1
Centro Brasileiro de Pesquisas FCentro Brasileiro de Pesquisas Fíísicas (CBPF)sicas (CBPF)
Curso de Eletrônica AnalCurso de Eletrônica Analóógica gica –– VII Escola do CBPFVII Escola do CBPF
Prof. Prof. AdemarlaudoAdemarlaudo F. BarbosaF. Barbosa
Circuitos elementares (divisor de tensão, integrador, diferenciador) Notação complexa para grandezas elétricas
Uso de equações diferenciais em circuitos eletrônicos Função de Transferência
Série de Fourier Integral de Fourier
Transformadas de Fourier e LaplaceTeorema da Convolução
Teoremas de Thevenin e NortonRegras de Kirchoff
Circuitos simples com diodos Transistores (Bipolares e FET’s)
Modelo de Ebers-MollPolarização de Transistores
Circuitos básicos com transistores (emissor comum, base comum, coletor comum) Associações de transistores
Transistores em regime dinâmico Amplificador Diferencial
Amplificadores Operacionais Circuitos básicos envolvendo amplificadores operacionais
Realimentação Osciladores (LC, Harley, Ponte de Wien, Relaxação, Kolpitz)
Influência de capacitâncias sobre amplificadores e transistores
Componentes passivos Componentes ativos
2
Os componentes bOs componentes báásicos e sua sicos e sua ““ffíísicasica””
V R I V C I I L V
Circuitos simples nos quais se verificam relações lineares entre grandezas elétricas
RIV = IdtdV
C1= dt
dILV =
RESISTOR - Os materiais apresentam resistência à passagem de corrente elétrica (I); a corrente tende a circular quando se aplica um campo elétrico, materializado por uma diferença de potencial (V);
A relação entre V e I é linear (para alguma “faixa”); R é a constante de proporcionalidade
CAPACITOR – Dados dois (ou mais) condutores, injetar carga elétrica Q em um deles implica o estabelecimento de uma diferença de potencial V. A relação entre Q e V é linear (para alguma “faixa”).
Variações de Q ou de V são transmitidas entre os eletrodos, gerando passagem de corrente I.
INDUTOR – Passagem de corrente por um condutor gera campo magnético. Variações da corrente alteram o campo e vice-versa. Variações de corrente implicam diferença de potencial. Há uma relação
de proporcionalidade linear entre os dois, dada por L.
3
I VZ
π+ωω=ωω−=
π−ωω
=ωω
=
ω=
⇒ω=
2
cos )(sen)(
2
cos )(sen)(
)cos()(
)cos()(
to
ILto
ILtV
tCo
It
Co
ItV
to
RItV
toItI
[para R]
[para C]
[para L]
( )[ ]ωϕ
ωϕ
≡∆=−⇒
ω≡+ω=ϕ+ω
ttt
ttt
'
')cos(cos)cos(
A menos de uma diferença de tempo (π/2ω), podemos dizer que V=ZI, com:
ω=ω
=
=
1
LZC
Z
RZ [para R][para C][para L]
4
ω=ω
=
=
⇒ω=
)()(
)(1)(
)()(
)(
tLIitV
tICi
tV
tRItV
tieoItI
[para R]
[para C]
[para L]
O mesmo argumento vale para V(t)=Voeiωt, e encontramos V=ZI , com:
=
=
=
1
LiZCi
Z
RZ
ωω
[para R][para C][para L]
Qualquer sinal elétrico pode ser expresso como sobreposição de harmônicos(a demonstração virá nas próximas aulas)
tik
k
k
tik
k
k eVtVeItI ωω ∑∑ == )( )(
Concluímos que os componentes R, L e C representam “impedâncias” que dependem da freqüência do sinal que veiculam.
Para cada freqüência temos relação linear entre V e I
5
Circuitos elementares envolvendo Circuitos elementares envolvendo R, L e CR, L e C
Z2
Z1
VsVe
Circuito genérico
esVV ZZ
Z
21
2+=I
A mesma corrente passa por Z1 e Z2 :
eZZ
Z
sZ
V
Z
VVVVsse
21
2
21 +− =⇒=
A soma das quedas de tensão no circuito fechado é nula:
eZZ
Z
sZ
V
e VVIIZIZV s
21
2
2 ;021 +=⇒==−−
Ve I VsZ2
Z1
6
Circuitos elementares envolvendo Circuitos elementares envolvendo R, L e CR, L e C
R2
R1
VsVe
Circuito divisor de tensão / atenuador
I
Vs=0→ para R2=0 ou para R1=∞
eRR
R
s VV21
2
+=
Caso mais simples:
Vs=Ve → para R1=0 ou para R2=∞
Vs é uma fração de Ve → para valores intermediários de R1 e R2
Para transmitir Ve sem atenuação devemos ter R1=0 ou R2=∞
7
Circuitos elementares envolvendo Circuitos elementares envolvendo R, L e CR, L e C
eRCieRs VVVCi
Ci
ωω
ω
++==
11
1
1
( )
+==
+=+=⇒
≡+
− )(1
22
ibaArgtg
ibabaA
Aeiba
ab
i
ϕ
ϕ
( )RCoo
eVsV
tg
1
1
21
1
; =ω=υ
υ−=ϕ
=
ωω
−
υ+
filtro passa baixa
CI
R
VsVe
8
filtro passa baixa
CI
R
VsVe
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
-1,6
-1,2
-0,8
-0,4
0,0
Filtro passa-baixa
ϕ
υ
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
| Vs / Ve |
9
Circuitos elementares envolvendo Circuitos elementares envolvendo R, L e CR, L e C
filtro passa alta
R
C
VsVe
I
eRCiRCi
eR
Rs VVV
Ciω
ω
ω++
==11
( )RCoo
eVsV
tg
1
11
21
; =ω=υ
=ϕ
=
ωω
υ−
υ+
υ
10
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
Filtro passa-alta
ϕ
υ
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
| Vs / V
e |
filtro passa alta
R
C
VsVe
I
11
eLCeLis VVVCi
Ci
21
1
1
1
ωω ω
ω
−+==
LCo
V
V
o
e
s
1
1
1
1
1
;
0
1)(
1)(
2
2
==
=
>
<=
−
−
ωυ
ϕ
υυ
ωω
υ
υ
Circuitos elementares envolvendo Circuitos elementares envolvendo R, L e CR, L e C
Filtro ressonante
C
L
VsVe
I
12
Filtro ressonante
C
L
VsVe
I
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
0,0
0,5
1,0
1,5
Filtro passa baixa ressonante
| Vs / Ve |
υ
13
eLC
LCeLi
Lis VVV
Ci2
2
1 1 ωω
ωω
ω −−
+==
LCo
V
V
o
e
s
1
1
1
;
0
1)(
1)(
2
2
2
2
==
=
<
>=
−
−−
ωυ
ϕ
υ
υ
ωω
υυυυ
Circuitos elementares envolvendo Circuitos elementares envolvendo R, L e CR, L e C
Filtro ressonante
L
C
VsVe
I
14
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
0,0
0,5
1,0
1,5
Filtro passa alta ressonante
| Vs / Ve |
υ
Filtro ressonante
L
C
VsVe
I
15
Filtros Filtros RCRC no domno domíínio do temponio do tempo
( ) ( ) ( )( )
∫≈=
>>
+=⇒
+=+=+=⇒
=−−=−−
tVtVV
tRC
VtV
RRIV
RIVRIV
eeRCs
tseRC
tt
RCVtt
CVte
Ct
eC
Q
e
ss
dδδδ
:δ para
1δδ
1δ
0δδ
1
RCδ1
RCδ
δCδ
δCδ
Iδδ
filtro passa baixa
CI
R
VsδVe
( )( ) ( )
( )
∫≈=
>>
+=⇒
+=+=⇒
+=+=⇒
==−
tVtVV
tRC
VtV
RCVtRCVtV
VVVV
eeRCs
RCt
seRC
RCt
sse
tRC
ssstRC
e
t
V
t
Q
R
VV se
dδδδ
:δ para
1δδ
1δδδ
1δ
1
δ1
δ
δδ
δ
C
δ
δδ s
Método das quedas de tensãoMétodo das correntes
Para RC >> δt ⇒ circuito integrador
16
Filtros Filtros RCRC no domno domíínio do temponio do tempo
( ) ( ) ( )( )
( )
dt
dV
t
V
s
tRC
st
V
tRC
se
tRCst
R
Vte
Ct
eC
Q
e
ee
e
s
RCRCV
tRC
VRC
tVVRC
tVRRIV
RIVRIV
≈=
<<
+=⇒
+=⇒
+=+=+=⇒
=−−=−−
δ
δ
δδ
δ
δ
δ11
Cδ
Cδ
Iδδ
:δ para
1
1δδ
δδ
0δδ
( )
( )( )
dt
dV
t
V
RCs
t
V
tRC
s
setRC
s
t
VV
t
Q
R
V
ee
e
es
V
tRC
RCV
VVV
≈=
<<
=+⇒
−=⇒
== −
δ
δ1
δδ
δ
δ
δC
δ
δ
:δ para
1
s
δ
δ
Método das quedas de tensãoMétodo das correntes
Para RC << δt ⇒ circuito diferenciador
filtro passa alta
R
C
VsVe
I
17
2a. aula
18
EquaEquaçções diferenciais para os circuitos elementaresões diferenciais para os circuitos elementares
dt
tdI
Cdt
dV
C
Q
e
RtI
tRIV
e )(1 )(
)(
+=⇒
+=
filtro passa baixa
CI
R
VsVe
Método das quedas de tensão
Ve(t)
Vo
t
Solução conhecida para o caso da função degrau:
RCt
eItI
dt
dt
RtI
RCdt
tdI
RCdt
tdI
dt
tdI
C
−=⇒
−=⇒
−=⇒
−=
≥
∫∫)0()(
)(
0 t
1)(
1)(
)(1
para
Condição de contorno: em t=0 → Q=0:
( )
( )
R
V
C
Q
se
s
Cs
ss
o
RCt
RCt
I
RIVVVt
eRItV
IKQ
KeIRdttItV
VtCVtQ
t
=⇒
==−=−=
−=∴
=⇒=
+−==
=⇒==
=
−
−
∫
)0(
)0(0)0()0(:0 em
1)0()(
)0(0)0(
)0()()(
0)0()(0)(
:0 em
)0(
0
1
19
( )RCt
eVtV os
−−= 1)(
0 2 4 6 8 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Integrador
RC=0.1
RC=1
RC=10
Vo
Vs(t)
t
20
EquaEquaçções diferenciais para os circuitos elementaresões diferenciais para os circuitos elementares
dt
tdI
Cdt
dV
C
Q
e
RtI
tRIV
e )(1 )(
)(
+=⇒
+=
Método das quedas de tensão
Ve(t)
Vo
t
Solução conhecida para o caso da função degrau:
RCt
eItI
dt
dt
RtI
RCdt
tdI
RCdt
tdI
dt
tdI
C
−=⇒
−=⇒
−=⇒
−=
≥
∫∫)0()(
)(
0 t
1)(
1)(
)(1
para
Condição de contorno: em t=0 → Q=0:
R
V
s
s
os
so
C
tQ
se
o
RCt
IRIV
eRItRItV
VV
VVt
tVtV
=⇒=⇒
==
=⇒
=−⇒=
=−
−
)0()0()0(
)0()()(
)0(
0)0(0 em
)()()(
filtro passa alta
R
C
VsVe
I
21
RCt
eVtV os
−=)(
0 2 4 6 8 10
DiferenciadorVo
RC=0.1
RC=1
RC=10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0Vs(t)
t
22
EquaEquaçções diferenciais para os circuitos elementaresões diferenciais para os circuitos elementares
Circuito R-L-C
C
L
Vo
R
Método das quedas de tensão
eC
Q
dtdI VRIL =++
012
2
=++ IRLCdt
dI
dt
Id
Ve(t)
Vo
t
atetI =)(
012 =++LCL
R aa
( )
−±−=
LCLR
LRa 42
21
2,1
Técnica de solução
⇓⇓⇓⇓
⇓⇓⇓⇓
tataeCeCtI 21
21)( += tt oo
eCeCtI
−−−
−+−
+=2222
21)(ωγγωγγ
LCo
LR
1
2
=
=
ω
γ
Solução geral
23
EquaEquaçções diferenciais para os circuitos elementaresões diferenciais para os circuitos elementares
Casos particulares
ωo > γ
[ ] [ ]
*
21
2
1
21
-db
ca real )(
sen)(cos)(sen)(cos)()(
)()()(
)(2222
CC
tI
cadbibdcaAtI
AeidcAeibatIidcC
ibaC
eCeCtI
ii
titi oo
=∴
=
=⇒
−+++−++=∴
+++=⇒
+≡
+≡
+=
−
−−−
−+−
ψψψψ
ψψ
γωγγωγ
ϕ
ϕ
i
i
AeC
AeC
−=
=
21
2
21
1αcos2)( KtI = ( ) ϕγωα
γ
+−=
= −
t
AeK
o
t
22
21
⇒
A e ϕ são determinados pelas condições de contorno
24
EquaEquaçções diferenciais para os circuitos elementaresões diferenciais para os circuitos elementares
Condições de contorno [em t=0: Q(t)=I(t)=0 ]
[ ] [ ] otdtdI
tC
Q
dtdI VLRIL ==++
== 00
[ ] ( )[ ] ( )ϕγωϕγαγωαγ sencossencos2 22
0
22
0−−=−−=
== ototdtdI AK
20cos20)0( πϕϕ ±=⇒=⇒= KI
ϕ = π/2 ⇒ ( )[ ] ( )[ ]tetetI o
t
L
V
o
t
L
V
o
o
o
o 22
2
22 sencos)(2222
γωγω γ
γωπγ
γω−−=+−−= −
−
−
−
L
V
o
oA22 γω −
=⇒ ∓⇒
25
0 1 2 3 4
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
γ=2ωο=20
I(t)
t
26
EquaEquaçções diferenciais para os circuitos elementaresões diferenciais para os circuitos elementares
ωo < γ
reais e real )(
)(
21
21
2222
CCtI
eCeCtItt oo
⇒
+=
−−−
−+− ωγγωγγ
[ ] [ ] otdtdI
tC
Q
dtdI VLRIL ==++
== 00
[ ] ( ) ( )
−
=
−+−
=
=⇒
−=
−=
22
22
2
22
0
22
022
o
o
o
L
V
o
t
t
otdtdI
K
KeK
ωγ
ωγγωγωγ
KCCI ≡−=⇒= 210)0(
⇓
Condições de contorno [em t=0: Q(t)=I(t)=0 ]
+=
−−−
−+−
−
tt
L
V oo
o
o eetI2222
222)(
ωγγωγγ
ωγ
27
0 2 4 6 8 10
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
I(t)
t
( ) ( )tt eetI 5.015.01)( −−+− −=
28
ωo = γ
( )real real )(
)( 21
KtI
KeeCCtI tt
⇒
=+= −− γγ
[ ] [ ] ot
t
dtdI
tC
Q
dtdI VRKeLRIL =+=++
=−
= 00
γ
[ ] [ ]LR
V
t
t
t
t
dtdI
oK
RLKRLKeRKeL
γ
γγ γγ
−
=−
=−
=⇒
+−=+−=+ )(( 00
⇓
Condições de contorno [em t=0: Q(t)=0 ]
t
LR
VetI o λ
γ−
−=)(
EquaEquaçções diferenciais para os circuitos elementaresões diferenciais para os circuitos elementares
29
0 2 4 6 8 10
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
I(t)
t
tetI −=)(
30
Uma linha de transmissão de sinais tem propriedades eletrônicas:
Transmissão de sinaisTransmissão de sinais
Circuito equivalente a uma linha de transmissão de sinais
C/2
L
VsVe
C/2
L = auto-indutância por unidade de comprimentoC = capacitância por unidade de comprimento
(*) resistividade desprezada
Vs
C/2
L
Ve
C/2
Ve
Zeq
( )LC
LCCieqZ 2
2
4
22
ωω
ω −−=
2
2
2
2
2
1
2
1
1o
1
1
1
1
Co
CCi
Ci
L
eeLeLis VVVV
=≡
===−−+
ωυ ωω
υωωω
ω
CL
oCCoCL
CoLo LC
224222212
2
ωωωω =⇒=⇒=⇒= ( ) ( )CL
o
iZ
i
Z
eq ZZ oo 2
2
1
2
1 ; 2
2
2
2
===−
−−−
υυ
υυυ
υ⇒
31
0,01 0,1 1 100,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
| Zeq / Z
o |
ν
[ ]2
2
2
11
νν
ν −−=
o
eq
Z
Z
32
A linha de transmissão pode ser terminada por um componente de impedância Z
Transmissão de sinaisTransmissão de sinais
⇒
Circuito equivalente a uma linha de transmissão de sinais terminada
Ve
Zeq
C/2
LVin Vout
ZoC/2
C/2
L
Vin
Z
C/2
12
2
4
23
2
2
++−−
++−=ZCiLZLi
ZLiRL
eq CC
C
Zωωω
ωω
Suponhamos Z=Zeq (linha perfeitamente terminada)
( )
) (Z (...)
1
para
211
2
2
2
2
4
3
2
4
2
2
oo
LCo
CL
o
Z
CCCeq
ωZ
Z
Z
ZLiZLZCiLZLiZZZ
o
o
LC
CL
ωω
υ
ωωωωω
ωω
υω<<≈
=
=
=
==⇒⇒
++−=++−−⇒=
−−
33
0,001 0,01 0,1 10,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
Sem terminação
Terminação R = Zo
| Zeq / Z
o |
υ
21
1
υ−=
o
eq
Z
Z
34
Definimos Função de Transferência como a função T, tal que:
FunFunçção de Transferência & Diagrama de Bodeão de Transferência & Diagrama de Bode
Ventrada Vsaída
circuito
Representação genérica de um circuito
V TVsaida entrada=
T é necessariamente uma função de ω:
)(
)()( ω
ωωentrada
saída
V
VT =
(*) Não é simples definir T(t) , pois Vsaída(t) ≈ Ventrada(t’) , t’<t
( tempo de propagação ≠ 0 )
35
FunFunçção de Transferência & Diagrama de Bodeão de Transferência & Diagrama de Bode
)()( ωϕϕ ω ii
V
VeAAeT
entrada
saida ===
Devido às diferenças de fase introduzidas pelos componentes, T é em geral uma função complexa
T A ganho
Arg T fase
= =
= =
( )
( ) ( )
ω
ϕ ω⇒
T T T Tn= 1 2 ...
A Função de Transferência para um circuito composto por n sub-circuitos conectados em série é:
(demonstração muito simples)
Diagrama de BODE é a representação da Função de Transferência através de dois gráficos:
Um para o ganho, outro para a fase - em função da freqüência
36
FunFunçção de Transferência & Diagrama de Bodeão de Transferência & Diagrama de Bode
Exemplo: caso do circuito equivalente para linha de transmissão de sinais
221
1CL
oZLi
Tω−ω+
=
222 1221
1
1 νννυ −+−−==⇒=
iideal
ZTTZ o
νν irealo TTZZ221
12 +−
==⇒=
)1 (para 1 ≤= νidealT 1) (para 1221
122
>=−−−
ννννidealT
441
1
ν+=realT
Terminação “perfeita”
Terminação “possível”
C/2
LVin Vout
ZC/2
37
10-2 10-1 100 101 10210-3
10-2
10-1
100
101
υ
| T |
caso "ideal"
0,01 0,1 1 10 100
10-3
10-2
10-1
100
101
υ
| T |
caso "real"
38
FunFunçção de Transferência & Diagrama de Bodeão de Transferência & Diagrama de Bode
[ ] ( ) 1)ν (para ArcTgTArg idealideal <−==−
−2
2
21
12
νννϕ
[ ] 1)ν (para TArg idealideal >== 0ϕ
[ ] ( )221
2
ννϕ
−== ArcTgTArg realreal
Fases:
ωωϕτ ][TArg==
...42][3
3
++== ννϕ TArg
LCoo
===≅ ωωωω
ωντ 222
Retardo:
Para ω <<ωo ⇒ retardo constante
39
FunFunçção de Transferência & Diagrama de Bodeão de Transferência & Diagrama de Bode
Linhas de transmissão: discreta e distribuída:
Um cabo é um tipo de linha de transmissão cujos parâmetros eletrônicos estão distribuídos continuamente ao longo do comprimento (parâmetros: resistividade,
capacitância, auto-indutância por unidade de comprimento)
Nem sempre é possível obter uma linha de transmissão com os parâmetros desejados (retardo, banda passante) em uma configuração do tipo “contínuo”. Nestes casos, e em muitas outras aplicações, usam-se linhas de transmissão
construídas com células discretas.
Exemplo
Substituindo Zo pela célula completa, obtém-se um circuito adaptado em impedância. Cada célula adionada acrescenta retardo à transmissão de sinais.
VsVe
C/2 C C C C C/2
L L L L L
RC/2
LVin Vout
ZoC/2 →
40
3a. aula
41
RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais
Qualquer função matemática de comportamento periódico (⇒período T, freqüência ωo)
pode ser representada por uma série de senos e cossenos.
[ ]∑∞
=
++=1
2)(sen)cos()(
n
onon
atnbtnatf o ωω
To
T
oTn
T
oTn
T
To
dttnsentfb
dttntfa
dttfa
πω
ω
ω
2
0
2
0
2
0
2
)()(
)cos()(
)(
=
=
=
=
∫
∫
∫
42
Verificação:[ ]
o
oa
T
T
n
onT
T
n
onT
T
oa
T
T
n
ononoa
To
a
T
dttnbdttnadt
dttnbtnaa
=
++=
ω+
ω+=
ω+ω+=
∫ ∑∫ ∑∫
∫ ∑∞
=
∞
=
∞
=
00
)(sen)cos(
)(sen)cos(
22
0
0 1
2
0
0 1
2
0
22
0 1
22
[ ]
n
TnT
T
m
oomT
m
mnT
ma
T
m
oomTo
T
oa
T
T
o
m
omomoa
Tn
a
a
dttntmbdttntmadttn
dttntmbtmaa
=
++=
ωω+
ωω+ω=
ω
ω+ω+=
∫ ∑∫ ∑∫
∫ ∑∞
=
∞
=
δ
∞
=
∞
=
∑00
)cos()(sen)cos()cos()cos(
)cos()(sen)cos(
22
0
0 1
2
12
0 1
2
0
0
22
0 1
22
[ ]
n
TnT
m
mnT
mb
T
m
oomT
T
m
oomTo
T
oa
T
T
o
m
omomoa
Tn
b
b
dttntmbdttntmadttn
dttntmbtmab
=
++=
ωω+
ωω+ω=
ω
ω+ω+=
∑∞
=
δ
∞
=
∞
=
∞
=
∫ ∑∫ ∑∫
∫ ∑
22
12
0 1
2
0
0 1
2
0
0
22
0 1
22
00
)(sen)(sen)(sen)cos()(sen
)(sen)(sen)cos(
43
[ ]
[ ] [ ]
≠
==ω−+ω+=ωω⇒
−++=⇒
+=−
−=+
∫ ∫∫ ) (para 0
) (para )(cos)(cos)cos()cos(
)cos()cos(coscos
sensencoscos)cos(
sensencoscos)cos(
2
0 0
21
21
0
21
nm
nmTT T
oo
T
oo dttnmdttnmtntm
bababa
bababa
bababa
[ ]
[ ] [ ] )( 0)(sen)(sen)(c)(sen
)(sen)(sencsen
csencossen)(sen
csencossen)(sen
0 0
21
21
0
21
nm,dttnmdttnmtnostm
babaosba
osabbaba
osabbaba
T T
oo
T
oo ∀=ω−+ω+=ωω⇒
−++=⇒
−=−
+=+
∫ ∫∫
[ ]
[ ] [ ]
≠
==ω+−ω−=ωω⇒
+−−=⇒
+=−
−=+
∫ ∫∫ ) (para 0
) (para )(cos)(cos)(sen)(sen
)cos()cos(sensen
sensencoscos)cos(
sensencoscos)cos(
2
0 0
21
21
0
21
nm
nmTT T
oo
T
oo dttnmdttnmtntm
bababa
bababa
bababa
44
RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais
Exemplo: caso da função “dente de serra”
f(t) = t, para 0<t<1, período 1
π−=
∀=
=
nn
n
o
b
na
a
1
)( 0
1
n=9
n=8
n=7
n=6
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
n=0
45
RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais
Primeira simplificação: série de cossenos (ou série de senos)
)cos()(sen)cos( nononon tntnbtna ϕ−ωρ≡ω+ω ( )nanb
n
nn
tg
ba
1
22
−=ϕ
+=ρn
)(sen)(sen)cos( nononon tntnbtna ϕ−ωρ≡ω+ω( )
nbna
n
nn
tg
ba
1
22
−−=ϕ
+=ρn
ou
série de cossenos
∑∞
=
ϕ−ωρ+=1
2)cos()(
n
nonoa
tntf[ ]∑∞
=
++=1
2)(sen)cos()(
n
onon
atnbtnatf o ωω ⇒
46
RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais
Segunda simplificação: série de exponenciais complexas
( )( )
−=ϕ
+=ϕ⇒
ϕ−ϕ=
ϕ+ϕ=
ϕ−ϕ
ϕ−ϕ
ϕ−
ϕ
ii
i
ii
i
i
ee
ee
ie
ie
21
21
sen
cos
sencos
sencos
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2
2
22
22)(sen)cos(
nibna
n
nibna
n
toin
n
toin
n
toinnibnatoinnibna
i
toine
toine
n
toine
toine
nonon
c
c
ececee
batnbtna
+−
−
ω−−
ωω−+ω−
ω−−ωω−+ω
=
=
+≡+=
+≡ω+ω∴
∑∑∞
=
ω−−
∞
=
ω ++=11
2)(
n
toin
n
n
toin
noa
ecectf[ ]∑∞
=
++=1
2)(sen)cos()(
n
onon
atnbtnatf o ωω ⇒
47
RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais
Para n<0:
( ) ( ) nnnnnn cibaibac ≡−≡+= −−− 21
21
∑∞
−∞=
ω=n
toin
nectf )(⇒
Para n=0:
( )( )
2
21
21
oa
o
ooon
ooon
c
ibacc
ibacc
=⇒
+==
−==
−
( ) nnanb
n
nnn
tgcArg
bac
ϕ−==
ρ=+=−−1
22
)(
n
48
RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais
Válido para funções periódicos (período T, freqüência ωo=2π /T )∑∞
−∞=
ω=n
toin
nectf )(
[ ] dtetfdttnitntfibac
T
toni
T
T
ooTnnn ∫∫ ω−=ω−ω=−=
0
)(1
0
121 )()(sen)cos()()(
δωω=ω=ω≡
ω→ω
δω→ω
ππω
)()()(21
21 FFFc
n
oTn
o
o
Para representar uma função f(t) genérica, não periódica, fazemos T→∞
T→∞ ⇒
∫∫∞
∞−
ω−
−
ω− ===ω dtetfdtetfTcF ti
T
T
toin
n )()()(
2
2
∫∑∑∞
∞−
ωπ
∞
−∞=
ωπ
∞
−∞=
ω ωω≅δωω≅= deFeFectf ti
n
toin
n
toin
n )()()(21
21
49
RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais
Resumo
[para representação de uma função f(t) qualquer]
∫
∫∞
∞−
ω−
∞
∞−
ωπ
=ω
ωω=
dtetfF
deFtf
ti
ti
)()(
)()(21
Domínio do tempo Domínio da freqüência
f1
f2
f3
f4
F1
F2
F3
F4F=TF(f)
f=TF-1(F)
50
RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais
( )( )
)()(
)()(
)(
)(
2
2
1
1
o
toi
oti
o
at
a
aa
Fetf
eFttf
aFf
Fatf
ω−ω⇔
ω⇔−
ω⇔
⇔
ωπ−
ωπ
ω
Propriedades da Transformada de Fourier
f t e t( ) = − 2
F e( )ω πω
= −2
4
4
2)(22
24
22)(
4
222
2
1
24
2
22
otoit
otiott
aa
t
a
a
a
ta
eee
eee
ee
ee
ω−ω−ωπ−−
ωπω−−−
ω−−
ω−π−
π⇔
π⇔
π⇔
⇔
⇔⇔⇔⇔
51
RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais
Transformada de Laplace
(*) A Transformada de Fourier nem sempre é calculável analticamente; para estender sua aplicabilidade, fazemos algumas simplificações:
-Tratamos apenas funções definidas a partir de t=0;- Introduzimos um fator multiplicativo ( e-rt ), de modo que f(t)e-rt se reduza a zero em t=∞
[ ] )()()( )()(
00
)(
0
pFdttfedttfedtetfeF pttirtirt ≡===ω⇒ ∫∫∫∞
−
∞
ω+−ω−
∞
−
dpepFdepFdeepFtf
tdepFtfe
pt
i
tirtirt
tirt
∫∫∫
∫∞+
∞−
π
∞+
∞−
ω+π
∞+
∞−
ωπ
+∞
∞−
ωπ
−
=ω=ω=⇒
>ω=
)()()()(
)0( )()(
21)(
21
21
21
52
RepresentaRepresentaçção matemão matemáática de sinaistica de sinais
Conclusão
[para r=0 ⇒ p=iω ⇒ recuperamos a Transformada de Fourier]
∫
∫∞
∞−
−
∞
∞−
π
=
=
dtetfpF
dpepFtf
pt
i
i
pt
i
)()(
)()(21
Transformada de Laplace
A Transformada de Laplace é mais tratável analiticamente do que a Transformada de Fourier
53
54
RelaRelaçções entre domões entre domíínio do tempo & domnio do tempo & domíínio da freqnio da freqüüênciaência
No domínio da freqüência, as relações entre os sinais de
entrada e de saída para um circuito envolvem funções:
[ ]
dtd
RC
saídadtd
entrada
saídadt
d
entrada
saídadt
dQ
entrada
saídaentrada
p
RC
RC
R
RI
dtd
entrada
saída
saída
↔∴
=
+=
+=
+=
+=
+
v1v
vv
vv
vv
1
1v
v
v
Exemplo:
RCpV
V
entrada
saída
+=1
1)(
)(
ωω
C
R
VsVe
No domínio do tempo, as relações entre os sinais de entrada
e de saída são descritas por equações diferenciais:
dtd
entrada
saída
RCt
t
+=
1
1)(v
)(vC
R
VsVe
RCpV
V
entrada
saída
+=1
1)(
)(
ωω
55
[ ] [ ]ubbbyaaa
ubbbyaaa
om
m
mm
m
mon
n
nn
n
n
om
m
nm
m
mon
n
n
n
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
ud
dt
ud
dt
yd
ndt
yd
n
... ...
......
1
1
11
1
1
1
1
11
1
1
+++=+++⇒
+++=+++
−
−
−−
−
−
−
−
−−
−
−
RelaRelaçções entre domões entre domíínio do tempo & domnio do tempo & domíínio da freqnio da freqüüênciaência
Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.)
Caso Geral
[ ] [ ]
[ ] [ ]
on
nn
n
om
mm
m
m
m
n
n
apapa
bpbpb
pU
pY
o
m
m
m
mo
n
n
n
n
pt
o
m
m
m
oo
n
n
n
ni
pt
o
m
m
m
mi
pto
o
n
n
n
ni
ptm
idt
d
ptn
idt
d
pt
i
pt
i
pUbpbpbpYapapa
dpepUbpbpbpYapapa
dpepUpbpbpbdpepYpapapa
dpepUptu
dpepYpty
dpepUtu
dpepYty
+++
+++
−−
−−
∞−
−−
−
∞−
−
∞−
−
∞
∞
∞
∞
−−
−−=∴
=+++−+++⇒
=+++−+++⇒
+++=+++∴
=⇒
=⇒
=
=
∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
...
...
)(
)(
1
1
1
1
0
1
1
1
121
0
1
121
0
1
121
0
21
0
21
0
21
0
21
11
11
0)(...)(...
0)(...)(...
)(...)(...
)()(
)()(
)()(
)()(
π
ππ
π
π
π
π
56
))...()((
))...()((
))...()((
))...()((
...
...
)(
)(
01
''1
'
01
''1
'
11
11
pppppp
pppppp
a
b
ppppppa
ppppppb
apapa
bpbpb
pU
pY
nn
omm
n
m
nnn
ommm
on
nn
n
om
mm
m
−−−−−−
−−−
−−−
+++
+++
−
−
−
−
−−
−− ===
))...()((
))...()((
21
21)(n
m
n
m
pppppp
zpzpzp
a
b
pT −−−−−−=
RelaRelaçções entre domões entre domíínio do tempo & domnio do tempo & domíínio da freqnio da freqüüênciaência
Equação Diferencial ↔ Equação polinomial
Para Y(p) ≡ Vsaída(p) e U(p) = Ventrada(p)
⇒ A função de transferência, genericamente, tem m zeros e n polos
tpn
i
i
no
n
m
n
nnt
dt
yd
dt
yd
i
nn
onn
on
n
nn
n
n
eCty
pppaaaa
aaaey
yaaa
∑=
−−
−
=∴
=−−−=+++⇒
=+++⇒=
=+++
−
−
−
−
1
21
'1'
1
1
)(
0))...()(()...(
0...
0...
1
1
1
1
λλλλλλ
λλλλ
Solução para a equação homogênea
57
4a. aula
58
RelaRelaçções entre domões entre domíínio do tempo & domnio do tempo & domíínio da freqnio da freqüüênciaência
Exemplo 1
)(v )(v)(v
)(1
1
ttRCt
T
saídasaídadtd
entrada
RCp
+=∴
=ω +
C
R
VsVe
Para ventrada(t)=Vo t≥0
)1((...))(v
00)1(
(...)
0)(v )(v
)(v )(v
21
1
2
2
2
RCt
oRC
t
saída
RC
saídadtd
saídadt
d
saídasaídadtd
o
eVeKKt
p
pRCpppRCp
ttRC
ttRCV
−−
−
−==+=⇒
=
=⇒=+=+⇒
=+⇒
+=
59
RelaRelaçções entre domões entre domíínio do tempo & domnio do tempo & domíínio da freqnio da freqüüênciaência
Exemplo 2
)(v)(v)(v
)(1
tRCttRC
T
saídadtd
saídaentradadtd
RCp
RCp
+=∴
=ω +
Para ventrada(t)=Vo t≥0
[ ]
RCt
oRC
t
saída
RC
entradadtd
saídasaídadtd
saídasaídadtd
entradadtd
R
tsaídasaídaentradadt
d
eVeKt
pRCp
tRCttRC
ttRCtRC
ttC
−−
−
===⇒
=⇒=+⇒
==+⇒
=−⇒
=−
(...))(v
01
0 )(v)(v)(v
)(v)(v )(v
)(v)(v
1
1
)(v
R
C
VsVe
60
RelaRelaçções entre domões entre domíínio do tempo & domnio do tempo & domíínio da freqnio da freqüüênciaência
Exemplo 3
)(v)(v)(v)(v)(v
)(
2
2
21
1
tLCtRCttRCt
T
saídadt
dsaídadt
dsaídaentradadt
dentrada
LCpRCp
RCp
++=+∴
=ω++
+
Para ventrada(t)=Vo t≥0
( )
( ) ( )
( )
entradaentradadtd
saídasaídadtd
saídadt
d
entradaLCentradadtd
LR
saídaLCsaídadtd
LR
saídadt
d
Lsaídaentrada
Centradadtd
LR
dtd
Centradadtd
LR
saídadtd
LR
saídadt
d
CI
entradaLR
saídaLR
saídadtd
CI
saídaentradaLR
saídaentradadtd
entradadtd
Lsaídaentrada
dtd
dt
Idsaídaentradadt
d
dtdI
saídaentrada
CI
dtd
dt
Identradadt
d
C
Q
dtdI
entrada
RCRCLC
I
I
LL
IRL
RIL
vvvvv
vvvvv
vvvv
vvv
vvvvv
vvvv
v
v
2
2
112
2
vv112
2
vv
2
2
2
2
+=++⇒
+=++⇒
+=+=+⇒
+=+⇒
+−+−=∴
=
=−⇒=−
++=
++=
−
−
C
L
Vo
R
Vsaída
61
tptp
saída
LC
LCRCRC
LC
LCRCRC
saídadtd
saídadt
dsaída
dt
d
ooodtd
saídasaídadtd
saídadt
d
eKeKKt
p
pp
RCpLCpppRCpLCp
RCLC
VVVRCRCLC
23
121
22
42)(
12
42)(
223
2
2
3
3
2
2
)(v
)(
)(
0
0)1(
(...)
0vvv
vvv
++=⇒
≡
≡=⇒
=++=++
=++⇒
=+=++
−−−
−+−
Para ventrada(t)=Vo t≥0
62
RelaRelaçções entre domões entre domíínio do tempo & domnio do tempo & domíínio da freqnio da freqüüênciaência
Condições de estabilidade para um circuito [a partir dos polos da função de transferência]
))...()((
))...()((
...
...
21
21
11
11)(
n
m
n
m
on
nn
n
om
mm
m
pppppp
zpzpzp
a
b
apapa
bpbpbpT −−−
−−−
+++
+++ ≡= −−
−−
0...1
1 =+++ −− o
n
n
n
n apapa
[ ] 0v...1
1
1 =+++ −
−
− saídaodt
dndt
dn aaa n
n
n
n
A função de transferência assume valores singulares quando:
A esta condição corresponde a equação diferencial homogênea:
Esta equação corresponde ao circuito sem sinal de entrada, e a
solução é:
tpn
i
isaídaieCt ∑
=
=1
)(v
63
RelaRelaçções entre domões entre domíínio do tempo & domnio do tempo & domíínio da freqnio da freqüüênciaência
Princípio de superposição aplicado a equações diferenciais ordinárias:
(t)S(t)Stwtuyaaa
(t)Stwyaaa
(t)Stuyaaa
on
n
n
n
on
n
n
n
on
n
n
n
dt
yd
ndt
yd
n
dt
yd
ndt
yd
n
dt
yd
ndt
yd
n
211
21
11
solução tem)()(...
solução tem)(... e
solução tem)(... Se
1
1
1
1
1
1
βα ++=+++⇒
=+++
=+++
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Supondo u(t)=0 ⇒ S1(t) é a solução para a equação homogênea
∴A solução para a equação homogênea faz parte da solução geral
Mesmo que não conheçamos a solução para a resposta do circuito a um sinal qualquer, podemos ter informações sobre seu desempenho a partir dos polos da
função de transferência:
Conclusão
tpn
i
isaídaieCt ∑
=
=1
)(v
-Polo real > 0 ⇒ circuito instável, saturação;- Polo real < 0 ⇒ estável;
- Polo imaginário puro ⇒ oscilação.
Exemplos
64
O Teorema da O Teorema da ConvoluConvoluççãoão
A convolução entre duas funçoes g(t) e h(t) é uma função f(t) definida como:
∫∞
∞−
−=≡ τττ dthghgtf )()(*)(
Por outro lado, sabemos que:
[ ]
[ ]
[ ]ωτω
ωτ
ω
ω
ωτπ
τωπ
ωωπ
ωτω
ωωτ
ωωωωτ
ωωω
ω
iti
i
ti
H
iti
titi
eHdtethH
eHHthTF
deeHdeHth
dtethHdeHth
HthTF
−∞
∞−
−
−
∞
∞−
−∞
∞−
−
∞
∞−
−∞
∞−
=−=⇒
==−∴
==−⇒
==⇒
=
∫
∫∫
∫∫
)()()('
)()(')(
)()()(
)()( ; )()(
)()(
)('
21)(
21
21
65
)()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)(
ωωω
ωωττω
τωττττ
ττττττ
τττω
ωτ
ω
ω
ω
ωω
ωω
ωτ
GHF
GHdegH
deHgddtethg
ddtethgdtdethg
dtedthgdtetfF
i
ti
eH
ti
titi
titi
i
=∴
==
=
−=
−=
−=
−==
−∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
−
∫
∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫
−
Dados vin(t) e a função de transferência T(ω) para um circuito, podemos obter vout(t) pelo seguinte processo:→T(t)=TF-1[T(ω)]
→Vin(ω)=TF[vin(t)]
→Vout(ω)=T(ω)vin(ω)
→vout(t)=T(t)*vin(t) ou TF-1[Vout(ω)]
(*) Esta é uma alternativa à solução da equação diferencial
66
Teoremas de Teoremas de TheveninThevenin e de e de NortonNorton
Rcarga
Qualquer circuito
contendo fontes e
resistores Rcarga
Req
Vs
Veq
Representação do Teorema de Thevenin
• Quando suprimimos a resistência de carga, não há passagem de corrente. Nesse caso, a diferença de potencial entre os terminais de saída do circuito é Veq. Ou seja, Veq é a
voltagem em regime de ‘circuito aberto’.
• Quando a resistência de carga é nula há passagem de corrente, I. Req é dado por Veq / I
• Na ausência de resistência de carga, Req é a resistência observada quando as fontes são reduzidas a curto-circuitos.
qualquer circuito contendo fontes de tensão e resistores pode ser reduzido a um circuito equivalente contendo apenas uma fonte de
tensão (Veq) e um resistor (Req) em série.
Teorema de Thevenin
67
Teoremas de Teoremas de TheveninThevenin e de e de NortonNorton
Aplicação: Ponte de Wheatstone V
R1 R2
R3 R4
Rcarga
Para encontrar Veq e Req :1) supomos que V é substituído por um curto-circuito e que a resistência de carga é suprimida
R1 R2
R3 R4
V
VA VB
R1R2R3 R4
42
42
31
31
RR
RR
RR
RR
eqR ++ +=⇒⇒⇒⇒
2) Veq é a diferença de potencial entre os terminais de saída quando não há carga
( )42
4
31
3
RR
R
RR
R
BAeq VVVV ++ −=−=⇒⇒⇒⇒
68
Teoremas de Teoremas de TheveninThevenin e de e de NortonNorton
• Os dois teoremas devem ser equivalentes
• Quando cirto-circuitamos todas as fontes ⇒ Veq = 0, Ieq = 0 e encontramos a equivalência ⇒ Req(Thevenin) = Req(Norton)
• Ieq é a corrente que circula por Req quando a resistência de carga é nula (curto circuito).
⇒ Ieq = Veq / Req
qualquer circuito envolvendo fontes de tensão e resistores pode ser reduzido um circuito equivalente contendo apenas uma fonte de
corrente (Ieq,) e um resistor (Req ) em paralelo.
Teorema de Norton
Qualquer circuito
contendo fontes
e resistores
Req
Veq ReqIeq
69
Teoremas de Teoremas de TheveninThevenin e de e de NortonNorton
Exemplo
• Um detector de partículas (a gás ou semicondutor) é equivalente a uma capacitor – impedância C=Zeq;
• A detecção de uma partícula pode ser interpretada como uma fonte de corrente (equivalente Norton) ou uma fonte de tensão (equivalente Thevenin);
) constantes e ( 1ln)( oeqtt tK(t) VKtVo
=−=
Num detector a gás monofilar, a queda de tensão devida à absorção de uma partícula pode ser calculada:
No modelo Thevenin, a fonte de tensão (partícula detectada) está em série com a capacitância que representa a resistência de saída do detector (C=Zeq). A resistência de carga neste caso define um circuito
diferenciador (filtro passa-alta)
No modelo Norton, a partícula detectada equivale a uma fonte de corrente em paralelo com o capacitância do detector. Esta corrente está relacionada com a diferença de tensão entre os terminais do capacitor
RCt
etVtVsaída
−
≈⇒ )()(
( ) - 1ln)( 12
KCtIoo tt
CKtt
dtd
eq −=−=
70
5a. aula
71
0=∑nós
iI
Regras de Regras de KirchoffKirchoff
• Qualquer circuito apresenta nós e malhas, pelas malhas circulam correntes, nos nós se estabelecem potenciais elétricos;
• Suponhamos que haja n correntes incógnitas num circuito que contém m nós. A soma das correntes que convergem a cada nó se anula. Portanto:
• Esta condição pode gerar m-1 equações;
• No total, como há n correntes incógnitas, pode haver no máximo n equações;
• A soma das quedas de tensão nas malhas também deve se anular:
0=∑malhas
iV
• Desta última só podem surgir n-(m-1) equações independentes;
As regras de Kirchoff permitem estabelecer o sistema de equações lineares independentes e encontrar sua solução ⇒ identificar todas as tensões e todas as correntes envolvidas no circuito;
Queremos determinar as correntes (em todos os componentes) e as tensões (em todos os pontos) de um circuito
72
I1=∆V1/R1
I2=∆V2/R2
.
.
.
In=∆Vn/Rn
0=∑malhas
iV
0=∑nós
iI
n equações para as n correntes
Em cada nó: ⇒
(I1+I2+...)nó 1 = 0
(I1+I2+...)nó 2 = 0
.
.
.
(I1+I2+...)nó m = 0
01
=∑=
m
i
iI⇒ ⇒
m-1 equações independentes:
Cada uma delas é um vínculo a ser considerado nas n equações
para as correntes
⇒ No total: n-(m-1)
equações independentes
Considerando as quedas de tensão nas malhas
⇒Supondo que estas relações geram equações independentes
⇒ o circuito deve ter n-(m-1) malhas e n-(m-1) correntes independentes
Regras de Regras de KirchoffKirchoff
73ca
bc
c
b
ba
a
III
III
II
II
III
II
−=
−=
=
=
−=
=
6
5
4
3
2
1
=
+−−−
−+−−
−−+
0
0
)(
54353
55211
3131 V
I
I
I
RRRRR
RRRRR
RRRR
c
b
a
=−−+−
=−−−−
=−+−
0)()(
0)()(
)()(
435
251
31
ccabc
bbcba
caba
IRIIRIIR
IRIIRIIR
VIIRIIR
Regras de Regras de KirchoffKirchoff
V
R1 R2
R3 R4
Rcarga
I1
I2 I3
I4
I5
I6
I1
Ia
V
Ib
Ic
6 correntes, 4 nós ⇒ 6-(4-1) = 3 equações independentes ⇒ 3 malhas
0=∑malhas
iV ⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒
74
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]ViRDetVRDet
I
RDet∆
VIR
i
VRDet
ii
por asubstituíd coluna com onde
são soluções As
Seja
=→
=
=
=
∆→
[ ] [ ]
[ ] [ ]
41325
53514131533231515
5354315213515
5433
51
331
53
5211
131
15
)()(
0
0
)(
0
0
)(
RRRRI
RRRRRRRRRRRRRRRRI
RRRRRRRRRRRRI
RRRR
RR
RVRR
Det
RR
RRRR
VRRR
DetIII
V
V
V
bc
−=
++−−+−++−=
−+−−−−+−−−−=
+−−
−
−+
−
−
+−−
−+
=−=
∆
∆
∆
∆
Regras de Regras de KirchoffKirchoff
3
41
25 0R
RRRI =⇒=
75
Materiais SemicondutoresMateriais Semicondutores
Os átomos de um material semicondutor são dispostos em uma rede cristalina. Enquanto em um átomo isolado os níveis de energia acessíveis a um elétron são discretos, quando ordenados na
rede os níveis se subdividem (degeneração) a tal ponto que para o cristal podemos identificar bandas de energia. A chamada banda de valência é ocupada por elétrons ligados aos átomos e a banda de condução contém os elétrons livres para circular pela rede cristalina. Entre as bandasde condução e valência existe a banda ‘proibida’, no sentido de que não há probabilidade para
que um elétron do cristal tenha energia com valor dentro desta banda.
Valência Condução Proibida Intersecção
ISOLANTE SEMICONDUTOR CONDUTOR
∼ 6 eV ∼ 1 eV
Classificação de materiais em termos da estrutura de bandas de energia acessíveis aos elétrons
76
Materiais SemicondutoresMateriais Semicondutores
Na rede cristalina de um semicondutor puro (também denominado intrínseco) a temperatura ambiente, existe uma probabilidade não nula para que elétrons passem para a banda de
condução, de modo que pares elétron-buraco são constantemente gerados. Em condições de equilíbrio elétrico e térmico a concentração ni de elétrons ou buracos pode ser expressa por:
Semicondutor intrínseco
n T ei
E
kT
g
≈−
3 2 2/
a 300 K, ni ≈ 2.5 x 1013 /cm3 ( para silício) e 1.5 x 1010 /cm3 (para germânio).
Densidade do próprio semicondutor ≈ 1022 átomos/cm3.
T é a temperatura em K, Eg é a diferença de energia entre bandas a 0o K, k é a constante de Boltzmann
Exemplo:
77
Materiais SemicondutoresMateriais Semicondutores
• Tanto silício quanto germânio são átomos tetravalentes;
• A substituição de um dos átomos da rede por um átomo pentavalente equivale a acrescentar um elétron à rede, enquanto que a substituição por um átomo trivalente equivale a acrescentar um buraco;
• Os semicondutores dopados são referidos como ‘tipo-n’ e tipo ‘tipo-p’. Nos semicondutores tipo-n a corrente elétrica é principalmente determinada pelo movimento de elétrons, e nos tipo-p pelo movimento de buracos;
• Impurezas tipicamente usadas: fósforo, arsênio, antimônio, gálio, índio e boro;
• No semicondutor dopado o equilíbrio elétrico é mantido, já que o átomo acrescentado também é eletricamente neutro.
Semicondutor dopado
Elétron em excesso Buraco em excesso
78
Materiais SemicondutoresMateriais Semicondutores
• Uma junção p-n é obtida quando se fabrica um semicondutor tipo-p justaposto a um tipo-n;
• Na região de interface entre os dois, haverá tendência dos elétrons a migrar para a região tipo-p, e dos buracos a migrar para a região tipo-n;
• A região tipo-n torna-se carregada positivamente por haver capturado buracos, e a região tipo-p torna-se carregada negativamente por haver capturado elétrons;
• Um campo elétrico se estabelece, com uma diferença de potencial tipicamente da ordem de 1V.
Junção de semicondutores
np
Diodo = dispositivo semicondutor formado pela junção de dois semicondutores dopados com polaridades opostas
79
DiodosDiodos
• O diodo pode ser polarizado de modo a favorecer ou a bloquear a passagem de corrente;
• Se aplicamos uma diferença de potencial entre os terminais p e n, de modo que do lado n o potencial seja inferior ao do lado p, favorecemos a migração de portadores de carga através da junção. Haverá
portanto passagem de corrente pelo diodo.
• O movimento de elétrons é oposto ao que convencionalmente adotamos para simbolizar a direção da corrente elétrica (do potencial positivo para o negativo).
• Invertendo a diferença de potencial, ou seja, aplicando ao lado n um potencial superior ao do lado p, estaremos confinando ainda mais os elétrons à região p e os buracos à região n. Neste caso somente
uma pequena corrente residual passa pela junção, em direção oposta à anterior.
• A magnitude desta corrente residual depende da temperatura, da concentração de impurezas p e n, e está também relacionada com as características do material semicondutor.
• Sob polarização reversa, a região de interface da junção p-n fica desprovida de portadores de carga.
• Quanto maior a diferença de potencial reversa, maior a região desprovida de portadores de carga, chamada de ‘região de depleção’.
80
Polarização do diodo:À esquerda: polarização favorável ⇒ passagem de corrente;
À direita: polarização reversa ⇒ aumento da região de depleção.
np n p
DiodosDiodos
kTeV
kTeV
o
o
o
KeI
eII
−
=
−= 1
V
I
≈ 0,6 Volts
No diodo, a relação matemática entre V e I é não-linear
V≠ ZI
81
DiodosDiodos
Aplicação básica: retificador de forma de onda (meia onda)
Função do resistor R: limitar a corrente que passa pelo diodo
Ve R
Vs
Ve
t
Vs
t
82
DiodosDiodos
Aplicação: retificador de forma de onda (onda completa)
Ve
R
Vs
D1
D3 D4
D2
Ve
t
Vs
t
83
DiodosDiodos
Aplicação: fonte de tensão
Ve
R
Vs
D1
D3 D4
D2
L
C C
Fonte de alimentação DC, com retificação completa e filtragem LC
Ve
R
Vs
D1
D3 D4
D2L
C C
Vs
t
84
DiodosDiodos
• Em um diodo polarizado na direção oposta à condução de corrente, a diferença de potencial tende a aumentar a região de depleção, confinando elétrons e buracos em lados opostos da junção;
• Aumentando esta diferença de potencial chega-se a um limite de ruptura, Vz, a partir do qual elétrons são desprendidos de suas posições na rede cristalina, e acelerados em direção ao eletrodo correspondente;
• Um elétron nestas condições colide com outros elétrons, que por sua vez colidem com outros e contribuem em uma avalanche de carga elétrica;
• Resulta que uma corrente importante passa pelo diodo, e esta corrente não é necessariamente destrutiva. Fabricam-se diodos que podem suportar correntes reversas de até alguns amperes.
Diodo Zener
V
I
Vz
85
DiodosDiodos
Aplicação do Diodo Zener: regulagem de tensão
Ve
R
Vs
D1
D3 D4
D2
L
C C
Fonte de alimentação DC, com retificação completa e filtragem LC
Ve
R
Vs
D1
D3 D4
D2L
C C
86
6a. aula
87
DiodosDiodos
Diodo Zener: condições para regulagem
VI
VIRV
fRfR
fV
ff
1
0
−=⇒
=−−
Rc
Rf
Vf
V
Fonte não regulada
I
Fonte com regulador Zener
Rc
Rf
Vf
V=Vz
I
Diodo operante ⇒ Iz >0
III
III
cz
cz
<⇒>
+=
0
Corrente na carga
cRV
cI =
88
f
f
R
V
fI =
V
I
Vz Vf
IfIz
Regulagem
cRV
cI =
DiodosDiodos
Diodo Zener: condições para regulagem
89
DiodosDiodos
Modulação e demodulação de freqüência
)1()( −= xeKxf ...)( 3
6
2
2+++= xxKxxf KK⇒⇒⇒⇒
( )1)( −= kTeV
eIVI o⇒⇒⇒⇒ 2
21 VaVaI += 1 para <<kTeV
)()()( 2211 tSenVtSenVtVV ωω +==
[ ] ( )[ ] tVattVVaVaVatVtVVVIaa
)(sen )(sen )(sen 2)2cos()2cos()( 2211
modulação
22122111
dobradas sfreqüência
2
2
21
2
12
constante
2
2
2
1222 ωωωωω +++++−+=
⇓⇓⇓⇓
90
DiodosDiodos
Circuito de modulação
ω1>>ω2
ω1
L1 C1 L1 C1
ω2
ω1
0 20 40 60 80 100
-3
-2
-1
0
1
2
3
V(t)=[2+senω2t]senω1t
ω1=10ω2
V(t)
t
91
DiodosDiodos
L1 C1
ω1
RC<<ω1
Vs
Circuito de demodulação
92
Transistores bipolaresTransistores bipolares
b
e
c
b
e
c
b
e
c
b
e
c
npn pnp
Junções
Símbolo
Circuito
• Componentes obtidos por uma dupla junção (npn ou pnp);
• A dupla junção determina 3 terminais: base, emissor, coletor;
• Da base para o emissor há um diodo, que é polarizado para conduzir corrente;
• Da base para o coletor há um diodo polarizado reversamente, funcionando como “reservatório” de portadores de carga ⇒ a corrente de saída provém desta junção
93
Transistores bipolaresTransistores bipolares
Fornecer corrente de saída Ie (no emissor) às custas do coletor. Este último obtém corrente de uma fonte de alimentação externa.
“MISSÃO” do Transistor:
A corrente total disponbilizada no emissor é dada por: Ie=Ic+Ib onde Ib é a corrente na entrada (base).
A eficiência de um transistor é medida por:
e
c
I
I=α
( ) ( )
bbc
bcc
b
I
bec
III
III
IIII c
βαα
αα
α
α
≡=∴
==−⇒
−=−=
−
−
1
11 1
94
Transistores bipolaresTransistores bipolares
ambiente a 26 com , 1 TmVe
kTT
TVBEV
SC VeII ≈=
−=
A corrente no coletor é dada por (modelo de Ebers-Moll):
VBE = diferença de potencial entre base e emissor
Para que o transistor funcione deve haver uma polarização mínima entre coletor e emissor:
IC
VCE
(VBE)3
(VBE)2
(VBE)1
Região de Operação
95
Transistores bipolaresTransistores bipolares
),( CEBECC VVII =
CEV
I
BEV
I
c dVdVdICE
C
BE
C
∂∂
∂∂ +=
Parâmetros intrínsecos para o transistor em regime dinâmico
CEV
I
BEV
I
cCE
C
BE
Ci vv∂
∂
∂
∂+=
CEV
I
BEV
I
c CE
C
BE
Bi vv ∂∂
∂∂ += β
C
CE
B
BE
I
V
I
Vr ∂
∂∂
∂ == ρ e , Definimos:
sintrínseco parâmetros 1 =
→+=
ρβρ
β
r
i CEBErc vv⇒⇒⇒⇒
96
Transistores bipolaresTransistores bipolares
B
BE
C iBEir
vv =≈ β
BErci vβ≈
Como ρ ≈ ∞
⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒ ( r = resistência de entrada do transistor )
T
C
T
SC
T
TVBEV
STVBEV
BEBE
C
V
I
V
II
V
eI
s
IeI ≈==
−= +
∂∂
∂∂
1vv
(mA)
26
bImV
bITV
cITV
cIBEV
bIBEV
r
r
≈⇒
=β=β== ∂∂
∂∂
97
Transistores bipolaresTransistores bipolares
Circuitos Básicos
Base
Coletor
Emissor Base
Emissor
Coletor Emissor
Base
Coletor
Coletor comum Emissor comum Base comum
• ganho em tensão (Av)
• ganho em corrente (Ai)
• impedância de entrada (Ze)
• impedância de saída (Zs)
• ganho em potência (Ap = AvAi)
98
7a. aula
99
Transistores bipolaresTransistores bipolares
Coletor comum
VCC
ve
vs
RE
Mais precisamente:
constante 6,0 ≈≈− EB VV se vv ≈⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒ 1A ≈v
EEB iRri +=ev ( )[ ] BE iRr 1+β+=ev ( ) BEEE iRiR 1+== βsv
( )( ) E
E
Rr
R
1
1
+++== β
β
e
s
v
v
vA⇒⇒⇒⇒
Ganho em tensão:
100
Transistores bipolaresTransistores bipolares
Coletor comum
( ) ( ) eBEs iiii 1 1 +β=+β==Ganho em corrente:
ββ ≈+== 1e
s
i
i
iA
Impedância de entrada: ( )[ ] ( ) EEBiBiERr
Bieie RRrZ β≈+β+==== +β+1
1bvev
ve (=vB) vs (=vE)r
RE
iB
iE
ve (=vB) vs (=vE)r/(β+1)
RE
iE
iE
Impedância de saída:
( )( ) 11
1
1+β+β+
+β
++β
=⇒== rsERr
ER
ERrER
Zees vvv
101
Transistores bipolaresTransistores bipolares
Emissor comum
VCC
ve
vs
RE
RC
VCC
ve
vs
RE
RC
C
VCC
ve
vs
RC
CCCCC IRVV −=CCiR−== cs vv
CEEE iRiR ≈=≈= EBe vvvE
C
CE
CC
R
R
iR
iR −=≈ −vA
Ganho em tensão:
⇒⇒⇒⇒
⇒⇒⇒⇒
Fazer RE=0 ⇒ máximo ganho em tensão
102
Transistores bipolaresTransistores bipolares
Mais precisamente:
( )[ ] BEEEB iRriRri 1++=+= βev
( )[ ] BEEEB iRriRri 1++=+= βev ( )[ ]( )
( )[ ] ( ) E
C
BE
BC
BE
CC
Rr
R
iRr
iR
iRr
iR
1 1 1 ++++++
− −=−==∴ ββ
ββ
βvA⇒⇒⇒⇒
eBCs iiii ββ ===
eBCs iiii ββ ===
⇒⇒⇒⇒
Ganho em corrente:
β=iA
( )[ ] ( ) Ei
iRr
ie RrZB
BE
B1
1 ++=== ++ ββBv
Impedância de entrada:
Impedância de saída:
Se RC é a carga ⇒ corrente vem da junção base-colegor⇒ρ é a impedância de saída
Se a carga é externa ⇒ a corrente vem de ρ || RC ⇒ ρ || RC é a impedância de saída
ve vs (=vC)ρ
RC
iC
iC
ve vs (=vC)ρ ||RC
RcargaiC
iC
103
Transistores bipolaresTransistores bipolares
Base comum
Ganho em tensão
VCC
ve
vs
RE
RC
VBB
r
R
ri
iR
ri
iR C
B
BC
B
CCAββ === −
−v
Ganho em corrente
( ) 1 1
−≈−== +−
B
B
E
C
i
i
i
i
iA ββ
Impedância de entrada
11
1
1|| +β+
+β
+β+β ≈== r
ERr
ERr
Er
in RZ
ve
REie r/(β+1)
O sinal de entrada continua sendo uma variação de tensão entre base e emissor
B
EB
ri
VrI
−=⇒
=−
e
BB
v
V
104
Transistores bipolaresTransistores bipolares
Mais precisamente:
−==
=−≈−====∴
−=⇒−=⇒=−−
+−=⇒+=
++++−−+−
+++−−+−
++externa) (carga
) (carga 1
0
)1(
carga
cargacarga
)1()1(
)1(
)1()1(
)1(
RR
R
ii
i
ii
i
Cii
i
ii
i
i
BRr
RREBREBBB
BReeER
C
C
ERr
BBERr
RCRCR
B
BER
RCRCR
C
ERr
BBERr
B
BER
C
EEEE
EE
R
A
iiiRriIRrIV
iiiiii
ββ
β
β
β
ββ
ββ
β
β
e
s
i
i
VCC
iE
vs
RE
RC
VBB
(0.6V) iRE
ieve
Rcarga
isiC
iRC
CRR
R
R
CRR
R
s
RsC
ii
ii
iii
CC
C
C
C
carga
carga
carga
+
+
=
=
+=
Impedância de saída: idêntico ao caso emissor comum
105
Transistores bipolaresTransistores bipolares
Resumo
106
Transistores a efeito de campo Transistores a efeito de campo ((FETsFETs))
(*) FET = Field Effect Transistor
• Dois terminais condutores são previstos nas extremidades opostas de uma região dopada com excesso de portadores tipo n.
• Entre estes terminais implanta-se uma região com excesso de portadores tipo p. Os terminais condutores são denominados ‘fonte’ (referido como S, de source) e ‘dreno’ (referido como D, de drain).
• O terceiro terminal é implementado na região p, e é denominado ‘porta’ (referido como G, de gate).
•Estabelecendo-se uma diferença de potencial entre D e S (VDS) favorece-se a passagem de corrente de S a D (canal S-D).
• O valor desta corrente não varia linearmente com VDS. Supondo que porta e fonte estejam ao mesmo potencial (VGS=0) ⇒ à medida em que se aumenta VDS, forma-se uma região de depleção cada vez maior entre G e D.
J-FET, canal n
n
p p
S
D
VGS=0
n
p p
S
D
G
D
S
VGS<0
107
• Para valores de VDS muito pequenos o volume da região de depleção é desprezível, e a corrente nesse caso varia linearmente com VDS.
• Se aumentamos o valor de VDS, aumentamos o volume da região de depleção ⇒ a resistividade do canal S-D também aumenta, de modo que relação de linearidade entre corrente e VDS égradualmente perdida.
• Continuando a aumentar VDS , chega-se a uma situação limite em que as duas regiões de depleção praticamente se encontram através do canal.
• A partir deste limite, incrementos de VDS são contra-balanceados pelo incremento da resistividade do canal, de tal forma que a corrente permanece aproximadamente constante para uma ampla faixa de valores de VDS.
• O valor de VDS para o qual a situação limite é atingida é conhecido como tensão de ruptura (pinchoff)
do canal.
• Esta tensão marca o início da região de operação do dispositivo como um transistor. Além da região de operação, ou seja, para valores de VDS muito elevados, ocorre ruptura da própria junção pn.
• Caso a tensão VGS seja menor que zero a mesma análise é válida, mas observamos que a corrente obtida na região de operação é menor do que a verificada quando VGS=0. Isto se deve essencialmente ao fato de que VGS <0 se opõe à passagem de corrente pelo canal (diodo polarizado reversamente).
• VGS não deve ser positiva. Nesse caso haveria condução de corrente no sentido oposto a ID no diodo configurado na junção pn, o que impediria o funcionamento regular do transistor.
Transistores a efeito de campo Transistores a efeito de campo ((FETsFETs))
108
Curvas características ID x VDS para transistores a efeito de campo com canal n.
ID
VDS
(VGS)1
(VGS)2
(VGS)3
Região de Operação
Ruptura (pinchoff)
Transistores a efeito de campo Transistores a efeito de campo ((FETsFETs))
( )2
1T
GS
V
V
DSSD II +=
Modelo matemático para ID x VGS para transistores a efeito de campo com canal n.
IDSS = Corrente “Drain to Source with gate Shorted”
109
Transistores a efeito de campo Transistores a efeito de campo ((FETsFETs))
),( DSGSDD VVII =
DSV
I
GSV
I
D dVdVdIDS
D
GS
D
∂∂
∂∂ +=⇒
DSGS vv ρ1+= siD
D
DS
GS
D
I
V
V
Is ∂
∂∂∂ == ρ ,
DisGSv≈1ρ ≈∞ ⇒
s = transcondutância do FET
Parâmetros intrínsecos para o FET
110
Transistores a efeito de campo Transistores a efeito de campo ((FETsFETs))
Outros tipos de FETs
Caso substituamos o semicondutor presente no canal por outro dopado com impurezas do tipo p e o gate por um do tipo n, chegamos a um dispositivo que também opera
como transistor. A diferença é que no FET com canal p a polarização VGS tem que ser invertida relativamente ao n-FET. A equação para ID em função de VGS muda para:
J-FET canal p
( )2
1T
GS
V
V
DSSD II −=
ID
VGS
IDSS
VT
n-FET
ID
VGS
IDSS
VT
p-FET
111
Transistores a efeito de campo Transistores a efeito de campo ((FETsFETs))
G
S
D
Substrato
Canal
Esboço genérico da implementação de um FET
n
GS D
SiO2
Substratop
MOS-FET
GS D
SiO2
Substratop
enhanced MOS-FET
MOS-FET, Insulated Gate FET, Enhancement FET
112
VGS
ID
IDSS
VT
Depletion n-
FET
ID
VGS
VT
Enhancement
n-MOSFET
VT
ID
VGS
Enhancement &
depletion n-MOSFET
Transistores a efeito de campo Transistores a efeito de campo ((FETsFETs))
Dependência ID x VGS
Pelo controle da geometria, composição e polarização (inclusive do substrato) podem-se obter diferentes características de operação para os FETs
113
8a. aula
114
Transistores a efeito de campo Transistores a efeito de campo ((FETsFETs))
• A principal característica dos transistores a efeito de campo é a alta impedância de entrada.
• No caso dos MOSFETs, como o terminal de entrada está fisicamente isolado dos outros terminais, a resistência de entrada atinge valores altíssimos, tipicamente da ordem de 1014 Ω. Sinais elétricos são transmitidos devido essencialmente a variações de campo elétrico através do material isolante presente entre o eletrodo de entrada e o semicondutor. Por isto: “transistores a efeito de campo”.
• No caso dos FETs de junção, ou J-FETS, a impedância de entrada também é alta porque a junção semicondutora gate-source é polarizada reversamente.
Configurações básicas de circuitos com FETs
VDD
ve
vs
RS
RD
C
RG
FET em modo source-comum.
D
sR
v
DD
DDsDDDDD
sRA
sRssi
iRVVIRV
D −===⇒
−=⇒==
−=⇒==−
−
e
e
e
S
v
v
v
v
eseGS
s
vvvv
v
( )0
1
max
2
=⇒
+== ∂∂
GS
TVGSV
TVDSSI
GSVDI
Vs
s
Ganho em tensão é máximo quando VGS=0
115
Transistores a efeito de campo Transistores a efeito de campo ((FETsFETs))
• A impedância de entrada é praticamente infinita;
• Justamente por isto, é importante a presença do resistor RG, para fixar o ponto de polarização do gate.
• A impedância de saída é obtida pelo mesmo raciocínio usado para a configuração emissor-comum ou base-comum de transistores bipolares: RD || ρ (carga externa) ou ρ (se RD é a própria carga).
• Não faz muito sentido computar o ganho em corrente para um FET, pois não há corrente de entrada.
Outra possível montagem com FET
FET em modo dreno comum
VDD
ve
Vs
RS
RG
s1
)1(
saída de impedância
: tensãodeDivisor
)1(
)(
1 =⇒=
==∴
=+⇒=
−====
+
+
es
v
v
eseG
SGGSs
vv
vvvv
vvvv
e
s
ss
s
s
s
R
R
sR
sR
v
ss
sSDSSS
A
sRsR
sRsRiRiR
A mesma corrente passa por source e dreno:
116
AssociaAssociaçções de Transistoresões de Transistores
Montagem Darlington
iC
T1
T2
iC1
iC2iB1
iB2
iE1
iE2
Montagem a Transistor Complementar
T1
T2iC1
iC2
iB1
iB2
iE1
iE2
Montagem Cascode
Exemplos de associações
r1
β1β
2 /(β
2+1)Cascode
r1
β1β
2+(β
1+1)Complementar
r1+r
2(β
1+1)β
1+β
2(β
1+1)Darlington
reqββββeq
117
Transistores: variedade de aplicações praticamente inesgotável
• Amplificadores (de carga, de tensão, de corrente, de potência)
• Filtros ativos (em combinação com resistores, capacitores e indutores)
• Adaptadores de impedância
• Fontes (de corrrente, de tensão)
• Sensores (de temperatura, de luz)
• Chaveadores a alta frequência
• Portas lógicas
(...)
AssociaAssociaçções de Transistoresões de Transistores
118
AssociaAssociaçções de Transistoresões de Transistores
Amplificador diferencialv+
ADvs=AD(v+-v-)
v-
[ ]
[ ]
−=
+=
∴
=−
=+⇒
−=−
++++=+⇒
+++=+=
+++=+=
−+−+
−+−+
−+
−+
−++
+
−++
+
−
+++
−+
−+
−
+
rRrB
rRrB
rBB
RrBB
BBinin
BBBBinin
BBBBin
BBBBin
inininin
inininin
inin
inin
i
i
ii
ii
iir
iiiir
iiriRiri
iiriRiri
vvvv
vvvv
vv
vv
vv
vv
v
v
)1(221
2
)1(221
1
21
)1(221
21
2121
2122
2111
)(
))(1(2)(
))(1(
))(1(
β
β
β
β
β
β
))(1(
)1()1(
21
2121
22
BB
BBEE
BCCCout
iii
iiiii
iRiR
++β=∴
+β++β=+=
β−=−=v
RC
Vin+
VCC
R
RC
Vin-
V’out Vout
T1T2
i
119
AssociaAssociaçções de Transistoresões de Transistores
( ) ( )[ ]( ) ( )
[ ])1(22
2
)1(22
22
++
−+−+
+++−
=
=
++−=
−=
−=−=−+−+
ββ
β
ββ
β
Rr
R
C
r
R
D
ininCininDout
Rrr
R
out
BCCCout
C
C
ininininC
A
A
AA
iRiR
vvvvv
v
v
vvvv
( ) ( )[ ]( ) ( )−+−+
+++−
++−−=
+−=
−=−=−+−+
ininCininD
Rrr
R
BCCC
AA
iRiR
out
ininininC
out
out
vvvvv
v
v
'
vvvv'
'
)1(22
11
ββ
β
⇒ Chegamos ao amplificador diferencial, desde que tenhamos AC=0
( )−+ −=⇒ ininDout Aout
vvv-v' 2
⇒ Poderíamos tomar o sinal de saída entre vout e v’out , mas desta maneira nenhum dos dois poderia ser conectado ao terra
120
AssociaAssociaçções de Transistoresões de Transistores
⇒ A melhor maneira de se obter o amplificador diferencial é fazer AC=0
[ ]
∞=⇒=
= ++
RA
A
C
Rr
R
CC
0
)1(22 ββ
Com isto obtemos um dispositivo do tipo
+
-
Vin+
Vin-
Vout
121
AssociaAssociaçções de Transistoresões de Transistores
Para fazer R=∞
R2
VCC
R4
R1
T3 T4
I3 I4
R3
31
3
3
33
3
31
RR
VV
BECC
EC
BECCI
IRVIRV
II
+−=
++=
≈
334
44
4
33
3
4
3
4
3
4
43
III
IRVIRV
R
R
R
R
R
VV
BEBE
BEBE ≈+=
+=+−
• I3 e I4 não dependem de R2 ;
• Para R3=R4 ⇒ I3=I4 ;
• Variações de tensão sobre R2 vêm impedância infinita ( ρ );
∴ Este circuito pode ser usado como um componente de resistência infinita pelo qual passa corrente i
122
R1
T4
R4
T3
R3
RC
Vin+
VCC
RC
Vin-
V’out Vout
T1T2
Amplificador OperacionalAmplificador Operacional
Ponto de partida: amplificador diferencial
Adicionam-se: estágio de ganho + estágio de driver
• Ganho elevado (da ordem de 106)• Impedância de entrada alta• Impedância de saída baixa
123
Amplificador OperacionalAmplificador Operacional
vout
vd
+VSAT
-VSAT
≈ µV
• vd ≈ 0⇒ terra virtual
• O amplificador operacional geralmente trabalha com realimentação negativa (para sair da saturação)
124
Amplificador OperacionalAmplificador Operacional
Aplicações “clássicas” dos amplificadores operacionais
“Buffer”
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
Amplificador inversorAmplificador não-inversor Somador
Subtrator Diferenciador Integrador
125
Banda passante: influência de capacitânciasBanda passante: influência de capacitâncias
Influências externas
Capacitores são introduzidos para realizar acoplamento AC, desacoplamento DC, e também como componentes “parasitas” somados ao circuito de carga
A
γ
C
Circuito equivalente
out
outTv
v'
v'
v=vin
Avvin γ
C
v’
voutRout R
126
Banda passante: influência de capacitânciasBanda passante: influência de capacitâncias
RCiR
outRZi
AZ ZT ω+++ωγ
==11
;
γ e ω são tipicamente diferentes em magnitude:
γ → grande (acoplamento, desacoplamento)
C → pequena (parasita, residual)
)(1
"1
'1
"
'
outRR
CoutRRoutRR
outRRAR
o
i
oT
i
oT
TT
T
T
+γ
+
+
ωω−
ωω+
=ω
=ω
=≈
≈
≈ → Freqüências altas (passa-baixa)
→ Freqüências baixas (passa-alta)
→ Freqüências intermediárias
127
Banda passante: influência de capacitânciasBanda passante: influência de capacitâncias
Influências internas
As influências internas são devidas à capacitância das próprias junções de semi-condutores;
A mais importante é a capacitância de base para coletor, pois implica realimentação de sinal.
O efeito final se traduz sobre uma variação do parâmetro β com a freqüência:
BCBE
rC
i
o
CCC | |
1
1
=
=ω
=β
β
βωω+
β
BCBE
fTf
f
of
if
of
CCC
ff
f
| |
21
=
≡≈β⇒≈β⇒>>
=
βββββ
βπωβ
fT é fornecido pelo fabricante.
fT é a frequência para a qual β se reduz a 1. vin CCEvoutr C
ρ | | Rcarga
128
Banda passante: influência de capacitânciasBanda passante: influência de capacitâncias
rCio
rCisr
BiCi
rCir
Bi
Ci
inZBiC
i
BE
Ci
rCir
in
inZBE
B
BiCi
s
CrZ
i
ω+β
ω+
ω+
ω+
==β=⇒
==≡
==
=
=β
11
1
1| |
v
v
129
EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas
Como detectar partículas ?
Radiação
Interação
Detecção
• Radiação transporta energia, como se fosse composta por partículas objetivamente
identificáveis, cada uma veiculando uma contribuição quantitativa (quanta)
• A detecção de partículas implica conversão da energia em algum tipo de sinal mensurável
(Exemplos: sinais elétricos e luminosos)
130
EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas
Abordagem básica
RRadiação
incidente
Circuito elétrico equivalente
Thevenin
R
C
Vs
V(t) RC
Vs
I(t)
Norton
C = capacitância do detector
R = impedância do amplificador
131
EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas
Montagem prática – detector a gás
• Partícula ioniza moléculas do gás
• Elétrons e íons migram em direção aos eletrodos
• O movimento de cargas gera um sinal elétrico u(t)
( )
+−=
++ t
rp
CVqtu
2
00
0
0
1ln2 πεε
µπεε
A ação de R e C sobre o sinal se reduz a:
( ) ( )
−≅ +
RC
ttutu exp
132
Registro de posição da partícula detectada
Posição ≈≈≈≈ tempo de propagação dos sinais através da linha de retardo
CorpoJanela
Anodo
Catodo
EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas
133
Estrutura para detecção bidimensional
2,54mm
0,3mm
1,50mm
-15-10
-50
510
15
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
-15
-10
-50
51015
(a)n = -3 a 3
b = 3mm
FWHM = 4,68mm
σ(x,y)*10-15
y(mm)
x(mm)
EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas
134
Montagem Mecânica
EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas
135
Módulos de Eletrônica
EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas
136
Parte Analógica: pré-amplificadores
Composição espectral dos sinais gerados no detector
EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas
137
Parte Analógica: pré-amplificadores
Circuito de pré-amplificação: baixo ruído, banda passante adaptada à composição espectral do sinal
EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas
138
Parte Analógica: pré-amplificadores
Banda passante simulada Banda passante medida
EletrônicaEletrônica para Detecpara Detecçção de Partão de Partíículasculas