Simulado Ciclo Frias

1) Considere que os vrtices de um n-gono A1, A2, ..., An devem ser coloridos utilizando-

se k cores. Determine de quantos modos isso pode ser feito sabendo que vrtices adjacentes no

possuem a mesma cor:

2) Seja f: [0, 1] R contnua tal que f(0) = f(1). Prove que existe x [0, 1] tal que f(x) =

f(x + 1/2)

3) A e B so matrizes de coeficientes inteiros 2x2. Sabe-se que A, A+B, A+2B, A+3B e

A+4B tm inversas com coeficientes inteiros. Prove que A+5B tem inversa com coeficientes

inteiros.

4) Determine todos os reais x e y tais que 202 + 102 + 4 + 12 10 + 5 = 0

5) A mediana de Euler de um quadriltero , por definio, o segmento que liga os pontos

mdios das diagonais desse quadriltero. Considere, no espao, dois quadrilteros planares

ABCD e ABCD (convexos), tais que as retas AA, BB, CC e DD so paralelas e

AA = a, BB = b, CC = c e DD = d. Determine a distncia entre os pontos mdios das medianas de

Euler de ABCD e ABCD.

6) Uma reta varivel r, de coeficiente angular 2, intersecta as retas de equaes y x = 0 e y + x = 0

nos pontos P e Q, respectivamente. Pede-se determinar o lugar geomtrico de um ponto M pertencente

a r tal que o produto dos comprimentos dos segmentos PM e QM constante e igual a 5/3.

7) Prove a seguinte desigualdade: 1

15