Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto in-terno 〈, 〉. Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V.Sejam
I w1 = v1;
I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
I . . .;
I wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈vn,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
I B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto in-terno 〈, 〉. Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V.Sejam
I w1 = v1;
I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
I . . .;
I wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈vn,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
I B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto in-terno 〈, 〉. Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V.Sejam
I w1 = v1;
I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
I . . .;
I wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈vn,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
I B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto in-terno 〈, 〉. Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V.Sejam
I w1 = v1;
I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
I . . .;
I wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈vn,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
I B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto in-terno 〈, 〉. Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V.Sejam
I w1 = v1;
I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
I . . .;
I wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈vn,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
I B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto in-terno 〈, 〉. Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V.Sejam
I w1 = v1;
I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
I . . .;
I wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈vn,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
I B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto in-terno 〈, 〉. Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V.Sejam
I w1 = v1;
I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;
I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉
〈w2,w2〉w2;
I . . .;
I wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈vn,wn−1〉
〈wn−1,wn−1〉wn−1.
I B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
I Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) ev4 = (0, 1, 0, 1).
I Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
I w1 = (1, 1, 0, 0);
I w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
I w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
I w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
I B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
I Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) ev4 = (0, 1, 0, 1).
I Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
I w1 = (1, 1, 0, 0);
I w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
I w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
I w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
I B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
I Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) ev4 = (0, 1, 0, 1).
I Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
I w1 = (1, 1, 0, 0);
I w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
I w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
I w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
I B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
I Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) ev4 = (0, 1, 0, 1).
I Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
I w1 = (1, 1, 0, 0);
I w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
I w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
I w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
I B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
I Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) ev4 = (0, 1, 0, 1).
I Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
I w1 = (1, 1, 0, 0);
I w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
I w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
I w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
I B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
I Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) ev4 = (0, 1, 0, 1).
I Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
I w1 = (1, 1, 0, 0);
I w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
I w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
I w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
I B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Exemplo
I Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) ev4 = (0, 1, 0, 1).
I Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:
I w1 = (1, 1, 0, 0);
I w2 =(−1
2 ,12 , 1, 0
);
I w3 =(13 ,−
13 ,
13 , 1
);
I w4 =(−1
2 ,12 ,−
12 ,
12
).
I B′ = {w1, w2, w3, w4}.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Propriedades
Sejam V, B e B′ como descritos acima. Sao validas as seguintespropriedades.
I B′ e uma base ortogonal de V.
I Para todo i = 1, . . . , n, [v1, v2, . . . , vi] = [w1, w2, . . . , wi].
I Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos
B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}
.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Propriedades
Sejam V, B e B′ como descritos acima. Sao validas as seguintespropriedades.
I B′ e uma base ortogonal de V.
I Para todo i = 1, . . . , n, [v1, v2, . . . , vi] = [w1, w2, . . . , wi].
I Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos
B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}
.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Propriedades
Sejam V, B e B′ como descritos acima. Sao validas as seguintespropriedades.
I B′ e uma base ortogonal de V.
I Para todo i = 1, . . . , n, [v1, v2, . . . , vi] = [w1, w2, . . . , wi].
I Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos
B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}
.
Conjunto Ortogonal de Vetores
Propriedades
Sejam V, B e B′ como descritos acima. Sao validas as seguintespropriedades.
I B′ e uma base ortogonal de V.
I Para todo i = 1, . . . , n, [v1, v2, . . . , vi] = [w1, w2, . . . , wi].
I Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos
B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}
.
Conjuntos Ortogonais
Definicao
Sejam S1 e S2 subconjuntos nao vazios de um espaco vetorialV com produto interno 〈, 〉. Dizemos que S1 e ortogonal a S2,representado por S1⊥S2, se qualquer vetor v1 ∈ S1 e ortogonal aqualquer vetor v2 ∈ S2, isto e, se 〈v1, v2〉 = 0 para todos v1 ∈ S1
e v2 ∈ S2.
Exemplo
Os conjuntos
S1 = {(−2, 1, 2,−2), (−4, 2, 0, 0), (0, 0, 1,−1)}
eS2 = {(1, 2, 0, 0), (3, 6, 1, 1)}
sao ortogonais com relacao ao produto interno usual de R4.
Conjuntos Ortogonais
Definicao
Sejam S1 e S2 subconjuntos nao vazios de um espaco vetorialV com produto interno 〈, 〉. Dizemos que S1 e ortogonal a S2,representado por S1⊥S2, se qualquer vetor v1 ∈ S1 e ortogonal aqualquer vetor v2 ∈ S2, isto e, se 〈v1, v2〉 = 0 para todos v1 ∈ S1
e v2 ∈ S2.
Exemplo
Os conjuntos
S1 = {(−2, 1, 2,−2), (−4, 2, 0, 0), (0, 0, 1,−1)}
eS2 = {(1, 2, 0, 0), (3, 6, 1, 1)}
sao ortogonais com relacao ao produto interno usual de R4.
Conjuntos Ortogonais
Propriedade
Sejam V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉 e B ={v1, . . . , vn} uma base de um subespaco S de V. Se um vetoru ∈ V e ortogonal a todos os vetores da base B, entao u e ortogo-nal a qualquer vetor de S. Dizemos, neste caso, que u e ortogonala S e representamos tal fato por u⊥S.
Complemento Ortogonal
Definicao
Sejam V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉 e S umsubespaco vetorial de V. O conjunto
S⊥ = {v ∈ V ; v⊥S}
dos vetores de V que sao ortogonais a S e denominado comple-mento ortogonal de S.
Exemplo 1
Seja V = R3 com o produto interno usual. Seja S = {(x, y, z) ; x+y = 0}. Entao,
S⊥ = {(x, y, z) ; x− y = 0, z = 0}.
Complemento Ortogonal
Definicao
Sejam V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉 e S umsubespaco vetorial de V. O conjunto
S⊥ = {v ∈ V ; v⊥S}
dos vetores de V que sao ortogonais a S e denominado comple-mento ortogonal de S.
Exemplo 1
Seja V = R3 com o produto interno usual. Seja S = {(x, y, z) ; x+y = 0}. Entao,
S⊥ = {(x, y, z) ; x− y = 0, z = 0}.
Complemento Ortogonal
Exemplo 2
Seja V = R3 com o produto interno dado por
〈(x1, y1, z1), (x2, y2, z2)〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2 + z1z2.
Seja S = {(x, y, z) ; x + y = 0}. Entao, S⊥ = {(x, y, z) ; x− y =0, z = 0}.
Complemento Ortogonal
Propriedade
Seja S um subespaco vetorial de um espaco vetorial V com pro-duto interno. Entao,
1. S⊥ e um subespaco vetorial de V;
2. V = S ⊕ S⊥.
Complemento Ortogonal
Propriedade
Seja S um subespaco vetorial de um espaco vetorial V com pro-duto interno. Entao,
1. S⊥ e um subespaco vetorial de V;
2. V = S ⊕ S⊥.