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CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS
CÓDIGOS CONVOLUCIONAIS
Evelio M. G. Fernández - 2007
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Códigos de Bloco: (n, k)
n dígitos codificados = função dos k dígitos (informação) da entrada
no instante atual.
Código Convolucional: (n, k, m)
n dígitos codificados = função dos k dígitos de entrada e de K dígitos
de informação guardados em uma memória (conjunto de SR’s: shift
register).
Estrutura e Codificação de Códigos Convolucionais
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+
+v 1
v 2
u1
v=( v 1v 2)
u1: seqüência de entrada, k = 1.
v = (v1v2): seqüência codificada, n = 2.
m: ordem do codificador, m = 3
Memória: 1 SR de 3 estágios (3 FFD)
Taxa: R = 1/2
Codificador Convolucional C1: (2, 1, 3)
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2121
11
22
12
20
10
2121
11
21
11
20
10
2122
12
21
11
20
10
mmmmmm
mmmm
mm
gggggggggggggggg
gggggggg
G
ou
m
m
m
GGGGGGGG
GGGG
G210
210
210
onde: 21iii ggG
Equação de codificação:
Guv
Equação de Codificação em forma de Matrizes
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+
+
+v 1
v 2
v 3
u
u1
u2
v
u = (u1u2): seqüência de entrada, k = 2.
v = (v1v2v3): seqüência codificada, n = 3.
Memória: 1 SR de um estágio, v1 = v2 = 1 (1FFD) em paralelo com a entrada.
Ordem do codificador:
1max2,1
i
ivm , vi = tamanho do i-ésimo SR, i = 1, 2, , k
Taxa: R = 2/3
Codificador Convolucional C2: (3, 2, 1)
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3,2
2,2
1,2
31,1
21,1
11,1
30,2
20,2
10,2
3,1
2,1
1,1
31,1
21,1
11,1
30,1
20,1
10,1
3,2
2,2
1,2
31,2
21,2
11,2
30,2
20,2
10,2
3,1
2,1
1,1
31,1
21,1
11,1
30,1
20,1
10,1
mmmmmm
mmmmmm
mmm
mmm
ggggggggg
ggggggggg
ggggggggg
ggggggggg
G
Equação de codificação:
Guv
Equação de Codificação em forma de Matrizes
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Em geral, para codificadores convolucionais (n, k, v)
Seqüência de informação: ,,,, 2121
11
20
10
21ll uuuuuuuuu
Seqüência codificada: ,,,, 32131
21
11
30
20
10
321lll vvvvvvvvvvvvv
Seqüência geradora da saída j relativa à entrada i: jim
ji
ji
j
igggg ,,, 10
Equação de codificação: Guv
ml
ml
GGGG
GGGG
G 10
10
onde:
nklklkl
nlll
nlll
l
ggg
ggg
ggg
G
21
222
12
121
11
Matriz Geradora para Codificadores Convolucionais
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Constraint Length
• O constraint length v de um codificador convolucional é definido como
• Um codificador convolucional com taxa R = k/n e constraint length v é chamado de codificador (n, k, v)
• Um código convolucional (n, k, v) é o conjunto de todas as seqüências de saída (palavras-código) produzidas por um codificador (n, k, v) é o espaço das linhas da matriz G
ki
ivv1
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+
+v 1
v 2
u1
v=( v 1v 2)
n = 2, k = 1, v= 3, m = 3
Seqüências geradoras Polinômios geradores
g1 = (1011) 321 1)( DDDg
g2 = (1111) 322 1)( DDDDg
Mensagem:
u = (10111) 4321)( DDDDu
Código C1: (2, 1, 3): Análise do Domínio da Transformada
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Codificador Sistemático Feedforward, R = 2/3
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Realizações Equivalentes de um Codificador com R = 1/3
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Realizações Equivalentes de um Codificador com R = 2/3
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+
+v 1
v 2
u1
v=( v 1v 2)
3232 11 DDDDDDG
Codificador Convolucional (2, 1, 3)
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Inversor do Codificador Convolucional (2, 1, 3)
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+
+
+v 1
v 2
v 3
u
u1
u2
v
11
11D
DDDDG
Codificador Convolucional (3, 2, 2)
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Inversor do Codificador Convolucional (3, 2, 2)
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Codificador convolucional circuito seqüencial (máquina de estados finita).
operação descrita por diagramas de estados (treliça, árvore, etc)
EXEMPLO
+
v 1
v 2
u
v=( v 1v 2)
Código (2, 1, 1)
Propriedades Estruturais de Códigos Convolucionais
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Diagrama de Estados
0 1
1/11
0/01
1/10 0/00
# de estados = 2v = 2
Diagrama treliça
0/00
1/10
0
1
0
1
Propriedades Estruturais de Códigos Convolucionais
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uuvvdd HCvv
free
,,min,
onde:
vv , : seqüências codificadas correspondentes à uu e .
vvdH , : distância de Hamming entre duas seqüências quaisquer em C.
Para código linear,
)(),0(0 vwvdv HH
onde )(vwH : peso de Hamming de v.
Portanto:
0,);(min)( uGuvCwCd Hfree
código linear
Distância Livre, dfree
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lji
ljilji ZYXAZYXT
,,,,),,(
onde:
i = peso de Hamming de um caminho (seqüência codificada); i = wH(v).
j = peso de Hamming de um caminho de entrada (seqüência u); j = wH(u).
l = comprimento dos caminhos (entrada ou saída) em arcos (diagrama de
estados) ou em ramos (diagrama treliça).
Ai,j,l = número de caminhos com pesos i e j e comprimento igual a l.
Função Distribuição de Pesos
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Codificador (2, 1, 1)
+
v 1
v 2
u
v=( v 1v 2)
Diagrama de Estados:
0 1
1/11
0/01
1/10 0/00
Diagrama de Estados Aumentado:
0 1XZX 2YZ
0
XYZ
EstadoInicial
EstadoFinal
Diagrama de Estados Aumentado
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Treliça do Código Convolucional (2, 1, 3)
![Page 23: CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS CÓDIGOS CONVOLUCIONAIS Evelio M. G. Fernández - 2007](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022061618/552fc110497959413d8c5b13/html5/thumbnails/23.jpg)
Seqüência Codificada
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Decodificação Seqüencial
![Page 25: CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS CÓDIGOS CONVOLUCIONAIS Evelio M. G. Fernández - 2007](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022061618/552fc110497959413d8c5b13/html5/thumbnails/25.jpg)
Decodificação Seqüencial
![Page 26: CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS CÓDIGOS CONVOLUCIONAIS Evelio M. G. Fernández - 2007](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022061618/552fc110497959413d8c5b13/html5/thumbnails/26.jpg)
Decodificação Seqüencial
![Page 27: CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS CÓDIGOS CONVOLUCIONAIS Evelio M. G. Fernández - 2007](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022061618/552fc110497959413d8c5b13/html5/thumbnails/27.jpg)
Decodificação Seqüencial
![Page 28: CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS CÓDIGOS CONVOLUCIONAIS Evelio M. G. Fernández - 2007](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022061618/552fc110497959413d8c5b13/html5/thumbnails/28.jpg)
Desempenho de Esquemas de Codificação Padrões
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Treliça de um Código Convolucional (3, 1, 2) com h = 5
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Algoritmo de Viterbi
A cada unidade de tempo:
• Somar 2k métricas de ramo às métricas dos caminhos previamente armazenados
• Comparar as métricas de todos os 2k caminhos que chegam a cada estado
• Selecionar o caminho com a maior métrica (sobrevivente)
• Armazenar o caminho sobrevivente e sua métrica
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Algoritmo de Viterbi
• Passo 1: , calcular a métrica parcial para o único caminho entrando a cada estado. Armazenar o caminho (sobrevivente) e sua métrica para cada estado.
• Passo 2: , calcular a métrica parcial para todos os 2k caminhos que entram num estado somando a métrica de ramo que entra no estado com a métrica do sobrevivente no instante anterior. Para cada estado, comparar as métricas de todos os 2k caminhos que entram nele, selecionar o de maior métrica, armazenar este caminho e sua métrica e eliminar todos os outros caminhos.
• Passo 3: Se , repetir passo 2. Caso contrário: FIM.
mt
1tt
mht
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Algoritmo de Viterbi para um DMC
![Page 33: CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS CÓDIGOS CONVOLUCIONAIS Evelio M. G. Fernández - 2007](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022061618/552fc110497959413d8c5b13/html5/thumbnails/33.jpg)
Algoritmo de Viterbi para um BSC
![Page 34: CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS CÓDIGOS CONVOLUCIONAIS Evelio M. G. Fernández - 2007](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022061618/552fc110497959413d8c5b13/html5/thumbnails/34.jpg)
Desempenho de Códigos Convolucionais
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Desempenho de Códigos Convolucionais
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Melhores Códigos Convolucionais Conhecidos de Taxa 1/2 e 1/3