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UFBA UFBA -- Escola PolitEscola Politéécnica cnica -- DCEDCE 11

Introdução ao Método dos ElementosFinitos aplicado à Análise Estrutural

Aula 03: Formulação do elemento de barra, Análisede treliças usando o FEMAP/Nastran.

Prof. Armando Sá Ribeiro Júnior

Prof. Carlos Augusto de Souza

Salvador, outubro de 2006


SeqüênciaSeqüência de de ApresentaçãoApresentação dada AulaAula 0303

DefiniçãoDefinição do do elementoelemento;;

DeduçãoDedução dada matrizmatriz de de rigidezrigidez do do elementoelemento;;

MontagemMontagem e e soluçãosolução do do sistemasistema de de equaçõesequações;;

TransformaçãoTransformação de de coordenadascoordenadas

SoluçãoSolução de de problemasproblemas de de treliçastreliças usandousando o o

FEMAP/FEMAP/NastranNastran


BARRA SOB TRAÇÃOBARRA SOB TRAÇÃO

Comprimento l Área de seção transversal ACarga axial PMaterial homogêneo, isotrópico e linear

l

A E

P x

Formulação do elemento de barraFormulação do elemento de barra


Barra Barra discretizadadiscretizada

A

L

1 2uu1 2

e

xL

1 2

uu1 2x

e

Pl

x



Elemento “e”Elemento “e”

Área da seção transversal A, comprimento LÁrea da seção transversal A, comprimento LDois graus de liberdade: uDois graus de liberdade: u11 e ue u22

Forças nodais associadas aos graus de Forças nodais associadas aos graus de liberdade: Pliberdade: P11 e Pe P22



Forças nodais no elementoForças nodais no elemento

Equação de equilíbrio na direção x Equação de equilíbrio na direção x

PP22 = = --PP11

A

L

12

e

PP2

1



Equação Constitutiva (relação tensãoEquação Constitutiva (relação tensão--deformaçãodeformaçãoou lei de ou lei de HookeHooke unidimensional):unidimensional):

σσxx = = EE εεxx , sendo, sendo

σσxx tensão normaltensão normalEE módulo de elasticidademódulo de elasticidadeεεxx deformação axialdeformação axial


Relação deformaçãoRelação deformação--deslocamentodeslocamento

Considerando a deformação Considerando a deformação εεx x constante ao longoconstante ao longodo elementodo elemento

∆∆LL variação do comprimento do elemento, devido àvariação do comprimento do elemento, devido àação das forças nodaisação das forças nodais


( )εxdu xdx=

εxL

L=∆


Em termos dos deslocamentos nodaisEm termos dos deslocamentos nodais


εxu u

L=−2 1

L

P P1 2

1 2

σ σxx A A



Por equilíbrioPor equilíbrio

PP11 = = --σσxx AA

PP22 = = σσxx AA

Usando a Lei de Usando a Lei de HookeHooke

PP11 = = --E A E A εεxx

PP22 = E A = E A εεxx


ComoComo

entãoentão


εxu u

L=

−2 1

( )PE AL

u u1 2 1= − −

( )PE AL

u u2 2 1= −


Na forma matricial

ou

matriz de rigidez do elemento

vetor de carga do elemento

vetor dos deslocamentos nodaisdo elemento


[ ]{ } { }eee PuK =E AL

uu

PP

1 11 1

1

2

1

2

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

1111

LAEKe

{ }PPP

e =⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

2

{ }uuu

e =⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

2


Elementos usados na discretização da barra sob tração

As equações para cada um dos elementos de barra são

Superposição dos Elementos de BarraSuperposição dos Elementos de Barra

A A A65

L L L

32

32

uu 65

3

u u43

43

21

1

2uu1 2

11

PP

E AL

uu

1

2

1 1

1

1

2

1 11 1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

PP

E AL

uu

3

4

2 2

2

3

4

1 11 1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

PP

E AL

uu

5

6

3 3

3

5

6

1 11 1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭



⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

4 1 4 4

1

2

4

6 4 1x x x

uuuu

Superposição em uma única matriz, com apenas 4 deslocamentos nodais independentes, pois u3 = u2 e u4 = u5


Primeiro elemento finitoPrimeiro elemento finito

Segundo elemento finitoSegundo elemento finito


PP E A

L

uuuu

1

2 1 1

1

1

2

4

6

00

1 1 0 01 1 0 0

0 0 0 00 0 0 0

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

0

0

0 0 0 00 1 1 00 1 1 00 0 0 0

3

4

2 2

2

1

2

4

6

PP

E AL

uuuu

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪


Terceiro elemento finito

Adicionando-se as três matrizes obtém-se a:

Superposição dos Elementos de Superposição dos Elementos de BarraBarra

00

0 0 0 00 0 0 00 0 1 10 0 1 1

5

6

3 3

3

1

2

4

6

PP

E AL

uuuu

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪


EQUAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS PARA TODA A BARRA

ou


PP PP P

P

E AL

E AL

E AL

E AL

E AL

E AL

E AL

E AL

E AL

E AL

E AL

E AL

uuuu

1

2 3

4 5

6

1 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

3 3

3

3 3

3

3 3

3

3 3

3

1

2

4

6

0 0

0

0

0 0

++

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

−

− +

− + −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

{ } [ ] { }P K uG G G=



[ ]KE A

LG =

−− −

− −−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1 1 0 01 2 1 0

0 1 2 10 0 1 1

onde:onde:

[[KKG G ]]: matriz de rigidez global da estrutura: matriz de rigidez global da estrutura

[[KKG G ]]: vetor de carga global: vetor de carga global

{{uuGG }}: vetor global de deslocamentos nodais, ou vetor : vetor global de deslocamentos nodais, ou vetor solução do problema. solução do problema.

Barra Barra discretizadadiscretizada com elementos iguais: mesmo com elementos iguais: mesmo A, L, EA, L, E



[ ]KE A

LG =

−− −

− −−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1 1 0 01 2 1 0

0 1 2 10 0 1 1

Barra Barra discretizadadiscretizada com elementos iguais: mesmo com elementos iguais: mesmo A, L, EA, L, E


Propriedades da matriz de rigidez:Propriedades da matriz de rigidez:•• simétrica;simétrica;•• valores não nulos na diagonal principal;valores não nulos na diagonal principal;•• matriz banda;matriz banda;

Para uma barra submetida à uma carga P na extremidadePara uma barra submetida à uma carga P na extremidadePP11, P, P22 , P, P33 , P, P44 e Pe P55 são nulas esão nulas e PP6 6 = P= P



Assim, a equação de elementos finitos é escrita comoAssim, a equação de elementos finitos é escrita como

•• matriz de rigidez singularmatriz de rigidez singular•• não foi imposta nenhuma vinculaçãonão foi imposta nenhuma vinculação


E AL

uuuu P

1 1 0 01 2 1 0

0 1 2 10 0 1 1

000

1

2

4

6

−− −

− −−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪


Imposição das condições de contornoImposição das condições de contorno

Escrevendo cada equação separadamente:Escrevendo cada equação separadamente:u1 - u2 = 0

-u1 + 2u2 -u4 = 0-u2 + 2u4 - u6 = 0

Como o nó 1 está engastado Como o nó 1 está engastado uu11 = 0, o sistema acima é reescrito= 0, o sistema acima é reescritou1 = 0

-0 + 2u2 -u4 = 0-u2 +2u4 -u6 =0

AELPuu =+− 64

− + =u u P LE A4 6



Notar que se u1 ≠ 0, a segunda equação teria um valor diferente de zero no seu lado direito. Por exemplo, se o deslocamento do nó 1 fosse prescrito, então o sistema de equações seria escrito como

11 uu =

1422 uuu =−

AELPuu =+− 64

02 642 =−+− uuu



Retornando ao sistema pode-se escrevê-lo na seguinte forma matricial

E AL

uuuu P

1 0 0 00 2 1 00 1 2 10 0 1 1

000

1

2

4

6

−− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪


Notar novamente que se uNotar novamente que se u11 ≠ ≠ 0, a forma matricial 0, a forma matricial seriaseria


E AL

uuuu

uu

P

1 0 0 00 2 1 00 1 2 10 0 1 1

0

1

2

4

6

1

1−− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪


Resolução do Sistema de equaçõesResolução do Sistema de equaçõesComo Como uu11 = 0= 0, a primeira equação pode ser descartada e , a primeira equação pode ser descartada e o sistema de equações pode ser escrito comoo sistema de equações pode ser escrito como

A solução do sistema de equações acima éA solução do sistema de equações acima é

E AL

uuu P

2 1 01 2 1

0 1 1

00

2

4

6

−− −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

=⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

uuuu

P LE A

1

2

4

6

0123

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪


Sistema de coordenas global não coincidente com o eixoSistema de coordenas global não coincidente com o eixocentroidalcentroidal (análise de treliças, por exemplo)(análise de treliças, por exemplo)

-- Coordenada Coordenada ss: ao longo do eixo axial: ao longo do eixo axial-- ww11 e we w22 : deslocamentos nodais ao longo do eixo : deslocamentos nodais ao longo do eixo ss-- θθ : ângulo entre o eixo : ângulo entre o eixo ss e o eixo e o eixo xx. .

Transformação de CoordenadasTransformação de Coordenadas

L Lθθ

AA ss

11

22

w 11

w2 2P

P

e e

x

y


Relação entre o deslocamento w ao longo do elemento e Relação entre o deslocamento w ao longo do elemento e suas componentes suas componentes uu e e vv nas direções nas direções xx e e yy::

w = u cos w = u cos θθ + v sen + v sen θθ

Assim, podeAssim, pode--se relacionar os deslocamentos nodais com se relacionar os deslocamentos nodais com suas componentes nas direções x e y: suas componentes nas direções x e y:


ww

uvuv

1

2

1

1

2

2

0 00 0

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

cos sencos sen

θ θθ θ



e as forças nodais e suas componentes nas direções x e ye as forças nodais e suas componentes nas direções x e y

PPPP

PP

x

y

x

y

1

1

2

2

1

2

00

00

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

cossen

cossen

θθ

θθ



Introduzindo as relações acima na equação correspondente à Introduzindo as relações acima na equação correspondente à equação do elemento de barra, agora reescrita em termos de wequação do elemento de barra, agora reescrita em termos de w11 e e ww22 , ou seja,, ou seja,

obtémobtém--sese

E AL

ww

PP

1 11 1

1

2

1

2

−−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

y

x

y

x

PPPP

vuvu

sensen

LAE

sen

sen

2

2

1

1

2

2

1

1

0000

1111

00

00

θθθθ

θθ

θθ

coscos

cos

cos



Após as multiplicações obtémApós as multiplicações obtém--sese

A equação acima é a equação para o elemento de barra em A equação acima é a equação para o elemento de barra em relação a um sistema de coordenadas xrelação a um sistema de coordenadas x--y que não passa pelo y que não passa pelo seu eixo axial, o qual está inclinado em relação ao eixo x de seu eixo axial, o qual está inclinado em relação ao eixo x de um ângulo um ângulo θθ..

E AL simé trica

uvuv

PPPP

x

y

x

y

cos cos sen cos cos sensen sen cos sen

cos cos sensen

2 2

2 2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

θ θ θ θ θ θθ θ θ θ

θ θ θθ

− −− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪


Exemplos PráticosExemplos Práticos

Para os exemplos a seguir:Para os exemplos a seguir:

Criar um arquivo “Criar um arquivo “resultados.resultados.txttxt”” com as seguintescom as seguintesinformações:informações:

Os deslocamentos dos nós das treliças;Os deslocamentos dos nós das treliças;A tensão normal máxima em cada barra;A tensão normal máxima em cada barra;As reações em cada apoio.As reações em cada apoio.


Exemplo Prático 1Exemplo Prático 1

Resolver o exemplo abaixo utilizando trêsResolver o exemplo abaixo utilizando trêselementos finitos de barraelementos finitos de barra



Resolver a treliça abaixoResolver a treliça abaixo

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