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CEMCINEMA

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Função Exponencial

f(x) = ax

C.E. ! a > 0 e a ≠ 1 a

0 1

0 < a < 1 a >1

decrescente crescente

f(x) = ax

x

y

0 < a < 1

1 x

y

a > 1

1

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Função Exponencial

Ex. : f(x) = 5x + 3

x

y

0

1

5x

4

3

Domínio: D = R

Imagem: Im = (3 , ∞)

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(UDESC)

Se x é solução da equação 34x−1 + 9x = 6,então xx é igual a: a . ( ) b . ( ) c . ( ) d . ( ) 1 e . ( ) 27

22

14

12

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(UDESC)

Se x é solução da equação 34x−1 + 9x = 6,então xx é igual a:

34 x−1 + 9x = 6

34 x

31 + 32x = 6 x (3)

34 x + 3.32x = 18

(32x )2 + 3.(32x )−18 = 0

32x = z

( )2 + 3.( )−18 = 0z z

y2 + 3y −18 = 0

z = 3 ou z = −6z z

32x = 31 ou 32x = −6

∅ 2x =1 ∪

S = x ∈R / x =

12

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

Resolução:

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(UDESC)

Se x é solução da equação 34x−1 + 9x = 6,então xx é igual a:

Gabarito: a

xx =

12

⎛⎝

⎞⎠

12

xx = 1

2⎛⎝

⎞⎠

S = x ∈R / x =

12

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

xx = 1

2 .

22

xx = 2

2

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Exponencial

Inequação

75

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

>75

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

x 4

>

>

base > 1

38

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

>38

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

x 4

>

<

0 < base < 1

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Diagonais passam pelo centro(regular) dc= n/2

POLÍGONOS

Diagonais d = n.(n-3)/2

Diagonais não passam pelo centro Dnõo centro= d - n/2

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Soma dos ângulos externos Se = 3600

Ângulo externo polígono regular ae = 3600/n

Ângulo interno polígono regular ai + ae = 1800

POLÍGONOS

Soma dos ângulos internos Si = 1800.(n-2)

c d

e

f

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Solução : Diagonais que não passam pelo centro : diagonais – diagonais passam centro

d = d – dc

d = n.(n – 3)/2 - n/2

30 = (n2 – 3n – n)/2

Um cliente encomendou a um joalheiro um pingente especial, sendo a sua unica exigência, apenas o fato de ser um polígono regular e possuir 30 diagonais que não passam pelo centro. O formato do pingente seria exatamente qual poligono regular

Geometria Plana

60 = n2 – 4n

0 = n2 – 4n – 60

DECÁGONO

n`= 10 e n``= - 6

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Logaritmo Definição:

logb a = x bx = a

Condição de Existência: Base: b > 0 e b ≠ 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0

Exemplos:

1) log0,25 32 = x

1.

0,25x = 32

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 32

122

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 25

2−2x = 25

−2x = 5

x = −

52

log0,25 32 = −

52

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Logaritmo Definição:

logb a = x bx = a

Condição de Existência: Base: b > 0 e b ≠ 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0

Exemplos:

3) 5.log x−2( ) 3x − 8( ) = 10

1.

÷(5)

log x−2( ) 3x − 8( ) = 2

x − 2( )2 = 3x − 8

x2 − 4x + 4 = 3x − 8

x2 − 7x +12 = 0

x1 = 3 ou x2 = 4

S = { 4 }

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Logaritmo

1) logb1 = 0

2) logbbn = n

3) log x = log10 x

4) ln x = loge x

(Logaritmo natural)

e = 2,71...

6)blogb a =

7)7log7 5 = 5

5) ln e7 = loge e7 = 7

8)eln9 = 9

a

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UDESC Os pontos nesta escala são um logaritmo na base 10 da quantidade de energia liberada. O terremoto ocorrido no Nordeste do Japão em 11 de março de 2011 atingiu 9 pontos nesta escala, enquanto o terremoto mais intenso registrado na história, ocorrido no Chile em 1960, atingiu 9,5 pontos nesta escala. É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a.  ( ) 5 vezes a do Japão. b.  ( ) aproximadamente igual à do Japão. c.  ( ) 0,5 vezes a do Japão. d.  ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e.  ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão.

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UDESC Os pontos nesta escala são um logaritmo na base 10 da quantidade de energia liberada. O terremoto ocorrido no Nordeste do Japão em 11 de março de 2011 atingiu 9 pontos nesta escala, enquanto o terremoto mais intenso registrado na história, ocorrido no Chile em 1960, atingiu 9,5 pontos nesta escala. É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi:

Resolução: P = log10(E)

Japão: 9 = log10(EJ)

Chile: 9,5 = log10(EC)

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UDESC É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a.  ( ) 5 vezes a do Japão. b.  ( ) aproximadamente igual à do Japão. c.  ( ) 0,5 vezes a do Japão. d.  ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e.  ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão. Resolução:

log10(EJ) = 9 109 = EJ

log10(EC) = 9,5 109,5 = EC

EC = x . EJ

109,5 = x . 109

x = 109,5

109

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UDESC É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a.  ( ) 5 vezes a do Japão. b.  ( ) aproximadamente igual à do Japão. c.  ( ) 0,5 vezes a do Japão. d.  ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e.  ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão. Resolução:

x = 109,5

109 x =100,5 x = 10 ≅ 3,16.

Gabarito: e

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Triângulos

!

!

!

B I C O

aricentro

ncentro

ircuncentro

rtocentro !

Medianas

Bissetrizes

Mediatrizes

Alturas

Pontos notáveis dos triângulos

med

iana

bi

sset

riz

med

iatr

iz

RevisaCOC

altu

ra

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Geometria Plana

Circunferência Ângulos:

Central Inscrito Segmento

A

B

x x

A

B

x

2x

x

x 2x O

tangente secante

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Geometria Plana

r R

l/2

Polígono regular

a = r R ll

l l/2 30° r

ll

l

l

R

l/2 45° 60°

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Áreas: Triângulos:

Aequilátero =

Alados = Srainho =

Araião = Aângulo =

Quadriláteros

Atrapézio= Alosango= (B+b).h/2 (D.d)/2

ℓ2√3/4

√p.(p-a).(p-b).(p-c) p . a

a . b . c/4R a . b . senC/2

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Num terreno triangular de lados 13, 14 e 15 será construído um galinheiro no formato circular de maneira a estar inscrito no terreno, calcule quantos frangos cabem neste galinheiro sabendo que teremos 3 animais por m2. (considere π = 3 )

13 14

15

13+14+15p=2

42=2=21S=p.ar

r

r

A = π.r2 A = 84 m2

84 = 21.r S = p.a

r = 4 m

A = (3).42

A = 48m2

3 ----- 1 m2

x ----- 48m2

x= 144 animais

Geometria Plana

A= p(p-a)(p-b)(p-c)A= 21(21-13)(21-14)(21-15)

A= 21(8)(7)(6)

A= 3.7.2.2.2.7.2.3A = 84 m2

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Logaritmo

Propriedades:

logb (a.c) = logb a + logbc = logb a + logbc logb (a.c) I)

logb (a/c) = logb a – logbc = logb a – logbc logb (a/c) II)

logb ( an ) = n.logb a = n.logb a logb ( an ) III)

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Logaritmo

Treinando as propriedades:

1) log35 + log32 = log310

2) log 26 – log 13 = log 2

3) log (x2.y)= 2.log x + log y

4) log (a5/b2)= 5.log a – 2.log b

5) 3.log a + 2.log b = log (a3.b2)

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Logaritmo

Treinando as propriedades:

6) ln (53.27) = 3.ln 5 + 7.ln 2

7) log 72 = log (23.32) = 3.log 2 + 2.log 3

8) log

a2 .b3

c5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2.loga+ 3.logb− 5.logc

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Logaritmo

Boa Prova

Uma importância R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de:

a)  R$ 3.200,00

b)  b) R$ 3.600,00

c) R$ 3.800,00

d) R$ 4.800,00

e) R$ 2.200,00

ESPM

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Uma importância R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de:

M = C.(1 + i)t

M = 10000.(1+0,04)10

M = 10000.(1,04)10

Resolução:

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Boa Prova

Logaritmo

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?

M = 10000.(1,04)10

log M = log [10000.(1,04)10]

log M = log 10000 + log(1,04)10

log M = 4 + 10.log(1,04)

Resolução:

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Logaritmo

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?

log M = 4 + 10.log(1,04)

log M = 4 + 10. (0,017)

log M = 4 + 0,17

log M = 4 + log 1,48

Resolução:

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Boa Prova

Logaritmo

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?

log M = 4 + log 1,48

log M – log 1,48 = 4

log

M1, 48

⎛⎝

⎞⎠ = 4

Resolução:

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Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?

C+ J =14.800

10.000 + J =14.800

J = 4.800

log10

M1, 48

⎛⎝

⎞⎠ = 4

104 = M

1, 48

(10000).(1, 48) =M

M =14.800

Gabarito: d

Resolução:

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Mudança de base

logb a = log log

c

c a b

log2 5 = log log

3

3 5 2

logb a=

1loga b

logbn( ) a=

1n

.logb a

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UDESC

4) Sejam a, b e c números reais positivos tais que

log2 a+ log1

4

b− log12

c = 3

Então b é igual a:

a. ( ) b. ( )

c. ( ) d. ( )

e. ( )

ac8

a2 + c2

64

a+ c32

a2c2

64

ac32

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UDESC

Sejam a, b e c números reais positivos tais que

log2 a+ log1

4

b− log12

c = 3

Então b é igual a:

Resolução:

log2 a+ log1

4

b− log12

c = 3

log2 a+ log

(2−2 )b− log

(2−1)c = 3

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UDESC

log2 a+ log

(2−2 )b− log

(2−1)c = 3

log2 a+ 1

−2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .log2 b− 1

−1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .log2 c = 3

log2 a− log2 b

2+ log2 c = 3

2.log2 a− log2 b+2.log2 c = 6

x(2)

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UDESC

2.log2 a− log2 b+2.log2 c = 6

log2 a2 + log2 c2 − log2 b = 6

log2

a2 .c2

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 6

26 = a2 .c2

b b = a2 .c2

64Gabarito: d

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Matemática Básica

Um professor, criador de galinhas, calcula que se 12 animais, comendo 12 horas por dia, em 12 dias , consomem 12 kg de ração, então em 24 dias, 24 galinhas, comendo 24 horas por dia, consumirão quantos kg de ração.

Resolução:

Kg DE COMIDA Animais

12 12 x 24

HRS/DIA

12 24

DIAS

12 24

2412.

2412.

241212

=x 2

1.21.

2112

=x

96=x

=12.12.12

12 x24.24.24

96=x

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•  Professor Erivaldo, para tirar um dinheirinho a mais, passou a nos fins de semana, vender roupas femininas colocando uma margem de 150% nas peças

Resolução:

2,5 .X

Com era aniversário da sua esposa, ele como presente lhe vendeu algumas peças a preço de custo. Calcule o desconto dado sobre as peças para que o preço volte ao que era antes.

= 1 1∟2,5 10∟25 100∟25

0,4

X = 0,4 DESCONTO DE 60%

Matemática Básica AULA 3 – PORCENTAGEM

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Função Composta Questão

Dadas as funções f(x) = x2 – 6x + 1 e , g(x)= x+ 8

encontre a função gof(x).

Resolução: gof(x) = g(f(x))

gof(x) = (x2 − 6x+1)+ 8

gof(x) = x2 − 6x+9

gof(x) = (x−3)2

gof(x) = x−3 x2 = x

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Função Composta Questão Dadas as funções fog(x) = x2 + 5 e

f(x) =

x + 3x

, encontre a função g(x).

Resolução:

fog(x) = f(g(x))

fog(x) =

g+ 3g

g+ 3g

= x2 + 5

g+ 3 = g.x2 + 5.g

3 = g.x2 + 5.g− g

3 = g.x2 + 4.g

g.(x2 + 4) = 3

g =

3x2 + 4

g(x) =

3x2 + 4

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Função Inversa

Encontre as inversas das seguintes expressões:

a) f(x) =

3x + 54x +7

b) f(x) =

79x + 2

f −1(x) =

.x .x

+ 5

4 −7

− 3 f −1(x) =

−7x + 54x − 3

f(x) =

0x +79x + 2

f −1(x) =−2x +79x − 0

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Função Inversa

O gráfico de uma função e o gráfico da sua inversa sempre serão simétricos em relação as B.Q.I.

x

y f B.Q.I.

f-1

A composta de uma função com a sua inversa sempre

resultará na função identidade

fof-1(x) = x f-1of(x) = x

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Geometria Espacial Poliedros de Platão

T H O D I

ETRAEDRO

EXAEDRO

CTAEDRO

ODECAEDRO

COSAEDRO

4

6

8

12 20

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Teorema de Euler

V + F = A + 2 Poliedros Fechados

S = 360º (V – 2) Soma dos Ângulos Internos das Faces

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Geometria Espacial Um cristal de rocha foi achado e o seu valor varia de acordo com o número de vértices que ele possui. Sabendo que este cristal é formado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais e que cada vértice representa um ganho de R$ 50,00, calcule o seu valor.

6F4

2F6

F = 8 +

6(4) + 2(6) A = 2

A = 18 V + F = A + 2

V 8 18 2 + + = V = 12

24 + 12 A = 2

50.12 R$600,00

ENEM 2013 Baiano

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Discursiva

UFSC

No período que precede o Natal, o comércio faz muitas promoções visando incrementar suas vendas e, com esse objetivo, um Atacadista fez uma promoção, vendendo o quilo da bala a R$ 4,00. Além disso, a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto, e, a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%. De acordo com as informações, pede-se:

SBM

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Discursiva

UFSC

a) O valor V a ser pago por um cliente que comprou x quilos de bala nessa promoção, 0 ≤ x ≤ 100, é dado pela função V(x). Encontre a lei de formação e faça o gráfico desta função.

b) Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram 10, 15, 30 e 40 quilos de bala, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?

SBM

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“o quilo da bala a R$ 4,00” “a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto” “a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%”

Resolução: a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.

x = 5⇒

SBM

V(x)= 4.(5) − 5

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .(4.5)

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Discursiva

a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.

Resolução:

SBM

x = 5⇒ V(x)= 4.(5) − 5

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .(4.5)

x = 37⇒ V(x)= 4.(37) − 37

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .(4.37)

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“o quilo da bala a R$ 4,00” “a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto” “a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%”

Resolução: a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.

x kg⇒

SBM

V(x)= 4.(x) − x

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .(4.x)

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Resolução:

a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.

x kg⇒

SBM

V(x)= 4.(x) − x

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .(4.x)

V(x)= 4x− 4x2

100

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Questão 01: “o quilo da bala a R$ 4,00” “a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto” “a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%”

Resolução: a) V(x), para 60 ≤ x ≤ 100.

x = 60⇒ V(x)= 4.(60) − 60

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .(4.60)

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Discursiva

a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.

Resolução:

SBM

x = 5⇒ V(x)= 4.(5) − 5

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .(4.5)

x = 70⇒ V(x)= 4.(70) − 70

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .(4.70)

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Resolução:

a) V(x), para 60 ≤ x ≤ 100.

x kg⇒

SBM

V(x)= 4.(x) − 60

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .(4.x)

V(x)= 4x− (0,6).4x

V(x)=1,6.x

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Discursiva

UFSC

a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 100.

V(x)=

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

4x − 4x2

100, se 0 ≤ x ≤ 60

1,6.x , se 60 < x ≤100

Resolução:

SBM

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V(x)= 4x − 4x2

100, se 0 ≤ x ≤ 60

1,6.x, se 60 < x ≤100

⎧⎨⎪

⎩⎪

Discursiva

UFSC

a) Gráfico de

Raízes: 4x − 4x2

100= 0

100.x − x2 = 0

x1= 0 ou x

2=100

x

V= 0 +100

2

xV= 50

yV=100

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Discursiva

UFSC

a) Gráfico de

Raízes:

x1= 0

x2=100

Vértice:

V(50,100)x

V

0 100 50

100

60

96

60

96

100

160

V(x)= 4x − 4x2

100, se 0 ≤ x ≤ 60

1,6.x, se 60 < x ≤100

⎧⎨⎪

⎩⎪

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Discursiva

UFSC

b) Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram 10, 15, 30 e 40 quilos de bala, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?

Resolução:

SBM

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Discursiva

UFSC

b) Alfredo 10kg Beatriz 15kg Carlos 30kg Daniel 40kg

x

V

50

100

60

96

100

160

40

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Discursiva

UFSC

b)

x

V

50

100

60

96

100

160

40

Daniel poderia ter comprado

60kg de balas e pago os mesmos

R$ 96,00.

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Prismas

Al = 2Pb.h Área Lateral

At = 2Ab + Al

Área Total V = Ab.h

Volume

PA - (x – r, x, x + r) PG ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

x- , x, x.qq

Proporcionais a

x=b

y=c

z= k

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A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 10 m² e suas dimensões são inversamente proporcionais aos números 3, 4, 5. Determine doze vezes o volume desse paralelepípedo.

UDESC Geometria Espacial – Prismas Especiais

a.3= b.4 = c.5 = k

a =

b =

c =

k3k4k5

At = 2.(a.b + a.c + b.c)

10 = 2.(k2/12 + k2/15 + k2/20)

5 = 12k² /60

k² = 25

⇒ k = 5

=53

VP = a.b.c

VP =

VP = 25 m³

a b

c

=54

=1

53. 54.1

VP = 2512

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(ACAFE) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de 1570 L por hora. Com base nestes dados, e considerando π = 3,14 , analise as afirmações a seguir.

1m3 = x m3 = 1570L

1570L = 1,57m3

1000L

Em 1h o volume será: V = (1,57.1)m3

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(ACAFE) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de 1570 L por hora. Com base nestes dados, e considerando π = 3,14 , analise as afirmações a seguir.

1570L = 1,57m3

Em 1h o volume será: V = (1,57.1)m3

Em 2h o volume será: V = (1,57.2)m3

.

.

.

.

.

.

Em th o volume será: V = (1,57.t)m3

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(ACAFE) I) A função h(t), onde h indica a altura alcançada pela água dentro da piscina em metros e t o tempo em horas, é uma função do segundo grau.

V = (1,57.t)m3 V = Ab.h

V = π.r2.h

V = 3,14.(2)2.h

V = 12,56.h

12,56.h = 1,57.t

h = 0,125.t

Função polinomial do primeiro grau. Incorreto

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(ACAFE)

II) O enchimento da piscina será interrompido quando a piscina estiver completamente cheia; neste caso, pode-se dizer que a função h(t) tem como domínio o conjunto D = {t ∈ R / 0 ≤ x ≤ 12,56} .

h = 0,125.t Função h(t):

1,57 = 0,125.t

t = 12,56h

Domínio de h(t):

D = {t ∈ R / 0 ≤ t ≤ 12,56} .

Correto

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(ACAFE)

III) O tempo total de enchimento desta piscina será de 12 horas e 56 minutos.

Incorreto

h = 0,125.t Função h(t):

1,57 = 0,125.t

t = 12,56h

Domínio de h(t):

D = {t ∈ R / 0 ≤ t ≤ 12,56} .

D ⇒ Apenas a afirmação II é verdadeira.

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Corte que passa pelo eixo

Secção Meridiana

h = g

2r

g = 2r

Cilindro Equilátero

Cilindro Secções

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Pirâmides

PIRÂMIDES Áreas de uma Pirâmide

ap

Área Lateral

Al = 2pb.ap2

Área Total

At = Ab + Al

bA .hV =

3

Volume da Pirâmide

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Pirâmides

PIRÂMIDES

Secção Transversal

Corte Paralelo à Base

h1

h2

= ab1

ab2

= k

h1

h2

= Ab1

Ab2

ab1

ab2

= V1

V2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3

ap1

ap2

=

Al1

Al2

= V1

V2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

Secções

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O projeto de uma vela decorativa no formato de uma pirâmide quadrangular regular com altura x e à partir dela são produzidas duas outras, uma no formato de uma nova pirâmide e outra na forma de um tronco, ambas são geradas no mesmo instante por uma secção transversal a 4 cm da sua base e esta base tem uma área igual a 4 vezes a área da secção, calcule x

Resolucão:

4.Ab

Ab

4

h

b

B

AhH A=2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠h

h+ 4!"#

$%&2

=Ab4.Ab

h 1h 4 2

=+

2h h 4= +h 4=

x = 4+4=8

Geometria Espacial

Baiano

hh+ 4!"#

$%&2

=14

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Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir. A={x ∈ N * / x < 200} B={x∈A / x é múltiplo de 8} C = { x ∈ A / x é m ú l t i p l o d e 3} I) O conjunto BUC possui 90 elementos. II) O conjunto C possui 65 elementos. III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos. IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169.

(ACAFE)

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Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir. A={x ∈ N * / x < 200} B={x∈A / x é múltiplo de 8} C = { x ∈ A / x é múltiplo de 3}

Resolução:

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 199 }

B = { 8 , 16 , 24 , . . . , } ?

199 8 24 7

199 – 7 = 192

192 n(B) = 24

C = { 3 , 6 , 9 , . . . , } ?

199 3 66 1

199 – 1 = 198 198 n(C) = 66

(ACAFE)

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I) O conjunto BUC possui 90 elementos.

Resolução:

B = { 8 , 16 , 24 , . . . , 192 } n(B) = 24

C = { 3 , 6 , 9 , . . . , 198 } n(C) = 66

n(BUC) = n(B) + n(C) – n(B∩C)

B∩C = { múltiplos de 3 e de 8 } = { múltiplos de 24}

B∩C = { 24 , 48, 72 , . . . , }

199 24 8 7

199 – 7 = 192

? 192

Incorreto

n(B∩C) = 8

(ACAFE)

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II) O conjunto C possui 65 elementos.

Resolução:

B = { 8 , 16 , 24 , . . . , 192 } n(B) = 24

C = { 3 , 6 , 9 , . . . , 198 } n(C) = 66

Incorreto

(ACAFE)

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III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos.

Resolução:

B∩C = { múltiplos de 3 e de 8 } = { múltiplos de 24}

B∩C = { 24 , 48, 72 , . . . , } ? 192

Correto

n(B∩C) = 8

(ACAFE)

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IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169. Resolução:

A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 199 }

B = { 8 , 16 , 24 , . . . , 192 }

AUB = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 199 } ( P.A. de razão 1)

S =

a1+ an( ).n2

S =1+199( ).199

2 S =19900

Incorreto

(ACAFE)

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I) O conjunto BUC possui 90 elementos. II) O conjunto C possui 65 elementos. III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos. IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169. Assinale a alternativa correta. A ⇒ Todas as afirmações são verdadeiras. B ⇒ Apenas II e III são verdadeiras. C ⇒ Apenas a afirmação III é verdadeira. D ⇒ Apenas III e IV são verdadeiras. Gabarito: c

Incorreto

Correto

Incorreto

Incorreto

(ACAFE)

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CONE

CONE Secção Transversal

Corte paralelo a base

R

r

Secções

r

R

= h

H

h

H

= Ab

AB

r

R

= Vmenor

Vmaior

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3g

G

=

Ab

AB

= Vmenor

Vmaior

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

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CONE

CONE

Corte que passa pelo eixo Secção Meridiana

h

2r

g = 2r

Cone Equilátero

g

Secção meridiana é um triângulo equilátero.

Secções

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Geometria Espacial Um recipiente, que tem o formato de um cilindro reto foi enchido com água por 4 copos no formato de um cone invertido (vértice voltado para baixo) com geratriz 5cm e altura 4cm, fazendo o nível de água alcançar a altura de 3 cm no cilindro. Em seguida colocou-se uma esfera dentro do recipiente cilíndrico, fazendo com que a altura da água do recipiente suba mais 2 cm, calcule o volume da esfera.

Resolução:

5

3

4 b

CA .h

V =3

2π.r .h=3

2

Cπ.3 .4V =3

3=12π cm

V6 copos = 12π . 4 = 48π

3 r

V = Ab.h = π. r². h

48π = r2.π.3

r2 = 16 cm

r = 4 cm

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Geometria Espacial

Resolução:

3 4

= π. 4². 2

= 32π cm3

r = 4 cm

r 2

x

Um recipiente, que tem o formato de um cilindro reto foi enchido com água por 4 copos no formato de um cone invertido (vértice voltado para baixo) com geratriz 5cm e altura 4cm, fazendo o nível de água alcançar a altura de 3 cm no cilindro. Em seguida colocou-se uma esfera dentro do recipiente cilíndrico, fazendo com que a altura da água do recipiente suba mais 2 cm, calcule o volume da esfera.

VESFERA = VCILINDRO DESLOCADO

Área Volume A = V = 4. 4. π π .R .R

2 3

____________

3

VESFERA

VESFERA

= π. r². h VESFERA

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(ACAFE) Uma família sai de férias da cidade A para a cidade C. Para isso, precisam passar obrigatoriamente pela cidade B. Existem três rodovias (D, E e F) que ligam as cidades A e B e outras duas rodovias (G e H) que ligam as cidades B e C. As distâncias e os valores de pedágio dos trajetos estão no quadro abaixo.

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A até B B até C A até C Distância Valor

D

Incorreto

Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. I) Partindo da cidade A, existem seis percursos e seis valores distintos de pedágio para chegar até a cidade C.

G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45

(ACAFE)

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Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. II) Existem percursos de igual distância e com valores iguais de pedágio para ir de A até C.

Correto

A até B B até C A até C Distância Valor

D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45

(ACAFE)

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Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. III) O maior valor total pago no pedágio é de R$ 2,45.

Correto

A até B B até C A até C Distância Valor

D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45

(ACAFE)

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Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. IV) A menor distância total percorrida não corresponde ao menor valor do pedágio pago.

Incorreto

A até B B até C A até C Distância Valor

D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45

Todas as afirmações corretas estão em: C ⇒ II – III

(ACAFE)

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Geometria Analítica

Distância entre dois pontos:

(dAB)2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2

A( 7 , 5 )

B( 3 , 2 )

4 ( )2

3 ( )2 + d2 =

d = 5

P( 5 , –2 )

Q(–3 , 4 )

8 ( )2

6 ( )2 + d2 =

d = 10

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Questão

Geometria Analítica

Determine a soma das coordenadas do baricentro do triângulo de vértices nos pontos A(0, 1) , B(1, 4) e C(2, 1).

A

B

C

G

Coordenadas do Baricentro: G(xG , yG)

xG =

+ +3

0 1 2 yG =

+ +3

1 4 1

xG =1 yG = 2

G( 1 , 2 )

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(UDESC) Dadas as matrizes A = e B = , encontre a relação entre x e y tal que a igualdade det(A-1 Bt –A) = -8 seja verdadeira.

Resolução: det

⎥⎦

⎤⎢⎣

2312

⎥⎦

⎤⎢⎣

xy

12

8231212

2312

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

−−

−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

xy

82312

326224

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

−−

−−+⎥⎦

⎤⎢⎣

−−

−−

xyxy

det

85292

12−=⎥

⎤⎢⎣

−−

−−

xyxy

det

-5x –1 + 3y = 8 y = 9+5x

3

MATRIZES

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Geometria Analítica

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). (r)

A B

P

A(1,2) , B(7,-2) , P( , ) x y

A , B e P são colineares

Determinante = zero

    = 01 2

7 -2

x y

1 2

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Geometria Analítica

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). (r)

A B

P     = 01 2

7 -2

x y

1 2

                                  = 0- 2

+

+ 7y

+

+ 2x

+ –

– 14

+ 2x

– y

4x + 6y – 16 = 0 (÷2)

2x + 3y – 8 = 0 Equação na forma Geral

ax + by + c = 0

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Geometria Analítica

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2).

2x + 3y – 8 = 0 Forma Geral

3y = – 2x + 8

y =

−23

.x +83 Forma Reduzida

Coeficiente angular: m =

−23

Coeficiente linear: b =

83

y

x

8/3

8 __ 3

α

tgα = -2/3

–2 ___ 3

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A( 1 , 2 )

B( 7 , -2 )

Geometria Analítica

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2).

A( 1 , 2 )

B( 7 , -2 )

-6. y = 4. x -2 -14

-16 -6y - 4x + 16 = 0 ÷(-2)

3y + 2x - 8 = 0

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(UDESC) Sabendo que : ifchebgda

= 4

Calcule o determinante de :

2a 6b 2cd 3e f5g 15h 5i

= 4.

Determinante

2. 5. 3 = 120

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Geometria Analítica

Equação da reta:

Um ponto e o coeficiente angular: A(-3,2) e m = 5

y – y0 = m.(x – x0)

5x – y + 17 = 0

y = a.x + b

y = 5.x + b

A(-3,2) 2 = 5.(-3) + b

b = 17

y = 5x + 17

y – 2 = 5.(x +3)

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Geometria Analítica

Retas paralelas:

Mesmo coeficiente angular

r//s ! mr = ms

Retas perpendiculares:

Coeficientes angulares, inversos e opostos

(r) 3x – 4y + 2 = 0

(s) 3x – 4y + c = 0

(r) 5x + 2y – 3 = 0

(s) 2x – 5y + c = 0 r ⊥ s ⇒mr =

−1ms

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Discuta o sistema:

2x − y = 3mx + 2y = −a"#$

SISTEMAS LINEARES

( . 2 ) 4x − 2y = 6mx + 2y = −a"#$

( 4 + m ).x + 0.y = ( 6 – a )

S.P.I0.x + 0.y = 0

m = - 4 e a = 6

S.I0.x + 0.y = R*

m = - 4 e a ≠ 6

S.P.Dm ≠ - 4

+

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Tá na hora , tá na hora

De sistemas estudar

Se for S.P.D

Uma solução eu vou achar

Mas se for S.P.I

Infainite vai dar

E se for o S.I.

Ninguém consegue calcular

S.P.D. , S.P.I. 3x

ÔH , ÔH , ÔH Se você for bem tanço você vai se confundir

S.P.D não vai dar zero S.P.I. Todos vão dar S.I. primeiro membro, ninguém consegue calcular S.P.D. , S.P.I. 3x ÔH , ÔH , ÔH Se você for bem tanço você vai se confundir S.P.D. , S.P.I. 3x ÔH , ÔH , ÔH Se você for bem tanço você vai se confundir

TÁ na HORA , TÁ na HORA

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Geometria Analítica

Equação da circunferência:

Dados : Centro C(a , b) e Raio r

Exemplo: C( 3, -2) e r = 5

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 3)2 + (y + 2)2 = 25

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Geometria Analítica

Equação da circunferência: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0

÷(-2) ÷(-2)

C ( 3 , -2 )

(3)2 + (-2)2 – (-12) = r2

9 + 4 + 12 = r2

r = 5

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Polinômios

Boa Prova

Questão 02

Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x – 2)2 + (y – 2)2 ≤ 4 e seja P a região definida por x ≥ 2 ou y ≥ 2. A área da região intersecção entre C e P é:

A) π B) 2π C) 3π

D) 4π E) 5π

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Polinômios

Boa Prova

Resolução:

C: (x – 2)2 + (y – 2)2 ≤ 4

Centro: C(2,2) Raio: r = 2

x

y

2

P: x ≥ 2 ou y ≥ 2. 2

Intersecção entre C e P:

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Polinômios

Boa Prova

Resolução:

Área da intersecção entre C e P:

x

y

2

2

A = 3.

π.r2

4

⎝⎜⎞

⎠⎟

A = 3.

π.22

4

⎝⎜⎞

⎠⎟

A = 3π

Gabarito: C

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SISTEMAS LINEARES

1 −1 1 −1 11 1 1 1 −11 −1 −1 −1 −13 −1 1 −1 −12 −2 3 −2 a

"

#

$$$$$$

%

&

''''''

S.P.I S.I S.P.D

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Segundo estudos realizados em um centro de pesquisas geológicas, a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar de certa cidade é de 70%, e a probabilidade de ocorrer em terra é de 30%. Em ambos os casos podem ou não ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre no mar há 60% de chances de ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre em terra, a probabilidade de ocorrer danos é de 82%. Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade? A⇒ 57,4% B⇒ 12,6% C⇒ 42% D⇒ 28%

(ACAFE)

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Terremoto no mar: P(M) = 70% Terremoto na terra: P(T) = 30% Terremoto no mar com danos: P(D) = 60% Terremoto na terra com danos: P(D) = 82% “Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade?”

Resolução: P(M) e P(ND)

(0,70) (0,40) x = 0,28

D ⇒ 28%

(ACAFE)

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TRIGONOMETRIA 1: Analisar a função f(x) = - 2 - cos(3x), quanto ao domínio, imagem, período, paridade e gráfico.

Df = R

Imf = [-2-1, -2+1]

P = 2π3

= [-3, -1]

2π=3

Paridade = par

-1

- 3

-2

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3) Dada a função y = 2 + tg , calcular:

Dy:

Dy: x ≠ 3kπ

Imy = R

Py = π1 3

= 3π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

x π+3 2

≠x π π+ +kπ3 2 2

Função Tangente

Resolução:

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Equação Exponencial

2x+5 + 3x = 3x+2 + 2x+2 + 2x

2x+5 − 2x+2 − 2x = 3x+2 − 3x

2x.25 − 2x.22 − 2x = 3x.32 − 3x

2x.( − − ) = 32 4 1 3

x.( − ) 9 1

2x.27 = 3x.8

2x

3x = 827

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x 3

x = 3

S = { 3 }

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA Notações Especiais

(x-r,x,x+r)PA de 3 termos

a3 + a7 = a4 + a6

P.A. (a,b,c) a + cb = 2

Relacionamento Juros X P.A.

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Notações Especiais

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

x, x, xqq

PG de 3 termos

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

P.G. (a,b,c) b² = a.c

a3 . a7 = a4 . a6

Relacionamento Juros X P.G.

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CEMCINEMA

Erivaldo


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