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PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO B

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0.1

CONCRETO B

NOTAS DE AULAS 2007

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS

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0.2

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1.1

01. Concepção Estrutural

A concepção estrutural ou lançamento de uma estrutura é a escolha de um sistema estrutural que constitua a parte resistente de um edifício. Implica na escolha dos elementos que comporão a estrutura, assim como na determinação dos esforços atuantes sobre essa estrutura.

A solução estrutural utilizada deverá atender aos requisitos das Normas pertinentes, assim como à estética, desempenho estrutural e durabilidade, dentre outros fatores. Para as estruturas de concreto, é importante o equilíbrio estrutural de ordem estática, não se permitindo qualquer tipo de movimentos ou de deslocamentos por translação e de deslocamentos por rotação.

A base dos projetos, se inicia pelo Projeto Arquitetônico, onde são delineados o estudo da obra, sua finalidade e sua composição. Na seqüência natural, segue-se o Projeto Estrutural que, por sua vez, se inicia exatamente pela analise do Projeto Arquitetônico, seguido pela concepção estrutural, analise de cargas e dimensionamento das peças estruturais. Se o Projeto Arquitetônico delineia as linhas básicas de uma obra, a estrutura dá a conformação àquelas linhas.

Nessa linha natural de análise, é preciso estabelecer-se uma regra coerente de trabalho, organizado e metodológico. As premissas que envolvem um projeto estrutural de um Edifício Residencial ou Comercial, devem obedecer ao seguinte esquema geral:

a) Analise do Projeto Arquitetônico:

• Dimensões da edificação;

• Características da edificação;

• Tipo de estrutura;

• Características gerais da estrutura proposta.

Os tipos de estruturas mais usuais em obras de Edifícios Residenciais, podem ser em concreto armado (convencional), alvenarias estruturais auto-portantes ou mesmo mistas. Em alguns casos, de grandes vãos, pode-se empregar a protensão. Existem, ainda, estruturas das denominadas lajes cogumelos, ou seja, estruturas de lajes lisas sem vigas, que se apóiam diretamente sobre pilares.

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1.2

De qualquer maneira, a escolha do tipo da estrutura a ser utilizada recai sobre, principalmente, fatores de ordem econômica e técnica. Nesses itens podemos considerar a disponibilidade dos materiais, a mão-de-obra disponível, os equipamentos necessários, etc.

No presente trabalho, estaremos a considerar o sistema estrutural composto pelo que denominamos estrutura convencional, ou seja, de concreto armado composta de lajes maciças de concreto armado, moldadas no local e apoiadas sobre vigas que, por sua vez, apóiam-se sobre pilares em concreto armado.

Outros componentes estruturais devem ser avaliados, tais como escadas, marquises e reservatórios, assim como a altura do edifício (pé-direito), composição das alvenarias de vedação, cobertura e demais materiais a serem empregados na obra (concreto, formas e aço). Mas, tambem, a existencia de elementos ou peças estruturais aparentes, ou seja, sem revestimento externo que no nosso caso tal situação não ocorrerá, pois estaremos admitindo todas as peças estruturais internas e externas devidamente revestidas de argamassa.

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1.3

PROJETO DE ARQUITETURA

PAVIMENTO TIPO (4x)

270300

196

135

345

345

270

270

1545

585 720 585

1890

1545

1890

585720585

390

390

390

390

270270270270

196196

166

165165166

165

235

345

165

235

345

120

120

210210

120210

165

235

345

390

196

70 165 166

270

390

390

270

270210

120

70165

196

390

345

235

165

166

390

390

270270

SALA SALA

VARANDA VARANDA

DORMITÓRIO DORMITÓRIO DORMITÓRIODORMITÓRIO

BANHO BANHO

A. SERV. COZINHAA. SERV.COZINHA

COZINHA A. SERV.

BANHO

VARANDA

SALA

DORMITÓRIO DORMITÓRIO

VARANDA

SALA

BANHO

A. SERV. COZINHA

DORMITÓRIODORMITÓRIO

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1.4

b) Pré-Análise estrutural

• Tipo de utilização;

• Localização da obra;

• Descrição geral;

• Normas a serem utilizadas;

• Tipos de materiais a serem empregados na obra, etc.

A obra será constituída de apartamentos de 2 dormitórios para de utilização residencial; terá um pavimento térreo, quatro pavimentos tipo, cobertura e reservatório superior. A altura de piso a piso será de 2,88 m. e estará localizado na cidade de Campinas.

Na determinação dos materiais a serem empregados na obra, teremos as alvenarias compostas de blocos de concreto de dimensões 14x39x19 (largura x comprimento x altura) sobre as vigas e 9x39x19 (largura x comprimento x altura) sobre as lajes. Os pesos desses materiais serão avaliados por ocasião da determinação das cargas atuantes.

Por se tratar de uma estrutura de concreto armado, os itens mais importantes na sua composição são exatamente o concreto e o aço, que terão considerações à parte.

Portanto, como resumo dessa pré-analise, devemos considerar:

DESCRIÇÕES GERAIS

• OBRA: Edifício Residencial

• LOCALIDADE: Campinas – S.P.

• ALVENARIAS: Blocos de concreto.

• LAJES: maciças

• ESTRUTURA: Convencional

• REVESTIMENTOS: Todas as peças estruturais serão revestidas por argamassa apropriada

• MATERIAIS: Concreto C25 e aços CA50 e CA60

• NORMAS: NBR 6123 – Forças Devido ao Vento em Edificações, NBR 6120 – Cargas para Calculo de Estruturas, NBR 6118 – Projeto de Estruturas de Concreto.

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2.1

02. Materiais: Concreto e Aço

2.1 – Aço:

O aço de ordem estrutural é uma liga metálica composta de ferro e de minúsculas quantidades de carbono, cuja finalidade é apresentar suas principais propriedades: resistência e ductibilidade. Tendo em vista a baixa resistência do Concreto aos esforços de tração, surge a necessidade de associar-se ao elementos concreto, o elemento aço.

Para que o aço possa ser utilizado em suas aplicações estruturais, é preciso que receba basicamente, dois tipos de tratamento: tratamento a quente ou tratamento a frio ou encruamento.

2.1.1 – Tratamento a quente

Nesse processo, o aço sofre sua laminação a temperaturas acima de 720oC, quando se processam modificações na estrutura interna do material possibilitando uma maior homogeneização e recristalização do tamanho dos grãos, inicialmente grosseiro e quebradiço. O aço obtido por esse processo apresenta melhor trabalhabilidade.

2.2.2 – Tratamento a frio

Nesse processo, há uma deformação dos grãos por meio de tração, compressão ou torção, realizados a temperatura inferiores a 720oC, quando os grãos permanecem deformados, resultando um aumento da resistência mecânica desse tipo de aço e também de sua dureza, porem, diminui sua capacidade de resistência à corrosão assim como um decréscimo da ductibilidade.

Para efeito de classificação dos aços, a NBR 7480 estabelece uma diferenciação entre barras e fios: as barras são aquelas cujo diâmetro nominal é maior ou igual a 5 mm. obtidos por laminação a quente, enquanto que fios são os aços cujo diâmetro nominal seja menor ou igual a 10 mm. e sejam obtidos através do processo de tratamento a frio.

TABELA DE AÇOS – NBR 7480

BARRAS ∅ >= 5 – LAMINAÇÃO A QUENTE

CA-25 CA-50

5 6.3 8 10 12.5 16 20 22 25 32 40

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2.2

BARRAS ∅ <= 10 – LAMINAÇÃO A FRIO

CA-60

2.4 3.4 4.2 4.6 5 5.5 6 6.4 7 8 9.5 10

O comprimento comercial das barras é de 12.00 m, assim como dos fios que também podem ser encontrados em rolos e telas.

No projeto em pauta, estaremos utilizando como material aço, tanto barras quanto fios, sendo que as barras serão utilizadas como armaduras em geral, enquanto os fios serão utilizados como estribos nas vigas ou como armação de lajes ou mesmo como armaduras de distribuição. No entanto, no caso das barras, nos restringiremos aos aços tipo CA-50 (Fy = 50 kN/cm2) e naturalmente os fios serão do tipo CA-60 (Fy = 60 kN/cm2).

2.2 – Concreto:

Como definição básica, pode-se dizer que o concreto é um material proveniente de uma mistura adequada de aglomerantes, agregados e água. Os aglomerantes são os cimentos, que em geral se aplicam os tipos Portland; quanto aos agregados, esses são partículas de origem mineral subdivididos em agregados miúdos (ex: areias) e agregados graúdos (ex: britas ou pedras). O material, por fim, resulta da adição de água a fim de que se forme uma pasta.

Como já mencionado, esse material apresenta uma baixa capacidade de resistência à tração, motivos pelo qual se associa a ele o elemento aço, passando, assim, a ser denominado Concreto Armado, enquanto em seu estado natural de pasta, ele é tratado como Concreto Simples, podendo também apresentar-se na condição de Concreto Protendido.

A sua utilização nas estruturas correntes molda as peças estruturais de lajes, vigas e pilares nas denominadas estruturas de concreto armado convencionais. E nesses casos de utilização estrutural, a sua resistência é medida particularmente, através de um ensaio padronizado de resistência à compressão do concreto, que deve ser realizados aos 28 dias de idade, à partir de sua aplicação nos elementos estruturais, processo denominado “concretagem”.

A resistência obtida através desses ensaios é denominada de fc28. Por sua vez, a resistência característica do concreto fck que é aquela que se utiliza na fase de projeto, pois não se pode obter a grandeza do concreto através de ensaios do material, será a denominação de nos utilizaremos a fim de desenvolver o projeto de um Edifício em Concreto Armado.

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2.3

Todavia, a fim de se estabelecer os parâmetros indicativos de qual resistência característica do concreto (fck) se deve adotar em um projeto, inicialmente é preciso estabelecer uma serie de premissas básicas.

A NBR 6118/2003 – Projeto de Estruturas de Concreto – introduziu conceitos de qualidade da estrutura, mediante a apresentação de conceitos de durabilidade das estruturas. Segundo os preceitos da NBR 6118, as estruturas de concreto devem atender aos requisitos mínimos de qualidade (...) durante sua construção e ao longo de toda sua vida útil.

A fim de atender a esses conceitos, propõe-se na mesma Norma que os requisitos de qualidade de uma estrutura de concreto são classificados em três grupos distintos:

• Capacidade resistente: consiste na segurança à ruptura

• Desempenho em serviço: capacidade da estrutura manter-se em condições plenas de utilização (sem danos de fissurações, deformações e vibrações, etc.)

• Durabilidade: capacidade da estrutura resistir às influencias ambientais previstas.

Assim sendo, estabelece a NBR 6118 que a solução estrutural adotada em projeto deve atender aos requisitos de qualidade estabelecidos nas normas técnicas, relativos à capacidade resistente, ao desempenho em serviço e à durabilidade da estrutura.

De acordo com analises de alguns especialistas, determinado pelo avanço tecnológico da industria cimenteira, as partículas de composição dos cimentos tornaram-se mais finas, por conseqüência mais reativas, proporcionando um concreto de resistência igual aos tradicionais, porem mais poroso. Esses mesmos especialistas, estabeleceram que dentre os parâmetros que influenciam a durabilidade de uma estrutura de concreto, os que mais estiveram presentes nessas analises são a espessura do cobrimento e a baixa permeabilidade do concreto.

Para melhor se qualificar as estruturas e a fim de permitir o melhor desempenho estrutural à partir das premissas de cobrimento e melhor capacidade de preservar a baixa permeabilidade do concreto, propõe a NBR 6118/2003 que as estruturas de concreto devem ser projetadas e construídas de modo que sob as condições ambientais previstas na época do projeto e quando utilizadas conforme preconizado em projeto conservem suas segurança, estabilidade e aptidão em serviço durante o período correspondente à sua vida útil.

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2.4

Daí, o que sugeriu-se a respeito do conhecimento do local da obra é de muita importância na definição dos parâmetros iniciais, em vista de que as condições ambientais devem ser conhecidas, pois a agressividade do meio ambiente atua sobre as estruturas, independentemente de outras ações de ordem mecânica, térmica ou hidráulica.

A fim de classificar o ambiente e possibilitar uma melhor analise, estabelece a NBR 6118:

CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL

AGRESSIVIDADE AGRESSIVIDADE RISCO DE DETERIORAÇÃO DA

ESTRUTURA

I FRACA INSIGNIFICANTE

II MÉDIA PEQUENO

III FORTE GRANDE

IV MUITO FORTE ELEVADO

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2.5

Em seguida, procura identificar os macro e microclimas determinantes das diferentes classes de agressividade ambiental nas estruturas de concreto.

MICROCLIMA

AMBIENTES INTERNOS AMBIENTES EXTERNOS E OBRAS EM GERAL

MACROCLIMA

SECO (1)

UR <= 65%

UMIDO OU CICLOS DE

MOLHAGEM E SECAGEM (2)

SECO (3)

UR <= 65%

UMIDO OU CICLOS DE

MOLHAGEM E SECAGEM (4)

RURAL I I I II

URBANA I II I II

MARINHA II III .......... III

INDUSTRIAL II III II III

ESPECIAL (5) II III ou IV III III ou IV

RESPINGOS DE MARÉ

.......... .......... .......... IV

SUBMERSA >= 3M

.......... .......... .......... I

NÃO AGRESSIVO

UMIDO E AGRESSIVO

SOLO .......... ..........

I II, III ou IV

UR = Umidade Relativa do Ar

1) Salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de aptos residenciais e conjuntos comerciais, ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura.

2) Vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens.

3) Obras em regiões secas, como o nordeste do pais, partes protegidas de chuvas em ambientes predominantemente secos.

4) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em industrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, industrias químicas.

5) Macroclima especial significa ambiente com agressividade bem conhecida, que permitirá definir a classe de agressividade III ou IV nos ambientes úmidos.

Se o ambiente for seco, a classe de agressividade será sempre II, nos ambientes internos e III nos externos.

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2.6

Uma vez estipuladas as condições de analise da agressividade ambiental, prossegue-se, agora, estabelecendo os parâmetros do cobrimentos das armaduras, ou seja, a distancia entre a face externa da peça estrutural de concreto e a face externa da armadura. Para efeito da NBR 6118, a simbologia para denominação dos cobrimentos será:

• Cmin = Cobrimento mínimo.

• Cnom = cobrimento nominal (cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução)

VALORES DE COBRIMENTO NOMINAL (mm)

Cnom = Cmin + 10 mm

CLASSE DE AGRESSIVIDADE

AMBIENTAL

I

FRACA

II

MODERADA

III

FORTE

IV

MUITO FORTE

LAJES EM CONCRETO ARMADO

20 25 35 45

VIGAS E PILARES EM CONCRETO ARMADO

25 35 40 50

Como estabelecem as premissas normativas, a durabilidade do concreto é altamente dependente das características do concreto e da espessura do cobrimento. Mas, como já estabelecemos as demais premissas, vamos, agora, analisar a composição do concreto e sua resistência característica (fck), pois como já foi dito, em vista da ausência, no momento da elaboração do projeto de todas as informações a respeito do concreto, é necessário se estabeleçam valores definidos a fim de atender ao dimensionamento da estrutura pretendida.

VALORES DE A/C E Fck – CONCRETO ARMADO

CLASSE DE AGRESSIVIDADE

AMBIENTAL

I

FRACA

II

MODERADA

III

FORTE

IV

MUITO FORTE

RELAÇÃO ÁGUA/AGLOMERANTE

EM MASSA

<= 0,65 <= 0,60 <= 0,55 <= 0,45

CLASSE DE CONCRETO C20 C25 C30 C40

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2.7

2.3 – MATERIAIS UTILIZADOS:

Uma vez estabelecidas as prerrogativas e uma simples abordagem acerca dos materiais a serem utilizados, é preciso anotar os materiais utilizados.

Aço CA-50: bitolas de 6.3, 8, 10, 12.5, 16, 20 e 25 mm., empregados como armaduras longitudinais de vigas, pilares, lajes, escadas, etc.

Aço CA-60: bitola de 5 mm, empregada como armadura longitudinal de lajes e estribos de vigas e pilares.

A escolha da resistência do concreto à compressão recai sobre os índices apresentados anteriormente, que nos permitem estabelecer a classe de agressividade I, em vista de tratar-se de uma obra de apartamentos residenciais com ambiente interno seco e zona urbana, assim como as peças estruturais serão adequadamente revestidas, mesmo as sacadas terá revestimento cerâmico com drenagem suficiente a fim de não permitir acumulo de água. Dessa maneira, seguindo-se o já estudado, a resistência mínima do concreto (fck) pode ser estipulada como sendo da classe C20 (concreto com fck = 20 Mpa aos 28 dias de idade), e os cobrimentos das armaduras serão de 2 cm. para as lajes e de 2,5 cm para as vigas e os pilares.

Para o reservatório de água superior, tendo-se em vista a presença constante da umidade, é conveniente a adoção da classe de agressividade II, o que nos conduz a adoção de um concreto de classe C25 e com cobrimentos de 2,5 cm para as lajes e de 3,0 cm para as vigas ou paredes.

Como características gerais do concreto é importante citarmos algumas que nos serão necessárias:

Peso específico do concreto não armado: 24 kN/m3 ou 240 MPa

Peso específico do concreto armado: 25 kN/m3 ou 250 MPa

Modulo de Elasticidade Inicial: Eci = 5.600 fck ½ (Mpa)

Modulo de Elasticidade Secante: Ecs = 0,85 Eci (Mpa)

Coeficiente de Poisson: ν= 0,2 (relação entre a deformação transversal e a longitudinal do concreto)

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3.1

03. UEscolha da Estrutura

Uma vez determinados os parâmetros básicos da concepção estrutural, através da analise do Projeto Arquitetônico, da Pré-Analise estrutural, definição dos materiais que devem ser empregados na estrutura e mesmo tendo definido o tipo de estrutura a ser adotado – no caso o sistema estrutural adotada foi o de estrutura de concreto armado convencional, moldada no local –, é preciso prosseguir a concepção estrutural, definindo-se os elementos ou peças estruturais que comporão nosso sistema estrutural.

Um sistema estrutural tem a finalidade de suportar as ações das cargas que atuam sobre seu conjunto, permitindo uma estabilidade da construção a essas ações, de maneira racional a um custo adequado.

As ações que atuam sobre um edifício são basicamente de duas ordens: cargas verticais e cargas horizontais. As primeiras são originadas pelo peso próprio da estrutura, dos componentes de arquitetura (alvenarias, revestimentos, etc.), enquanto que as horizontais são provenientes, em especial, das cargas oriundas dos efeitos de vento atuante nas estruturas.

As cargas verticais, que serão estudadas em capitulo próprio, a fim de serem suportadas pelo sistema ou conjunto estrutural, possuem um caminhamento de ações bastante lógico. Esse caminho inicia-se pelas lajes, que no caso das cargas verticais sustentam além do seu peso próprio, outras cargas de mesma origem – verticais –, tais como as variáveis de uso comum (alvenarias, revestimentos), assim como as acidentais e trabalham as lajes, em regime de flexão e de cisalhamento.

Uma vez acionada a laje como elemento ou peça estrutural, essas transmitem os resultados dessas ações através de suas reações de apoio aos elementos mais próximos, que em nosso caso de uma estrutura convencional de concreto armado são as vigas, que alem de suportarem as reações das lajes, também suportam as demais cargas verticais atuantes (alvenarias, revestimentos), assim como, em algumas condições, cargas provenientes das reações de apoio de outras vigas, formando no todo um conjunto estrutural. As vigas, assim como as lajes, trabalham basicamente sob o regime das flexões, cisalhamento e, em algumas situações, sob torções.

As vigas, trabalhando sob condições adequadas como peças estruturais resistentes aos esforços que lhes cabe suportar, transmitem as cargas que suportam aos próximos elementos estruturais que são os pilares ou paredes

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3.2

estruturais que, por sua vez, transmitem as cargas recebidas de pavimento a pavimento da edificação, desde os andares últimos até os iniciais, até que por fim transferem suas cargas suportadas aos elementos das fundações.

As cargas horizontais, em especial as provenientes dos efeitos de vento, têm caminhamento similar quando são absorvidas pelas paredes do edifício e devem ser resistidas pelos elementos estruturais verticais de grande rigidez, tais como pórticos, paredes estruturais ou mesmo os denominados núcleos estruturais, em geral existentes nos edifícios através das caixas de escada ou de elevadores. As lajes, no caso servem como diafragma horizontal, cuja rigidez permite com que haja a interligação necessária entre os demais elementos estruturais de maior rigidez – conjuntos vigas / pilares ou paredes estruturais.

03.01 – Posicionamento dos Pilares:

Ao se iniciar o desenvolvimento do projeto estrutural de um edifício, uma vez conhecidos os seus componentes estruturais, é recomendável prever-se inicialmente o posicionamento dos pilares.

Pode-se iniciar esse posicionamento com os pilares das áreas das caixas de escada e elevadores, pois esses pilares além de receber as reações das vigas dos pavimentos normais (habitacionais em nosso caso), vão também receber as cargas provenientes das casas de máquinas, quando houver elevadores, ou mesmo dos reservatórios elevados, comuns e necessários em todos os edifícios residenciais e comerciais.

Uma vez posicionados os pilares internos dos núcleos das escadas, pois em nosso caso não existe a necessidade de elevadores, visto se tratar de um edifício de quatro pavimentos, aos quais se permite a construção sem elevadores, podemos seguir a tarefa do posicionamento dos pilares agora nos cantos ou de extremidade e, a seguir, os pilares internos.

Cuidado especial deve haver com o alinhamento desses pilares projetados, uma vez que esse alinhamento deverá ser o responsável pela formação dos denominados pórticos que contribuem de maneira preponderante à estabilidade global do edifício. A fim de que não se obtenham cargas de alta magnitude agindo sobre esses pilares que sobrecarregarão as fundações, é preciso estabelecer distancias não muito grandes entre os pilares do projeto, buscando atender-se as condições estruturais sem prejuízo das propostas arquitetônicas, tais como ambientes de salas, garagens, etc.

As recomendações da norma no tocante aos pilares, nos leva a buscar, também à medida do possível, termos pilares com sua menor dimensão não inferior a 19 cm, a fim de se evitar excessiva flambagem. Assim como é importante o alinhamento dos pilares, não menos importante é a direção em que se colocam

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3.3

os pilares, ou seja, o sentido em que se deve dispor as dimensões dos pilares, também a fim de proporcionar uma mais adequada rigidez ao conjunto estrutural.

Outro aspecto importante na escolha da estrutura no que se refere ao posicionamento dos pilares, é procurar se estabelecer uma única prumada entre o nascedouro destes nas fundações até o ultimo pavimento estruturado da cobertura ou do ático(casas de máquinas e reservatórios elevados), a fim de que não se alterando essa prumada, não se façam necessárias as denominadas vigas de transição, ou seja, vigas que recebem as cargas de pilares dos pavimentos superiores e as transfere para pilares inferiores. As vigas de transição normalmente causam custos bastante elevados à obra, uma vez que suas dimensões e armaduras devem ser suficientes para absorver os esforços atuantes.

03.02 – Posicionamento das Vigas:

Determinado o posicionamento dos pilares é preciso analisar o posicionamento das vigas que comporão a estrutura a ser projetada. De antemão, sabemos que as vigas deverão ser elementos de ligação entre os pilares já posicionados e, assim sendo, deverão juntamente com os pilares, capacitadas a proporcionar o enrijecimento dos chamados pórticos de rigidez do edifício. Alem dessas vigas principais, outras de ordem secundária poderão ser exigíveis a fim de se dividir painéis muito grandes de lajes, ou mesmo para suportar outras alvenarias do projeto arquitetônico que não se encontrem ao longo do alinhamento dos pilares e das vigas que denominamos principais. Trata-se apenas de denominação secundaria ou principal, uma vez que todas as vigas são importantes.

Da mesma maneira que se recomendam distanciamentos não muito grandes em relação aos pilares da obra, o mesmo cabe no caso das vigas, uma vez que vãos muito grandes e desnecessários podem provocar indesejáveis acúmulos de cargas, ou mesmo painéis de lajes muito grandes que sejam não econômicos.

03.03 – Posicionamento das Lajes:

Na realidade, uma vez delineados os pilares e as vigas do edifício em analise, as lajes tornam-se conseqüência desse posicionamento, atentando-se apenas, mesmo depois de lançados os elementos estruturais anteriores, se os vãos dessas lajes não se tornaram anti econômicos, sendo, muitas vezes, necessária a introdução de outras vigas, como já observamos, a fim de diminuir as dimensões das lajes, desde que não causem empecilhos nos demais projetos, tanto de arquitetura quanto de instalações hidráulicas e elétricas, uma vez que esses dois últimos – hidráulica e elétrica – também necessitam de espaços adequados a fim de transpor as estruturas dos diversos pavimentos do edifício.

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3.4

03.04 – Formas do Projeto:

Estabelecidas as peças estruturais que comporão os sistema (lajes, vigas e pilares), já podem ser elaborados os primeiros desenhos relativos às formas da obras, desde os pavimentos tipo que serão repetitivos até o pavimentos de cobertura e o reservatório superior, em nosso caso, visto não haver elevadores e sua conseqüente casa de máquinas.

As formas do projeto ou da estrutura, referem-se àquilo que se pretende transmitir do projeto à obra, a fim de que se construam os elementos estruturais da maneira tal qual foram planejados durante o desenvolvimento do projeto estrutural. As formas do projeto são as dimensões das caixas de madeira, e as dimensões das fôrmas propriamente ditas devem constar de maneira apropriada nos diversos elementos estruturais.

As lajes podem receber nomes, tais como L1, L2, etc., sempre numeradas no projeto de fôrmas de cima para baixo e da esquerda para a direita, o que deverá ser também utilizado para a numeração dos demais componentes estruturais. No caso das lajes, recomenda-se colocar logo abaixo do título, a espessura da laje. Por exemplo, se a laje tiver 10cm de espessura, deve-se escrever H=10, onde a letra H significa a altura da laje e o numero 10 significa a espessura, dispensando, na maioria das vezes a menção da unidade, uma vez que para as peças estruturais sempre se estabelecem as medidas em centímetros. Portanto, ao designar-se H=10, saber-se-á que se trata de uma laje maciça de dez centímetros de espessura. Outra recomendação que se faz no caso da numeração das lajes é colocar-se a numeração crescente em relação aos diversos pavimentos, seguindo-se a mesma numeração crescente para as vigas.

As vigas, por sua vez, devem receber os nomes de V1, V2, etc. tal qual no caso das lajes. Como recomendado no caso das lajes, as vigas poderão receber numeração crescente a partir do primeiro lance de vigas, em geral nas partes inferiores dos edifícios, tais como sub-solos ou mesmo pavimentos térreos como no caso do edifício que estamos a projetar. Podemos passar a denominar as vigas com numerações V.101, V.102, assim sucessivamente, também numeradas de cima para baixo e da esquerda para a direita, para o pavimento térreo e V.201, V.202, etc. para as vigas do pavimento tipo ou primeiro pavimento do edifício e as demais em numeração crescente e sucessiva: V.300, V.400, etc.

As denominações das vigas devem se fazer acompanhadas pelas dimensões da peça estrutural e de sua numeração sucessiva. Recomendamos colocar-se no inicio da viga, ou seja, em seu apoio inicial, seja ele um pilar ou mesmo outra viga, a denominação V. logo em seguida estabelecendo-se suas dimensões, por exemplo 14/50, referindo-se o primeiro numero à largura da seção da viga e o

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3.5

segundo à altura da mesma seção; enquanto que ao final da viga, ou seja, junto ao seu ultimo elemento de apoio, seja este um pilar ou mesmo outra viga, sua numeração seqüencial: 101, 102,..., 201, 202, etc. E a fim de facilitar a compreensão do projeto, uma vez numeradas as lajes, essas devem também seguir a seqüência de numeração das lajes, assim, quando se definir a viga V.200 ou V.300 para um determinado pavimento, também se deve numerar as lajes L.200 ou L.300 e assim sucessivamente.

No caso das vigas as dimensões mencionadas de largura e de altura deverão seguir as premissas estabelecidas tais como espessura das alvenarias através dos elementos que serão utilizados nessas alvenarias (blocos de concreto, blocos cerâmicos, tijolos de barro, etc.), ou as necessidades estruturais que devem responder pelas cargas atuantes.

Quanto aos pilares, já foram pré-determinadas em 19 cm de largura, restando ainda estabelecer-se a outra dimensão: o comprimento, mas que como os demais elementos estruturais deve seguir uma determinada numeração, seguindo-se da mesma maneira que os anteriores e iniciando-se de cima para baixo e da esquerda para a direita, recebendo, cada um, a numeração seqüencial P.1, P.2, etc., não havendo necessidade nesses casos em se colocar a numeração de pavimentos proposta para as lajes e para as vigas, 100, 200, etc., já que os pilares são elementos que devem estar presentes em todos os níveis da obra e não em um só específico, a não ser em casos das citadas transições ou projetos de residências, que não é nosso caso de analise no momento.

UMODELO TÍPICO DE POSIÇÃO E NUMERAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS

H=8L.203

20214/40V.

L.202H=8

H=10L.201

P.419/30 19/30

P.519/30P.6

P.319/30

P.219/3019/30

P.1

14/4

0V

.20

6

14/4

0V

.20

5

V.

204

14/4

0

V. 20314/40

14/40 201V.

Page 19: Concreto b

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3.6

No prosseguimento do desenvolvimento do projeto de fôrmas, deve-se efetuar a cotagem do projeto, ou seja, a colocação das cotas entre os diversos elementos estruturais, e essas cotas devem, preferencialmente, ser colocadas fora do contorno do desenho, a fim de tornar a leitura do projeto mais fácil e também, deverão ser parciais e totais e devem estar expressas em centímetros. Quanto ao tipo de cotagem a ser efetuado, esses podem ser de duas maneiras: pelas faces das peças estruturais ou pelos eixos dessas mesmas peças. Recomendamos se faça a cotagem pelos eixos.

UMODELO TÍPICO DE POSIÇÃO E NUMERAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS E COTAGEM

285285

285285

H=8L.203

20214/40V.

L.202H=8

H=10L.201

P.419/30 19/30

P.519/30P.6

P.319/30

P.219/3019/30

P.1

14/4

0V

.20

6

14/4

0V

.20

5

V.

204

14/4

0

V. 20314/40

14/40 201V.

405

225

180

405

570

570

Restaria, ainda, nesse ante-projeto de fôrmas, as cotas entre os eixos dos pilares e das vigas, mas por se tratar de um ante-projeto, essas medidas ainda não são fundamentais. Para efeito de ante-projeto, pode-se proceder da mesma maneira para todos os demais pavimentos e cujo procedimento já nos permite iniciarmos o pré-dimensionamento das peças estruturais, pois as medidas colocadas nos croquis, são apenas informativas.

Page 20: Concreto b

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3.7

03.05 – Pré-Dimensionamento das Peças Estruturais:

03.05.01 – Pré-Dimensionamento dos Pilares:

Para que se possa desenvolver o pré-dimensionamento dos pilares, podemos lançar mão de um processo bastante simples e de uso comum: processo das áreas de influência. Nesse processo, como o próprio nome especifica, divide-se a área do pavimento em estudo nas chamadas áreas de influência que se referem a cada um dos pilares e, em seguida, as cargas atuantes nesses pilares e nesse pavimento podem ser devidamente estimadas.

UMODELO SIMPLIFICADO DE ÁREAS DE INFLUÊNCIAU

L3

L2L1

0,5

L30,

5 L3

0,5 L20,5 L20,5 L10,5 L1

A4 A5 A6

A3A2A1

P.1 P.2 P.3

P.6P.5P.4

Onde:

A1 = área de influencia do pilar P.1 A2 = área de influencia do pilar P.2

A3 = área de influencia do pilar P.3 A4 = área de influencia do pilar P.4

A5 = área de influencia do pilar P.5 A6 = área de influencia do pilar P.6

Para efeito de avaliação das cargas concentradas por meio do processo de áreas de influência, essas cargas podem ser obtidas multiplicando-se as áreas obtidas (A1, A2, etc.) por valores que correspondam ao peso estimativo de todos os componentes das cargas verticais atuantes em um edifício (permanentes e acidentais), cujo valor estimado, para o tipo de edifício objeto de nosso projeto, é

Page 21: Concreto b

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3.8

de aproximadamente 10 kN/m P

2P , sendo adotado para efeito de cálculo o valor de

20 kN/m P

2P e além desse valor, deve-se, ainda, multiplicar a mesma área por um

fator de correção ou de majoração da carga (α) que considera as eventuais excentricidades das cargas. Os valores de majoração de cargas, podem ser definidos de acordo com o seguinte padrão:

• α = 1,3 para pilares internos

• α = 1,5 para pilares de extremidade

• α = 1,8 para pilares de canto

Para a seção de concreto dos pilares, essa pode ser determinada através de uma simples equação.

Onde:

Ac = b x h ⇒ área da seção de concreto (cm P

2P)

α ⇒ coeficiente de majoração

A ⇒ área de influência (mP

2P)

n ⇒ numero de pavimentos tipo

(n + 0,7) ⇒ numero de pavimentos tipo + carga da cobertura

f Bck B⇒ resistência característica do concreto (kN/cmP

2P)

A4 A5 A6

A3A2A1

P.1 P.2 P.3

P.6P.5P.4

151 283 151

210

210

( )( )ckck f20,6901,0f

7,0nA20Ac−×+

+×××=

α

Page 22: Concreto b

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3.9

No exemplo acima, teremos:

Pré-dimensionamento do P.2

α ⇒ 1,5 (pilar de extremidade)

A ⇒ 2,83 x 2,1 = 5,94 mP

2P

n ⇒ numero de pavimentos tipo = 4

(n + 0,7) ⇒ numero de pavimentos tipo + carga da cobertura

f Bck B⇒ 2 kN/cm P

2P

E como ja admitimos uma das dimensões dos pilares, no caso a largura de 19cm, podemos concluir que se A = b x h = 313 cm P

2P, então, h > 313 / 19 = 16,50

cm. Admitimos, portanto, as dimensões dos pilares de 19x30 ou 19/30.

03.05.02 – Pré-Dimensionamento das Vigas:

Para o pré-dimensionamento das vigas, uma estimativa bastante conservadora, estipula que a altura (h) da viga deve ter o seu valor em torno de 10 a 12% do valor do tramo ou do vão teórico a ser vencido pela viga. De uma forma geral, a fim de se evitar alguns transtornos de ordem construtiva, procura-se manter todas as vigas com as mesmas dimensões de altura ou, pelo menos, o maior numero delas. Assim sendo, no croquis em análise, vamos encontrar as vigas V.201 a V.206, como tendo o maior vão teórico, algo em torno de 4,05 m, o que nos levaria a uma viga cuja altura deve estar em torno de 40 cm., e como já admitimos em função das alvenarias uma largura padrão de 14 cm., as vigas devem ter uma pré-dimensão em torno de 14/40.

03.05.03 – Pré-Dimensionamento das Lajes:

No caso das lajes, a espessura deste elemento estrutural pode ser estimada através da expressão:

onde d é a altura útil da laje; φ é o diâmetro das barras de armação da laje e c é o cobrimento nominal da laje – no caso já definido de 2 cm.

( )( )

( )( )

2

ckckcm313

220,6901,027,0494,55,120

f20,6901,0f7,0nA20Ac =

−×++×××

=−×+

+×××=

α

c2

dH ++=φ

Page 23: Concreto b

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3.10

Para o calculo da altura útil da laje (d), podemos utilizar os seguintes parâmetros:

onde l deve ser menor ou igual a lx ou 0,7 ly; n é o numero de bordas engastadas; lx é o menor vão e ly é o maior vão.

Outras normativas devem ser seguidas com relação à determinação da espessura das lajes, pois a NBR 6123, especifica algumas condições mínimas para espessuras de lajes de concreto armado de edificios:

• 5 cm para lajes de cobertura não em balanço

• 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço

• 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menos ou igual a 30 kN

• 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN

Para as lajes do croquis estrutural, teremos:

Admitindo-se bitola mínima de 6,3 mm na armação das lajes, teremos:

de onde admitiremos as lajes de H = 10cm.

( )100

n1,05,2destl××−

=

( ) ( ) .cm12,7100

85,201,05,2100

n1,05,2dest =××−

=××−

=l

.cm52,92263,012,7c

2dH =++=++=

φ

Page 24: Concreto b

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4.1

4. Cargas Atuantes nas Estruturas

4.1. – Segurança das Estruturas:

A segurança de uma estrutura está associada à confiança qualitativa que se possa dar a essa estrutura, ou seja, as estruturas devem ser projetadas de maneira tal a proporcionar qualidade de segurança satisfatória. Essa qualidade satisfatória está atrelada à baixa probabilidade de apresentar problemas associados às patologias e às rupturas do sistema estrutural.

Nas “Ações e Segurança nas Estruturas”, a Norma NBR 8681, estabelece as condições básicas para verificação das estruturas em duas situações: Estado Limite de Serviço e Estado Limite Ultimo. O primeiro deles, estabelece as condições mínimas de serviço e durabilidade da estrutura, ou seja, a estrutura atenderá minimamente às condições das ações atuantes que podem ser comprometidas, por exemplo, por danos estruturais causados por deformações excessivas que afetem a utilização da estrutura ou mesmo vibrações excessivas que causem desconforto de qualquer espécie. O segundo caso estabelece a máxima capacidade portante de uma estrutura, cuja ocorrência pode determinar a ruína total ou parcial dessa estrutura. Há, nesses casos, um esgotamento da capacidade portante da estrutura, caracterizado, por exemplo, pela ruptura do concreto, fadiga, instabilidade provocadas por flambagem, escorregamento de barras, etc.

Os elementos que atuam sobre uma estrutura e que podem provocar esforços ou deformações nestas, são as denominadas Cargas Atuantes nas Estruturas. Uma vez atuantes essas cargas, a fim de se estabelecer os valores de calculo dessas cargas ou ações, das solicitações e das resistências dos materiais, estabelecem-se os denominados Coeficientes de Ponderação da Segurança, pois são obtidos através da majoração das ações e das solicitações e da minoração da resistência dos materiais empregados.

São, em principio, estabelecidos alguns métodos de avaliação a fim de verificar-se a segurança das estruturas que poderíamos citar: método da tensão admissível, método da ruptura e método probabilístico.

O método das tensões admissíveis, remonta às propostas da Resistência dos Materiais, quando se apresenta a imposição de que a maior tensão de trabalho não ultrapasse a tensão admissível do material, que é definida como sendo a resistência do material dividida por um numero cujo significado seja o de corrigir essa resistência, ou seja, por um coeficiente de ponderação da segurança como é conhecido atualmente. Anteriormente dizia-se simplesmente coeficiente de segurança.

Page 25: Concreto b

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4.2

O método da ruptura consiste na imposição de um limite para a carga de serviço de maneira tal que a aplicação dessa carga multiplicada pelo coeficiente de majoração externo acarreta na ruína da estrutura.

Com o aprimoramento das técnicas e com o maior conhecimento técnico experimental das estruturas, a aplicação desses coeficientes de majoração também sofreram novas metodologias de avaliação. Surge, assim, os denominados métodos probabilísticos, quando se estabelece que a segurança das estruturas pode ser afetada por uma serie de fatores de diversas procedências, tais como as variáveis cargas ou ações atuantes sobre essas estruturas, das resistências e das deformações, das imprecisões de execução, etc.

Ao contrario dos critérios determinísticos das tensões admissíveis ou da ruptura, o método probabilístico estabelece a troca do coeficiente de segurança pelo critério ou pelo conceito de probabilidade de ocorrência das ações. Entretanto, pela difícil aplicação desse método na verificação da segurança, pela sua complexidade, termina-se por adotar nas estruturas correntes de concreto armado o método semi-probabilístico.

Nesses casos, os valores de cálculo Fk das ações, devem ser majoradas pelo coeficiente de ponderação γf, representado por: γf = γf1 . γf2 . γf3 onde γf1

considera a variabilidade das ações; γf2 considera a simultaneidade das ações e γf3 considera os desvios gerados nas construções, não explicitamente considerados, e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações. No caso de coeficientes de minoração das resistências dos materiais empregados, os valores de cálculo fk devem ser minorados e esses coeficientes de minoração são indicados por γm e são representados por γc no caso do concreto e γs no caso do aço.

Assim sendo, Fd = valor de calculo da ação Fk = Fk . γf e fd = valor de calculo das resistências dos materiais empregados (concreto e aço) fk = fk / γm.

Para o calculo nos estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS), os coeficientes de ponderação a serem aplicados são:

ELU ELS

AÇÕES (γf) 1,4 1,0

CONCRETO (γc) 1,4 1,0

AÇO (γs) 1,15 1,0

Page 26: Concreto b

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4.3

Uma vez estabelecidos os conceitos a respeito das condições de segurança que estabelecem os critérios mínimos de ponderação das ações atuantes sobre uma estrutura de concreto armado, é preciso se conhecer essas ações.

As ações a considerar recebem uma classificação adequada em: permanentes, variáveis e excepcionais.

4.2 – Ações Permanentes:

São aquelas que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção. Essas ações se subdividem em permanentes diretas, representadas pelo peso próprio da estrutura, decorrente dos materiais (aço e concreto) empregados; pelo peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes, representados pelos revestimentos, etc,; pelos empuxos permanentes, quando esses forem admitidos sem qualquer perspectiva de remoção e em permanentes indiretas, representadas pelas deformações decorrentes de retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoios, imperfeições geométricas (globais e locais), etc.

A NBR 6120 – Cargas para o Calculo de Estruturas de Edificações – estabelece que na falta de determinação experimental, devem ser utilizados, a fim de adoção de pesos específicos dos diversos materiais componentes de obras, a seguinte tabela:

MATERIAIS PESO ESPECÍFICO APARENTE (Kn/m3)

ROCHAS ARENITO BASALTO GNEISS GRANITO MÁRMORE E CALCÁREO

26 30 30 28 28

BLOCOS ARTIFICIAIS

BLOCOS DE ARGAMASSA CIMENTO AMIANTO LAJOTAS CERÂMICAS TIJOLOS FURADOS TIJOLOS MACIÇOS TIJOLOS SÍLICO-CALCÁREOS

22 20 18 13 18 20

REVESTIMENTOS E CONCRETOS

ARGAMASSA DE CAL, CIMENTO E AREIA ARGAMASSA DE CIMENTO E AREIA ARGAMASSA DE GESSO CONCRETO SIMPLES CONCRETO ARMADO

19 21

12,5 24 25

Page 27: Concreto b

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4.4

MADEIRAS

PINHO, CEDRO LOURO, IMBUIA, PAU ÓLEO GUAJUVIRÁ, GUATAMBU, GRÁPIA ANGICO, CABRIUVA, IPÊ RÓSEO

5 6,5 8

10

METAIS

AÇO ALUMÍNIO E LIGAS BRONZE CHUMBO COBRE FERRO FUNDIDO ESTANHO LATÃO ZINCO

78,5 28 85

114 89

72,5 74 85 72

MATERIAIS DIVERSOS

ALCATRÃO ASFALTO BORRACHA PAPEL PLASTICO EM FOLHAS VIDRO PLANO

12 13 17 15 21 26

4.2.1 – Ações Permanentes comuns em Estruturas de Edifícios:

a) Peso próprio dos elementos de Concreto Armado:

• Lajes – peso próprio = H x γc = altura da laje x peso especifico do concreto

• Vigas e Pilares = bw x h x. γc = largura x altura x peso especifico do concreto

b) Revestimento em lajes: • Lajes tipo: alto padrão de acabamento ⇒ 1,5 kN/m2

• Lajes tipo: médio e baixo padrão de acabamento ⇒ 0,80 kN/m2

• Lajes de Cobertura com telhados ⇒ 0,50 kN/m2 • Lajes de Cobertura impermeabilizadas ⇒ 1,00 kN/m2

• Lajes de Garagens ou Pav. Térreo impermeabilizadas ⇒ 1,50 a 2,50 kN/m2

• Lajes de Sub-solos cobertas ⇒ 1,50 kN/m2

Page 28: Concreto b

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4.5

c) Peso de paredes:

MATERIAL ESPESURA NOMINAL

ESPESURA ACABADA

PESO POR m2

(kN/m2)

ALVENARIA DE TIJOLOS MACIÇOS

5 12 22

8 15 25

1,60 2,40 4,00

ALVENARIA DE BLOCOS CERÂMICOS

5 12 22

8 15 25

0,80 1,80 3,00

ALVENARIA DE BLOCOS DE CONCRETO

9 14 19

13 18 23

1,70 2,30 3,00

(*) Para se obter o peso da parede em kN/m2 basta multiplicar os valores da tabela pela altura das paredes.

d) Peso para enchimentos de rebaixos:

MATERIAL PESO ESPECÍFICO

(kN/m3)

BLOCOS SÍLICO CALCÁREO 6

ARGILA EXPANDIDA 8,6

CACOS DE TIJOLOS C/ ARGAMASSA 11

ARGAMASSA PURA 15

ENTULHO 15

TERRA 16 a 20

e) Peso de telhados (somente telhas):

TIPO DE TELHA PESO

(kN/m2)

TELHAS DE BARRO 0,45

TELHAS ONDULADA (F. CIMENTO) 8mm 6mm

0,20 0,25

TELHA DE ALUMÍNIO 0,05

TELHA DE PLÁSTICO 0,05

CANALETE 43 0,30

CANALETE 90 0,30

Page 29: Concreto b

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4.6

f) Peso de coberturas (telhas + estrutura suporte):

TIPO DE COBERTURA PESO

(kN/m2)

TELHAS DE BARRO E TESOURAS DE MADEIRA

0,70

TELHAS DE FIBRO-CIMENTO E ESTRUTURA DE MADEIRA

0,40

COM TELHAS METÁLICAS E ESTRUTURA METÁLICA

0,30

4.3 – Ações Variáveis:

4.3.1 – Ações Variáveis Diretas:

São aquelas constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da construção, pela ação do vento e da chuva.

I) Cargas Acidentais previstas para o uso da Construção

As cargas acidentais previstas para o uso da construção, atuam nas condições mais desfavoráveis e correspondem a: cargas verticais de uso na construção (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos, etc.); cargas moveis, considerando o impacto vertical; impacto lateral; força longitudinal de frenação ou aceleração; força centrifuga.

A NBR 6120, estabelece para efeito dessas cargas acidentais previstas, valores mínimos para sua utilização em projetos:

LOCAL CARGA (kN/m2)

ARQUIBANCADAS 4

BALCÕES VER ESPECIFICAÇÕES PRÓPRIAS

BANCO ESCRITÓRIOS E BANHEIROS SALAS DE DIRETORIA E DE GERÊNCIA

2 1,5

BIBLIOTECAS SALA DE LEITURA SALA PARA DEPÓSITO PARA LIVROS SALAS COM ESTANTES DE LIVROS – DETERMINAÇÃO PARA CADA CAS0 COM O MINIMO DE:

2,5 4

6

Page 30: Concreto b

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4.7

CASAS DE MÁQUINAS INCLUINDO O PESO DAS MÁQUINAS – A SER DETERMINADO EM CADA CASO COM O MÍNIMO DE:

7,5

CINEMAS PLATÉIA COM ASSENTOS FIXOS ESTUDIO E PLATÉIA COM ASSENTOS MÓVEIS BANHEIRO

3 4 2

CLUBES SALA DE REFEIÇÕES E DE ASSEMBLÉIA COM ASSENTOS FIXOS SALA DE ASSEMBLÉIA COM ASSENTOS MÓVEIS SALÕES DE DANÇAS E DE ESPORTES SALA DE BILHAR E BANHEIRO

3

4 5 2

CORREDORES COM ACESSO AO PÚBLICO SEM ACESSO AO PÚBLICO

3 2

COZINHAS NÃO RESIDENCIAIS

A SER DETERMINADO EM CADA CASO COM O MÍNIMO DE:

3

DEPÓSITOS VER ESPECIFICAÇÕES PRÓPRIAS

EDIFÍCIOS RESIDENCIAIS

DORMITÓRIOS, SALA, COPA, COZINHA E BHO. DESPENSA, ÁREA DE SERVIÇO E LAVANDERIA

1,5 2

ESCADAS COM ACESSO AO PÚBLICO SEM ACESSO AO PÚBLICO

3 2,5

ESCOLAS ANFI-TEATRO COM ASSENTOS FIXOS CORREDORES E SALA DE AULA OUTRAS SALAS

3 3 2

ESCRITÓRIOS SALAS DE USO GERAL E BANHEIROS 2

FORROS SEM ACESSO A PESSOAS 0,5

GALERIA DE ARTE A SER DETERMINADO EM CADA CASO COM O MÍNIMO DE:

3

GALERIAS DE LOJAS A SER DETERMINADO EM CADA CASO COM O MÍNIMO DE:

3

GARAGENS E ESTACIONAMENTOS

PARA VEÍCULOS DE PASSAGEIROS OU SEMELHANTES COM CARGA MÁXIMA DE 25 kN POR VEÍCULO – VER OBSERVAÇÕES DE ϕ

3

GINÁSIOS DE ESPORTES

5

Page 31: Concreto b

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4.8

HOSPITAIS DORMITÓRIOS, ENFERMARIAS, SALA DE RECUPERAÇÃO, SALA DE CIRURGIA, RAIO-X E BANHEIRO CORREDOR

2

3

LABORATÓRIOS INCLUINDO EQUIPAMENTOS A SER DETERMINADO EM CADA CAS0 - MÍNIMO

3

LAVANDERIAS INCLUINDO EQUIPAMENTOS 3

LOJAS 4

RESTAURANTES 3

TEATROS PALCO DEMAIS DEPENDÊNCIAS: VER CINEMAS

5

TERRAÇOS SEM ACESSO AO PÚBLICO COM ACESSO AO PÚBLICO INACESSÍVEL A PESSOAS DESTINADOS A HELIPONTOS ELEVADOR: NORMAS ESPECÍFICAS DA AERONÁUTICA

2 3

0,5 -

VESTÍBULO SEM ACESSO AO PÚBLICO COM ACESSO AO PÚBLICO

1,5 3

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:

• Nos compartimentos destinados a carregamentos especiais, como os devidos a arquivos, depósitos de materiais, maquinas leves, caixas-fortes, etc. não é necessária uma verificação mais exata desses carregamentos, desde que se considere um acréscimo no valor de 3 kN/m2 no valor da carga acidental.

• Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas, uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m.

• O valor do coeficiente ϕ de majoração das cargas acidentais a serem consideradas no projeto de garagens e estacionamentos para veículos, deve ser determinado do seguinte modo: sendo l o vão de uma viga ou o vão menor de uma laje e sendo l0 = 3,00m para o caso de lajes e de 5,00m para o caso de vigas ⇒ ϕ = 1,00 quando l >= l0 e ϕ = l0 / l <= 1,43 quando l<= l0.

Page 32: Concreto b

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4.9

II) Ação do Vento

Os esforços provenientes da ação do vento devem ser analisados através de Norma Brasileira especifica (NBR 6123).

Há a possibilidade de se prescindir do calculo da ação do vento sob determinadas circunstâncias, ou seja, para obras que atendam algumas características técnicas como:

A altura máxima de cada andar não exceder 4,00 metros;

Os pilares forem contraventados em ambas as extremidades, em direções perpendiculares entre si;

Na direção considerada, a altura livre do pilar não exceder o dobro da largura da construção.

Essas regras que dispensam a consideração do esforço de vento é de autoria do IBRACON – Instituto Brasileiro do Concreto, especifico para estruturas de Nível I, cujas características estão bem delineadas no livreto “Prática recomendada IBRACON para estruturas de edifícios de nível I”. Nos demais casos não se dispensa essa verificação.

III) Outras Ações

Ação da água, ações variáveis durante a construção e as ações variáveis indiretas (variações uniformes e não uniformes de temperatura) ou mesmo ações dinâmicas, quando a estrutura está sujeita a choques ou vibrações, observando-se, nesses casos, os efeitos provenientes de fadiga e, finalizando, as ações excepcionais, que devem ser analisados em casos particulares.

4.4 – Avaliação Global da Estabilidade da Estrutura:

O sistema estrutural que compõe a estrutura usual de um edifício é do tipo tridimensional formado por barras (elementos lineares – vigas e pilares) e por placas (elementos de superfície – lajes). Dentro dessa composição estrutural, surgem dentre os elementos estruturais aqueles que compõem as denominadas estruturas de contraventamento e as estruturas contraventadas.

A primeira delas é a que deve garantir a estabilidade da estrutura, sendo assim formada por elementos de maior rigidez estrutural a fim de melhor atender as necessidades do conjunto no que se refere às ações horizontais, predominantemente as de vento. Alem disso, deve também proporcionar a indeslocabilidade do conjunto em ambas as direções do edifício.

Page 33: Concreto b

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4.10

A segunda delas tem a finalidade de apenas resistir aos carregamentos de origem vertical. Os pilares que compõem essas estruturas contraventadas podem ter desprezados no seu calculo os denominados efeitos de segunda ordem, o que não ocorre no primeiro caso, das estruturas de contraventamento.

De fato, a fim de proporcionar a indeslocabilidade da estrutura, deve-se proceder uma adequada verificação desse conjunto da estrutura de contraventamento. Uma vez determinada a indeslocabilidade dessa estrutura, aí também podem ser desprezados os denominados efeitos de segunda ordem. Especifica a NBR 6118 que sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de segunda ordem. Ou seja, são os esforços de flexão, torção e demais não decorrentes somente das cargas verticais, mas da somatória das ações verticais e horizontais, que criam ao longo da estrutura outros efeitos (segunda ordem).

Para que se possa desprezar esses efeitos, deve-se verificar através de métodos simplificados ou aproximados, se a estrutura pode ser classificada como de nós fixos, sem necessidade de cálculo rigoroso. Um desses métodos que pode ser empregado tem a sua expressão matemática o seguinte:

E sendo:

• n = numero de pavimentos acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do sub-solo

• Htot = altura total da estrutura • Nk = somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura a partir

do nível adotado • Ecs . Ic = a somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção

considerada

Quando obedecem-se as relações acima especificadas pode-se desprezar os efeitos de segunda ordem. Caso isso não ocorra, há sempre a possibilidade de aumentar-se as dimensões dos componentes da estrutura, em especial dos pilares que formarão a estrutura de contraventamento, compondo os pórticos com as vigas que neles chegam ou atravessam.

A rigidez do pilar equivalente pode ser determinada calculando-se o deslocamento no topo da estrutura de contraventamento, sob a ação de um carregamento horizontal. Faz-se um processamento por meio apropriado

ccs

ktotal

IENH×

×=α

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥⇒≤

≤⇒×+≤

αα

4n6,0

3nn1,02,0

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4.11

(computacional) dos pórticos com uma carga unitária aplicada no topo destes. A partir dos resultados dos deslocamentos, estabelece-se a rigidez equivalente do pórtico analisado pelas formulas comuns de deslocamentos ou flechas.

O resultado de Ieq pode ser determinado por:

É possivel, através da arquitetura proposta, estabelecer-se uma Planta de Formas do Pavimento Tipo e a partir dessa proposta estrutural, analisar-se quais seriam as estruturas ou pórticos de contraventamento que podemos adotar a fim de verificar-se a Estabilidade Geral do Edifício.

Tomamos em primeiro lugar, os porticos do sentido transversal do prédio (analisados pela planta), e chamaremos de PÓRTICO 1, aquele constituido pelos P1, P9, P15, P21 e P25 e pela V214, que se repete duas vezes; PORTICO 2, constituido pelos P2 e P10 e V216, que se repete oito vezes; e pelo PÓRTICO 3, constituido pelos P24, P17 e P7 e V220, que se repete duas vezes.

No sentido longitudinal teremos o PÓRTICO 4, constituido pelos P1, P2 e P3 e V201, que se repete quatro vezes e o PÓRTICO 5, constituido pelos P15, P16 e P17 e V207, que se repete duas vezes.

Para Ec tomaremos o valor de 5.600 fck ½ (Mpa), ou seja, para concreto C20, teremos Ec = 25.000 Mpa = 2.500 kN/m2, e para Ecs = 0,85 x Ec

Os resultados foram obtidos através de meios computacionais apropriados.

)0401.Eq(IE3

Ffccs

3−

×××

=l

lF = 1 tf.

f

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4.12

FORMA DO PAVIMENTO TIPO (4x)

1530

1530

H=10L.218

H=10L.219

H=10L.211

H=10L.206L.205

H=10

262.

514

2.5

L.220H=10 H=10

L.221

H=10L.214

H=10L.215

L.209H=10

L.210H=10

L.217H=10H=10

L.216

L.212H=10 H=10

L.213

H=10L.207 L.208

H=10

L.204H=10H=10

L.203L.201H=10 H=10

L.202

1875

105

105

105

405

360

360

405

285 285 225 285 225 285 285

270

135

210

150

150

210

105

405

360

360

405

1875

285285225285225285285

V.1

4/40

225

V.1

4/40

222

217

224

14/4

0V

.14/4

0V

.

227

14/4

0V

.

221

14/4

0V

.

220

14/4

0V

.

20514/40V.

V.1

4/40

226

223

14/4

0V

.

V. 1

4/40

218

215

14/4

0V.

14/40V. 209

14/40V. 206

212V. 14/40 213V. 14/40

211V. 14/40210V. 14/40

208V. 14/40207V. 14/40

203V. 14/40

202V. 14/40

P.3119/30

P.3019/3019/30

P.29 P.3219/30 19/30

P.3319/30P.34

P.2419/30

P.2519/30P.21

19/30 19/30P.22

19/30P.23 P.28

19/30P.2719/3019/30

P.26

19/30P.20

19/30P.1919/30

P.1819/30P.17

19/30P.16P.15

19/30

P.1219/30 19/30

P.1319/30P.14

P.819/30

P.719/30

P.619/30

P.519/3019/30

P.4V. 20114/40

14/40 204V.

14/4

021

4V

.

216

V.

14/4

0

219

V.1

4/40

P.119/30 19/30

P.219/30P.3

P.1119/30

P.1019/3019/30

P.9

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4.13

PÓRTICO 1 – TRANSVERSAL (2x)

P.1, P.9, P.15, P.21, P.29 e V.214

42 43 44 45

38 39 40 41

34 35 36 37

30 31 32 33

29282726

21

22

23

24

25

16

17

18

19

20

11

12

13

14

15

6

7

8

9

105

4

3

2

1

25

26

27

28

29

30

19

20

21

22

23

24

13

14

15

16

17

18

7

8

9

10

11

126

5

4

3

2

1

P.1 P.15 P.21 P.29P.9

405360360405

1440

288

288

288

288

288

Page 37: Concreto b

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4.14

PÓRTICO 2 – TRANSVERSAL (8x)

P.2, P.10 e V.216

15

14

13

12

11

6

7

8

9

105

4

3

2

1

7

8

9

10

11

126

5

4

3

2

1

P.2 P.10

405

1440

288

288

288

288

288

Page 38: Concreto b

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4.15

PÓRTICO 3 – TRANSVERSAL (2x)

P.24, P.17, P.7 e V.220

288

288

288

288

288

1440

360 495

P.17 P.7P.24

1

2

3

4

5

6 12

11

10

9

8

7

18

17

16

15

14

13

1

2

3

4

5 10

9

8

7

6

15

14

13

12

11

16 17

1918

2120

2322

2524

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4.16

PÓRTICO 4 – LONGITUDINAL (4x)

P.1, P.2, P.3, e V.201

24 27

22 23

20 21

18 19

1716

11

12

13

14

15

6

7

8

9

105

4

3

2

1

13

14

15

16

17

18

7

8

9

10

11

126

5

4

3

2

1

P.1 P.3P.2

285285

1440

288

288

288

288

288

Page 40: Concreto b

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4.17

PÓRTICO 5 – LONGITUDINAL (2x)

P.15, P.16, P.17, e V.207

288

288

288

288

288

1440

405 390

P.16 P.17P.15

1

2

3

4

5

6 12

11

10

9

8

7

18

17

16

15

14

13

1

2

3

4

5 10

9

8

7

6

15

14

13

12

11

16 17

1918

2120

2322

2724

Page 41: Concreto b

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4.18

PORTICO 1 Apoios Fixos Nó Dx (m) Dy (m) Dz (rd) 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 7 0.00000000 0.00000000 0.00000000 13 0.00000000 0.00000000 0.00000000 19 0.00000000 0.00000000 0.00000000 25 0.00000000 0.00000000 0.00000000 Deslocamentos dos Nós Nó Dx (m) Dy (m) Dz (rd) 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 2 0.00063138 0.00001944 -0.00018834 3 0.00148828 0.00003473 -0.00019827 4 0.00236333 0.00004571 -0.00020112 5 0.00323874 0.00005240 -0.00020272 6 0.00405399 0.00005487 -0.00013762 PORTICO 2 Apoios Fixos Nó Dx (m) Dy (m) Dz (rd) 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 7 0.00000000 0.00000000 0.00000000 Deslocamentos dos Nós Nó Dx (m) Dy (m z (rd) 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 2 0.00164443 0.00006284 -0.00049522 3 0.00410862 0.00011287 -0.00056932 4 0.00670916 0.00014872 -0.00058971 5 0.00932375 0.00017032 -0.00058010 6 0.01163695 0.00017826 -0.00037764 PORTICO 3 Apoios Fixos Nó Dx (m) Dy (m) Dz (rd) 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 7 0.00000000 0.00000000 0.00000000 13 0.00000000 0.00000000 0.00000000 Deslocamentos dos Nós Nó Dx (m) Dy (m) Dz (rd) 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 2 0.00199279 0.00003805 -0.00035675 3 0.00445266 0.00006786 -0.00037277 4 0.00694298 0.00008904 -0.00038072 5 0.00943844 0.00010168 -0.00038194 6 0.01175103 0.00010598 -0.00023855

Page 42: Concreto b

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4.19

PORTICO 4 Apoios Fixos Nó Dx (m) Dy (m) Dz (rd) 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 7 0.00000000 0.00000000 0.00000000 13 0.00000000 0.00000000 0.00000000 Deslocamentos dos Nós Nó Dx (m) Dy (m) Dz (rd) 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 2 0.00187458 0.00004562 -0.00029461 3 0.00409984 0.00008137 -0.00030697 4 0.00636157 0.00010692 -0.00031633 5 0.00864138 0.00012227 -0.00032182 6 0.01079861 0.00012755 -0.00020142 PORTICO 5

Apoios Fixos Nó Dx (m) Dy (m) Dz (rd) 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 7 0.00000000 0.00000000 0.00000000 13 0.00000000 0.00000000 0.00000000 Deslocamentos dos Nós Nó Dx (m) Dy (m) Dz (rd) 1 0.00000000 0.00000000 0.00000000 2 0.00099758 0.00003140 -0.00030694 3 0.00241079 0.00005634 -0.00033004 4 0.00386975 0.00007422 -0.00033611 5 0.00532807 0.00008502 -0.00033096 6 0.00663695 0.00008894 -0.00021756

A partir da equação 04-01, pode-se determinar Ec x Iec, onde F será a carga unitária; f será o deslocamento obtido pelas resoluções acima apontadas, np é o número de pórticos iguais no mesmo sentido e l a altura total do pórtico. (obs: multiplicaremos os valores obtidos por 10, a fim de transformarmos as unidades obtidas em T/m2 em kN/m2). Pórtico 1 –

23

p3

ccs m/kN000.903.410200406,03

40,14110nf3

FIE =××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

××

=××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

××

=×l

Page 43: Concreto b

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4.20

Pórtico 2 – Pórtico 3 – Pórtico 4 – Pórtico 5 – Assim sendo, teremos: 1 – sentido transversal Ecs x Ic = 4.903.000+6.840.000+1.687.000=13.430.000 kN/m2 2 – sentido longitudinal Ecs x Ic = 3.686.400+2.998.000=6.684.400 kN/m2 n = 5 (4 pavimentos tipo + pavimento de cobertura) Htot = 14.40 m Nk = 10 kN/m2 x 244 m2 (área por pavimento) x 4,7 (4 tipos + cobertura) + 250 kN (caixa d’água elevada) = 11.720 kN Ecs . Ic (transv.) = 13.430.000 kN x m2 Ecs . Ic (long.) = 6.684.800 kN x m2

Portanto, a proposta estrutural estabelecida para o edificio do exemplo atende a Estabilidade Global do Edifício.

23

p3

ccs m/kN000.840.610801164,03

40,14110nf3

FIE =××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

××

=××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

××

=×l

23

p3

ccs m/kN000.687.11020118,0340,14110n

f3FIE =××⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

××

=××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

××

=×l

23

p3

ccs m/kN400.686.31040108,0340,14110n

f3FIE =××⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

××

=××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

××

=×l

23

p3

ccs m/kN000.998.210200664,03

40,14110nf3

FIE =××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

××

=××⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

××

=×l

( )

( ) 60,0603,0400.684.6

720.1140.14IE

NH

60,043,0000.430.13

720.1140.14IE

NH

ccs

k

tccs

kt

≅=×=×

×=

<=×=×

×=

α

α

ll

Page 44: Concreto b

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5.1

05. Lajes Maciças em Concreto Armado

5.1. – Definição:

A principal característica geométrica das lajes é a de ser uma placa, ou seja, possui as suas dimensões de superfície maiores do que a sua espessura. A NBR 6118/2003 estabelece que para uma peça estrutural ser considerada como laje, a altura de sua seção transversal deve ser menor do que cinco vezes o seu menor lado. A sua finalidade como componente estrutural é suportar as cargas permanentes e acidentais, assim como servir de elementos de interligação entre os diversos pórticos da estrutura, tais como os anteriormente definidos, a fim de promover a Estabilidade Geral do Edifício, quando são denominadas diafragmas.

Uma vez absorvidas as cargas atuantes sobre elas, em determinado pavimento, as lajes devem transmiti-las para os elementos estruturais subseqüentes – vigas ou pilares.

Nos casos correntes de concreto armado, as lajes podem ser classificadas em dois grupos:

• Lajes armadas em uma direção: quando a relação entre o maior e o menor lado (Ly / Lx) é maior do que 2.

• Lajes armadas nas duas direções ou em cruz: quando a relação entre o maior e o menor lado (Ly / Lx) é menor ou igual do que 2.

5.2. – Cálculo das Lajes:

O primeiro passo a fim de se efetuar o calculo das lajes é a determinação dos vãos livres (L0) e vãos teóricos (L) e, em seguida, a relação entres esses valores. O vão livre é sempre considerado como sendo a distância entre as faces dos apoios laterais das lajes, e o vão teórico dever ser em lajes isoladas, igual ao valor do vão livre somado à espessura da laje no meio do vão. No caso vãos externos de lajes continuas, o vão teórico deve ser igual ao valor do vão livre acrescido da metade da dimensão do apoio interno e da metade da espessura da laje no meio do vão.

Não sendo a largura do apoio lateral das lajes – vigas ou pilares – de largura muito grande, no caso de grande parte das obras convencionais, pode-se adotar como vãos teóricos das lajes as distâncias entre os centros dos apoios.

Page 45: Concreto b

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5.2

Onde Lx é o vão que possui o maior numero de engastes e quando esse numero for igual nas duas direções, Lx será o menor vão e Ly o maior vão.

Quanto aos tipos de vinculação das lajes, podemos ter casos distintos: borda livre, borda simplesmente apoiada e borda engastada. Como representação gráfica desses três tipos de vinculação, pode-se adotar os esquemas abaixo:

BORDA LIVRE BORDA SIMPLESMENTE APOIADA BORDA ENGASTADA

O primeiro caso, de borda livre, significa a ausência de qualquer tipo de apoio, caracterizado pelas lajes em balanço ou marquises; enquanto que no caso de borda simplesmente apoiada e engastada, não existe deslocamento nas bordas.

Para que se adote a condição de engastamento, em geral, é necessário que haja continuidade em relação à laje imediatamente próxima, muito embora existam casos de engastamento em vigas ou pilares. Nos casos comuns de edifícios é corrente a continuidade entre as lajes. Entretanto, mesmo essa continuidade pode não ocorrer em toda a extensão de determinadas bordas e mesmo assim constituir-se em engastamento; por exemplo, quando se tem em uma mesma borda uma parte engastada e outra apoiada.

x

y

LL

Ly

Lx

Lx2Lx1

Ly

Lx

Page 46: Concreto b

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5.3

No caso das lajes armadas em uma única direção pode-se considerar no cálculo as duas condições, ou seja, onde houver engastamento independente das extensão da continuidade esse deve ser considerado dessa maneira e onde houver simples apoio assim também se considera.

Para os casos gerais de vínculos, podemos estabelecer os mais tradicionais dessa maneira:

CRITÉRIOS PARA BORDAS COM ENGASTE E APOIO

3L L x

x1≤ BORDA TOTALMENTE APOIADA

3L2L

3L x

yx ×

<< DEFINIR ESFORÇOS PARA AS DUAS DIREÇOES E

ADOTAR MAIOR VALOR

3L2 L x

x1×≥

BORDA TOTALMENTE ENGASTADA

TABELA DE TIPOS DE VINCULAÇÃO DE BORDAS DAS LAJES

CASO 1 CASO 2 CASO 3

QUATRO BORDAS SIMPLESMENTE APOIADAS

UMA BORDA ENGASTADA

DUAS BORDAS ADJACENTES ENGASTADAS

CASO 4 CASO 5 CASO 6

DUAS BORDAS OPOSTAS ENGASTADAS

TRES BORDAS ENGASTADAS

QUATRO BORDAS ENGASTADAS

Page 47: Concreto b

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5.4

Os modelos de cálculo para as lajes em uso geral podem ser efetuados através de métodos apropriados, dentre os quais podemos destacar: Teoria das Grelhas, Teoria da Elasticidade, Regime de Ruptura, Processo de Marcus, etc.

Esses métodos para cálculo das lajes pressupõe que as essas sejam elementos estruturais apoiados em outros elementos rígidos, a fim de se obter as magnitudes de momentos fletores e deformações oriundas da aplicação das cargas atuantes.

Para as lajes armadas em uma única direção, conforme relação estabelecida anteriormente, o cálculo dos momentos fletores, das deformações e das reações de apoio – cargas transmitidas aos elementos estruturais adjacentes – é estabelecido pelas equações simples da Estática das Estruturas e de amplo conhecimento. Uma vez aplicada uma carga p (permanente [g] + acidental [q]), determinam-se os valores dos momentos fletores, deformações e reações de apoio através das equações tradicionais:

LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO

TIPO REAÇÕES DE APOIO

MOMENTO FLETOR

DEFORMAÇÃO (FLECHA)

2 pR x

Al×

=

8 pM

2x

xl×

= BA

lx

2 pR x

Bl×

= 0Xx =

I E 384 p 5f

4x

x××

××=

l

8 p 3R x

Al××

=

14,22 pM

2x

xl×

=

lx

A B

8 p 5R x

Bl××

=

8 pX

2x

xl×

=

I E 384 p 2f

4x

x××

××=

l

2 pR x

Al×

=

24 pM

2x

xl×

= BA

lx 2

pR xB

l×=

12 pX

2x

xl×

=

I E 384 pf

4x

x××

×=

l

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5.5

x

y

LL

Os valores estabelecidos como limites de flechas em lajes é de f <= L/250 não devendo ultrapassar em qualquer hipótese, o valor de 2,5 cm.

Para as lajes armadas nas duas direções ou em cruz, a Teoria das Grelhas, a fim de determinar a carga atuante em cada uma das direções das lajes, estabelece que se deve dividir essas atuantes em duas partes, uma px e outra py, uma para cada direção da laje (x e y) de maneira que se obtenha:

p = px + py

A partir da Teoria das Grelhas, surgiu a Teoria de Marcus, que estabeleceu fórmulas aproximadas a fim de se determinar coeficientes para cada tipo de laje dependente da relação entre vãos. Esses coeficientes que são fornecidos sob a forma de tabelas, nos permitem calcular os momentos fletores, deformações e reações de apoio mediante o emprego de tabelas específicas.

Para o cálculo dos momentos máximos nos vãos, as equações que definem esses valores para as direções x e y, respectivamente, são, no caso dos momentos positivos:

y

2x

yx

2x

xm

pMem

pM ll ×=

×=

Enquanto que para os momentos negativos, as equações são:

y

2x

yx

2x

xn

pXen

pX ll ×=

×=

Os valores de mx, my, nx e ny, dependem da natureza dos apoios externos e encontram-se reproduzidos nas Tabelas de Marcus.

Na pratica podemos efetuar os cálculos dos momentos fletores atuantes sobre a própria planta da estrutura, adotando-se algumas regras. Em cada painel de laje traçam-se dois eixos em conformidade com as direções x e y, conforme já estabelecido anteriormente, adotando-se para a direção x a que possui maior numero de engastamentos e, quando esse numero de engastamentos for o mesmo nas duas direções, adota-se para x a direção do menor vão.

Nos extremos dos eixos, escrevem-se os valores dos vãos teóricos e na origem dos eixos a carga p atuante. No canto esquerdo superior escreve-se a relação:

E, no canto esquerdo superior os valores dos coeficientes tabelados mx, my, nx e ny.

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5.6

Utilizando-se das Tabelas de Marcus e das suas equações podemos determinar os valores dos momenrto fletores, cujos valores podem ser escritos ao longo dos apoios correspondentes. Calculados os momentos de todas as lajes, adota-se como momento negativo em cada apoio a média dentre eles ou o valor de 0,8 do maior dos dois momentos entre as lajes vizinhas.

Para efeito das reações de apoio das lajes sobre os elementos adjacentes, podemos adotar modelo semelhante ao proposto anteriormente, colocando-se nas bordas respectivas os valores das cargas provenientes das permanentes e das acidentais e esses valores, das reações de apoio, serão calculados a partir da definição da relação entre os lados e o conhecimento do valor Kx, também estipulados nas Tabelas. Uma vez determinado o valor de Kx, devemos multiplica-lo pela carga atuante p, que como já vimos divide-se em uma px e outra py, e assim sendo, as reações nos sentidos x e y, deverão ser definidas como nas tabelas apresentadas para o calculo das reações de apoio das lajes armadas em uma única direção.

Outra maneira prática de se estabelecer os componentes atuantes nas lajes é através da composição de tabelas apropriadas, onde os dados referidos acima devem integrar essas tabelas.

x

y

LL

=λpx

pyKx

p My Ly

LxM

x

Xx

Xy

mxmynxny

L.201

Ly

Lx L.201

RyB

(g) /

RyB

(q)

RyA

(g) /

RyA

(q)

RxB(g) / RxB(q)

RxA(g) / RxA(q)

Lx

Ly

p Ly

Lx

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5.7

LAJES DO PAVIMENTO TIPO (4x)

L.217H=10

L.216H=10

H=10L.211

H=10L.206

H=10L.205

H=10L.210

L.215H=10

H=10L.209

L.214H=10

H=10L.208

L.213H=10H=10

L.212

L.207H=10

L.221H=10H=10

L.220L.218H=10 H=10

L.219

L.203H=10 H=10

L.204L.202H=10H=10

L.201

105 105

285 285 225 285 225 285 285

405

360

360

405

105

210

150

150

210

135

270

285285225285225285285

405

360

360

405

105

Page 51: Concreto b

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5.8

42,1285405

==λ

42,1285405

==λ

A fim de desenvolvermos o cálculo das lajes acima definidas, o roteiro deve seguir a seguinte ordem, levando-se em conta a simetria das mesmas:

L.201 ⇒ Ly = 405 cm e Lx = 285

Carga permanente [g] = peso próprio + revestimento + alvenarias = 2,5 kN/m2 + 0,8 kN/m2 + 0,0 kN/m2 = 3,3 kN/m2

Carga acidental [q] = 1,5 kN/m2

Carga total [p] = 4,8 kN/m2

Em seguida, determina-se o valor de λ:

E a partir dessa relação, buscamos na Tabela 3 de Marcus:

L.201

Ly

Lxp=4,80

0,99/0,45

1,65/0,75

2,82

/1,2

9

4,72

/2,1

4Kx=0,803

px=3,85

py=0

,95

Ly =

405

Lx = 285

L.201

ny=20,10nx=9,97my=43,35mx=21,78

Xx=3

,91

Xy=1,94

My=

0,90

Ly

LxMx=1,79p=4,80

Lx = 285

Ly =

405

Page 52: Concreto b

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5.9

08,1360390

==λ

2a m/kN60,1

60,390,370,180,276,4g =

×××

=

08,1360390

==λ

L.207 ⇒ Ly = 390 cm e Lx = 360

Carga permanente [g] = peso próprio + revestimento + alvenarias = 2,5 kN/m2 + 0,8 kN/m2 + 1,6 kN/m2 = 4,9 kN/m2

A carga das alvenarias deve ser obtida multiplicando-se o comprimento das alvenarias que estão sobre a L.205, pela sua altura e pelo seu peso próprio e, em seguida dividir esse valor obtido pela área de projeção da laje. Assim:

Carga acidental [q] = 1,5 kN/m2

Carga total [p] = 6,4 kN/m2

Em seguida, determina-se o valor de λ:

E a partir dessa relação, buscamos na Tabela 5 de Marcus:

L.205

Xx=5,05

1,67

/0,5

1

6,45/1,97

3,21

/0,9

8

6,45/1,97

px=4

,68

py=1,72

Kx=0,731p=6,40

Lx

Lymx=39,74my=53,18nx=16,41ny=25,52

Xx=5,05p=6,40

My=1,56 Ly

LxM

x=2,

09

Xy=3

,25

L.205

Ly = 390

Lx =

360

Lx =

360

Ly = 390

Page 53: Concreto b

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5.10

125,1360405

==λ

125,1360405

==λ

L.208 ⇒ Ly = 405 cm e Lx = 360

Carga permanente [g] = peso próprio + revestimento + alvenarias = 2,5 kN/m2 + 0,8 kN/m2 + 0,0 kN/m2 = 3,3 kN/m2

Carga acidental [q] = 1,5 kN/m2

Carga total [p] = 4,8 kN/m2

Em seguida, determina-se o valor de λ:

E a partir dessa relação, buscamos na Tabela 3 de Marcus:

Ly = 405

Lx =

360

Lx =

360

Ly = 405

L.208

Xy=

3,78

Mx=

2,08

Lx

LyMy=1,64p=4,80

Xx=4,79

ny=16,45nx=13,00my=37,87mx=29,92 Ly

Lxp=4,80Kx=0,616

py=1,84px

=2,9

6

2,76/1,24

1,93

/0,8

6

4,60/2,06

3,22

/1,4

4 L.208

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5.11

05,1285300

==λ

05,1285300

==λ

L.211 ⇒ Ly = 300 cm e Lx = 285

Carga permanente [g] = peso próprio + revestimento + alvenarias = 2,5 kN/m2 + 0,8 kN/m2 + 0,0 kN/m2 = 3,3 kN/m2

Carga acidental [q] = 1,5 kN/m2

Carga total [p] = 4,8 kN/m2

Em seguida, determina-se o valor de λ:

E a partir dessa relação, buscamos na Tabela 1 de Marcus:

2,58

/1,1

8

2,22/1,02

L.208

2,58

/1,1

8

2,22/1,02

py=2

,16

px=2,64

Kx=0,549p=4,80

Lx

Lymx=24,91my=27,47

p=4,80My=1,42 Ly

LxM

x=1,

57

L.208

Lx = 285

Ly =

300

Ly =

300

Lx = 285

Page 55: Concreto b

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5.12

TABELA 1 - CÁLCULO DAS LAJES EM CRUZ - MARCUS

ly xm

2lx.pMx= ym

2lx.pMy= p.xKxp =

lx

ly/lx kx mx my

1.50 0.835 13.87 31.21

1.51 0.839 13.75 31.36

1.52 0.842 13.64 31.52

1.53 0.846 13.53 31.68

1.54 0.849 13.43 31.85

1.55 0.852 13.32 32.01

1.56 0.855 13.22 32.18

1.57 0.859 13.13 32.36

1.58 0.862 13.03 32.53

1.59 0.865 12.94 32.71

1.60 0.868 12.85 32.80

1.61 0.870 12.76 33.08

1.62 0.873 12.68 33.27

1.63 0.876 12.59 33.46

1.64 0.878 12.51 33.65

1.65 0.881 12.43 33.85

1.66 0.884 12.35 34.04

1.67 0.886 12.28 34.24

1.68 0.888 12.21 34.45

1.69 0.891 12.13 34.65

1.70 0.893 12.06 34.87

1.71 0.895 12.00 35.08

1.72 0.897 11.93 35.29

1.73 0.899 11.86 35.51

1.74 0.902 11.80 35.73

1.75 0.904 11.74 35.95

1.76 0.906 11.68 36.17

1.77 0.907 11.62 36.40

1.78 0.909 11.56 36.63

1.79 0.911 11.51 36.86

1.80 0.913 11.45 37.10

1.81 0.915 11.40 37.33

1.82 0.916 11.34 37.58

1.83 0.918 11.29 37.82

1.84 0.920 11.24 38.06

1.85 0.921 11.19 38.31

1.86 0.923 11.15 38.56

1.87 0.924 11.10 38.81

1.88 0.926 11.05 39.07

1.89 0.927 11.01 39.32

1.90 0.929 10.96 39.58

1.91 0.930 10.92 39.84

1.92 0.931 10.88 40.10

1.93 0.933 10.84 40.37

1.94 0.934 10.80 40.63

1.95 0.935 10.76 40.91

1.96 0.936 10.72 41.18

1.97 0.938 10.68 41.45

1.98 0.939 10.64 41.73

1.99 0.940 10.60 42.01

2.00 0.941 10.57 42.29

ly/lx kx mx my

0.50 0.059 169.18 42.29

0.51 0.063 158.42 41.20

0.52 0.068 148.64 40.19

0.53 0.073 139.70 39.24

0.54 0.078 131.55 38.36

0.55 0.084 124.10 37.53

0.56 0.089 117.25 36.77

0.57 0.095 110.96 36.05

0.58 0.102 105.19 35.38

0.59 0.108 99.86 34.76

0.60 0.115 94.94 34.18

0.61 0.122 90.40 33.64

0.62 0.129 86.20 33.13

0.63 0.136 82.30 32.66

0.64 0.144 78.68 32.23

0.65 0.151 75.32 31.82

0.66 0.159 72.19 31.44

0.67 0.168 69.27 31.09

0.68 0.176 66.54 30.99

0.69 0.185 63.99 30.46

0.70 0.194 61.60 30.18

0.71 0.203 59.37 29.93

0.72 0.212 57.27 29.69

0.73 0.221 55.29 29.47

0.74 0.231 53.44 29.26

0.75 0.240 51.69 29.07

0.76 0.250 50.04 28.90

0.77 0.260 48.48 28.74

0.78 0.270 47.01 28.60

0.79 0.280 45.61 28.46

0.80 0.290 44.29 28.34

0.81 0.301 43.03 28.23

0.82 0.311 41.84 28.13

0.83 0.322 40.70 28.04

0.84 0.332 39.62 27.96

0.85 0.343 38.59 27.88

0.86 0.354 37.61 27.81

0.87 0.364 36.67 27.75

0.88 0.375 35.77 27.70

0.89 0.385 34.91 27.65

0.90 0.396 34.09 27.61

0.91 0.407 33.30 27.57

0.92 0.417 32.54 27.54

0.93 0.428 31.81 27.51

0.94 0.438 31.11 27.49

0.95 0.449 30.44 27.47

0.96 0.459 29.79 27.45

0.97 0.469 29.17 27.44

0.98 0.480 28.57 27.43

0.99 0.490 27.99 27.43

1.00 0.500 27.43 27.43

ly/lx kx mx my

1.00 0.500 27.43 27.43

1.01 0.510 26.89 27.43

1.02 0.520 26.37 27.43

1.03 0.529 25.87 27.44

1.04 0.539 25.38 27.45

1.05 0.549 24.91 27.47

1.06 0.558 24.46 27.48

1.07 0.567 24.02 27.50

1.08 0.576 23.60 27.52

1.09 0.585 23.19 27.55

1.10 0.594 22.79 27.57

1.11 0.603 22.41 27.61

1.12 0.611 22.03 27.64

1.13 0.620 21.67 27.67

1.14 0.628 21.32 27.71

1.15 0.636 20.99 27.76

1.16 0.644 20.66 27.80

1.17 0.652 20.34 27.85

1.18 0.660 20.04 27.90

1.19 0.667 19.74 27.95

1.20 0.675 19.45 28.01

1.21 0.682 19.17 28.07

1.22 0.689 18.90 28.13

1.23 0.696 18.64 28.20

1.24 0.703 18.39 28.27

1.25 0.709 18.14 28.34

1.26 0.716 17.90 28.42

1.27 0.722 17.67 28.50

1.28 0.729 17.44 28.58

1.29 0.735 17.23 28.67

1.30 0.741 17.01 28.76

1.31 0.746 16.81 28.85

1.32 0.752 16.61 28.94

1.33 0.758 16.42 29.04

1.34 0.763 16.23 29.14

1.35 0.769 16.05 29.25

1.36 0.774 15.87 29.36

1.37 0.779 15.70 29.47

1.38 0.784 15.53 29.58

1.39 0.789 15.37 29.70

1.40 0.793 15.21 29.82

1.41 0.798 15.06 29.95

1.42 0.803 14.91 30.07

1.43 0.807 14.77 30.20

1.44 0.811 14.63 30.34

1.45 0.815 14.49 30.47

1.46 0.820 14.36 30.61

1.47 0.824 14.23 30.76

1.48 0.827 14.11 30.90

1.49 0.831 13.99 31.05

1.50 0.835 13.87 31.21

6 1

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PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO B

Prof. MARCO ANTONIO CARNIO Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO

5.13

TABELA 2 - CÁLCULO DAS LAJES EM CRUZ – MARCUS

lx

ly xm

2lx.pMx= ym

2lx.pMy=

xn

2lx.pXx −= p.xKxp =

ly/lx kx mx nx my

0.50 0.135 140.93 59.20 45.13

0.51 0.145 132.95 55.31 44.11

0.52 0.154 125.68 51.77 43.22

0.53 0.165 119.03 48.56 42.38

0.54 0.175 112.94 45.64 41.60

0.55 0.186 107.35 42.97 40.88

0.56 0.197 102.20 40.54 40.21

0.57 0.209 97.46 38.32 39.60

0.58 0.220 93.08 36.28 39.03

0.59 0.232 89.03 34.41 38.51

0.60 0.245 85.28 32.69 38.04

0.61 0.257 81.79 31.11 37.60

0.62 0.270 78.55 29.66 37.20

0.63 0.282 75.53 28.31 36.83

0.64 0.295 72.71 27.07 36.49

0.65 0.308 70.07 25.93 36.19

0.66 0.322 67.60 24.86 35.92

0.67 0.335 65.28 23.88 35.67

0.68 0.348 63.10 22.97 35.44

0.69 0.362 61.05 22.12 35.25

0.70 0.375 59.12 21.33 35.07

0.71 0.388 57.30 20.59 34.92

0.72 0.402 55.58 19.91 34.78

0.73 0.415 53.95 19.27 34.67

0.74 0.428 52.41 18.67 34.57

0.75 0.442 50.94 18.11 34.50

0.76 0.455 49.56 17.59 34.44

0.77 0.468 48.24 17.10 34.39

0.78 0.481 46.98 16.64 34.36

0.79 0.493 45.79 16.21 34.35

0.80 0.506 44.65 15.81 34.35

0.81 0.518 43.56 15.43 34.36

0.82 0.531 42.53 15.08 34.39

0.83 0.543 41.54 14.74 34.42

0.84 0.554 40.60 14.43 34.48

0.85 0.566 39.69 14.13 34.54

0.86 0.578 38.83 13.85 34.62

0.87 0.589 38.01 13.59 34.70

0.88 0.600 37.20 13.34 34.80

0.89 0.611 36.50 13.10 34.91

0.90 0.621 35.70 12.88 35.03

0.91 0.632 35.04 12.67 35.16

0.92 0.642 34.37 12.47 35.29

0.93 0.652 33.73 12.28 35.44

0.94 0.661 33.12 12.10 35.60

0.95 0.671 32.53 11.93 35.77

0.96 0.680 31.97 11.77 35.95

0.97 0.689 31.43 11.61 36.13

0.98 0.697 30.91 11.47 36.33

0.99 0.706 30.41 11.33 36.53

1.00 0.714 29.93 11.20 36.74

ly/lx kx mx nx my

1.00 0.714 29.93 11.20 36.74

1.02 0.730 29.02 10.96 37.19

1.04 0.745 28.18 10.73 37.68

1.06 0.759 27.41 10.53 38.19

1.08 0.773 26.69 10.35 38.74

1.10 0.785 26.02 10.18 39.31

1.12 0.797 25.40 10.03 39.92

1.14 0.808 24.83 9.89 40.55

1.16 0.819 24.29 9.77 41.21

1.18 0.829 23.79 9.65 41.90

1.20 0.838 23.33 9.45 42.62

1.22 0.847 22.89 9.44 43.36

1.24 0.855 22.49 9.35 44.13

1.26 0.863 22.11 9.27 44.93

1.28 0.870 21.75 9.19 45.75

1.30 0.877 21.42 9.12 46.59

1.32 0.884 21.11 9.05 47.46

1.34 0.889 20.82 8.99 48.34

1.36 0.895 20.54 8.93 49.26

1.38 0.901 20.28 8.88 50.20

1.40 0.906 20.04 8.83 51.15

1.42 0.910 19.81 8.79 52.14

1.44 0.915 19.59 8.74 53.14

1.46 0.919 19.39 8.70 54.16

1.48 0.923 19.20 8.67 55.21

1.50 0.927 19.01 8.63 56.28

1.52 0.930 18.84 8.60 57.36

1.54 0.934 18.68 8.57 58.47

1.56 0.937 18.52 8.54 59.60

1.58 0.940 18.37 8.51 60.74

1.60 0.942 18.23 8.49 61.91

1.62 0.945 18.10 8.46 63.11

1.64 0.948 17.97 8.44 64.31

1.66 0.950 17.85 8.42 65.53

1.68 0.952 17.74 8.40 66.78

1.70 0.954 17.63 8.38 68.04

1.72 0.956 17.52 8.36 69.33

1.74 0.958 17.42 8.35 70.63

1.76 0.960 17.33 8.33 71.96

1.78 0.962 17.25 8.32 73.30

1.80 0.963 17.15 8.30 74.65

1.82 0.965 17.07 8.29 76.03

1.84 0.966 16.99 8.28 77.42

1.86 0.968 16.91 8.27 78.85

1.88 0.969 16.84 8.26 80.27

1.90 0.970 16.77 8.24 81.73

1.92 0.971 16.70 8.23 83.18

1.94 0.972 16.64 8.23 84.67

1.96 0.974 16.57 8.22 86.19

1.98 0.975 16.51 8.21 87.70

2.00 0.976 16.46 8.20 89.22

2

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PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO B

Prof. MARCO ANTONIO CARNIO Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO

5.14

TABELA 3 - CÁLCULO DAS LAJES EM CRUZ – MARCUS

ly xm

2lx.pMx= ym

2lx.pMy=

xn

2lx.pXx −=

yn

2lx.pXy −=

p.xKxp =

lx

ly/lx kx mx nx my ny

1.00 0.500 37.14 16.00 37.14 16.00

1.01 0.510 36.42 15.69 37.15 16.00

1.02 0.520 35.72 15.39 37.16 16.01

1.03 0.529 35.05 15.11 37.19 16.03

1.04 0.539 34.42 14.84 37.22 16.05

1.05 0.549 33.81 14.58 37.27 16.08

1.06 0.558 33.21 14.34 37.32 16.11

1.07 0.567 32.65 14.10 37.38 16.15

1.08 0.576 32.11 13.88 37.45 16.19

1.09 0.585 31.59 13.67 37.53 16.24

1.10 0.594 31.09 13.46 37.61 16.29

1.11 0.603 30.61 13.27 37.71 16.35

1.12 0.611 30.14 13.08 37.81 16.41

1.13 0.620 29.70 12.91 37.92 16.48

1.14 0.628 29.27 12.74 38.04 16.55

1.15 0.636 28.85 12.57 38.16 16.63

1.16 0.644 28.46 12.42 38.29 16.71

1.17 0.652 28.08 12.27 38.43 16.79

1.18 0.660 27.71 12.13 38.58 16.88

1.19 0.667 27.35 11.99 38.73 16.98

1.20 0.674 27.00 11.85 38.89 17.07

1.21 0.682 26.68 11.73 39.06 17.18

1.22 0.690 26.36 11.61 39.23 17.28

1.23 0.696 26.05 11.49 39.41 17.39

1.24 0.703 25.75 11.38 39.59 17.50

1.25 0.709 25.46 11.28 39.78 17.62

1.26 0.716 25.18 11.17 39.98 17.74

1.27 0.722 24.92 11.07 40.19 17.86

1.28 0.729 24.66 10.98 40.40 17.99

1.29 0.735 24.40 10.89 40.61 18.12

1.30 0.741 24.16 10.80 40.83 18.25

1.31 0.746 23.93 10.72 41.06 18.39

1.32 0.752 23.70 10.63 41.29 18.53

1.33 0.758 23.48 10.56 41.53 18.67

1.34 0.763 23.26 10.48 41.77 18.82

1.35 0.769 23.06 10.41 42.02 18.97

1.36 0.774 22.86 10.34 42.28 19.12

1.37 0.779 22.66 10.27 42.54 19.28

1.38 0.784 22.48 10.21 42.80 19.43

1.39 0.789 22.29 10.14 43.07 19.60

1.40 0.793 22.12 10.08 43.35 19.76

1.41 0.798 21.95 10.02 43.63 19.93

1.42 0.803 21.78 9.97 43.92 20.10

1.43 0.807 21.62 9.91 44.21 20.27

1.44 0.811 21.46 9.86 44.50 20.45

1.45 0.815 21.31 9.81 44.80 20.62

1.46 0.820 21.16 9.76 45.11 20.80

1.47 0.824 21.02 9.71 45.42 20.99

1.48 0.827 20.88 9.67 45.74 21.17

1.49 0.831 20.75 9.62 46.06 21.36

1.50 0.835 20.61 9.58 46.38 21.55

ly/lx kx mx nx my ny

1.50 0.835 20.61 9.58 46.38 21.55

1.51 0.839 20.49 9.54 46.71 21.75

1.52 0.842 20.36 9.50 47.05 21.94

1.53 0.846 20.24 9.46 47.38 22.14

1.54 0.849 20.12 9.42 47.73 22.34

1.55 0.852 20.01 9.39 48.07 22.55

1.56 0.855 19.90 9.35 48.43 22.76

1.57 0.859 19.79 9.32 48.78 22.96

1.58 0.862 19.69 9.28 49.14 23.17

1.59 0.865 19.58 9.25 49.51 23.09

1.60 0.868 19.48 9.22 49.88 23.60

1.61 0.870 19.39 9.19 50.25 23.82

1.62 0.873 19.29 9.16 50.63 24.04

1.63 0.876 19.20 9.13 51.01 24.26

1.64 0.878 19.11 9.11 51.40 24.49

1.65 0.881 19.02 9.08 51.79 24.72

1.66 0.884 18.94 9.05 52.19 24.95

1.67 0.886 18.86 9.03 52.58 25.18

1.68 0.888 18.77 9.00 52.99 25.41

1.69 0.891 18.70 8.98 53.39 25.65

1.70 0.893 18.62 8.96 53.81 25.89

1.71 0.895 18.54 8.93 54.22 26.13

1.72 0.897 18.47 8.91 54.64 26.37

1.73 0.899 18.40 8.89 55.07 26.61

1.74 0.902 18.33 8.87 55.49 26.86

1.75 0.904 18.26 8.85 55.92 27.11

1.76 0.906 18.18 8.83 56.36 27.36

1.77 0.907 18.13 8.81 56.80 27.61

1.78 0.909 18.07 8.80 57.24 27.87

1.79 0.911 18.00 8.78 57.68 28.13

1.80 0.913 17.94 8.76 58.14 28.39

1.81 0.915 17.88 8.74 58.59 28.65

1.82 0.916 17.83 8.73 59.05 28.91

1.83 0.918 17.77 8.71 59.51 29.18

1.84 0.920 17.72 8.70 59.97 29.44

1.85 0.921 17.66 8.68 60.44 29.72

1.86 0.923 17.61 8.67 60.92 29.99

1.87 0.924 17.56 8.65 61.39 30.26

1.88 0.926 17.51 8.64 61.88 30.54

1.89 0.927 17.46 8.63 62.36 30.81

1.90 0.929 17.41 8.61 62.85 31.09

1.91 0.930 17.36 8.60 63.34 31.38

1.92 0.931 17.32 8.59 63.83 31.66

1.93 0.933 17.27 8.58 64.33 31.94

1.94 0.934 17.23 8.56 64.83 32.23

1.95 0.935 17.18 8.55 65.34 32.52

1.96 0.936 17.14 8.54 65.84 32.81

1.97 0.938 17.10 8.53 66.36 33.10

1.98 0.939 17.06 8.52 66.88 33.40

1.99 0.940 17.02 8.51 67.39 33.70

2.00 0.941 16.93 8.50 67.92 34.00

3

Page 58: Concreto b

PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO B

Prof. MARCO ANTONIO CARNIO Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO

5.15

TABELA 4 - CÁLCULO DAS LAJES EM CRUZ - MARCUS

ly xm

2lx.pMx= ym

2lx.pMy=

xn

2lx.pXx −= p.xKxp =

lx

ly/lx kx mx nx my

0.50 0.238 137.06 50.40 49.92

0.51 0.253 130.06 47.48 49.11

0.52 0.268 123.66 44.83 48.38

0.53 0.283 117.79 42.42 47.72

0.54 0.298 112.39 40.23 47.13

0.55 0.314 107.42 38.23 46.60

0.56 0.330 102.83 36.40 46.13

0.57 0.345 98.59 34.74 45.72

0.58 0.361 94.67 33.21 45.35

0.59 0.377 91.02 31.81 45.04

0.60 0.3.93 87.62 30.52 44.77

0.61 0.409 84.46 29.33 44.54

0.62 0.425 81.51 28.24 44.35

0.63 0.441 78.76 27.24 44.21

0.64 0.456 76.18 26.30 44.10

0.65 0.472 73.76 25.45 44.02

0.66 0.487 71.49 24.65 43.98

0.67 0.502 69.36 23.91 43.97

0.68 0.517 67.36 23.22 43.98

0.69 0.531 65.47 22.59 44.03

0.70 0.545 63.69 22.00 44.11

0.71 0.559 62.01 21.44 44.21

0.72 0.573 60.42 20.93 44.34

0.73 0.587 58.92 20.45 44.49

0.74 0.600 57.51 20.00 44.66

0.75 0.613 56.16 19.38 44.86

0.76 0.625 54.89 19.19 45.08

0.77 0.637 53.69 18.83 45.33

0.78 0.649 52.54 18.48 45.59

0.79 0.661 51.46 18.16 45.87

0.80 0.672 50.42 17.86 46.17

0.81 0.683 49.44 17.57 46.30

0.82 0.693 48.51 17.31 46.84

0.83 0.703 47.62 17.06 47.20

0.84 0.713 46.78 16.82 47.57

0.85 0.723 45.97 16.60 47.97

0.86 0.732 45.21 16.39 48.38

0.87 0.741 44.48 16.19 48.81

0.88 0.750 43.78 16.00 49.25

0.89 0.758 43.12 15.82 49.71

0.90 0.766 42.48 15.66 50.19

0.91 0.774 41.87 15.50 50.68

0.92 0.782 41.30 15.35 51.18

0.93 0.789 40.74 15.21 51.50

0.94 0.796 40.21 15.07 52.24

0.95 0.803 39.70 14.95 52.78

0.96 0.809 39.22 14.82 53.35

0.97 0.816 38.75 14.72 53.92

0.98 0.822 38.31 14.60 54.52

0.99 0.828 37.88 14.50 55.12

1.00 0.833 37.47 14.40 55.74

ly/lx kx mx nx my

1.00 0.833 37.47 14.40 55.74

1.02 0.844 36.71 14.22 57.01

1.04 0.854 36.00 14.05 58.33

1.06 0.863 35.34 13.90 59.70

1.08 0.872 34.74 13.76 61.12

1.10 0.880 34.18 13.64 62.59

1.12 0.887 33.66 13.52 64.10

1.14 0.894 33.18 13.42 65.66

1.16 0.900 32.74 13.32 67.26

1.18 0.906 32.32 13.24 68.91

1.20 0.912 31.93 13.16 70.60

1.22 0.917 31.57 13.08 72.33

1.24 0.922 31.23 13.01 74.11

1.26 0.926 30.92 12.95 75.92

1.28 0.931 30.62 12.89 77.78

1.30 0.934 30.34 12.84 79.66

1.32 0.938 30.08 12.79 81.60

1.34 0.942 29.83 12.74 83.58

1.36 0.945 29.60 12.70 85.58

1.38 0.948 29.39 12.66 87.63

1.40 0.950 29.18 12.62 89.72

1.42 0.953 28.99 12.59 91.84

1.44 0.955 28.80 12.56 94.01

1.46 0.958 28.63 12.53 96.20

1.48 0.960 28.47 12.50 98.45

1.50 0.962 28.31 12.47 100.72

1.52 0.964 28.16 12.45 103.02

1.54 0.966 28.02 12.43 105.38

1.56 0.967 27.89 12.40 107.76

1.58 0.969 27.76 12.38 110.16

1.60 0.970 27.64 12.37 112.61

1.62 0.972 27.53 12.35 115.12

1.64 0.973 27.42 12.33 117.62

1.66 0.974 27.31 12.32 120.17

1.68 0.975 27.21 12.30 122.76

1.70 0.977 27.12 12.29 125.41

1.72 0.978 27.03 12.27 128.04

1.74 0.979 26.94 12.26 130.75

1.76 0.980 26.86 12.25 133.50

1.78 0.980 26.78 12.24 136.24

1.80 0.981 26.70 12.23 139.05

1.82 0.982 26.63 12.22 141.85

1.84 0.983 26.56 12.21 144.78

1.86 0.983 26.49 12.20 147.65

1.88 0.984 26.43 12.19 150.60

1.90 0.985 26.37 12.18 153.54

1.92 0.985 26.31 12.18 156.53

1.94 0.986 26.25 12.17 159.56

1.96 0.987 26.19 12.16 162.60

1.98 0.987 26.14 12.16 165.75

2.00 0.988 26.09 12.15 168.89

4 4

Page 59: Concreto b

PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO B

Prof. MARCO ANTONIO CARNIO Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO

5.16

TABELA 5 - CÁLCULO DAS LAJES EM CRUZ – MARCUS

ly

xm

2lx.pMx= ym

2lx.pMy=

xn

2lx.pXx −=

yn

2lx.pXy −=

p.xKxp = lx

ly/lx kx mx nx my ny

0.50 0.111 246.52 108.00 71.43 36.00

0.51 0.119 230.76 100.70 69.53 34.92

0.52 0.127 216.51 95.07 67.77 33.91

0.53 0.136 203.52 88.05 66.13 32.97

0.54 0.145 191.66 82.56 64.60 32.10

0.55 0.155 180.83 77.57 63.18 31.29

0.56 0.164 170.91 73.01 61.86 30.53

0.57 0.174 161.79 68.84 60.63 29.82

0.58 0.184 153.42 65.02 59.49 29.16

0.59 0.195 145.72 61.52 58.42 28.55

0.60 0.206 138.61 58.30 57.43 27.98

0.61 0.217 132.05 55.34 56.52 27.45

0.62 0.228 125.98 52.61 55.67 26.96

0.63 0.239 120.36 50.09 54.88 26.51

0.64 0.251 115.15 47.76 54.15 26.08

0.65 0.263 110.30 45.61 53.48 25.69

0.66 0.275 105.81 43.62 52.85 25.33

0.67 0.287 101.61 41.77 52.28 25.00

0.68 0.299 97.70 40.06 51.76 24.70

0.69 0.312 94.06 38.47 51.28 24.42

0.70 0.324 90.65 36.99 50.84 24.17

0.71 0.337 87.46 35.61 50.45 23.93

0.72 0.349 84.48 34.33 50.09 23.73

0.73 0.362 81.68 33.13 49.77 23.54

0.74 0.375 82.05 32.48 49.05 23.37

0.75 0.387 76.58 30.96 49.23 23.22

0.76 0.400 74.26 29.98 49.00 23.09

0.77 0.413 72.08 29.07 48.81 22.98

0.78 0.425 70.02 28.21 48.65 22.88

0.79 0.438 68.08 27.40 48.51 22.80

0.80 0.450 66.24 26.65 48.40 22.74

0.81 0.463 64.51 25.94 48.32 22.69

0.82 0.475 62.88 25.27 48.26 22.65

0.83 0.487 61.33 24.64 48.22 22.63

0.84 0.499 59.86 24.05 48.21 22.63

0.85 0.511 58.47 23.49 48.22 22.63

0.86 0.522 57.15 22.97 48.25 22.65

0.87 0.543 55.90 22.47 48.30 22.68

0.88 0.545 54.71 22.00 48.37 22.72

0.89 0.558 53.58 21.56 48.46 22.77

0.90 0.567 52.51 21.14 48.57 22.84

0.91 0.578 51.49 20.75 48.69 22.91

0.92 0.589 50.51 20.37 48.83 22.99

0.93 0.599 49.59 20.02 48.99 23.09

0.94 0.610 48.70 19.68 49.17 23.19

0.95 0.620 47.86 19.37 49.06 23.30

0.96 0.629 47.06 19.06 49.57 23.42

0.97 0.639 46.29 18.78 49.80 23.56

0.98 0.648 45.55 18.50 50.04 23.70

0.99 0.658 44.85 18.25 50.29 23.84

1.00 0.667 44.18 18.00 50.56 24.00

ly/lx kx mx nx my ny

1.00 0.667 44.18 18.00 50.56 24.00

1.02 0.684 42.92 17.54 51.14 24.33

1.04 0.700 41.77 17.13 51.76 24.70

1.06 0.716 40.71 16.75 52.44 25.10

1.08 0.731 39.74 16.41 53.18 25.52

1.10 0.745 38.84 16.10 53.95 25.97

1.12 0.759 38.01 15.81 54.78 26.45

1.14 0.772 37.25 15.55 55.64 26.95

1.16 0.784 36.54 15.31 56.55 27.47

1.18 0.795 35.88 15.09 57.50 28.02

1.20 0.806 35.27 14.89 58.50 28.59

1.22 0.816 34.70 14.71 59.53 29.19

1.24 0.825 34.17 14.54 60.60 29.80

1.26 0.834 33.68 14.38 61.71 30.44

1.28 0.843 33.22 14.23 62.85 31.10

1.30 0.851 32.79 14.10 64.03 31.77

1.32 0.859 32.38 13.98 65.25 32.47

1.34 0.866 32.01 13.86 66.50 33.18

1.36 0.872 31.65 13.75 66.78 33.92

1.38 0.879 31.02 13.65 69.10 34.67

1.40 0.885 31.01 13.56 70.45 35.44

1.42 0.890 30.72 13.47 71.83 36.23

1.44 0.896 30.44 13.39 73.24 37.03

1.46 0.901 30.18 13.32 74.69 37.86

1.48 0.906 29.94 13.25 76.17 38.70

1.50 0.910 29.71 13.18 77.67 39.55

1.52 0.914 29.49 13.12 79.20 40.43

1.54 0.918 29.28 13.07 80.77 41.32

1.56 0.922 29.09 13.01 82.36 42.22

1.58 0.926 28.90 12.96 83.98 43.14

1.60 0.929 28.73 12.91 85.64 44.08

1.62 0.932 28.56 12.87 87.31 45.03

1.64 0.935 28.40 12.83 89.02 46.00

1.66 0.938 28.25 12.79 90.77 46.99

1.68 0.941 28.11 12.75 92.52 47.98

1.70 0.943 27.97 12.72 94.32 49.00

1.72 0.946 27.84 12.68 96.13 50.03

1.74 0.948 27.72 12.65 97.98 51.08

1.76 0.950 27.60 12.62 99.86 52.14

1.78 0.952 27.49 12.60 101.75 53.21

1.80 0.954 27.38 12.57 103.68 54.30

1.82 0.956 27.28 12.55 105.63 55.41

1.84 0.958 27.18 12.52 107.62 56.63

1.86 0.960 27.09 12.50 109.63 57.67

1.88 0.961 27.00 12.48 111.65 58.81

1.90 0.963 26.91 12.46 110.71 59.97

1.92 0.964 26.83 12.44 115.79 61.15

1.94 0.966 26.75 12.42 117.89 62.33

1.96 0.967 26.68 12.41 120.04 63.55

1.98 0.968 26.61 12.39 122.19 64.76

2.00 0.970 26.54 12.37 124.35 65.98

5

Page 60: Concreto b

PUC-CAMPINAS – CEATEC – FAC. DE ENGENHARIA CIVIL CONCRETO B

Prof. MARCO ANTONIO CARNIO Prof. AUGUSTO CANTUSIO NETO

5.17

TABELA 6 - CÁLCULO DAS LAJES EM CRUZ - MARCUS

ly xm

2lx.pMx= ym

2lx.pMy=

xn

2lx.pXx −=

yn

2lx.pXy −=

p.xKxp = lx

ly/lx kx mx nx my ny

1.50 0.835 32.04 14.37 72.10 32.33

1.51 0.839 31.87 14.31 72.67 32.62

1.52 0.842 31.71 14.25 73.25 32.92

1.53 0.846 31.54 14.19 73.84 33.22

1.54 0.849 31.39 14.13 74.44 33.52

1.55 0.852 31.24 14.08 75.04 33.82

1.56 0.855 31.09 14.03 75.65 34.13

1.57 0.859 30.94 13.97 76.27 34.45

1.58 0.862 30.80 13.92 76.90 34.79

1.59 0.865 30.67 13.88 77.52 35.08

1.60 0.868 30.54 13.83 78.17 35.41

1.61 0.870 30.41 13.79 78.81 35.73

1.62 0.873 30.28 13.74 79.47 36.06

1.63 0.876 30.16 13.70 80.13 36.40

1.64 0.878 30.04 13.66 80.80 36.74

1.65 0.881 29.93 13.62 81.48 37.08

1.66 0.884 29.82 13.58 82.16 37.42

1.67 0.886 29.71 13.54 82.84 37.77

1.68 0.888 29.60 13.51 83.54 38.12

1.69 0.891 29.50 13.47 84.24 38.47

1.70 0.893 29.40 13.44 84.95 38.83

1.71 0.895 29.30 13.40 85.67 39.19

1.72 0.897 29.20 13.37 86.38 39.55

1.73 0.899 29.11 13.34 87.12 39.92

1.74 0.902 29.02 13.31 87.85 40.29

1.75 0.904 28.93 13.28 88.60 40.67

1.76 0.906 28.84 13.25 89.34 41.04

1.77 0.907 28.76 13.22 90.09 41.42

1.78 0.909 28.68 13.19 90.86 41.81

1.79 0.911 28.60 13.17 91.61 42.19

1.80 0.913 28.52 13.14 92.39 42.58

1.81 0.915 28.44 13.12 93.17 42.97

1.82 0.916 28.37 13.09 93.96 43.37

1.83 0.918 28.29 13.07 94.75 43.77

1.84 0.920 28.22 13.05 95.54 44.17

1.85 0.921 28.15 13.02 96.35 44.57

1.86 0.923 28.09 13.00 97.16 44.98

1.87 0.924 28.02 12.98 97.98 45.09

1.88 0.926 27.95 12.96 98.80 45.81

1.89 0.927 27.89 12.94 99.62 46.22

1.90 0.929 27.83 12.92 100.46 46.64

1.91 0.930 27.77 12.90 101.30 47.06

1.92 0.931 27.71 12.88 102.14 47.49

1.93 0.933 27.65 12.86 103.00 47.92

1.94 0.934 27.60 12.85 103.85 48.35

1.95 0.935 27.54 12.83 104.72 48.78

1.96 0.936 27.49 12.81 105.58 49.21

1.97 0.938 27.43 12.80 106.45 49.65

1.98 0.939 27.38 12.78 107.35 50.10

1.99 0.940 27.33 12.76 108.23 50.55

2.00 0.941 27.28 12.75 109.12 50.99

ly/lx kx mx nx my ny

1.00 0.500 55.74 24.00 55.74 24.00

1.01 0.510 54.65 32.53 55.75 24.00

1.02 0.520 53.61 32.09 55.78 24.02

1.03 0.529 52.62 22.66 55.82 24.04

1.04 0.539 51.76 22.26 55.88 24.07

1.05 0.549 50.76 21.87 55.96 24.11

1.06 0.558 49.89 21.50 56.06 24.16

1.07 0.567 49.06 21.15 56.17 24.22

1.08 0.576 48.27 20.82 56.30 24.28

1.09 0.585 47.50 20.50 56.44 24.36

1.10 0.594 46.77 20.20 56.59 24.44

1.11 0.603 46.07 19.90 56.76 24.52

1.12 0.611 45.40 19.63 56.95 24.62

1.13 0.620 44.75 19.36 57.14 24.72

1.14 0.628 44.13 19.10 57.36 24.83

1.15 0.636 43.54 18.86 57.58 24.94

1.16 0.644 42.97 18.63 57.82 25.06

1.17 0.652 42.42 18.40 58.07 25.19

1.18 0.660 41.89 18.19 58.33 25.33

1.19 0.667 41.38 17.98 58.60 25.47

1.20 0.675 40.90 17.79 58.89 25.61

1.21 0.682 40.42 17.60 59.19 25.76

1.22 0.689 39.97 17.42 59.49 25.92

1.23 0.696 39.54 17.24 59.81 26.09

1.24 0.703 39.12 17.07 60.15 26.25

1.25 0.709 38.71 16.91 60.49 26.43

1.26 0.716 38.32 16.76 60.84 26.61

1.27 0.722 37.95 16.61 61.20 26.79

1.28 0.729 37.58 16.47 61.57 26.98

1.29 0.735 37.23 16.33 61.96 27.18

1.30 0.741 36.89 16.20 62.05 27.38

1.31 0.746 36.57 16.07 62.75 27.58

1.32 0.752 36.25 15.95 63.16 27.79

1.33 0.758 35.95 15.83 63.59 28.01

1.34 0.763 35.65 15.72 64.02 28.23

1.35 0.769 35.37 15.61 64.46 28.45

1.36 0.774 35.09 15.51 64.91 28.68

1.37 0.779 34.83 15.41 65.36 28.91

1.38 0.784 34.57 15.31 65.83 29.15

1.39 0.789 34.32 15.21 66.31 29.39

1.40 0.793 34.08 15.12 66.79 29.64

1.41 0.798 33.85 15.04 67.29 29.89

1.42 0.803 33.62 14.95 67.79 30.15

1.43 0.807 33.40 14.87 68.30 30.40

1.44 0.811 33.19 14.79 68.82 30.67

1.45 0.815 32.98 14.71 69.34 30.94

1.46 0.820 32.78 14.64 69.88 31.21

1.47 0.824 32.59 14.57 70.42 31.48

1.48 0.827 32.40 14.50 70.97 31.76

1.49 0.831 32.22 14.43 71.53 32.04

1.50 0.835 32.04 14.37 72.10 32.33

6 6

Page 61: Concreto b

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6.1

06. Deformações das Lajes

Para efeito de dimensionamento das lajes há a necessidade de se determinar as deformações ou deslocamentos nesses elementos estruturais provenientes da atuação das cargas permanentes e acidentais, de modo a se evitar que essas deformações sejam excessivas e dessa maneira venham a comprometer o comportamento estrutural dessas lajes.

A NBR 6118 / 2003 estabelece alguns princípios importantes sobre essas considerações:

06.01 – Deslocamentos visíveis em elementos estruturais:

Nesses casos tomam-se as cargas permanentes [g] somadas às cargas acidentais [q], de onde obteremos a carga total aplicada [p]. Assim sendo:

Os deslocamentos, também denominados flechas, estarão limitados em

Esses deslocamentos podem ser calculados utilizando-se de métodos tradicionais. Toma-se pelas Tabelas de Marcus os valores de kx, a partir do qual teremos as parcelas px e py, atuando das direções de Lx e Ly respectivamente. Assim procedendo, o calculo dos deslocamentos será da seguinte maneira:

DESLOCAMENTOS (FLECHAS) NAS LAJES

TIPO DESLOCAMENTO (FLECHA)

BA

lx

I E 384 p 5f

4xx

x××

××=

l

lx

A B

I E 384

p 2f4

xxx

××××

=l

BA

lx

I E 384 pf

4xx

x××

×=

l

qgp +=

250l

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6.2

Tendo em vista o Efeito de Deformação Lenta ou fluência sobre os deslocamentos provenientes da atuação das cargas permanentes em elementos estruturais de concreto armado, essa fluência pode ser considerada, de maneira aproximada, dobrando-se os valores obtidos na tabela acima. Dessa maneira:

Onde E = Modulo de Deformação Longitudinal do concreto e I = momento de inércia em torno do eixo x da seção transversal da laje: 8,33 h3 – h em cm.

06.02 – Vibrações sentidas no piso:

Nesses casos a recomendação é que se tome dos valores devidos às cargas acidentais [q] e, a partir desses valores se estabeleça como deslocamento ou flecha máxima a relação:

E para efeito de determinação dos valores desses deslocamentos utiliza-se das mesmas equações já especificadas:

DESLOCAMENTOS (FLECHAS) NAS LAJES

TIPO DESLOCAMENTO (FLECHA)

BA

lx

I E 384 q 5f

4xx

x××

××=

l

lx

A B

I E 384

q 2f4

xxx

××××

=l

BA

lx

I E 384 qf

4xx

x××

×=

l

Como efeito da deformação lenta ou fluência, podemos tomar das mesmas prerrogativas anteriores, ou seja, podemos dobrar os valores dos deslocamentos calculados de maneira que:

E em que qx = parcela da carga q atuante no sentido de Lx e os demais valores E e I conforme definidos anteriormente.

.cm5,2250

f2 x ≤≤×l

350l

350f2 x

l≤×

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6.3

06.03 – Efeitos em Elementos não estruturais:

Os deslocamentos das lajes também devem ser limitados a fim de se evitar danos nos elementos não estruturais de uma obra, tais como as alvenarias, divisórias, etc. Assim, quando houver a existência de paredes construídas sobre as lajes, os deslocamentos deverão ter limites específicos e serão calculados para a atuação da carga permanente [g] proveniente do peso próprio [gp] e do peso das paredes [ga], pois nas construções em geral, as paredes são executadas antes de se executarem os revestimentos. Nesses casos pode-se desprezar no calculo dos deslocamentos a deformação lenta ou fluência, em vista de que as cargas ocorrerão quase que de forma imediata à construção, enquanto que os efeitos da fluência atuam ao longo do tempo.

Assim sendo, teremos como cargas atuantes:

E os deslocamentos não poderão exceder o valor de:

Onde ℓ é o vão na direção em que se desenvolve a parede, sendo que nos casos de paredes uniformemente distribuídas sobre a laje, deve se tomar o valor mais nocivo (maior vão).

E para efeito de determinação dos valores desses deslocamentos utiliza-se das mesmas equações já especificadas:

DESLOCAMENTOS (FLECHAS) NAS LAJES

TIPO DESLOCAMENTO (FLECHA)

BA

lx

I E 384 g 5f

4xx

x××

××=

l

lx

A B

I E 384

g 2f4

xxx

××××

=l

BA

lx

I E 384 gf

4xx

x××

×=

l

.cm00,1500

fx ≤≤l

ap ggg +=

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6.4

06.04 – Contra flechas:

Nos casos em que os valores calculados dos deslocamentos ou flechas ultrapassarem as determinações dos limites estabelecidos, deve-se aumentar a altura da laje ou, se possível, aumentar o numero de engastes ou ainda estabelecer-se a execução de contra-flechas, permitidas pela Norma desde que estabelecidos alguns limites.

Se, por exemplo, obtivermos como deslocamento total, proveniente da carga (p = g + q), o valor de 3,0 cm em uma laje cujo limite seja de 2,2 cm, sabemos que a diferença entre o limite e o calculado é de 0,8 cm e daí podemos recomendar uma contra-flecha de 1,0 cm. desde que adotadas determinadas recomendações.

Inicialmente efetua-se o calculo do deslocamento proveniente somente do peso próprio da laje a fim de compará-lo com o deslocamento recomendado. Determina-se a diferença entre esses dois deslocamentos, denominado fcf cujo valor deverá ser menor do que a contra-flecha recomendada, assim como esse valor da contra-flecha não poderá ultrapassar o limite de:

06.05 – Exemplos:

(1) – Pede-se determinar os valores dos deslocamentos nas lajes L.201 do Edifício em estudo.

Nesse caso temos como cargas atuantes:

g (carga permanente) = 2,50 (peso próprio) + 0,80 (revestimento) = 3,3 kN/m2

q (carga acidental) = 1,5 kN/m2

p (carga total) = 3,3 + 1,5 = 4,8 kN/m2

1) Deslocamentos visíveis em elementos estruturais:

temos kx = 0,803 ↔ px = 0,803 x 4,8 = 3,85 kN/m2

cm14,1250285cm13,02065,0

333.8504.23842850385,02

I E 384 p 2f

44xx

x =≤=×=××××

=××

××=

l

2) Vibrações sentidas no piso:

temos kx = 0,803 ↔ qx = 0,803 x 1,5 = 1,20 kN/m2

350l

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6.5

cm81,0350285cm04,0202,0

333.8504.2384285012,02

I .E 384 q 2f

44xx

x =≤=×=××××

=××

××=

l

3) Efeitos em Elementos não estruturais:

Não existem alvenarias sobre a laje.

4) Contra-flecha: todas os deslocamentos atendem aos limites de Norma.

(2) – Pede-se determinar os valores dos deslocamentos nas lajes L.207 do Edifício em estudo.

Nesse caso temos como cargas atuantes:

g (carga permanente) = 2,50 (peso próprio) + 0,80 (revestimento) + 1,6 (alvenaria) = 4,9 kN/m2

q (carga acidental) = 1,5 kN/m2

p (carga total) = 4,9 + 1,5 = 6,4 kN/m2

1) Deslocamentos visíveis em elementos estruturais:

temos kx = 0,731 ↔ px = 0,731 x 6,4 = 4,68 kN/m2

cm44,1250360cm19,02098,0

333.8504.23843600468,0

I E 384 p f

44xx

x =≤=×=××

×=

×××

=l

2) Vibrações sentidas no piso:

temos kx = 0,731 ↔ qx = 0,731 x 1,5 = 1,10 kN/m2

cm02,1350360cm05,02025,0

333.8504.2384360012,0

I E 384 qf

44xx

x =≤=×=××

×=

×××

=l

3) Efeitos em Elementos não estruturais:

g (carga permanente) = 2,50 (peso próprio) + 1,6 (alvenaria) = 4,1 kN/m2

temos kx = 0,731 ↔ gx = 0,731 x 4,1 = 3,00 kN/m2

cm78,0500390063,0

333.8504.2384360030,0

I E 384 gf

44xx

x =≤=××

×=

×××

=l

4) Contra-flecha: todas os deslocamentos atendem aos limites de Norma.

Page 66: Concreto b

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6.6

(3) – Pede-se determinar os valores dos deslocamentos em uma laje retangular de 5,50 m por 5,00 m com 10 cm de espessura, simplesmente apoiada sobre os quatro lados e sujeita a uma carga uniformemente distribuída descrita abaixo:

Nesse caso temos como cargas atuantes:

g (carga permanente) = 2,50 (peso próprio) + 2,50 (revestimento) = 5,0 kN/m2

q (carga acidental) = 2,0 kN/m2

p (carga total) = 5,0 + 2,0 = 7,0 kN/m2

1) Deslocamentos visíveis em elementos estruturais:

temos

kx = 0,594 ↔ px = 0,594 x 7,0 = 4,16 kN/m2

cm00,2250500cm24,3262,1

333.8504.23845000416,05

I .E 384 5.p f

44xx

x =>=×=××××

=××

×=

l

2) Vibrações sentidas no piso:

temos kx = 0,594 ↔ qx = 0,594 x 2,0 = 1,19 kN/m2

cm42,1350500cm92,0246,0

333.8504.23845000119,05

I E 384 5.qf

44xx

x =≤=×=××××

=××

×=

l

3) Efeitos em Elementos não estruturais:

Não existem alvenarias sobre a laje

4) Contra-flecha:

No caso das cargas totais, verifica-se um deslocamento maior do que o permitido sendo possível a especificação de contra-flecha.

∆f = 3,24 – 2,00 = 1,24 cm

Podemos recomendar um contra-flecha de 1,5 cm, desde que:

cm58,0333.8504.2384500594,0025,05

I E 384 p5f

44xp

x =××

×××=

××××

=l

fcf = 1,50 – 0,58 = 0,982 cm < 1,5 cm

10.1500550

==λ

cm50,1cm57,1350550fx >=≤

Page 67: Concreto b

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1-7

07 - Dimensionamento das Lajes

07.01 – Compensação dos Momentos Fletores Negativos:

A fim de se prosseguir com o dimensionamento de lajes, uma vez determinados os momentos fletores atuantes, é preciso efetuar-se a compensação dos momentos fletores negativos. Nesses casos, conforme já comentado anteriormente, adota-se como momento negativo em cada apoio o maior valor da média dentre eles ou o valor de 0,8 do maior dos dois momentos entre as lajes vizinhas.

No caso do prédio que estamos analisando, a compensação dos momentos pode ser feita da seguinte maneira:

H=10L.208L.207

H=10

L.202H=10H=10

L.201

M=1,79

X=3

,91

X=3

,91

X=3

,78

X=3

,25

X=5,05X=5,05 X=4,79

X=4,79

X=5,05X=1,94 X=1,94

X=0

M=1,79

M=1,56 M=1,64M=2

,08

M=2

,09

M=0

,90

M=0

,90

X=4,04 X=1,55

X=4,79X=5,05

X=3

,51

X=3

,91

No caso dos momentos positivos, esses serão os mesmos valores calculados pelas Tabelas de Marcus. Para os momentos negativos, subscrevem-nos dentro do círculo e, em seguida, efetuamos a consolidação desses momentos adotando-se a metodologia já descrita do maior valor dentre a média dos momentos negativos das lajes adjacentes ou 0,8 do maior momento negativo calculado. Assim sendo, escrevemos em anexo aos círculos, os valores que nos servirão para o dimensionamento dos momentos negativos.

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2-7

07.02 – Cálculo das Armaduras:

Uma vez estabelecidos os momentos atuantes sobre as lajes, pode-se prosseguir, agora, determinando-se as armaduras necessárias essas lajes a fim de combater os esforços atuantes.

O dimensionamento à flexão de lajes é feito a partir da consideração de uma seção retangular unitária, ou seja, b x h, onde b é a largura – adotada igual a 100 cm. – e h é a altura da laje. A armadura uma vez estabelecida é alocada ou distribuída nessa faixa de 100 cm. Daí sempre estabelecermos as armaduras das lajes em cm2/m.

Entretanto, a fim de se calcular as armaduras necessárias, estaremos nos utilizando, à partir das alturas das lajes, a altura útil (d). Tendo em vista que as armaduras são colocadas de maneira sobreposta, ou seja, a armadura correspondente ao maior momento fletor deve ser sempre a armadura inferior, enquanto que a armadura correspondente ao menor momento fletor deverá ser colocada sobre a primeira, teremos de efetivar os cálculos a partir de alturas úteis diversas para o caso dos momentos fletores positivos, enquanto que para os momentos fletores negativos, estaremos adotando sempre uma só condição.

h

dy dx

Asx

Asy

h

b=100 cm.

c

�y

�x

dx dy

Dessa maneira, adotando-se que sempre Mx deverá ser maior que My, adotaremos dx também maior do que dy e, de acordo com afigura, teremos:

Onde:

c = cobrimento das armaduras

Φx = diamentro da armadura Asx

Φy = diamentro da armadura Asy

Nas lajes usuais de edificios, podemos adotar, conforme já verificado, c = 2 cm.

2chdye

2chd y

xx

−φ−−=φ

−−=

cm0,12hdecm5,0chd yx −−=−−=

Page 69: Concreto b

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3-7

As armaduras devem respeitar determinados valores mínimos recomendados pela NBR 6118, onde:

VALORES MÍNIMOS PARA ARMADURAS

ARMADURAS NEGATIVAS ρs ≥ ρmin

ARMADURAS POSITIVAS DE LAJES ARMADAS EM CRUZ

ρs ≥ 0,67 ρmin

ARMADURA POSITIVA (PRINCIPAL) DE LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO

ρs ≥ ρmin

ARMADURA POSITIVA (SECUNDÁRIA) DE LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO

ρs ≥ 20% As principal

ρs ≥ 0,50 ρmin

ρs ≥ 0,90 cm2/m

VALORES MÍNIMOS PARA ARMADURAS (ρmin)

fck 20 25 30 35 40 45 50

CA-50 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

CA-60 0,150 0,150 0,150 0,168 0,192 0,216 0,240

Quanto ao espaçamento das armaduras, esses deverão seguir a configuração da tabela anexa, procurando-se, à medida do possível, adotar valores cujo espaçamento mínimo seja de 7,5 cm., a fim de facilitar a concretagem das lajes e, o espaçamento máximo deve ser limitado a 20 cm. ou 2 x h para a armadura principal. A bitola mínima a ser utilizada deve ser de 5 mm e a máxima bitola não deve ultrapassar a um décimo da espessura da laje.

Para o cálculo das armaduras, vamos nos utilizar das tabelas de kc e ks, para que se possa determinar as bitolas a serem utilizadas, assim como o espaçamento a ser adotado entre as barras.

035,0ff

hbAe

hbA

minyd

cdmin

w

min,smin

w

ss =⇔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

××= ωω=ρρ

Page 70: Concreto b

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4-7

O método a ser utilizado consiste em:

• Determinar o momento fletor de cálculo, ou seja, o valor de Md que deverá ser o valor Mk – determinado pelas Tabelas de Marcus – multiplicado pelo coeficiente de ponderação já estabelecido anteriormente. Assim:

• Em seguida calcula-se o valor do coeficiente kc:

• Conhecidos os materiais concreto e aço e o valor de kc, obtém-se na tabela anexa (7.01) o valor de ks e, a partir desse calcula-se a armadura necessária:

• Na Tabela anexa (7.02) escolhemos a diâmetro das barras e o espaçamento.

fkd MM γ×=

cm100bcomM

dbk wd

2w

c =×

=

dMkA

MdAk ds

sd

ss

×=⇒

×=

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5-7

VALORES DE KC e KS PARA AÇOS CA-25, CA-50 e CA-60 – TABELA 7.01

FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES KC KS

C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA25 CA50 CA60

DOM.

0,01 137,8 103,4 82,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,046 0,023 0,019 0,02 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,019 0,03 46,3 34,7 27,8 23,2 19,8 17,4 15,4 13,9 0,0,47 0,023 0,019 0,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,0,47 0,023 0,019 0,05 28,0 21,0 16,8 14,0 12,0 10,5 9,3 8,4 0,0,47 0,023 0,020 0,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,0,47 0,024 0,020 0,0,7 20,2 15,1 12,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,0,47 0,024 0,020 0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,020 0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,048 0,024 0,020 0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,020 0,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,024 0,020 0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4,2 3,7 3,3 0,049 0,024 0,020 0,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,020 0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4,2 3,7 3,2 2,9 0,049 0,024 0,020 0,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,020 0,17 8,7 6,5 5,2 4,3 3,7 3,2 2,9 2,6 0,049 0,025 0,0,21 0,18 8,02 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,050 0,025 0,0,21 0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4 2,9 2,6 2,3 0,050 0,025 0,0,21 0,20 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,050 0,025 0,0,21 0,21 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1 2,7 2,4 2,1 0,050 0,025 0,0,21 0,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,050 0,025 0,0,21 0,23 6,6 4,9 3,9 3,3 2,8 2,5 2,2 2,0 0,051 0,025 0,0,21 0,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,051 0,025 0,0,21 0,25 6,1 4,6 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 0,051 0,026 0,0,21 0,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,051 0,0,26 0,0,21

2

0,27 5,7 4,3 3,4 2,8 2,4 2,1 1,9 1,7 0,052 0,026 0,0,21 0,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,0,26 0,022 0,29 5,4 4,0 3,2 2,7 2,3 2,0 1,8 1,6 0,052 0,026 0,022 0,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,0,26 0,022 0,31 5,1 3,8 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7 1,5 0,0,53 0,026 0,022 0,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,0,53 0,0,26 0,022 0,33 4,8 3,6 2,9 2,4 2,1 1,8 1,6 1,4 0,0,53 0,0,26 0,022 0,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,0,53 0,0,27 0,022 0,35 4,6 3,4 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,4 0,0,53 0,0,27 0,022 0,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,0,27 0,022 0,37 4,4 3,3 2,6 2,2 1,9 1,6 1,5 1,3 0,054 0,0,27 0,022 0,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,0,27 0,023 0,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,0,27 0,023 0,42 3,9 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,0,55 0,028 0,023 0,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,023

3

0,45 3,7 2,8 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,023 0,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,0,56 0,028 0,023 0,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,0,57 0,028 0,024 0,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,0,58 0,029 0,024 0,62 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,058 0,029 0,024 0,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,029 0,024 0,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,059 0,030 0,025 0,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,060 0,030 0,025 0,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,030 0,025 0,62 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,025 0,63 2,9 2,2 1,7 1,5 1,2 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,026 0,64 2,9 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,9 0,062 0,031 0,026 0,66 2,8 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063 0,031 0,026 0,70 2,7 2,0 1,6 1,4 1,2 1,0 0,9 0,8 0,064 0,032 0,027 0,74 2,6 2,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,065 0,033 0,027 0,77 2,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,066 0,033 0,028

4

dxβx=

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6-7

ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL DE ARMADURA PARA LAJES

TABELA 07.02

(cm2/m)

BITOLAS PADRONIZADAS BITOLAS (Ø)

ESPAÇAMENTO 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5

7,0 1,14 1,79 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86

7,5 1,07 1,67 2,67 4,20 6,67 10,67 16,67

8,0 1,00 1,56 2,.50 3,94 6,25 10,00 15,63

8,5 0,94 1,47 2,35 3,71 5,88 9,41 14,71

9,0 0,89 1,39 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89

9,5 0,84 1,32 2,11 3,32 5,26 8,42 13,16

10,0 0,80 1,25 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50

11,0 0,73 1,82 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36

12,0 0,67 1,67 1,67 2,62 4,17 6,67 10,42

12,5 0,64 1,60 1,60 2,52 4,00 6,40 10,00

13,0 0,62 1,54 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62

14,0 0,57 1,43 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93

15,0 0,53 0,83 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33

16,0 0,50 0,78 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81

17,0 0,47 0,74 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35

17,5 0,46 0,71 1,14 1,80 1,75 4,57 7,14

18,0 0,44 0,69 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94

19,0 0,42 0,66 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58

20,0 0,40 0,63 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25

21,0 0,38 0,60 0,95 1,50 2,38 3,81 5,95

22,0 0,36 0,57 0,91 1,43 2,27 3,64 5,68

23,0 0,35 0,54 0,87 1,37 2,17 3,48 5,43

24,0 0,33 0,52 0,83 1,31 2,08 3,33 5,21

25,0 0,32 0,50 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00

26,0 0,31 0,48 0,77 1,21 1,92 3,08 4,81

27,0 0,30 0,46 0,74 1,17 1,85 2,96 4,63

28,0 0,29 0,45 0,71 1,12 1,79 2,86 4,46

29,0 0,28 0,43 0,69 1,09 1,72 2,76 4,31

30,0 0,27 0,42 0,67 1,05 1,67 2,67 4,17

Page 73: Concreto b

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7-7

07.03 – Verificação da fissuração:

De acordo com o estabelecido pela NBR 6118, a fissuração de elementos estruturais de concreto armado é inevitável, devido à grande variabilidade e à baixa resistência do concreto à tração (...) Visando obter bom desempenho relacionado à proteção das armaduras quanto à corrosão e à aceitabilidade sensorial dos usuários, busca-se controlar a abertura dessas fissuras.

Tendo em vista um dos principais objetivos da NBR 6118, conforme já vimos, é o de proporcionar uma durabilidade considerável às estruturas de concreto, a abertura máxima característica wk das fissuras, não deverá exceder o valor de 0,3 a 0,4 mm, sob a ação das condições freqüentes.

As ações freqüentes mais desfavoráveis nos levam à condição de adotarmos para o momento fletor positivo: Mx = Mx[g] + 0,7 Mx[q], sendo que essa verificação poderá ser efetuada para a laje cujas condições em um certo pavimento, se apresente a mais desfavorável.

A abertura dessas fissuras pode ser determinada através da equação:

Onde:

ηb = coeficiente de conformação superficial (1,00 para aços lisos e 1,5 para aços de alta aderência)

07.04 – Verificação do cisalhamento:

De uma maneira geral, as armaduras transversais ou de cisalhamento podem ser dispensadas nos casos das lajes, quando na verificação do concreto temos:

.mm3,0454E5,12

wrs

s

b≤⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+×=

ρηφ σ

⎪⎩

⎪⎨⎧

×=

=⇒=

×=⎥

⎤⎢⎣

×+−

×=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

××=

α

ρρα

α

ρ

σ

)cm/kN(f560E

cm/kN000.21E

EE

dbAonde21

bAxe

A3xd

M

hb25,0A

2ckc

2s

c

se

sd

de

es

s

xks

sr

wdkfd

1rddbV

dbV ττ =

××

≥γ

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8-7

A tensão limite do concreto, por sua vez, pode ser determinada por:

Onde:

d = altura útil da laje em metros

Os casos de cisalhamento em lajes também, assim como no caso da fissuração, devem ser calculados para a pior condição de trabalho, ou seja, para a maior reação de apoio das lajes consideradas. Se, nesse caso, a pior condição de trabalho atende à consideração de cisalhamento, as demais lajes também atenderão.

Para atendermos ao calculo do cisalhamento é preciso dispormos das reações de apoio das lajes, conforme segue abaixo, estabelecendo-se para efeito de calculo, a soma das reações, ou seja, das reações provenientes das cargas permanentes (à direita) somadas às reações das cargas acidentais (à esquerda).

L.201H=10 H=10

L.202

H=10L.207 L.208

H=10

0,99/0,45 0,99/0,45

1,65/0,751,65/0,75

6,45/1,97 4,60/2,06

2,76/1,246,45/1,97

1,67

/0,5

1

3,21

/0,9

83,

22/1

,44

1,93

/0,8

6

2,82

/1,2

9

4,72

/2,1

44,

72/2

,14

2,82

/1,2

9

q3 ck1rd )d6,1()500,1(f α×ρτ ×−××+×= l

traçãodeallongitudinarmaduradetaxa02,0db

As→≤

×=ρ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⇒≤⇒=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×−

= =αα xqq20

d17,0asdistribuídasargcparad31

14,0

apoioaoparalelaslinearesasargc097,0

lll

l

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9-7

07.05 – Disposição das Armaduras:

Com relação à disposição das armaduras, o primeiro item que deve ser analisado, embora de maneira superficial, pois estaremos desenvolvendo mais à frente toda a teoria, é com relação à ancoragem das armaduras nos apoios das lajes, ou seja, estabelecer-se um comprimento tal que o esforço da barra de aço possa ser transferido ao concreto.

No caso da flexão simples, como ocorre nas lajes em analise, as barras que compõem a armadura de tração devem ser ancoradas nos apoios para resistir a um esforço de:

A armadura, portanto, para absorver esse esforço deve ser:

Para comprimento de ancoragem básico de:

Onde k = 1,00 para barras nervuradas (CA50); k = 0,62 para barras entalhadas (CA60) e k = 0,44 para barras lisas (CA25), e fbd = resistência de cálculo da aderência.

O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

O segundo item a ser analisado é com relação à ancoragem das armaduras negativas compostas por somente uma barra, muito embora possam haver outras composições com duas barras, que podem ser devidamente ancoradas seguindo-se o esquema abaixo:

dsd VdaR ×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

l

yd

sdcal,s

fRA =

.cm10ou10;3,0e)f(k42,0fparaf4f

bmin,b3/2

cdbdbd

ydb φ≥××=

××

=φ lll

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

×=

=

lajedaútilalturad

tocisalhamendearmadurasemlajesparad5,1a

tetancoresforçoVd

l

a1a1

Mom

ento

al

0,25l0,25l

⎪⎩

⎪⎨

→→=

→=≥××=

αα

αganchocombarras70,0

ganchosembarras00,1fA

Amin,b

e,s

calc,sbnec,b lll

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10-7

Onde podemos adotar o comprimento a1 da seguinte maneira:

Com relação à disposição das armaduras, as barras negativas (superiores) seguem alocação de acordo com sua ancoragem e as barras positivas (inferiores) podem seguir esquema abaixo, muito embora adote-se freqüentemente todas as barras das armaduras positivas ancoradas nos elementos de apoio:

0,85 lx

0,85

ly

0,85

ly

0,85 lx

0,70

ly

0,70 lx

Finalizando o item da disposição das armaduras, é importante se destacar a necessidade de armaduras de canto. Nos casos das lajes formadas por duas bordas simplesmente apoiadas, há uma tendência de haver a atuação dos denominados momentos volventes (torçores), para os quais existe a necessidade de se dispor de uma armadura especial, denominada armadura de canto. Essas armaduras deverão ter uma área de armadura, pelo menos igual à metade da área da armadura no centro da laje, na direção mais armada. As barras que compõem essa armadura de canto, deverão se estender até uma distancia de 1/5 do menor vão da laje, medida das faces dos apoios e essas armaduras deverão ser colocadas tanto na face superior quanto na face inferior. Assim sendo, as armaduras de canto sempre serão compostas por barras negativas e positivas, sendo que as barras negativas devem ser dispostas paralelas à bissetriz do ângulo do canto, enquanto que as barras positivas deverão ser perpendiculares às negativas.

φ+×≥ + 1025,0ouaa b1 lll

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

×=

φ barradadiâmetro

ancoragemdeocompriment

d5,1a

bl

l

Page 77: Concreto b

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11-7

Ly

Lx

Lx/5Lx

/5

Lx/5

Lx/5

Lx

Ly

ARMADURA NEGATIVA ARMADURA POSITIVA

07.06 – Cálculo das Lajes:

a) Cálculo das armaduras das lajes L.201 (H=10 cm)

Teremos as alturas úteis definidas como: dx = 7,5 cm e dy = 7,0 cm

Armadura mínima negativa: ρs = 0,15% x 100 x 10 = 1,50 cm2/m

Armadura mínima positiva: ρs = 0,67 x 0,15% x 100 x 10 = 1,01 cm2/m

Momento principal: Mk = 1,79 kN.m → Md = 1,4 x 1,79 x 100 = 250,6 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,02

Portanto:

Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:

As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5 (As = 1,14 cm2/m)

Momento secundário: Mk = 0,90 kN.m → Md = 1,4 x 0,90 x 100 = 126 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,019

Portanto:

46,226,2505,7100k

2c =

×=

m/cm67,05,7

6,25002,0A 2s =

×=

89,38126

7100k2

c =×

=

m/cm34,07

126019,0A 2s =

×=

Page 78: Concreto b

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12-7

Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:

As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5

Momento negativo entre L.201 e L.202:

Mk = 3,91 kN.m → Md = 1,4 x 3,91 x 100 = 547,4 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,020

Portanto:

Adotamos como armadura negativa a mínima de Norma, ou seja:

As = 1,50 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 12,5

b) Cálculo das armaduras da laje L.207 (H=10 cm)

Teremos as alturas úteis definidas como: dx = 7,5 cm e dy = 7,0 cm

Armadura mínima negativa: ρs = 0,15% x 100 x 10 = 1,50 cm2/m

Armadura mínima positiva: ρs = 0,67 x 0,15% x 100 x 10 = 1,01 cm2/m

Momento principal: Mk = 2,09 kN.m → Md = 1,4 x 2,09 x 100 = 292,6 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,02

Portanto:

Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:

As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5

Momento secundário: Mk = 1,56 kN.m → Md = 1,4 x 1,56 x 100 = 218,4 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,02

Portanto:

28,104,5475,7100k

2c =

×=

m/cm46,15,7

4,547020,0A 2s =

×=

36,196,2905,7100k

2c =

×=

m/cm78,05,7

6,29202,0A 2s =

×=

44,224,2187100k

2c =

×=

m/cm62,07

4,21802,0A 2s =

×=

Page 79: Concreto b

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13-7

Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:

As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5

Momento negativo máximo:

Mk = 5,05 kN.m → Md = 1,4 x 5,05 x 100 = 707 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,020

Portanto:

Adotamos como armadura negativa → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 10

Momento negativo mínimo (L.207/L.208):

Mk = 3,51 kN.m → Md = 1,4 x 3,51 x 100 = 491,4 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,020

Portanto:

Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:

As = 1,50 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 12,5 = 1,60 cm2/m

Momento negativo mínimo (L.207/L.201):

Mk = 4,04 kN.m → Md = 1,4 x 3,51 x 100 = 565,6 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,020

Portanto:

Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:

As = 1,50 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 12,5 = 1,60 cm2/m

96,7707

5,7100k2

c =×

=

m/cm89,15,7

707020,0A 2s =

×=

45,114,4915,7100k

2c =

×=

m/cm31,15,7

4,491020,0A 2s =×

=

95,96,5655,7100k

2c =

×=

m/cm51,15,7

6,565020,0A 2s =×

=

Page 80: Concreto b

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14-7

c) Cálculo das armaduras da laje L.208 (H=10 cm)

Teremos as alturas úteis definidas como: dx = 7,5 cm e dy = 7,0 cm

Armadura mínima negativa: ρs = 0,15% x 100 x 10 = 1,50 cm2/m

Armadura mínima positiva: ρs = 0,67 x 0,15% x 100 x 10 = 1,01 cm2/m

Momento principal: Mk = 2,08 kN.m → Md = 1,4 x 2,08 x 100 = 291,2 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,02

Portanto:

Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:

As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5

Momento secundário: Mk = 1,64 kN.m → Md = 1,4 x 1,56 x 100 = 229,6 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,02

Portanto:

Adotamos a armadura mínima de Norma, ou seja:

As = 1,01 cm2/m → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 17,5

Momento negativo máximo:

Mk = 4,79 kN.m → Md = 1,4 x 4,79 x 100 = 670,6 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA60 → ks = 0,020

Portanto:

Adotamos como armadura negativa → Tabela 07.02 → 1 Φ 5 c/ 10

m/cm78,05,7

2,29102,0A 2s =

×=

34,216,2297100k

2c =

×=

m/cm66,07

6,22902,0A 2s =

×=

39,86,6705,7100k

2c =

×=

m/cm79,15,7

6,670020,0A 2s =

×=

32,192,2915,7100k

2c =

×=

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15-7

d) Verificação da fissuração:

Conforme estabelecido anteriormente, estaremos verificando a fissuração para a pior condição de momentos positivos, e a laje que nos oferece as condições mais desfavoráveis é a L.207. Assim sendo teremos: Mx = Mx[g] + 0,7Mx[q]

Ao calcularmos os momentos fletores dessa laje, verificamos que sua carga permanente [g] é de 4,9 kN/m2 e sua carga acidental [q] é de 1,5 kN/m2 e também pela Tabela de Marcus temos mx = 39,74. Dessa maneira:

Para Φ = 5 mm e ŋb = 1,5, teremos:

Portanto, não existe fissuração excessiva nas lajes.

e) Verificação do cisalhamento:

Assim como no caso da fissuração, estaremos verificando o cisalhamento para o caso mais desfavorável que também vem a ocorrer na L.205, pois teremos aí a maior reação de apoio: Vk = 6,45 + 1,97 = 8,42 kN/m = 8420 N/m

A tensão limite do concreto, por sua vez, pode ser determinada por:

m.kN94,174,39

60,35,17,074,3960,39,4M

22x =

××+

×=

cm11,10015,039,8

21100

39,814,1x =⎥⎦

⎤⎢⎣

×+−

×=

39,8504.220560Eecm/kN000.21EEE

ec2

sc

se =⇔=×==⇔=α α

0015,05,7100

14,1db

A0046,01010025,0

14,1hb25,0

Ax

sd

sr =

×=

×=→=

××=

××= ρρ

2s cm/kN86,23

14,1311,15,7

194=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

.mm3,0028,0450046,04

000.2186,23

5,15,125,0w ≤=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +×

×=

22dfwd cm/N72,15m/N153.157

075,0184204,1

dbV

==××

=××

=γτ

2231rd cm/N72,15cm/N90MPa90,017,0)075,06,1()60,3100156,0500,1(20 >==×−×××+×=τ

17,0cm5,7d1820

36020

e100152,0

5,710014,1

dbA

qxsx

=⇒=>===×

= αρ l

Page 82: Concreto b

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16-7

Tendo em vista que as tensões admissíveis são superiores às tensões atuantes, podemos concluir que não há necessidade de armadura de cisalhamento nas lajes.

f) Ancoragem das barras:

A armadura, portanto, para absorver esse esforço deve ser:

Comprimento de ancoragem básico:

Assim sendo, o comprimento de ancoragem necessário será de 10 cm. compatível com as vigas com espessura de 14 cm.

m/cm34,0

15,160

68,17A 2cal,s ==

.cm10ou.cm105,010;cm95,74,263,0min,b =×=×≥l

cm40,26)4,1

20(62,042,0fparaf417,525

b3/2

bdbd

b =⇒××=×

×= ll

kN68,1742,84,15,7

5,75,1Rsd =×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

=

.cm40,26.cm87,714,134,040,2600,1nec,b <=××=l

Page 83: Concreto b

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17-7

Ø 5 c/17,5Ø 5 c/17,5

Ø 5 c/17,5Ø 5 c/17,5

Ø 5

c/1

7,5

Ø 5

c/1

7,5

Ø 5

c/1

7,5

Ø 5

c/1

7,5

ARMADURA NEGATIVA

Ø 5 c/12,5

Ø 5 c/12,5

Ø 5

c/1

5 c

/10

Ø 5

c/1

0

Ø 5

c/1

0

L.201 L.202

L.208L.207

L.201 L.202

L.208L.207

ARMADURA POSITIVA

Page 84: Concreto b

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1-8

08 - Marquises e Escadas

08.01 – Marquises ou Lajes em balanço:

Marquises ou Lajes em balanço, são aquelas que se projetam para fora do edifício, tendo como apoio apenas em um dos seus lados sendo o outro lado sem qualquer tipo de apoio, ou seja, em balanço. Essas lajes são sempre calculadas a partir das equações elementares da Resistência dos Materiais para peças em balanço, a fim de se determinar os momentos fletores assim como os esforços de cisalhamento.

Sendo uma estrutura do tipo isostática, qualquer que seja a falha na região do apoio faz com que esse tipo de estrutura sofra colapso estrutural de maneira praticamente imediata. Daí a necessidade de sempre se tomar cuidados especiais no seu dimensionamento, no que diz respeito aos esforços assim como quanto às deformações.

08.02 – Cargas Atuantes nas Marquises:

Para efeito de cargas atuantes, valem as mesmas definidas para as demais lajes, no que se refere às cargas distribuídas. Assim sendo, se tivermos para essa laje uma utilização residencial, tomaremos as cargas para esse fim.

Entretanto, em vista de que essas lajes têm uma extremidade em balanço, é bastante comum que nessa extremidade sejam colocadas cargas adicionais, tais peitoris de alvenaria ou mesmo gradis metálicos, assim como vigas testeiras de concreto armado, cuja finalidade seria a de arrematar forros de madeira a fim de esconder possíveis drenagens de águas pluviais ou mesmo por razoes arquitetônicas.

Nesses casos a NBR 6120 prevê que para as cargas em “balcão”, deverão ser previstas alem das cargas distribuídas convencionais, ao longo dos parapeitos uma carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical de 2 kN/m, tais como indicadas na figura abaixo:

2 kN/m

0,8 kN/mMARQUISE

L balanço

PEITORIL

VIGA DE APOIO

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2-8

08.03 – Esforços Atuantes nas Marquises:

Conforme já mencionado, os esforços atuantes de flexão e de cisalhamento, assim como as deformações nas marquises, deverão ser determinadas pelas equações da Resistência dos Materiais. Assim sendo:

LAJES EM BALANÇO

TIPO REAÇÕES DE APOIO

MOMENTO FLETOR DEFORMAÇÃO (FLECHA)

PxPy

H pe

itoril

f

L balanço

p

Onde:

p = carga distribuída

Px = carga vertical do peitoril + testeiras + alvenarias ou gradis

Py = carga vertical para balcão.

Uma vez determinados os esforços de flexão e cisalhamento, os demais procedimentos para dimensionamento das marquises prossegue da mesma maneira como se processa o dimensionamento das lajes maciças convencionais, ou seja, a partir dos esforços calculados, tomam-se os valores das Tabelas de kc e ks. Quanto ás armaduras, essas devem ser dispostas corretamente, levando-se em conta que o momento principal calculado para as marquises é negativo, a armadura principal deve ser disposta como armadura negativa e as demais devem seguir as regras de armaduras mínimas já convencionadas.

A disposição das armaduras negativas deverá ter seu comprimento determinado a partir do comprimento do balanço. Sendo l o comprimento da barra no balanço, o comprimento total do trecho horizontal da barra será igual a 2,5 l.. Havendo qualquer tipo de rebaixo, muito comum nesses tipos de lajes, em especial nos edifícios residenciais a fim de se evitar a entrada de água para o interior da unidade residencial, as armaduras deverão ser dispostas de maneira

xPpR +×= l hPP2

pX yx2

×+×+×

= ll

IE3P

IE8pf

34

×××

×××

= + ll

125f l≤

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3-8

a proporcionar o engastamento necessário. Os desenhos abaixo especificam tais procedimentos:

08.04 – Exemplo Prático de Marquise:

Desenvolver o cálculo da laje em balanço da varanda do apartamento apresentado como projeto padrão, tendo como vão o valor de 1,20 m..

Inicialmente devemos admitir as cargas atuantes na laje em questão. Para efeito de peso próprio, adotaremos a laje com espessura de 10 cm, assim como as demais; como revestimento, os valores também serão os mesmos anteriores; as cargas de peitoril serão adotadas as recomendas pela NBR 6120, acrescidas do peso de uma mureta de alvenaria em blocos de concreto com espessura nominal de 9 cm. e altura de 1,10 m. A alvenaria da mureta lateral deverá ter sua carga dividida pela área da laje.

Carga permanente [g] = peso próprio + revestimento + alvenaria lateral =

2,5 kN/m2+0,8 kN/m2+(1,7x1,1x1,2/2,2x1,1=0,93 kN/m2) = 4,23 kN/m2

Carga acidental [q] = 3,0 kN/m2 (terraços com acesso ao público) Cargas de balcão: Px = 2,0 kN/m + (1,7 x 1,10)kN/m = 3,87 kN/m.

Carga de balcão: Py = 0,8 kN/m.

Calculo dos esforços:

Cálculo da armadura: Mk = 10,73 kN.m→ Md = 1,4x10,73x100 = 1.502 kN.cm

Adotamos como armadura negativa 1Φ 8 c/10 = 5,00 cm2

1,5L L

ARMADURAS SECUNDÁRIAS(DISTRIBUIÇÃO)

ARMADURA PRINCIPAL

LAJES COM REBAIXO

H

1,5L LH

(DISTRIBUIÇÃO)ARMADURAS SECUNDÁRIAS

ARMADURA PRINCIPAL

LAJES EM NÍVEL

m/kN55,1287,32,1)0,323,4(R x =++=

kN.m10,731,10,81,23,872

1,23,0)(4,23X2

=×+×+×+

=

cm96,0125120

125cm19,0

333.8504.23

312087,3333.8504.28

120100

0,323,4

f

4

==<=××

×××

×+

= +⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

l

m/cm41,45,7

502.1022,0A022,0k75,3502.1

5,7100k 2ss

2c =

×=→=→=

×=

Page 87: Concreto b

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4-8

08.05 – Escadas:

Somente estarão sendo analisadas, nesse tópico, escadas usuais, pois as especiais ou de comportamento diferenciado não serão aqui estudadas.

Um dos fatores, embora não estrutural, preponderante no dimensionamento das escadas se refere ao seu conforto de uso e, para isso, se faz necessário que seja verificada e satisfeita a relação p + 2e = 60 a 64 cm., onde p representa a dimensão do piso ou passo, enquanto e refere-se à altura do degrau ou espelho.

Não menos importante do que a relação especificada acima, também nos detemos na altura livre (hl), ou seja, a altura entre o elemento superior mais próximo (viga, laje forros) e a linha de união entre os vértices das arestas superiores dos degraus, conforme indica o desenho abaixo, devendo ser superior a 2,10 m.:

Lv

e

p

hl>210

ESTRUTURA SUPERIOR

H

Onde:

H = altura da laje (seguem-se os mesmos parâmetros já apresentados para lajes)

Lv = altura do desnivel a ser vencido

08.06 – Cargas Atuantes em Escadas:

Para efeito de cargas atuantes, valem as mesmas definidas para as demais lajes, no que se refere às cargas distribuídas. Assim sendo, se tivermos para essa laje uma utilização residencial, tomaremos as cargas para esse fim.

Page 88: Concreto b

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5-8

A primeira consideração com relação às cargas, nos diz respeito à avaliação do peso próprio das escadas, já que as mesmas por possuírem degraus, cujos enchimentos são, em geral, executados com o próprio concreto mas, em algumas circunstancias também pode ser em alvenaria, aumentam o peso destas. Nesses casos, toma-se para peso próprio, então, o somatório da carga de peso da laje, determinado como das outras vezes, e do peso dos degraus. Para que se determine o peso dos degraus, toma-se a média da altura dos degraus (e/2) e multiplica-se pelo peso especifico do material que se está utilizando, concreto ou alvenaria.

Tomemos a escada:

1o. Caso – degraus em concreto

1-1) peso próprio da laje = 25 kN/m3 x 0,12 = 3 kN/m2

1-2) enchimento do degrau em concreto:

peso do degrau = 25 kN/m3 x 0,09 = 2,25 kN/m2

1-3) peso próprio total = 3 + 2,25 = 5,25 kN/m2

2o. Caso – degraus em alvenaria de tijolos de barro

1-1) peso próprio da laje = 25 kN/m3 x 0,12 = 3 kN/m2

1-2) enchimento do degrau em concreto:

peso do degrau = 16 kN/m3 x 0,09 = 1,44 kN/m2

1-3) peso próprio total = 3 + 1,44 = 4,44 kN/m2

Para os revestimentos, podemos tomar os mesmos valores já anotados anteriormente, variando entre 0,8 kN/m2 e 1,2 kN/m2, a menos que se utilize de materiais mais pesados tais o mármore ou granito, devendo, nessas ocasiões singulares, determinar-se o peso do revestimento pela espessura das pedras a serem utilizadas.

Para efeito das cargas acidentais, tomam-se os mesmos valores utilizados para as marquises, ou seja:

• 3,0 kN/m2 para escadas com acesso publico e

• 2,0 kN/m2 para escadas sem acesso publico.

Finalizando o item das cargas, ainda teremos a inclusão das cargas provenientes de paredes, gradis ou muretas entre os lances das escadas. Assim como avaliada essa carga no caso das marquises, procede-se de maneira análoga no caso das escadas, tomando-se essas cargas lineares e transformando-as em cargas uniformemente distribuídas: verifica-se a magnitude total da carga e divide-se essa carga pela área de projeção da escada.

(NÃO ESTRUTURAL)ENCHIMENTO DO DEGRAU

18

28

12

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6-8

08.07 – Tipos Usuais de Escadas:

Embora existam diversos tipos de escadas do ponto de vista de suas considerações estruturais, tipos de apoio, etc., nesse trabalho, conforme já mencionado anteriormente, estaremos nos ocupando apenas das escadas mais usuais em edifícios residências, comerciais ou industriais. Os tipos mais usuais de escadas armadas longitudinalmente são:

• Escadas com um único lance com ou sem patamares;

• Escadas com lajes ortogonais em L;

• Escadas com lajes ortogonais em U e

• Escadas com lajes em lances adjacentes.

08.07.a) Escadas com um único lance:

Para esse tipo de escada, os esforços atuantes (reações de apoio e momento fletor) serão calculados da seguinte maneira:

E a partir da determinação dos esforços, o dimensionamento das armaduras segue o modelo das lajes anteriores.

p

L

L

ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO

ARMADURA PRINCIPAL

V.2

00

V.3

00

EM PLANTA

EM CORTE

V.300

V.200VIGA DE APOIO

VIGA DE APOIO

H

8pMe

2pR

2ll ×=

×=

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7-8

08.07.b) Escadas com um único lance e com patamares:

As disposições para esse tipo de escada são bastante variáveis, sendo que para efeito de calculo, procede-se da mesma maneira do tipo anterior, adotando-se para a determinação de esforços as mesmas equações.

Assim , os esforços seguem as equações:

Entretanto, nesses tipos de escadas com patamares há que se tomar especial cuidado com o detalhamento das armaduras positivas. Muito embora o processo de cálculo dessas armaduras se dê da mesma maneira como em todas as lajes já dimensionadas, a disposição dessas armaduras deve ser dotada de alguns procedimentos:

Onde:

lb = comprimento de ancoragem reta

c = cobrimento da armadura

p

p

p

p

APOIO

APOIO

APOIO

APOIO

APOIO

APOIO

APOIO

APOIOL L

c

H

lb

lb

ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO

ARMADURA PRINCIPAL

8pMe

2pR

2ll ×=

×=

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8-8

08.07.c) Escadas com lajes ortogonais em L:

Nesses tipos de escadas, os esforços atuantes podem ser determinados estabelecendo que um dos lances deverá ser o denominado principal que, por sua vez, recebe como apoio de parte do lance denominado secundário. A laje tida como principal, além das cargas comuns a todas as escadas, recebe na região do patamar esforços adicionais provenientes do apoio da laje adjacente.

Como esquema estrutural, podemos representa-las da seguinte maneira:

La

Ba

B b

LbB

a/2

(1 ° L A N C E )

(2°

LAN

CE

)

Lb +

Ba/

2

(1° LANCE)

(2° LANCE)

L2H

(2° LANCE)

(1° LANCE)

EM CORTE(2° LANCE)

(1° LANCE)

V.300VIGA DE APOIO

ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO

ARMADURA PRINCIPAL

V.I.200VIGA DE APOIO

H

ARMADURA DO LANCE ADJACENTE(1° LANCE)

V.300

(2° LANCE)ARMADURA DO LANCE ADJACENTE

H

H

VIGA DE APOIO

VIGA DE APOIOV.200

V.I.200

EM CORTE

EM PLANTA

V.I.

200

V.2

00

ARMADURA PRINCIPAL

ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO

L1

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9-8

As reações de apoio e os momentos fletores serão calculados admitindo-se duas lajes armadas em uma única direção, cada uma com sua carga especifica.

1o. Lance:

2o. Lance:

E a partir da determinação dos esforços, o dimensionamento das armaduras segue o modelo das lajes anteriores.

08.07.d) Escadas com lajes ortogonais em U:

8pMe

2pR

2aa ll ×

=

82

BpMe

22

BpR

2a

aa

a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×

=⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×

=ll

(2 ° L A N C E )A R M A D U R A D O L A N C E A D J A C E N T E

H

H

A R M A D U R A D E D IS T R IB U IÇ Ã O

A R M A D U R A P R IN C IP A L

E M C O R T E

H A R M A D U R A D O L A N C E A D J A C E N T E(3 ° L A N C E )

(2 ° L A N C E )

(2 ° L A N C E )

(2 ° L A N C E )

L 1

A R M A D U R A D E D IS T R IB U IÇ Ã O

A R M A D U R A P R IN C IP A L

E M C O R T E

V .I.2 0 0

V .2 0 0V IG A D E A P O IO

V IG A D E A P O IO

H

H

A R M A D U R A D O L A N C E A D J A C E N T E(2 ° L A N C E )

(1 ° L A N C E )

(1 ° L A N C E )

(1 ° L A N C E )

(2 ° L A N C E )A R M A D U R A D O L A N C E A D J A C E N T E

H

V IG A D E A P O IOV .I.2 0 0

A R M A D U R A P R IN C IP A L

A R M A D U R A D E D IS T R IB U IÇ Ã O

V IG A D E A P O IOV .3 0 0

(3 ° L A N C E )E M C O R T E

(3 ° L A N C E )

H

L 3

(3 ° L A N C E )

E M P L A N T A

V .2 0 0

V .I.2 0 0

V .3 0 0

Page 93: Concreto b

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10-8

Nesses tipos de escadas, os esforços atuantes não fogem às regras já determinadas no caso anterior e, nesse caso, podem ser determinados estabelecendo que dois lances deverão ser denominados principais que, por sua vez, recebe como apoio de parte do lance denominado secundário. As lajes tidas como principais, além das cargas comuns a todas as escadas, recebe na região do patamar esforços adicionais provenientes do apoio da laje adjacente.

Como esquema estrutural, podemos representa-las da seguinte maneira:

(3°

LAN

CE

)

(2° LANCE)

Bc

Bb

Ba(1

° LA

NC

E)

La Lc

Ba/2 Lb Bc/2

As reações de apoio e os momentos fletores serão calculados admitindo-se as três lajes armadas em uma única direção, cada uma com sua carga especifica.

1o. e 3o. Lances:

2o. Lance:

E a partir da determinação dos esforços, o dimensionamento das armaduras segue o modelo das lajes anteriores.

8pMe

2pR

2aa ll ×

=

82B

2Bp

Me2

2B

2Bp

R

2ca

aca

a ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++×

=⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++×

=ll

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11-8

08.07.e) Escadas com lajes em lances adjacentes:

É um dos modelos mais comuns de escadas e, nesses casos, os dois lances formam duas lajes distintas entre si, apoiadas em uma única direção e que não sofrem efeitos de cargas adjacentes, somente havendo, em comum, um patamar intermediário.

Como esquema estrutural, podemos representa-las da seguinte maneira:

LbLa

(1°

LAN

CE

)

Ba Bb

(2°

LAN

CE

)

(PATAMAR)ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO

(2° LANCE)

L3

H

(2° LANCE)

EM CORTE(2° LANCE)

V.300VIGA DE APOIO

ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO

ARMADURA PRINCIPAL

V.I.200VIGA DE APOIO

H

(1° LANCE)

(1° LANCE)

(1° LANCE)

(PATAMAR)ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO

H

H

VIGA DE APOIO

VIGA DE APOIOV.200

V.I.200

EM CORTE

ARMADURA PRINCIPAL

ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO

L1

V.I.200

V.200

EM PLANTA

V.300

Page 95: Concreto b

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12-8

Assim , os esforços seguem as equações:

08.08) Calculo da Escada do Edifício Modelo:

Cargas Atuantes

Peso próprio – l = 345 cm (para efeito de pré-dimensionamento das lajes de

escadas desse tipo, podemos multiplicar o valor do vão por 0,028 e, assim, podemos obter a espessura da laje) – 345 x 0,028 = 9,66 cm ↔ H = 10 cm.

Quanto aos degraus, estamos admitindo pé-direito de 280 cm., no que resultam dezesseis degraus com dezoito centímetros de altura, ou seja, 16 x 18; para efeito de alvenarias, admitimos a existência de parede entre os lances da escada como fechamento e as cargas acidentais serão as preconizadas por normas técnicas. Assim:

p.p. = 25 x 0,10 = 2,5 kN/m2

degraus: 25 x 18 / 2 = 2,25 kN/m2

alvenaria:

c. acidental = 3,00 kN/m2

Total de cargas aplicadas = 8,82 kN/m2

Cálculo das armaduras (H=10 cm)

Teremos a altura útil definida como: dx = 7,5 cm

Armadura mínima: ρx = 0,15% x 100 x 10 = 1,50 cm2/m e ρy = 0,10% x 100 x 10 = 1,00 cm2/m

Momento principal: Mk = 13,12 kN.m → Md = 1,4 x 13,12 x 100 = 1.837 kN.cm

Da Tabela 7.01 teremos para concreto C20 e aço CA50 → ks = 0,027

8pMe

2pR

2aa ll ×

=

2

esc

lvaalvalv m/kN07,145,370,2

7,110,280,2ALH

××=

γ××

06,3=837.1

5,7100=k

2xc

m×kN12,13=8

45,3×82,8=Mem/kN21,15=

245,3×82,8

=Ra2

Page 96: Concreto b

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13-8

Portanto:

ARMAÇÃO DA ESCADA

1 Ø 5 c / 20

EM CORTE

V.I.200

V.200VIGA DE APOIO

VIGA DE APOIO

10

10

(1° LANCE)

10

VIGA DE APOIOV.I.200

VIGA DE APOIOV.300

(2° LANCE)EM CORTE

10

1 Ø 8 c / 7,5

1 Ø 5 c / 20

1 Ø 5 c / 20

1 Ø 8 c / 7,5

1 Ø 5 c / 20

5,7/c81m/cm61,65,7

837.1027,0A 2s φ→=

×=

Page 97: Concreto b

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1-9

09 - Vigas

09.01 – Definições:

Como definição básica, pode-se estabelecer que vigas são “elementos lineares em que a flexão é preponderante” (NBR 6118), o que equivale a dizer que são elementos estruturais cuja predominância de solicitações se dá através da flexão, sendo, portanto, seus esforços principais os momentos fletores e as forças cortantes.

Nos edifícios correntes, a finalidade das vigas está em servir como elemento estrutural de apoio para lajes e paredes, conduzindo essas cargas até os pilares e também como elementos de composição de estruturas aporticadas.

As vinculações das vigas com os pilares podem se dar através de simples apoio, assim como através de engastamentos, quando as necessidades estruturais assim determinarem. Os vãos vencidos pelas vigas são denominados vão livre a distância entre as faces dos apoios, enquanto que o vão teórico ou vão efetivo é decorrente das dimensões dos elementos de apoio. Para edifícios de pequeno porte, em vista de que as dimensões dos pilares não são muito grandes, à exceção de algum pilar parede, pode-se trabalhar com os vãos das vigas como sendo a distancia entre seus apoios.

09.02 – Cargas Atuantes:

As cargas que atuam sobre as vigas são provenientes, em geral, das cargas verticais do seu peso próprio, das reações de apoio das lajes, das paredes de alvenaria que nelas se apóiam e também da reação de apoio de outras vigas que compõe um determinado quadro de estruturas. As primeiras cargas podem ser consideradas como sendo uniformemente distribuídas, enquanto que no caso de apoio de outras vigas, ou mesmo pilares – vigas de transição – as cargas devem ser consideradas como sendo concentradas.

a) para efeito de peso próprio, a sua avaliação será determinada pelo peso especifico do concreto multiplicado pela seção transversal da viga:

b) as reações das lajes são aquelas oriundas dos cálculos específicos desses elementos estruturais;

c) para efeito do peso das paredes apoiadas sobre as vigas, não se desconta vãos devido a portas ou janelas, a menos que esses vãos sejam maiores do que 1/3 da área total, devendo-se, nesses casos, considerar-se o peso dos caixilhos ou outro elementos de vedação, somente descontando-se da altura entre as lajes dos pavimentos, a altura da viga imediatamente acima.

cw hbPeso γ××=

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2-9

09.03 – Prescrições Gerais:

Definido pela NBR 6118/2003, a seção transversal das vigas não deverá apresentar largura menor que 12 cm. e das vigas parede, menor que 15 cm. esses limites podem ser reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições:

a) alojamento das armaduras e suas interferências com armaduras de outros elementos estruturais respeitando os espaçamentos e as coberturas estabelecidos nesta Norma;

b) lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14391.

Alguns autores propõem que geometricamente as vigas deverão manter uma relação entre vão e altura, para vigas isostáticas, de l/h ≥ 3,0 e, para vigas continuas, de l/h ≥ 2,0 em que l é o comprimento do vão teórico (dobra-se esse vão no caso de balanços) e h a altura total da viga. Ainda a relação entre a largura e a altura da seção deverá ser menor ou igual a cinco.

Quanto à disposição das armaduras nas vigas, deve-se observar a acomodação das barras dentro da seção proposta, de tal forma que bw = bs + 2c, onde bw é a largura da viga; bs a largura livre para acomodação das barras longitudinais e c o cobrimento das armaduras. Essas medidas podem ser verificadas em tabelas adiante, assim como outras dimensões mínimas que deverão ser respeitadas.

Mas, se a disposição das armaduras é importante, não menos importante são as definições das armaduras longitudinais mínimas e máximas para as seções transversais das vigas.

No primeiro caso, das armaduras mínimas, estabelece-se como critério para sua obtenção, que essa armadura longitudinal de tração mínima deva resistir a um

ALVENARIA

Hal

vena

riaH

viga

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3-9

momento fletor igual ou superior ao de ruptura da seção sem armadura, sem considerar a resistência à tração do concreto. Com base nesse principio, a NBR 6118, estabelece que o valor do momento fletor mínimo para se determinar a armadura mínima de tração, para as seções retangulares deve ser:

Dessa maneira, as taxas mínimas de armadura deverão atender à tabela abaixo:

SEÇÃO fck (Mpa)

RETANGULAR 20 25 30 35 40 45 50

ρmin (%) 0,15 0,15 0,173 0,201 0,23 0,259 0,288

Quanto à armadura longitudinal máxima, sua necessidade decorre da necessidade de se manter a dutibilidade da estrutura, evitando-se excessiva concentração de armaduras longitudinais em determinadas partes da seção transversal. Assim, a NBR 6118 estabelece que a soma das armaduras de tração (As) e de compressão (A´s), ou seja, a armadura total da seção, As, tot, deverá ser:

Em vigas com altura superior a 60 cm, deve-se adicionar uma armadura denominada de armadura de pele, alojada nas faces laterais verticais das vigas e cuja quantidade deve ser igual 0,1%Ac = 0,001 x b x h, por face. O espaçamento recomendado para essa armadura é de 20 cm. ou a 1/3 da altura útil da seção transversal da viga.

3/2ck

2w fhb052,0M ×××=mind,

hbAsw ×

=ρmin

)hb%(4´AA wA ×≤+= sstots,

sp � p

b

h

� t

c

dd´

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4-9

TABELA 09.01 - ÁREA DE SEÇAO DE BARRAS (As) e LARGURA MÍNIMA POR CAMADA (bw)

BITOLA MASSA As (cm2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

As 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00

Br.1 - 10 12 15 18 21 23 26 29 32

5

0,16 bw

Br.2 - 10 14 17 21 24 28 31 35 38

As 0,32 0,63 0,95 1,26 1,58 1,89 2,21 2,52 2,84 3,15

Br.1 - 10 13 16 19 21 24 27 30 33

6.3

0,25 bw

Br.2 - 11 14 18 21 25 29 32 36 40

As 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

Br.1 - 10 13 16 19 22 26 29 32 35

8

0,40 bw

Br.2 - 11 15 18 22 26 30 34 37 41

As 0,8 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00

Br.1 - 11 14 17 20 24 27 30 34 37

10

0,63 bw

Br.2 - 11 15 19 23 27 31 35 39 43

As 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50

Br.1 - 11 15 18 22 25 29 32 36 39

12.5

1,00 bw

Br.2 - 12 16 20 25 29 33 37 42 46

As 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00

Br.1 - 12 16 20 23 27 31 35 39 43

16

1,60 bw

Br.2 - 12 17 22 26 31 35 40 45 49

As 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50

Br.1 - 13 17 21 25 30 34 38 43 47

20

2,50 bw

Br.2 - 13 18 23 28 33 38 413 48 53

As 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00

Br.1 - 14 19 24 29 34 39 44 49 54

25

4,00 bw

Br.2 - 14 20 25 31 36 42 47 53 58

VALORES ADOTADOS Φe = 6,3 mm e C=2,5 cm Br.1 = BRITA 1 (Φmax = 19 mm) – Br.2 = BRITA 2 (Φmax = 25 mm) eh ≥ Φl ou 2 cm – ev ≥ Φl ou 2 cm

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5-9

09.04 – Dimensionamento das Armaduras:

As armaduras das vigas sujeitas a flexão, deverão ser dimensionadas para absorver os esforços dos momentos fletores e esforços de cisalhamento.

a) Momento Fletor:

No o dimensionamento das armaduras para combater o Momento Fletor, o cálculo se faz da mesma maneira como já indicado caso das lajes, utilizando-se das Tabelas de Kc e Ks, inclusive determinando-se o valor da altura útil (d).

Onde: c = cobrimento das armaduras Φt = diâmetro da armadura transversal de cislhamento Φl = diâmetro da armadura longitudinal As

Nas vigas usuais de edificios podemos adotar: O método a ser utilizado consiste em:

• Determinar o momento limite para armadura simples:

Para Kc,lim → valor de Kc correspondente ao limite entre os domínios 3 e 4 (Tabela 9.03 – área sem sombreamento). Por exemplo, para o aço CA50 e concreto C20, teremos Kc,lim = 2,2. Para valores maiores que Md,lim, devemos aumentar a seção da viga ou utilizar armadura dupla (A´s), ou seja, armadura de compressão, cujo calculo deve ser feito conforme definido logo a seguir (Tabela 09.02).

• Para os casos de armadura simples, nos utilizamos do momento fletor de

cálculo obtido pela resolução estática da viga, ou seja, o valor de Md que deverá ser o valor Mk multiplicado pelo coeficiente de ponderação já estabelecido anteriormente. Assim:

• Em seguida calcula-se o valor do coeficiente kc:

2cdhd́ t

lφ+φ+=−=

d´d

c

� t

h

b

( ) cm5hdcm2chd −≅⇔−−=

fxkd MM γ=

d

2w

cM

dbk ×=

lim,c

2lim,d

KdbM ×

=

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6-9

• Conhecidos os materiais, concreto e aço e o valor de kc, obtém-se na tabela anexa (9.03) o valor de ks e, a partir desse calcula-se a armadura necessária:

• Na Tabela anexa (9.01) escolhemos a diâmetro das barras. • Para as armaduras duplas, teremos:

TABELA 09.02 – FLEXÃO SIMPLES – ARMADURA DUPLA

VALORES DE Ks2

AÇO CA25 CA50 CA60 AÇO

Ks2 0,046 0,023 0,019 Ks2

VALORES DE K´s

d´/h CA25 CA50 CA60 d´/h

0,05 0,046 0,023 0,019 0,05

0,10 0,046 0,023 0,019 0,10

0,15 0,046 0,023 0,021 0,15

0,20 0,046 0,027 0,027 0,20

0,25 0,046 0,041 0,041 0,25

Ks – VALOR DA TABELA 09.03

dMkA

MdAk ds

sd

ss

×=⇔

×=

lim,c

21

KdbM ×

=

1d2 MMM −=

A´s

As2

+

As1As

=

d

b

h

dMKA 1s

1s×

=d́dMKA 22s

2s−×

= d́dM´K´A 2s

s−×

=

Page 103: Concreto b

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7-9

VALORES DE KC e KS PARA AÇOS CA-25, CA-50 e CA-60 – TABELA 9,03

FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES KC KS

C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA25 CA50 CA60

DOM.

0,01 137,8 103,4 82,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,046 0,023 0,019 0,02 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,046 0,023 0,019 0,03 46,3 34,7 27,8 23,2 19,8 17,4 15,4 13,9 0,0,47 0,023 0,019 0,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,0,47 0,023 0,019 0,05 28,0 21,0 16,8 14,0 12,0 10,5 9,3 8,4 0,0,47 0,023 0,020 0,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,0,47 0,024 0,020 0,0,7 20,2 15,1 12,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,0,47 0,024 0,020 0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,048 0,024 0,020 0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,048 0,024 0,020 0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,048 0,024 0,020 0,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,048 0,024 0,020 0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4,2 3,7 3,3 0,049 0,024 0,020 0,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,049 0,024 0,020 0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4,2 3,7 3,2 2,9 0,049 0,024 0,020 0,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,049 0,025 0,020 0,17 8,7 6,5 5,2 4,3 3,7 3,2 2,9 2,6 0,049 0,025 0,0,21 0,18 8,02 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,050 0,025 0,0,21 0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4 2,9 2,6 2,3 0,050 0,025 0,0,21 0,20 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,050 0,025 0,0,21 0,21 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1 2,7 2,4 2,1 0,050 0,025 0,0,21 0,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,050 0,025 0,0,21 0,23 6,6 4,9 3,9 3,3 2,8 2,5 2,2 2,0 0,051 0,025 0,0,21 0,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,051 0,025 0,0,21 0,25 6,1 4,6 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 0,051 0,026 0,0,21 0,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,051 0,0,26 0,0,21

2

0,27 5,7 4,3 3,4 2,8 2,4 2,1 1,9 1,7 0,052 0,026 0,0,21 0,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,052 0,0,26 0,022 0,29 5,4 4,0 3,2 2,7 2,3 2,0 1,8 1,6 0,052 0,026 0,022 0,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,052 0,0,26 0,022 0,31 5,1 3,8 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7 1,5 0,0,53 0,026 0,022 0,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,0,53 0,0,26 0,022 0,33 4,8 3,6 2,9 2,4 2,1 1,8 1,6 1,4 0,0,53 0,0,26 0,022 0,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,0,53 0,0,27 0,022 0,35 4,6 3,4 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,4 0,0,53 0,0,27 0,022 0,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,054 0,0,27 0,022 0,37 4,4 3,3 2,6 2,2 1,9 1,6 1,5 1,3 0,054 0,0,27 0,022 0,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,054 0,0,27 0,023 0,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,055 0,0,27 0,023 0,42 3,9 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,0,55 0,028 0,023 0,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,056 0,028 0,023

3

0,45 3,7 2,8 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,056 0,028 0,023 0,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,0,56 0,028 0,023 0,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,0,57 0,028 0,024 0,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,0,58 0,029 0,024 0,62 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,058 0,029 0,024 0,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,059 0,029 0,024 0,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,059 0,030 0,025 0,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,060 0,030 0,025 0,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,030 0,025 0,62 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,025 0,63 2,9 2,2 1,7 1,5 1,2 1,1 1,0 0,9 0,061 0,031 0,026 0,64 2,9 2,2 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,9 0,062 0,031 0,026 0,66 2,8 2,1 1,7 1,4 1,2 1,1 0,9 0,8 0,063 0,031 0,026 0,70 2,7 2,0 1,6 1,4 1,2 1,0 0,9 0,8 0,064 0,032 0,027 0,74 2,6 2,0 1,6 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,065 0,033 0,027 0,77 2,6 1,9 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,8 0,066 0,033 0,028

4

dxβx =

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8-9

Ainda com referencia às armaduras longitudinais de vigas, quando se tratar de momentos fletores positivos e a viga tiver a contribuição de lajes de concreto adjacentes junto a sua borda superior, é possivel dispensar-se a utilização da armadura dupla, ou armadura de compressão, calculando-se essa viga como viga “T” . A solidarização da laje com a viga, permite que na borda comprimida do concreto, haja um aumento substancial dessa zona de compressão, que pode ser aproveitada para o cálculo das armaduras. A NBR 6118 estabelece que a consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma mais realista. A largura da mesada viga T (bf), ou seja, a parte da laje que será considerada no dimensionamento dessas seções deve seguir os seguintes parametros:

Onde: b2 = distância entre as faces de duas nervuras sucessivas a = vão da viga em analise, admitido sob as seguintes hipoteses: viga simplesmente apoiada → a = l

viga com engaste em uma extremidade → a = 0,75 l

viga com engaste nas duas extremidades → a = 0,60 l

viga em balanço → a = 2 l

Para o dimensionamento das vigas em “T”, devemos observar dois casos: 1) com a linha neutra dentro da mesa de compressão → y < hf nesses casos o dimensionamento pode ser efetuado considerando-se uma seçao retangular de bf x h

⎩⎨⎧

≤2

1b5,0a1,0

b

hbf

hf

b

b1b1

SEÇÃO EM "T"

h

y

b

hf

bf

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9-9

2) com a linha neutra dentro da nervura → y > hf nesses casos o dimensionamento da armadura será efetuado dividindo-se o momento fletor Md em duas parcelas:

Mdf = momento fletor equilibrado na zona de compressão pelas áreas laterais da mesa, com largura bf - b.

Mdw = momento fletor resistido pela seção retangular b x h.

A armadura total longitudinal de traçao será: As = Asf + Asw b) Cisalhamento:

A NBR 6118 estabelece que para o dimensionamento das peças lineares dois modelos de calculo, cujo principio baseia-se no modelo tradicional da treliça de Mörsch, sugerindo uma parcela da força cortante resistida por mecanismos complementares ao modelo em treliça – mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural representados por Vc:

Modelo I – considera bielas com inclinação θ = 45o

Modelo II – considera bielas comprimidas com inclinação 30o ≤ θ ≤ 45o

A figura A representa o modelo tradicional de analogia de treliça, considerando as bielas de compressão com inclinação de 45o e os banzos paralelos. Todavia, alguns resultados provenientes de ensaios comprovaram que há algumas imperfeições nessa analogia de treliça clássica, principalmente porque podem

( )yd

f

dfsf

fffcddf

f2hd

MA2hdbbhf85,0M

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×−×××=

dMKAK

MdbKMMM dws

swsdw

2cdfddw

×=⇔⇔

×=⇔−=

Figura BFigura A

Biela

Cordão comprimido

APOIO

As (longitudinal)

As (transversal)APOIO

VIGA

Ruptura As transversal

As (transversal)

As (longitudinal)

T

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10-9

ocorrer inclinações das fissuras menores que 45o. Daí a proposta da NBR 6118 de dois modelos.

A figura B, por sua vez, corresponde a uma ruína por cisalhamento decorrente da ruptura da armadura transversal (estribos). É o tipo mais comum de ruptura por cisalhamento, decorrente da insuficiência de armadura transversal que possa suportar os esforços de tração provenientes da força cortante.

Para efeitos didáticos, estaremos nos utilizando apenas do Modelo I

Nessas condições, devemos proceder o dimensionamento à força cortante verificando, inicialmente, a máxima força cortante Vsd, nas faces dos apoios que não deverá ultrapassar a força cortante ultima Vrd2, especificada pela NBR 6118 como sendo:

Onde Vsd é a força cortante solicitante de cálculo, ou seja, Vsk x γf, na face do apoio que, por motivos didáticos, estaremos adotando como sendo o próprio esforço cortante no eixo de apoio e que nos levará a uma situação a favor da segurança, visto que esse valor deverá ser pouco superior ao valor do esforço cortante na face do apoio. Vrd2, por sua vez, vem a ser a força cortante resistente de calculo, ou seja, a força máxima cortante que a peça estrutural em analise possa suportar.

Uma vez verificada a condição de que Vsd ≤ Vrd2, pode-se prosseguir o calculo da armadura transversal, satisfazendo uma segunda condição:

Onde: Vrd3 = força cortante resistente de calculo relativa à ruina por tração diagonal; Vc = força cortante resistente de calculo absorvida por mecanismos complementares ao de treliça; Vsw = parcela da força cortante absorvida pela armadura transversal.

Para o Modelo I, o calculo de Vc na flexão simples será:

Onde fctm –resistência do concreto à tração – segue os parâmetros da NBR 6118, no item 8.2.5.

No mesmo Modelo I, o cálculo de Vsw na flexão simples será:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇔××××=≤ αα

25f1dbfcd2v27,0VV ck

2v2Rdsd

swc3Rdsd VVVV +=≤

)MPa(f.21,0f3,07,0f.7,0fffdbf6,0V 3/2ck

3/2ckm,ctinf,ctk

f

inf,ctkctdctdc =××==⇔=⇔×××=

γ

( )α+α××××⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= cossenfd9,0

sAV ywd

swsw

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11-9

Onde:

Asw = área de todos os ramos da armadura transversal; ramos = numero de hastes transversais dos estribos – nas vigas comuns utilizamos estribos de dois ramos; s = espaçamento da armadura transversal; fywd = tensão na armadura transversal - Aços CA50 ou CA60 = 43,50 kN/cm2; α = ângulo de inclinação da armadura transversal (45o ≤ α ≤ 90o) – em geral adotam-se estribos verticais com α = 90o.

No cálculo da armadura transversal considera-se Vrd3 = Vsd, de onde resulta:

Vsw = Vsd – Vc

Sendo:

As peças estruturais sujeitas à flexão simples, assim como necessitam dispor de uma armadura mínima longitudinal, também necessitam de uma armadura mínima transversal, cuja taxa geométrica de armadura será:

Onde:

ρsw = taxa geométrica da armadura transversal;

fywk = resistência característica de escoamento da armadura transversal

Sendo a taxa geométrica de armadura transversal dependente das resistências do concreto e do aço, podemos determinar essa taxa mínima de acordo com a tabela abaixo:

CONCRETO – ρsw,min AÇO

C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50

CA25 0,1768 0,2052 0,2317 0,2568 0,2807 0,3036 0,3257

CA50 0,0884 0,1026 0,1159 0,1284 0,1404 0,1580 0,1629

CA60 0,0737 0,0855 0,0965 0,1070 0,1170 0,1265 0,1357

Dessa maneira, podemos determinar a força cortante relativa à taxa mínima de armadura:

ywdsw

sw fd9,0s

AV ×××⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ba90paraff2,0

sensbA

swmin,sw0

ywk

ctmswsw ×=⇔=⇔×≥

××= ρ

ααρ

ywd

csdsw

swsw

fd9,0VVa

sAa

××−

=⇔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ywdmin,swmin,sw fdb9,0V ××××= ρ

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12-9

Para o detalhamento dos estribos, a NBR 6118 estabelece que os estribos para forças cortantes podem ser fechados através de um ramo horizontal, o que equivale a dizer que as barras que formam os estribos devem ser fechadas.

Quanto aos limites dos diâmetros dos estribos, temos:

Quanto ao espaçamento máximo entre os estribos na direção longitudinal da peça estrutural, recomenda-se:

10b0,5 tmm ≤≤ φ

cm20d3,0sV67,0V

cm30d6,0sV67,0V

máx2rdsd

máx2rdsd

≤×=→>

≤×=→≤

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13-9

ÁREA DE SEÇÃO TRANSVERSAL DE ARMADURA PARA ESTRIBOS TABELA 09.04

(cm2/m)

BITOLAS PADRONIZADAS

BITOLAS (Ø) ESPAÇAMENTO3,2 4 5 6,3 8 10 12,5

7,0 1,14 1,79 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86

7,5 1,07 1,67 2,67 4,20 6,67 10,67 16,67

8,0 1,00 1,56 2,.50 3,94 6,25 10,00 15,63

8,5 0,94 1,47 2,35 3,71 5,88 9,41 14,71

9,0 0,89 1,39 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89

9,5 0,84 1,32 2,11 3,32 5,26 8,42 13,16

10,0 0,80 1,25 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50

11,0 0,73 1,82 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36

12,0 0,67 1,67 1,67 2,62 4,17 6,67 10,42

12,5 0,64 1,60 1,60 2,52 4,00 6,40 10,00

13,0 0,62 1,54 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62

14,0 0,57 1,43 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93

15,0 0,53 0,83 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33

16,0 0,50 0,78 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81

17,0 0,47 0,74 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35

17,5 0,46 0,71 1,14 1,80 1,75 4,57 7,14

18,0 0,44 0,69 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94

19,0 0,42 0,66 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58

20,0 0,40 0,63 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25

21,0 0,38 0,60 0,95 1,50 2,38 3,81 5,95

22,0 0,36 0,57 0,91 1,43 2,27 3,64 5,68

23,0 0,35 0,54 0,87 1,37 2,17 3,48 5,43

24,0 0,33 0,52 0,83 1,31 2,08 3,33 5,21

25,0 0,32 0,50 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00

26,0 0,31 0,48 0,77 1,21 1,92 3,08 4,81

27,0 0,30 0,46 0,74 1,17 1,85 2,96 4,63

28,0 0,29 0,45 0,71 1,12 1,79 2,86 4,46

29,0 0,28 0,43 0,69 1,09 1,72 2,76 4,31

30,0 0,27 0,42 0,67 1,05 1,67 2,67 4,17

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14-9

c) Decalagem das armaduras:

O dimensionamento da armadura longitudinal de flexão, é efetuado através da compatibilidade de deformações e equilíbrio de esforços da seção transversal de um modelo de barra fletida, enquanto que o dimensionamento da armadura transversal é efetuado com base no modelo análogo de treliças.

Essas diferenças de concepção tornam necessária uma compatibilização dos cálculos para que se efetue o detalhamento das armaduras que deve ser feita através de um deslocamento do diagrama de flexão de um comprimento al, por meio de uma translação paralela ao eixo da peça, no sentido mais desfavorável. Esse deslocamento al recebe o nome de decalagem, que de acordo com a NBR 6118 deverá ser:

( ) ( )

0

0

cmáx,sd

máx,sd

45ainclinadosestribosd2,0a

)90aestribos(geralmaiscasod5,0a

:dosengcotgcot1VV2

Vda

⇔≥

⇔≥

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡α−α+

−=

l

l

l

l

Diagrama corrigido

Diagrama corrigido

al al

al

alal

Mm

áx,p

ositi

vo

M m

áx n

egat

ivo

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15-9

d) Aderência e Ancoragem das armaduras:

Os elementos constitutivos do concreto armado são o concreto, o aço e a aderência. Sem que esses elementos trabalhem de maneira eficiente, o conjunto será prejudicado. A aderência é a propriedade cuja finalidade é a de impedir que haja escorregamento das barras de aço em relação ao concreto envolvente.

A ancoragem deve ser efetuada de tal maneira que os esforços a que sejam submetidas as barras de aço sejam integralmente transmitidas ao concreto, que pode ser obtida através das simples aderência entre o concreto e as barras de aço, através de dispositivos mecânicos ou ambos conjuntamente. A ancoragem por aderência ou de transmissão de esforços ao concreto, pode ser por meio de um comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho. A ancoragem com dispositivos mecânicos tem sido utilizados em obras com concreto protendido ou estruturas pré-moldadas em concreto.

A classificação da aderência pode ser considerada em três parcelas: adesão, atrito e aderência mecânica. A aderência por adesão ocorre através das ligações físico-químicas quando do processo de pega do concreto, ou seja, ao lançar-se o concreto sobre as barras de aço, passa a ocorrer, nessa interface, as ligações citadas, dando origem a uma resistência denominada de adesão. O exemplo prático nesse sentido, decorre da moldagem de um cubo de concreto sobre uma placa de aço e, uma vez estabelecido o endurecimento do concreto, há a necessidade de se aplicar uma força Rb1, que dá origem a uma força de reação de mesma intensidade e que se opõe à separação do concreto e do aço.

A aderência por atrito ocorre quando se aplica uma força Rb2 a fim de se arrancar uma barra de aço inserida dentro do concreto, cuja intensidade deverá ser maior do que a intensidade da força Rb1 por adesão. O atrito deverá se manifestar quando houver a ocorrência de um deslocamento relativo entre as

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16-9

barras de aço e o concreto. Esse atrito depende das condições de rugosidade das barras de aço, assim como da força pressão transversal Pt, exercida pelo concreto sobre as barras de aço. O coeficiente de atrito entre o aço e o concreto resulta em valores na ordem de 0,3 a 0,6.

A aderência mecânica decorre das saliências ou mossas existentes nas barras de aço. Essas saliências, existentes mesmo em barras lisas em função da rugosidade superficial, criam pontos especificos de apoio no concreto, auxiliando a evitar o escorregamento entre as barras de aço e o concreto, constituindo-se na parcela mais importante da aderência total.

Determinada a área da armadura de flexão, quando se definem as bitolas utilizadas, assim como o numero de barras que comporão a armadura, com base no diagrama deslocado, procede-se a colocação das barras projetadas.

Esse detalhamento das barras projetadas deve ser efetuado dentro das etapas conforme se segue:

• Deslocamento do diagrama de momentos fletores no comprimento al;

• Dividir as ordenadas dos momentos fletores máximos (positivos e negativos) pelo numero de barras da armadura escolhida – se escolhemos, por exemplo, quatro barras de uma determinada bitola, divide-se o diagrama em quatro partes iguais e dos pontos dessa divisão traçam-se retas paralelas ao eixo da viga;

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17-9

• A partir dos pontos de interseção dessas retas com o diagrama de momentos fletores deslocado, as barras de aço representadas devem ser ancoradas com o comprimento lb – comprimento de ancoragem das barras.

Os comprimentos de ancoragem por aderência das barras tracionadas sofrem variações em função dos tipos de aço e de concreto, assim como em função do posicionamento das barras na concretagem, pois a NBR 6118 define zonas de boa aderência e zonas de má aderência, em que se pode garantir o bom adensamento e a vibração do concreto.

Zonas de boa aderência são consideradas na totalidade nos elementos estruturais com h ≤ 30 cm, ou para elementos estruturais com h ≥ 60 cm somente os elementos localizados na faixa inferior de medida ≤ 30 cm.

Onde: B = zona de boa aderência e M = zona de má aderência.

h≤30

cm

h≤30

cm

h ≥

60 c

m B M

B

O comprimento de ancoragem básico das barras deve ser determinado através das equações:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=η→⎪⎩

⎪⎨⎧

−η

==

=×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

×η×η×η=→××φ

=

>φφφ

γ

γ

mm32para100

132(

mm32para0,1

aderênciamáderegiãopara7,0

aderênciaboaderegiãopara0,1

barradaerficialsupoconformaçãdadepende

façodoescoamentodetensãof

concreto/açoaderênciadetensãof21,0f

fff4f

)32

1

a

ykyd

3/2ck

cctd

ctd321bdbd

ydbl

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18-9

COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BÁSICO- MÚLTIPLOS DE Φ

CA50 CA60 CA25

NERVURADO η1 = 2,25

LISO η1 = 1,00

ENTALHADO η1 = 1,40

LISO η1 = 1,00

CONCRETO ZONA DE

ADERÊNCIA

RETO GANCHO RETO GANCHO RETO GANCHO RETO GANCHO

M 62 44 169 118 120 84 70 49 C20 B 44 31 118 83 84 59 59 34

M 54 38 145 102 104 73 61 42 C25 B 38 26 102 71 73 51 42 29

M 48 33 129 90 92 64 54 38 C30 B 33 23 90 63 64 45 38 27

M 39 28 106 74 76 53 44 31 C40 B 28 19 74 52 53 37 31 22

O comprimento de ancoragem necessário pode ser determinado nos casos em que a área efetiva da armadura (As,ef) é maior do que a área calculada (As, calc), uma vez que a tensões nas barras sofre uma diminuição e, assim sendo, o comprimento de ancoragem pode ser diminuído na mesma proporção. e) Ancoragem nos Apoios A NBR 6118/2003 estabelece que os esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou continuas devem ser resistidos por armaduras longitudinais que satisfaçam à mais severa das seguintes condições: 1 – no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através do dimensionamento da seção; 2 – em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão, armaduras capazes de resistir a uma força de tração Rsd:

.cm10e10;3,0entrevalormaioroé

ganchodoaonormalplanono3cobrimentocom

,ganchocomstracionadabarraspara7,0

ganchosembarraspara0,1

AA

bmin,b

1

min,bef,s

calc,sb1nec,b

φ

φα

α

×

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

≥××=

ll

lll

Page 115: Concreto b

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19-9

3 – em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento positivo do tramo (Mvão), de modo que: Em apoios extremos, as barras das armaduras devem ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimento igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

Os ganchos de extremidade das barras da armadura longitudinal de tração seguem três diferentes padrões: 1 – semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2Ø; 2 – em ângulo de 450 com ponta reta de comprimento não inferior a 4Ø; 3 – em ângulo reto com ponta de comprimento não inferior a 8Ø.

yd

sdcalc,s

d

d

ddsd

fRA

existententeeventualmetraçãodeforçaN

apoionotetancorforçaV

NVdaR

=

=

=

+×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

l

( )

( ) vãoapoioapoiovão,sapoio,s

vãoapoioapoiovão,sapoio,s

M5,0MabsolutovalordeenegativoforMseA41A

M5,0MabsolutovalordeenegativoounuloforMseA31A

>≥

≤≥

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=→+≥ φmm60

ganchodocurvaturaderaior5,5r

nec,b

min,be

l

l

8Ødb

Ø

As nec,apoio RstRstAs nec,apoio

Øc lbe

bb

lbec

2Ø4Ø

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20-9

Por sua vez, o diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao que se segue na tabela abaixo:

BITOLA (mm) CA-25 CA-50 CA-60

Ø < 20 4 Ø 5 Ø 6 Ø

Ø ≥ 20 5 Ø 8 Ø -

Para o caso de estribos, a ancoragem deve ser garantida por meio de ganchos que podem ser de três tipos diferentes: 1 – semicirculares ou em ângulo de 450 com ponta reta de comprimento igual a 5Ø e não inferior a 5cm. 2 – em ângulo reto com ponta de ancoragem maior ou igual a 10Ø e não inferior a 7cm.

5Ø=5cm.

10Ø=7cm.5Ø=5cm.

Øt Øt Øt O diâmetro dos pinos de dobramento dos estribos seguem a tabela abaixo:

BITOLA (mm) CA-25 CA-50 CA-60

Øt ≤ 10 3 Øt 3 Øt 3 Øt

10 < Ø < 20 4 Øt 5 Øt -

Ø ≥ 20 5 Øt 8 Øt -

Em apoios intermediários, o procedimento de dará conforme esquematização abaixo. No primeiro caso, quando o ponto de inicio de ancoragem estiver na face do apoio, o comprimento de ancoragem deverá ser medido a partir dessa face, com a força Rsd. No segundo caso, quando o ponto de ancoragem não atingir a face do apoio, as barras deverão ser prolongadas até o apoio com comprimento de ancoragem marcado a partir do ponto de ancoragem e deve ultrapassar 10Ø da face desse apoio.

Em apoios intermediários, o procedimento de dará conforme esquematização abaixo. No primeiro caso, quando o ponto de inicio de ancoragem estiver na face do apoio, o comprimento de ancoragem deverá ser medido a partir dessa face.

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21-9

Teremos, ainda, nas vigas, armaduras que denominamos porta estribos, ou seja, armaduras dispostas longitudinalmente, cuja finalidade seja apenas a de servir de suporte aos estribos. Esse tipo de armadura ocorre nas vigas de dois apoios com armaduras simples ou em vigas continuas, em geral na face superior dessas vigas após o termino da ancoragem reta das barras que absorvem os esforços fletores negativos. Por serem meramente de caráter construtivo, à exceção de quando forem armaduras de compressão das armaduras simples, podemos estabelecer regras praticas para sua adoção com referencia às armaduras principais.

VIGAS BIAPOIADAS

As,nec

Porta Estribo

Ø PORTA ESTRIBO

Ø ARMADURA DE TRAÇÃO

Diagrama Deslocado

Viga

Apoio Apoio

Viga

lb

Barra Barra

Diagrama Deslocado

10Ø

lb

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22-9

VIGAS CONTÍNUAS

Porta Estribo

As,nec

As,nec

Ø ARMADURA DE TRAÇÃO

Ø ARMADURA DE TRAÇÃOØ PORTA ESTRIBO

RECOMENDAÇÃO PRÁTICA PARA PORTA ESTRIBOS

Ø ARMADURA DE TRAÇÃO 10 12.5 16 20 25

Ø PORTA ESTRIBO 6.3 8 8 10 10

Como recomendação ultima, no caso das armaduras porta estribos, é recomendável que seu diâmetro seja, também, maior ou igual ao diâmetro do maior estribo que se venha a utilizar nas armaduras transversais. Finalizando, nos cabe verificarmos as emendas de barras. As barras de aço apresentam usualmente o comprimento comercial entre 11 e 12 m. e em muitos casos é necessária a execução de emendas nessas barras. A NBR 6118/03 apresenta a emenda das barras segundo um dos seguintes tipos:

a) por traspasse (ou transpasse); b) por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas; c) por solda; d) por outros dispositivos devidamente justificados.

No caso de emenda por transpasse de barras tracionadas, que são as mais usuais, a emenda é feita pela simples justaposição longitudinal das barras num comprimento de emenda bem definido. A NBR 6118/03 estabelece que a emenda por transpasse só é permitida para barras de diâmetro até 32 mm. Tirantes e pendurais também não admitem a emenda por transpasse. A transferência da força de uma barra para outra numa emenda por transpasse ocorre por meio de bielas inclinadas de compressão, como indicado na figura abaixo e requer a NBR 65118/03 que as barras emendadas devem estar próximas uma da outra a uma distância não superior a 4Ø.

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23-9

Tendo em vista a introdução de tensões localizadas de tração ou compressão na região das emendas por transpasse, deve-se limitar a quantidade de emendas numa mesma seção transversal da peça estrutural. A NBR 6118/03 considera estando na mesma seção transversal, as emendas que se sobrepõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas menos que 20 % do maior comprimento de transpasse.

A proporção máxima de barras emendadas em uma única seção transversal deve seguir os parâmetros a seguir:

TIPOS DE CARREGAMENTOS TIPO DE BARRA SITUAÇÃO

ESTÁTICO DINÂMICO

EM UMA CAMADA 100% 100% ALTA ADERÊNCIA EM MAIS DE UMA CAMADA 50% 50%

Ø < 16 mm. 50% 25% LISA

Ø ≥ 16 mm. 25% 25% O comprimento dos transpasses em barras tracionadas, quando a distancia entre as barras estiver compreendida entre zero e 4Ø, será determinado por:

BARRAS EMENDADAS NA MESMA SEÇÃO(%) ≤20 25 33 50 >50

VALORES DE α0T 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ ××

→≥≥×= φα

αmm200

15

3,0 bt0

min,t0nect0t0

l

lll

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24-9

ESQUEMA DE ANCORAGEM DE BARRAS

lblb

lb

N1 - 2Ø

N2 - 2Ø

N3 - 2Ø

N4 - 1Ø

c/ gancho

lblb

lb

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25-9

35

1534 N18 Ø5 C:115

40

20

CORTE A

A

62034 N18 c/19

202020/40620

N16 3Ø20 C:711

N17 1Ø20 C:525

N15 2Ø 10 C:695

P8 P9

76 76

3Ø20

1Ø20

76

10820

M=126,17

1,03

1,03

0

Ve=81,92

Ve=303,75

Ve=78,85

1,94

0,029

10,46

4Ø20bw=17 (3Ø)

1Ø - 2° camada

Ve=78,85

Ve=303,75

Ve=81,92

0

1,03

1,03

Vd=56,32Ve=56,32

a=1,58M=90,12

Asw,min (cm2/m)

Asw (cm2/m)

Msk (kN.m)

Vsk (kN)

Msd (kN.m)

Kc

Ks

As (cm2)

BITOLA

Vsd (kN)

Vrd2 (kN)

Vsd,min (kN)

a (cm)

6.40

p = 17,60 kN/m

V.425 - CONCRETO: C25Cobrimento = 2,5 cm.

20/40Ø 12.5 16lb

lbM

B

68 87

48 61

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26-9

09.05 – Exemplo Prático: Desenvolvimento dos cálculos da V.425: a) Cálculo das armaduras de à flexão Armadura mínima – As,min = 0,15% x 20 x 40 = 1,20 cm2 Altura útil – d = 40 – 5 = 35 cm. Momento máximo admissível para armadura simples – Tabela 9.03 – Kc,lim = 1,8 Cálculo das armaduras de tração:

Mk (kNn.m)

Md (kN.m) Kc Ks As (cm2) BITOLA (mm)

90,12 126,17 < Md,lim 1,94 0,029 10,46 4 Φ 20 b) Cálculo das armaduras de cisalhamento Cálculo do esforço máximo de cisalhamento permissível: Vrd2

Apoio 0 (D) Apoio 1 (E)

Vk 56,32 56,32

Vsd ≤ Vrd2 78,85 78,85 Cálculo da força cortante relativa a armadura transversal mínima: Vsd,min Os esforços cortantes do apoio 0 (D) e apoio 1 (E) são menores que Vsw,min → deve-se utilizar armadura mínima.

m.kN11,136cm.kN611.138,13520

KdbM

2

lim,c

2lim,d ==

×=

×=

dMkA

MdAk

MdbK ds

sd

ss

d

2c

×=⇔

×=⇔

×=

kN75,30335204,15,2

255,2127,0dbf27,0VV cd2v2Rdsd =×××⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×=××××=≤ α

23/2

f

3/2ck

ctd cm/kN1282,0MPa2825,14,1

)25(21,0f21,0f ==×

= γ

kN12,285,4335209,01001026,0fdb9,0V ywdmin,swmin,sw =××××××××= =ρ

kN84,5335201282,06,0dbf6,0V ctdc =×××=×××=

kN92,8184,5312,28VVV cmin,swmin,sd =+=+=

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27-9

Cálculo da armadura transversal mínima: Para estribos de 2 ramos, teremos:

m/cm05,2m/m000205,020,0001026,0b.2

Aa 22sw

sww ==×=== ρ

19/c54.9Tabelam/2cm03,1205,2aw φ→⇔==

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28-9

4.60 6.40

p = 26,20 kN/m p = 21,30 kN/m

X=92,40M=30,80a=1,58 a=1,58

M=67,70

Ve=40,20 Vd=80,40 Ve=82,60 Vd=53,75

V.421 - CONCRETO: C25Cobrimento = 2,5 cm.

20/40

Msk (kN.m)

Vsk (kN)

Msd (kN.m) M=43,12 M=94,78M=129,36

Kc 1,895,68 2,58

Ks 0,024 0,029 0,027

As (cm2) 2,96 10,72 7,31

4Ø166Ø163Ø12.5BITOLAbw=16 bw=16 (3Ø) bw=16 (3Ø)

2Ø - 2° camada 1Ø - 2° camada

Vsd (kN) Vd=75,25Ve=115,64Vd=112,56Ve=56,28

Vrd2 (kN) Ve=303,75 Vd=303,75 Ve=303,75 Vd=303,75

Ve=81,92Vd=81,92Ve=81,92Vsd,min (kN) Vd=81,92

a (cm) 0 84 113 0

1,031,031,031,03Asw,min (cm2/m)

Asw (cm2/m) 1,03 2,14 2,26 1,03

Ø 12.5 16lb

lbM

B

68 87

48 61

2Ø162Ø162Ø16

1Ø12.52Ø12.5

2Ø162Ø164848

61 61

8787

8787

N3 2Ø16 C:175N2 2Ø16 C:265N1 2Ø16 C:391

N6 1Ø12.5 C:243

N7 2Ø12.5 C:525N9 2Ø16 C:712

N8 2Ø16 C:403

N4 2Ø 8 C:355 N5 2Ø 8 C:545

P1 20/40 P2 20/40 P3610 204020 430

19 N10 c/19366

6 N11 c/1464 93

8 N11 c/14517

28 N10 c/19

A35

1547 N10 Ø5 C:11514 N11 Ø6.3 C:115

40

20

CORTE A

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29-9

09.06 – Exemplo Prático: Desenvolvimento dos cálculos da V.421: a) Cálculo das armaduras de à flexão Armadura mínima – As,min = 0,15% x 20 x 40 = 1,20 cm2 Altura útil – d = 40 – 5 = 35 cm. Momento máximo admissível para armadura simples – Tabela 9.03 – Kc,lim = 1,8 Cálculo das armaduras de tração:

Mk (kNn.m)

Md (kN.m) Kc Ks As (cm2) BITOLA (mm)

92,40 129,36 < Md,lim 1,89 0,029 10,72 6 Φ 16

30,80 43,12 < Md,lim 5,68 0,024 2,96 3 Φ 12.5

67,70 94,78 < Md,lim 2,58 0,027 7,31 4 Φ 16 b) Cálculo das armaduras de cisalhamento Cálculo do esforço máximo de cisalhamento permissível: Vrd2

Apoio 0 (D) Apoio 1 (E) Apoio 1(D) Apoio 2 (E)

Vk 40,20 80,40 82,60 53,75

Vsd ≤ Vrd2 56,28 112,56 115,64 75,25 Cálculo da força cortante relativa a armadura transversal mínima: Vsd,min

m.kN11,136cm.kN611.138,13520

KdbM

2

lim,c

2lim,d ==

×=

×=

dMkA

MdAk

MdbK ds

sd

ss

d

2c

×=⇔

×=⇔

×=

kN75,30335204,15,2

255,2127,0dbf27,0VV cd2v2Rdsd =×××⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×=××××=≤ α

23/2

f

3/2ck

ctd cm/kN1282,0MPa2825,14,1

)25(21,0f21,0f ==×

= γ

kN12,285,4335209,01001026,0fdb9,0V ywdmin,swmin,sw =××××××××= =ρ

kN84,5335201282,06,0dbf6,0V ctdc =×××=×××=

kN92,8184,5312,28VVV cmin,swmin,sd =+=+=

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30-9

Os esforços cortantes do apoio 0 (D) e apoio 2 (E) são menores que Vsw,min → deve-se utilizar armadura mínima. Os esforços cortantes do apoio1 (E) e (D) são maiores que Vsw,min → deve-se dimensionar armadura adequada. Cálculo da armadura transversal mínima: Para estribos de 2 ramos, teremos: Cálculo das armaduras transversais para os esforços cortantes do apoio 01: - trecho onde será necessária armadura transversal Para estribos de 2 ramos, teremos: Para estribos de 2 ramos, teremos:

m/cm05,2m/m000205,020,0001026,0b.2

Aa 22sw

sww ==×=== ρ

19/c54.9Tabelam/2cm03,1205,2aw φ→⇔==

cm84m84,04,120,2692,8156,112

pVVad

min,sdsd1 ==

×−

=−

=

cm113m13,14,130,2192,8164,115

pVVad

min,sdsd2 ==

×−

=−

=

kN72,5884,5356,112VVV csd1sw =−=−=

m/cm28,4cm/cm0429,05,43359,0

72,58fd9,0

V2

Aa 22

ywd

1sw1sw1w ==

××=

××==

14/c3.64.9Tabelam/2cm14,2228,4a 1w φ→⇔==

kN80,6184,5364,115VVV csd2sw =−=−=

14/c3.64.9Tabelam/2cm26,2251,4a 2w φ→⇔==

m/cm51,4cm/cm0451,05,43359,0

80,61fd9,0

V2

Aa 22

ywd

2sw1sw2w ==

××=

××==


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