PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIALCENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA
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Aula 04:
• Trigonometria• Matrizes e Determinantes
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Trigonometria• Deduzindo da própria palavra, trigonometria é a parte da
geometria que estabelece relações métricas e angulares entre elementos de triângulo qualquer.
Triângulos:
• Dados 3 pontos A, B, C, não colineares, isto é, não alinhados, chama-se triângulo a região do plano limitada pelos segmentos AB, AC e BC, denominados lados, sendo A, B e C os seus vértices.
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Trigonometria• Teorema Angular de Tales:
“A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.”
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Trigonometria• Teorema – Ângulo Externo:
“Em todo triângulo, um ângulo externo, é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes, ou seja:”
Propriedade:
Se um triângulo possui dois lados medindo “a” e “b”, o terceiro lado “c” estará
sempre compreendido entre |a-b| e (a+b), ou seja: |a-b| < c < (a+b)
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Trigonometria• Classificação dos Triângulos:
Quanto aos Lados:• Escaleno: Os três lados possuem medidas diferentes.• Isósceles: Ao menos dois lados possuem medidas iguais.• Eqüilátero: Os três lados possuem medidas iguais.Quanto aos Ângulos:• Acutângulo: Quando os três ângulos internos são agudos.• Retângulo: Quando um dos ângulos internos é reto.• Obtusângulo: Quando um dos ângulos internos é obtuso.
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Trigonometria• Segmentos Notáveis de um triângulo:
• Mediana: é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. O ponto de interseção das 3 medianas de um triângulo denomina-se BARICENTROdo triângulo.
• Altura: é o segmento que une um vértice ao lado oposto(ou ao prolongamento deste), sendo perpendicular a esse lado. As 3 alturas de um triângulo passam por um mesmo ponto, chamado ORTOCENTRO do triângulo.
• Bissetriz interna: é o segmento que divide cada ângulo interno do triângulo, em 2 ângulos iguais. As 3 bissetrizes internas de um triângulo passam por um ponto chamado INCENTRO do triangulo. O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo, isto é, da circunferência que tangencia os 3 lados do triângulo.
• Mediatriz: é a reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio do mesmo. As 3 mediatrizes de qualquer triângulo passam por um mesmo ponto, chamado CIRCUNCENTRO, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é, da circunferência que passa pelos 3 vértices do triângulo.
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Trigonometria• Relações Métricas no Triângulo Retângulo:
Triângulo retângulo é todo polígono de 3 lados que contém um ângulo interno reto, ou seja, 90º graus.
Num triângulo retângulo, o maior lado é denominado hipotenusa, e os outros dois lados, adjacentes ao ângulo reto, são denominados catetos.
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Trigonometria• A relação métrica do triângulo retângulo mais utilizada e
conhecida é o teorema de Pitágoras que diz: “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”
Hip² = cat² + cat²
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Trigonometria• Existem ainda outras relações métricas do triângulo retângulo:
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Trigonometria• Considerando um triângulo retângulo com a sua hipotenusa e seus dois
catetos(adjacentes e opostos ao ângulo agudo α). Chega-se as seguintes expressões:
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Trigonometria
• Uma relação importante pode ser obtida pelo Teorema de Pitágoras:
(cateto oposto)² + (cateto adjacente)² = (hipotenusa)²
• Dividindo toda a expressão acima por (hipotenusa)² e relacionando com as razões trigonométricas temos que:
• Essa relação também é conhecida como relação fundamental da trigonometria.
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Matrizes e Determinantes
• Matrizes:
• Sejam m e n dois números naturais não nulos. Denomina-se matriz de ordem m x n, como uma tabela retangular formada por m.n elementos, dispostos em m linhas e n colunas. Pela representação de matriz genérica:
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Matrizes e DeterminantesTipos de matrizes:
• Se m ≠n, A é uma matriz retangular.
• Se m = n, A é uma matriz quadrada, também conhecida como matriz de ordem
m.
• Se m = 1, A é uma matriz linha.
• Se n = 1, A é uma matriz coluna.
• Se ��� = 0 (∀� ∀�), então A é chamada matriz nula(ou matriz 0).
• Se A é uma matriz quadrada e quando i ≠ j tem-se ��� = 0, então A é chamada
matriz diagonal.
• Se A é uma matriz quadrada, quando i ≠ j tem-se ��� = 0, e quando i = j tem-se ��� = 1 , então A é chamada matriz identidade(ou matriz unidade) de ordem m,
também representado por � .
• Se A é uma matriz quadrada, quando i > j tem-se ��� = 0 ou quando i < j tem-se ��� = 0, então A é chamada matriz triangular.
• Se A é uma matriz com m linhas e n colunas com elementos ��� , denomina-se
matriz transposta de A(indicada por ��), a matriz com n linhas e m colunas com
elementos ��� , com ��� = ��� .
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Matrizes e Determinantes
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Matrizes e DeterminantesOperações com matrizes:
• Adição e Subtração de matrizes:
Condição:
Para que se possa efetuar a adição ou a subtração de matrizes é necessário que
elas possuam a mesma ordem.
A soma ou a subtração de duas ou mais matrizes é efetuada quando se somam ou
subtraem os elementos correspondentes das matrizes. O resultado tem a mesma ordem
que compõem as parcelas:
Sejam as matrizes: � = (��� ) � � , � = (��� ) � � e C= (��� ) � � , então:
� = � + � ↔ ��� = ��� + ���
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Matrizes e Determinantes• Multiplicação de número real por matriz:
Sejam: A uma matriz com m linhas e n colunas e α um número real. Para se
obter uma matriz B, de mesma ordem da matriz A, de forma que B = αA, cada elemento
de B será igual ao elemento correspondente de A multiplicado pela constante α:
� = α. A ↔ ��� = α. ��� • Multiplicação de matrizes:
Condição:
Para que se efetue a multiplicação de duas matrizes A e B é necessário que o
número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B. O produto
A.B tem número de linhas igual ao número de linhas da matriz A e o número de colunas
igual ao número de colunas da matriz B.
Sejam as matrizes: � = (��� ) � � , � = (��� )� � � e C= (��� ) � � ,, para que se tenha C
= A.B, inicialmente verifica-se a condição de existência:
� � � .�� � � = � � �
Para cada elemento da matriz C:
��� = ��1. �1� + ��2. �2� + … + ��� . ���
Importante: Lembre-se que somente para matrizes quadradas: A² = A.A
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Matrizes e DeterminantesPropriedades operatórias das matrizes:
Sejam as matrizes A, B e C, quaisquer e de acordo com as condições operatórias
das matrizes, temos:
I. A + B = B + A
II. A.(B + C) = AB + AC
III. A.B ≠ B.A
IV. (A. B)t = Bt . At V. A. � = � .A = A
VI. (A + 0) = A
Matriz inversa:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Recebe o nome de matriz inversa de A a
matriz A−1 tal que:
A. A−1 = A−1. A = �
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Matrizes e Determinantes
• DeterminantesDeterminante é um número ou expressão que se associa a uma
matriz quadrada.• Calculando determinantes:
• Determinante de primeira ordem:Seja a matriz M = (a), o seu determinante é dado por:
det M = |a| = a
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Matrizes e Determinantes• Determinante de segunda ordem:
Seja a matriz ! = "� �� #$, o seu determinante é dado por:
det ! = %� �� #% = �# − ��
• Determinante de terceira ordem(Regra de Sarrus):
Seja a matriz ! = &� � �# '( ℎ � * o seu determinante é dado por:
det ! = -� � �# '( ℎ � - = -� � �# '( ℎ � - � �# ( ℎ
det ! = (�� + �'( + �#ℎ) − (�( + �'ℎ + �#�)
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Matrizes e Determinantes
Propriedades dos determinantes:
Situações que anulam um determinante:
• O determinante de uma matriz quadrada é igual a zero, se a matriz possui:
• Uma fina nula;• Duas filas paralelas iguais;• Duas filas paralelas proporcionais• Uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas.
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Matrizes e DeterminantesSituações que não alteram o determinante:
• O determinante de uma matriz quadrada não se altera se:• Trocarmos ordenadamente as linhas pelas colunas(matriz
transposta);• Substituirmos uma fila por uma combinação linear de outras
filas paralelas com a fila substituída(Teorema de Jacobi).
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Exercícios
1 - (UNI-RIO) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:
a) 11 / 24b) - 11 / 24c) 3 / 8d) - 3 / 8e) - 3 / 10
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Exercícios
Solução:
Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Logo, o
maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos então,
aplicando a lei dos cossenos:
62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos β ∴ 36 - 9 - 16 = - 24 . cos β ∴ cos β = - 11 / 24 e,
portanto, a alternativa correta é a letra B.
Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de um
lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto
desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
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Exercícios
20128)2.(61.812
68 det
12
68
1d 12
2c 02
6b 24
8 210
10
22
22
410
10
22
22
410
10
22
11
25 2
: matriz a sencontramo ntePrimeirame
. de tedeterminan o calcule ,2 que tais e 10
22 ,
11
25
:matrizes as Dadas 1)
=+=−−=−
=
−=⇒
=→=−
−=→=−−
=→−=−
=→=−
⇒
−=
−−−
−−
−=
−
−
−=
−
−
=−
=
−=
−=
X
X
d
c
b
aa
dc
ba
dc
ba
dc
ba
X
XBXAdc
baXBA
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Exercícios
−=
=⇒
±=⇒
±=⇒
±=
=−−⇒=−−+−
=++−−+−+−⇒=−−−
=−−
2
6
2
84
2
644
2
1214164
0124n 12)2(
12)403()0)1(2( 12
0
1
1
n
4
2
0
114
312
:segunda da produtos dos soma pela diagonal,
primeira da produtos dos soma asubtrair e matriz, da direita à colunas primeiras duas ascopiar
em consiste que Sarrus, de regra autilizar podemos 3x3 matriz uma de tedeterminan oachar Para
.12
0
114
312
equação da solução a Encontre )2
22
n
nnn
).(-.-n
nnnnn
nnnnn
nn
n
nn
n
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Exercícios
−
−
=⇒
+−+
+−−+−
+−+
=
−=
−=
84
127
35
2.4)3(01.45.0
2.3)3)(2(1.35).2(
2.0)3.(11.05.1
3x2. matriz uma será resultado O B. matriz da
coluna cadapor A matriz da linha cada de produto pelo obtido será resultado O 2x2. umapor
3x2 matriz uma ndomultiplica estamos onde matrizes, de çãomultiplica de questão uma é Essa
AB. calcule 21
35 e
40
32
01
Sendo 3)
ABAB
BA
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Exercícios
−
−=
=
−=→
=+
=+
−=
=→
=+
=+
⇒
=+
=+
=+
=+
⇒
=
=
=
−
−
43
54 é de inversa matriz a Portanto,
4
5
143
054
3
4
043
154
143
043
054
154
10
01.
43
54
.
:sejaou ,identidade matriz na resulta inversa sua pela damultiplica matriz uma que Sabemos
. matriz da inversa matriz a determine ,43
54 Sendo 4)
1
1
AA
d
b
db
db
c
a
ca
ca
db
ca
db
ca
dc
ba
IAA
AA