MÓDULO
10
ENSINO MÉDIO
PUERI DOMUS
Saber fazerSaber fazer +
MATEMÁTICA
Saber fazerGeometria analítica
1. Determine as coordenadas dos pontos da figura.
2. Sendo A (2, 2), B (4, 6) e C (7, 3) vértices de um triân-gulo, determine qual dos ângulos internos desse triângulo tem a menor medida.
3. (UFMA-MA) Determine todos os pontos P(x, y) equi-distantes dos eixos coordenados cuja distância ao ponto (0, 0) é 4.
4. Determine o ponto P da reta de equação y = x + 2 que dista 3 2 de A (4, 0).
5. Determine os coeficientes angulares das retas r e s da figura.
s
75°150°
r
y
x
6. (PUC-MG) No sistema cartesiano da figura, a reta r divide o triângulo maior em dois triângulos menores de mesma área. Então, o valor do coeficiente angular de r é:
a) 0,50b) 0,75c) 1,00d) 1,25
7. (Unisa-SP) A equação da reta que passa pelo ponto A(– 3, 4) e cujo coeficiente angular é 1
2é:
a) x + 2y + 11 = 0b) x – y + 11 = 0c) 2x – y + 10 = 0d) x – 2y + 11 = 0e) 2x – y – 10 = 0
8. (UEPA-PA) O comandante de um barco resolveu acom-panhar a procissão fluvial do Círio, fazendo o percurso em linha reta. Para tanto, fez uso do sistema de eixos cartesianos para melhor orientação. O barco seguiu a direção que forma 45° com o sentido positivo do eixo x, passando pelo ponto de coordenadas (3, 5). Este trajeto ficou bem definido através da equação:a) y = 2 x – 1b) y = – 3x + 14c) y = x + 2d) y = – x + 8e) y = 3x – 4
9. (Unifor-CE) Se B (0, 3) e C (2, 1), então a equação da reta é:a) 2x + y + 3 = 0b) 2x + y – 3 = 0c) x – y + 3 = 0d) x + y – 3 = 0e) x – 2y – 3 = 0
10. A equação da reta r paralela à reta determinada pelos pontos P (3, 0) e Q (–2, 3), passando pela origem é:a) y = – x
b) y x= 2
3
c) y x=
3
d) y x= −
3
e) y x= − 3
5
11. (Ufop-MG) Em um sistema de coordenadas cartesia-nas, localizam-se o ponto P(3, 4) e a reta r de equação x + y – 3 = 0. Seja Q o ponto de r cuja abscissa é o dobro da ordenada.
A distância de P até Q é:a) 10
b) 10
c) 4
d) 2 2
12. Determine o coeficiente angular da reta r com equações
paramétricas x ty t
= −= −
3 12 5
.
13. (UFRGS-RS) Um ponto P (x, y) descreve uma trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instan-te t (t > 0) dada pelas equações:
x ty t
== −
23 2
A distância percorrida pelo ponto P (x, y), para 0 ≤ t ≤ 3, é: a) 2
b) 3
c) 13
d) 3 13
e) 61
14. (UERGS-RS) As retas s: x + ay = 3 e t: 4x – 2y + 5 = 0 são paralelas, então o valor de a é:a) 2b) 1,5c) 0,5d) – 0,2e) – 0,5
15. (Unifor-CE) As retas de equações e são perpendiculares entre si. É ver-dade que k é igual a:
16. Para quais valores de k a reta (r) x + 2y + 3 = 0 inter-cepta o segmento AB , sendo A (1, 1) e B (3, k)?
17. Determine a equação reduzida da circunferência de centro da figura:
18. Calcule k para que a reta 3x + 4y + k = 0 esteja locali-zada a três unidades do ponto P (5, 2).
19. (UFRGS-RS) Um círculo contido no 1o quadrante tan-
gencia o eixo das ordenadas e a reta de equa-
ção . O centro desse círculo pertence à reta
de equação:a) x – y = 0b) 2x – y = 0c) 2x + y = 0d) 3x – 2y = 0e) x – 2y = 0
20. (PUCCamp-SP) São dadas a reta r, de equação ,
e a circunferência l, de equação x2 + y2 – 4x = 0. O centro de l e as intersecções de r e l determinam um triângulo cuja área é:a)
b) 3
c)
d) 6
e)
21. (Fuvest-SP) A reta y = mx (m > 0) é tangente à circun-ferência (x – 4)2 + y2 = 4. O seno do ângulo que a reta forma com o eixo x é igual a:
22. Sendo A (1, 0) e B (5, 0), determine o ponto P de máxima ordenada que enxerga AB sob ângulo reto.
23. (ESPM-MG) O triângulo retângulo ABC está, inicial-mente, na posição representada na figura abaixo.
A
y
4
B3
xA’C
Após sofrer uma rotação em torno do vértice C, de modo que o vértice A passe para a posição A`, as novas coordenadas do vértice B serão:a) (4,8; 2,0) d) (4,8; 2,4)b) (5,0; 2,0) e) (4,2; 2,5)c) (5,0; 2,4)
3MÓDULO 10
24. (PUC-SP) Sendo a > 0 e b < 0, o ponto P(– a, a – b) pertence:a) ao 1o quadrante.b) ao 2o quadrante.c) ao 3o quadrante.d) ao 4o quadrante.e) ao eixo x.
25. Sendo A (– 2, 5) e B o ponto simétrico de A em relação à bissetriz dos quadrantes pares, determine o ponto C simétrico de B em relação ao eixo das ordenadas.
26. (Vunesp-SP) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5), é:a) equilátero.b) isósceles, mas não equilátero.c) escaleno.d) retângulo.e) obtusângulo.
27. (UFRJ-RJ) Sejam M1 = (1, 2), M2 = (3, 4) e M3 = (1, –1) os pontos médios dos lados de um triângulo, deter-mine as coordenadas dos vértices desse triângulo.
28. (PUC-RS) Determine o ponto do eixo das ordenadas que forma com A (1, 0) e B (5, 0) um triângulo de área igual a 16.
29. (Uerj-RJ) No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.
Em relação a esse triângulo:a) demonstre que ele é retângulo;b) calcule a sua área.
30. (Mack-SP) Se os pontos (2, – 3), (4, 3) e (5, k/2) estão numa mesma reta, então k é igual a:a) –12b) – 6c) 6d) 12e) 18
31. ABCDEF é um hexágono regular. Determine o coefi-ciente angular das retas suportes dos lados desse polígono.
32. (Ufla-MG) Seja uma reta r1, que no plano cartesiano passa pelos pontos correspondentes aos pares orde-nados (3, 2) e (5, 4). Seja ainda outra reta r2, que forma um ângulo com r1 igual a 120°, conforme ilus-trado abaixo. Calcule o ângulo a que r2 forma com o eixo das abscissas.
4
3
120°
α
5
2
R1R2
33. (Unicamp-SP) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y = 1/x, x > 0. As abscissas de A, B e C são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o seg-mento AB é paralelo ao segmento CD.a) Encontre as coordenadas do ponto D.b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios
dos segmentos AB e CD passa também pela origem.
34. (UFPE-PE) A equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo positivo ox um ângulo de 60o é:
a)
b)
c)
d)
e)
35. (Uerj-RJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta.
4 Matemática
v
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equiva-lente a:a) 4,50b) 5,00c) 5,50d) 6,00
36. (UEL-PR) A reta r intercepta o eixo das ordenadas em y = 2 e a parábola p em seu vértice. Se a equação de p é y = 3x2 – 6x + 8, então r intercepta o eixo das abscissas no ponto:a) (3/4; 0)b) (2/5; 0)c) (0; 0)d) (–1/2; 0)e) (–2/3; 0)
37. (Cesgranrio-RJ) A equação da reta mostrada na figura a seguir é:
3
y
x–4
a) 3x + 4y – 12 = 0b) 3x – 4y + 12 = 0c) 4x + 3y + 12 = 0d) 4x – 3y – 12 = 0e) 4x – 3y + 12 = 0
38. (ESPM-SP) A equação da reta r do plano cartesiano abaixo é:
a) 13x – 14y + 52 = 0b) 12x – 13y + 48 = 0c) 7x – 8y + 28 = 0d) 9x – 11y + 36 = 0e) 6x – 7y + 24 = 0
39. (UERJ-RJ)Sabedoria egípcia
Há mais de 5 000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio-dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com os dias frios. E as mais curtas, com dias quentes.
Adaptado da Revista Galileu, janeiro de 2001.
Sol
ínicio doverão (sombra
mais curta)
outono ouprimavera
início doinverno(sombra
mais longa)
comprimento dasombra ao meio-dia
vare
ta
A
OB
Um estudante fez uma experiência semelhante à des-crita no texto, utilizando uma vareta AO de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o com-primento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das orde-nadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respec-tivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão.Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB:a) y = 8 – 4xb) x = 6 – 3yc) x = 8 – 4yd) y = 6 – 3x
40. (UFPE-PE) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas, e a distância da origem (0, 0) à reta s é 3 . A equação cartesiana da reta s é y = ax + b. Determine 6a2 + 4b2.
5MÓDULO 10
41. (UFMT-MT) Em um determinado instante t (em minutos), as posições de duas partículas P e Q são dadas, respectivamente, pelas equações paramétri-
cas das retas x ty t
ex ty t
= += +
= += − +
1 21
43 6
.
A partir das informações dadas, julgue os itens.1. As trajetórias se interceptam no ponto (5, 3).2. As partículas se chocam no ponto (5, 3).3. A partícula Q passa, em (5, 3), 1 minuto depois que a
partícula P.
42. (Mack-SP) Seja a o ângulo que a reta forma com o eixo positivo do x. O valor de cos a é:
a) 13
b) 2 77
c)
217
d)
23
e) 12
43. As retas r: 3x – y + 5 = 0 e s: kx + 2y – 7 = 0 são con-correntes se:a) k ≠ 2/3b) k ≠ – 6c) k ≠ 0d) k ≠ 4e) k ≠ – 2
44. (UFMG-MG) A relação entre m e n, para que as retas de equações(r) 2x – my + 1 = 0 e (s) nx + 3y + 5 = 0 sejam paralelas, é:
a) mn
= 32
b) mn
= 23
c) mn
= 23
d) m · n = – 6 e) m · n = 6
45. (Unioeste-SP) Sobre a reta r de equação y = 2x + b e a reta s de equação y = ax + 3, onde a e b são números reais, é correto afirmar que:(01) se a = 2, então r e s serão paralelas para qualquer
valor de b.(02) se a = 1 então r e s sempre se interceptarão no
terceiro quadrante, para qualquer valor de b.(04) para que r e s sejam paralelas é necessário que se
tenha b = 3.(08) se b = 0 então existe pelo menos um valor para
a tal que r seja paralela a s.
(16) r e s sempre se interceptam para quaisquer valores de a e b.
(32) se a= − 12
então as retas r e s serão perpendicu-
lares qualquer que seja o valor de b.
46. Para que valores de a as retas r, s e t não são concor-rentes duas a duas?(r) x + y – 1 = 0(s) 3x – y + 2 = 0(t) ax + 2y – 5 = 0
47. Determine a equação da reta t, simétrica da reta (r) x + 2y – 4 = 0, em relação ao eixo das ordenadas.
48. Determine a equação da reta t, simétrica da reta (r) 2x – y – 2 = 0, em relação à reta (s) x – 2 = 0.
49. (UFRGS-RS) Na figura abaixo:
a região sombreada do plano xy é descrita pelas desigualdades da alternativa:a) 0 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 5 – xb) 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 5 + xc) 1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 5 – xd) 1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 5e) 1 ≤ x ≤ 4 e 0 ≤ y ≤ 5 + x
50. (Ufes-ES)
A região triangular hachurada ao lado pode ser des-crita como o conjunto solução de:
a) 4 3 124 40
y xy xy
+ ≤+ ≤≥
b) 4 3 124 40
y xy xy
+ ≤+ ≥≥
6 Matemática
c) 4 3 124 40
y xy xy
+ ≥+ ≤≥
d) 4 3 124 40
y xy xy
+ ≥+ ≥≥
e) 4 3 124 40
y xy xy
+ ≤+ ≤≤
51. (UEMS-MS) O conjuntorepresenta:a) o interior de um círculo.b) o interior de um triângulo.c) uma reta contida no 2º, 3º e 4º quadrantes.d) duas retas paralelas.e) o interior de um quadrado.
52. Determine a equação reduzida de circunferência de centro C(– 2, 1) e que passa pelo ponto P(0, 3).
53. Determine a equação reduzida da circunferência com diâmetro com extremidades A(3, 3) e B(– 5, – 1).
54. Determine a equação reduzida da circunferência da figura:
55. Determine a equação reduzida da circunferência da figura:
56. Sendo A(– 3, 0), B( 3, 0) e o triângulo ABC equilátero, qual a equação reduzida da circunferência da figura?
57. O triângulo ABC da figura é equilátero. Determine a equação reduzida da circunferência, sendo A (5, 6).
58. Dadas as retas (r) y – 2 = 0, (s) x – 2 = 0 e (t) x – 6 = 0,
determine a equação reduzida da circunferência tangente às três retas dadas.
59. (UFG-GO) Considere duas circunferências no plano cartesiano descritas pelas equações x2 + y2 = 10 e (x – x0)
2 + (y – y0)2 = 1. Determine o ponto P(x0, y0)
para que as duas circunferências sejam tangentes externas no ponto A(3,1).
60. A corda AB da figura mede 2. Qual a equação reduzida da circunferência, sendo 3 o seu raio?
61. Calcule a distância do ponto (– 2, 3) ao eixo das ordenadas.
62. (UFPE-PE) No sistema cartesiano de eixos, a distância do ponto (5, 3) à reta que passa pelos pontos de coordenadas (0, 4) e (3, 0) é igual a:
a) 235
b) 175
c) 135
d) 115
e) 95
63. (UFC-CE) Considere a reta r cuja equação é y = 3x. Se P0 é o ponto de r mais próximo do ponto Q(3,3) e d é a distância de P0 a Q, então é igual a:a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7
64. (Ufop-MG) A equação da circunferência de centro P (3, 1) e tangente à reta r: 3x + 4y + 7 = 0 é:a) x2 + y2 + 6x – 2y – 6 = 0b) x2 + y2 – 6x – 2y – 6 = 0
7MÓDULO 10
c) x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0d) x2 + y2 + 2y – 6x – 6 = 0e) x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0
65. O ponto P 2 1,( ) , em relação à circunferência 4x2 + + 4y2 = 9, é: a) externo.b) pertencente.c) internod) centro.e) nda.
66. (UEL-PR) Considere a reta r de equação y – 2x – 2 = 0. Com relação à representação geométrica da reta r no plano cartesiano, pode-se afirmar:I. A área do triângulo formado pela reta r e pelos eixos
coordenados tem o valor de 1 unidade quadrada.II. A circunferência de equação x2 + y2 = 2 contém
todo o triângulo formado pela reta r e pelos eixos coordenados.
III. A circunferência de equação x2 + y2 + 2x – 4y = 0 tangencia a reta r.
IV. A reta r é perpendicular à reta 2y + x + 10 = 0A alternativa que contém todas as afirmativas cor-retas é:a) I e IIb) I e IIIc) I e IVd) II e IIIe) II, III e IV
67. (UFU-MG) Deseja-se que a reta r de equação y = x + k intercepte a circunferência de equação x2 + y2 = 2 em dois pontos. Para isso, k deve satisfazer a seguin- te condição:a) – 3 < k < 3
b) – 2 < k < 2
c) – < k <
d) – ≤ k ≤
68. (ITA-SP) Considere, no plano cartesiano xy, duas cir-cunferências C1 e C2, que se tangenciam exteriormen-te em P (5,10). O ponto Q (10,12) é o centro de C1. Determine o raio da circunferência C2, sabendo que ela tangencia a reta definida pela equação x = y.
69. (UFPA-PA) Os círculos x2 + y2 – 2x = 0 e x2 + y2 + 4x = 0 são:a) tangentes externos.b) concêntricos.c) secantes.d) coincidentes.e) tangentes internos.
70. (UFPB-PB) Na figura abaixo, está representado o quadra-do OMNP que se encontra subdividido em 16 quadradi-nhos, todos de lado 1,5 cm.
yP N
O M xE
F
Uma formiguinha sai do ponto , andando
paralelamente aos eixos e passando pelo centro de cada quadradinho, até o seu formigueiro localizado
em , conforme mostrado na figura.
Sabendo-se que passa apenas uma vez em cada ponto do percurso, essa formiguinha percorreu:a) 24,0 cmb) 23,5 cmc) 23,0 cmd) 22,5 cme) 22,0 cm
71. (Unifor-CE) Seja r a reta paralela ao eixo das abscissas e que contém o ponto Q (0; k). Se o ponto P (a; b) não pertence a r, então o simétrico de P em relação a r é:a) (b; 2k – a)b) (a; k + b)c) (b; 2k + a)d) (a; 2k – b)e) (a; k – b)
72. (Vunesp-SP) O tetraedro VABC da figura a seguir é regular e sua base encontra-se sobre um plano car-tesiano, em relação ao qual seus vértices têm coor-
denadas A B e C−
120 1
20 0 3
2, , , , .
Dando-se à face ABV uma rotação em torno da aresta AB, no sentido indicado pela figura, até fazê-la coin-cidir com o plano ABC da base, quais as coordenadas do ponto P que o vértice V ocupará após a rotação?
8 Matemática
73. (Uerj-RJ) Duas pessoas A e B decidem se encontrar em um determinado local, no período de tempo entre 0h e 1h.Para cada par ordenado (x0, y0), pertencente à região hachurada do gráfico a seguir, x0 e y0 representam, respectivamente, o instante de chegada de A e B ao local de encontro.
Determine as coordenadas dos pontos da região hachurada, os quais indicam:a) a chegada de ambas as pessoas ao local de encon-
tro exatamente aos 40 minutos;b) que a pessoa B tenha chegado ao local de encon-
tro aos 20 minutos e esperado por A durante 10 minutos.
74. (PUCCamp-SP) Sabe-se que os pontos A = (0, 0), B = (1, 4) e C = (3, 6) são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o compri-mento da diagonal BD é:a) 2
b) 3
c) 2 2
d) 5
e) 5
75. Sendo A (a, ya), B (b, yb) e C (c, yc) vértices de um triângulo, mostre que a abscissa do baricentro desse
triângulo é: y x= +22
62
.
76. (Vunesp-SP) Dados dois pontos, A e B, com coorde-nadas cartesianas (–2, 1) e (1, –2), respectivamente, conforme a figura:
a) Calcule a distância entre A e B.b) Sabendo que as coordenadas cartesianas do bari-
centro do triângulo ABC são (xG , yG) = (23
, 1), calcule
as coordenadas (xC · yC) do vértice C do triângulo.
77. Dados A (2, 3) e B (0, 0), vértices do triângulo
ABC com área 13 22
2 13e sendo BC = , determine o
coeficiente angular da reta BC, sendo C no primei-
ro quadrante.
78. (FGV-SP) Seja r a reta 4x + 7y – 56 = 0 que intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscis-sas no ponto B.Considere uma reta s, que passa pela origem O (0, 0) e intercepta a reta r no ponto C, de modo que a área do triângulo OCB seja igual à metade da área do tri-ângulo OAC.a) Encontre a equação da reta s.b) Determine as coordenadas do ponto C.
79. (Ufes-ES) Dados no plano cartesiano os pontos A = (–2, 1) e B = (0, 2), determine:a) uma equação da reta que passa por A e B;b) uma equação da reta que passa por A e é perpen-
dicular ao segmentoAB.
80. O triângulo ABC da figura tem área 6 e é retângulo em A. Sendo B(0, 3), C(4, 0) e AB AC, determine a equação da reta suporte do cateto AC.
81. (UFMG-MG) Observe a figura.
Nessa figura, estão representadas duas perpendicu-lares que são gráficos de y = f(x) e y = g(x).O valor máximo da função h(x) = f(x) · g(x) é:a) 5/4b) 9/4c) 3d) 4
82. Determine a equação da reta t, simétrica da reta (r) y = 2x, em relação à reta (s) y = 4x – 4.
9MÓDULO 10
83. Resolva a inequação: .
84. Dada expressão E = (x + y)2 – 4:a) fatorar a expressão E;b) representar os pontos (x,y) tais que E > 0.
85. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C da figura:
86. Determine a equação reduzida da circunferência circunscrita ao quadrado de vértices: A(2, 0), B(4, 2), C(2, 4) e D(0, 2).
87. Determine a equação reduzida da circunferência inscrita no quadrado de vértices: A 0 2,( ), B 2 0,( ), C 0 2, −( ) e D −( )2 0, .
88. Dadas as circunferências:(C1) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 e (C2) (x – 10)2 + (y – 2)2 = 4, determine a equação da menor circunferência tan-gente às duas circunferências dadas.
89. (UFF-RJ) A circunferência C1, de raio 1, é tangente aos eixos coordenados, conforme representação abaixo.
Determine a equação da circunferência C2, tangente simultaneamente aos eixos coordenados e à C1.
90. (AFA-RJ) Os pontos A (0, 0) e B (3, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = –2x e o ponto D pertence à circunferência de centro na origem e raio . Então, a diagonal AC mede:
y
D C
x
B (3,0)A (0,0)
y = –2x
5
a) b) c) d)
91. (FGV-SP) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P (m, 1) à reta de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6. A soma destes valores é:a) – 16
3
b) – 173
c) – 183
d) – 193
e) – 203
92. (FGV-SP) A reta de equação y = x + 1 determina, na circunferência de equação x2 + y2 = 13, uma corda de comprimento:a) 4 2b) 5 2c) 6 2d) 7 2e) 8 2
93. (FGV-SP) a) No plano cartesiano, para que valores de m as retas de equações (r) mx + 2y + 4 = 0 e (s) mx – 4y + 5 = 0 são perpendiculares?b) Qual a distância entre as retas (t) 3x + 4y = 0 e (v) 3x +
4y + 5 = 0?
94. (Unifesp-SP) Dada a matriz, 3 x 3, Ax y
=− −
11 1 11 1 1
, a
distância entre as retas r e s de equações, respecti-vamente, det(A) = 0 e det(A) = 1 vale:
a) 24
b) 2
c) 2d) 3e) 3 2
95. (Vunesp-SP) Determine os pontos de abscissa 2 tais que, para cada um deles, o produto de suas distâncias aos eixos coordenados seja igual ao quadrado de sua distância à reta y = x.
96. (Mack-SP-Adaptada) Na figura, AOB é um triângulo isósceles e . A distância de C à reta, deter-minada pelos pontos A e B, vale:
10 Matemática
y
A
D
BO
C
3x
a) 4 2b) 5 2
c) 6 2d) 7 2e) 8 2
97. (Fuvest-SP) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são vér-tices de um triângulo retângulo, sendo B$ o ângulo reto.
Sabendo-se que A = (0 , 0), B pertence à reta x – 2y = 0 e P = (3, 4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, determine as coordenadas:a) do vértice B;b) do vértice C.
98. (ITA-SP) Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C por P, determine a circunferência C’ de menor raio, com centro sobre o eixo x e tangente simulta-neamente à reta t e à circunferência C.
99. (ITA-SP) São dadas as retas (r) x – y + 1 + 2 = 0 e (s) x 3 + y – 2 + 3 = 0 e a circunferência (C) x2 + 2x + + y2 = 0. Sobre a posição relativa desses três elemen-tos, podemos afirmar que: a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangen-
tes a C.b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas
é tangente a C.c) r e s são concorrentes, r é tangente a C e s não é tan-
gente a C.
d) r e s são concorrentes, s é tangente a C e r não é tangente a C.
e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes a C.
100. (UFU-MG) Sejam r a reta de equação y = x + 2 e C a circunferência de equação x2 + y2 – 4x – 2y + a = 0, em que a é uma constante real. Determine o maior número real a de modo que ocorra intersecção entre a reta r e a circunferência C.
101. (ITA-SP) Sejam os pontos A: (2, 0), B: (4, 0) e P: x y +1+ 2 = 0− .
a) Determine a equação da circunferência C, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e é tangente ao eixo y.
b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência C que passam pelo ponto P.
102. (PUCCamp-SP) Considere as circunferências (l1) x2 +
+ y2 – 8x – 4y + 15 = 0 e (l2) x2 + y2 + 4x + 2y – 75 = 0.
Concluímos que: a) l1 e l2 possem 2 pontos de interseção (ou seja,
são secantes). b) l1 e l2 se tangenciam internamente. c) l1 e l2 se tangenciam externamente. d) l1 e l2 são disjuntas e externas. e) l1 e l2 são disjuntas e internas.
103. (FGV-SP) A intersecção das circunferências de equa-ção x2 + y2 = 1 e (x – 1)2 + y2 = 4 é:
a) (0, 0) b) (–1, 0) c) (0, –1) d) (0, 1), (2, 0) e) (0, 2), (1, 0)
104. (UFSC-SC) Determine o raio da circunferência C1, cujo centro é o ponto de intersecção da reta r de equação x – y – 1 = 0 com a reta s de equação 2x – y + 1 = 0, sabendo que C1 é tangente exterior-mente à circunferência C2 de equação x2 + y2 – – 12x – 6y – 4 = 0.
105. (UFPE-PE) Para quantos valores de a o sistema:
admite precisamente três soluções?
106. (UFES-ES) Em um sistema de coordenadas cartesia-nas ortogonais, determine:
a) a equação da circunferência com centro (a, 0) que passa pelo ponto (– 5, 3);
b) o intervalo de variação de a de modo que a circun-ferência do item anterior intercepte a circunferên-cia com centro (2, 0) e raio 2;
c) o valor de a, de modo que os raios das circunfe-rências dos itens anteriores sejam perpendicu-lares em um dos pontos de intersecção delas.
11MÓDULO 10
+Saber fazerGeometria analítica
1. Obter a medida do segmento AB, sendo:a) A(3, 1) e B(4, 2)b) A(–1, –3) e B(5, –2)c) A(3, 4) e B(0, 0)d) A(2, 1) e B(5, 1)e) A(0, 3) e B(0, 7)f) A(5, 2) e B(4, 1)g) A(–2, –1) e B(–3, 1)h) A(4, 3) e B(0, 0)
2. Calcule o perímetro do triângulo ABC, dado: A(0, 0), B(4, 1) e C(0, 5).
3. Cada uma das arestas do cubo mede 1 cm. Calcule a distância do vértice A à reta CH.
A
F G
D
B
C
HE
4. Dados os pontos A(0, 0) e B(25, 25), determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB.
5. Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes pares que dista 2 unidades da origem.
6. (Fuvest-SP) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado?
A
B
F
D E
C
7. (Mauá-SP) A figura abaixo mostra um quadrado, inscrito em um triângulo de base 20 cm e altura 12 cm. Calcule o lado desse quadrado.
A
l
l
D12
B CG
20
F
E
8. Calcule os coeficientes angulares das retas r e s para-lelas que fazem com a horizontal um ângulo de 60o.
9. Determine a intersecção entre as retas y = 2x – 5 e y = –3x + 1.
10. Escreva a equação geral de uma reta perpendicular ao eixo das abscissas que passa pelo ponto (2, 10).
11. Determine os coeficientes angular e linear da reta 5y + 4x – 2 = 10.
12. Considere a reta que passa pelos pontos (0, –5), (2, 1). Escreva:a) sua equação fundamental; b) sua equação geral; c) sua equação reduzida; d) seu coeficiente angular e seu coeficiente linear.
13. Escreva a equação reduzida da reta que passa pela origem e pelo ponto de intersecção das retas 4x – 2 = 0 e 8x – 2y – 14 = 0.
14. Determine a equação de uma reta que faz 45o com a horizontal e cruza o eixo das ordenadas em 5 unidades.
15. Considere as retas: y = 3x – 7; y = –2mx + 1; y = 6kx. Determine os valores de m e k para que as três retas sejam paralelas.
16. Determine a equação da reta paralela a y = 4x + 5 que passa pelo ponto (2, 8).
17. Determine a equação da reta s que passa pelo ponto (5, 1) e é perpendicular à reta y = 2x + 1.
18. Considere duas retas s e t perpendiculares entre si. O ponto (2, 5) pertence a ambas as retas. A equação da reta s é y = –2x + 9. Determine a equação da reta t.
19. Determine a equação de uma reta qualquer que seja perpendicular à reta r que passa pela origem dos espaços e faz um ângulo de 45o com a horizontal.
20. Obtenha a equação da circunferência de centro C(2, 1) e raio 1.
21. Obtenha o centro e o raio das circunferências abaixo:a) (x – 2)2 +(y – 3)2 = 9b) x2 + y2 – 4x – 8y + 16 = 0
22. Determine o centro e o raio da circunferência de equação 2x2 + 2y2 – 8x – 16y + 32 = 0.
23. Para que valores de m e k a equação mx2 + y2 + 4x + + 6y + k = 0 representa uma circunferência?
24. Indique as condições que devem ser satisfeitas pelos coeficientes da equação: ax2 + by2 + 2cxy + 2dx + 2ey ++ f = 0, para que ela represente uma circunferência.
25. Obtenha as equações das circunferências de centro C e raio r, em cada caso:a) C(0, 0), r = 1b) C(– 2, – 1), r =
12
26. Obtenha a equação da circunferência de centro (2, 1), que passa pelo ponto (3, 3).
27. Determine o centro e o raio das seguintes circun- ferências:a) x2 + y2 – 4x – 3y = 0b) x2 + y2 + 6x + 8y = 0c) x2 + y2 + 6x =0d) 2x2 + 2y2 – 4x – 8y + 6 = 0e) 3x2 + 3y2 – 6x + 12y + 14 = 0
28. Se Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 (A ≠ 0) é a equação de uma circunferência, determine o centro e o raio.
29. Para que valores de m e k cada equação abaixo repre-senta uma circunferência?a) x2 + m · y2 + 6x + 4y + k = 0b) mx2 + 2y2 + 12x – 8y + k = 0
30. Qual a posição do ponto P(2, 3) em relação à circun-ferência (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4
31. Represente no plano cartesiano o conjunto dos pon-tos P(x, y), tais que:a) x2 + y2 < 9b) x2 + y2 · 4c) x2 + y2 – 6x – 4y + 12 < 0
32. Determine a posição do ponto P em relação à circun-ferência l, em cada caso:a) P(0, 0) e (l) x2 + y2 + 2x – 4y +1 = 0b) P(1, 2) e (l) 2x2 +2y2 = 4
33. Represente no plano cartesiano os pontos P(x, y), satisfazendo as seguintes condições:
a) x2 +y2 > 1x2 + y2 < 4
b) x2 + y2 < 25x2 + y2 –12x +20 < 0
34. (UEL-PR) Sejam A(– 2, 1) e B(0, – 3) as extremidades de um diâmetro de uma circunferência l. Obtenha a equação de l.
35. (UE-RS) Obtenha a equação da circunferência de diâmetro AB, com A(3, 1) e B(1, – 3).
36. (PUC-SP) Obtenha o ponto da circunferência (x – 2)2 + + (y + 4)2 = 4 que tem ordenada máxima.
37. Obtenha a área do disco: x2 + y2 – 4x – 6y + 8 < 0.
38. (FCMSC-SP) Seja (l) uma circunferência cujo centro pertence ao eixo das abcissas. Se as extremidades de
uma de suas cordas são os pontos (2, 2) e (8, 4), obte-nha a área da superfície plana limitada por l.
39. (Mack-SP) Obtenha o maior valor inteiro de k, de modo que a equação x2 + y2 – 4x – 6y + k = 0 repre-sente uma circunferência.
40. (PUC-SP) Quantos são os pontos que têm coordena-das inteiras e são interiores à circunferência de equação x2 + y2 = 6?
41. (UFC-CE) Qual a posição relativa das circunferências dadas pelas equações x2 + y2 = 25 e (x – 3)2 + + y2 = 4?
42. (PUC-SP) Dadas as circunferências C1: x2 + y2 – 2x –
– 2y = 0 e C2: x2 + y2 – 2x – 3 = 0, qual é a posição de
C1 em relação a C2?
43. Dadas a circunferência (x – 1)2 + y2 = 4 e a reta x = k, para que valores de k a reta intercepta a circunferência em pontos distintos?
44. Determine os pontos P e Q, onde a circunferência x2 + y2 – 3x + 4y + 2 = 0 encontra o eixo das abscissas.
45. Determine a equação da reta t, tangente à circunfe-rência (l) x2 + y2 = 4, e paralela à reta (s) x + y – 2 = 0.
r
t
t
s
46. Obtenha a equação da reta (t), tangente à circunfe-rência (l), passando por P em cada caso:
Ct
P
a) (l) X2 + y2 = 25 e P(3, – 4)b) (l) X2 + y2 – 12x – 12y + 47 = 0 e P(6, 13)c) (l) X2 + y2 – 4x – 5 = 0 e P(–1, 7)
47. (FGV-SP) Obtenha os pontos comuns à reta x – y = 1 e à circunferência x2 + y2 = 1.
48. (FGV-SP) Obtenha os valores de k, tais que a circunfe-rência x2 + y2 = 20 e a reta y = 2x + k sejam tangentes.
13MÓDULO 10
49. (Fuvest-SP) A reta y = 3x é tangente a uma circun-ferência de centro C(2, 0). Obtenha o raio dessa circunferência.
50. Escreva as equações das retas tangentes à circunfe-rência x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0, paralelas à reta y = x.
51. Determine as equações das retas tangentes à circun-ferência x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0, e perpendiculares à reta x = –y.
52. Determine o comprimento da corda determinada pela reta x – y = 0 sobre a circunferência: (x + 2)2 + (y – 2)2 = 16.
53. Determine as equações das paralelas à reta 3x + 4y + + 7 = 0, exteriores à circunferência x2 + y2 = 25.
54. (Cesgranrio-RJ) Obtenha a equação da reta do plano xoy, que passa pela origem 0 e é tangente à circunfe-rência (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8.
55. Determine as equações das retas tangentes à circunferência(x – 2)2 + (y – 3)2 = 9, pelo ponto (3, –2).
56. (UFPE-PE) Obtenha a equação da circunferência de raio 2, e que tangencia os dois semieixos positivos.
57. (PUC-SP) A equação de uma circunferência é x2 + + y2 = 16. Obtenha a equação da reta que possui uma corda, cujo ponto médio é (3, 2).
58. As retas y = x e y = – x tangenciam uma circunferência respectivamente nos pontos (3, 3) e (3, – 3). Obtenha o raio dessa circunferência.
59. Obtenha a equação da circunferência que tangencia as retas x + y = 0 e x + y = 8, e que passa pelo ponto (0, 0).
60. (UEL-PR) Sejam A e B os pontos de intersecção da reta definida por y = – x + 1 com a circunferência de centro O(1, 2) e raio 2 cm. Obtenha a área do triân-gulo ABO.
61. (UFRGRS-RS) Uma circunferência, de centro (10, – 6), tangencia o eixo dos y. Obtenha os pontos onde ela corta o eixo dos x.
62. (FGV-SP) Calcule o comprimento da corda determi-nada numa circunferência de centro C(2, 0) e raio 8 , pela reta y = 2.
63. (Fuvest-SP) A reta da equação 3x – 4y – 6 = 0 inter-cepta a circunferência 4x2 + 4y2 – 8x + 16y – 5 = 0 nos
pontos A e B. Determine o valor de tg a2
, em que a
é a medida do ângulo ACB, e C é o centro da circunferência.
64. (Fuvest-SP) Por um ponto P do semieixo positivo dos x, traçam-se tangentes à circunferência de equação x2 + y2 = 3. O quadrilátero, cujos vértices são P, o centro da circunferência e os dois pontos de tangência têm área 3 . Determine as equações dessas tangentes.
65. (UFRGS-RS) Se os gráficos de x2 + y2 = 1 e x2 + y2 + + 4x = m são circunferências tangentes, determine o valor de m.
14 Matemática
