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Sumario
CONGRUENCIAS QUADRATICAS
Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br
PROFMAT - Colegio Pedro II
09 de dezembro de 2016
Congruencias Quadraticas Resıduos Quadraticos Soma de Quadrados Lei da Reciprocidade Quadratica
Sumario
1 Congruencias Quadraticas
2 Resıduos Quadraticos
3 Soma de Quadrados
4 Lei da Reciprocidade Quadratica
Congruencias Quadraticas Resıduos Quadraticos Soma de Quadrados Lei da Reciprocidade Quadratica
Outline
1 Congruencias Quadraticas
2 Resıduos Quadraticos
3 Soma de Quadrados
4 Lei da Reciprocidade Quadratica
Congruencias Quadraticas Resıduos Quadraticos Soma de Quadrados Lei da Reciprocidade Quadratica
Congruencias Quadraticas
Estamos interessados em resolver congruencias do tipo
AY 2 + BY + C ≡ 0 mod N
onde A,B,C ∈ Z e N > 1 e um natural tal que A 6≡ 0 mod N
Pondo Z = 2AY + B, ∆ = B2 − 4AC e m = 4AN, resolver acongruencia acima e equivalente a resolver o sistema decongruencias
Z 2 ≡ ∆ mod m2AY + B ≡ Z mod m
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Congruencias Quadraticas
. Congruencias do tipo X 2 ≡ a mod n sao mais simples de tratarquando (a,n) = 1
Proposicao 12.1: Seja (∆,m) = e2l , onde l e livre de quadrados.Escrevendo ∆ = ∆′e2l e m = m′e2l , temos que a congruenciaZ 2 ≡ ∆ mod m admite solucao se, e somente se,(∆′l ,m′) = (l ,m′) = 1 e a congruencia X 2 ≡ ∆′l mod m′ admitesolucao
Proposicao 12.2: Seja n = pr11 ...p
rss a decomposicao de n em fatores
primos. A congruencia X 2 ≡ a mod n admite solucao se, e somentese, cada congruencia, separadamente, da famılia
X 2 ≡ a mod prii , i = 1, ..., s
admitir solucao
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Congruencias Quadraticas
Proposicao 12.3: Sejam a, p, r ∈ Z, onde p e um numero primo ımpar er ≥ 2 tais que (a, p) = 1. A congruencia X 2 ≡ a mod pr admite solucao se,e somente se, a congruencia X 2 ≡ a mod p adimite solucao
Observe que congruencias do tipo X 2 ≡ a mod p nem sempre tem solucao.A congruencia X 2 ≡ 2 mod 3 nao possui nenhuma solucao
Proposicao 12.4: Considere a congruencia
X 2 ≡ a mod 2r
onde a, r ∈ Z, com a ımpar e r ≥ 2. Temos que:
i) Se r = 2, a congruencia dmite solucao se, e somente se, a ≡ 1 mod 4 e,nesse caso, ela admite duas solucoes incongruentesii) Se r ≥ 3, a congruencia admite solucao se, e somente se, a ≡ 1 mod 8
Exemplo 12.5: Vamos resolver a congruencia quadratica4Y 2 + 3Y + 5 ≡ 0 mod 2.52.19
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1 Congruencias Quadraticas
2 Resıduos Quadraticos
3 Soma de Quadrados
4 Lei da Reciprocidade Quadratica
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Resıduos Quadraticos
Definicao: Seja a um numero inteiro. Quando a congruenciaX 2 ≡ a mod p possui alguma solucao, diz-se que a e resıduoquadratico modulo p, caso contrario diz-se que a nao e resıduoquadratico modulo p
2 nao e resıduo quadratico modulo 3 (X 2 6≡ 2 mod 3)
todo numero natural a e resıduo quadratico modulo 2(a congruencia X 2 ≡ a mod 2 tem solucao para todo a ∈ N)
Exemplo 10.27: Seja p um primo tal que p ≡ 1 mod 4. Tem-seque [(p − 1
2
)!]2≡ −1 mod p
Em particular, ∃a ∈ Z, com 0 < a ≤ p−12 , tal que a2 ≡ −1 mod p
Assim, se p e um numero primo da forma 4n + 1, entao −1 eresıduo quadratico modulo p
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Resıduos Quadraticos
Teorema da Lei da Reciprocidade Quadratica
Algoritmo para reconhecer se um determinado inteiro a e ounao e resıduo quadratico modulo p, para um dado primo p
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Resıduos Quadraticos
Lema 12.6: Sejam p > 2 um numero primo e a ∈ Z tal que(p,a) = 1. Se x0 ∈ R∗ = {1, ...,p − 1} e solucao dacongruencia X 2 ≡ a mod p, entao (x0,p) = 1 e p− x0 tambeme solucao, nao congruente a x0, e essas sao as unicassolucoes em R∗
Proposicao 12.7: Sejam p um numero primo e ımpar e a ∈ Ztal que (a,p) = 1
i) Se X 2 ≡ a mod p nao tem solucao, entao ap−1
2 ≡ −1 mod p
ii) Se X 2 ≡ a mod p tem solucao, entao ap−1
2 ≡ 1 mod p
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Resıduos Quadraticos
Criterio de EulerTeorema 12.8: Se p e um numero primo ımpar e a ∈ Z e talque (a,p) = 1, entao
i) p | ap−1
2 − 1 se, e somente se, a e resıduo quadratico modulop
ii) p | ap−1
2 + 1 se, e somente se, a nao e resıduo quadraticomodulo p
Exemplo 12.9: Voltando ao Exemplo 7.2047 divide um, e apenas um, dos numeros 223 − 1 ou 223 + 1Temos que 47 | 223 − 1 pois X 2 ≡ 2 mod 47 tem a solucao 7
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Resıduos Quadraticos
Proposicao 12.10: Seja p um numero primo ımpar. Os
numeros 12,22, ...,(
p−12
)2sao dois a dois incongruentes e
representam todos os resıduos quadraticos modulo p
Corolario 12.11: No conjunto R∗ = {1, ...,p − 1} ha tantosresıduos quadraticos quanto nao resıduos quadraticos modulop
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Resıduos Quadraticos
. Uma nocao extremamente conveniente para lidar comresıduos quadraticos
Definicao: Se p e um numero primo e a e um inteiro tal quep - a, define-se o sımbolo de Legendre como(
ap
)=
{1, se a e resıduo quadratico modulo p−1, se a nao e resıduo quadratico modulo p
. Se p - a entao(
a2
p
)= 1. Em particular
(1p
)= 1
. Se a e ımpar entao(
a2
)= 1
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Resıduos Quadraticos
. O sımbolo de Legendre possui as seguintes propriedades
Proposicao 12.13: Sejam a,b ∈ Z e p um primo ımpar tal que(a,p) = (b,p) = 1. Tem-se que
i) Se a ≡ b mod p, entao(
ap
)=(
bp
)ii) a
p−12 ≡
(ap
)mod p
iii)(
a.bp
)=(
ap
)(bp
)Em particular, para todos m, k ∈ N tais que (m,p) = (k ,p) = 1,vale
(k2m
p
)=(
k2
p
)(mp
)=(
mp
)
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Resıduos Quadraticos
Corolario 12.14: Sejam p um numero primo ımpar e a e b doisnumeros inteiros primos com p
i) Se a e b sao ambos resıduos quadraticos ou nao resıduosquadraticos modulo p, entao ab e resıduo quadratico modulo pii) Se a e resıduo quadratico modulo p e b nao e resıduoquadratico modulo p, entao ab nao e resıduo quadraticomodulo p
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Resıduos Quadraticos
Dado qualquer a ∈ Z, com (a,p) = 1, podemos escrever a na formaa = ±k2p1...pr , onde k ∈ N e p1, ...,pr sao numeros primos distintos,com (k ,p) = (p1,p) = ... = (pr ,p) = 1.Assim, (a
p
)=(± 1
p
)(p1
p
)...(pr
p
)Isso mostra que, para determinar o sımbolo de Legendre de umnumero inteiro qualquer, basta saber calcular
(− 1
p
)e(
qp
), onde p e
q sao numeros primos distintos
Corolario 12.15: Sejam p um numero primo ımpar. Temos que(− 1
p
)= (−1)
p−12 =
{1, se p = 4n + 1−1, se p = 4n + 3
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1 Congruencias Quadraticas
2 Resıduos Quadraticos
3 Soma de Quadrados
4 Lei da Reciprocidade Quadratica
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Soma de Quadrados
Teorema 12.16: Para um numero natural ımpar c saoequivalentes:
i) Existem n,m ∈ N, com (n,m) = 1 e de paridades distintastais que c = n2 + m2
ii) A congruencia X 2 ≡ −1 mod c admite solucao em Ziii) Os fatores primos de c sao todos da forma 4k + 1
Corolario 12.17: Um numero natural e a hipotenusa de umtriangulo pitagorico primitivo se, e somente se, ele so admitedivisores primos da forma 4k + 1.Um numero natural e a hipotenusa de um triangulo pitagoricose, e somente se, ele e multiplo de um primo da forma 4k + 1
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Soma de Quadrados
Corolario 12.18: Para um numero primo p > 2, saoequivalentes:
i) Existem n,m ∈ N, com (n,m) = 1 e de paridades distintastais que p = n2 + m2
ii) A congruencia X 2 ≡ −1 mod c admite solucao em Ziii) p e da forma 4k + 1
Lema 12.19: Quaiquer que sejam a,b, c,d ∈ Z, tem-se que:
i) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2
ii) (2a + 1)2 + (2b + 1)2 = 2[(a + b + 1)2 + (b − a)2] e(2a + 1,2b + 1) = (a + b + 1,b − 1)
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Soma de Quadrados
Corolario 12.20: Todo divisor de um numero da forma x2 + y2,com (x , y) = 1, e da forma 2l(4k + 1), onde l = 0,1
Exemplo 12.21: Existem infinitos primos da forma 8n + 5
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Soma de Quadrados
FermatTeorema 12.22: Um numero natural e um quadrado ou somade dois quadrados de numeros naturais se, e somente se, elee da forma a = 2lb2p1...pr , onde l = 0,1, b ∈ N, r ≥ 0 e os pi ,i = 1, ..., r sao primos distintos da forma 4k + 1
Proposicao 12.23: Se p e um numero primo da forma 4k + 1,os numeros naturais x e y tais que p = x2 + y2 sao unicos amenos da ordem
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1 Congruencias Quadraticas
2 Resıduos Quadraticos
3 Soma de Quadrados
4 Lei da Reciprocidade Quadratica
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Lema de GaussProposicao 12.24: Sejam p e a dois numeros, com p primo ımpar e(p,a) = 1. Sejam r1, ..., r p−1
2os restos da divisao por p dos numeros
a,2a, ..., p−12 a, respectivamente. Se k e o numero dos ri que sao
maiores do que p−12 , entao (a
p
)= (−1)k
Proposicao 12.25: Sejam p e a dois numeros naturais ımpares, comp primo e (a,p) = 1. Pondo p′ = (p−1)
2 e κ =[
ap
]+[
2ap
]+ ...+
[p′ap
],
temos que (ap
)= (−1)κ
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Exemplo 12.26: Vamos mostrar que a equacao diofantinaX 2 − 13Y = 5 nao possui solucao em numeros naturais
Corolario 12.27: Seja p um numero primo ımpar. Tem-se que(2p
)= (−1)
p2−18 =
{1, se p ≡ 1 ou p ≡ 7 mod 8−1, se p ≡ 3 ou p ≡ 5 mod 8
Lema 12.28: Sejam p e q dois numeros primos ımpares distintos.Tem-se que
[qp
]+[2q
p
]+ ...+
[ p−12 qp
]+[p
q
]+[2p
q
]+ ...+
[ q−12 pq
]=
p − 12
q − 12
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Lei da Reciprocidade Quadratica de GaussTeorema 12.29: Sejam p e q dois numeros primos ımparesdistintos. Tem-se que(p
q
)(qp
)= (−1)
p−12
q−12
Coroilario 12.31: Se p e q sao dois numeros primos distintos,tais que p ≡ 1 mod 4, ou q ≡ 1 mod 4, entao q e resıduoquadratico modulo p se, e somente se, p e resıduo quadraticomodulo q
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Lei da Reciprocidade Quadratica
A Lei de Reciprocidade Quadratica, juntamente com aspropriedades do sımbolo de Legendre contidas na Proposicao12.13 e nos Corolarios 12.15 e 12.27, funciona como umalgoritmo para determinar se um numero e ou nao e resıduoqaudratico modulo um numero primo ımpar p
Exemplo 12.32: Vamos calcular(
2561241
)Exemplo 12.33: Vamos calcular
(3p
), onde p e um numero
primo maior do que 3
Exemplo 12.34: Vamos calcular(
5p
), onde p e um numero
primo maior do que 5