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DINMICA DE ESTRUTURAS
EENGENHARIA SSMICA
Alfredo Campos Costa
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ndiceI GENERALIDADES ........................................................................................................... 1
I-1 Dinmica Da Partcula e Do Corpo Rgido ............................................................................. 1I-2 Principio D'Alembert e Equao do Movimento ................................................................... 2I-3 Formulao das Equaes do Movimento ............................................................................... 3I-4 Oscilador Linear com 1 Grau de Liberdade ............................................................................ 4
II EQUAES DO MOVIMENTO ..................................................................................... 5II-1 Equao Geral de Movimento do SDOF................................................................................ 5II-2 Componentes Gravitacionais ..................................................................................................... 6II-3 Excitao Provocada por Movimento da Base (Sismos) .................................................... 7
III REGIME LIVRE .............................................................................................................. 8III-1 Regime livre no Amortecido .................................................................................................. 8
III-2 Soluo Geral da Equao do Movimento ........................................................................... 8III-3 Regime Livre Amortecido ........................................................................................................ 9III-4 Soluo Geral para Amortecimento Viscoso ..................................................................... 10Amortecimento Superior ao Crtico >1....................................................................................... 12Amortecimento Igual ao Crtico =1 ............................................................................................. 12Amortecimento Inferior ao Crtico
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IX REGIME LIVRE NO AMORTECIDO DEMDOF................................................... 69IX-1 Regime Livre No Amortecido de 2Gls.............................................................................. 69IX-2 Definio de Frequncias Prprias e Modos de Vibrao de SistemasMDOF........ 71IX-3 Equaes do Movimento em Coordenadas Modais ......................................................... 73
X REGIME LIVRE AMORTECIDO DEMDO................................................................. 76X-1 Amortecimento Clssico ou Proporcional............................................................................ 76XI REGIME FORADO AMORTECIDO DEMDOF...................................................... 80
XI-1 Equaes do Movimento em Coordenadas Modais ......................................................... 80XI-2 Definio dos Factores de Participao............................................................................... 82
XII RESPOSTA DEMDOFA MOVIMENTOS DA BASE. ............................................ 83XII-1 Equao do Movimento de Estruturas Sujeitas a Movimentos Rgidos da Base. ... 83XII-2 Anlise da Resposta no Tempo............................................................................................ 86XII-3 Anlise atravs de Espectros de Resposta......................................................................... 87
XIII Anlise Ssmica de Edifcios Assimtricos. ................................................................ 91XIII-1 Matriz de Rigidez de Estruturas com 3gls/piso .............................................................. 92XIII-2 Matriz de Massa de Estruturas com 3gls/piso ................................................................ 94XIII-3 Equao do Movimento de Estruturas de 1 Piso. .......................................................... 94XIII-4 Equao do Movimento de Estruturas comNPisos. .................................................... 96
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Dinmica de Estruturas e Engenharia Ssmica
Docente
Alfredo Campos Costa
LNEC NESDE - Ncleo de Engenharia Ssmica e Dinmica de Estruturas
Tel.: 21 844 37 97 91 94206 07
e-mail: [email protected]
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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I GENERALIDADES
I-1 Dinmica Da Partcula e Do Corpo Rgido
2 Lei de Newton: Se a resultante de foras que actuam sobre uma partculano for nula, esta ter uma acelerao cuja intensidade proporcional intensidade da resultante, com a mesma direco e o mesmo sentido.
O movimento de uma partcula (ou de um corpo rgido) provocado pelodesequilbrio das foras que sobre ela actuam.
Movimento da
( ) ( )000000
000
==
===
=
zyxzyx
iiRoi
zizyiyxix
i
MMMRRR
fRfRfR
0rfM0fR
0fR
Movimento do Corpo:
Oz
y
x
Oz
y
x
f1fn
f2R
R
R
oM
RoM
conjugadovectoraeequivalentsistema
0
:forasdereduodegeralaso
+
0R0MRM
CRo
Ro
y
z x
f1
m
f2fn
y
zxm
0fR = i 0R
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
2
Se a resultante no nula for constante ao longo do tempo a partcula (ou ocorpo) estar animada de movimento rectilneo uniformemente acelerado(rectilneo e/ou de rotao em torno de um eixo)
I-2 Principio D'Alembert e Equao do Movimento
se m constante ao longo do tempo
Fora de Inrcia Fora que se ope ao movimento
Equilbrio Dinmico no instante t:
Diagrama de corpo livre Foras Equao de equilbrio dinmico
Exemplo: Movimento pendular
( ) ( )[ ]tmdt
d
dt
dm
dt
dt u
up &=
=
( ) ( )tmdt
udmt up &&== 22
( ) ( )tmt ufi &&=
( )tp ( ) ( ) 0= tmt xp &&( ) ( )tmt xfi &&=
( )
( )[ ] ( )( )[ ] ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0tL
gt0f
tLtattsen
0tTtcosmg0f
0tmatsenmg0f
t
x
x
y
xx
ie
=+=
=
===+=
=+=
&&
&&epara
0ffR
( )tx&&
xy
T
mg
L
m
ax
( )tu&m
r
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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I-3 Formulao das Equaes do Movimento
Objectivo da Dinmica de Estruturas Determinstica: Determinao das
trajectrias do movimento ao longo do tempo dos pontos que definem aestrutura quando sujeita a um conjunto de foras dinmicas cuja descriotemporal dada.
Resultados quase exactos com um nmero limitado de graus de liberdade.
As expresses matemticas que caracterizam os movimentos dos pontos daestrutura designam-se como equaes do movimento da estrutura
Fases da Anlise Dinmica de Estruturas:
1. Formulao das Equaes do Movimento
1.1. Escolha dos graus de liberdade
1.2. Estabelecimento das equaes de equilbrio dinmico
2. Resoluo das Equaes do Movimento
Objectivo da Dinmica de Estruturas Estocstica: Determinao dascaractersticas probabilsticas das variveis estocsticas associadas aosdeslocamentos sofridos por estruturas sujeitas a foras dinmicas
caracterizadas estocasticamente.
Excitaes Peridicas Excitaes No Peridicas
Harmnica simples
Harmnica Complexa
Impulsiva
Longa durao
-
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I-4 Oscilador Linear com 1 Grau de Liberdade
Sistema dinmico mais simples redutvel a uma rigidez k, uma massa m e aum amortecimento c.
Estrutura redutvel a SDOF
Exemplos:
Formas de Representao:
rigidez k Mola simples ou rigidez condensada a 1gl
massa m Massas da estrutura segundo o grau de liberdade considerado
amortecimento c Amortecedor (foras proporcionais velocidade)
a)Distribuies de rigidez e massa.
b)Condies de fronteira.
c)Caractersticas dinmicas das aces.
m
k
u(t)
u(t)
m
kmk
u(t)
c
m
k/2
u(t)
c
k/2
-
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II EQUAES DO MOVIMENTO
II-1 Equao Geral de Movimento doSDOF
Propriedades fsicas essenciais:
1.massa m Fora de inrcia fI(t)
2.amortecimento c Fora amortecimento ou dissipativa fD(t)
3. rigidez k Fora de restituio elstica fS(t)
Equilbrio dinmico:
1.Fora de inrcia:
2.Foras amortecimento:
3.Fora de restituio elstica:
4.Fora de excitao externa:
Equao Geral de Movimento:
Equao diferencial linear de 2 ordem com coeficientes constantes (sistemalinear)
Clculo Diferencial Soluo geral + condies iniciais Soluo particular
1.Soluo da Equao no Homognea p(t)0 Regime forado
2.Soluo da Equao Homognea excitao nulap(t)=0 Regime livre
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0=+++
== tptftftf
t
SDI
0fR
( ) ( )tumtfI &&=
( ) ( )tuktfS =
( ) ( )tuctfD &=
( )tp
( ) ( ) ( ) ( )tptuktuctum =++ &&&
( ) ( ) ( ) 0=++ tuktuctum &&&
-
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II-2 Componentes Gravitacionais
Equao Geral de Movimento:
A equao do movimento expressa em relao posio de equilbrioesttico no afectada pela presena de foras gravitacionais (peso) ououtras foras estticas Sobreposio de efeitos para a determinao dosesforos, tenses e deformaes; resposta esttica + resposta dinmica svalido para o comportamento linear fsico e geomtrico.
Deslocamentoesttico
( ) ( ) ( ) ( ) Wtptuktuctum =++ &&&
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )tptuktuctum
tututututudt
dtu
tptuktuctum
WkWtptukktuctum
tukktftutu
st
stst
stSst
=++
==+=
=++
==+++
+=+=
&&&
&&&&&&&
&&&
&&&
eainda
como
como
-
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II-3 Excitao Provocada por Movimento da Base (Sismos)
Equilbrio dinmico:
1.Fora de inrcia:
2.Foras amortecimento:
3.Fora de restituio elstica:
A equao do movimento de um sistema actuado por um dado movimentorgido da base (constante ao longo da base) anloga do oscilador de basefixa com excitao igual ao produto da massa m pela acelerao dessemovimento.
Equao em coordenadas absolutas:
Melhor para a soluo movimentos variveis ao longo da base (basedeformvel)
( ) ( ) ( ) 0=++ tftftfSDI
( ) ( )tumtf tI
&&=
( ) ( )tuktfS =
( ) ( )tuctfD
&= ( ) ( ) ( ) 0=++ tuktuctumt &&&
Equao Geral do Movimento:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )tumtuktuctum
tutututututu
g
g
t
g
t
&&&&&
&&&&&&
=++
+=+=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tuktuctuktuctum
tutututututu
gg
ttt
g
t
g
t
+=++
==
&&&&
&&&
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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III REGIME LIVRE
III-1 Regime livre no Amortecido
Definio: Foras de excitao e foras de amortecimento nulas:
p(t) = 0 e c = 0
III-2 Soluo Geral da Equao do Movimento
O termo n a frequncia natural angular do oscilador no amortecido com1 grau de liberdade.
As constantesA eB so determinadas em funo das condies iniciais t=0:
A soluo pode tambm exprimir-se como:
( ) ( ) ( )movimento)doequaoar(satisfazecom
cossen
m
k
tBtAtu
n
nn
=
+=
( ) ( ) 0=+ tuktum &&Equao do Movimento
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )tututuuBuA
uuuu
tutuBuA
vuu
tutuuBA
uuu
BuAuBu
nnnn
nnn
n
n
+===
==
===
==
===
==
===
cossene
0e0para
sen0e
0e00para
cose0
00e0para
0;0;0
0000
00
00
0
00
0
2
&&
&&
&&
&&
&
&&&
( ) ( )
tanfasedenguloumeamplitudeumapara
cos
0
01
2
02
0
=
+=
+=
u
uuu
ttu
nn
n
&&
Im
Re
u0
0/ntn
tn
tn+
-
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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A resposta do oscilador no amortecido na ausncia de excitao (regimelivre) um movimento harmnico simples com frequncia f=n/2 ouperodo T=2/n (perodo inverso da frequncia)
Designa-se por frequncia natural no amortecidafn do oscilador linearcom 1gl de massa m e rigidez k frequncia de resposta em regime livredesse sistema dada por:
III-3 Regime Livre Amortecido
Foras Amortecimento: Foras responsveis dissipao de energia reduoda amplitude do movimento em regime livre.
2
1
entocomo2 m
k
fm
k
f nnn
n ===
( ) ( ) tane;cos0
01
2
02
0
=
+=+=
u
uuuttu
nn
n
&&
u(t)
u0
n
n
2T
=
0u&
t
n
n
t+
u(t)
m
k
c
Amortecedoru(t)
m
k
Regime LivreNo Amortecido
Regime LivreAmortecido
-
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Tipos Amortecimento: Modelao dos fenmenos de dissipao Forasproporcionais s grandezas cinemticas:
1. Amortecimento Viscoso Fora velocidade
2. Amortecimento de Coulomb Fora de atrito aodeslocamento
3. Amortecimento Histertico Comportamento cclico no lineardos materiais (e.g. efeito de Baushinger nos aos)
III-4 Soluo Geral para Amortecimento Viscoso
Regime livre amortecido: Fora de excitao nula, constante deamortecimento c0
m
k
u(t)
c
( )tuk( )tuc & ( )tum &&
m
k
u(t)
( )tuk ( )tum &&
( )
( ) Ntu
Ntu
+
0
0
N
m
k
u(t)
( )tuknl
( )tum &&
SF
u
nlk
Viscoso Coulomb Histertico
Equao do Movimentom
k
u(t)
c ( )tuk( )tuc & ( )tum && ( ) ( ) ( ) 0=++ tuktuctum &&&
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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As constantes G1 e G2 so determinadas em funo das condies iniciais
t=0 (soluo particular)Os aspectos qualitativos do regime livre do oscilador dependem do valor quetoma o radical na equao do 2 grau.
Constante de Amortecimento Crtico cc: Define-se o valor crtico cc daconstante de amortecimento como sendo aquele que anula o radical da equaodo 2 grau:
Coeficiente de Amortecimento : Define-se como a razo entre as constantesde amortecimento c e cc:
Razes da equao do 2grau:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) tsts
ts
ts
tststs
eGeGtum
k
m
c
m
cs
m
ks
m
cskscsmeG
kscsmeGtuktuctum
eGstueGstueGtu
+=
=
=++=++
=++=++
===
2121
2
2,1
22
2
2
22grau2doequao
0ou0ento0como
00&&&
&&&
( )12222
2
2
2,1 =
=
=
==
n
ncm
k
m
c
m
cs
m
c
mk
c
c
c
Soluo Geral:
ncncmc
m
kmk
m
kmc ==== 2fazendo22 2
1.>1c>ccs1,2 Reais, e < 0
2.=1c=ccs1,2 Reais, = e < 0
3.
-
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Amortecimento Superior ao Crtico >1
A resposta em regime livre do oscilador com um amortecimento superior aocrtico um movimento no oscilatrio.
Amortecimento Igual ao Crtico =1
A resposta em regime livre do oscilador com um amortecimento igual aocrtico tambm um movimento no oscilatrio (semelhante ao oscilador>1)
A resposta do oscilador com =1 tende mais rapidamente para zero que aresposta do oscilador com >1
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )121
1
2
2
2
1
21
22
21
0eReais1e1como
+
+=
-
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Amortecimento Inferior ao Crtico
-
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Designa-se por frequncia natural amortecidafDdo oscilador linear com1glde massa m e rigidez ke coeficiente de amortecimento frequnciade resposta em regime livre desse sistema dada por:
Im
Re
tD
tD
tD+
-
00 t
D
n neuu
+
&
0tneu
22
12
1entocomo
2
=
==
=nDn
D
Df
m
kf
m
kf
Resposta no Amortecida
Resposta Amortecida
-
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III-5 Reduo da Amplitude do Movimento
Coeficiente de Amortecimento
-
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A reduo de amplitude ao fim de n ciclos:
Avaliao experimental da coeficiente de amortecimento :
III-6 Amortecimento de Coulomb
Soluo Geral:
( )( )
2ln1
+=
DnTtu
tu
n
=
4
1ln23
1
u
u
Equao do Movimento: ( ) ( ) 0=+ Ftuktum &&
Direces do Movimento
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Fforadevidotodeslocamen
direitaesquerdamovimentoparacossincoscos
esquerdadireitamovimentoparacossincoscos
22
11
kFu
utBtAtu
utBtAtu
F
Fnn
Fnn
=
>+=
>++=
Decremento Linear
-
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IV RESPOSTA A EXCITAES HARMNICAS
Excitaes Harmnicas: Excitaes cuja srie temporal uma funoharmnica (seno ou coseno) de amplitude p0 e frequncia constantes aolongo do tempo.
Objectivo: Estudo da resposta do oscilador linear com 1gla excitaesharmnicas.
IV-1 Resposta No Amortecida a Excitao Harmnica
Resposta no amortecido: Fora de excitao harmnica, constante deamortecimento c=0, condies iniciais no nulas
Equao dif. linear no homognea de 2 ordem com coeficientes constantes
Soluo particular + Soluo complementar Soluo geral da equao
homognea (Regime Livre)
( ) ( )tptp = sen0
p0
-p0
T=2/
Resposta No Amortecida
k
p(t)
p(t) u(t)
c
k
p(t)
p(t) u(t)
Resposta Amortecida
Equao do Movimento( ) ( ) tptuktum =+ sen0&&mk
u(t)
m(t)ku(t) p(t)p(t)
-
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Soluo Particular:
Soluo Complementar: Soluo em regime livre no amortecido
Soluo Completa: Soma das solues particular e complementar
Exemplo: Resposta de um SDOF a uma excitao harmnica tal que /n=0.2e condies iniciais: u0=0 e
Mesmo que ambas as condiesiniciais sejam nulas existesempre uma parcela transitria frequncia n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )tk
ptu
k
p
mk
pGtptkGtGm
tptuktum
tGtutGtu
n
p
n
pp
=
=
==+
=+
==
sen1
1
1
1sensensen
senequilibriodeequaonadosubstituin
senesen
20
20
20
02
0
2
&&
&&
( ) ( ) ( )tBtAtu nnc += sencos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )tk
pt
k
pututu
uuuut
tk
ptBtAtututu
n
nn
n
n
nn
n
nnpc
+
+=
===
++=+=
sen1
sen1
cos
00;0parainiciaiscondiesimpondo
sen1
1sencos
20
200
0
00
20
&
&&
Regime Transitrio Regime Estacionrio
RegimeEstacionrio
Resposta Total
Excitao Harmnica kpu n 00 =&
-
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Anlise da Resposta Estacionria:
O termo responsvel pela amplificao dinmica da
resposta em relao resposta esttica.
Se /n0 a resposta tende para o deslocamento esttico u(t)ust
Observa-se que para n, ou seja, quando a frequncia de excitao muito prxima da frequncia natural no amortecida a resposta up(t)para n respectivamente.
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )180para
0parasen
1
1
ousen1
1
amplitudedevidoestticotodeslocamendamximovalorO
aestticarespostasenmassen1
1
n
n2
2
00
02
0
=>
=>
+=
t
ttp
dttpt
ttp
( )
( ) :equaodaladososambosintegrando
constantemassapara:NewtondeLei2
12
2
1 umuumpdt
umppumdt
d
t
t &&&
&&&
==
==
( ) mut /1== &
( ) 0== ut
( )[ ]
( )
( )[ ]
=
=
ttm
etuth
ttm
tuth
DD
t
nn
n
parasen)()(
parasen1
)()(
-
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VI-2 Resposta a Excitao Arbitrriap(t)
Representao de p(t): Qualquer excitao p(t), variando arbitrariamente,
pode ser representada por uma sequncia de impulsos infinitesimais. Aresposta du(t) de um sistema dinmico linear a um impulsop()dtno instante dada por:
Integral de Duhamel: A resposta u(t) do sistema ao fim do tempo t dadapela soma das contribuies du(t) de todos impulsos:
substituindo pela reposta ao impulso unitrio h(t-) tem-se que:
Soluo Analtica pelo Integral de Duhamel: Baseado na soluo analticado integral de Duhamel.
Exemplo:
[ ] = tthdptdu para)()()(
== tdthptdututt para)()()()(00
( )
( )
( )
0
0
1resposta no amortecida ( ) ( ) para
resposta amortecida ( ) ( ) paran
t
n
n
t
t
D
D
u t p sen t d t m
eu t p sen t d t
m
= >
= >
( ) ( )[ ] )(
:0paraamortecidaresposta
0
0
=
>
tD
t
D
dtsene
m
ptu
t
n
sen1
cos-1)(2
0
+= tte
k
ptu DD
tn
-
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VI-3 Soluo Numrica para Excitao Arbitrria
Mtodo: Baseado na soluo numrica do integral de Duhamel ao longo do
tempo determinao da evoluo da resposta (mtodo de Iwan).1.Representao da excitao p(t) numa sucesso de n impulsosp1, p2,, pi,
pi+1, ,pn de durao t;
2.Determinao da resposta i+1para: condies iniciais no nulas, ii uu &e ;
uma funo constantepi de durao te umafuno rampa (pi+1- pi)/t, ambas comcondies iniciais nulas
:pordadas,1ntoamortecimedeecoeficientpara,constantesso
'equeem11
1
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
40
Exemplo: Para um oscilador com n = 6,283 rad/s, =5% e k=10 kN/mdeterminar a resposta para uma fora definida com o meio arco de senomostrado na figura:
1.Clculos iniciais: Determinao das constantes
2.Clculo da resposta: Aplicao do mtodo numrico de forma recursiva.
Deslocamentos ui
Velocidades ui
=
=
==
===
1871.01709.0
006352.001236.0
7559.05795.3
09067.08129.0
8095.0)cos(;5871.0)sin(
;257.61;9691.0 2
DC
DC
BA
BA
tt
e
DD
nDtn
.
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
41
VI-4 Espectro de Resposta
Descries Espectrais de Movimentos: Representaes de movimentos(excitao ou resposta) atravs de valores representativos da amplitude dasdiferentes componentes harmnicas que os formam.
Espectro de Fourier: Vibraes no peridicas Decomposio harmnicaatravs da transformada discretaDFT Espectro CoeficientesDFT.
S. Fourier: ( ) ( ) ( )0 0 01 1
cos
= =
= + + j jj j
x t a a j t b sen j t em que0 0
2= T
relaes de Euler:( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0 0
0
0 0
0
0
0
1cos
2
2
=
= + =
=
i j t i j t
i j t
ji j t i j t
j t e e
x t F j ei
sen j t e e
com ( ) ( )0 00 00
1 = T i j t
F j x t e dtT
com 0, 1, 2,= Kj ou
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0 0 0 00 00 0
1 1cos= =
T T
F j x t j t dt i x t sen j t dt C j iS jT T
Espectro de Amplitude de Fourier: ( ) ( ) ( )2 2
0 0 0 +F j C j S j
F(-j0)
(t)
T0 T0T0
F(j0)
0
-j0
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
42
Como0=(2)/T0 as frequncias do Espectro de Amplitude de Fourier dasvibraes sero sempre mltiplos de 0 para boa discretizao emfrequncia do espectro (0 pequeno) T0 elevado.
Espectro de Resposta: Respostas mximas de osciladores lineares de massaunitria com 1gl, com coeficiente de amortecimento comum, para diferentesfrequncias naturais n, sujeitos ao mesmo movimento da base e condiesiniciais nulas.
11 2 nc = 22 2 nc = nkkc = 2m=1
211 nk =
222 nk =
2nkkk =
)max(,1
u
)max( ,2 u
)max( ,ku
m=1 m=1
Respostas mximas: Aceleraes absolutas ou deslocamentos relativos.
Na representao de vibraes atravs de espectros de resposta toma-se, emgeral, o valor mximo absoluto do deslocamento relativo ou da aceleraoabsoluta.
S em vibraes harmnicas estes espectros coincidem, caso contrrio, asrepresentaes podem diferir ligeiramente.
Tk=2/k
T=2/
Aceleraes Absolutas max()
max(k, )
Tk=2/k
T=2/
Deslocamentos Relativos max(u)
max(uk, )
-
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43
VI-5 Representao Trilogartmica do Espectro de Resposta.
Vibraes harmnicas em papel trilogartmico:
Num grfico logxlog, com T=2/ nos eixos das abcissas e a velocidade
mxima no eixo das ordenadas, movimentos harmnicos de deslocamentoconstante fazem-se representar por rectas com inclinao de -1 (135).
Num grfico logxlog, com T=2/ nos eixos das abcissas e a velocidademxima no eixo das ordenadas, movimentos harmnicos de aceleraoconstante fazem-se representar por rectas com inclinao de 1 (45).
1
10D
20D
2
Log da
Velocidade
Log do
Perodo
45
Logdo
Deslo
camento11D
21D
1
10 / A
20 / A
2
Log da
Velocidade
Log do
Perodo
Logda
Acelerao
11 / A
21 / A
45
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
==
=
==
==
)log()2log()log();log()2log()log(
Logsostomando;/2)max(
frequnciaoutrapara;/2)max(
cos;:ConstantetoDeslocamen
20max210
max1
20
21010
11010
TDuTDu
TDtu
TDDtu
tDtutsenDtu
&&
&
&
&
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
+
=+
=
=
=
==
)log()2
log()log();log()2
log()log(
Logsostomando;2)max(
frequnciaoutrapara;2
)max(
;cos/
:ConstanteAcelerao
20max
210max
1
20
210
10110
TA
uTA
u
T
A
tu
TA
tu
tsenAtutAtu
&&
&
&
&&&
-
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Papel trilogartmico:
0.5
1
5
10
50
100
250 0.
150 1
0 5 1 0.5
0.02 0.1 0.5 1 5 10 200.1
500
100
50
10
5
1
Aceleraes [g]
Perodo [sec.]
Ve
locidade[cm/s]
Des
locamento[cm
]
Exemplo: Quais as amplitudes de velocidade e acelerao de um movimentoharmnico com uma frequncia de 0,5Hze uma amplitude de 5cm dedeslocamento.
15,7 cm/s
0.0504g
-
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Limites de Vibraes harmnicas em papel trilogartmico:
Efeitos das Vibraes sobre as pessoas Freq. 1-10 Hz
amax(mm/s2)
Freq. 10-100 Hz
vmax(mm/s)Imperceptveis 10 0.16
Perceptveis por alguns 40 0.64
Claramente Perceptveis 125 2
Incomodativas 400 6.4
Desagradveis ou dolorosas se de longadurao 1000 16
Prejudiciais > 1000 > 16
0.5
1
5
10
50
100
250 0.
150 1
0 5 1 0.5
0.02 0.1 0.5 1 5 10 200.1
500
100
50
10
5
1
Aceleraes [g]
Perodo [sec.]
V
eloc
ida
de
[cm
/s]
Des
locamen
to[cm
]
-
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Espectros de resposta trilogartmico de vibraes no peridicas:
Acelerao do solo
-0.3
-0.3
-0.2
-0.2
-0.1
-0.1
0.0
0.1
0.1
0.2
0.2
0.3
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0
tempo (seg.)
ag
(g)
0.5
1
5
10
50
100
250 0.150 10 5 1 0.5
0.02 0.1 0.5 1 5 10 200.1
500
100
50
10
5
1
Deslocamen
to[cm]
Acelerao [g]
Velocidade
[cm/s]
Perodo [s]
Espectro de Resposta
Acelerao
Absoluta
-
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VII OSCILADOR GENERALIZADO DE 1Gl
Objectivo: Anlise dinmica de estruturas mais complexas que o SDOF comoas que resultam da associao de corpos rgidos ou as que possuemdistribuio de rigidez e de massa de um forma contnua.
Associao de Corpos Rgidos: Estrutura cujos movimentos dinmicos u(x,t)resultam do produto de uma funo geomtricag(x) que descreve o movimentode corpo rgido do sistema pela funo de resposta do tempo de um SDOF
generalizado u*(t). Em geral estruturas com distribuio de rigidez e/ou massaconcentrada em diversos pontos, ligados por um elementos muito rgidos demassa desprezvel (e.g. mquinas) u(x,t)=g(x)u*(t)
Sistema Contnuo: Estrutura cujos movimentos dinmicos u(x,t) se descrevem,com boa aproximao, pelo produto de duas funes: (1) funo de forma (x),independente do tempo, mas compatvel com as condies de fronteira dosistema; e (2) funo de resposta de um SDOF generalizado u*(t). Em geralestruturas de geometria simples que possuem distribuio contnua de rigidez e
massa (e.g. laje, consola) u(x,t)=(x)u*(t)
Sistema Discreto de 1Gl Sistema Contnuop(t)
m1
kc
m2
m1
m2
z(t)
u(x,t)=x.z(t)
x
c k
p(t)
EI(x),m(x)
x
u(x,t)=(x).z(t)
z(t)
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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Generalizao a um 1gl: Determinao das propriedades de massa, rigidez eamortecimento relativas de uma coordenada do sistema escolhidacriteriosamente Coordenada Generalizada u*(t); Massa Generalizada m*;
Rigidez Generalizada k* e Amortecimento Generalizado c*
A generalizao a SDOFnas associaes de corpos rgidos com 1Glresulta,em geral, da considerao da dinmica corpos rgidos, ligados rigidamenteao exterior por todos os graus de liberdade menos um (ligao flexvel rigidez do sistema); movimentos dinmicos descritos por uma coordenadageneralizada outros movimentos do sistemaresultam da considerao da
geometria do movimento de corpo rgido.
A generalizao a SDOF dos sistemas contnuos resulta, em geral, daconsiderao da dinmica de corpos deformveis limitadas a uma nicaconfigurao da deformada (funo de forma); movimentos dinmicosdescritos por um SDOF outros movimentos do sistema resultam damultiplicao dos movimentos da coordenada generalizada pela funo de
forma.
A generalizao a SDOF de associaes de corpos rgidos com 1Gl exacta todas as configuraes possveis da deformada do corpo rgido soreproduzidas. Pelo contrrio, a generalizao a SDOF desistemas contnuos aproximada somente as configuraes da estrutura segundo a funo deforma escolhida so reproduzidas.
-
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VII-1 Associaes de Corpos Rgidos.
Exemplo:
Equao do Movimento doSDOFGeneralizado: equilbrio de momentosMem torno do apoio fixo.
Massa Generalizada:
m1
kc
L/2 L
3L/4L/4
L/4
m2
p(t)
kc
L/2 L
p(t)
(t)
u(x,t)=x(t)
L
x'
u(x',t)=x'(t)
221
221
22
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2
22
2
11
21
222
22222
2
111
)128
137
3
1(
)128
137
3
1(
16
17
128412
1282;
12
I,ICGs;dostronoemdiscoumdeebarraumaderotaodeinrcias
16
17)
4(;
4
.dogeneralizaliberdadedegraudounitriarotaodeacelerao
umaparasequeforadevidosapoionoMomentosG.Massa
Lmmm
LmmLmL
mL
mL
mm
mmm
Lm
RmI
LmI
LmILL
mImL
mIm
+=
+=+++=
+=
===
+=
++=+=
( ) ( ) ( ) ( )tptktctmMMMM pcmk*=++=++ &&&&&&
-
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Rigidez e Amortecimento Generalizados:
Excitao Generalizada:
Equao do Movimento doSDOFGeneralizado: equilbrio de momentosMem torno do apoio fixo.
4;
2)
2(
do.generalizaliberdadedegraudounitriarotaodeevelocidadparatecedor
-amornogerasequeforadevidosapoionoMomentosG.ntoAmortecime16
9;
4
3)
4
3(
do.generalizaliberdadedegraudounitriorotaodetodeslocamenpara
molanagerasequeforadevidosapoionoMomentosG.Rigidez
2
2
Lcc
LLcc
Lkk
LLkk
==
==
m1
kc
L/2 L
3L/4L/4
L/4
m2
p(t)
kc
L/2 L
p(t)
(t)
u(x,t)=x(t)
L
x'
u(x',t)=x'(t)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )tpL
tL
ktL
ctLmm
tptktctm
216
9
4)
128
137
3
1(
222
21
*
=+++
=++
&&&
&&&
)(2
)(
externa.foradevidosapoionoMomentosG.Excitao
tpL
tp =
-
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Mtodo de Anlise:
1.Escolha da coordenada generalizada do sistema Identificao domovimento de corpo rgido.
2.Determinao da massa, rigideze amortecimento generalizados do sistema foras inrcia de rigidez e de amortecimento mobilizadas pelosmovimentos de corpo rgido do sistema resultantes de movimentos unitriosda coordenada generalizada.
3.Determinao da excitao generalizada utilizao da massageneralizada para movimentos da base; se devida a outras foras aplicadasno sistema traduzi-las em termos das foras aplicadas na coordenadageneralizada.
4.Anlise dinmica do sistema generalizado Determinao da respostadinmica do SDOF generalizado excitao generalizada dadadefinido em2 e 3 respectivamente.
5.Determinao dos movimentos da estrutura Por compatibilizao dosmovimentos da coordenada generalizada com os movimentos de corpo
rgido do sistema.
Inrcia de Rotao:
-
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VII-2 Sistemas Contnuos
Exemplo: Consola de seco transversal varivel, EI(x) e m(x), sujeita amovimentos impostos na base ug(x).
Princpio dos Trabalhos Virtuais: Se um sistema em equilbrio fica sujeito aum deslocamento virtual u(x), o trabalho virtual WE realizado pelas forasexternas sob os deslocamentos externos virtuais = Trabalho realizado pelasesforos internos sob as deformaes internas virtuais.
Equaes do Movimento: Em termos absolutos ut(x,t)= u(x,t)+ug(t)
1.Trabalho externo WE produzido pelas foras externas sobre osdeslocamentos virtuais u(x)
[ ]( ) ( ) ( )dxxuxmtudxxutxuxmdxxutxfW
tutxuxmtxuxmtxfL
g
LL
IE
g
t
I
==+==
000)()(),()(),(
)(),()(),()(),(AlembertD'dePrincpio&&&&
&&&&&&
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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2.Trabalho interno WIproduzidopelos momentos internos M(x,t)sobre ascurvaturas virtuais u''(x)
3.Exprimindo os trabalhos virtuais em termos de uma funo de forma (x),compatvel com as condies de fronteira, e de uma coordenadageneralizadaz(t):
4.Exprimindo o trabalho virtual externo e interno em termos da funo defrma adoptada
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )dxxutxuaxEIdxxutxuxEIW
dxxutxuatxuxEIW
txuatxuxEItxM
Ea
xxuxudxxutxMW
LL
I
L
I
L
I
+=
+=
+=
+=
==
0 10
0 1
1
1
22
0
,)(,)(
,,)(
,,)(),(
extensesdasevelocidad
isproporcinasontoamortecimeaodevidastensesasqueAssumindo
curvaturaqueem),(
&
&
&
&
zxxuzxxu
tzxtxutzxtxutzxtxutzxtxutzxtxu
==
== ===
)()(e)()(
formadefunoacomesconsistentvirtuaistosdeslocamenAssumindo
)()(),()()(),()()(),()()(),()()(),(
&&&&&&
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
2
0 0
10 0
2 2
10 0
( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) z
( ) , ( ) ,
( ) ( ) ( ) ( )
L L
E g
L L
E g
L L
I
L L
I
W m x u x t u x dx u t m x u x dx
W z t m x x dx u t m x x dx
W EI x u x t u x dx EI x a u x t u x dx
W z t EI x x dx a z t EI x x dx
= = +
= +
= +
&& &&
&&&&
&
& z
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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5.Igualando as Energias e exprimindo em termos da coordenada generalizada
Mtodo de Anlise:
1.Escolha da coordenada generalizada do sistema Seleco da funo deforma mais apropriada, compatvel com as condies de fronteira do sistema
e identificao de uma coordenada generalizada.
2.Determinao da massa, rigidez e amortecimentos generalizados do sistema Integrais das foras inrcia de rigidez e amortecimento mobilizadas pelosmovimentos resultantes da aplicao da funo de forma.
3.Determinao da excitao generalizada Integral do produto da funo deforma pela massa distribuda ao longo da estrutura (deslocamentos impostos)
4.Anlise dinmica do sistema generalizado Determinao da respostadinmica do SDOFgeneralizado excitao generalizada.
5.Determinao dos movimentos da estrutura Por multiplicao dosmovimentos da coordenada generalizada pela funo de forma.
Para a determinar os esforos internos - momentos, esforos transversos, etc.- podem utilizar-se dois processos: (1) Esforos devidos imposio emcada instante da deformada esttica u''(x,t) ou (2) Esforos devidos imposio deforas externas equivalentesfs(x) que causam u(x,t) num dadoinstante.
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
2
0 0
2 2
10 0
2
0
2
1 0
( ) ( ) ( ) ( ) z( ) ( ) ( ) ( ) z
( ) ( ) ( ) ( ) sendo
( ) massa generalizada
( )
E I
L L
g
L L
g
L
L
W W
z t m x x dx u t m x x dx
z t EI x x dx a z t EI x x kdx
m z t c z t k z t L u t
m m x x dx
c a EI x x dx
=
+ =
= + + + =
=
=
&&&&&
&&&& &
( )( )
2
0
0
amortecimento generalizado
( ) rigidez generalizada( ) ( ) ( ) excitao generalizada
L
L
g g
k EI x x dxL u t u t m x x dx
=
=
&& &&
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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VII-3 Sistemas de Rigidez Distribuda e Massa Concentrada.
Definio: Estruturas com rigidez distribuda ao longo do seudesenvolvimento espacial e massas concentradas em pontos discretos damesma.Massas Concentradas >> Massa Distribuda.
Exemplo: Edifcios em prtico parede ou mistos cuja maior parte do peso seconcentra ao nvel dos pavimentos, considerados como diafragmas rgidos paradeformaes no plano de cada piso.
1.Edifcios em prtico: Caso rigidez das vigas >> dos pilaresIdealizao atravs de Consolas com Deformabilidade por Corte
(Shear Building).
2.Edifcios em Parede: Caso rigidez das vigas
-
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Equao do Movimento: Idealizao atravs de uma Consola por Corte
1.Funo de forma: Deslocamento do piso superior N Coordenadageneralizadaz(t); Funo de forma j deslocamentos dos outros pisos (N=1)
2.Deslocamento absolutos dos pisos:
3.RelaesEsforo Transverso - Deslocamento relativo entre pisos (Consolapor Corte):
4.Trabalho externo WE produzido pelas foras externas (foras de inrcia)sobre os deslocamentos virtuaisuj
Princpio de DAlembert
pisocadaem)(definequevectorumqueem
:vectorialformatoem)()()(
=
=
z(t)(t)
tzhtu jj
u
)()()( tututu gjtj +=
=
+=
colunas j
jj
jjjj
hEIk
ktututV
3
1
12
))()(()( Piso
Pisoj-
uj(t)- uj-1(t)
EIj
)()()()( tutumtumtf gjjtjjIj &&&&&& +==
j
N
j jgj
N
j jjj
N
j IjE umtuutumutfW == === 111 )()()(&&&&
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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5.Trabalho interno WI produzido pelos esforas transversos Vj sobre osdeslocamento relativos virtuais entre pisos uj
6.Trabalhos externo WEe interno WIem termos da coordenada generalizadaz(t) e do vector de forma j
7.Princpio dos trabalhos virtuais PTV:WI= WE
Em termos matriciais as propriedades generalizadas de estruturas de umedifcios idealizados atravs de consolas (corte, flexo ou mista) podem serexpressas por:
)()( 11 = = jj
N
jjI uutVW
zktzW
zmtumtzW
N
jjjjI
j
N
jjg
N
jjjE
=
=
=
==
1
21
11
2
)()(
)()( &&&&
efectivamassa
dageneralizarigidez
dageneralizamassa
1M
K
M
=
=
=
T
T
T
L
k
m
dageneralizaexcitao)()(
dageneralizarigidez)(
dageneralizamassa
)()()(
ou)()()()(
)()()()(
1
1
21
1
2
11
21
1
2
11
2
1
21
j
N
jjgg
N
jjjj
N
jjj
g
j
N
j
jg
N
j
jjj
N
j
jj
j
N
jjg
N
jjj
N
jjjj
mtutuL
kk
mm
tuLtzktzm
mtuktzmtz
zmtumtzzktz
=
=
=
=+
=+
=
=
=
=
==
=
===
&&&&
&&
&&&&
&&&&
-
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58
sendo M a matriz de massa diagonal (de NxN elementos) com a massa mjde cada piso na diagonale Ka matriz de rigidez (de NxN elementos) daestrutura do edifcio condensada aos graus de liberdade dos deslocamentos
horizontais de pisos que definem a consola vertical. 1 um vector de Nelementos unitrios.
O amortecimento viscoso em geral definido em termos da coordenadageneralizadazatravs de um coeficiente .
A resposta mxima do sistema a qualquer excitao (movimentos na base)pode ser determinada resolvendo o SDOF generalizado excitaogeneralizada determinando o deslocamento mximo da coordenadageneralizada z
max. Por multiplicao de z
maxpelo do vector de forma
j
determinam-se os deslocamentos dos pisos uj e, consequentemente, as forasestticas equivalentes mximas actuantes ao nvel de cada piso.
A frequncia natural no amortecida do sistema generalizado dada por:
=
==
=
=
M
KT
T
n
N
j
jj
N
j
jjj
nm
k
m
k
ou
)(
1
2
1
21
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
59
Exemplo : Determine a frequncia natural generalizada do edifcio (consolapor corte) para uma funo de forma linear em altura e desenvolva a equaodo movimento da coordenada generalizadaz(deslocamento no topo).
)(355
11
:movimentodoequao
35
54321
302.0
5/11
/5
5
11
5
54321
5511111)(
linearvariaocomlinearformadefuno
5
1
2
222225
1
2
2
222225
1
21
tumz(t)k
(t)zm
mmmL
m
k
m
k
m
k
mmmm
kkkk
g
j
j
n
j
j
j
jj
j
&&&& =
+
=++++==
===
=++++
==
=++++==
=
=
=
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
60
20
0
0
2
1
molanaelsticadeformaodeEnergia
)4(MximaPotencialEnergia
)cos()'(
)sen()'(
:livreregimeemevelocidadetodeslocamen
ukE
/Tt'
tutu
tutu
s
n
nn
n
=
=
=
=
&
20
220 2
1
2
1)0(MximaCinticaEnergia umumEt' nK === &
m
kumukEE nnKS ===
=
20
220 2
121
MximaPotencialEnergiaMximaCinticaEnergia
VII.4 Frequncias Naturais pelo Mtodo de Rayleigh
Lord Rayleigh (1873): Baseado no princpio da conservao da energiadesenvolve um mtodo que permite com, boa aproximao, determinar afrequncia natural no amortecida (frequncia fundamental ou 1 frequncia
prpria) de um sistema estrutural.
Sistemas Massa - Mola (SDOF): Regime livre no amortecido
Conservao da Energia (sistema no amortecido): A energia total de umsistema em vibrao em regime livre constante (no varia no tempo)
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
61
VIII EQUAES DO MOVIMENTO DEMDOF
Objectivo: Formulao das equaes de equilbrio dinmica de sistemasestruturais com mais de um grau de liberdade.
Exemplos: Edifcios com muitos pisos e pontes - Edifcios de 1-3 pisos Oscilador Generalizado (SDOF).
IX-1 Sistema simples com 2 Gls
Seleco dos Graus de Liberdade, Gls: Nmero de movimentos
independentes necessrios para definir as configuraes deformadas do sistemadinmico relativamente sua deformada esttica deslocamentos absolutosdas massas m1 e m2u1 e u2
Propriedades Fsicas:
1.Massas m1e m2 Foras de inrcia fI,1(t) e fI,2(t)
2.Amortecimento c1e c2 Foras amortecimento fD,1(t) e fD,2(t)3.Rigidez k1e k2 Foras de restituio elstica fS,1(t) e fS,2(t)
1.Foras de inrcia:
2.Foras de restituio:
3.Foras amortecimento:
4.Foras de excitao:
222,111, ; umfumf II &&&& ==
)(;)( 1222,122111, uucfuucucf DD &&&&& ==
21 ; pp
)(;)( 1222,122111, uukfuukukf SS ==
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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Equaes do Movimento: Aplicao do princpio de DAlembert a cada
massa m Equilbrio dinmico Equilbrio esttico (+ foras de inrcia) acada instante t.
Sistema de equaes diferenciais de 2 ordem de coeficientes constantes(sistema linear); Clculo Diferencial Soluo geral + condies iniciais
3.Soluo da Equao Homognea excitao nulap(t)=0 Regime livre
4.Soluo da Equao no Homognea p(t)0 Regime forado
=++
=++++
212212222
1212112121111
)()(
)()(
puukuucum
puukukuucucum
&&&&
&&&&&
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=+++
=+++==
222,2,2,
111,1,1,
deEquilbrio0
deEquilbrio0
mtptftftf
mtptftftft
SDI
SDI0fR
=++
=++++
22212221222
1221212212111 )()(
pukukucucum
pukukkucuccum
&&&&
&&&&
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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Formulao Matricial das Equaes do Movimento:
As equaes do movimento de sistema com mais de 1gl podem serexpressas sob forma matricial introduzindo a seguinte notao:
1.Matriz de Rigidez k: Matriz de coeficientes kij que exprimem asforas derestituio que se geram no grau de liberdade j devido a umdeslocamento unitrio no grau de liberdade i, sendo nulos osdeslocamentos nos outros graus de liberdade.
2.Matriz de Amortecimento c: Matriz de coeficientes cij (amortecimentoviscoso) que exprimem asforas de amortecimento que se geram nograude liberdade j devido a uma velocidade unitria no grau de liberdade i,sendo nulas as velocidades nos outros graus de liberdade.
3.Matriz de Massa m: Matriz de coeficientes mij que exprimem asforas deinrcia que se geram no grau de liberdade j devido a uma aceleraounitria no grau de liberdade i, sendo nulas as aceleraes nos outros
graus de liberdade.
RigidezdeMatriz
ntoAmortecimedeMatriz
MassadeMatriz0
0
:sendo
)()()()(
)(
)()(;
)(
)()(;
)(
)()(fazendo
)()(
22
221
22
221
2
1
2
1
2
1
2
1
22212221222
1221212212111
+=
+=
=
=++
=
=
=
=++
=++++
kk
kkk
cc
ccc
m
m
tttt
tu
tut
tu
tut
tu
tut
pukukucucum
pukukkucuccum
k
c
m
pukucum
uuu
&&&
&&
&&&&
&
&&
&&&&
&&&&
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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Exemplo: Edifcios em prtico de 2 pisos idealizado como Consola comDeformabilidade por Corte (Shear Building).
VIII-2 Equaes Gerais do Movimento de Estruturas ReticuladasPlanas.
Equaes do Movimento: Aplicao da teoria geral de estruturas (mtodo dosdeslocamentos)
1.Discretizao em elementos estruturais e definio degls
=
++
++
=++
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0
0ou)()()()(
2
1
2
1
22
221
2
1
22
221
2
1
2
1
tp
tp
tu
tu
kk
kkk
tu
tu
cc
ccc
tu
tu
m
mtttt
&
&
&&
&&&&& pukucum
ElementosEstruturais
Ns
8 Graus de Liberdade Despreza-se adeformao axial das vigas e pilares.
Gls
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
65
2.Formao da matriz de rigidez k: Mtodo dos deslocamentos
Para N graus de liberdade:
Na formao da matriz de rigidez k pode utilizar-se qualquer mtodo daTeoria de Estruturas (deslocamentos, foras ou dos elementos finitos) desdeque kvenha expressa em termos dos graus de liberdade u escolhidos paradescrever as configuraes da deformada dinmica da estrutura.
Foras de restituio elstica
Termos de rigidez relativos ao gl u1 Termos de rigidez relativos ao gl u4
=
888281
282221
181211
kkk
kkkkkk
L
MMMM
LL
k
ukfS =
=
+++=
NNNN
N
N
SN
S
S
NNSi
u
u
u
kkk
kkk
kkk
f
f
f
ukukukfM
L
MMMM
L
L
ML
2
1
821
22221
11211
2
1
1212111
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
66
3.Formao da matriz de amortecimento c:
Para N graus de liberdade:
Considera-se o amortecimento viscoso em estruturas como uma forma desimular mecanismos muitas vezes mais complexos de dissipao de energia.Desta forma a formao dos termos cij faz-se recorrendo seguinteexpresso:
Pode ainda considerar-se o amortecimento expresso unicamente atravs dascoordenadas modais da estrutura.
=
888281
282221
181211
ccc
ccc
ccc
L
MMMM
L
L
c
ucf &
&
M
&
&
L
MMMM
L
L
M&L&&
=
=
+++=
D
NNNN
N
N
DN
D
D
NNDi
u
u
u
ccc
ccc
ccc
f
f
f
ucucucf2
1
821
22221
11211
2
1
1212111
kmc +=+= ijijij kmc
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
67
4.Formao da matriz de massa m:
Para N graus de liberdade:
A massa de uma estrutura, apesar de distribuda, pode ser considerada como
concentrada nos ns da estrutura nos quais se definem os gls de translaoda estrutura. A massa concentrada em cada uma desses ns determina-sepela proporo do peso da estrutura que pode ser atribudo a cada n.
=
888281
282221
181211
mmm
mmm
mmm
m
L
MMMML
L
umf &&
&&
M
&&&&
L
MMMM
LL
M&&L&&&&
=
=
+++=
I
NNNN
N
N
IN
I
I
NNIi
u
u
u
mmm
mmm
mmm
f
f
f
umumumf2
1
821
22221
11211
2
1
1212111
Termos de inrcia relativos a 1=1 Termos de inrcia relativos a 4=1
-
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Pode ainda definir-se a matriz de massa de uma estrutura de uma formaconsistente com a sua matriz de rigidez (assemblagem de matrizes doselementos). Define-se a matriz de massa do elemento estrutural atravs de:
em que m(x) a massa distribuda ao longo do elemento de comprimento Li e j so as funes de forma utilizadas na deduo da matriz de rigidezdo elemento.
Se a matriz de massaconsistente todos os seus elementos so 0 (matrizcheia). Se a matriz de massa concentrada ela em geral diagonal(elementos no nulos s na diagonal)
dxxxxmm jL
iij )()()(0 =
-
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IX REGIME LIVRE NO AMORTECIDO DEMDOF
IX-1 Regime Livre No Amortecido de 2Gls
Os movimentos das massas no so harmnicos.
A deformada relativa (u1/u2) no constante ao longo do tempo.
Que condies iniciais u1 e u2 de tal forma que os movimentos de ambas asmassas sejam harmnicos e que sobrepostos resultem no movimento inicial.
=
+
=+
0
03
0
02
)()(
2
1
2
1
u
u
kk
kk
u
u
m
m
tt
&&
&&
&& 0ukum
=
=
0
0
)0(
)0(;
2
2/1
)0(
)0(
:iniciaiscondies
2
1
2
1
u
u
u
u
&
&
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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A deformada relativa (u1/u2) dos dois movimentos constante ao longo dotempo para cada um deles definindo uma configurao deformadacaracterstica. Essas configuraes normalizadas designam-se pormodos devibrao da estrutura e so dadas por:
Aos perodos T1 e T2 dos movimentos harmnicos associados aos modos devibrao 1 e 2 correspondem as frequncias prprias angulares (oufrequncias naturais) do sistema dadas por:
=
=
0
0
)0(
)0(;
1
2/1
)0(
)0(
:iniciaiscondies
2
1
2
1
u
u
u
u
&
&
=
=
0
0
)0(
)0(;
1
1
)0(
)0(:iniciaiscondies
2
1
2
1
u
u
u
u
&
&
=
=
1
1;
1
2/121
22
11
2;
2
TT
=
=
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
71
IX-2 Definio de Frequncias Prprias e Modos de Vibrao deSistemasMDOF
[ ]
[ ]
[ ]
=+++
=+++
=+++
=
=
=+
=+
=+=
=+
+=
+=
=
+
0)(
0)(
0)(
)(Expandindo-5
)(PrpriosVectrorese)(ValoresdeMatricialEquao
0
0)(
)()()cos()(
equilibriodeequaonadoSubstituin-4
)()cos()(
gl.cadaparaResposta-3
)()cos()(
HarmnicaSoluo-2
)()(
espao)(tempovariveisdeSeparao-1
,
2
,22,11
,2,2222
22,121
,1,212,1112
11
2
22
2
2
22
NNNNnNNnNnN
nNnnnn
nNnnnn
nn
nnnnn
nnn
nnnn
nnnnnnnnn
nnnnn
nnnnn
nn
mkkk
kmkk
kkmk
tq
tqtsenBtAt
tsenBtAt
tsenBtAtq
tqt
M
L
L
&&
&&
0mk
mk
km
km
u
0u(t)k(t)um
u
u
Sistema de N equaesalgbricas lineares (2Nincgnitas)
-
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Soluo de problemas de Valores e Vectores Prprios:
Ao polinmio resultante do desenvolvimento do determinante designa-seporequao caracterstica. As Nsolues n da equao caracterstica soos valores prprios as correspondentes frequncias angulares n so asfrequncias prprias (ou naturais) do sistema.
ExistemNvectores n independentes que se designam por vectores prpriosassociados a cada frequncia prpria n. Estes vectores, definidos a menosde uma constante multiplicativa, so as solues do sistema de equaes:
OsNvectores prprios n so os modos de vibrao do sistema possuindo asseguintes propriedades de ortogonalidade:
A propriedade de ortogonalidade permitem desacoplar o sistema inicial deNgraus de liberdade em Nsistemas desacoplados com 1gl cuja rigidez emassa so dados por:
=
=
=+++
=+++
=+++
=
0detrivialnoSoluo
repousoemsistematrivialSoluo
0)(
0)(
0)(
)(
2
,2
,22,11
,2,222222,121
,1,212,1112
11
2
mk
0
0mk
n
n
NNNNnNNnNnN
nNnnnn
nNnnnn
nn
mkkk
kmkk
kkmk
M
L
L
Polinmio de ordemNem nn =2
=+++
=+++
=+++
0)(
0)(
0)(
,2
,22,11
,2,2222
22,121
,1,212,1112
11
NNNNnNNnNnN
nNnnnn
nNnnnn
mkkk
kmkk
kkmk
M
L
L
0;0e0;0 == nTnn
Tnn
Trn
Tr mkmk
nnTnnn
Tn mk == mk e
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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IX-3 Equaes do Movimento em Coordenadas Modais
Ortogonalidade dos Modos de Vibrao: Os modos de vibrao de umsistema estrutural verificam certas condies de ortogonalidade.
Definio: Define-se como a matriz modalde um sistema comNgls a matriz,
de dimenso NxN, cujas colunas so os Nmodos de vibrao ordenados porordem crescente das respectivas frequncias prprias. A matriz diagonal cujostermos so o quadrado das frequncias prprias angulares do sistema designa-se pormatriz espectral.
As matrizes de rigidez e massa do sistema estrutural projectadas noreferencial cuja matriz transformao a matriz modal so diagonais Ortogonalidade
[ ]
[ ]
( ) ( )( )
rn
rn
tq
tBtAttBtAtq
tqt
rTnr
Tnr
Tnrr
Tn
rTn
rTnnr
rTnnr
Tn
T
nTrn
T
nTr
rTnrr
Tnn
Trnn
Tr
rrrnnn
nnnnnnn
nnnnnnnnnn
nn
===
=
=
==
==
==
=+=+
+=+=
=
para00como
para0
0
como
00)(
)sen()cos()()sen()cos()(
do)generaliza(osciladorvibraodemodoumparasoluo)()(
2
22
22
22
22
22
kmmk
m
m
mkmk
mkmk
mkmk
kmkm
u
u
[ ]
=
==
2
22
21
2
21
22221
11211
00
00
00
NNNNN
N
N
jn
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
=
==
NTN
T
T
N
T
K
K
K
k
k
k
kK
LMOMM
L
L
LMOMM
L
L
00
00
00
00
00
00
22
11
2
1
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
74
A relao entre os elementos diagonais da matrizes de massa M e rigidez K dada por:
em que Kn e Mn exprimem a rigidez e massa generalizadas do sistema
associadas ao modo de vibrao n.
Normalizao dos Modos de Vibrao: Se todos as componente jn do modode vibrao n forem divididas pela respectiva massa generalizada Mn o mododiz-se normalizado em relao matriz de massa do sistema.
Coordenadas Modais: O conjunto dos vectores modais ortogonais a base deum espao vectorial de dimenso N. Todos os vectores possveis dedeslocamentos u dos gls do sistema estrutural exprimem-se atravs decombinaes lineares dos vectores daquela base atravs da expresso genrica:
sendo qr escalares multiplicativos designados por coordenadas modais dosistema.
A passagem das coordenadas generalizadas u relativa a cada um dos Ngraus de liberdade do sistema para as coordenadas modaisq dada por:
=
==
NTN
T
T
N
T
M
M
M
m
m
m
mM
LMOMM
L
L
LMOMM
L
L
00
00
00
00
00
00
22
11
2
1
nnnnTnnn
Tnnnn MK ===
222 mkmk
qu == =
r
N
r
r q1
2****2**** 1 ==== k1mkm TTnnT
nnT
n
( )
mum
mu
mmmu
Tnn
nTn
T
nn
nnTnr
N
r
rTn
Tn
qq
qq
*
1
=
=
== =
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
75
Decomposio modal da equao do movimento:
A soluo da equao do movimento em regime livre no amortecido deum sistema estrutural deNgls pode ser sempre obtida atravs da soluo de
Nequaes independentes de 1glque resultam da decomposio modal dasequaes daquele sistema.
No caso do regime livre no amortecido para vectores iniciais u0 e asoluo passa pelas seguintes etapas:
1. Determinao das frequncias prprias e modos e vibrao do sistema.
2. Clculo das condies iniciais em termos de coordenadas modais.
3. Soluo de Nsistemas SDOFpara as condies iniciais expressa emcoordenadas modais determinadas em (2).
4. Determinao da resposta em termos dos deslocamentos u(velocidades aceleraes, etc) das coordenadas generalizadas do sistema.
=+
=+
=+
=+
=+
=+
0)()(
0)()(
0)()(
)()(
)()(
)()(
2222
1111
tqKtqM
tqKtqM
tqKtqM
tt
tt
tt
NNNN
TT
&&
M
&&
&&
&&
&&
&&
0qkqm
0qkqm
0ukum
0*
00
0
0*
00
0
umm
um
mummu
&&&
& Tnnn
Tn
Tn
n
Tnn
nTn
Tn
n
qq
qq
=
=
=
=
0u&
[ ]
[ ])sen()cos()()(
)cos()sen()()(
)sen()cos()()(
002
11
00
11
00
11
tqtqtqt
tqtqtqt
tq
tqtqt
rrrrrr
N
r
rr
N
r
r
rrrrr
N
r
rr
N
r
r
rr
rrr
N
r
rr
N
r
r
+==
+==
+==
==
==
==
&&&&&
&&&
&
u
u
u
n
nnnnnnnnn
qBqAtBtAtq ==+= 00com)sen()cos()(
&
-
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80/103
DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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X REGIME LIVRE AMORTECIDO DEMDO
X-1 Amortecimento Clssico ou Proporcional
Condies de ortogonalidade:
Definio: Diz-se que o amortecimento de um sistema estrutural do tipoclssico ou proporcionalse a matriz de amortecimento c possuir as mesmas
propriedades de ortogonalidade em relao aos modos de vibrao do sistemaque as matrizes m e k
Em geral adoptam-se coeficientes de amortecimento modais n
associados a cada modo de vibrao de tal forma que a matriz modal deamortecimento C dada por:
Decomposio modal da equao do movimento:
==
===
==
2**** 1para
00para
nnT
nnT
n
nnTnnn
Tn
rTnr
Tn
KMrn
rn
km
km
km
0para0 == nTnnr
Tn Crn cc
=++
=++
=++
=++
=++
=++
=++
=++
=++
0)()(2)(
0)()(2)(
0)()(2)(
0)()()(
0)()()(
0)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
2
2222222
1211111
222222
111111
tqtqtq
tqtqtq
tqtqtq
tqKtqCtqM
tqKtqCtqM
tqKtqCtqM
ttt
ttt
ttt
NNNNNNNNNNNN
TTT
&&&M
&&&
&&&
&&&M
&&&
&&&
&&&
&&&
&&&
0qkqcqm
0qkqcqm
0ukucum
==
NNN
nnnn
M
M
M
MC
200
020
002
2 222
111
L
MOMM
L
L
C
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
77
Se a matriz de amortecimento c de um sistema estrutural de Ngls respeitaras condies de ortogonalidade relativamente aos modos de vibrao, entoa soluo da equao do movimento em regime livre amortecido do sistema
pode ser obtida atravs da soluo de N equaes independentes de 1glresultantes da decomposio modal.
No caso do regime livre amortecido para vectores iniciais u0 e u0 a soluopassa pelas seguintes etapas:
1.Determinao das frequncias prprias e modos e vibrao do sistema.
2.Clculo das condies iniciais em termos de coordenadas modais.
3.Soluo de N sistemas SDOF para as condies iniciais expressa emcoordenadas modais determinadas em (2).
4.Determinao da resposta em termos dos deslocamentos u (velocidadesaceleraes, etc) das coordenadas generalizadas dos sistema.
0*
00
0
0*
00
0
umm
um
mum
mu
&&&
& Tnnn
Tn
Tn
n
Tnn
nTn
Tn
n
qq
qq
=
=
=
=
+
+==
== )sen()cos()()( 000
11
tqq
tqetqt rDrD
rrrrrDr
tN
r
rr
N
r
rrr
&u
2
000
1queem
)()cos()(
nnnD
nD
nD
nnnnnDn
t
n tsenqq
tqetq nn
=
+
+= &
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
78
Amortecimento de Rayleigh: A matriz de amortecimento c de um sistemaestrutural com Ngls respeitar as condies de ortogonalidade relativamenteaos modos de vibrao se resultar de uma combinao linear da matriz de
massa m e rigidez ktal que:
No amortecimento de Rayleigh a parcela que proporcional massadecresce medida que a frequncia do modo cresce contrariamente ao que
sucede com a parcela proporcional rigidez.
22222fazendo
para
0para
rigidezntoamortecimemassantoamortecime
1010
10
10
10
10
10
n
nn
nn
n
nn
nnnnnn
nnn
nTnn
Tnn
Tn
rTnr
Tnr
Tn
rTnr
Tnr
Tn
aa
M
Ka
M
MaMC
KaMaC
aarn
aarn
aa
aa
+
=
+
==
+=
+==
=+=
+=
++=
kmc
kmc
kmc
kmc
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
79
Para obter o mesmo coeficiente de amortecimento em dois modos devibrao com frequncias angulares i e j deve-se adoptara0 e a1 dados
por:
O amortecimento clssico ou proporcional no adequado para anlisedinmica sistemas estruturais que consistem de diferentes materiais(estrutura + solo, estrutura + dissipadores, barragem + liquido, etc.) Anlise por subestruturao Sobreposio de subestruturas comamortecimento proporcional
jiji
jiaa
+=
+= 22 10
solodorigidezmassa
estruturadarigidezmassa
10
10
++=
++=
fffff aa
aa
kmc
kmc
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
80
XI REGIME FORADO AMORTECIDO DEMDOF
XI-1 Equaes do Movimento em Coordenadas Modais
Decomposio modal da equao do movimento:
As equaes do movimento de sistemas estruturais de vrios graus liberdade,sujeito a excitaes genricas quep1(t), p2(t), pN(t) definidas para cada umdos seus N graus de liberdade e agrupadas no vector p(t), podem serdecompostas em N equaes diferenciais independentes cujas soluesrepresentam as respostas q1(t), q2(t), qN(t) de cada um dos N modos devibrao do sistema s excitaesP1(t), P2(t), PN(t) definidas por:
=++
=++
=++
=++=++
===++ =
/)()()(2)(
/)()()(2)(
/)()()(2)(
)ouclssicoento(amortecime,arelaoemdedadeOrtogonali
)()()()(esquerdaporndomultiplica)()()()(
)()()(como)()()()(
2
222222222
111211111
1
NNNNNNNN
TTTT
T
N
r
rr
MtPtqtqtq
MtPtqtqtq
MtPtqtqtq
tttttttt
ttttttt
&&&
M
&&&
&&&
&&&&&&
&&&
ckm
pqkqcqmpqkqcqm
qqupukucum
u5(t)
m
m
m
m
m
EIP
EIP
EIP
EIP
EIP EIP
EIP
EIP
EIP
EIP
EIV
EIV
EIV
EIV
EIV
u4(t)
u3(t)
u2(t)
u1(t)
p5(t)
p4(t)
p3(t)
p2(t)
p1(t)
MrC
r
Kr
Pr(t)
=
N
r 1r
Trr
rTrr
rTrr
C
M
K
=
=
=
c
m
k
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
81
A sobreposio das respostas de cada modo qn(t) s excitaesPn(t) permitecalcular a resposta em termos das N coordenadas u(t) do sistema. Este
procedimento designa-se pormtodo da sobreposio modale restringe-se asistemas estruturais com comportamento linear e amortecimentoproporcional.
Os esforos internos na estrutura a cada instante tpodem ser determinadosprocedendo a uma anlise esttica da estrutura para foras dinmicasexternas f(t) dadas por:
Seguindo o mtodo da sobreposio modal todos os mtodos dedeterminao da resposta do SDOFpodem ser aplicados a sistemas MDOFno calculo a resposta de sistemas comNgls.
Sendo o comportamento do sistema estrutural linear vlido o princpio dasobreposio. Solicitao em cada gl da estrutura tratado como acoindependente determinao dos efeitos de cada aco independente sobreposio dos efeitos para a determinao da resposta total.
Sistemas com 1 gl Sistemas comNgls
Aco Harmnica Sobreposio deAces HarmnicasAco Peridica Sobreposio deAces PeridicasAco Genrica Sobreposio deAces Genricas
== ==N
nnn
N
nn tqtt 11 )()()( uu
====
====N
n
nnn
N
n
nn
N
n
n
N
n
n tqtqttt
1
2
111
)()()()()( mkukff
[ ]
=
)(
)(
)(
)( 1
1
,,2,1
tp
tp
tp
tP
N
nNnnnM
L
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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XI-2 Definio dos Factores de Participao
Decomposio modal de excitaes do tipo p(t)=sp(t)
Os valores de n designam-se porfactores de participao modalde cadamodo n na resposta do sistema excitao do tipo p(t)=sp(t)
Quanto mais elevado for ofactor de participao modalde um dado modo nmaior ser a sua contribuio para a resposta do sistema. Caso umdeterminado modo n seja ortogonal ao vectors a sua contribuio para aresposta do sistema nula.
n
T
n
T
nn
NNNNNNN
TTTT
T
N
r
rr
p(t)tqtqtq
p(t)tqtqtq
p(t)tqtqtq
p(t)ttt
p(t)ttt
ttqtp(t)ttt
m
s
ckm
sqkqcqm
sqkqcqm
qusukucum
queem
)()(2)(
)()(2)()()(2)(
)ouclssicoento(amortecime,arelaoemdedadeOrtogonali
)()()(
esquerdaporndomultiplica)()()(
)()()(como)()()(
2
22222222
11211111
1
=
=++
=++=++
=++
=++
===++ =
&&&
M
&&&&&&
&&&
&&&
&&&
00 == nTn s
1
3
2
4
1
3
2
400 == n
Tn s
>
31
00 nTn s 00 == nTn s
>
42
00 nTn s
Excitao Simtrica Excitao Anti-
u1(t) u2(t) u3(t)u1(t) u2(t) u3(t)
p(x,t)=cp(t)
)(
4/
0
4/
)(),()(
4/
4/
4/
)(),( 21 tp
Lc
Lc
tpxttp
Lc
Lc
Lc
tpxt
=
= spsp
p(x,t)=cp(t)p(x,t)=-cp(t)
-
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XII RESPOSTA DEMDOFA MOVIMENTOS DA BASE.
XII-1 Equao do Movimento de Estruturas Sujeitas a
Movimentos Rgidos da Base.
Condies de Equilbrio:
O sistema estrutural actuado por movimentos de base rgida (e.g. sismos)pode ser estudado como um sistema de excitao tipo p(t)=sp(t). Acomponente pseudo-esttica s (independente do tempo) o produtomatricial -me a parcelap(t) relativa s variaes ao longo do tempo dada
pela acelerao da base g(t).O vector de incidncias um vector que transforma os movimentos ug de
base rgida em movimentos ao nvel dos graus de liberdade da estrutura. Oproduto matricial -m reflecte a parcela da inrcia total da estrutura que mobilizada pela acelerao da base g.
O campo de deslocamentos a que a estrutura fica sujeita como resultado deda aplicao de um movimento unitrio da base define os valores do vector
de incidncias.
( ) ( ) ( ) ( )tttt
tut
tuttt
tttut
gef
g
g
efpukucummp
mukucum
0ukucum
=++=
=++
=+++
&&&
&&
&&&&&
&&&&&
)()(fazendo
)()()()(
ou)()()()(
m3
EIP3
EIP4
EIP3
EIP4
u3(t)3. uFAmort &
3uFElstica
0. =++ ElsticaAmortInrcia FFF
3uFInrcia &&
u5(t)
m2
m3
m4
m5
m1
EIP1
EIV
EIV
EIV
EIV
EIV
u4(t)
u3(t)
u2(t)
u1(t)
)(tug&&
EIP2
EIP3
EIP4
EIP5
EIP1
EIP2
EIP3
EIP4
EIP5
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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Definio do vector de incidncias :
( ) )(
)()(fazendo
1
1
1
e
00
00
00
1
1
tu
m
m
m
t
tut
m
m
m
g
N
j
gef
N
j
&&
&&
=
=
=
=
efp
mp
1m
( ) )(
0
0
1
1
e
00
00
00
32
1
3
32
1
tumm
m
t
m
mm
m
g&&
+=
=
+= efpm
( ) )()(e
00
00
00
33
232
11
3
2
1
3
32
1
tu
xm
hmm
hm
t
x
h
h
m
mm
m
g&&
+=
=
+= efpm
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
85
Quando a estrutura sofre um movimento de base rgida ela fica sujeita a umcampo de deslocamentos de corpo rgido (deslocamentos dos seus gls semdeformaes dos elementos). Nos casos mais simples a determinao do
vector de incidncias relativamente expedita. Nos casos mais complexosobtm-se recorrendo matriz de rigidez Kg da estrutura que inclui o grau deliberdade da base em que sero impostos os movimentos.
Na prtica, a determinao do vector de incidnciasfaz-se impondo umafora que produza um deslocamento unitrio do grau de liberdade da base efora nulas nos outros graus de liberdade. Para se garantir um deslocamentounitrio na base deve-se adicionar uma constante de rigidez muito elevadanesse grau de liberdade tal forma que:
=
=
=+
=+
=+
=
=
=
Nb
jb
NNjN
Njjj
Tubu
Tububub
uTub
bub
uTub
bub
uTub
bubg
NNjNbN
Njjjbj
Nbjbb
g
k
k
kk
kk
fkfkfk
k
kkk
kkk
kkk
,
,1
,,
,,
1
1
,,,
,,,
,,
01
11
ou
ML
MOM
L
L
MOMM
L
L
kk
kkk
kk
k
0kk
k
kk
kKK
=
=
=
=>>+=
0K
0K
0K
kkkkkk
11111
1se
1
11
bg
bgg
bTububub
Tububub
kkf
kfkkf
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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XII-2 Anlise da Resposta no Tempo.
Objectivo: Obter respostas no tempo (deslocamentos, esforos internos,reaces, etc.) de sistemas estruturais com Ngraus de liberdade actuados pormovimentos com descries temporais conhecidas impostos na base.
Mtodo:Da sobreposio modal Determinao da resposta modais daestrutura + Passagem das respostas modais para respostas das coordenadasgeneralizadas do sistema + sobreposio das respostas generalizadascorrespondentes a cada modo.
Equao do movimento:
Decomposio modal da equao do movimento:
( ) ( ) ( ) ( )
tut
tttt
gef )()(com &&
&&&
=
=++
mp
pukucum ef
u5(t)
m2
m3
m4
m5
m1
EIP1
EIV
EIV
EIV
EIV
EIV
u4(t)
u3(t)
u2(t)
u1(t)
)(tug&&
EIP2
EIP3
EIP4
EIP5
EIP1
EIP2
EIP3
EIP4
EIP5
=
=++
=++
=++
=++
=++
===++ =
n
T
n
T
n
n
gNNNNNNN
g
g
g
TTTT
T
g
N
n
nng
tutqtqtq
tutqtqtq
tutqtqtq
tuttt
tuttt
ttqttuttt
m
m
ckmmqkqcqm
mqkqcqm
qumukucum
sendo
)()()(2)(
)()()(2)(
)()()(2)(
)ouclssicoento(amortecime,arelaoemdedadeOrtogonali)()()()(
esquerdaporndomultiplica)()()()(
)()()(como)()()()(
2
22222222
11211111
1
&&&&&
M
&&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&&&
-
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DINMICA DE ESTRUTURAS E ENGENHARIA SSMICA
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Os valores de n designam-se porfactores de participao modalde cadamodo n na resposta do sistema excitao pef(t) = -mg(t).
Quanto mais elevado for ofactor de participao modalde um dado modo nmaior ser a sua contribuio para a resposta do sistema. Caso umdeterminado modo n seja ortogonal ao vectorma sua contribuio para aresposta do sistema nula.
As respostas modais qn(t) so obtidas achando a respostas para SDOFsactuados por -ng(t). Alternativamente podem determinar-se as respostasDn(t) de SDOFs actuados -g(t); os qn(t) so obtidos por multiplicaoDn(t)pelos factores de participao n.
A contribuio do modo n para as respostas u(t) dada por:
A resposta u(t) podem ser obtidas pela sobreposio das N respostas un(t)dos modos de vibrao:
Os esforos internos na estrutura podem ser obtidos pela resoluo de umproblema esttico (equilbrio) em que se aplicam estrutura as forasestticas equivalentes f(t) em cada grau de liberdade dadas por:
XII-3 Anlise atravs de Espectros de Resposta.
Objectivo: Obter estimativas dos valores absolutos mximos (mximos e/oumnimos) da resposta (deslocamentos, esforos internos, reaces, etc.) desistemas estruturais com N graus de liberdade actuados por movimentosimpostos na base definidos atravs dosEspectros de Resposta.
)()()()()(2)( 2 tDtqtutDtDtD nnngnnnnnn ==++ &&&&&
00 == nTn m
)()()( tDtqt n