Download - EL Deformacao (1)
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 1
J. A. Figueiras
Rui Faria
Sandra Nunes
Mário Pimentel
Verificações em Serviço:
- Estado limite de deformação
Eurocódigo 2 Projeto de Estruturas de Betão
2014
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 2
Controlo da deformação
Razões para controlo da deformação:
• Evitar danos em elementos não estruturais
Verificação em serviço CONTROLO DE DEFORMAÇÃO
Danos em parede de alvenaria devido à
deformação excessiva da viga de apoio
500/la
Consola
a
a
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 3
Controlo da deformação
Razões para controlo da deformação:
• Não afetar a funcionalidade e o aspeto
Deformação excessiva em pontes, prejudicando o aspeto e a zona
das juntas de dilatação a < l / 250 (aspeto)
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 4
Controlo da deformação
Razões para controlo da deformação Evitar:
• Acumulação de águas pluviais em coberturas planas
• Incremento da ação variável
• Entupimento de sumidouros
• Colapso de coberturas leves
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 5
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Controlo da deformação
Limites de deformação:
• Reanalisar limites com o Dono de Obra
• Consultar ISO 4356 – limites de flechas em edifícios
Para não afetar o aspeto
e as condições de utilização:
Para evitar danos em elementos não estruturais, o incremento
da flecha após a instalação destes
elementos deve ser limitada:
250/la
500/la
Combinações Quase Permanentes
Combinações Quase Permanentes
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 6
Determinação das flechas por meio de cálculo
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
A deformada devido aos momentos fletores é obtida por dupla integração
da curvatura ao longo do elemento
csccce
1111
rrrr
• Atenção aos efeitos diferidos!
- Fluência e retração
• Atenção à fendilhação do
betão!
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 7
Determinação das flechas por meio de cálculo
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Efeito da fendilhação
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 8
Determinação das flechas por meio de cálculo
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Curvatura média: flexão simples
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 9
Determinação das flechas por meio de cálculo
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Curvatura média: flexão simples
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 10
Determinação das flechas por meio de cálculo
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Curvatura média: flexão simples
creff,c2
1
IE
M
r
uceff,c1
1
IE
M
r
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 11
Determinação das flechas por meio de cálculo
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Curvatura média
21m
11)1(
1
rrr
= 1 – b (Mcr/M)2
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 12
Determinação das flechas por meio de cálculo
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Efeito da fluência
A deformação total incluindo a fluência pode ser calculada utilizando
nas expressões da curvatura o módulo de elasticidade efetivo do betão.
),(1 0
cmeffc,
t
EE
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 13
Determinação das flechas por meio de cálculo
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Efeito da retração I
S
recs
cs
1
1/rcs - curvatura devida à retração
cs - extensão de retração livre
S - momento estático da secção de armaduras em relação ao
eixo que passa pelo centro de gravidade da secção
I - momento de inércia da secção
e - coeficiente de homogeneização efetivo (e = Es / Ec,eff)
S e I devem ser calculados para os estados 1 e 2 :
2cs1cscs
11)1(
1
rrr
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 14
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Método do EC2 (mais rigoroso)
Consiste em calcular as curvaturas em várias secções ao longo do
elemento e em calcular a flecha por integração numérica
Determinação das flechas por meio de cálculo
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 15
a
Determinação das flechas por meio de cálculo
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Teorema dos Trabalhos Virtuais aplicado ao cálculo da flecha
ii
ii
xMr
a
m
1
dxMr
a
dxMEI
Ma
m
1
1
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 16
Determinação das flechas por meio de cálculo
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Método simplificado do EC2
Na maioria dos casos será aceitável calcular a flecha para as
seguintes situações:
a1 - todo o elemento em estado não fendilhado (estado 1)
a2 - todo o elemento em estado fendilhado (estado 2)
21)1( aζaζa
Flecha provável:
com
2
cr1
M
Mb
Momento fletor na secção mais
condicionante para a formação da flecha
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 17
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Mcr 65.58 kN.m Mcqp (meio vão)= 110
(EI)1 43433 kN.m2
(EI)2 18833 kN.m2
0.822
Calculo rigoroso EC2 Calculo simplificado EC2
x M(x) M* (x) x Mi M*i (1/r)1 (1/r)2 (1/r)m (1/r)m M*i xi (1/r)1 M*i xi (1/r)2 M*i xi
0 0.00 0.00
0.729 36.44 0.36 0.73 18.22 0.18 4.20E-04 9.67E-04 0 4.20E-04 5.57E-05 5.57E-05 1.29E-04
1.458 65.58 0.73 0.73 51.01 0.55 1.17E-03 2.71E-03 0 1.17E-03 4.68E-04 4.68E-04 1.08E-03
2.187 87.40 1.09 0.73 76.49 0.91 1.76E-03 4.06E-03 0.632 3.22E-03 2.14E-03 1.17E-03 2.70E-03
2.916 101.92 1.46 0.73 94.66 1.28 2.18E-03 5.03E-03 0.760 4.34E-03 4.04E-03 2.03E-03 4.67E-03
3.645 109.13 1.82 0.73 105.53 1.64 2.43E-03 5.60E-03 0.807 4.99E-03 5.97E-03 2.91E-03 6.70E-03
4.374 109.04 1.81 0.73 109.09 1.82 2.51E-03 5.79E-03 0.819 5.20E-03 6.89E-03 3.33E-03 7.68E-03
5.103 101.64 1.45 0.73 105.34 1.63 2.43E-03 5.59E-03 0.806 4.98E-03 5.92E-03 2.88E-03 6.65E-03
5.832 86.93 1.08 0.73 94.28 1.27 2.17E-03 5.01E-03 0.758 4.32E-03 3.99E-03 2.00E-03 4.62E-03
6.542 65.58 0.73 0.71 76.25 0.91 1.76E-03 4.05E-03 0.630 3.20E-03 2.06E-03 1.13E-03 2.61E-03
7.271 36.44 0.36 0.73 51.01 0.55 1.17E-03 2.71E-03 0 1.17E-03 4.68E-04 4.68E-04 1.08E-03
8 0.00 0.00 0.73 18.22 0.18 4.20E-04 9.67E-04 0 4.20E-04 5.57E-05 5.57E-05 1.29E-04
a= 0.032 m 0.016 0.038
a= 0.034 m
Exemplo de aplicação
Considere uma laje simplesmente apoiada de vão l=8m e uma espessura
h=0.35m (d=0.32m). A laje está sujeita a uma carga permanente gk = 11.75kN/m2
(inclui p.p.) e a uma sobrecarga qk = 5kN/m2 (2=0.4). A laje possui uma armadura
de tração 16//0.125. Pretende-se calcular a flecha para a combinação quase
permanente. Dados: C25/30, A500, Ec,eff = 10.5GPa, despreze a curvatura devido
à retração.
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 18
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Método Bilinear
ac - flecha base (EIc do betão apenas)
a1 - flecha em estado 1
a2 - flecha em estado 2
considerando apenas as caraterísticas da secção
determinante D …
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 22
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Admitem-se as seguintes simplificações:
crDcr MM
DcrD MMM
D
crD
2
cr
M
M
M
M
D
crD1M
Mζ b
logo
2
cr211
M
Mζ bb
bbb 21
varões alta aderência
do EC2
11 b
Método Bilinear
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 23
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
(aplicável a secções rectangulares)
t=0 t=t
flecha G (G+2Q) (c.q.p) (G+2Q)(c.q.p)
ac acG ac
a1 Ks1. acG Ks1. ac a1t=0
+ a1Gt=0
.K1.+cs Kcs1.|cs|l2/d
a2 Ks2. acG Ks2. ac a2t=0
+ a2Gt=0
.K2.+cs K cs2.|cs|l2/d
a =1-bMcrD/ MD com b=1.0 =1-bMcrD/ MD com b=0.5
a=(1-) a1+ a2 se MD>McrD
a= a1 se MD<McrD
a=(1-) a1+ a2 se MD>McrD
a= a1 se MD<McrD
Método Bilinear
t=
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 26
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Controlo da deformação sem cálculo das flechas
Para relações vão/altura útil inferiores aos seguintes limites não é necessário
verificação adicional em vigas e lajes de edifícios:
0
2/3
0ck
0ck se12.35.111
ffK
d
l
0
0
ck0
ck se12
15.111
ffKd
l
Exp. (7.16)
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 27
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Tradução gráfica das expressões anteriores
0.5 1.5
14
%55.01037/30C 3ck0 f
Assume-se nas expressões
anteriores que ss = 310MPa na
combinação quase permanentes
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 28
Valores básicos da relação l/d para elementos de betão
armado sem esforço normal (Quadro 7.4N) (C30/37)
Sistema estrutural K
Betão fortemente
solicitado = 1.5%
Betão levemente
solicitado = 0.5%
Viga simplesmente apoiada, laje simplesmente
apoiada armada numa ou em duas direções 1.0 14 20
Vão extremo de uma viga contínua armada numa
direção ou de uma laje armada em duas direções
contínua ao longo do lado maior 1.3 18 26
Vão interior de uma viga ou de uma laje armada
numa ou em duas direções 1.5 20 30
Laje sem vigas apoiada sobre pilares (laje
fungiforme) (em relação ao maior vão) 1.2 17 24
Consola 0.4 6 8
Nota 1: Em geral, os valores indicados são conservativos, podendo frequentemente o cálculo revelar que é possível
utilizar elementos mais esbeltos.
Nota 2: Para lajes armadas em duas direções, a verificação deverá ser efetuada em relação ao menor vão. Para lajes
fungiformes deverá considerar-se o maior vão.
Nota 3: Os limites indicados para lajes fungiformes correspondem para a flecha a meio vão a uma limitação menos
exigente do que a de vão/250. A experiência demonstrou que estes limites são satisfatórios.
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 29
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Fatores de correção da relação vão/altura útil
l / d – valor limite da relação vão/altura útil a satisfazer
(l / d)* - valor dado pela expressão (7.16) ou retirado do Quadro 7.4N
lkkkdldl T*
s// s
← Correção da tensão do aço
s
310s s
s k
8.0
0.1T
k Vigas retangulares ou em T com b/bw < 3
Vigas em T com b/bw > 3
eff
7
lkl Vigas e lajes com leff > 7.0m, suportando divisórias
eff
5.8
l Lajes fungiformes com leff > 8.5m, suportando divisórias
← Correção do banzo
← Correção do vão
EC2 – Projeto de Estruturas de Betão 30
CONTROLO DA DEFORMAÇÃO
Exemplo de aplicação
Definir a altura útil mínima de uma viga simplesmente apoiada nas
seguintes condições:
• Vão efetivo: leff = 7.5m
• Secção em T com b/bw = 4.0
• Suporta paredes divisórias
• Percentagens de armadura: s = 1.0%, ’s = 0.0%
• Tensão da armadura em serviço: ss = 280MPa
• Materiais: C30/37, A500