Conexidade e Conectividade
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes
Março - 2009
Conexidade
A noção de conexidade está relacionada à possibilidade da passagem de um vértice a outro em um grafo através das ligações existentes.
Um grafo qualquer (orientado ou não) é não-conexo, ou desconexo, se existir ao menos um par de vértices não unidos por uma cadeia.
Conexidade
Portanto, um Grafo G = (V, E) é conexo se para todo par de vértices existe pelo menos uma cadeia entre eles.
Conexidade
G1 G2 G3 G4 G5
Os grafos G1, G2 e G3 não admitem a passagem de um vértice dado a qualquer outro vértice.
Os grafos G4 e G5 ela é sempre possível, G4 sendo minimal em relação a essa propriedade (como se pode observar, ao se tentar suprimir qualquer aresta).
Conexidade G1 G2 G3 G4 G5
Esta propriedade só existe em G5, embora desde G3 os vértices estejam unidos. Além disso, pode-se observar que, tanto em G4 como em G5, nenhum par de vértices é mutuamente não atingível: ao menos uma das duas direções é viável. Isto já não ocorre em G3, pois os dois vértices da direita são mutuamente inatingiveis.
Conectividade
Dois vértices u e v em um dígrafo são mutuamente alcançáveis (atingíveis) se existe um caminho de u para v e outro de v para u
v
y
w x
u
Conexidade
Grafo simplesmente conexo (s-conexo) - Todo par de vértices é ligado por ao menos uma cadeia. A definição é a mesma do caso não orientado
Grafo semi-fortemente conexo (sf-conexo) - Para todo par de vértices u, v, ou existe um caminho de u até v ou existe um caminho de v até u.
Grafo fortemente conexo (f-conexo) - Para todo par de vértices u, v existe um caminho de u até v e existe um caminho de v até u.
Conexidade
Conectividade
Um dígrafo fortemente conectado
v
y
w x
u
Conexidade
Obs.: todo grafo f-conexo é também sf-conexo e s-conexo e que todo grafo sf-conexo é também s-conexo
Um dígrafo é conexo se seu grafo base (não direcionado) é conexo
Conexidade
Sub-grafos conexos de um grafo não conexo recebem o nome de componentes conexos
O grafo abaixo tem 3 componentes conexos
v x
w y
u
z
q
r
Exercício
Suponha que o grafo abaixo representa as ruas do centro da cidade. Torne todas as ruas em sentido único, de tal forma que todo ponto seja alcançável a partir de qualquer outro ponto
ab
c
dg e
f
Conectividade
A conectividade de vértices k(G) de um grafo G =(V,E) é o menor número de vértices cuja remoção desconecta G ou o reduz a um único vértice.
A conectividade de arestas k’(G) de um grafo G = (V, E) é o menor número de arestas cuja remoção resulta em um grafo não conexo
Árvores
Uma árvore é um grafo conectado que não tem ciclos
Árvore Não é árvore Não é árvore
Aplicações de Grafos
Diretórios do Sistema Operacional: os diretórios e subdiretórios que contém os arquivos do usuário são normalmente representados pelo sistema operacional como vértices em uma árvore com raiz
Drive C
Softs Docs Utils
Draw Write Comm Geral Aulas
Word
Aplicações de Grafos
Redes minimamente conectadas: suponha que uma rede deve ser criada a partir de n computadores. A figura abaixo mostra uma rede com um número mínimo de arestas.
Aplicações de Grafos
Problema do caminho mais curto: considere que cada aresta contém o tempo necessário para atravessá-la, ache o menor tempo para ir se s para t
s
t
3 8
2
3
97 4 2
9
63
81
4
25
5
7
Aplicações de Grafos
Problema do caixeiro viajante: suponha que um vendedor deve visitar várias cidades no próximo mês. Ache a seqüência de visitas (ciclo hamiltoniano) de forma a minimizar o custo da viagem.
711 9
10 965
10
6
7
7
95
6
7
