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ANAIS DO VI SIPEM
1UEL Londrina PR - [email protected]
2UENP- Cornlio Procpio- PR- [email protected]
3UTFPR
Toledo
RESUMO
ABSTRACT
15 a 19 de novembro de 2015Pirenpolis - Gois - Brasil
Palavras-chave:
Keywords
Desdobramentos Para A ModelagemMatemtica Decorrentes Da
Formulao De Hipteses1Lourdes Maria Werle de Almeida, 2Brbara Nivalda PalhariniAlvim Sousa, 3Emerson Tortola
Educao Matemtica; Modelagem Matemtica;Hipteses; Wittgenstein.
Com a inteno de incitar discusses ou reflexes com relao aopapel das hipteses e de sua formulao em atividades demodelagem matemtica, neste artigo, pautamo-nos na questo: aque desdobramentos para a atividade conduzem as hipteses namodelagem matemtica? Inicialmente apresentamos consideraescom relao a hipteses trazendo ideias sobre o significado dotermo. Com esta finalidade trazemos tona ponderaes dofilsofo Ludwig Wittgenstein, seja para elucidar que diferentessignificados podem transitar a partir da identificao de diferentescontextos, seja para apresentar indicaes do prprio Wittgensteinpara as hipteses. A anlise empreendida a partir dos pressupostostericos sobre o desenvolvimento de uma atividade nos permiteinferir que a atividade de modelagem matemtica tem umencaminhamento em consonncia com as hipteses em que sefundamenta. Novas experincias dos modeladores podem conduzira novas hipteses, a novos modos de ver e de compreender, pormeio da matemtica, um fenmeno da realidade.
With the intention of inciting discussions or thoughts about thehypotheses and its formulation on mathematical modelingactivities, in this article, we base on the question: whatconsequences for the activity leading hypotheses in mathematical
modeling? Initially we present considerations regardinghypotheses bringing ideas about the meaning of the term. Forthis purpose we bring to light weightings of the philosopherLudwig Wittgenstein, to elucidate that different meanings maybe carried forward from the identification of different contexts,and to present indications of Wittgenstein himself to thehypothesis. The analysis undertaken based on theoreticalassumptions about the development of an activity allows us toinfer that the activity of mathematical modeling has a referral inaccordance with the hypotheses on which it is based. Newexperiences of modelers can lead to new hypotheses, new waysof seeing and understanding, through mathematics, aphenomenon of reality.
Mathematics Education; Mathematical Modeling;Hypotheses; Wittgenstein.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected] -
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Os interesses com relao modelagem matemtica na Educao Matemtica tm se
direcionado para diferentes aspectos, seja com relao a sua caraterizao, seja com relao a
sua implementao na sala de aula.
No que se refere a alguma especificidade de atividades de modelagem matemtica em
relao a outras atividades matemticas, a literatura tem indicado a formulao de hipteses e
aproximaes simplificadoras (BEAN, 2001). No entanto, qual o significado da palavra
hiptese? Em que consiste a sua formulao? Qual a finalidade da formulao de hipteses no
desenvolvimento de atividades de modelagem matemtica?
Com a inteno de incitar discusses ou reflexes com relao ao papel das hipteses e
de sua formulao em atividades de modelagem matemtica, neste artigo, pautamo-nos na
questo: a que desdobramentos para a atividade conduzem as hipteses na modelagem
matemtica?
Inicialmente apresentamos consideraes com relao a hipteses, trazendo ideias
sobre o significado do termo hiptese. A natureza do significado, todavia, pode ser
examinada. Com esta finalidade trazemos tona ponderaes do filsofo Ludwig
Wittgenstein, seja para elucidar que diferentes significados podem transitar a partir da
identificao de diferentes contextos, seja para apresentar indicaes do prprio Wittgenstein
para as hipteses.
No mbito da modelagem matemtica as discusses com relao temtica, no so,
entretanto, ignoradas. Assim, servimo-nos de ideias j apresentadas na literatura da rea com
relao temtica (BEAN, 2012; BEAN, 2015; ALMEIDA, 2014, BASSANEZI, 2002).
Nossas argumentaes sobre possveis desdobramentos para atividades de modelagem
decorrentes da formulao de hipteses so ento direcionadas ao desenvolvimento de uma
atividade de modelagem matemtica por alunos de uma disciplina de Modelagem Matemtica
na Perspectiva da Educao Matemtica.
Embora possa se reconhecer uma pluralidade de ideias, ou at mesmo de concepes,
sobre o que vem a ser modelagem na Educao Matemtica, pautamo-nos no entendimentode que ela orientada pela busca de soluo para um problema cuja origem est, de modo
geral, associada a uma situao da realidade.
Introduo
Sobre Modelagem Matemtica
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Nesse contexto a modelagem matemtica viabiliza uma leitura, ou at mesmo uma
interpretao, ainda que parcial e idiossincrtica, de fenmenos no matemticos com o apoio
da matemtica. Sob esse entendimento, trata-se de um procedimento criativo e interpretativo
que faz uso ou estabelece uma estrutura matemtica que deve incorporar, com certo nvel de
fidelidade, caractersticas essenciais do fenmeno, indicando uma possvel soluo para um
problema associado a este fenmeno.
A atividade de modelagem matemtica revela assim uma compreenso do fenmeno, a
qual, segundo Bean (2015),
adotada em qualquer poca ou em qualquer local, alm de se apoiar em quadros
conceituais de uma variedade de comunidades, como a dos bilogos, matemticos,entre outras, remete s linguagens, informaes, tecnologias e conhecimentosdisponveis aos modeladores, bem como s problemticas abordadas e aos interessesdos modeladores em abord-las (BEAN, 2015, p. 3).
Nesse sentido, cada atividade de modelagem matemtica traz consigo conceitos,
linguagens, problemticas e interesses daqueles que a desenvolvem. Ou seja, ela uma
idealizao realizada pelos modeladores a qual, segundo Husserl (2012 p.40), adapta ao
mundo permanentemente dado como efetivo na nossa vida concreta, uma roupagem de
ideias da matemtica que o substitui e o mascara, como a natureza objetivamente efetiva everdadeira.
Caberia discutir, portanto, como se d essa idealizao nas atividades de modelagem, o
que fazem os modeladores visando uma leitura e interpretao matemtica para problemas
no matemticos. Nesse contexto, o empreendimento neste texto dirige-se discusso sobre a
formulao de hipteses em atividades de modelagem matemtica.
Considerando, como j ponderamos na seo anterior, a possvel leitura ou possvel
interpretao e compreenso de fenmenos da realidade associada modelagem matemtica,
interessa-nos trazer tona uma discusso sobre um aspecto que tem relao direta com a
compreenso do fenmeno e com as deliberaes sobre ele estabelecidas: as hipteses.
A indicao de que as hipteses tm um papel relevante nas atividades de modelagem
matemtica, participando da idealizao do fenmeno, como referenciado por Husserl (2012),
pode ser percebida nas argumentaes de diferentes autores. Bean (2001, p. 53) aponta,
Sobre as Hipteses em Atividades de Modelagem Matemtica
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chamados de jogos de linguagem, de modo que ele afirma chamarei tambm de jogos de
linguagem o conjunto da linguagem e das atividades com as quais est
entrelaada (WITTGENSTEIN, 2012, 07) e em outro momento coloca o significado de uma
palavra seu uso na linguagem (WITTGENSTEIN, 2012, 43) e a esses usos denominou de
jogos de linguagem.
No que se refere ao significado da palavra hiptese, parecem se configurar diferentes
jogos de linguagem, considerando o que dicionrios apresentam para se referir hiptese ou
falar de seu significado.
Segundo Abbagnano (2007), hiptese diz respeito a um enunciado que s pode ser
comprovado, examinado, verificado, indiretamente atravs de suas consequncias. ParaJapiass e Marcondes (2008), hiptese uma explicao provisria de um fenmeno devendo
ser provada pela experimentao. J em Houaiss (2009), uma hiptese pode ser uma
proposio que admite um princpio a partir do qual se pode deduzir um determinado
conjunto de consequncias.
Levando em considerao estes diferentes significados, poderamos perguntar: quando o
contexto a modelagem matemtica, como falar da natureza das hipteses? possvel falar
de experimentao em modelagem matemtica? As hipteses utilizadas no desenvolvimentoda modelagem matemtica so verificveis por meio de suas consequncias?
Algumas reflexes sobre estas questes podem advir do pensamento de Wittgenstein
com relao s hipteses. O filsofo, ao tratar da natureza das hipteses, em sua Gramtica
Filosfica, afirma que uma hiptese pode resultar de nossas experincias e, justamente por
isso, ela pode se modificar, ela pode ser substituda, e exemplifica sua conjectura assim:
Se nossas experincias resultam em pontos sobre uma linha reta, a proposio de queessas experincias so vrias vises de uma linha reta uma hiptese. A hiptese uma maneira de representar essa realidade, pois uma nova experincia pode coincidir
com ela ou no, possivelmente, tornar necessrio modificar ahiptese (WITTGENSTEIN, 2003, p. 169).
Nesse contexto, a formulao de uma hiptese parece estar associada aos modos como
vemos a situao sobre a qual iremos formular hipteses. Os modos de ver, entretanto,
decorrem da observao, da experincia. No mbito da modelagem matemtica, o modo de
ver do modelador que orienta a sua formulao de hipteses. Nesse sentido, no existem, a
priori, hipteses certas ou hipteses erradas. No entanto a experincia do modelador, as suas
informaes sobre o fenmeno, podem conduzir a formulaes cuja adequao e veracidade
podem se confirmar quando o modelo for considerado adequado ou quando atender aos
interesses do modelador e de uma comunidade. Wittgenstein, neste sentido, pondera que
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preciso confirmar a veracidade de uma hiptese, para que ela seja til no jogo de linguagem
em que estamos. De fato, ele afirma:
Pode ser duvidoso se o corpo que vejo uma esfera, mas no pode ser duvidoso que,daqui, parea ser algo como uma esfera. O mecanismo da hiptese no funcionaria sea aparncia tambm fosse duvidosa de modo que no pudssemos verificar para almda dvida mesmo uma faceta da hiptese. Se houvesse uma dvida no caso, o queeliminaria a dvida? Se tambm essa ligao fosse frouxa, no haveria nada com queconfirmar uma hiptese e ela pairaria no ar inteiramente, inteiramente sem objetivo (e,portanto, intil) (WITTGENSTEIN, 2003, p. 171).
Assim, preciso ponderar que, por um lado, a formulao de hipteses em atividades de
modelagem matemtica no pode se dar de forma desvinculada das caractersticas do
fenmeno. Por outro lado, entretanto, a experincia do modelador, seja com relao aoconhecimento sobre o fenmeno, seja com respeito matemtica, seja em relao sua
experincia com o desenvolvimento de atividades de modelagem favorecem que o
mecanismo da hiptese funcione, como considera Wittgenstein. Neste sentido, a reflexo que
apresentamos neste artigo visa fomentar e ampliar as perspectivas apontadas e incitar
discusses sobre a formulao de hipteses no desenvolvimento de atividades de modelagem
matemtica.
Para olhar sobre os desdobramentos em atividades de modelagem matemtica
decorrentes da formulao de hipteses, consideramos o desenvolvimento de uma atividade
de modelagem que ocorreu em uma disciplina de Modelagem Matemtica na Perspectiva da
Educao Matemtica, ministrada em um programa de ps-graduao em Educao
Matemtica em uma universidade pblica no primeiro semestre de 2014. Os autores deste
artigo foram, professor e alunos, respectivamente, desta disciplina. O olhar sobre as hipteses
formuladas para o desenvolvimento da atividade realizado considerando: anotaes de aula
entregues pelos alunos e contendo diferentes estgios do desenvolvimento da atividade; o
relatrio final da atividade entregue pelos alunos; os slides da apresentao da atividade
durante encontro presencial da referida disciplina; uma entrevista semiestruturada com o
grupo de alunos que desenvolveu a atividade. No artigo apresentamos uma anlise
interpretativa, luz de pressupostos de Wittgenstein e da modelagem matemtica como
entendida neste texto, com relao formulao de trs hipteses realizada por estes alunos.
Aspectos Metodolgicos
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A discusso acerca das hipteses vem, neste artigo, orientada pela questo: a que
desdobramentos para a atividade conduzem as hipteses na modelagem matemtica?
Considerando a importncia da temtica monitoramento da frequncia cardaca dos
indivduos durante a prtica de exerccios fsicos e a importncia de conhecer a aptido fsica
de cada pessoa na realizao de exerccios, o tema da atividade Variao da Frequncia
Cardaca no Teste de Lger e Lambert1 foi definido pelo grupo.
A atividade de modelagem matemtica foi desenvolvida a fim de investigar um problema
especfico: como se comporta a variao da frequncia cardaca de um indivduo durante a
realizao do teste de Lger e Lambert, popularmente conhecido como teste aerbico de
corrida de vai-vm de 20 metros?
A coleta de dados foi feita com quatro sujeitos, corredores, dois sedentrios e dois que
declararam praticar exerccios fsicos regularmente. Os materiais utilizados para a coleta de
dados foram: cronmetro, frequencmetro, fita mtrica, fita adesiva e udios referentes ao
teste. A distncia foi demarcada em uma quadra esportiva e a realizao do teste gravada em
udio e vdeo. Neste artigo, analisamos a modelagem matemtica desenvolvida com os dados
obtidos no teste de apenas um corredor (Figura 1).
Os encaminhamentos para o desenvolvimento da atividade foram sendo delineados na
medida em que trs hipteses foram sendo formuladas pelos alunos.
H1: H uma regularidade na variao da frequncia cardaca
Essa hiptese fundamenta-se na caracterstica primeira do fenmeno frequncia cardaca:
A Atividade de Modelagem: Um Olhar sobre a Formulao de Hipteses
1O Teste de Lger e Lambert, desenvolvido por Luc Lger e Lambert em 1982, compreende 21 estgios de aproximadamente 1 minuto e a cada estgioincrementa-se a velocidade em 0,5 km/h. Mais informaes em Duarte e Duarte (2001).
Figura 1Performance de um dos corredores no Teste de Lger e LambertFonte: Dos autores.
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a variabilidade dos batimentos. Embora a variabilidade seja marcante, tambm fato que
algumas regularidades podem ser observadas, considerando o preparo fsico do corredor.
Ento, como usada essa hiptese na atividade de modelagem? Podemos dizer que H1visa
elucidar caractersticas do problema a ser investigado, sua leitura e sua interpretao atuam
como um meio de abrir caminhos e possibilidades para a abordagem do problema. Trata-se de
um modo de ver a situao, uma interpretao. E, segundo Wittgenstein (2012, p. 276)
interpretar pensar, agir; ver um estado. A ao, nesse caso, possibilita o pensar sobre
qual matemtica usar para resolver o problema e como us-la visando compreenso da
variao do batimento cardaco durante o teste de Lger e Lambert. Nesse contexto, H1 foi
tomada como ponto de partida para esboar um raciocnio, um caminho a seguir na buscapela soluo do problema, ou seja, um guia para a pesquisa (ALMEIDA, 2014).
H2: Existe relao entre a variao da frequncia cardaca e a distncia percorrida pelo
corredor
A observao da variao da frequncia cardaca durante o teste possibilita dois
encaminhamentos no que diz respeito abordagem da varivel tempo: a considerao do
tempo gasto pelo corredor ou a considerao do tempo padronizado pelo teste.
Considerar o tempo gasto pelo corredor implica na utilizao de trs variveis: frequncia
cardaca, distncia e tempo. A utilizao de tal varivel implicaria na construo de um modelo
baseado em uma funo de duas variveis, ou, em duas funes de uma varivel real.
Como no teste de Lger e Lambert o intervalo entre um estgio e outro padronizado,
os alunos do grupo informaram, tanto no relatrio quanto na entrevista, que para ser fiel ao
teste a opo foi elaborar um modelo considerando a variao da frequncia cardaca em
funo da distncia percorrida. Isso indica claramente que, dependendo da hiptese assumida,
diferentes encaminhamentos podem ser tomados. Isso corrobora a indicao de Almeida e
Vertuan (2011) de que as hipteses so fatores que se colocam no caminho para indicar
direes e em que diferentes resolues matemticas so empreendidas para resolver o
problema.
A hiptese aqui tem, portanto, uma natureza de delimitao, no sentido de simplificar a
situao. Neste caso, a deciso de desconsiderar a varivel tempo na elaborao do modelo
decorre dos modos de ver a situao, da observao, da experincia dos modeladores, das
informaes que eles tm sobre o fenmeno. resultado de uma leitura, de uma idealizao,
como pontua Husserl (2012), em que ideias matemticas entram em jogo, e a formulao de
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hipteses e de aproximaes simplificadoras so requisitos para a criao do modelo,
conforme defende Bean (2012) e Bean (2015).
H3: O comportamento da frequncia cardaca crescente e tende a se estabilizar na
medida em que se aproxima da frequncia cardaca mxima do corredor
Essa hiptese foi formulada com base no comportamento dos dados da Figura 1, a partir
de um experimento, e no clculo da frequncia cardaca mxima do corredor. A realizao do
teste, se repetida, poderia conduzir a resultados que no coincidem com os do teste anterior.
Assim, a hiptese uma maneira de representar essa realidade, pois uma nova experincia
pode coincidir com ela ou no, possivelmente, tornar necessrio modificar a hiptese
conforme j pondera Wittgenstein ( 2003, p. 169).
A hiptese H3 funciona como direo para a abordagem matemtica do fenmeno,
considerando o comportamento dos dados para a construo de um modelo matemtico
capaz de incorporar este comportamento crescente, mas com um limitante, ou seja, uma
assntota. Dentre as curvas analisadas os alunos enxergaram, de acordo com seu modo de ver,
que uma funo logstica, ou seja, , em que e a frequncia cardaca
(bpm), d a distncia (m), poderia se ajustar aos dados da Figura 1.
H3, inicialmente formulada em linguagem natural, interpretada por meio da linguagem
matemtica, como uma lei que guia os alunos. Com base em Wittgenstein (2003), podemos
dizer que a lei forma uma expectativa do grupo com relao a qual matemtica usar para
construir o modelo matemtico. E, por conseguinte, uma expectativa para obter uma soluo
para o problema.
H3 que remete ao uso da linguagem matemtica disponvel aos modeladores, uma
linguagem idealizada, de natureza objetiva, com regras e gramtica especficas. Por meio do
jogo de linguagem da matemtica os modeladores tentam aproximar uma curva dos dados
coletados a fim de realizar previses e compreender, por meio da matemtica, o fenmeno
estudado (Figura 2).
O grfico da Figura 2 indica que o comportamento da curva logstica (em vermelho) no
corresponde, ponto a ponto, aos dados coletados durante o teste do corredor (pontos em
azul), o que corrobora com a ideia de que uma hiptese conduz a uma aproximao da
descrio do fenmeno e que pode ser modificada de acordo com a experincia do
modelador, com o modo de ver e interpretar o fenmeno.
1.)(
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O grfico da Figura 2 indica que o comportamento da curva logstica (em vermelho) no
corresponde, ponto a ponto, aos dados coletados durante o teste do corredor (pontos em
azul), o que corrobora com a ideia de que uma hiptese conduz a uma aproximao da
descrio do fenmeno e que pode ser modificada de acordo com a experincia do
modelador, com o modo de ver e interpretar o fenmeno.
Quando os alunos entram no jogo de linguagem da matemtica, regras especficas so
necessrias. O ajuste da curva logstica feito com base nos dados da Figura 1, no entanto ocomportamento da curva , de certo modo, determinado. Eles observaram que o valor
limitante, para a frequncia cardaca do sujeito, obtido por meio de um mtodo matemtico,
de 211,00 bpm estava alm da frequncia cardaca mxima estimada segundo a literatura da
rea de sade, de 186,7 bpm. A objetividade da matemtica vai de encontro realidade, em
que o limitante, quando o sujeito atinge mais estgios do teste, varia conforme o
condicionamento fsico individual do corredor. Dos 21 estgios do teste o corredor avaliado
chegou ao estgio 9 nvel 9, a uma velocidade de 12,5 km/h e, em consonncia com as
indicaes da literatura da rea consultada pelos alunos, o nvel de aptido fsica do corredor
foi considerado bom pelos alunos que desenvolveram a atividade. O modelo foi ento utilizado
para responder como se d a variao da frequncia cardaca do corredor durante sua
performance no teste de Lger e Lambert, o que pode ser visto por meio da anlise de H3.
A discusso acerca das hipteses vem, neste artigo, orientada pela questo: a quedesdobramentos para a atividade conduzem as hipteses na modelagem matemtica? A
palavra desdobramentosrefere-se aqui a possveis consequncias para o desenvolvimento da
Figura 2Encaminhamento dos estudantes a partir de H3
Fonte: Dos autores.
Resultados
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atividade e s escolhas dos alunos, seja com relao seleo de informaes e variveis do
fenmeno, seja com relao matemtica a ser usada na atividade, decorrentes das hipteses
formuladas.
O que podemos inferir a partir do esforo analtico empreendido que as trs hipteses
formuladas pelos alunos, ao mesmo tempo em que tm diferentes origens, tambm tm
diferentes finalidadespara o desenvolvimento da atividade.
A hiptese 1, com base no conhecimento dos alunos sobre o fenmeno, seria o guia
para compreenso do problema. De fato, admitir que H uma regularidade na variao da
frequncia cardaca (H1) seria o primeiro passo para investigar como se comporta a variao
desta frequncia.
J a formulaode H2(Existe relao entre a variao da frequncia cardaca e a distncia
percorrida pelo corredor) est fundamentada no que os alunos estudaram sobre o fenmeno,
vindo a saber que a frequncia pode ser descrita de forma direta considerando apenas a
distncia percorrida (tempo varivel considerada de forma implcita). A sua consequncia
para o desenvolvimento da atividade seria, entretanto decisiva. No considerar de forma
explcita a varivel tempo, traria uma descrio matemtica especfica, diferente daquela caso
o tempo fosse tambm uma varivel definida.
A hiptese 3, por sua vez, corresponde a uma leitura dos dados coletados. Ela indicaria o
encaminhamento para a construo do modelo matemtico. Admitir um comportamento
assinttico dos dados foi o que definiu a escolha do modelo logstico para a compreenso da
variao dos batimentos cardacos.
Assim, as hipteses so formuladas a partir de um modo de ver e a partir deste modo,
elas regem um comportamento, e tem o carter de guia para a compreenso do fenmeno.
por meio delas que os sujeitos expem o que veem do fenmeno e ao mesmo tempo
conseguem aprofundar seu conhecimento sobre o mesmo.
Nesse sentido, em uma atividade de modelagem matemtica, uma hiptese no como
um enunciado que s pode ser comprovado, examinado, verificado, indiretamente atravs de
suas consequncias (ABBAGNANO, 2007). Nem tampouco, uma hiptese em modelagem
uma explicao provisria de um fenmeno devendo ser provada pela experimentao
(JAPIASS; MARCONDES, 2008).
A observao do fenmeno e a identificao de um problema a ser solucionado geram
hipteses cujo papel incorporar na modelagem matemtica caractersticas relevantes do
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problema na viso do modelador, e ao mesmo tempo, orientar o encaminhamento da
atividade, seja nas estratgias de resoluo, seja no uso da matemtica, seja na construo de
modelos para o fenmeno em estudo.
Desse modo, a natureza de uma hiptese em modelagem matemtica tem caractersticas
de uma suposio bem fundamentada, como pondera Almeida (2014). O modelador,
sobretudo, precisa se prover de informaes sobre o fenmeno, sobre a matemtica, de modo
a garantir que o mecanismo da hiptese funcione, como pondera Wittgenstein (2003). A
validao do modelo, a anlise da resposta obtida para o problema podem ser elementos que
balizam este funcionamento. Parece ter sido este o encaminhamento dos alunos para estudar
o comportamento dos batimentos cardacos em corredores submetidos ao teste de Lger e
Lambert.
A reflexo que se pretende instaurar neste artigo com relao formulao de hipteses,
entretanto, contempla argumentaes como a de Wittgenstein a que j nos referimos: A
hiptese uma maneira de representar essa realidade, pois uma nova experincia pode
coincidir com ela ou no, possivelmente, tornar necessrio modificar a
hiptese (WITTGENSTEIN, 2003, p. 169). Ou seja, a atividade de modelagem matemtica tem
um encaminhamento em consonncia com as hipteses em que se fundamenta. Novas
experincias dos modeladores podem conduzir a novas hipteses, a novos modos de ver e de
compreender, por meio da matemtica, um fenmeno da realidade.
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Referncias