Download - Dinâmica Eixos Que Giram
Rotação em torno de eixos
Prof. Alexandre Lara
Rotação
• Considerando um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo horizontal, a velocidade e a aceleração angular são causadas por um sistema de forças e momentos binários externos agindo no corpo.
Rotação
• A equação de momento pode ser atribuída por um somatório dos momentos em torno de um ponto arbitrário P tomado no corpo ou for a dele, desde que se levem em conta os momentos de ,em relação a esse ponto P.
Pkm )(ntGG aGmeamI )(__)(,
GtGGOOkO IamrMmM )(;)(
Rotação
• Realizando as substituições e aplicando o teorema dos eixos paralelos, podemos escrever as três equações de movimento para um corpo como:
Exemplo
• A barra fina de 20kg mostrada gira num plano vertical, e, num dado instante, tem velocidade angular ω=5 rad/s. Determine a aceleração angular da barra e os componentes horizontais e vertical da reação no pino nesse instante.
Solução
• Diagrama de corpo livre e dinâmico
Sistemas de eixo em rotação
• Em alguns casos a análise cinemática será melhor executada se o movimento for analisado utilizando um sistema de coordenadas que translade e rotacione. Por exemplo o movimento de dois pontos que não estão sobre um mesmo mecanismo. Serão desenvolvidas duas equações que relacionam a velocidade e aceleração de dois pontos, sendo um deles origem de um sistema de referência móvel.
Rotação de eixos que giram
• Considerando os pontos A e B, com localizações especificadas rA e rB são medidas em relação ao eixo de coordenadas X, Y e Z. O ponto base A representa a origem do eixo de coordenadas x, y e z, que assume translação e rotação em relação ao eixo X, Y e Z.
Vetor rB
• Usando adição vetorial:
• No instante considerado o ponto A tem velocidade vA e aceleração aA, enquanto a velocidade angular e aceleração angular de x e y é Ω e dΩ/dt.
ABAB rrr
Velocidade
• A velocidade do ponto B pode ser determinada pela derivada temporal de:
• O último termo:
dt
drvv A
B
AB
dt
djy
dt
dixj
dt
dyi
dt
dx
dt
djyj
dt
dy
dt
dixi
dt
dx
jyixdt
d
dt
dr
BBBB
BB
BB
BBA
B
)(
• Os dois primeiros termos representam as componentes da velocidade do ponto B, para um observador que se move com x,y,z. Esse é o vetor (vB/A)xyz . No segundo termo há a taxa de variação temporal instantânea dos vetores i e j para um observador fixo em X,Y,Z.
• A variação de di e dj se deve a rotação dθ dos eixos x,y,z, fazendo i se tornar i’=i+di, e j’=j+dj.
• As derivadas podem ser expressas:
• Portanto:
jidt
d
dt
dj
jjdt
d
dt
di
)(
)(
jdt
dj
idt
di
ABxyz
ABBBxyz
AB
AB
rvjyixvdt
dr )()()(
Equação
• A equação se torna:
• Em que:
• vB= velocidade de B, medida a partir da referência XYZ
• vA= velocidade da origem A de xyz medida a partir de XYZ
• (vB/A)xyz = velocidade de B em relação a A, medida a partir de um observador fixo nos eixos que giram xyz.
• Ω=velocidade angular xyz, medidas a partir da referência em XYZ
• rB/A= posição de B em relação a A.
xyzA
BA
BAB vrvv )(
Equação
• A equação da aceleração:
• aB= aceleração de B, medida a partir da referência XYZ • aA= aceleração da origem A de xyz a partir de XYZ • (aB/A)xyz(vB/A)xyz = aceleração e velocidade de B em
relação a A, medida a partir de um observador fixo nos eixos que giram xyz.
• Ω, Ω =aceleração e velocidade angular xyz, medidas a partir da referência em XYZ
• rB/A= posição de B em relação a A.
xyzA
BxyzABA
BA
BAB avrraa )()(2)(