DESCONTO SIMPLESExistem dois tipos bsicos de descontos simples nas operaes financeiras: o desconto comercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalizao simples, na prtica, usa-se sempre o desconto comercial, este ser o tipo de desconto a ser abordado a seguir.Vamos considerar a seguinte simbologia:N = valor nominal de um ttulo.V = valor lquido, aps o desconto.Dc = desconto comercial.d = taxa de descontos simples.n = nmero de perodos.Teremos:V = N - DcNo desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do ttulo. Logo:Dc = NdnSubstituindo, vem:V = N(1 - dn)Exemplo: Considere um ttulo cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para um resgate do ttulo 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.Soluo:V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500Dc = 10000 - 8500 = 1500Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00Desconto bancrioNos bancos, as operaes de desconto comercial so realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do ttulo) e o IOF - imposto sobre operaes financeiras. bvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um ttulo antes do vencimento, atravs desta tcnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietrio do ttulo.Exemplo:Um ttulo de $100.000,00 descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do ttulo como despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor lquido a ser recebido pelo proprietrio do ttulo e a taxa de juros efetiva da operao.Soluo:Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750Da, o valor lquido do ttulo ser: 100000 - 32750 = 67250Logo, V = $67250,00A taxa efetiva de juros da operao ser: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.Observe que a taxa de juros efetiva da operao, muito superior taxa de desconto, o que amplamente favorvel ao banco.DuplicatasRecorrendo a um dicionrio encontramos a seguinte definio de duplicata:Ttulo de crdito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatrio de crdito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulvel por meio de endosso, e sujeito disciplina do direito cambirio.Obs:a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resoluo do Banco Central.b) Uma s duplicata no pode corresponder a mais de uma fatura.Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituies bancrias.Exemplo:Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, alm do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo s despesas administrativas, determine o valor lquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operao.SOLUO:Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50Teremos ento:Valor lquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.Exerccios resolvidos e propostos1 - Fiscal - MS-2000) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$2000,00 dois meses e meio antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 4% a. m. A taxa efetiva de juros dessa operao foi igual a:a) 10%b) 10,44%c) 10,77%d) 11,11%Soluo:Teremos: Dc = N.i.n = 2000.0,04.2,5 = 200O valor lquido recebido ser igual a L = 2000 - 200 = 1800.Portanto, a taxa efetiva de juros da operao foi igual a 200/1800 = 0,1111 = 11,11% ou seja, alternativa (d).

2 - AFRF - 2003) Um ttulo sofre um desconto comercial de R$9810,00 trs meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao ms.Indique qual seria o desconto mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.a) R$ 9810,00b) R$ 9521,34c) R$ 9500,00d) R$ 9200,00e) R$ 9000,00Soluo:Teremos: Dc = N.i.n , onde Dc = 9810, i = 3% = 0,03 e n = 3. Substituindo os valores conhecidos fica:9810 = N.0,03.3 = 0,09.N, de onde tiramos N = 9810 / 0,09 = 109000Como vimos no item II acima, o desconto racional dado por: Dr = N.i.n / (1 + i.n). Substituindo os valores conhecidos, vem:Dr = (109000.0,03.3) / (1 + 0,03.3) = 9810 / 1,09 = 9000Portanto, a alternativa correta a alternativa (e).3 - Um ttulo de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros de 3% a.m. , pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.Resposta: desconto = $300,00 e valor descontado ou valor lquido = $4700,004 - Um banco realiza operaes de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Alm disto, a ttulo de reciprocidade, o banco exige um saldo mdio de 10% do valor da operao. Nestas condies, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operao.Resposta: 6,06% a.m.

Desconto composto aquele obtido em funo de clculos exponenciais. So conhecidos dois tipos de descontos: o desconto composto por fora e o desconto composto por dentro, ou racional. O desconto composto por fora, no possui, pelo menos no Brasil, nenhuma utilizao prtica conhecida. Quanto ao desconto por dentro ou racional, ele nada mais do que a diferena entre o valor futuro de um ttulo e o seu valor atual, determinado com base no regime de capitalizao composta; portanto de aplicao generalizada.DESCONTO COMPOSTO POR FORANo caso do desconto simples por fora, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro dos ttulos, tantas vezes, quantos forem os perodos unitrios, ou seja, D = S x d x n. Como P = S - D, deduz-se que P = S.(1 - d x n).J no caso do desconto composto, para n perodos unitrios, a taxa de desconto incide, no primeiro perodo, sobre o valor do ttulo; no segundo perodo, sobre o valor futuro do ttulo menos o valor de desconto correspondente ao primeiro perodo; no terceiro perodo sobre o valor futuro do ttulo menos os valores dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo perodo, e assim sucessivamente at o ensimo perodo, de forma que:P1 = S - D ou P = S(1 - d)P2 = S(1-d)(1-d) = S(1-d)2P3 = S(1-d)(1-d)(1-d)= S(1-d)3Pn = S (1-d)nAssim o valor lquido de um ttulo, de prazo igual a n perodos unitrios que sofre um desconto composto por fora, dado pela expresso:P = S(1-d)nExemplos:1 - Uma taxa de 2,5% ao ms, de acordo com o conceito de desconto composto por fora. Calcular o valor do desconto.Dados: S = 28.800,00n = 120 dias = 4 mesesd = 2,5% ao msD = ?Soluo:P = S(1-d)n P = 28.800,00(1-0,025)4 = 28.800,00 x 0,903688 = 26.026,21D = S - P = 28.800,00 - 26.026,21 = 2.773,79HP12C = 28.800,00 E 2,5 E 100 : 1 4 YX X 28.800,00 - = 2,773,792 - Um ttulo, com 90 dias a vencer, foi descontado taxa de 3% ao ms, produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do ttulo.Dados: D = 1.379,77d = 3% ao msn = 90 dias ou 3 mesesS = ?Soluo:D = S - P = S - S(1-d)n = S [1-(1-d)n]D = S [1-(1-d)n]1.379,77 = S [ 1 - (1 - 0,03)3]1.379,77 = S [ 1 - 0,912673]1.379,77 = S x 0,087327S = 1.379,77/0,087327 = 15.800,00HP12C = 1E 0,03-3 YX 1- CHS 1/x 1.379,77 X = 15.800,00Desconto Por Dentro ou RacionalDesconto por dentro ou racional, dado pela diferena entre o valor futuro de um ttulo e o seu valor atual, calculado com base no regime de capitalizao composta, como segue:

Para manter a coerncia no que se refere a simbologia adotada, vamos continuar a representar a taxa de desconto por d . Assim a frmula anterior pode ser escrita como segue:

Exemplo:1 - Determinar o valor do desconto composto racional de um ttulo no valor de R$ 50.000,00, sabendo-se que o seu prazo de 5 meses e que a taxa de desconto cobrada de 3,5% ao ms.Dados:S = 50.000,00n = 5 mesesd = 3,5% ao msD = ?Soluo:D = S x (1 + d)n - 1/(1+d)n D = 50.000,00 X (1 + 0,035)5-1/(1 + 0,035)5 D = 50.000,00 X (1,035)5-1/(1,035)5 D = 50.000,00 X 0,18769/1,18769 = 50.000,00 X 0,15803D = 7.901,50HP12C = 1,035E5YX 1-E 1,035E5YX : 50.000,00 X = 7.901,50HP12C = 50.000,00 CHS FV 3,5 i 5 n PV 50.000,00 - = 7.901,34