Departamento de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)
Prof. Arthur Braga
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
Problema Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Determinar • Esforços internos (tensões) • Deformações • Deslocamentos
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Equações de Equilíbrio
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zyxxzxyxx σσσ
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zyxyzyyxy σσσ
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zyxzzyzxz σσσ
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Relações entre deslocamentos e deformações
zuyuxu
zzz
yyy
xxx
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
ε
ε
ε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂==
yu
zu
xu
zu
xu
yu
zyyzyz
zxxzxz
yxxyxy
21
21
21
21
21
21
γε
γε
γε
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• Relações constitutivas (tensão vs. deformação)
TEEE
TEEE
TEEE
zzyyxxzz
zzyyxxyy
zzyyxxxx
Δ++−−=
Δ+−+−=
Δ+−−=
ασσ
νσ
νε
ασ
νσσ
νε
ασ
νσ
νσ
ε
G
G
G
yzyz
xzxz
xyxy
2
2
2
σε
σε
σε
=
=
=
( )ν+=12EG
Mecânica dos Sólidos II
Teoria da Elasticidade
• 15 Equações – Equilíbrio (3) – Deformação vs. Deslocamentos (6) – Tensão vs. Deformação (6)
• 15 Variáveis:
• Condições de contorno
yzxzxyzzyyxx
yzxzxyzzyyxx
zyx uuu
εεεεεε
σσσσσσ
,,,,,
,,,,,
,,
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
Mecânica dos Sólidos II
x
y
z 3D
Teoria de Vigas
n(x)
q(x)
Teoria de Vigas (aproximação)
q(x)
x
n(x)
1D
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
b
a pi
po
σ0
σ0
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
Coordenadas Cilíndricas
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
Tensões em Coordenadas Cilíndricas
rrσ
θσ rrzσθθσ
zzσ
rzσzθσ
zθσ
θσ r
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
zzzrz
zr
rzrrr
σσσ
σσσ
σσσ
σ
θ
θθθθ
θ
Mecânica dos Sólidos II
Equilíbrio
Coordenadas Cilíndricas
01=
−+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
rzrrrrrzrrr θθθ σσσ
θσσ
021=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
rzrrrzr θθθθθ σσ
θσσ
01=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
rzrrrzzzzrz σσ
θ
σσ θ
Mecânica dos Sólidos II
Relações Deslocamentos vs. Deformações
Coordenadas Cilindricas
zu
ruu
r
ru
zzz
r
rrr
∂
∂=
+∂
∂=
∂
∂=
ε
θε
ε
θθθ
1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂==
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∂
∂+
∂
∂==
zuu
r
ru
zu
ruu
rru
zzz
zrrzrz
rrr
θθθ
θθθθ
θγε
γε
θγε
121
21
21
21
121
21
Mecânica dos Sólidos II
Relações Tensões vs. Deformações (Eq. Constitutivas)
Coordenadas Cilíndricas
TEEE
TEEE
TEEE
zzrrzz
zzrr
zzrrrr
Δ++−−=
Δ+−+−=
Δ+−−=
ασσ
νσ
νε
ασ
νσσ
νε
ασ
νσ
νσ
ε
θθ
θθθθ
θθ
G
G
G
rzrz
zz
rr
2
2
2
σε
σε
σε
θθ
θθ
=
=
=
( )ν+=12EG
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
b
a pi
po
σ0
σ0
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
Simetria Axial (Problema Axissimétrico) • Coordenadas cilíndricas • Deslocamento circunferencial é nulo (uθ = 0) • Tensões e deslocamentos não variam com θ • Como o carregamento axial é uniforme (σ0 = cte), tensões e o
deslocamento radial não variam com a coordenada z (hipótese que pode ser posteriormente verificada). Além disso, adota-se a hipótese de que, devido ao carregamento uniforme axial, o deslocamneto uz varia apenas com a coordenada z.
• Estado plano de deformação: tensões e deformações axiais estão desacopladas das tensões e deformações no plano produzidas pela pressão interna ou externa
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de Paredes Grossas
0=−+
rdrd rrrr θθσσσ
rudrdu
r
rrr
=
=
θθε
ε
( )00 =σ
orr
irr
pbpa
−=
−=
)()(
σ
σ
rBArru
ru
drdurdr
udr
rrr +=⇒=−+ )(0122
2
( )
( )rr
rrrr
E
E
νεεν
σ
νεεν
σ
θθθθ
θθ
+−
=
+−
=
)1(
)1(
2
2
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
oirr p
ab
rb
ab
p
ab
rb
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
11
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
σ
oi p
ab
rb
ab
p
abrb
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
11
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
θθσ
( )( )
( )( ) 022
22
22
22 11σ
νννEr
rabppba
Er
abbpap
Eu oioir −
−
−++
−
−−=
b
a pi
po
σ0
σ0 0σσ =zz
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
• Pressão Interna (po = 0 e pi = P)
P
abrb
rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
1
1
2
2
2
2
σ P
abrb
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
1
1
2
2
2
2
θθσ
( ) ( ) 022
22
22
2 11σ
νννErP
rabba
Er
aba
Eur −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
++
−
−=
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé (pressão interna)
Definindo temos: logo:
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−
−=
X
XXtPD
rr
211
121
21
2
2
2
2
ξξσ
Dr
br
tDX 2e2
=== ξ
1e1,1
=⇒=−
=⇒=−
= ξξ brXXar
XX
ab
( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+
=
X
XXtPD
211
121
21
2
2
2
2
ξξσθθ
Mecânica dos Sólidos II
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 1.05
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
{ }
X
XXtPD
2112111
2max 2
−
+−=θθσ
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 1.5
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 3
Mecânica dos Sólidos II
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 20
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 35.5
GASBOL D = 32”, t = 0.451”
Mecânica dos Sólidos II
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
tPDrr
2σ
2r/D
σrr σθθ
X = 80
Mecânica dos Sólidos II
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.800
0.825
0.850
0.875
0.900
0.925
0.950
0.975
1.000{ }tPD 2
max θθσ
tD 2
Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé
Dutos de Transporte
Dutos Industriais
GASBOL D/2t = 35.5
{ } 986.02
max=
tPDθθσ
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1
aT
bT
aJ
bJ
Na figura ao lado aT = 40 mm bT = 60 mm bJ = 100 mm Determine o valor de aJ para que a tensão compressiva de contato entre o tubo e a jaqueta seja de – 50 MPa. Tanto o tubo quanto a jaqueta são fabricados do mesmo material com: E = 200 GPa ν = 0.3
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.) 50 MPa
50 MPa
bT
aJ
δT δJ δT = - ur(bT)
δJ = ur(aJ)
aJ + δJ = bT - δT
Tubo Jaqueta
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)
50 MPa
Tubo
pi = 0 po = P = 50 MPa
( ) ( ) ( ) ( )( )2222 11 TTTT
TTr ab
abEPbbu νν ++−−
−=
( ) ( ) ( )( )2222 11 TTTT
TT ab
abEPb
ννδ ++−−
=
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)
50 MPa
Jaqueta
pi = P = 50 MPa po = 0
( ) ( ) ( ) ( )( )2222 11 JJ
JJ
baabE
Paau JJr νν ++−
−=
( ) ( ) ( )( )2222 11 JJ
JJ
baabE
PaJJ ννδ ++−
−=
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )2222
2222
11
11
T
TT
JJ
JJ
ababE
Pbb
baabE
Paa
TT
T
JJ
νν
νν
++−−
−=
++−−
+
O valor de aJ é obtido a partir da equação:
Mecânica dos Sólidos II
Problema 1 (Sol.)
TbaJ=0
( ) ( ) ( )( )
( )( )( ) ( ) ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
−
++−−
−=+
22
22
2222
1
11
11
JJ
JJ
J
T
TTJ
baabE
Pa
ababE
Pbba
n
n
n
TT
Tn
νν
νν
Repetir enquanto tolerância1 >−+ nnJJaa
Após a segunda interação: mm93.59=Ja
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2
aT
bT
aJ
bJ
Na figura ao lado aT = 40.00 mm bT = 60.00 mm aJ = 59.93 ,mm bJ = 100.00 mm Tanto o tubo quanto a jaqueta são do mesmo material com: E = 200 GPa ν = 0.3 Determine a máxima tensão circunferencial
250 MPa
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
P
bT
aJ
δT δJ δT = - ur(bT)
δJ = ur(aJ)
aJ + δJ = bT - δT
250 MPa P
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
( ) ( )( ) ( )( )
( ) PabE
babpabEbabu
TT
TTTi
TT
TTTrT 22
22
22
2 112−
++−+
−−=−=
ννδ
P
250 MPa Ppp
o
i
=
= MPa250
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
0==
o
i
pPp
P
( ) ( ) ( )( )2222 11)( JJ
JJ
baabE
Paau JJrJ ννδ ++−
−==
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )222222
2
2222
112
11
TTTT
T
TT
iTTT
JJ
ababE
PbabEpbab
baabE
Paa JJ
JJ
νν
νν
++−−
−−
+=
++−−
+
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )MPa24.134
1111
2
22
22
22
22
22
2
=
−
++−+
−
++−
−−
+
=
TT
TTTJ
JTT
iTTT
abEabb
abEbaa
aabEpbab
P
JJ
JJ νννν
Resolvendo para P
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
{ } MPa75.166max =θθσ
250 MPa Tensão circunferencial máxima no tubo jaquetado
{ } ( )( ) ( )Pab
abpababa
TT
TTi
TT
TTT 1
211)(max 22
22
22
22
−−
−
+== θθθθ σσ
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
250 MPa
MPa250MPa75.166
−=
=
rrσ
σθθ
σθθ = 285.3MPaσ rr = −134.24 MPa
0MPa47.150
=
=
rrσ
σθθ
Mecânica dos Sólidos II
{ } MPa24.345max =θθσ
( )( ) i
TJ
TJT p
ababa
11)(}max{ 22
22
−
+== θθθθ σσ
Problema 2 (Sol.)
Tubo Homogêneo Tensão circunferencial máxima num tubo sem a jaqueta (raio interno aT e raio externo bJ)
250 MPa
MPa250MPa24.345
−=
=
rrσ
σθθ
0MPa24.95
=
=
rrσ
σθθ
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
Tubo Homogêneo
σrr σθθ
Tubo com Interferência
σrr σθθ
Mecânica dos Sólidos II
Problema 2 (Sol.)
τmax Tubo com Interferência
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 1: P1 2008
b
a
Problema 2. O vaso de pressão cilíndrico esquematicamente mostrado na figura ao lado, cujo material tem limite de escoamento de 350 MPa, foi dimensionado para operar a uma pressão interna máxima de 5.000 psi (34,5 MPa). Seu raio externo, b, mede 90,5 mm e seu raio interno, a, mede 41,3 mm. Calcule as tensões normais radial, circunferencial e axial máximas quando o vaso está sob a pressão máxima de operação. Considerando os critérios de escoamento de von Mises e Tresca, determine os respectivos fatores de segurança de operação (3,0 pontos).
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 1 (cont.)
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 2: P1 2012
Mecânica dos Sólidos II
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 2 (cont.)
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 3: P1 2011
Tubo: E1 = 200 GPa, ν = 0,3
Revestimento: E2 = 10 GPa
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 3 (cont.)
Mecânica dos Sólidos II
Exercício 3 (cont.)