Prof. Rogério Martins Saldanha da Gama (D.Sc.)

Universidade do Estado de Rio de Janeiro

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Agradecimentos

A Deus todo poderoso, pela vida, benção e proteção.

À Professora Maria Laura, pela orientação, paciência, atenção, ensinamentos e

conselhos.

À minha mãe, ao meu pai, meus irmãos e sobrinhos, por me apoiarem em todos os

momentos e me incentivarem a superar as dificuldades.

À Maria Gabriela, pelo amor, paciência e incentivos dados em todos os momentos, em

especial aqueles em que mais necessitava uma palavra de ânimo.

Ao Programa Francisco Mourão Saboya de Pos-Graduação em Engenharia Mecânica,

especialmente aos Professores do Laboratório de Mecânica Teórica e Aplicada (LMTA)

pela formação e ensinamentos.

Aos meus colegas e amigos pelas longas horas de convívio, pela sua amizade,

solidariedade e por permitir a troca de conhecimentos culturais e científicos.

A todas as pessoas que, por diferentes motivos, foram fonte de inspiração e coragem

nessa caminhada e que não é possível identificar.

A todos, o meu muito obrigado!

Jesús Alfonso Puente Angulo

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Resumo

Este trabalho estuda teórica e experimentalmente a possibilidade de causar fratura

hidráulica em um meio poroso de baixa permeabilidade devido a pequenas variações de

temperatura. Um modelo preliminar considera um material poroso de baixa

permeabilidade preenchido com água a alta pressão, no qual são induzidas pequenas

variações de temperatura, a fim de provocar alterações na pressão. Estas variações de

pressão são provocadas pela variação da compressibilidade do fluido e pela dependência

da pressão com a temperatura. Observou-se que as variações de pressão podem provocar

o colapso do material poroso, consequentemente, aumentando a sua permeabilidade. Este

fenômeno é explicado teoricamente por uma equação de estado proposta neste trabalho e

os resultados obtidos mostram um comportamento semelhante aos resultados obtidos

experimentalmente. Além disso, este trabalho também analisa o escoamento de um fluido

Newtoniano generalizado através de um canal poroso. Equações de balanço são

postuladas empregando uma abordagem Teoria de Misturas e termos adicionais que

levam em conta a interação entre os constituintes representando o material poroso e o

fluido são introduzidos. Uma equação muito simples para modelar a relação entre a

porosidade e a permeabilidade é postulada. A comparação com os dados encontrados na

literatura indica boa precisão dessa equação proposta. Aproximações numéricas para o

escoamento através do canal foram feitas usando o método de Runge-Kutta de quarta

ordem combinado com uma estratégia de tiro. Os resultados obtidos com o modelo

proposto para o escoamento foram validados pela comparação com alguns casos

particulares com soluções exatas.

Palavras chave: Teoria de Misturas, Relação Permeabilidade-Porosidade, Fluidos

Power-law, Meios porosos com baixa permeabilidade, Fratura Hidráulica.

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Abstract

This work studies both theoretically and experimentally the possibility of causing

hydraulic fracture in a low permeability porous medium due to small temperature

changes. A preliminar model considers a porous material of low permeability filled with

water at high pressure, to which they are induced small temperature variations in order to

cause changes in pressure. These pressure variations are provoked by the compressibility

of the fluid and the pressure dependence on the temperature. It was observed that the

pressure variations might cause breakdown of the porous material, and therefore

increasing its permeability. This fenomenon is theoretically explained by a state equation

proposed herein and the results obtained therefrom show a behavior similar to the results

obtained experimentally. Besides, this work also analyses the flow of a generalized

Newtonian fluid through a porous channel. Balance equations are postulated employing

a Mixture Theory approach and additional terms that take into account the interaction

between the constituents representing the porous material and the fluid are introduced. A

very simple equation modeling the relationship between the porosity and permeability is

postulated. Comparison with data found in the literature indicates a good accuracy of the

proposed equation. Numerical approximations for the flow through the channel were

made using the Runge-Kutta method of fourth order combined with a shooting strategy.

The results obtained from the proposed model for the flow have been validated by

comparison with some particular cases that have exact solutions.

Key words: Mixture Theory, Permeability-Porosity Relation, Power-law Fluids, Low

Permeability Porosos Media, Hydraulic Fracture.

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Sumário

1 Lista de figuras ...................................................................................................... x

2 Lista de Tabelas .................................................................................................. xiii

1 Introdução .............................................................................................................. 1

1.1 Revisão bibliográfica...................................................................................... 4

1.1.1 Fratura hidráulica .................................................................................... 4

1.1.2 Escoamentos em meios porosos.............................................................. 7

1.2 Conteúdo do trabalho ................................................................................... 13

2 Equações de Balanço ........................................................................................... 15

2.1 Cinemática .................................................................................................... 15

2.2 Princípios – Mecânica do Contínuo ............................................................. 17

2.2.1 Princípio de Conservação de massa ...................................................... 17

2.2.2 Balanço de Momentum Linear.............................................................. 19

2.2.3 Balanço de Energia ............................................................................... 20

2.2.4 Segunda Lei da Termodinâmica ........................................................... 22

2.3 Princípios – Teoria de Misturas ................................................................... 28

2.3.1 Balanço de Massa ................................................................................. 28

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2.3.2 Balanço de Momentum Linear.............................................................. 29

2.3.3 Balanço de Energia ............................................................................... 31

2.3.4 Segunda Lei da Termodinâmica ........................................................... 33

3 Equações constitutivas ......................................................................................... 36

3.1 Tensor parcial de tensão e fonte de momentum para fluido newtoniano

generalizado ................................................................................................................ 36

3.2 Permeabilidade - Porosidade ........................................................................ 42

3.3 Equação de Tait generalizada ....................................................................... 44

4 Modelo Matemático Proposto ............................................................................. 47

4.1 Modelagem do problema .............................................................................. 47

4.1.1 Modelagem para um fluido submetido a grande mudança de pressão . 47

4.1.2 Modelagem para o escoamento através do canal poroso ...................... 52

5 Resultados ............................................................................................................ 58

5.1 Fluido confinado em um poro ...................................................................... 58

5.1.1 Resultados Analíticos............................................................................ 58

5.1.2 Resultados experimentais...................................................................... 62

5.1.3 Comparação de resultados .................................................................... 65

5.2 Fluido escoando através de um meio poroso ............................................... 70

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5.2.1 Permeabilidade e porosidade ................................................................ 70

6 Conclusões e sugestões ........................................................................................ 91

6.1 Fluido confinado em um poro ...................................................................... 91

6.2 Fluido escoando através de um meio poroso ............................................... 92

6.3 Trabalhos futuros.......................................................................................... 93

7 Bibliografia .......................................................................................................... 95

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1 Lista de figuras

Figura 1.1: Esquema do processo de fratura hidráulica [2] ......................................... 2

Figura 3.1: Curva viscosidade / Taxa de deformação por cisalhamento [59] ............ 38

Figura 4.1: Matrizes porosas com diferente permeabilidade ..................................... 48

Figura 4.2: Poro de um meio poroso .......................................................................... 49

Figura 4.3: Escoamento através de um canal poroso impermeável ........................... 53

Figura 5.1: Variação da densidade com a temperatura .............................................. 59

Figura 5.2: Variação da densidade com a temperatura .............................................. 60

Figura 5.3: Tubo e sistema de controle de temperatura é pressão ............................. 62

Figura 5.4: Detalhes do sistema de controle .............................................................. 63

Figura 5.5: Máquina usada para controlar a temperatura e pressão ........................... 63

Figura 5.6: (a) Variação da pressão no tempo. (b) Variação da ................................ 64

Figura 5.7: Evolução da pressão e da temperatura no tempo .................................... 65

Figura 5.8: Variação da densidade no tempo ............................................................. 68

Figura 5.9: Comparação dos resultados teoricos e experimentais da pressão ........... 69

Figura 5.10: Identificação do parametro a ................................................................. 71

Figura 5.11: Permeabilidade versus porosidade ........................................................ 71

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Figura 5.12: Permeabilidade vs. Porosidade do arenito de Berea. Resultados obtidos

com o modelo postulado por Henderson et. al. [47], resultados experimentais obtidos por

David et. al. [77] e o modelo proposto. .......................................................................... 73

Figura 5.13: Permeabilidade vs. Porosidade da fibra de vidro randômica. Resultados

obtidos com modelo postulado por Henderson et al. [47], resultados experimentais

obtidos por Rodriguez et al. [44] e o modelo proposto. ................................................ 74

Figura 5.14: Esteiras de fibra de vidro: (a) esteira costurada.

(b) esteira bidirecional [78] ............................................................................................ 75

Figura 5.15: Permeabilidade vs. Porosidade da fibra de vidro bidirecional. Resultados

obtidos com modelo postulado por Henderson et al. [47], resultados experimentais

obtidos por Yu e Lee [79] e o modelo proposto. ........................................................... 76

Figura 5.16: Permeabilidade vs. Porosidade da esteira de fribra de vidro costurada.

Resultados experimentais obtidos por Shih e Lee [78] e o modelo proposto................ 76

Figura 5.17: Permeabilidade vs. Porosidade do arenito de Fontainebleau. Resultados

experimentais obtidos por Doyem [80], resultados obtidos com modelo postulado por

Henderson e. al. [47] e o modelo proposto. ................................................................... 77

Figura 5.18: Variação de 𝜒 com a permeabilidade, para diferentes indices de power-

law. ................................................................................................................................. 78

Figura 5.19: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =−0.2 ........... 81

Figura 5.20: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =−0.1 ........... 82

Figura 5.21: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =0.1 .............. 82

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Figura 5.22: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =0.2 .............. 83

Figura 5.23: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =0.3 .............. 83

Figura 5.24: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =0.4 .............. 84

Figura 5.25: Perfil de Velocidade do Escoamento através do canal poroso para valores

de n ≤ 0 ........................................................................................................................... 85

Figura 5.26: Perfil de Velocidade do Escoamento através do canal poroso para valores

de n ≥ 0 ........................................................................................................................... 85

Figura 5.27: Variação da velocidade máxima com o indice power-law .................... 86

Figura 5.28: Curvas de Tensão cisalhante em uma dimensão versus taxa de deformação

cisalhante para diferentes valores de n ........................................................................... 88

Figura 5.29: Perfil de Velocidade Adimensional através do canal poroso para valores

de n ≤ 0 ........................................................................................................................... 89

Figura 5.30: Perfil de Velocidade Adimensional através do canal poroso para valores

........................................................................................................................................ 90

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2 Lista de Tabelas

Tabela 5.1: Variação das propriedades da agua ......................................................... 59

Tabela 5.2: Parametros materiais médios sugeridospara pressões acima de 100 bar 61

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Capitulo 1

1 Introdução

Processos de extração, refino e distribuição de petróleo têm um papel fundamental nos

preços da energia e dos transportes no mundo todo. Por esse motivo, cientistas,

engenheiros e políticos procuram constantemente meios para diminuir os custos de

produção, extração e transporte de petróleo e gás natural, sendo esta uma das motivações

para o desenvolvimento deste trabalho. Ao longo desta tese serão estudados dois

problemas com objetivo de analisar processos relacionados ao transporte de fluidos

através de meios porosos, estes problemas são: o efeito de uma pequena variação de

temperatura em um meio poroso de baixa permeabilidade (com o objetivo de estudar a

Fratura Hidráulica) e o escoamento através de um meio poroso saturado por um fluido

newtoniano generalizado, modelado via Teoria de Misturas.

A Fratura Hidráulica é uma técnica frequentemente usada em processos de extração

de petróleo e gás de xisto, presentes na rocha sedimentar. A técnica consiste em furar

verticalmente a rocha a uma profundidade de até 3000 metros, em seguida, usando

equipamentos especiais, os operadores conseguem mudar a direção do furo, que a partir

desse momento se estenderá horizontalmente por aproximadamente 600 metros. Após

efetuado o furo, injeta-se fluido a uma pressão muito alta de modo a forçar a fratura da

rocha, aumentando desta forma sua permeabilidade, e permitindo o escoamento do gás

ou de outro fluido [1]. Todo o processo da fratura hidráulica é apresentado na Figura 1.1.

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Figura 1.1: Esquema do processo de fratura hidráulica [2]

Esta metodologia tem alguns detratores, pois algumas empresas empregam misturas

de fluidos que contem ácidos e outros materiais que podem poluir aguas subterrâneas, o

que consequentemente será um fator contaminante para rios e oceanos. O método

empregado neste trabalho visa substituir o uso de materiais poluentes na fratura

hidráulica. Para isso os métodos experimentais e analíticos que serão propostos visam

provar que é possível aumentar a permeabilidade da rocha mediante o aumento de pressão

que resulta do incremento da temperatura do fluido. Para a solução analítica do problema

serão postuladas as clássicas equações de balanço de massa, momentum, energia (ou

primeira lei da Termodinâmica), e a segunda lei da Termodinâmica empregando a

Mecânica do Contínuo. Estas equações serão combinadas com hipóteses constitutivas

para a energia livre de Helmholtz e uma versão da equação de Tait para a permeabilidade,

a fim obter uma expressão que modele o problema. Em seguida, será mostrado,

empregando a segunda lei da Termodinâmica, que o modelo descreve adequadamente o

processo estudado.

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Na segunda parte deste trabalho será estudado o escoamento de um fluido newtoniano

generalizado através de um meio poroso. Este tipo de escoamento está presente em

diversos processos como: a extração de gás e petróleo, a indústria de mineração,

tecnologias de sinterização e biomecânica. Na indústria de recuperação de petróleo

especificamente, existe a necessidade de desenvolver técnicas de extração mais eficientes

e métodos de simulação mais avançados a fim de aumentar a produção de petróleo. Além

do petróleo apresentar características de fluido não newtoniano, polímeros injetados

também têm comportamento não newtoniano. Nestes casos a clássica lei de Darcy não é

adequada para modelar estes escoamentos de forma apropriada. Além da lei de Darcy

existem diferentes teorias para estudar escoamentos através de meios porosos, mas a

maioria dos trabalhos que analisam fenômenos de transporte de misturas empregam a

média volumétrica para descrever quantidades como temperatura, pressão, concentração

e componentes da velocidade [3] empregando Mecânica do Contínuo. Esta metodologia

tem sido empregada para analisar diferentes tipos problemas como por exemplo:

escoamentos de fluidos com mudança de fase em meios porosos [4], convecção forçada

em um canal poroso [5] e convecção mista [6], [7] entre outros.

Na análise do problema de escoamento através de um meio poroso saturado,

apresentado neste trabalho, será usada a Teoria Continua de Misturas [8]–[11]. Esta teoria

pode ser considerada uma extensão da Mecânica do Continuo Clássica, com ela é possível

tratar os constituintes de uma mistura como uma superpesição de constituintes contínuos,

cada um de estes elementos ocupando totalmente o volume da mistura. Outra

característica do uso da Teoria de Misturas é que ela permite uma aparente independência

termomecânica entre os constituintes da mistura, por isso requer termos de fonte de

momentum e energia, que promovem o acoplamento termomecânico.

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A permeabilidade, que é uma propriedade dependente de diversas variáveis como a

estrutura dos poros, o tamanho e a forma dos poros, foi relacionada por muitos anos com

a porosidade apenas por modelos empíricos. Mais recentemente, o método Lattice

Bolzmann permitiu analisar meios porosos com geometrias complicadas, conseguindo

assim simular as equações de Navier-Stokes considerando a permeabilidade [12] [13].

Determinar uma relação que permita relacionar a porosidade e a permeabilidade é uma

tarefa difícil, mas de muita importância cientifica e econômica para diversas industrias,

especialmente a indústria do petróleo. O modelo de Kozeny-Carman [14] é um dos mais

empregados, devido a sua simplicidade. Essencialmente ele relaciona as propriedades da

matriz porosa com a resistência ao escoamento causado pelo meio poroso. Neste trabalho

é postulada uma equação que permite relacionar a permeabilidade com porosidade de

forma simples, num contexto de Teoria de Misturas. Para isto é desenvolvida uma teoria

constitutiva completa que permite obter uma equação fisicamente consistente

relacionando permeabilidade e porosidade. Esta equação depende de dois parâmetros

constitutivos de fácil calculo quando conhecidos pelo menos dois valores de

permeabilidade e porosidade, que podem ser obtidos a partir de pontos dois pontos

experimentais.

1.1 Revisão bibliográfica

1.1.1 Fratura hidráulica

Desde que a fratura hidráulica começou a ser empregada na indústria muitos

pesquisadores vêm dedicando esforços a fim de melhorar sua técnica, compreendê-la e

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melhorá-la. A maioria dos trabalhos encontrados na literatura trata questões relacionadas

ao tipo de fluidos usados na fratura hidráulica, o material da matriz porosa e o cálculo de

pressões e esforços. Como a fratura hidráulica serve como motivação para uma parte deste

trabalho, será apresentada a seguir uma breve descrição de alguns trabalhos relevantes

para seu desenvolvimento, a maioria com aplicações na indústria do petróleo.

Na prática a fratura hidráulica é usada para aumentar a porosidade de rochedos e poços

ou para aproveitar a energia geotérmica armazenada nas rochas. A técnica mais usada

para conseguir este resultado é o método “Hot dry rock” (HDR). Este método consiste

basicamente em injetar água fria a alta pressão na rocha. As fraturas obtidas são resultado

de esforços gerados pela pressão do fluido, a contração térmica e a resistência mecânica

da rocha. A seguir apresenta-se um pequeno resumo de alguns trabalhos baseados na

técnica de fratura hidráulica ou o método HDR e que foram importantes para o

desenvolvimento deste trabalho.

Em 1961, Perkins e Kern [15], usaram um balanço de energia para calcular a pressão

necessária para fraturar materiais frágeis. O resultado deste cálculo foi usado para provar

que o tamanho das trincas pode ser controlado se a diferença de pressão usada for regulada

de alguma forma. Os resultados analíticos foram obtidos para fluidos newtonianos e não

newtonianos, tanto em escoamentos laminares quanto turbulentos.

Uma análise analítica para estudar as trincas, empregando teorias clássicas de

elasticidade foi feita por England e Green [16]. Eles postularam equações para calcular

os esforços bidimensionais devido às pressões. O objetivo dos autores foi avaliar a troca

de energia interna, devido à abertura das trincas na matriz porosa para os diferentes casos

considerados no trabalho.

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A técnica de fratura hidráulica massiva na montanha Rocky – nos Estados Unidos –

foi aplicada por Simonson et al. [17], em 1978. No trabalho foram determinados o efeito

das propriedades dos materiais que compõem a montanha, o efeito e as caraterísticas das

variações de esforços e os efeitos dos gradientes de pressão. Os autores concluem que os

resultados do estudo podem ser aplicados em outros problemas envolvendo fratura

hidráulica massiva.

Alguns anos depois Nolte e Smith [18] estudaram como a variação de pressão afeta a

fratura da matriz porosa. Neste estudo experimental, os autores coletaram os dados para

um arranjo de tubos através do qual era bombeado um fluido a uma determinada pressão

capaz de iniciar uma fratura. Os resultados obtidos apresentaram semelhança com os

apresentados por Perkins e Kern [15].

Em 1982, van Eekelen [19] analisou os efeitos da fratura hidráulica e observou que a

formação de trincas pode depender de diversos fatores, como esforços, propriedades

elásticas, tenacidade à fratura, ductilidade e permeabilidade. Mesmo assim, concliu que

existiam outros fatores causados pela rigidez e pelos esforços que modificavam o limite

de penetração da fratura.

Experimentos para determinar os parâmetros de controle da fratura hidráulica foram

realizados por Warpinski et al. [20]. O objetivo do estudo era determinar as condições

capazes de limitar o tamanho da fratura e a direção de propagação. Cinco experimentos

foram realizados, mas mostraram ser insuficientes para determinar o tamanho e a

profundidade das trincas. Mesmo assim, os testes foram capazes de mostrar o

comportamento dos esforços na fratura hidráulica e melhoraram as técnicas de medição

aplicadas na recuperação de óleo e gás natural.

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Mais recentemente, Weijers et al. [21] testaram em diferentes lugares dos Estados

Unidos um método desenvolvido para calibrar o crescimento das trincas. No estudo foram

consideradas variáveis como fraturas hidráulicas múltiplas, os efeitos da deformação

plástica, a viscosidade do fluido e a formação de micro fraturas. Os autores afirmaram

que, embora a metodologia usada seja moderna e sofisticada, será necessário

compreender melhor a geologia das rochas analisadas para calibrar e controlar o

crescimento da fratura.

Em 2009, Pater e Dong [22] realizaram experimentos em laboratório usando como

materiais porosos misturas de areia e pó de quartzo e de areia e cimento. O objetivo dos

testes realizados era observar a influência da permeabilidade da matriz porosa na

propagação de trincas. No estudo foi empregada uma máquina que permite observar a

geometria e a propagação da fratura. Os resultados experimentais foram comparados com

os resultados numéricos obtidos com o software FLAC, mostrando ser qualitativamente

semelhantes. Os autores concluíram que a propagação de fraturas é menor para altos

valores da permeabilidade.

1.1.2 Escoamentos em meios porosos

Fenômenos de transporte em meios porosos têm atraído muitos pesquisadores devido

a possível aplicação destes processos em diversos campos de Engenharia, como

mineração, tecnologia de sinterização, biomecânica e na indústria de petróleo, resultando

em uma considerável quantidade de trabalhos publicados na área. A maioria dos trabalhos

tratando escoamentos em meios porosos emprega a clássica técnica de média volumétrica

desenvolvida por Whitaker em [3], que já permitiu incontestáveis avanços.

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Neste trabalho, os escoamentos em meios porosos serão descritos empregando uma

modelagem de Teoria de Misturas, uma generalização da Mecânica do Contínuo clássica,

especialmente desenvolvida para tratar fenômenos multifásicos. No caso de escoamentos

em meios porosos saturados, esta metodologia trata o fluido e a matriz porosa como

constituintes contínuos de uma mistura binária, quimicamente não reagentes, cada um

deles ocupando, simultaneamente, todo o volume da mistura. A Teoria de Misturas leva

a uma aparente independência termomecânica, pois para uma mistura de n constituintes

são permitidas n velocidades e n temperaturas distintas, simultaneamente, em cada ponto

do espaço, que requer a proposição de relações constitutivas termodinamicamente

consistentes para relacionar as variáveis cinemáticas e dinâmicas. Num escoamento

isotérmico, a interação dinâmica é garantida por um termo de fonte de momentum

(análogo ao termo darciano numa descrição via técnica de média volumétrica) e para o

tensor parcial de tensões (análogo ao tensor de cauchy numa descrição via Mecânica do

Contínuo). A seguir são apresentados resumos de algumas pesquisas relacionadas com

este tipo de problema, algumas delas muito importantes no desenvolvimento deste

trabalho.

O primeiro trabalho conhecido no qual foi estudado escoamento através de meios

porosos foi publicado por Henry Darcy em 1856. No livro deste reconhecido cientista

francês, titulado “The public fountains of the city of Dijon” [23], foi postulada a conhecida

lei de Darcy para escoamento da água através de areia. Com esta lei é possível estudar a

porosidade, a vazão da agua e a permeabilidade em aquíferos. Ao longo da história

inúmeros autores publicaram trabalhos empregando a lei de Darcy, dentre os quais podem

ser citados: Sundaravadivelu e Tso [24], que estudaram a influência da viscosidade na

transferência de calor por convecção forçada através de um canal poroso dividido em

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duas regiões de escoamento com diferentes porosidade, permeabilidade e condutividade

térmica. Os autores estudaram analiticamente o problema empregando a lei de Darcy e

concluíram que o perfil de velocidade é fortemente afetado pela variação das

características da matriz porosa e da viscosidade do fluido.

O problema de convecção forçada através de uma matriz porosa num duto circular

com paredes isotérmicas foi estudado por Ranjbar-Kani e Hooman [25], eles empregaram

o modelo de Darcy para calcular a velocidade. As aproximações numéricas foram

calculadas na região de entrada e na região desenvolvida considerando números de Darcy

altos e baixos usando diferenças finitas.

O modelo Brinkman-Darcy-Forchheimer foi usado por Jiangand Ren [26] para

postular as equações para um fluido bidimensional escoando através de um meio poroso.

O problema foi estudado considerando as condições de contorno postuladas em [13–16]

a fim de calcular aproximações numéricas que permitissem a comparação com resultados

experimentais, permitindo observar que o modelo proposto apresenta boa exatidão.

A Teoria de Misturas foi empregada por R.M. Bowen [10] para apresentar modelos

que descrevem a mistura de sólidos e fluidos. O autor inicia o trabalho com uma descrição

completa da cinemática e das equações de balanço de massa e de momentum. Também é

feita uma análise termodinâmica para os casos de mistura de sólidos elásticos

incompressíveis e fluidos incompressíveis, mistura de sólidos rígidos e fluidos

incompressíveis, onde se verifica que a entropia é maior ou igual a zero, recuperando,

desta forma, a segunda lei da termodinâmica.

O estudo de múltiplos fluidos imiscíveis escoando através de um meio poroso foi

estudado por Wei e Muraleetharan [31], usando a Teoria de Misturas. No modelo a

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10

equação que descreve o escoamento é função de um potencial químico e de uma força de

arrasto que está sujeita à energia dissipada no escoamento. Os autores provaram que a

Teoria de Misturas pode ser deduzida a partir do princípio de potências virtuais.

Saldanha da Gama e Martins-Costa [32] simularam a transferência de momentum e de

energia num meio poroso insaturado por um fluido incompressível, modelado via Teoria

de Misturas levando a uma descrição matemática de quarto equações diferenciais não

lineares. A simulação do problema foi feita através da aplicação de um esquema de

Glimm, combinado a uma técnica de fatoração do operador para o problema

hidrodinâmico, que permite transformar um problema simultâneo num sequencial. O

problema homogêneo associado (equações hiperbólicas) é aproximado um esquema de

Glimm e a parte não homogênea é tratada como um termo de fonte. A solução do

problema hidrodinâmico é usada como dado de entrada para o problema térmico,

aproximado via diferenças finitas.

A Teoria de Misturas foi empregada por Ristinmaa M. et al. [33] para estudar o

escoamento em um sólido poroso termoelasto-plástico. No modelo proposto são

considerados a troca de massa entre as fases líquida e vapor. As equações de balanço de

massa, de momentum e também a equação da energia livre de Helmholtz foram

postuladas para cada fase. Foram considerados os efeitos térmicos, os efeitos da

deformação tanto na fase sólida quanto na fase líquida, da difusão e condução, evolução

plástica e a troca de massa. Como resultados, foram obtidas as curvas de equilíbrio

considerando os seguintes casos: que o sólido absorve massa, que o sólido cede massa e

que o sólido nem absorve nem cede massa.

Um modelo para estudar a transferência de calor numa matriz porosa saturada

empregando Teoria de Misturas foi postulado por Martins-Costa et al. [34]. Foi necessário

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11

introduzir relações constitutivas as fontes de momentum e de calor relativas à interação

entre o fluido e o sólido. Os resultados numéricos para os perfis de temperatura dos

constituintes fluido e foram obtidos empregando diferenças finitas.

Um modelo local para estudar a transferência de calor num duto dividido em duas

regiões de escoamento foi proposto por Martins-Costa e Saldanha de Gama [35]. No

problema proposto foi empregada a Teoria de Misturas e foi necessário introduzir

equações constitutivas que levassem em conta a interação entre os constituintes e as

condições de compatibilidade na interface para a velocidade, tensão, temperatura e

também para o calor. O sistema de equações que descreve problema foi resolvido

empregando a técnica numérica de volumes finitos.

Hanyga [36] empregou a Teoria de Misturas para estudar o escoamento de dois (ou

mais) fluidos imiscíveis através de uma matriz porosa. Para formular o modelo

matemático foi necessário introduzir algumas equações constitutivas para a energia, o

tensor tensão, o momentum e o fluxo de calor. Efeitos como a capilaridade e as forças de

arrasto responsáveis pelo aumento da difusão foram incluídos na formulação apresentada

para descrever o problema.

Uma formulação da Teoria de Misturas capaz de modelar o crescimento intersticial foi

postulado por Cowin e Cardoso [37]. No caso descrito, os autores modificaram as

equações de balanço para levar em conta possíveis mudanças no desenvolvimento

cinemático e permitir incrementos de massa e momentum na mistura. Entretanto, para o

balanço de entropia os autores consideram a mistura como um todo. O trabalho apresenta

um conjunto de equações de balanço completo, porém não apresenta hipóteses

constitutivas e por tanto nenhum resultado numérico ou experimental permite validar

essas expressões.

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12

Um modelo macroscópico, considerando rochas insaturadas e isotérmicas, foi

postulado por Chen e Hicks [38], que usaram a teoria de Biot e elementos de não

equilíbrio termodinâmico para obter um modelo (denominado pelos autores Teoria de

Misturas modificada) onde são consideradas as três fases: sólida, líquida e gasosa. Os

autores afirmam ser possível com este modelo descrever o grau de saturação, a pressão

nos poros, a tensão e a deformação em função do tempo e da distância.

Massoudi [39] explicou a importância das condições de contorno para resolver

problemas empregando a Teoria de Misturas. O trabalho estuda o caso de misturas de um

sólido e um líquido. Condições de simetria foram apresentadas para a velocidade, mas

também para a fração de volumes. O caso de condições de contorno nas paredes sólidas

também foi estudado, sendo introduzida uma velocidade de deslizamento, considerando

que, de fato, alguns fluidos escorregam na parede. O autor afirma que existem outros

casos para os quais é possível obter condições de contorno experimentalmente.

Um trabalho analítico muito interessante publicado por P. D. Kelly [40], apresenta as

tradicionais equações de balanço de massa, momentum, energia e entropia assim como

também são postuladas equações de balanço de carga elétrica e fluxo magnético,

considerando reações químicas. Neste trabalho são introduzidos termos que levam em

conta a interação entre os constituintes existentes antes ou depois dessas reações. O autor

afirma que as equações postuladas por ele são as mais gerais existentes na literatura.

Outra relação que dever ser levada em conta no escoamento através de meios porosos

é a relação entre porosidade e permeabilidade. Na bibliografia encontram-se estudos deste

tipo onde a equação de Kozeny-Carman é empregada [1-4]. Essa expressão que relaciona

a porosidade e a permeabilidade requer uma constante que depende do material e do

tamanho dos grãos que compõem a matriz porosa. Esta constante tem um papel

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13

fundamental na aplicação da equação, o valor deste parâmetro muda para cada tipo de

material poroso.

Diferentes versões da equação Kozeny-Carman têm sido postuladas [35–37] com o

objetivo de facilitar o uso da equação. Entre as versões mais recentes da expressão

encontra-se a postulada por Henderson et. al. [47] em 2010. Neste trabalho foi usado um

método indireto numérico-experimental de estimação de parâmetros para calcular as

constantes da equação generalizada de três parâmetros de Kozeny-Carman postulada

pelos autores. Nos resultados numéricos obtidos a partir das observações de estruturas

fractais, foi observado que a equação é capaz de modelar aceitávelmente a permeabilidade

e porosidade de diferentes materiais.

Apesar da maioria dos trabalhos anteriormente referidos apresentar ou propor modelos

matemáticos, apenas alguns deles apresentam resultados numéricos que permitam fazer

comparações de nossos resultados com trabalhos encontrados na literatura.

1.2 Conteúdo do trabalho

Este trabalho é divido em 6 capítulos, sendo o capítulo 1 a Introdução, onde é mostrada

uma visão geral da tese, além disso são feitas definições necessárias para a compreensão

do trabalho. Ainda neste capítulo são postuladas as motivações que originaram as

pesquisas necessárias para o desenvolvimento deste trabalho.

O capitulo 2 inicia-se com uma introdução à cinemática, onde são feitas algumas

definições necessárias para o desenvolvimento do trabalho. Em seguida, são apresentadas

as equações de balanço de massa, balanço de momentum linear e as equações da primeira

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lei e da segunda lei da termodinâmica, empregando duas abordagens, a mecânica do

continuo clássica e a teoria de misturas.

No capitulo 3 são apresentadas equações constitutivas necessárias para a solução das

equações de balanço. Entre elas a equação do tensor parcial de tensões, a fonte de

momentum, uma expressão que relaciona a permeabilidade e a porosidade e a equação de

Tait modificada para levar em conta pequenas variações de temperatura.

O capítulo 4 destina-se a descrever os problemas propostos e apresentar os modelos

matemáticos que são usados para analisar os fenomemos de interesse. No

desenvolvimento deste capítulo foi necessário introduzir variáveis e fazer hipóteses que

permitiram obter resultados fisicamente possíveis.

Os resultados obtidos a partir dos modelos propostos são apresentados no capítulo 5.

Neste capítulo também são apresentados o equipamento e o corpo de prova que foi usado

para obter uma parte dos resultados obtidos no desenvolvimento do trabalho.

No capítulo 6 são apresentadas as principais conclusões obtidas neste trabalho e as

sugestões para futuros trabalhos de pesquisa.

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15

Capitulo 2

2 Equações de Balanço

Neste capítulo serão apresentadas as equações de balanço de massa, balanço de

momentum linear, a primeira lei da Termodinâmica e a segunda lei da Termodinâmica.

Os dois primeiros princípios serão postulados empregando tanto a Mecânica do Continuo

Clássica quanto a Teoria de Misturas.

As equações obtidas pela Mecânica do Continuo Clássica serão usadas para estudar

analiticamente a expansão de um fluido newtoniano em um poro (caso idealizado), devido

a variação de temperatura. Enquanto que equações obtidas pela Teoria de Misturas serão

usadas para modelar o escoamento isotérmico de um fluido newtoniano generalizado

através de uma matriz porosa. Em ambos os casos será necessário introduzir equações

constitutivas para permitir a solução do problema.

2.1 Cinemática

Em trabalhos de Atkin e Craine [8], Bedford e Drumheller [9], Rajagopal e Tao [11] e

Bowen [48] foi definida a cinemática do movimento dos corpos, quimicamente reagentes

ou não reagentes. Nestas definições um corpo (Bi) é formado por um conjunto de

partículas que podem ser denotadas pelo movimento desta partícula é descrito por um

conjunto de configurações paramétricas χt, onde o tempo t, pertence ao intervalo [0,∞).

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16

Supõe-se que em cada instante de tempo t, todo o volume é ocupado, simultaneamente,

por cada um dos componentes da mistura. Supondo uma mistura com componentes (Pi),

sendo iX a posição da partícula Pi, na configuração de referência, então os movimentos,

supostos biunívucos, contínuos e inversíveis são denotados por

,i i i tXx = (2.1)

Define-se a derivada material que segue o movimento de um dado constituinte i como

Atkin e Craine [8]

ii

Dgrad

Dt t

v (2.2)

onde iv é a velocidade do constituinte i, e é uma variável escalar, vetorial ou tensorial

A equação (2.1) está cinematicamente associada aos seguintes parâmetros

i ii

D

Dt

v (2.3)

i ii

D

Dt

va (2.4)

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ii

i

vL

x

(2.5)

T1

2i i iD L L (2.6)

T1

2i i iW L L (2.7)

onde, vi e ai representam a velocidade e a aceleração do constituinte i. Enquanto os

parâmetros Li, Di e iW representam o tensor gradiente de velocidade sua parte simétrica e

sua parte anti-simétrica respectivamente.

A partir das equações postuladas acima é possível obter as equações tradicionais da

mecânica do continuo clássica, para isso basta não utilizar os índices, considerando um

único constituinte.

2.2 Princípios – Mecânica do Contínuo

2.2.1 Princípio de Conservação de massa

Inicialmente será apresentado o balanço de massa empregando a Mecânica do

Contínuo Clássica. Esta formulação é parte importante na análise de um fluido confinado

em um poro (caso idealizado) que é submetido a mudanças de temperatura ao longo do

tempo. Este problema será explicado em detalhes no próximo capítulo.

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Seja Ω uma região arbitrária fixada com volume V limitada por uma superfície ∂Ω de

área A na qual a lei de conservação da massa é postulada. Considerando um volume

material de massa m a equação para o balanço de massa tem a seguinte forma

0t

m

d

d (2.8)

Desta forma é possível calcular a massa m, no volume material com a integral

dt

m V

(2.9)

A quantidade de massa na região arbitraria do volume Ω na configuração atual é dada

por

( )

d d 0 (t) B ( , ) e (0, )

dt

t

V B t tt

(2.10)

Empregando o teorema de transporte de Reynolds [49][50] é possível expressar a

equação (2.10) por

( )

( ) ( )

d d d 0 d

d tt t

V A tr Vt

v n L 0 (2.11)

onde denota a derivada temporal: d /dt e L já foi definido anteriormente como

o gradiente de velocidade. Embora, a equação da continuidade acima esteja definida em

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uma forma geral, neste trabalho será feita uma simplificação da equação acima onde será

desconsiderada a parte antissimétrica do gradiente de velocidade L, permitindo escrever

: D I 0 (2.12)

Na equação (2.12) e representam a massa especifica e a derivada da massa

especifica respetivamente. D é o tensor taxa de deformação e I representa o tensor

identidade.

2.2.2 Balanço de Momentum Linear

A quantidade de movimento linear de um corpo é equivalente à aplicação da segunda

lei de Newton a um volume material. Em outras palavras, a taxa de variação da quantidade

de movimento linear de um corpo é igual à soma das forças externas agindo sobre o corpo

mencionado.

Se o corpo ocupa a região Ω, no instante de tempo t, a taxa de variação de movimento

linear do corpo é calculada a partir da soma de forças externas

( ) ( ) ( )

d d d d

dt t t

V A Vt

v t g (2.13)

Considerando a relação entre o vetor tensão t, e o tensor de tensão de Cauchy σ , o

Teorema de Cauchy afirma que o vetor tensão é linear na normal exterior n,

, ; , t t σt x n x n , onde σ representa tensor tensão de Cauchy, a equação acima

adquire a seguinte forma

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20

d d d d

dV A V

t

σv n g (2.14)

Finalmente, o balanço da quantidade de movimento linear na forma local é obtido

aplicando o teorema de transporte as equações acima, resultando em

grad divt

σv

v v g (2.15)

Ou ainda em uma forma mais geral a equação pode ser expressa como

D

Ddiv

t

vg (2.16)

onde grad(•) é o gradiente da grandeza (•) e D(•)/Dt representa a derivada material da

grandeza (•).

2.2.3 Balanço de Energia

A equação de conservação de energia estabelece que a soma da variação das energias

cinética e interna, é igual à soma da potência mecânica (potência das forças internas – de

superfície e potência das forças externas – de corpo) e da taxa de troca de calor (fluxo de

calor através da fronteira e geração de energia sob forma de calor na região ). A

primeira lei da Termodinâmica pode ser expressa como

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d d 1 d d

d d 2

d d d d

e V Vt t

A V A q V

σ

v v

n v g v q n (2.17)

onde g representa a força gravitacional, e representa a energia enterna específica, q é a

geração de energia por unidade de massa e q é o vetor fluxo de calor por unidade de tempo

atravessando a fronteira do corpo, o sinal negativo representa o fluxo de calor que entra

no volume de controle.

Usando as equações de transporte [49], [50] e a equação de continuidade é possível

obter a equação da energia na forma local

D 1 D D+

D 2 D D

D

D

divdiv

ee div div q

t t t

egrad div q

t

σ σσ

σ

σ

v+ grad vg

vv v v v g v q

v q

(2.18)

Uma outra forma de escrever a equação de primeira lei da termodinâmica na forma

local, desprezando a geração de energia por unidade de massa q , é apresentada a seguir

[51], [52].

e div q (2.19)

Na equação (2.19) denota a derivada material da energia interna por unidade de

massa, representa a massa específica, σ é o tensor de tensões de Cauchy,

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T= 1 / 2 [ ( ) + ( ) ]D grad v grad v é o tensor taxa deformação (sendo v a velocidade) e q é

o vetor fluxo de calor. É interessante notar que esta equação é uma consequência da

simetria do tensor de Cauchy.

2.2.4 Segunda Lei da Termodinâmica

A segunda lei da Termodinâmica, que pode ser expressa pela desigualdade de

Clausius-Duhem, permite uma distinção entre os processos reversíveis e irreversíveis e

possibilita determinar quais processos são possíveis ou impossíveis, enquanto a primeira

lei da termodinâmica trata da possibilidade de conversão de energia mecânica em calor e

vice-versa. Para definir se o processo analisado é reversível ou irreversível deve-se

verificar se existe alguma fonte de irreversibilidade que produza um incremento de

entropia S. As principais causas de irreversibilidade são transferência de calor com

diferença finita de temperatura, processo com atrito, expansão livre ou parcialmente

resistida e mistura de correntes fluidas.

O cientista alemão Rudolf Julius Emmanuel Claussius definiu a variação de entropia

como [53]

d revqS (2.20)

onde revq é a variação do fluxo de calor reversível em um sistema fechado e θ é a

temperatura (absoluta) do sistema. Entretanto, é necessário introduzir um novo termo na

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23

equação acima a fim de calcular a entropia em um sistema fechado submetido a processos

reversíveis e irreversíveis, desta forma obtém-se.

d revi

qS d S (2.21)

Sendo diS=0 para processos reversíveis e diS>0 para processos irreversíveis. A partir

das definições apresentadas acima, é possível expressar a variação de entropia com a

seguinte equação

d 1d d d

d

qs V A V

tq n (2.22)

A equação (2.22) estabelece que a taxa de geração de entropia em um corpo é maior ou

igual ao fluxo de entropia para esse corpo. Sendo que na desigualdade apresentada acima

q é o fluxo de calor atravessando a fronteira do corpo, é a variação do fluxo de calor

e a temperatura.

A equação (2.22) também pode ser escrita na forma local, para isso a expressão acima

deve ser combinada com a equação da continuidade e o teorema da divergência. O

resultado desta operação é a desigualdade conhecida como a desigualdade de Clausius-

Duhem, em homenagem aos pesquisadores que a desenvolveram

𝐷𝑠

𝐷𝑡≥ −𝑑𝑖𝑣 (

𝒒

𝜃) +

𝜃 (2.23)

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As expressões postulados até agora encontram-se na sua forma mais geral, mas para

analisar o problema proposto neste trabalho é conveniente introduzir uma nova variável

conhecida como a energia livre de Helmholtz.

A energia livre de Helmholtz (chamada assim em homenagem ao pesquisador alemão

Hermann von Helmholtz), ou potencial de Helmholtz, pode ser descrita como quantidade

máxima de trabalho obtido a partir da transformação de calor aplicado a um sistema. Este

conceito e frequentemente usado na análise de processos químicos, térmicos e aplicações

de engenharia. A energia livre de Helmholtz (𝜓) é uma propriedade termodinâmica, como

a energia interna ou a entalpia e pode ser calculada pela seguinte expressão [54] [53].

𝜓 = 𝑒 − 𝜃𝑠 (2.24)

onde 𝑒 é a energia interna por unidade de massa, 𝜃 a temperatura absolura e 𝑠 a entropia

total por unidade de massa.

A energia livre permite calcular o trabalho disponível que pode ser obtido em um

sistema termodinâmico fechado a temperatura constante. A seguir será apresentado um

modelo da energia livre para fluidos compressíveis. Neste trabalho são estudados apenas

fluidos invíscidos embora a teoria possa ser estendida para postular equações

constitutivas para outros casos [55][56].

, (2.25)

A função energia livre para fluidos invíscidos é uma função diferenciavel da

temperatura absoluta θ, e da densidade ρ.

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O sistema de equações a seguir representa a dissipação total (d), onde a equação (2.27)

é usada para calcular a dissipação intrínseca no processo (d1), enquanto a equação (2.28)

representa a dissipação devido aos efeitos térmicos (d2).

𝑑 = (𝑑1 + 𝑑2) ≥ 0 (2.26)

1 :d s D (2.27)

𝑑2 = −1

𝜃𝒒 ∙ 𝒈𝒓𝒂𝒅𝜃 (2.28)

Esta versão local da segunda lei da Termodinâmica não exclui possíveis

comportamentos anormais como, por exemplo, a diminuição da temperatura quando calor

é adicionado ao sistema. (É importante observar que, nas equações (2.26)-(2.28), assim

como nas equações a seguir, ( )

denota a derivada material no tempo). A fim de excluir

a possibilidade desses comportamentos acontecerem, garantindo que as equações (2.26)-

(2.28) sejam satisfeitas uma restrição adicional será imposta

𝑑1 ≥ 0 𝑒 𝑑2 ≥ 0 (2.29)

Garante-se, desta forma, que o fluxo de calor acontecerá sempre da região de maior

temperatura para a região de menor temperatura quando q for paralelo ao gradiente de

temperatura.

Uma relação de parâmetros dissipativos pode ser introduzida a partir do potencial de

dissipação ϕ que é uma função diferenciável, convexa e isotrópica de e θ. Neste ponto,

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26

a dissipação intrínseca d1 e a dissipação térmica d2 são consideradas funções de e θ

que tem a seguinte forma

1 d (2.30)

21

d gradk

q qq (2.31)

Sendo o parâmetro k a condutividade térmica e o potencial ϕ dado por

( , ); ( , ) 0 ( , )

( 0, ) 0 (2.32)

A equação na segunda linha significa que no caso de a taxa de variação da densidade

ser nula 0 então o potencial ϕ será igual a zero, isto implica que a dissipação devido

à compressibilidade seja também igual a zero (d1 = 0) o que representa um fluido

Pascaliano.

Combinando as equações (2.27) e (2.30) obtém-se

= s: D (2.33)

Esta equação ainda pode ser usada substituindo nela a equação da conservação da

massa na forma local (eq. (2.12)) para obter

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27

20= I : D s (2.34)

A equação (2.34) tem que ser válida para qualquer processo possível, permitindo

concluir que as seguintes relações constitutivas são sempre válidas

= s (2.35)

pI (2.36)

com

2= + p (2.37)

onde a pressão termodinâmica p é apresentada como a soma de suas partes reversível

2 / , e irreversível / . A equação (2.37) é a equação de estado geral

para esta classe de superfluidos compressíveis.

É interessante notar que usando a equação (2.28) e a definição da dissipação térmica

dada pela equação (2.31), a clássica lei de Fourier vem como consequência

= k gradq (2.38)

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28

2.3 Princípios – Teoria de Misturas

2.3.1 Balanço de Massa

A cada constituinte i da mistura é associada uma densidade mássica ρi, que representa

a densidade média do constituinte i, tomada para um pequeno volume da mistura. A

densidade mássica da mistura como um todo é expressa pelo somatório da densidade

mássica de cada constituinte da mistura ρi

1

n

i

i

(2.39)

Logo a conservação da massa para o constituinte i pode ser expressa como:

( )

d d 0

di

t

Vt

(2.40)

Empregando o teorema de transporte de Reynolds [49] obtém-se

( ) ( )

d d d 0

di i i

t t

V At

v n (2.41)

Supondo que as funções sejam regulares e considerando que Ω é uma região arbitrária

fixa na mistura, obtém-se a equação da continuidade em forma local para cada um dos

constituintes, sendo i = 1, n

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29

d 0

d

ii i

t

v (2.42)

2.3.2 Balanço de Momentum Linear

A conservação de momentum linear é postulada de forma análoga à empregada na

Mecânica do Contínuo clássica, aplicando-se o primeiro axioma de Euler [49] a cada

constituinte da mistura. Além das forças de corpo por unidade massa atuando em cada

constituinte da mistura, if , os efeitos das forças da superfície dos demais constituintes

da mistura sobre o constituinte i devem ser levados em consideração.

A fim de considerar estes dois efeitos, é introduzido o vetor parcial de tensões

, ; i tt x n , definido em e medido por unidade de área de , que desempenha um

papel análogo ao vetor tensão da Mecânica do Contínuo Clássica. Define-se, ainda, a

força de interação im , aplicada ao constituinte i pelos demais constituintes da mistura. A

força de interação local im é um termo de geração de momentum linear, por unidade de

volume [8] e representa a transferência de momentum, devido aos efeitos de interação

entre os constituintes e ao movimento relativo dos constituintes.

Supondo que o vetor parcial de tensões integrado sobre a superfície seja a

força de contato sobre o constituinte i, o tensor parcial de tensões, que depende

linearmente da orientação do elemento de superfície, além de depender da posição e do

tempo pode ser definido como:

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30

, ; ,i i i it t σt x n x n (2.43)

O vetor parcial de tensões integrado sobre a superfície ∂Ω representa a força de contato

sobre o constituinte i. Neste caso, a conservação da quantidade de momentum linear para

cada constituinte (i =1, n) pode ser postulada como

d d d

d

d d

i i i i i

i i i i i

V At

V A

v v v n

f m n

(2.44)

No caso de um fluido escoando através de uma matriz porosa, a força de interação

atuando no constituinte sólido pode ser fisicamente interpretada como a soma do arraste

do fluido na matriz e o efeito das forças capilares, que surgem, devido a uma distribuição

não-uniforme do fluido no interior da matriz porosa. Este último efeito está presente

somente em escoamentos insaturados.

A forma local da equação de balanço de momentum linear para cada constituinte (i=1,

n) é dada por

ii i i i i i i

t

σ

vv v m f (2.45)

A equação apresentada acima descreve o balanço de momento linear para cada

elemento da mistura, já uma expressão válida para a mistura como um todo pode ser

expressa como segue

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31

0n

i

i=1

m (2.46)

Neste trabalho os tensores parciais de tensão ( iσ ) serão considerados simétricos,

satisfazendo automaticamente o balanço de momentum angular.

2.3.3 Balanço de Energia

Para postular o balanço de energia, denota-se por ie a energia interna específica

do constituinte i, por iq a geração (externa) de calor por unidade de massa e por iq o

vetor fluxo parcial de calor (por unidade de tempo e de área) de tal forma que o fluxo de

calor conduzido para o constituinte i, através da superfície seja dado por i q n .

Define-se, ainda, uma função escalar i representando a geração de energia

relativa ao constituinte i, ou seja, a energia (por unidade de tempo e de volume) fornecida

ao constituinte i, devido a sua interação térmica com os demais constituintes da mistura.

Desta forma, tem-se a energia trocada com os outros constituintes representada por

di V

.

Considerando as hipóteses anteriormente mencionadas de ausência de reações

químicas entre os constituintes da mistura e simetria do tensor parcial de tensões, o

balanço de energia – correspondendo à Primeira Lei da Termodinâmica – para um dado

constituinte pode ser expresso como

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32

Ω Ω

Ω Ω Ω

1 1d d

2 2

d d dA

i i i i

i i i i i i i i i

e V e At

V q V

i i i i i

i

v v v v v n

b m v t v q n

(2.47)

onde 1 2 i iv v representa a energia cinética por unidade de massa associada ao

constituinte i, os termos i i i b v e i im v representam, respectivamente, as potências das

forças (externas) de corpo e das forças de interação por unidade de volume e i it v

representa a potência das forças de contato por unidade de área.

Um procedimento análogo ao empregado anteriormente, considerando i i σt n ,

permite obter a forma local da conservação de energia para um constituinte

1,i ii i i i i i i

d eq i n

dt σq D (2.48)

A conservação de energia para a mistura, considerando ausência de geração de

massa e tensores parciais de tensão simétricos, é dada por

1 1

1 1

1 1 d d

2 2

d d

n n

i i i i i i i i i

i i

n n

i i i i i i i i i

i i

e V e At

q V A

v v v v v n

b m v t v q n

(2.49)

Fazendo

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33

1 1 1 1

n n n n

i i i i i i i

i i i i

e e q q

σ σq q D D (2.50)

com e denotando a energia interna específica da mistura, q a geração (externa) de calor

por unidade de massa fornecida à mistura, q o vetor fluxo de calor (por unidade de

tempo e de área) associado à mistura, e σ D a dissipação viscosa, pode-se expressar a

forma local da conservação de energia para a mistura como

d

d

eq

t σq D (2.51)

Observa-se que a equação (2.51) apresenta a mesma forma do balanço de energia para

um meio contínuo.

Uma forma equivalente de expressar o balanço de energia para a mistura,

considerando as hipóteses simplificadoras descritas anteriormente e a validade da

equação (2.48), é [57]:

1

0 em n

i

i

(2.52)

2.3.4 Segunda Lei da Termodinâmica

A expressão da Segunda Lei da Termodinâmica, a noção básica de entropia, sua

definição como grandeza primitiva ou derivada e o significado da temperatura ainda são

debatidos entre diversos autores, mesmo no caso de Mecânica do Contínuo clássica. No

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34

caso de misturas, além destes temas controversos, não existe consenso sobre a

necessidade de satisfazer a desigualdade entrópica para cada constituinte ou para a

mistura como um todo [11]. No presente trabalho supõe-se a Segunda Lei da

Termodinâmica dada pela desigualdade de Clausius-Duhen, que deve ser válida

localmente para a mistura como um todo.

A cada constituinte de uma mistura associa-se uma temperatura absoluta i (por

hipótese positiva) e uma entropia específica is de forma a ter-se a entropia total do

constituinte i, iS , ocupando a região i num dado instante t dada por

d

i

i i iS s V

(2.53)

Define-se, ainda, a entropia específica de uma mistura como

1

1 n

i i

i

s s

(2.54)

A forma global da desigualdade de produção de entropia para a mistura como um todo

é postulada, supondo que o fluxo de entropia devido ao fluxo de calor, iq , seja dado por

/i iq – de forma a ter-se o fluxo de entropia associado à mistura dado por 1

/n

i ii

q

e que a geração de entropia devido à presença do termo de geração externa de energia,

iq , seja /ii iq , como [11]

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35

1 1 1 1Ω Ω Ω Ω

t

n n n ni i ii

i i i i i

i i i ii i

qs dV s dA dA dV

q nv n (2.55)

Observa-se que a desigualdade (2.55) permite que a cada constituinte seja associado

um campo de temperaturas diferente. Sua forma local é dada por

1

0n

i i i ii

i i i

d s q

dt

q (2.56)

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36

Capítulo 3

3 Equações constitutivas

Para a solução das equações de conservação apresentadas no capítulo anterior será

necessário introduzir hipóteses constitutivas que permitam levar em conta o tipo de

material dos elementos da mistura, a interação entre eles e as vizinhanças assim como

também considerar os efeitos da compressibilidade dos materiais. Estas hipóteses

dependem das condições nas quais o problema é analisado. Neste trabalho são propostas

algumas equações constitutivas com o objetivo de apresentar uma nova opção para

resolver problemas reais de engenharia, mas também serão usadas algumas hipóteses

encontradas na bibliografia e que têm sido usadas na indústria na análise de problemas.

3.1 Tensor parcial de tensão e fonte de momentum para fluido

newtoniano generalizado

A lei de viscosidade de Newton [58], dada pela equação a seguir, impõe que cada

componente do tensor extra de tensões τ, é proporcional ao tensor taxa de deformação D,

na direção normal a essa componente (a taxa de deformação por cisalhamento do fluido,

).

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37

(3.1)

A partir desta lei é possível traçar a curva que será uma linha reta para fluidos

newtonianos, e todos os fluidos cuja curva não seja linear ou não passe pelo origem do

sistema de coordenadas serão chamados de fluidos não-newtonianos. Esta classificação,

em oposição ao comportamento newtoniano, foi originada quando as propriedades dos

fluidos não-newtonianos eram consideradas anômalas. Hoje em dia, a tendência é

considerar os fluidos não-newtonianos como um caso especial de uma categoria mais

geral de fluidos: os chamados fluidos newtonianos generalizados.

Os fluidos newtonianos generalizados são considerados fluidos inelásticos. Estes

fluidos têm a capacidade de acumular energia interna por deformação de suas moléculas

para devolvê-la ao escoamento posteriormente, devido a alguma mudança de

características. A principal propriedade dos fluidos não-newtonianos é a viscosidade

viscométrica ou de cisalhamento. Esta propriedade é definida como

(3.2)

O comportamento da viscosidade viscométrica com a variação da taxa de deformação

por cisalhamento é observado na Figura 3.1. Nesta curva é possível notar que para baixos

valores da taxa de deformação por cisalhamento do fluido , a viscosidade viscométrica

η é constante. Logo, para valores médios de a curva decresce aproximando-se a uma

linha reta, e finalmente para valores mais altos da viscosidade viscométrica observam-se

valores de η constantes. Em outras palavras, quando o fluido tem alta viscosidade

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38

viscométrica o fluido não pode escoar facilmente e o contrário acontece quando a

viscosidade viscométrica do fluido é baixa.

Existem diferentes modelos que permitem relacionar a viscosidade viscométrica com

a taxa de deformação por cisalhamento. Alguns dos modelos mais usados são: o Bingham

e o power-law, este ultimo empregado no desenvolvimento deste trabalho.

.

Figura 3.1: Curva viscosidade / Taxa de deformação por cisalhamento [59]

O modelo de Ostwald-de Waele, também chamado power-law é capaz de modelar

fluidos newtonianos, pseudoplásticos ou dilatantes. Neste modelo, descrito pela equação

(3.3) [60], τ representa a tensão cisalhante aplicada ao fluido, κ é o índice de consistência

do material, m o índice de power-law e representa a taxa de cisalhamento.

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39

1m

D (3.3)

Por conveniência, estes índices serão redefinidos como η = 2(m−1)/2κ e n = (m−1)/2.

Neste caso valores de n negativos (n < 0), representarão um comportamento

pseudoplástico, valores positivos (n > 0), um comportamento dilatante e quando for zero

(n = 0) o fluido representado terá comportamento newtoniano.

A partir desta breve revisão sobre fluidos newtonianos generalizados, serão

considerados fluidos power-law, num contexto de Teoria de Misturas. Neste sentido,

serão apresentadas equações constitutivas não apenas para o tensor tensão σ , mas para o

tensor parcial de tensões Fσ , atuando no constituinte fluido de uma mistura sólido-fluido

que modela um escoamento isotérmico em um meio poroso saturado pelo fluido. Como

a matriz porosa é suposta rígida, apenas as equações para o constituinte fluido necessitam

ser solucionadas. As equações constitutivas que caracterizam o escoamento de uma classe

particular de fluidos não-newtonianos através de um meio poroso são propostas a seguir

2 0F

p

0Fσ ID

(3.4)

, ,F F F

F

K KK

m v v

D (3.5)

onde ω é uma função escalar diferenciável, estritamente convexa e positiva, FD é o tensor

taxa de deformação atuando sobre o constituinte fluido da mistura Fm é a fonte de

momentum, responsável pelo acoplamento mecânico, K é uma função estritamente

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40

positiva, φ representa a porosidade, e Fv é a velocidade constituinte fluido da mistura.

As equações constitutivas (3.4) e (3.5) podem ser obtidas empregando os mesmos

princípios usados por Costa Mattos et al. [61] e são suficientes para garantir que uma

versão local da segunda lei da Termodinâmica seja sempre satisfeita.

A função ω para um fluido newtoniano generalizado tem a seguinte forma particular

[55]

2; 2F I I F F F F

I

D D pD

D D D I D (3.6)

22

1 com , , ,

I

F F F

I

n KK D

d

dD K

m v v

(3.7)

O termo d d ID normalmente é denominado viscosidade dinâmica. Ele permite

modelar a dependência da viscosidade da taxa de deformação (e da temperatura nos

processos não isotérmicos). Por outro lado, é uma função estritamente positiva da

porosidade φ, da viscosidade η, de um índice relacionado ao coeficiente power-law n e

da permeabilidade do meio poroso K. Enquanto esta permeabilidade K depende apenas

da matriz porosa, K depende também do escoamento do constituinte fluido (velocidade

material, velocidade local, e gradiente de velocidade). É importante observar que a

porosidade e permeabilidade estão conectadas, dependendo uma da outra. Porém a

porosidade é estática, mas a permebilidade pode ser aumentada.

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41

A fim de postular o tensor de Cauchy de forma adequada para analisar o problema de

escoamentos através de meios porosos serão introduzidas as definições das funções

ˆ ( )ID e ˆ( , , , )n K a serem utilizadas neste trabalho [30], [36, 37]

12ˆ ( ) ( )

1

nn

I In

D D (3.8)

(3.9)

2 124 3

ˆ ( , , , )3 2 1 6

n nn

F

nn K

K n Kv (3.10)

2 14 3

3 2 1 6

n nn

K n K (3.11)

Combinando as equações (3.8) a (3.11) com as equações do tensor parcial de tensões

e a fonte de momentum, definidos nas expressões (3.4) e (3.5) respectivamente, obtém-

se as novas equações para o Tensor parcial de tensões Fσ e a fonte de momentum Fm .

2 ( )nIp IFσ D D (3.12)

2 122 24 3 1

2 1 3 6

n nn n

F F F F F

n

K n Km v v v v (3.13)

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42

3.2 Permeabilidade - Porosidade

A permeabilidade pode ser calculada conhecendo-se a distribuição de tamanho dos

poros, a distribuição de tamanho dos grãos e a área superficial interna. Destas

propriedades a distribuição de tamanho de grãos é a mais complexa a ser relacionada com

a permeabilidade [65]. Para a simulação de escoamento de um fluido não-newtoniano

através de meios porosos, é importante que se tenha um modelo para determinar a

permeabilidade que seja função de propriedades macroscópicas de fácil obtenção.

A porosidade é dada por /F , onde F representa a densidade mássica do

constituinte fluido na mistura (definida como a razão entre a massa do constituinte fluido

e a massa total de mistura) e representa densidade mássica do fluido (massa

específica), sob um ponto de vista de Mecânica do Contínuo.

Muitas pesquisas têm realizado esforços para estabelecer relações entre porosidade e

permeabilidade tanto para escoamentos de fluidos newtonianos quanto para escoamentos

de fluidos não-newtonianos através de meios porosos. Neste trabalho sugere-se uma

expressão, simples, mas eficaz, para relacionar a permeabilidade K com a porosidade φ.

O modelo proposto neste trabalho tem como objetivo simplificar o cálculo da

permeabilidade. A principal hipótese empregada é que a permeabilidade K depende

apenas da porosidade e de dois parâmetros denotados por a e b, sendo dada por

1

a

a

bK

(3.14)

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43

na qual os parâmetros a e b são positivos e dependentes da temperatura, e podem,

eventualmente, variar também com a pressão. Estes parâmetros refletem características

microscópicas da matriz porosa como por exemplo: a forma do poro e como os poros

estão distribuídos.

Uma interpretação física da equação (3.14), num contexto de Teoria de Misturas

pode ser obtida usando as equações constitutivas (3.15) à medida que a porosidade cresce

a permeabilidade cresce e a força de interação torna-se desprezível; enquanto a força de

interação cresce e a permeabilidade torna-se desprezível à medida que a porosidade

decresce, como explicitado a seguir

0 0

1 0

F

F

K

K

m

m (3.15)

Os parâmetros a e b podem ser facilmente obtidos de uma curva experimental K × φ.

Também é possível obter os valores das variáveis usando dois valores experimentais de

permeabilidade e porosidade (K1, φ1) e (K2, φ2). Para fazer o cálculo procede-se da

seguinte forma

1 21 2

1 21 1

a a

a a

b bK K

(3.16)

A partir da equação (3.16) é possível escrever

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44

1 1 2

2 1 2

1

1

a a

a a

K

K

(3.17)

O valor do parâmetro a será a raiz da função f (x) definida a seguir

1 1 2

2 1 2

1 1 2

2 1 2

1

1

10

1

x x

x x

a a

a a

Kf x

K

Kf a

K

(3.18)

Uma vez calculado o valor de a, é possível obter facilmente o valor de b usando uma

das relações proposta na equação (3.16). Empregando estas expressões também é possível

provar a existência de uma relação linear entre log (φ) e log(K).

3.3 Equação de Tait generalizada

O matemático e físico escocês Peter Guthrie Tait participou de uma expedição

científica onde conseguiu coletar dados que permitiram mais tarde postular a equação que

leva o seu nome. O resultado das observações de Tait permite fazer uma análise

comparativa da compressibilidade em gases, líquidos e sólidos para diferentes valores de

temperatura [66].

A equação de estado de Tait para fluidos compressíveis (ou equação de estado de

Murnaghan no contexto de um sólido elástico [67]–[69]) modela líquidos barotrópicos

como uma função que depende apenas da densidade e parâmetros relacionados à pressão.

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45

Esta equação apresenta um comportamento altamente não linear, envolvendo apenas

pressão e densidade como variáveis [70]

00

p p B B (3.19)

onde p e denotam a pressão e a densidade, respectivamente, 0p e 0 são a pressão

e a densidade num estado de referência e B e são parâmetros positivos.

A equação de Tait generalizada considera aspectos termodinâmicos como

comportamentos dissipativos e pequenas mudanças de temperatura em relação a uma

temperatura de referência. (Ao contrário dos itens anteriores deste capítulo, que

consideraram equações constututivas para um constituinte fluido de uma mistura binária

sólido-fluido, neste item apresenta-se uma equação num contexto de Mecânica do

Contínuo). Neste caso, os potenciais de energia livre de Helmholtz e de dissipação

devem ter a seguinte forma:

11 1( ) 1( , ) 1 ( )

1o

oo

p BB ; (3.20)

onde p0 e ρ0 são a pressão termodinâmica e a densidade no estado de referencia e B, γ e η

são parâmetros positivos. É necessário frisar que a equação a (2.20) é valida apenas para

pequenas mudanças de temperatura, ( 0 )

0

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46

Esta equação pode ser escrita em função da pressão termodinâmica a partir da equação

(2.37) obtendo-se desta forma a versão generalizada da equação de Tait [71] que será

usada neste trabalho

1

1/

( ) 1 ( )

1 ( )

o oo

oo o

p p B B

p B

p B

(3.21)

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47

Capítulo 4

4 Modelo Matemático Proposto

4.1 Modelagem do problema

Nos capítulos anteriores foram introduzidas as equações de balanço de massa e de

balanço de momento linear usando tanto a Teoria de Contínuo Clássica como a Teoria de

Misturas. Também foram postuladas as equações de primeira e segunda lei da

Termodinâmica para um contínuo. Contudo, apenas estas equações não são suficientes

para conseguir resolver os problemas propostos, por causa disto foram introduzidas

hipóteses constitutivas necessárias para conseguir modelar e consequentemente resolver

as equações que descrevem os problemas escolhidos. Neste capítulo serão melhor

descritos os problemas a serem resolvidos e ao mesmo tempo as equações básicas da

mecânica serão combinadas com equações constitutivas postuladas no capítulo anterior.

4.1.1 Modelagem para um fluido submetido a grande mudança de pressão

Nos capítulos anteriores foram apresentadas as equações da mecânica do contínuo e

as equações constitutivas que serão consideradas na análise do problema proposto. No

capítulo relativo a equações constitutivas observou-se a existência de uma relação entre

a porosidade e a permeabilidade. Contudo, existem casos onde dois materiais possuem a

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48

mesma porosidade, mas a permeabilidade pode ser muito diferente. Um desses casos é

representado na Figura 4.1, na qual os dois meios porosos possuem a mesma quantidade,

tamanho e distribuição de poros (representados pelos círculos) – portanto a mesma

porosidade, porém diferentes permeabilidades. Observa-se que na matriz da direita

existem trincas de volume desprezível e, portanto, o valor da porosidade não é alterado,

embora o escoamento de fluidos possa ser facilitado devido às fissuras que conectam os

poros.

Figura 4.1: Matrizes porosas com diferente permeabilidade

Nesta seção será analisada a possibilidade da criação de trincas numa matriz porosa

devido às mudanças de pressão do fluido contido nos poros. A variação de pressão será

resultado de pequenas mudanças de temperatura no fluido que é considerado

compressível.

A fim de simplificar o problema será considerada uma matriz porosa composta por

apenas um poro, como é mostrado na Figura 4.2, permitindo a utilização das equações da

mecânica do continuo clássica.

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49

Figura 4.2: Poro de um meio poroso

Anteriormente foi introduzido na segunda lei Termodinâmica o potencial de

dissipação (ϕ), permitindo escrever as equações da dissipação intrínseca d1 e da

dissipação térmica d2, dados pelas equações (2.30)-(2.32), possibilitando determinar que

d1=0 quando 0 . Lembrando que este termo representa a taxa de dissipação de

energia devido à compressibilidade sempre que ( )div v . Combinando o

princípio de conservação de massa com a equação (2.33), obtem-se a equação (2.34) que

pode ser empregada para qualquer processo possível. A pressão termodinâmica p é

modelada pela equação constitutiva (2.37), uma equação de estado para superfluidos

compressíveis, constutuída por um termo representando a parte reversível da pressão

termodinâmica e o outro sua parte irreversível.

Considerando os fluidos Pascalianos anterioremente definidos, o acoplamento

termomecâncico pode ser muito importante. Após a escolha adequada de expressões para

a energia livre ( ) e o potencial de dissipação (ϕ), as equações constitutivas (2.35)-

(2.38) combinadas aos princípios de conservação de massa, energia e momentum,

formam um conjunto completo de equações que descreven o escoamento do fluido.

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50

Alguns pontos relevantes sobre a equação de calor merecem ser melhor comentados,

o que será feito a seguir. A partir da definição da energia livre ( e s ) e da

dissipação intrínseca (d1), pode-se obter uma forma local alternativa para a primeira lei

da termodinâmica – o princípio da conservação de energia numa forma local, dada por

1= cdiv d thq (4.1)

sendo a definição na termodinâmica clássica do calor específico ( ) para processos

irreversíveis dada por

2

2 (4.2)

Por outro lado, o termo de acoplamento thc, que pode ser considerado como uma fonte

de calor na equação de energia, tem a seguinte forma

2

cth (4.3)

Os termos d1 e thc, são responsáveis pelo acoplamento termomecânico na equação de

energia, funcionando como fontes ou sumidouros na equação de energia, de acordo com

seu sinal. É necessário frisar que, o termo d1 é sempre não negativo enquanto o termo thc

pode ser positivo ou negativo durante um processo. Caso não exista acoplamento entre a

temperatura e a densidade, no potencial de energia livre, denotado por

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51

ˆ: ( , ) ( ) ( )m th (4.4)

onde m e th são as partes mecânica e térmica da equação da energia livre,

respectivamente; então o termo thc será nulo.

As definições anteriormente apresentadas possibilitam reescrever a equação da energia

postulada para este problema na forma local – que será denominada equação do calor,

esclarecendo o papel dos termos responsáveis pelo acoplamento termomecânico.

1( ( ))= cdiv k d th grad (4.5)

As hipóteses constitutivas propostas no capítulo 2, dada pelas equações (2.35)-(2.38),

formam um conjunto completo de equações constitutivas termodinamicamente

admissíveis. A seguir serão propostas condições suficientes para assegurar que a segunda

lei da Termodinâmica (equações (2.26)-(2.28)) será satisfeita para qualquer conjunto de

equações obtidas através da metodologia empregada neste trabalho, seja qual for o

processo.

É importante notar que a equação (2.32) explicita as duas condições suficientes para

garantir a validade das equações postuladas para a descrição do nosso problema

( , ) 0 ( , ) e ( , ) 00 .

A equação (2.32) está garantida pois o potencial ϕ é uma função convexa e

diferenciável de . Já o resultado clássico da análise convexa [72], [73], apresentado a

seguir, permite concluir que, para todos os processos, d1 ≥ 0.

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52

0, (4.6)

A fim de analisar o comportamento do fluido combinam-se as equações de balanço de

momento linear e a equação constitutiva do tensor tensão (2.36) com a equação (2.37),

obtendo-se a seguinte equação para o fluido

21grad bv (4.7)

onde b é a força de corpo externa aplicada sobre o fluido. Desta forma completa-se o

conjunto de equações necessárias para estudar o comportamento do fluido.

Neste ponto é necessário escolher expressões para os potenciais e ϕ, o qual será

feito a partir da equação de Tait generalizada [70]. No caso em análise, (fluido

compressível submetido a pequenas mudanças de temperatura), esta equação tem um

papel muito importante uma vez que com ela é possível considerar pequenas variações da

temperatura (θ) em relação a uma temperatura de referência (θ0). A equação foi

explicitada no capítulo anterior ((3.20)-(3.21)). Após a definição dos potenciais e ϕ,

eles serão substituídos na equação (2.27) para obter a expressão final que será usada para

calcular a pressão termodinâmica, dada pela equação (3.21).

4.1.2 Modelagem para o escoamento através do canal poroso

Um dos problemas analisados neste trabalho é o escoamento de um fluido não-

newtoniano através de uma matriz porosa. O fluido do tipo power-law é considerado

incompressível e o escoamento totalmente desenvolvido. Uma matriz porosa limitada por

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53

duas placas paralelas é saturada pelo fluido, obtendo-se desta forma uma fração

volumétrica igual à porosidade. Na vizinhança das placas paralelas a velocidade será

considerada igual a zero, recuperando-se desta forma as clássicas condições de não

deslizamento no contorno. O esquema do problema é apresentado na figura a seguir

Figura 4.3: Escoamento através de um canal poroso impermeável

Na Figura 4.3 observa-se que o canal com altura 2H está preenchido por um material

poroso, através do qual o fluido escoa.

Nos capítulos anteriores foram apresentadas as equações básicas de conservação

(balanço de massa e de movimento linear) empregando a Teoria de Misturas. Usando a

mesma metodologia foram também postuladas as equações constitutivas que serão

combinadas com as equações de conservação para resolver o problema. Vale a pena frisar

que a equação de conservação de movimento angular não foi postulada já que os tensores

parciais de tensão são supostos simétricos.

Considerando as hipóteses expostas acima obtém-se o modelo matemático que será

usado para analisar o problema.

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54

( ) 0FF F

t

v (4.8)

FF F F F F F

t

vv v m g (4.9)

onde F é a massa especifica do constituinte fluido, dada por F , sendo φ a

porosidade e a massa especifica do fluido (considerando um ponto de vista de

Mecânica do Contínuo). Além disso, Fv representa a velocidade do constituinte fluido e

F é o tensor parcial de tensões associado ao constituinte fluido, e 𝒎𝐹 representa uma

fonte de momentum que considera a força de interação entre o constituinte fluido o

constituinte sólido, que representa a matriz porosa [64] .

Neste ponto é necessário combinar as equações acima com as hipóteses constitutivas

para o tensor parcial de tensão (Eq. (3.12)) e a fonte de momentum (Eq. (3.13)) a fim de

construir o modelo matemático do problema, o que resulta no seguinte sistema de

equações.

0Fv (4.10)

22 ( ) 0

nnF F F F F Fp I D D D gv v (4.11)

0 em F y Hv (4.12)

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55

Na descrição do problema foi ressaltado que o escoamento é considerado laminar,

totalmente desenvolvido e, portanto, é possível desprezar os efeitos da força

gravitacional. Esta consideração permite escrever a velocidade do fluido da seguinte

forma F Fv iv , e o modulo da velocidade será F wv , e consequentemente o sistema

composto pelas equações (4.10) a (4.12) é expresso como segue

2 22

2 2

2 10

2

nn

n

dp n dw d ww w H y H

dx dy dy (4.13)

0 em yw H (4.14)

22

2 2

nn

n

dp d dw dww w

dx dy dy dy (4.15)

1

2 1

max

1 ndpw

dx (4.16)

onde wmax a velocidade máxima do fluido e dp/dx é a queda de pressão no canal.

Na análise de muitos problemas da engenharia são frequentemente usadas as equações

adimensionais. Para realizar este tipo análise no problema estudado é conveniente

introduzir os seguintes parâmetros

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56

* * * *

2 1max max /

n

x y w px y w p

H H w w H (4.17)

Na equação (4.17) os parâmetros 𝑥∗, 𝑦∗, 𝑤∗ e 𝑝∗ representam as componentes

adimensionais do comprimento do canal na direção x, do comprimento do canal na

direção y, da velocidade do fluido e a pressão adimensional respectivamente. Usando

estas variáveis a perda de pressão no canal poroso é expressa pela seguinte equação

adimensional

2* * * 2 2 2

* *

* 2 * * *

1/

1=

2

nn n

n

dp d dw dw Hw w

dx dy dy dy

(4.18)

* *0 em 1w y (4.19)

Na equação acima é possível definir um termo que caracteriza os efeitos combinados

da porosidade e da permeabilidade. Este termo será denominado como 1 ⁄ 𝜒, e para a sua

definição é necessário utilizar as expressões postuladas no capítulo 3, onde foram

introduzidos os parâmetros α e β. Desta forma 𝜒 é expresso por

2 12 21 4 3 1

2 1 3 6

n nnH n

K n K

(4.20)

Sendo a inversa desta equação dada por

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57

2 1 2 11

2 2 2 2

2 1 6 3 2 1 63

4 3 4 3

n nn nn

n n

K n K nK

n nH H

(4.21)

A equação da permeabilidade K (Eq. (3.14)) obtida no capítulo 3 pode ser combinada

com a equação (4.21) a fim de determinar uma expressão para o parâmetro 𝜒, em função

da porosidade e de outras propriedades tanto do fluido como do próprio canal.

2 1 1

2 2

3 2 1 6( )

4 31 1

nna a

n a a

b n b

nH (4.22)

A expressão do número adimensional 𝜒, apresentada anteriormente, foi postulada para

modelar o escoamento de um fluido newtoniano generalizado através de uma matriz

porosa. Note-se que para fluidos newtonianos (n=0) a expressão seria reduzida a uma

função do parâmetro , da altura do canal H e da permeabilidade K.

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58

Capítulo 5

5 Resultados

5.1 Fluido confinado em um poro

5.1.1 Resultados Analíticos

Nesta seção serão apresentados resultados obtidos a partir da modelagem matemática

postulada nos capítulos anteriores. Deve ser frisado que para o problema estudado supõe-

se um líquido compressível, barotrópico cuja massa específica é função da pressão.

Empregando a equação (3.21), podem ser levadas em conta pequenas variações de

temperatura a partir da temperatura de um estado de referência. Apesar dos parâmetros B

e γ dependerem da pressão, para os cálculos feitos foram empregadas as seguintes

aproximações para esses parâmetros presentes na equação de Tait [74]: 3B = 2.9 ×10 bar

e γ = 7.15.

A Tabela 5.1 mostra os valores da densidade e o módulo de compressibilidade da agua

para uma pressão de 1 atmosfera. Observa-se na tabela que a temperatura da água aumenta

de 10 em 10 graus Celsius (ºC) até os 100 ºC, o que provoca um decréscimo na densidade.

Já o módulo de compressibilidade tem um comportamento diferente, aumentando nas

primeiras cinco medições e diminuindo nas medições restantes.

O comportamento da densidade em relação à temperatura pode ser observado melhor

na Figura 5.1 e na Figura 5.2.

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59

Tabela 5.1: Variação das propriedades da agua

a pressão de 1 atm

Temperatura θ

(K)

Densidade ρ

(kg/m3)

Modulo de

Compressibilidade K

(bar)

283.15 (10ºC) 1000 19900

293.15 (20ºC) 998 22100

303.15 (30ºC) 996 22600

313.15 (40ºC) 992 22900

323.15 (50ºC) 988 22900

333.15 (60ºC) 983 22800

343.15 (70ºC) 978 22400

353.15 (80ºC) 972 22000

363.15 (90ºC) 965 21400

373.15 (100ºC) 958 20700

Figura 5.1: Variação da densidade com a temperatura

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60

Figura 5.2: Variação da densidade com a temperatura

As curvas acima, além de mostrar o comportamento de densidade em relação à

temperatura, permitem também identificar a importância do parâmetro η, usado na

equação (3.21). O valor deste parâmetro no problema analisado é η = 0.00065 K-1 uma

vez que a curva da Figura 5.2 pode ser aproximada pela equação linear

0 0( / ) 1 ( / ) . Para os cálculos feitos com esta equação foram usados os

parâmetros de referência 0 = 353.15K (80ºC) e 0 = 972 kg/m3. Deve ser ressaltado que

a curva tem um comportamento não linear, contudo, ela pode ser aproximada a

uma função linear para valores de temperatura (θ), próximos da temperatura de referência

( 0 ).

Note-se que na equação (3.21) os parâmetros 0 , 0 , η e γ foram definidos acima,

faltando apenas definir o valor de B. Este valor pode ser obtido experimentalmente a partir

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61

dos valores mostrados na Tabela 5.1, combinados com a definição do modulo de

compressibilidade K, postulado na equação a seguir.

10 0

0( ) 1 ( )

pK p B (5.1)

Desta forma, é possível obter B = 3075 bar, que é bastante aproximado ao valor

sugerido por Farhat et al. [74]. Deve ser ressaltado que os valores destes parâmetros são

suscetíveis a mudanças de pressão, portanto é recomendado o uso de corretores médios

de valores para pressões muito elevadas. Na Tabela 5.1, encontra-se o valor sugerido para

o parâmetro B que deve ser usado quando o fluido está sob pressões acima de 100 bar.

Tabela 5.2: Parametros materiais médios sugeridospara pressões acima de 100 bar

B (bar) (K-1)

32.9 ×10 Entre 5 e 6 -46.5 ×10

Uma vez que todos os parâmetros da equação (3.21) estejam definidos será possível

obter resultados analíticos da pressão para alguns valores limites do parâmetro γ. Para os

cálculos foi suposto que ρ/ 0 ≈ 1. Esta aproximação está desprezando variações da

densidade da água, mesmo para pressões muito altas. Baseado nestas hipóteses foram

plotadas as curvas apresentadas na próxima seção.

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62

5.1.2 Resultados experimentais

Ensaios hidrostáticos de longa duração foram feitos a fim de observar o

comportamento da densidade da água e da pressão quando o fluido é submetido a

pequenas mudanças de temperatura. Estes ensaios foram feitos usando o sistema Flutrol

FLUASF100-MS7, conectado a um compressor Schulz de 7,5 kW. A precisão do

transdutor de pressão (tanto o erro estático quanto o de banda) é de 0.5 bar. O corpo de

prova usado para estes experimentos foi feito a partir de um tubo de aço Schedule 80 API

5L, grau B de 2” (50.8 mm) de diâmetro, ao qual foi enroscado um sistema de controle

de temperatura e pressão em uma das extremidades. O tubo e os controles de temperatura

do líquido e de pressão no interior do tubo são feitos pelo dispositivo mostrado na Figura

5.3. O sistema de controle é composto pela resistência elétrica, um termopar do tipo J

com precisão de ±0, 75% × temp (K) . A resistência elétrica enroscada a uma

extremidade do cilindro (corpo de prova) está conectada tanto ao pressurizador de água

quanto ao termostato, como mostrado na Figura 5.4, na qual o número 1 indica o

pressurizador de água, número 2 o termostato e o número 3 a resistência elétrica.

Figura 5.3: Tubo e sistema de controle de temperatura é pressão

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63

Figura 5.4: Detalhes do sistema de controle

A resistência elétrica é ligada a uma extremidade do corpo de prova e é conectada ao

compressor de água e ao termostato. A massa de fluido no interior do corpo de prova é

constante (o duto permanece firmemente fechado) e a variação de volume do cilindro é

muito pequena (a deformação do tubo é desprezível). Tanto a pressão quanto a

temperatura são registradas simultaneamente. A máquina usada nos ensaios é mostrada

na Figura 5.5.

Figura 5.5: Máquina usada para controlar a temperatura e pressão

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64

Para iniciar o experimento coloca-se água no interior do tubo e enrosca-se na

extremidade do duto o sistema de controle de temperatura e pressão. A linha de pressão

e o fio que conduz a energia elétrica são conectados à máquina a qual foi previamente

programada para permitir uma variação de temperatura de até 6 K. O dispositivo de

controle é monitorado por um computador que registra a temperatura e a pressão a cada

segundo. Com os dados obtidos a partir destes experimentos é possível plotar as curvas

de variação de temperatura e pressão com o tempo, que são mostradas a seguir.

Figura 5.6: (a) Variação da pressão no tempo. (b) Variação da

temperatura no tempo

Empregando os dados obtidos da forma descrita anteriormente foi plotado o gráfico

mostrado a seguir. Nesta figura observa-se com maior detalhe a evolução da temperatura

e da pressão com o tempo. A importância deste gráfico deve-se principalmente ao fato de

que nele é mostranda a variação dos três parâmetros (t, p e θ).

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65

Figura 5.7: Evolução da pressão e da temperatura no tempo

5.1.3 Comparação de resultados

A fim de testar a precisão do modelo proposto nas seções anteriores será feita uma

comparação entre os resultados analíticos e os resultados experimentais, provando-se

desta forma que as hipóteses feitas têm sentido físico e fornecem a informação necessária

para aplicações em problemas de Engenharia.

No desenvolvimento do modelo matemático proposto neste trabalho supõe-se que a

variação da densidade é desprezível, em outras palavras, a razão entre a densidade a uma

determinada temperatura e a densidade referência é aproximadamente igual a 1

t(s)

θ(K)

P(Bar)

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66

0 1 . Esta hipótese pode ser validada a partir dos valores de pressão registrados

nos ensaios e as equações de mecânica dos sólidos apresentadas a seguir.

Para uma determinada temperatura a relação 0 pode ser resumida a uma relação

de volumes internos em relação à pressão

0

0

( )

( )

V p

V p (5.2)

No caso de corpos cilíndricos com raio interno a, raio externo b e comprimento L, o

volume pode ser aproximado pela seguinte expressão.

2( ) ( )V a R L L (5.3)

Sendo ∆R a variação do raio interno e ∆L a variação de cumprimento para uma

determinada pressão. Supondo que o cilindro deforma elasticamente, o tensor de tensão

é dado por

rr rrp rˆ ( ) (5.4)

p rˆ ( ) (5.5)

zz zzp ˆ (5.6)

com

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67

rra b

rb a r

2 2

2 2 2ˆ ( ) 1 (5.7)

a br

b a r

2 2

2 2 2ˆ ( ) 1 (5.8)

zza

b a

2

2 2ˆ (5.9)

As expressões (5.7) - (5.9) podem ser combinadas com as equações de deformação a

seguir

rzz rr

u 1

r E[ ] (5.10)

zzz zz rr

u 1

z E[ ] (5.11)

onde E é o módulo de Young e o coeficiente de Poisson. Estas equações possibilitam

postular as equações de variação de raio interno e de comprimento em função da pressão

p.

zz rrpa

ˆ ˆ ˆR p a a aE

( ) [ ( ) ( ) ( )] (5.12)

zz rrLˆ ˆ ˆL p a a a

E( ) [ ( ) ( ) + ( )] (5.13)

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68

Com isto a equação (5.2) pode ser reescrita como

20 0 0

20

( ) ( ( )) ( ( ))

( ) ( ( )) ( ( ))

V p R R p L L p

V p R R p L L p (5.14)

Uma vez conhecidos o módulo de Young e o coeficiente de Poisson do material que

contém o líquido, no caso estudado aço API 5L grado B, com 50.8 mm (2”) de diâmetro

e 5.54 mm de espessura, é possível plotar a curva 0(ρ / ρ )× p através do tempo. As

propriedades do tubo de aço usado no experimento são E=182 GPa, 0.3

Figura 5.8: Variação da densidade no tempo

Observa-se, no gráfico acima, que a hipótese que permite desprezar a variação de

densidade é aceitável.

Os seguintes gráficos permitem validar o modelo teórico proposto nas seções

anteriores. Para facilitar a comparação dos resultados foram plotadas as curvas obtidas

tanto pelo método experimental quanto pelo modelo teórico proposto. Os valores das

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69

variáveis teóricas usadas para plotar as figuras apresentadas a seguir foram:

3B = 2.9 × 10 , -4η = 6.5× 10 para o gráfico da esquerda γ = 5 e para o gráfico da direita

γ = 6

Figura 5.9: Comparação dos resultados teoricos e experimentais da pressão

Nestes gráficos é possível observar que os resultados analíticos são bastante próximos

aos resultados obtidos experimentalmente. Como é de esperar existe uma pequena

divergência que poderia ser resultado das hipóteses simplificadoras. Mesmo assim, os

resultados mostram que o modelo é valido podendo ser de muita utilidade em aplicações

de engenharia.

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70

5.2 Fluido escoando através de um meio poroso

5.2.1 Permeabilidade e porosidade

Nos capítulos anteriores foram postuladas equações referentes a permeabilidade e

porosidade que podem representar uma solução rápida e eficiente para a solução do

problema apresentado neste trabalho. Do mesmo modo, foi ressaltada a necessidade da

introdução de equações constitutivas requeridas para resolver o problema proposto neste

trabalho.

Neste ponto são apresentados os resultados obtidos principalmente a partir das

equações (3.14) a (3.18), que modelam o comportamento da permeabilidade e da

porosidade. Para os cálculos foram usados valores de referência. A escolha destes valores

foi baseado no fato de que no Litoral do Golfo nos Estados Unidos a variação da

porosidade está entre 10% e 30% e que algumas bacias do interior podem apresentar

porosidades entre 5 e 15% [75]. Portanto, serão usados os seguintes valores bastante

razoáveis: ϕ1=0.2, ϕ2=0.3, K1=1000μD e K2=10000μD.

A partir dos valores de referência e as equações indicadas anteriormente é possível

obter dados importantes para continuar com os cálculos requeridos na solução do

problema. No caso particular mencionado anteriormente, empregando as equações (3.16)

e (3.17) obtem-se: a=5.68 e b=9334759 μD. O valor de a, é igual ao valor da raiz da

equação (3.18), cujo comportamento pode ser observado na Figura 5.10, que mostra a

identificação do parâmetro a.

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71

Figura 5.10: Identificação do parametro a

Figura 5.11: Permeabilidade versus porosidade

Na Figura 5.11 observa-se o comportamento da permeabilidade em função da

porosidade. As tendências de permeabilidade e porosidade sâo observadas na Figura

5.11(a), enquanto na Figura 5.11(b) o gráfico log-log associado é apresentado. Nota-se

que, como era previsto, quanto maior o valor da porosidade maior o valor da

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72

permeabilidade. Outro ponto importante é que para valores pequenos de porosidade a

permeabilidade é próxima de zero, ou seja, quando a permeabilidade é muito baixa

qualquer fluido estará praticamente impedido de escoar através da matriz porosa.

A fim de validar o modelo proposto que relaciona a porosidade com a permeabilidade

serão comparadas a seguir curvas de permeabilidade versus porosidade, obtidas a partir

do modelo proposto neste trabalho com curvas obtidas a partir da extensão da equação de

Kozeny-Carman proposta por Henderson et. al. [47] para meios porosos analisados com

geometria fractal e alguns dados experimentais encontrados na literatura. A equação de

Kozeny-Carman é uma relação tradicional entre permeabilidade e porosidade muito

utilizada em escoamentos em meios porosos. Henderson et. al. [47] deduziram uma

equação de Kozeny-Carman a três parâmetros a partir da estrutura fractal, capaz de

generalizar diversos modelos analíticos.

A comparação foi feita para varios materiais, os primeiros casos apresentados são os

da fibra de vidro e o arenito de Berea (Berea sandstone em ingles). O arenito de Berea é

um material poroso composto por quarzo e sílica encontrado em reservatórios de petróleo

no estado de Ohio nos Estados Unidos [76]. Na Figura 5.12 são apresentadas as curvas

de permeabilidade contra porosidade para o arenito de Berea. Os parâmetros a e b

presentes nas equações (3.14) a (3.18) foram calculados como foi explicado

anteriormente e os valores obtidos neste caso foram a=1.01266, b= 0.00907613 μm2. A

curva obtida pelo modelo proposto neste trabalho esta próxima dos resultados

experimentais representados por pontos na Figura 5.12, além disso, a curva também

apresenta um comportamento similar ao mostrado pelo resultado obtido a partir do

modelo postulado por Henderson et al. [47]. Apesar da pequena divergência observada

nas curvas, os resultados apresentam boa precisão.

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73

Uma comparação similar à mostrada anteriormente foi feita considerando fibra de

vidro. Neste caso, para obter os resultados a partir do modelo proposto foram usados os

parâmetros a=1.19833 e b=0.118249 μm2 e obsevou-se que a permeabilidade aumenta

de forma exponencial com o incremento da porosidade tanto no modelo usado para

compração [47], quanto no modelo proposto neste trabalho e que ambas as curvas de

porosidade versus permeabilidade obtidas para a fibra de vidro apresentam boa

concordância com os resultados experimentais obtidos por Rodriguez et al. [44].

Figura 5.12: Permeabilidade vs. Porosidade do arenito de Berea. Resultados obtidos

com o modelo postulado por Henderson et. al. [47], resultados experimentais obtidos

por David et. al. [77] e o modelo proposto.

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74

Figura 5.13: Permeabilidade vs. Porosidade da fibra de vidro randômica. Resultados

obtidos com modelo postulado por Henderson et al. [47], resultados experimentais

obtidos por Rodriguez et al. [44] e o modelo proposto.

Os cálculos descritos anteriormente foram feitos também para esteiras de fibra de vidro

bidirecional e esteiras de fibra de vidro costuradas. A principal diferença entre estas

esteiras é a maneira em que os fios de fibra de vidro são tramados para construir a forma

desejada. A Figura 5.14 mostra como estas como esteiras são tecidas. Do lado esquerdo

observa-se a esteira de fibra de vidro costurada, neste caso empregas-se um fio de nylon

para unir as fitas de fibra de vidro. Do lado direito é mostrada a esteira de fibra de vidro

bidirecional. Esta esteira é fabricada com fitas de fibra de vidro entrelaçadas em duas

direções.

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75

(a) (b)

Figura 5.14: Esteiras de fibra de vidro: (a) esteira costurada.

(b) esteira bidirecional [78]

Os resultados para os casos mencionados anteriormente são apresentados na Figura

5.15 e na Figura 5.16 respectivamente. Nas curvas obtidas no gráfico de permeabilidade

contra a porosidade para a fribra de vidro bidirecional não é possível observar uma

divergência entre os resultados teóricos e os obtidos com o modelo proposto, o modelo

de Henderson et al. [47] e os pontos experimentais. Nota-se que ambas as curvas (curva

do modelo proposto e do modelo de Henderson et al.) crescem exponencialmente à

medida que aumenta o valor da porosidade. Os parâmetros usados para obter os resultados

numéricos calculados usando o modelo proposto foram os seguites a=10.1406,

b=70.6487 μm2.

Na análise para esteiras de fibra de vidro costuradas foram obtidos os seguintes valores

para os parâmetros numéricos da equação postulada neste trabalho foram, a=9.21362 e

b=46.9601 μm2.

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76

Figura 5.15: Permeabilidade vs. Porosidade da fibra de vidro bidirecional. Resultados

obtidos com modelo postulado por Henderson et al. [47], resultados experimentais

obtidos por Yu e Lee [79] e o modelo proposto.

Figura 5.16: Permeabilidade vs. Porosidade da esteira de fribra de vidro costurada.

Resultados experimentais obtidos por Shih e Lee [78] e o modelo proposto.

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77

O gráfico apresentado a seguir, o ultimo usado para verficar o modelo proposto, foi

comparado com os resultados analíticos de Henderson et al. [47] e os resultados

experimentais obtidos por Doyen. P. M. [80]. O material testado neste caso foi o arenito

de Fontainebleau, este material é composto por um grão muito fino de quarzo bem

organizado e pode ser encontrado na França a uma profundidade de até 100 metros [81].

As curvas que relacionam a permeabilidade e a porosidade do arenito de Fontainebleau

são apresentadas na Figura 5.17. Observa-se neste caso, que é analisado apenas para

baixas porosidades, que a curva obtida empregando o modelo proposto não apresenta uma

diferença apreciável comparada com os resulados experimentais obtidos por Doyen [80].

Observando-se as curvas obtidas pelos modelos analíticos propostos neste trabalho é no

de Henderson e colaboradores [47], verifica-se que os resultados são muito próximos para

os valores de porosidade analisados. Como o arenito de Fontainebleau tem um grão muito

fino sempre terá uma porosidade muito baixa. Os parâmetros obtidos para calcular os

valores numéricos da permeabilidade foram a=0.581305 e b=0.0080932 μm2.

Figura 5.17: Permeabilidade vs. Porosidade do arenito de Fontainebleau. Resultados

experimentais obtidos por Doyem [80], resultados obtidos com modelo postulado por

Henderson e. al. [47] e o modelo proposto.

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78

A partir das equações adimensionalisadas para o parâmetro 𝜒, apresentado no capítulo

anterior, obtiveram-se as seguintes curvas para diferentes índices power-law. No gráfico

da Figura 5.18 é possível observar que o valor do número adimensional 𝜒, cresce com

aumento da permeabilidade. Para os cálculos foi considerada uma altura de canal H=1,

porosidade ϕ=0.5 e foram usados valores do índice de power-law entre n=-0.4 e n=0.5.

Observa-se que as curvas crescem com o aumento da permeabilidade e que o valor

máximo que elas atingem depende do índice de pawer-law usado. Esse comportamento

pode ser resultado da dificuldade que os fluidos pseudoplásticos têm para escoar, mesmo

em dutos sem materiais porosos, como foi mostrado por Martins-Costa et al. [62].

Figura 5.18: Variação de 𝜒 com a permeabilidade, para diferentes indices de power-law.

O modelo proposto é definido no sistema formado pelas equações (4.13) a (4.16), que

descrevem o escoamento analisado neste trabalho, estas equações representam um

problema de valor de contorno. A aproximação numérica do sistema será feita

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79

transformando-se, inicialmente, o problema de valor de contorno em um problema de

valor inicial. Isto permitirá empregar o método numérico selecionado, que neste trabalho

foi o método de Runge-Kutta de quarta ordem [82]. Por conveniência, são introduzidas

as seguintes variáveis, para tratar o problema expresso pelas equações (4.13)-(4.14):

1z w (5.15)

2d

dz

y

w

(5.16)

Desta forma o problema pode ser reescrito da seguinte forma

222

2

d 2 d

d 2 1 d

nnz p

zy n x

(5.17)

12

d

d

zz

y

(5.18)

1 1(y ) 0 e (y ) 0z H z H (5.19)

Embora o sistema que descreve o problema tenha sido simplificado, ele continua sendo

um problema de valor de contorno. Requerer-se então o cálculo da derivada da velocidade

e para isto será empregado o método do Tiro. A aproximação é feita pelo cálculo da raiz

da função escalar 1: ; ,R R t z y H t para todo 𝑡 ∈ R, que

representa uma estimativa inicial. A solução do seguinte problema de valor inicial

fornecerá o valor da derivada da velocidade 1z no ponto inicial

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80

222

2

d 2 d em

d 2 1 d

nnz p

z H y Hy n x

(5.20)

12

d em

d

zz H y H

y (5.21)

1 0 em y=z H (5.22)

2 em y=z t H (5.23)

O procedimento de iteração, descrito anteriormente, é usado para estimar o valor t, que

no caso analisado representa o valor da derivada da velocidade no ponto inicial, é

conhecido como o método do tiro. Como era necessário um método incondicionalmente

convergente para o cálculo do valor da raiz da função Φ, neste problema foi usado o

método da bisseção [83] e o cálculo da velocidade foi feito pelo método de Runge-Kutta

de quarta de ordem [82]. É necessário frisar que o procedimento de mudança de variáveis

descrito é adequado apenas se 𝑧2 ≠ 0. No caso do problema em questão, 2 0z em

0y , porém o valor da velocidade pode ser calculado analiticamente.

A fim de ter uma estimativa do valor da raiz 𝑧2, foi feita uma análise do

comportamento da função Φ. Esta análise possibilitou observar a forma não linear da

função, característica que era esperada devido à forma das equações que descrevem o

problema, e, ao mesmo tempo, obter o intervalo de valores onde o método da bisseção

será usado. As figuras 5.19, 5.20, 5.21, 5.22, 5.23 e 5.24 mostram as curvas da derivada

da velocidade do escoamento do fluido power-law considerado através da matriz porosa

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81

saturada. Nestas curvas é possível notar que para valores negativos do índice power-law,

o valor da raiz é próximo de zero e que o valor da raiz cresce quando o valor de n aumenta.

As curvas obtidas fornecem informação valiosa não apenas para determinar o intervalo

que será usado para calcular a raiz da função mas, também para ter uma estimativa da

ordem de grandeza do passo (Δ𝑦), que deve ser usado na aplicação do método da bisseção

em cada caso. Por exemplo para valores de 𝑛 ≥ 0,2 o calculo da raiz requer um valor de

Δ𝑦 muito baixo uma vez que as curvas da derivada aproximam-se a pontos de sela. Este

comportamento dificultaria a obtenção das raízes da função Φ, se o método numérico

implementado não fosse incondicionalmente convergente.

Figura 5.19: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =−0.2

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82

Figura 5.20: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =−0.1

Figura 5.21: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =0.1

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83

Figura 5.22: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =0.2

Figura 5.23: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =0.3

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Figura 5.24: Derivada da Velocidade no contorno do canal poroso n =0.4

Uma vez determinadas as condições de contorno necessárias para a solução do

problema descrito pelas equações (5.17) a (5.19), é possível utilizar um método numérico

(no caso o método Runge-Kutta de quarta ordem), para calcular a aproximação numérica

da velocidade do fluido escoando através do meio poroso. Os cálculos foram feitos

empregando os seguintes parâmetros: dp/dx=10-2 Pa/m, 𝜂 = 10−3 Pa.sn, 𝜑 = 0.5,

1 , = 0.5 × 10−3 Pa.sn e K= 10−3. 𝑚−2. Os resultados obtidos permitiram

plotar os perfis de velocidade mostrados nas figuras 5.25 e 5.26. Na primeira figura foram

plotados os perfis de velocidade calculados usando o parâmetro 𝑛 ≤ 0 enquanto a

segunda mostra os perfis de velocidade (w), para 𝑛 ≥ 0. Em ambos os casos as curvas

que representam as velocidades do fluido no canal tendem a um perfil “achatado” e o

valor máximo de w se aproxima de zero à medida que o valor de n diminui. O

comportamento destas curvas pode ser resultado de duas características do escoamento;

em primeiro lugar a presença da matriz porosa, que dificulta o escoamento do fluido, e

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em segundo lugar as características do fluido não-newtoniano considerado que muda suas

propriedades segundo o valor do parâmetro n, sendo que quando n < 0, o fluido apresenta

características pseudoplástico e quando n > 0, o fluido se comporta como dilatante.

Figura 5.25: Perfil de Velocidade do Escoamento através do canal poroso para

valores de n ≤ 0

Figura 5.26: Perfil de Velocidade do Escoamento através do canal poroso para

valores de n ≥ 0

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No capítulo anterior foram apresentadas as equações que descrevem o comportamento

do fluido escoando através um canal poroso. Apesar deste problema não apresentar

solução analítica, é possível apenas para calcular o valor da velocidade máxima (𝑤𝑚𝑎𝑥)

que é expressa por

maxd

d

1

2n+11 pw =

α x (5.24)

A partir desta equação pode ser plotada a curva da variação da velocidade máxima

contra o índice power-law, apresentada a seguir. Nota-se que o valor da velocidade

máxima aumenta exponencialmente enquanto n cresce. Observa-se também que para

valores de n menores que zero a velocidade é muito baixa, atingindo valores próximos de

zero quando 𝑛 < −0.1.

Figura 5.27: Variação da velocidade máxima com o indice power-law

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87

Para o problema analisado neste trabalho o tensor parcial de tensões, para o

constituinte fluido, definido na equação (3.12) tem a seguinte forma

F

-pφ τ 0

σ = τ -pφ 0

0 0 -pφ

(5.25)

onde a tensão de cisalhamento pode ser expressa como

2n+1

n

η dwτ =

dy2 (5.26)

A partir da equação anterior é possível obter as curvas τ× dw / dy , considerando

diferentes valores do índice power-law, como mostra a Figura 5.28. O comportamento

das curvas muda com o incremento da taxa de deformação ( dw / dy = γ ) e do valor de

n. Observa-se por exemplo, que para valores de n > 0 e taxas de deformação pequenas os

valores da tensão de cisalhamento são menores que para fluidos newtonianos (n = 0). O

contrário é observado para valores de n < 0, nestes casos os valores da tensão de

cisalhamento são maiores que para o fluido newtoniano. Nota-se também na figura que

as curvas tendem a -3= 1× 10τ , quando dw / dy = 1 . A partir deste ponto, à medida

que a taxa de deformação cresce a tensão de cisalhamento tem um comportamento inverso

ao mostrado para baixos valores de γ . Outra característica das curvas da Figura 5.28 é

que os fluidos com n < 0, precisam de uma pressão maior para escoar através da matriz

porosa. Nota-se que para pequenos valores da taxa deformação dw / dy = γ( ) o valor da

tensão de cisalhamento tende à infinito se n < 0 e a zero se n > 0.

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88

Figura 5.28: Curvas de Tensão cisalhante em uma dimensão versus taxa de

deformação cisalhante para diferentes valores de n

O cálculo da velocidade adimensional para o fluido escoando através do canal plano

apresentado na Figura 4.3 foi feito a partir da equação postulada nas seções anteriores

sendo apresentada novamente na equação (5.27).

ww =

w

*

max

(5.27)

Esta expressão permite obter os valores numéricos para plotar os perfis de velocidade

adimensional do constituinte fluido na mistura. Os resultados numéricos da velocidade

foram obtidos para diferentes valores do índice power-law, considerando os seguintes

parâmetros presentes nas equações que descrevem o problema: dp/dx=10-2 Pa/m,

η = 10 3 . nPa s , 𝜑 = 0.5, 1 , 30.5 10 . nPa s e 3 210 .K m . As

curvas mostradas na Figura 5.29 e a Figura 5.30 representam os perfis de velocidade

adimensional do fluido para 𝑛 < 0 e 𝑛 > 0, respectivamente. Observa-se que todas estas

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curvas apresentam uma forma plana ou “achatada”, e este comportamento fica ainda mais

definido para valores de n pequenos. Esta característica, como foi comentado

anteriormente, é causada principalmente pela resistência oferecida pelo meio poroso ao

movimento do fluido. Contudo, as propriedades do fluido têm um papel fundamental nas

curvas apresentadas. Note-se, por exemplo, que nos perfis de velocidade obtidos com

valores do índice power-law negativos (Figura 5.29) as velocidades são praticamente

constantes ao longo do canal, apresentando uma pequena variação nas vizinhanças do

contorno, o suficiente apenas para satisfazer a condição de não deslizamento.

Figura 5.29: Perfil de Velocidade Adimensional através do canal poroso para valores

de n ≤ 0

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Figura 5.30: Perfil de Velocidade Adimensional através do canal poroso para valores

de n ≥ 0

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91

Capitulo 6

6 Conclusões e sugestões

Como foi observado ao longo deste trabalho, dois problemas foram analisados de

forma independente. Um deles empregando uma abordagem de Mecânica do Continuo

Classica e o outro empregando a Teoria de Misturas. Neste capítulo serão apresentadas

as principais conclusões obtidas a partir dos estudos feitos e para um melhor entendimento

elas serão apresentadas de forma similar ao feito nos capítulos anteriores. Primeiro serão

apresentadas as conclusões para o problema do fluido confinado em um poro e

seguidamente as conclusões para o escoamento do fluido newtoniano generalizado

através de uma matriz porosa.

6.1 Fluido confinado em um poro

Um dos problemas propostos neste trabalho foi motivado pela necessidade que existe

em diferentes áreas da indústria, especialmente na indústria do petróleo, de provocar

fraturas no material poroso. Neste trabalho foi modelado um fluido confinado em um poro

fechado e foram postuladas equações de balanço de massa, balanço de momentum linear,

a primeira e a segunda lei da Termodinâmica, numa abordagem de Mecânica do Contínuo.

Estas equações foram combinadas com uma generalização da equação de Tait proposta

neste trabalho para permitir a resolução numérica de um problema no qual um fluido

pascaliano está sujeito a altas pressões e uma pequena variação de temperatura. Também

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92

foi comprovado, empregando a Segunda Lei da Termodinamica, em que tipos de

processos este modelo é valido. É necessário frisar que a pressão no interior do tubo pode

gerar variações de volume, sendo a variação de densidade da agua através do tempo

estimada através da Mecânica dos Sólidos Elásticos, verificando-se uma variação

desprezível de densidade. Experimentalmente foi empregado um tubo fechado,

preenchido com água para modelar um poro fechado. O controle da temperatura foi feito

com ajuda de uma resistência elétrica e um termopar, enquanto a pressão foi controlada

por um compressor e uma máquina usada especialmente para ensaios hidrostáticos.

Os resultados obtidos tanto teoricamente quanto experimentalmente permitem

observar que o modelo analítico proposto pode fornecer informações importantes para

solução de problemas de fratura hidráulica. Com isto é provado que existe uma alternativa

para minimizar o uso de produtos químicos em processos de fratura hidráulica, o que

poderia diminuir a poluição de fontes de agua subterrânea proximas lugares de extração

de gas natural.

6.2 Fluido escoando através de um meio poroso

Para o estudo do problema de um fluido newtoniano generalizado escoando através de

um canal poroso limitado por duas placas planas foi empregada uma abordagem de Teoria

de Misturas. Baseado nesta teoria foram postuladas as equações básicas da mecânica

(Balanço de Massa, Balanço de Momentum Linear, Primeria e Segunda leis da

Termodinâmica). Posteriormente foram empregadas algumas hipóteses constitutivas que

permitem levar em conta a interação entre o fluido e o meio poroso. Ainda neste trabalho,

foi postulada uma equação que relaciona a permeabilidade e a porosidade da matriz

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porosa que depende apenas de dois parâmetros escalares que podem ser calculados

facilmente a partir de alguns dados experimentais.

Os resultados obtidos a partir da expressão proposta para relacionar a permeabilidade

e porosidade foram comparados com resultados obtidos na bibliografia observando-se

boa concordância entre eles. A partir das equações diferenciais que modelam o

escoamento foram determinados os perfis de velocidade do fluido escoando através da

matriz porosa. Para fazer a aproximação numérica foi necessário empregar o método de

Runge-Kutta de quarta ordem combinado com o método do tiro. Os resultados obtidos

neste trabalho mostram que a metodologia proposta fornece informações validas e

importantes para a solução de problemas práticos, além de ter baixo custo computacional

e ser de fácil aplicação.

6.3 Trabalhos futuros

A seguir apresentam-se algumas sugestões uteis para dar continuação ao

desenvolvimento de trabalhos futuros:

Projetar um experimento de longa duração que possibilite a completa validação

do modelo apresentado para água liquida submetida a pequenas mudanças

de temperatura.

Testar experimentalmente a equação de Tait generalizada, proposta neste

trabalho, usando um material poroso.

Empregar a teoria de misturas no escomanto através de uma matriz porosa para

investigar os efeitos de um gradiente de temperatura devido à dissipação

viscosa.

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Analisar um fluido escoando em um meio poroso considerando transferência

de calor.

Empregar métodos numéricos alternativos para obter a aproximação da solução

dos problemas.

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95

Capitulo 7

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