Dinâmica das Rotações 1 – Movimento Plano
1. Um cilindro uniforme de raio 𝑅 rola sem deslizar sobre um plano horizontal até
atingir um plano inclinado de um ângulo 𝛼 com a horizontal, como mostra a figura
abaixo. Determine o maior valor da velocidade inicial 𝑣𝑜 que permite que o cilindro
passe para a seção inclinada sem saltar. A gravidade local vale 𝑔.
2. Uma pequena partícula de massa 𝑚 é cuidadosamente colocada na superfície
interna de uma casca esférica cilíndrica de massa 𝑀 e raio 𝑅, como mostrado na figura
ao lado. Inicialmente, o cilindro se encontra em repouso sobre um plano horizontal e a
partícula está localizada a uma altura 𝑅 acima do plano. Determine a força entre a
partícula e o cilindro no momento em que a partícula passa pelo ponto mais baixo da
trajetória. Assuma que o atrito entre a partícula e o interior do cilindro é desprezível e
que o cilindro se move sobre o plano sem deslizar. A aceleração da gravidade é 𝑔.
3. Uma partícula de massa 𝑚 se move sem atrito sobre a superfície interna de uma
casca esférica homogênea de massa 𝑀 e raio 𝑅, cuja secção é mostrada na figura
abaixo. A esfera está livre para rolar sem deslizamento ao longo de uma superfície
horizontal. A partícula então sofre um pequeno deslocamento com relação com
relação à posição de equilíbrio. Calcule a frequência angular das pequenas oscilações
da massa pontual.
4. Um globo homogêneo de massa 𝑀 e raio 𝑅 gira livremente e sem atrito com uma
velocidade angular inicial 𝜔𝑜 em torno de um eixo vertical fixo. Uma partícula de
massa 𝑚 sai do pólo N e se move em direção ao polo S ao longo de um meridiano com
velocidade constante 𝑣 (relativa ao globo). O eixo de rotação do globo se mantém
inalterado. Encontre, durante o intervalo de tempo em que o inseto percorre o caminho
de N até S, o ângulo ∆𝜃 que o globo girou em torno de seu eixo. Você pode querer
usar o seguinte resultado: ∫𝑑𝑥
𝑎+𝑏.cos𝑥
2𝜋
0=
2𝜋
√𝑎2−𝑏2
5. Uma esfera homogênea de raio 𝑅 e massa 𝑚 rola sem deslizar com velocidade 𝑣𝑜 sobre um piso horizontal. Ela encontra um degrau de altura ℎ < 𝑅 e sobe por cima do
degrau. Assuma que a esfera fique sempre em contato com a quina do degrau até o
momento em que o centro da esfera fica direta-mente acima da quina. Mostre que,
para que a esfera consiga subir o degrau a velocidade 𝑣𝑜 deve satisfazer:
𝑣𝑜 ≥√
10𝑔ℎ
7(1 −
5ℎ
7𝑅)−1
6. Um disco homogêneo de raio 𝑅 e massa 𝑀 rola sem deslizar ao longo de um plano
inclinado que faz um ângulo 𝜃 com a vertical, como mostra a figura abaixo. O disco é
mantido em contato com o plano inclinado em todos os instantes. O disco é atraído por
um ponto 𝐴 localizado a uma distância vertical 𝑑 acima da superfície. Assuma que a
força de atração entre 𝐴 e o centro do disco é proporcional à distância entre os dois:
𝐹 = −𝑘𝑟, onde 𝑟 é a distância do ponto 𝐴 até o centro de massa do disco e 𝑘 é uma
constante positiva.
a) Determine a posição de equilíbrio do disco em relação ao ponto 𝐵. Isto é, determine
a distância entre o ponto 𝐵 (que está localizado verticalmente abaixo do ponto 𝐴) e o
ponto de contato do disco com o plano.
b) Suponha que o disco sofre um pequeno deslocamento a partir da posição inicial.
Determine a frequência angular de pequenas oscilações em torno desse ponto de
equilíbrio.
7. Uma barra uniforme de massa 𝑚 e comprimento 𝐿 está livre para rotacionar em
torno de um pivô 𝑃 que passa pelo seu centro. A barra rotaciona apenas em um plano
vertical e estava inicialmente na direção horizontal, como mostra a figura abaixo. Uma
aranha também de massa 𝑚 cai verticalmente sobre a barra com velocidade 𝑣𝑜 e se
prende sobre o ponto médio entre o ponto 𝑃 e a extremidade livre da barra.
Imediatamente depois da colisão inelástica entre a barra e a aranha, a aranha começa a
andar ao longo da barra de modo que a velocidade angular do sistema barra+aranha
permanece constante.
a) Demonstre que a distância 𝑥(𝑡) entre a aranha e o pivô varia de acordo com a
equação
𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝐵𝑡) + 𝐶
e determine as constantes 𝐴, 𝐵 e 𝐶.
b) Determine os valores de 𝑣𝑜 para que a aranha atinja a extremidade da barra antes de
a barra atingir a posição vertical.
8. Uma esfera uniforme de massa 𝑚 é colocada em cima de uma barra de massa 𝑀,
inicialmente em repouso sob um plano horizontal sem atrito, como mostra a figura
abaixo. Uma força horizontal constante 𝐹 é aplicada à barra. Determine a aceleração
da barra e do centro da esfera, sabendo que não há deslizamento entre a barra e a
esfera.
9. Uma bola de massa 𝑚, raio 𝑅 e momento de inércia 𝛽𝑚𝑅2 é liberada do repouso de
cima de um plano inclinado de massa 𝑀 e ângulo de inclinação 𝜃, como mostra a
figura abaixo. O plano está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal
sem atrito. Assumindo que a bola rola sem deslizar ao longo do plano, calcule a
aceleração horizontal do plano.
10. Uma barra uniforme de massa 𝑀 e comprimento 𝐿 é colocada em contato com
uma parede vertical e um piso horizontal, como mostra a figura abaixo. Desconsidere
todos os atritos. A barrra é liberada do repouso, fazendo um ângulo 𝛼 com a vertical.
Demonstre que, no momento em que a barra é liberada, as forças de reação normal
sobre a barra valem
{ 𝐹𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 =
3𝑚𝑔 sin(2𝛼)
4
𝐹𝑐ℎã𝑜 = 𝑚𝑔 (1 −3
4𝑠𝑖𝑛2𝛼)
Demonstre também que o ângulo 𝜃 que a barra faz com a vertical no momento em que
a barra perde contato com a parede vertical satisfaz a relação 3 cos 𝜃 = 2 cos 𝛼.
11. Uma partícula 𝐴 está fixada sobre a superfície interna de uma casca cilíndrica de
raio 𝑅 e massa igual à massa da partícula 𝐴. O cilindro rola sem deslizar ao longo do
plano horizontal. No momento em que a partícula 𝐴 atinge a posição mais baixa, o
centro do cilindro se move com velocidade 𝑣, como mostra a figura abaixo. Calcule os
valores de 𝑣 para que o cilindro não perca contato com o piso.
12. Uma esfera sólida de raio 𝑟 é colocada no fundo de um hemisfério esférico de
raio 𝑅. Quando a esfera sofre uma pequena perturbação, ela oscila em torno do fundo.
O movimento oscilatório é descrito pela equação diferencial no formato
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2+ 𝜔2𝜃 = 0
onde 𝜃 é o ângulo entre a vertical e a linha que liga o centro do hemisfério ao centro
da esfera.
a) Qual o valor de 𝜔2?
b) Determine a força de atrito que age sob a esfera em função do ângulo 𝜃.
13. Um disco uniforme de raio 𝑅 gira com velocidade angular 𝜔 em torno de um
eixo perpendicular ao disco e que passa por seu centro de massa. O disco é então
cuidadosamente colocado sobre uma superfície horizontal. Por quanto tempo o disco
se manterá girando, se o coeficiente de atrito entre o disco e a superfície é 𝜇? A
pressão exercida pelo disco sobre a superfície pode ser dada como constante.
14. Uma esfera de raio 𝑟 e massa 𝑚 é colocada no interior de um cilindro de raio 𝑅
cujo eixo permanece na horizontal. O cilindro roda em torno de seu eixo com uma
aceleração angular constante 𝛼 e a bola pode rolar livremente em seu interior.
Determine o ângulo 𝜃 (vide figura abaixo) para o qual a bola permanece rolando no
interior do cilindro sem que seu centro mude de posição. Considere 𝑔 a gravidade
local.
15. Uma barra de massa 𝑚 e comprimento 𝐿 é colocada inicialmente em repouso
sobre um hemisfério fixo de raio 𝑅. A barra sofre então um pequeno deslocamento
com relação à posição de equilíbrio e começa a oscilar. Assumindo que não há
deslizamentos entre a barra e o hemisfério, calcule o período de pequenas oscilações
da barra em torno da posição de equilíbrio. A gravidade local vale 𝑔.
16. Um anel rígido de massa 𝑀 e raio 𝑅 está pivotado no
ponto 𝑃, e localizado em uma superfície horizontal sem
atrito, como mostra a figura ao lado. Um inseto de massa
𝑚 corre ao longo do perímetro do anel com velocidade
constante 𝑢 (com relação ao anel). O inseto parte do ponto
𝑃, com o anel em repouso nesse instante. Calcule a força
normal radial entre o inseto e o anel no instante em que ele
passa pelo ponto 𝑄 (diametralmente oposto ao ponto 𝑃).
17. Uma pequena esfera de massa 𝑚 e raio 𝑟 colide na extremidade B de uma longa
barra homogênea de massa 𝑀 = 4𝑚 e comprimento 𝑏 = 9𝑎, como mostrado na figura
abaixo.
Considere que a colisão é elástica, que o coeficiente de atrito entre a esfera e a barra é
𝜇 = 0,6 e que o ângulo entre a velocidade inicial 𝑣𝑜 da esfera e o eixo da barra é 𝛼, de
acordo com a figura.
a) Determine, em função de 𝑚, 𝑣𝑜 e 𝛼, o valor dos impulsos 𝐽 e 𝐾 da esfera sobre a
barra, nas direções 𝑦 e 𝑥, respectivamente. Qual o ângulo formado entre o eixo da
barra e a velocidade da esfera imediatamente após a colisão? Qual a condição sobre 𝛼
para que a esfera seja jogada para cima após a colisão?
b) Determine a velocidade angular 𝜔𝑒 da esfera após a colisão em função de 𝑣𝑜, 𝑟 e 𝛼.
c) Determine a velocidade angular 𝜔 e a velocidade do centro de massa 𝑣𝑐𝑚 da barra
logo após a colisão. Expresse seu resultado em função de 𝑣𝑜, 𝑏 e 𝛼.
d) Determine a tração 𝑇 na corda (de comprimento 𝑎) que segura a barra um instante
logo após a colisão com a esfera. Considere a aceleração da gravidade local igual a 𝑔.
Expresse seu resultado em função de 𝑚, 𝑔, 𝑣𝑜, 𝑎 e 𝛼.
18. Uma das extremidades de uma barra uniforme está ligada a um ponto 𝑃 que está
livre para deslizar sobre um trilho horizontal sem atrito. A barra inicialmente faz um
ângulo 𝜃0 com a vertical, como mostra a figura abaixo. A barra é então liberada a
partir do repouso. Assuma que a barra consegue, de alguma maneira, atravessar o
trilho horizontal e passar para baixo do mesmo.
a) Demonstre que, no instante que a barra está horizontal, a força normal sobre a barra
vale 𝑚𝑔/4, independentemente do ângulo 𝜃0.
b) Se 𝜃0 = 0 (ou seja, uma pequena perturbação colocou a barra para se mover),
mostre que a normal vale 13𝑚𝑔 quando a barra está na posição mais baixa (𝜃 = 𝜋).
c) Se 𝜃0 = 0, encontre uma equação que determina o ângulo 𝜃 no qual a força normal
𝑁 assume o valor mínimo.
19. Um lápis de massa 𝑚 e comprimento 𝐿 é colocado verticalmente sobre uma
mesa, com a ponta para baixo (figura abaixo) e deixado cair, rodando sobre sua ponta.
Assuma que o lápis é muito fino e considere que há atrito entre o lápis e a mesa.
a) Determine a velocidade angular e a aceleração angular em função do ângulo de
inclinação do lápis (modelado como uma barra homogênea de comprimento 𝐿) com a
vertical, antes de o lápis começar a deslizar.
b) Mostre que, nas condições do item anterior, a força de reação normal da mesa sobre
o lápis vale
𝑁 = 𝑚𝑔 (3 cos 𝜃 − 1
2)2
c) Mostre que o lápis escorregará sempre antes de atingir uma inclinação de 70,5°.
d) Mostre que se o lápis escorregar para um ângulo superior a 48°, ele deslizará na
direção em que está a cair.
e) Determine o valor máximo do coeficiente de atrito estático 𝜇𝑒 para que o lápis
deslize na direção oposta à do lado em que ele está caindo e mostre que quando 𝜇𝑒 é
máximo o lápis desliza quando 𝜃 > 35°.
20. Um disco horizontal gira em torno de seu eixo de simetria (passando pelo ponto
𝑂) com velocidade angular constante 𝜔. Uma barra uniforme 𝐴𝐵 de comprimento 𝐿
possui sua extremidade 𝐴 fixa no disco a uma distância 𝑎 do seu eixo, como mostra a
figura abaixo. A barra sofre então uma pequena perturbação com relação à posição de
equilíbrio. Calcule o período das pequenas oscilações da barra.
21. Uma esfera homogênea de raio 𝑅 é colocada em repouso sobre uma mesa
horizontal, como mostra a figura ao lado. Depois de um pequeno impulso, a esfera rola
para fora da borda da mesa. A gravidade local vale 𝑔.
a) Determine o ângulo 𝛼 em que a esfera perde contato com a mesa.
b) Qual é a velocidade do centro da esfera quando ela perde o contato com a mesa?
22. Um disco uniforme de massa 𝑀 e diâmetro 2𝑅 se move em direção a outro disco
uniforme de massa 2𝑀 e diâmetro 2𝑅 ao longo de uma superfície horizontal sem
atrito. O primeiro disco recebe uma velocidade inicial 𝑣0 e uma velocidade angular
inicial 𝜔0 como mostra a figura abaixo, ao passo que o segundo disco estava
inicialmente em repouso. Quando o primeiro disco atinge o segundo, eles
instantaneamente grudam (colisão inelástica) e passam a se mover como um único
objeto.
a) Calcule a velocidade linear e a velocidade angular dos dois discos combinados
depois da colisão? Indique as magnitudes e as direções.
b) Para qual valor de 𝜔0 o sistema final não rotaciona?
c) Calcule a energia mecânica perdida durante a colisão.
23. Uma barra rígida de comprimento 𝐿 possui uma de suas extremidades presa a um
poste que gira com velocidade angular 𝜔 em torno de um eixo vertical, como mostra a
figura abaixo. Sabendo que a gravidade local vale 𝑔, calcule o período de pequenas
oscilações da barra em torno das possíveis posições de equilíbrio estável. Analise os
possíveis casos separadamente.
24. Um semicilindro uniforme de raio 𝑅 e massa 𝑀 está inicialmente em repouso
sobre uma superfície horizontal com atrito.
a) Determine o momento de inércia do semicilindro com relação a um eixo
perpendicular ao seu plano e que passa pelo ponto de contato com o solo.
b) Um impulso 𝑃 é aplicado à uma das extremidades do semicilindro, como mostra a
figura abaixo. O semicilindro rola sem deslizar, mantendo o contato com o solo.
Determine o mínimo impulso necessário para girar o disco.
25. Um cilindro uniforme de massa 𝑀 e raio 𝑅 rola sem deslizar sobre um plano
horizontal e atinge uma pequena barreira vertical de altura 𝑅/3. Sua velocidade antes
de atingir a barreira era 𝑣.
a) Suponha, como mostra a figura (a), que o cilindro passa a rolar sobre a barreira
depois de atingi-la, e que não há deslizamentos durante o processo. Calcule a energia
perdida durante o impacto em função de 𝑀 e 𝑣.
b) Calcule a mínima velocidade que permite que o cilindro atravesse a barreira.
Expresse sua resposta em função de 𝑅 e 𝑔 (aceleração gravitacional local).
c) Para maiores velocidades, o cilindro perde contato com a barreira logo que começa
a rolar por cima desta, se comportando como um projétil, como mostra a figura (b).
Calcule a mínima velocidade para que isso aconteça em função de 𝑅 e 𝑔.
d) Para a situação da parte (c), calcule o maior deslocamento vertical do centro do
cilindro. Expresse sua resposta em função de 𝑅.
26. Um semi-cilindro de raio 𝑅 rola sem deslizar ao longo de uma superfície plana
com atrito, como mostra a figura abaixo. Sendo 𝑔 a gravidade local, calcule o período
de pequenas oscilações do semi-cilindro com relação à posição de equilíbrio.
27. Uma escada consiste de duas barras idênticas ligadas entre si por um pivô 𝑃 no
topo de cada uma delas e por uma corda sem massa, como mostra a figura abaixo. As
barras estão em repouso fazendo um ângulo de 60° com a horizontal. A corda é então
rapidamente cortada. Calcule a aceleração do ponto 𝑃 no instante em que a corda foi
cortada. A gravidade local vale 𝑔.
28. Uma roda de raio interno 𝑟 e raio externo 𝑅 se encontra em um piso horizontal. O
eixo da roda é horizontal. Um fio ideal é amarrado em torno da parte interna da roda,
como mostra a figura abaixo. A extremidade livre do fio faz um ângulo 𝛼 com a
horizontal (o ângulo 𝛼 também pode ser negativo). O momento de inércia da roda é 𝐼 e sua massa é 𝑀. Assuma que a roda gira sem deslizar.
a) A extremidade livre do fio é puxada com velocidade 𝑢 paralela ao fio. Determine a
velocidade do centro da roda.
b) Suponha agora que a roda estava em repouso. Uma força 𝐹 é aplicada sobre a extre-
midade livre do fio (a força é paralela ao fio). Determine a aceleração do centro da
roda.
c) Determine qual deve ser, em função de 𝛼, o coeficiente de atrito 𝜇 para garantir que
não haja deslizamentos entre a roda e o piso.
d) Considere agora que a roda rola pelo piso horizontal com velocidade 𝑢, dessa vez
sem o fio. A roda atinge um degrau de altura 𝐻 < 𝑅 e o impacto é perfeitamente
inelástico. Qual é a velocidade 𝑣 da roda imediatamente após o impacto?
e) Determine a velocidade 𝑤 da roda depois de esta ter subido no degrau. Assuma que
𝑢 é suficiente para que irá rolar para cima do degrau sem perder o contato com sua
quina.
f) Se a velocidade 𝑢 for grande, ou mais especificamente, maior que um valor 𝑢𝑜, a
roda irá perder contato com a quina durante o processo. Determine essa velocidade
máxima 𝑢𝑜 para que a roda não perca contato.
29. Dois cilindros homogêneos de massa 𝑀 e raio 𝑅 repousam sobre uma mesa lisa
sem atrito. Num determinado instante um impulso 𝐼 é aplicado a um dos cilindros,
num plano que passa pelo centro de massa (CM) do mesmo, como mostra a figura
abaixo.
a) Determine o momento de inércia de um cilindro em torno do seu eixo.
b) O impulso 𝐼 é aplicado a uma distância 𝑑 abaixo do centro do cilindro. Determine a
velocidade do CM (𝑉𝑐𝑚) e a velocidade angular (𝜔) do cilindro após a aplicação do
impulso.
O primeiro cilindro se desloca sobre a mesa lisa até se chocar elasticamente com outro
cilindro igual. Os cilindros possuem um coeficiente de atrito 𝜇 entre si. Sendo assim,
determine:
c) As velocidades angular (𝜔1) e do CM (𝑉1) do cilindro 1 (da esquerda).
d) As velocidades angular (𝜔2) e do CM (𝑉2) do cilindro 2 (da direita).
e) A altura máxima atingida pelo cilindro 2.
f) Voltando ao início do problema, a que distância 𝑑 do CM deveria ser aplicado o
impulso 𝐼 para que o primeiro cilindro se deslocasse num rolamento puro sobre a
mesa? Essa distância é acima ou abaixo do CM?
30. Uma partícula de massa 𝑚 é fixada na superfície interna de uma casca cilíndrica
de massa 𝑀 = 3𝑚 e raio 𝑅, como mostra a figura abaixo. O cilindro é então colocado
sobre uma superfície horizontal sem atrito. Inicialmente, a massa 𝑚 está em repouso
no topo do cilindro. Um leve impulso faz com que o sistema entre em movimento.
a) Encontre a aceleração do centro do cilindro no momento em que a partícula está na
mesma altura que o centro do cilindro.
b) Calcule a força que o solo aplica sobre o cilindro neste instante em função de 𝑚 e
da gravidade 𝑔.
31. Considere uma barra de comprimento 𝐿, massa 𝑚 que está inicialmente em
repouso sobre uma mesa horizontal. Uma corda que passa por uma polia possui sua
seção horizontal ligada perpendicularmente à barra e sua seção vertical ligada à um
peso de massa 𝑀, como mostra a figura abaixo. A massa da polia e o atrito são
desprezíveis.
a) Qual ponto da barra possui aceleração zero no momento em que o peso é liberado?
b) Calcule a razão 𝑚/𝑀 para que a aceleração do centro da barra neste instante seja
máxima? Calcule esta aceleração máxima.
32. Três cilindros homogêneos de massa 𝑚 e raio 𝑅 (momento de inércia 𝑚𝑅2/2)
estão situados no formato de um triângulo, como mostra a figura abaixo. Encontre a
aceleração inicial de queda do cilindro de cima nas duas situações a seguir:
a) Existe atrito entre os dois cilindros de baixo e o piso (de modo que eles rolam sem
deslizar), mas não existe atrito entre os cilindros.
b) Não existe atrito entre os dois cilindros de baixo e o piso, mas existe atrito entre os
cilindros (de modo que eles não deslizam com relação ao outro).
33. Um cilindro sólido e homogêneo de massa 𝑀 e raio 𝑅 se encontra em contato
com uma parede vertical e um piso horizontal, como mostra a figura abaixo. Uma
corda sem massa passa pelo cilindro, por uma polia, e possui sua outra extremidade
ligada à um bloquinho de massa 𝑚. O coeficiente de atrito cinético entre o cilindro e
as duas superfícies vale 𝜇. Encontre a aceleração do bloquinho ligado ao fio.
34. Uma barra rígida de comprimento 𝐿 está apoiada no canto de uma sala (vide
figura abaixo). A extremidade A desliza pela parede enquanto o extremo B desliza
pelo solo. Encontre a aceleração do ponto C (centro da barra) em função do ângulo 𝛼,
se o ponto B for puxado com velocidade constante e igual a 𝑣. Despreze todos os
atritos.
Gabaritos
1) 𝑣𝑜 ≤ √𝑅𝑔
3(7 cos 𝛼 − 3)
2) 𝐹 = 3𝑚𝑔(1 +𝑚
3𝑀)
3) 𝜔 =√(5𝑀+3𝑚
5𝑀)𝑔
𝑅
4) ∆𝜃 =𝜋𝜔𝑜𝑅
𝑣 √2𝑀
2𝑀+5𝑚
5) Demonstração
6) a) 𝑥𝑜 = (𝑚𝑔
𝑘− 𝑑) cos 𝜃
b) Ω =√
2𝑘
3𝑚
7) a) 𝐴 =49𝑔𝐿2
288𝑣02, 𝐵 =
12𝑣0
7𝐿 e 𝐶 =
𝐿
4
b) Condição é que 𝐴 + 𝐶 ≥ 𝐿/2, o que nos dá 𝑣𝑜 ≤7
6√𝐿𝑔
2
8) 𝑎𝑀 =7𝐹
7𝑀+2𝑚 (𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) e 𝑎𝑚 =
2𝐹
7𝑀+2𝑚 (𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎)
9) 𝑎 =𝑚𝑔 tan𝜃
𝑀+(𝑀+𝑚)(𝑡𝑎𝑛2𝜃+𝛽𝑠𝑒𝑐2𝜃)
10) Demonstração
11) 𝑣 ≤ √8𝑅𝑔
12) a) 𝜔2 =5𝑔
7(𝑅−𝑟)
b) 𝑓 =2
7𝑚𝑔 sin𝜃 ≈
2
7𝑚𝑔𝜃
13) 𝑡 =3𝜔𝑅
4𝜇𝑔
14) 𝜃 = sin−1 (2𝛼𝑅
5𝑔)
15) 𝑇 = 2𝜋√
𝐿2
12𝑅𝑔
16) 𝑁 =𝑚𝑢2
𝑅(𝑀+𝑚
𝑀+2𝑚)2
17) a) 𝐽 = 𝑚𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼; 𝐾 =3
5𝑚𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼
O ângulo que a velocidade final da esfera faz com a barra vale zero graus (a partícula
sai com velocidade na direção da barra) e a condição para que ela suba é 𝑡𝑔𝛼 < 5/3.
b) 𝜔𝑒 =3𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼
2𝑟
c) 𝜔 =𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼
6𝑎; 𝑣𝑐𝑚 =
𝑣𝑜𝑠𝑒𝑛𝛼
4
d) 𝑇 =11𝑚𝑣𝑜
2𝑠𝑒𝑛2𝛼
18𝑎
18) a) Demonstração
b) Demonstração
c) 3𝑐𝑜𝑠3𝜃 − 9𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 12𝑐𝑜𝑠𝜃 − 4 = 0
19) a) 𝜔 =√
3𝑔
𝐿(1 − cos 𝜃) e 𝛼 =
3𝑔 sin𝜃
2𝐿
b) Demonstração
c) Demonstração
d) Demonstração
20) Ω =√
3𝑎
2𝐿𝜔
21) a) cos 𝛼 = 10/17
b) 𝑣 =√
10𝑅𝑔
17
22) a) 𝑣 =𝑣0
3 (para a direita) e 𝜔 = (
3
25𝜔0 −
8
25
𝑣0
𝑅) (para fora do papel)
b) 𝜔0 =8
3
𝑣0
𝑅
c) Δ𝐸 = −19
9𝑀𝑣0
2
23)
24) a) 𝐼 = (3
2−
8
3𝜋)𝑀𝑅2 = 0,65𝑀𝑅2
b) 𝑃𝑚𝑖𝑛 = 0,867𝑀√𝑅𝑔
25) a) Δ𝐸 =8
27𝑀𝑣2
b) 𝑣 =6
7√𝑅𝑔
c) 𝑣 =3
7√6𝑅𝑔
d) ℎ =5
27𝑅
26) 𝑇 =𝜋
2𝑔√2(9𝜋 − 16)𝑅𝑔
27) 𝑎 = 3𝑔/8
28) a) 𝑢′ =𝑢𝑅
|𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑟|
b) 𝑎 =𝐹
𝑀[𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑟/𝑅
1+𝐼/𝑀𝑅2]
c) 𝜇 ≥|𝑟
𝑅 −
𝐼
𝑀𝑅2𝑐𝑜𝑠𝛼|
(1+𝐼
𝑀𝑅2)|𝑀𝑔
𝐹−𝑠𝑒𝑛𝛼|
d) 𝑣 = 𝑢 (1 −𝐻/𝑅
1+𝐼
𝑀𝑅2
)
e) 𝑤 =√𝑣2 −
2𝑔𝐻
1+𝐼
𝑀𝑅2
f) 𝑢𝑜 = √
𝑔
𝑀(𝑅 − 𝐻)
1+𝐼
𝑀𝑅2
1+𝐼
𝑀𝑅2 −
𝐻
𝑅
29) a) 𝑀𝑅2/2
b) 𝑣𝑐𝑚 = 𝐼/𝑀 e 𝜔 = 2𝐼𝑑/𝑀𝑅2
c) 𝑉1 = 0 e 𝜔1 =2𝐼(𝑑−𝜇𝑅)
𝑀𝑅2
d) 𝑉2 =𝐼
𝑀√1 + 𝜇2 E 𝜔2 =2𝜇𝐼
𝑀𝑅
e) ℎ𝑚𝑎𝑥 =𝜇2𝐼2
2𝑀2𝑔
f) 𝑑 = 𝑅/2 (acima do centro de massa)
30) a) 𝑎𝑐𝑖𝑙 = 𝑔/8
b) 𝑁 = 15𝑚𝑔/4
31) a) Se localiza a uma distância 𝐿/6 do centro da barra (na metade que não está
ligada à corda).
b) A razão entre as massa 𝑚
𝑀→ 0 e a aceleração máxima vale 𝑔/4.
32) a) 𝑔/10
b) 𝑔/11
33) 𝑎 = [𝑚(1−𝜇+2𝜇2)−𝑀(𝜇+𝜇2)
𝑚(1−𝜇+2𝜇2)+𝑀
2(1+𝜇2)
] 𝑔
34) 𝑎 =𝑣2
2𝐿𝑠𝑒𝑛3𝛼