Luiz Antonio Farani de Souza
31 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Conteúdo Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D ......................................................... 31
3.1 Introdução ......................................................................................................................... 32
3.2 Formulação de Elementos Finitos para treliça espacial .................................................... 34
3.3 Problema estrutural ........................................................................................................... 35
3.4 Programa de EF para treliça 3D ........................................................................................ 35
3.5 Exercícios resolvidos com o programa "trelica3D" .......................................................... 41
3.5.1 Exemplo 1 - Treliça espacial com quatro nós e seis barras ........................................ 41
3.5.2 Exemplo 2 - Domo treliçado em forma de estrela ...................................................... 43
3.6 Exercícios propostos ......................................................................................................... 46
3.6.1 Exercício 1.................................................................................................................. 46
3.6.2 Exercício 2.................................................................................................................. 47
Referências .............................................................................................................................. 47
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32 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
3.1 Introdução
Um caso de aplicação das estruturas reticuladas espaciais são as treliças espaciais. Essas
estruturas são um sistema estrutural muito usado em edifícios, pontes, plataformas petrolíferas
em mar e torres de transmissão. Na Figura 3.1 aparece a cobertura do aeroporto da Portela,
situado em Lisboa, Portugal, formada por treliça espacial (BARRIGÓ, 2014).
Figura 3. 1 Cobertura do aeroporto da Portela formada por treliça espacial. Fonte:
Barrigó (2014).
Entre as características das treliças espaciais estão: grande rigidez, baixo peso próprio,
possibilidade de pré-fabricação, facilidade de transporte e de montagem. Essas características as
tornam muito competitivas quando comparadas a outras soluções estruturais (SAMPAIO;
2004). As treliças tridimensionais são formadas por meio da conexão de barras e nós no
espaço. Elas são um caso particular das estruturas reticuladas tridimensionais, sendo formadas
por duas ou mais malhas planas, em geral paralelas, conectadas por meio de diagonais e/ou
montantes (SOUZA, 2003).
Segundo Hibbeler (2005), adotam-se as seguintes hipóteses para os vários processos de
cálculo:
as barras da treliça são ligadas entre si por intermédio de pinos lisos (articulações sem
atrito);
todas as cargas (forças) são aplicadas aos nós da estrutura; e
as linhas centrais dos elementos ligados são concorrentes, coincidindo com os centros
das articulações.
Devido a essas hipóteses, os elementos desenvolvem apenas forças ao longo do seu
próprio eixo (forças axiais). As ligações são executadas por meio de rebites, soldas ou parafusos
e conferem uma pequena rigidez na ligação, transmitindo força cortante e momento fletor entre
as barras. Entretanto estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus
eixos no mesmo plano e que esses eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os
resultados reais diferem muito pouco.
É possível a execução de muitas formas em estruturas espaciais. As treliças espaciais
planas (Figura 3.2) são formadas por dois ou mais planos de barras. Os arcos treliçados
espaciais são obtidos pelo arqueamento da treliça espacial plana ao longo de uma direção, o
resultado é uma forma curva (Figura 3.3). Já as cúpulas treliçadas espaciais são treliças
espaciais formadas por um ou mais planos em forma de cúpula (Figura 3.4) (BARRIGÓ, 2014).
A análise do comportamento linear dessas estruturas é bastante simples. Desprezando o
pouco peso dos seus elementos, uma suposição bastante razoável e comum, os elementos estão
apenas sujeitos a esforços axiais e as equações de equilíbrio dos nós permitem resolver a
estrutura e determinar o esforço normal dos seus elementos. Contudo, o desempenho estrutural
da estrutura no regime linear leva ao perigo do dimensionamento de estruturas com elementos
muito esbeltos que, por sua vez, tornam-se bastante suscetíveis e vulneráveis a efeitos
geometricamente não lineares (BARRIGÓ, 2014).
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33 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
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Figura 3. 2 Treliças espaciais planas. Fonte Virginia Polytechnic Institute e State
University (2011).
Figura 3. 3 Arcos treliçados espaciais. Fonte Virginia Polytechnic Institute e State
University (2011).
Figura 3. 4 Cúpulas treliçadas espaciais. Fonte Virginia Polytechnic Institute e State
University (2011).
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34 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
3.2 Formulação de Elementos Finitos para treliça espacial
O elemento de treliça transmite somente forças axiais e tem área da seção transversal
constante A. As coordenadas (X1, Y1, Z1) e (X2, Y2, Z2) representam a configuração inicial do
elemento de barra (também conhecida como coordenadas globais). Após uma mudança de
configuração devido a deslocamentos da treliça, a barra passa a ter novas coordenadas (x1, y1,
z1) e (x2, y2, z2). O comprimento inicial (ou referencial) L0 e o comprimento atual L da barra são
calculados, respectivamente, por (ZIENKIEWICZ; TAYLOR; ZHU, 2005; BATHE, 2016;
YAW, 2011):
(3.1)
(3.2)
O vetor de deslocamentos nodais p no sistema global de coordenadas de um elemento
de treliça 3D é:
(3.3)
na qual ui, vi e wi, com i = 1, 2, são os deslocamentos nodais do nó i nas direções do sistema
global de coordenadas X, Y e Z, respectivamente. O eixo x do sistema de coordenadas local é
sempre definido ao longo da orientação atual do membro da treliça. Os ângulos de direção i,
com i =1, 2, 3, são definidos na configuração corrente em relação aos eixos globais por:
(3.4)
(3.5)
(3.6)
A matriz de rigidez elementar Kel é determinada no sistema global de coordenadas por:
(3.7)
na qual B é uma matriz obtida por:
(3.8)
em que , com e
. A força normal N na barra é obtida por:
(3.9)
sendo E o módulo de elasticidade e E a deformação de engenharia dada por:
(3.10)
em que uli, com i = 1,2, são os deslocamento nodais no sistema local de coordenadas calculados
por:
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35 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
(3.11)
O vetor de força interna elementar Fel é determinado no sistema global de coordenadas
por:
(3.12)
3.3 Problema estrutural
O sistema de equações de equilíbrio gerado pelo Método dos Elementos Finitos que
determina os deslocamentos nodais u de uma treliça com comportamento elástico linear e
supondo deformações infinitesimais é (ZIENKIEWICZ; TAYLOR; ZHU, 2005; BATHE,
2016):
(3.13)
na qual K é a matriz de rigidez global da estrutura e Fext é o vetor de forças externas.
A matriz de rigidez K é obtida por:
(3.14)
em que e é o elemento finito e n é o número total de elementos da treliça.
3.4 Programa de EF para treliça 3D
1. Fazer o download do programa Scilab disponível no endereço
https://www.scilab.org/download/6.1.0.
2. Criar uma pasta com o nome do programa (por exemplo, "trelica3D").
3. Dentro dessa pasta, criar no Scilab os arquivos programa principal (principal.sce) e
as funções, utilizando o SciNotes.
Importante: - as funções deverão ser salvas com a extensão .sci e o programa principal com a
extensão .sce; e
- salvar a função num arquivo com o mesmo nome.
programa principal principal.sce //Programa principal - treliça 3D
//Análise linear
//limpa da memória as variáveis
clear
//limpa a janela de comandos (console)
clc
funcprot(0)
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36 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
format("v",12); //formatação do valor numérico
//_____________________________________
//inicialização das funções (.sci)
exec('DKG.sci',-1);
exec('dkelem.sci',0);
exec('dfelem.sci',0);
exec('ensamkg.sci',-1);
exec('contkg.sci',-1);
exec('apontador.sci',-1);
exec('entrada_dados.sci',-1);
exec('ensamfg.sci',-1);
exec('contfg.sci',-1);
//_____________________________________
//entrada de dados
[NTNOS,NTEL,NNOSCC,NTGL,coord,inci,dofno,Fext,NOCC,E,A,itipo]=entrada_dados();
//_____________________________________
//Processamento
//Monta a matriz de rigidez K
[K]=DKG(NOCC,NNOSCC,NTGL,NTEL,dofno,inci,coord,E,A,itipo);
//Resolução do sistema de equações lineares
u=K\Fext;
//_____________________________________
//Saída de dados
//Imprime no console os deslocamentos nos nós da treliça:
for i=1:NTNOS
vu(i,1)=i;
vu(i,2)=u(3*i-2,1);
vu(i,3)=u(3*i-1,1);
vu(i,4)=u(3*i,1);
end
disp('1) Deslocamentos nos nós da treliça:')
disp(vu)
[N,eps,Sigma,R,FG,L]=dfelem(NTEL,NTGL,NOCC,E,A,inci,u,dofno,coord,itipo);
//Imprime no console as deformações, tensões e forças normais nas barras da treliça:
for i=1:NTEL
vm(i,1)=i;
vm(i,2)=eps(i);
vm(i,3)=Sigma(i);
vm(i,4)=N(i);
end
disp('2) Deformações, tensões e forças normais nas barras da treliça:')
disp(vm)
//Imprime no console as reações nos apoios:
disp('3) Reações nos apoios da treliça:')
for i=1:length(NOCC)/3
disp([i,R(3*i-2),R(3*i-1),R(3*i)]);
end
//Configuração deformada da treliça espacial
for i=1:NTNOS //determina os vetores com as coordenadas da treliça deformada e indeformada
vx(i,1)=coord(i,1);
vy(i,1)=coord(i,2);
vz(i,1)=coord(i,3);
vxd(i,1)=coord(i,1)+u(3*i-2,1);
vyd(i,1)=coord(i,2)+u(3*i-1,1);
vzd(i,1)=coord(i,3)+u(3*i,1);
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37 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
end
//Imprime uma figura com a posição deformada da treliça
//cor vermelha - compressão
//cor azul - tração
figure(1)
for i=1:NTEL
cx0(1,1)=vx(inci(i,2),1);
cx0(2,1)=vx(inci(i,3),1);
cy0(1,1)=vy(inci(i,2),1);
cy0(2,1)=vy(inci(i,3),1);
cz0(1,1)=vz(inci(i,2),1);
cz0(2,1)=vz(inci(i,3),1);
cx(1,1)=vxd(inci(i,2),1);
cx(2,1)=vxd(inci(i,3),1);
cy(1,1)=vyd(inci(i,2),1);
cy(2,1)=vyd(inci(i,3),1);
cz(1,1)=vzd(inci(i,2),1);
cz(2,1)=vzd(inci(i,3),1);
if eps(i)<0
set(gca(),"auto_clear","off","foreground",5,"thickness",2);
plot3d(cx,cy,cz);
else
set(gca(),"auto_clear","off","foreground",2);
plot3d(cx,cy,cz);
end
end
gca().grid=[1 1 1]; //Linhas de grade
a=gca();
a.axes_visible="on";
a.x_label.font_size=3;
a.y_label.font_size=3;
a.z_label.font_size=3;
a.hidden_axis_color=1;
a.foreground=1;
a.font_size=3;
xlabel('X (cm)')
ylabel('Y (cm)')
zlabel('Z (cm)')
função apontador.sci function [IPO, TAM]=apontador(m, itipo)
//Elemeno de barra 3D com 2 NÓS e 3GL/NÓ
if (itipo(m,2)==1) then
IPO(1)=1;
IPO(2)=2;
IPO(3)=3;
IPO(4)=4;
IPO(5)=5;
IPO(6)=6;
TAM=6;
end
endfunction
função contkg.sci function [KG]=contkg(NOCC, NNOSCC, NTGL, KG)
for J=1:NNOSCC
for I=1:NTGL
KG(NOCC(1,J),I)=0;
KG(I,NOCC(1,J))=0;
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38 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
end
KG(NOCC(1,J),NOCC(1,J))=1;
end
endfunction
função dfelem.sci function [N, eps, Sigma, R, FG, L]=dfelem(NTEL, NTGL, NOCC, E, A, inci, u, dofno, coord, itipo)
//Determina as deformações, tensões e forças normais nas barras e as reações nos apoios da treliça
//Determina o vetor de força interna global
//Determina os comprimentos deformados das barras
FG=zeros(NTGL,1);
for m=1:NTEL
for i=1:6
ug(i)=u(dofno(m,i),1); //seleciona os deslocamentos nos nós da barra m
end
X1=coord(inci(m,2),1);
X2=coord(inci(m,3),1);
Y1=coord(inci(m,2),2);
Y2=coord(inci(m,3),2);
Z1=coord(inci(m,2),3);
Z2=coord(inci(m,3),3);
L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2+(Z2-Z1)^2); //comprimento indeformado L0
L(m)=sqrt( (X2+ug(4)-X1-ug(1))^2 + (Y2+ug(5)-Y1-ug(2))^2 + (Z2+ug(6)-Z1-ug(3))^2 );
//comprimento deformado L
c1=(X2-X1)/L0(m);
c2=(Y2-Y1)/L0(m);
c3=(Z2-Z1)/L0(m);
r=[-c1;-c2;-c3;c1;c2;c3];
T=[c1 c2 c3 0 0 0; 0 0 0 c1 c2 c3];
ul=T*ug;
eps(m)=(ul(2)-ul(1))/L0(m); //deformação de engenharia da barra m
N(m) = E(m)*A(m)*eps(m); //força normal da barra m
Sigma(m)= E(m)*eps(m); //tensão normal da barra m
FELEM = N(m)*r; //vetor de força interna elementar
[FG]=ensamfg(m,FELEM,dofno,itipo,FG) //monta o vetor de força interna global (FG)
end
n=length(NOCC);
for j=1:n
R(j)=FG(NOCC(j)); //reações (forças) nos apoios
end
[FG]=contfg(NOCC,NNOSCC,FG); //impõe as condições de contorno no vetor FG
endfunction
função dkelem.sci function [KELEM]=dkelem(m, E, A, inci, dofno, coord)
//Determina matriz de rigidez elementar da barra m
KELEM=zeros(6,6);
X1=coord(inci(m,2),1);
X2=coord(inci(m,3),1);
Y1=coord(inci(m,2),2);
Y2=coord(inci(m,3),2);
Z1=coord(inci(m,2),3);
Z2=coord(inci(m,3),3);
L0(m)=sqrt((X2-X1)^2+(Y2-Y1)^2+(Z2-Z1)^2); //comprimento indeformado L0
c1=(X2-X1)/L0(m);
c2=(Y2-Y1)/L0(m);
c3=(Z2-Z1)/L0(m);
r=[-c1;-c2;-c3;c1;c2;c3];
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39 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
B = r*r';
KELEM = E(m)*A(m)/L0(m)*B; //matriz de rigidez da barra m no sistema global
endfunction
função DKG.sci function [K]=DKG(NOCC, NNOSCC, NTGL, NTEL, dofno, inci, coord, E, A, itipo)
//Determina a matriz de rigidez global (K)
K=zeros(NTGL,NTGL);
for m=1:NTEL
[KELEM]=dkelem(m,E,A,inci,dofno,coord);
[K]=ensamkg(m,KELEM,dofno,itipo,K);
end
[K]=contkg(NOCC,NNOSCC,NTGL,K);
endfunction
função ensamkg.sci function [KG]=ensamkg(m, KELEM, dofno, itipo, KG)
[IPO,TAM]=apontador(m,itipo);
for I=1:TAM
for J=1:TAM
P=dofno(m,IPO(I));
Q=dofno(m,IPO(J));
if (P>0 & Q>0)
KG(P,Q)=KG(P,Q)+KELEM(I,J);
end
end
end
endfunction
função ensamfg.sci function [FG]=ensamfg(m, FELEM, dofno, itipo, FG)
//monta o vetor de força interna global
[IPO,TAM]=apontador(m,itipo);
for I=1:TAM
P=dofno(m,IPO(I));
if (P>0)
FG(P,1)=FG(P,1)+FELEM(I,1);
end
end
endfunction
função contfg.sci function [FG]=contfg(NOCC, NNOSCC, FG)
//impõe as condições de contorno no vetor de força interna global
for I=1:NNOSCC
FG(NOCC(1,I))=0;
end
endfunction
função entrada_dados.sci function [NTNOS, NTEL, NNOSCC, NTGL, coord, inci, dofno, Fext, NOCC, E, A,
itipo]=entrada_dados()
//Informa os dados da malha de elementos finitos, vetor de força e propriedades materiais e geométricas
das barras
//NTNOS -> NÚMERO TOTAL DE NÓS
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40 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
//NTEL -> NÚMERO TOTAL DE ELEMENTOS
//NTGL -> NÚMERO TOTAL DE GRAUS DE LIBERDADE
//NNOSCC -> NÚMERO DE GRAUS RESTRITOS (CONDIÇÕES DE CONTORNO)
NTNOS=13; //informar
NTEL=24; //informar
NNOSCC=18; //informar
NTGL=NTNOS*3;
//Informa as coordenadas dos nós (informar a matriz)
//coord(i,1)= coordenada x
//coord(i,2)= coordenada y
coord = [43.3012702 86.6025404 86.6025404 43.3012702 0 0 30.8012702 55.8012702 68.3012702
55.8012702 30.8012702 18.3012702 43.3012702;
0 25 75 100 75 25 28.3493649 28.3493649 50 71.6506351 71.6506351 50 50;
0 0 0 0 0 0 6.216 6.216 6.216 6.216 6.216 6.216 8.216]'
//Informa a incidência dos elementos (informar a matriz)
//inci(i,1) = elemento
//inci(i,2) = nó i
//inci(i,3) = nó j
inci=[1:NTEL;1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12;
7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 7 8 9 10 11 12 7 13 13 13 13 13 13]'
//informa os graus de liberdade por nó
for i=1:NTEL
//elemento de treliça 3D
dofno(i,1)=inci(i,2)*3-2; // NÓ I
dofno(i,2)=inci(i,2)*3-1;
dofno(i,3)=inci(i,2)*3;
dofno(i,4)=inci(i,3)*3-2; // NÓ J
dofno(i,5)=inci(i,3)*3-1;
dofno(i,6)=inci(i,3)*3;
end
//elemento barra -> itipo(nel,2)==1
//elemento viga -> itipo(nel,2)==2
//material 1 -> itipo(nel,3)==1
//material 2 -> itipo(nel,3)==2
for i=1:NTEL
itipo(i,1) = i;
itipo(i,2) = 1;
itipo(i,3) = 1;
end
//propriedades materiais e geométricas das barras
for m=1:NTEL
if itipo(m,2)==1
E(m)=30000; //informar o módulo de elasticidade
A(m)=3.17; //informar a área da seção transversal da barra
end
end
//vetor de força externa Fext
Fext=zeros(NTGL,1);
//informar as forças (carregamento) nos graus de liberdade
Fext(3*13,1)=-120;
//informar as condições de contorno (graus de liberdade restringidos)
NOCC=[1:18]; //informar os graus de liberdade restringidos
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41 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
endfunction
3.5 Exercícios resolvidos com o programa "trelica3D"
Nesta seção são apresentados exemplos numéricos de treliças espaciais, em que são
realizadas análises estáticas lineares (material no regime elástico linear e hipótese de
deformações infinitesimais) por meio do programa de Elementos Finitos desenvolvido no
programa Scilab versão 6.1.0 (ver seção 3.4). São considerados dois problemas numéricos:
treliça com quatro nós e seis barras; e domo treliçado em forma de estrela.
3.5.1 Exemplo 1 - Treliça espacial com quatro nós e seis barras
Seja a treliça espacial com quatro nós e seis barras na Figura 3.5, cujas barras têm
módulo de elasticidade E = 2,0 104 kN/cm
2 (= 2,0 10
8 kN/m
2) e área da seção transversal A
= 10 cm2 (= 0,001 m
2). A estrutura é solicitada por três forças Px = 37 kN, Py = -1 kN e Pz = 30
kN aplicadas no nó 4. Nos nós 1, 2 e 3 da estrutura as translações estão impedidas nas três
direções X, Y e Z.
Coordenadas dos nós (m) Incidência dos elementos
Nó X Y Z Elemento i j
1 0 0 0 1 1 2
2 0 0 0,75 2 1 3
3 1 0 0 3 1 4
4 0 1 0 4 2 3
5 2 4
6 3 4
Figura 3. 5 Modelo estrutural da treliça espacial com quaro nós e seis barras.
Dados de entrada (função entrada_dados.sci):
Dados da malha Coordenadas
dos nós
Incidência
dos
elementos
Tipo do elemento
Propriedades geométrica e
material das
barras NTNOS=4; NTEL=6;
NNOSCC=9;
coord=[0 0 0; 0 0 0.75;
1 0 0;
0 1 0];
inci=[1 1 2; 2 1 3;
3 1 4;
4 2 3;
5 2 4;
6 3 4];
for i=1:NTEL itipo(i,1) = i;
itipo(i,2) = 1;
itipo(i,3) = 1;
end
for m=1:NTEL if itipo(m,2)==1
E(m)=200000000;
A(m)=0.001;
end
end
Vetor força externa Graus de liberdade
restringidos Fext=zeros(NTGL,1);
Fext(3*4-2,1)=37; Fext(3*4-1,1)=-1;
Fext(3*4,1)=30;
NOCC=[1:9];
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42 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
Solução
A Figura 3.6 apresenta os resultados numéricos no console do programa Scilab. Na
Tabela 3.1 aparecem os deslocamentos verticais no nós (em metros), na Tabela 3.2 são
apresentadas as forças reativas (em kN) nos apoios - nós 1, 2 e 3 da estrutura, e as forças
normais nas barras (em kN) são mostradas na Tabela 3.3, obtidos com o programa desenvolvido
e por Druzian (2015).
Figura 3. 6 Resultados no console do Scilab
Tabela 3. 1 Deslocamentos nos nós da treliça.
Nó Programa Druzian (2015)
u (m) v (m) w (m) u (m) v (m) w (m)
1 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0
4 0.00090325902 0.00038 0.0010275 0.903259E-03 0.380000E-03 0.102750E-02
Tabela 3. 2 Reações nos apoios.
Nó Programa Druzian (2015)
Rx (kN) Ry (kN) Rz (kN) Rx (kN) Ry (kN) Rz (kN)
1 0 -76 0 0 -76 0
2 0 40 -30 0 40 -30
3 -37 37 0 -37 37 0
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43 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
Tabela 3. 3 Forças normais nas barras.
Barra Programa Druzian (2015)
N (kN) N (kN)
1 0 0
2 0 0
3 76 76
4 0 0
5 -50 -50
6 -52,32590 -52,3259
Observações:
1. Força normal positiva indica tração na barra e negativa indica compressão na barra; e
2. As forças reativas são positivas nos sentidos positivos dos eixos globais X, Y e Z.
3.5.2 Exemplo 2 - Domo treliçado em forma de estrela
Considere o domo treliçado em forma de estrela com 24 barras e com 13 nós
apresentado na Figura 3.7, analisado por Brito (2018). As barras têm área A = 3,17 cm2 e
módulo de elasticidade E = 3,0 104 N/cm
2. Nos nós mais externos (localizados no círculo
maior) as translações estão impedidas nas três direções X, Y e Z. Uma força vertical P = 120 N
é aplicada no ápice da estrutura (nó 13).
Figura 3. 7 Modelo estrutural do domo treliçado em forma de estrela.
Dados de entrada (função entrada_dados.sci):
Dados da malha Coordenadas dos nós Incidência dos
elementos
Tipo do
elemento
Propriedades
geométrica e
material das
barras
NTNOS=13;
NTEL=24;
NNOSCC=18;
coord = [43.3012702
86.6025404
86.6025404
43.3012702 0 0
30.8012702
inci=[1:NTEL;1 1 2 2
3 3 4 4 5 5 6 6 7 8 9
10 11 12 7 8 9 10 11
12;
7 8 8 9 9 10 10 11
for i=1:NTEL
itipo(i,1) = i;
itipo(i,2) = 1;
itipo(i,3) = 1;
end
for m=1:NTEL
if
itipo(m,2)==1
E(m)=30000;
A(m)=3.17;
Luiz Antonio Farani de Souza
44 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
55.8012702
68.3012702
55.8012702
30.8012702
18.3012702
43.3012702;
0 25 75 100 75 25
28.3493649
28.3493649 50
71.6506351
71.6506351 50 50;
0 0 0 0 0 0
6.216 6.216 6.216
6.216 6.216 6.216
8.216]'
11 12 12 7 8 9 10 11
12 7 13 13 13 13 13
13]'
end
end
Vetor força externa Graus de liberdade
restringidos
Fext=zeros(NTGL,1);
Fext(3*13,1)=-120;
NOCC=[1:18];
Solução:
Na Tabela 3.4 é mostrado o deslocamento vertical (em cm) no nó 13 do domo obtido
pelo programa desenvolvido e por Brito (2018). Os deslocamentos nodais aparecem na Tabela
3.5, as reações nos apoios (em N) são mostradas na Tabela 3.6 e as deformações (adimensional),
as tensões normais (N/cm2) e as forças normais nas barras (N) são apresentadas na Tabela 3.7.
Na Figura 3.8 é ilustrado o domo deformado com a indicação das barras tracionadas (na cor
azul) e barras comprimidas (na cor vermelha).
Tabela 3. 4 Deslocamento vertical no nó 13 (cm) do domo.
Programa Scilab -1,395367127
Brito (2018) -1,39
Tabela 3. 5 Deslocamentos nos nós do domo.
Nó u (cm) v (cm) w (cm)
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
5 0 0 0
6 0 0 0
7 -0,025120348 -0,043509718 0,062044283
8 0,025120348 -0,043509718 0,062044283
9 0,050240695 -6,52521D-18 0,062044283
10 0,025120348 0,043509718 0,062044283
11 -0,025120348 0,043509718 0,062044283
12 -0,050240695 -1,76023D-18 0,062044283
13 1,72327D-17 0 -1,395367127
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45 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
Tabela 3. 6 Reações nos apoios.
Nó Rx (N) Ry (N) Rz (N)
1 -1,06581D-13 91,21417281 20,00000001
2 -78,99379084 45,60708639 20
3 -78,99379084 -45,60708639 20
4 -4,61853D-14 -91,21417281 20,00000001
5 78,99379084 -45,60708639 20
6 78,99379084 45,60708639 20
Tabela 3. 7 Deformação, tensão normal e força normal nas barras.
Elemento Deformação Tensão (N/cm2) Força normal (N)
1 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364
2 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364
3 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638
4 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641
5 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641
6 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638
7 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364
8 -0,000534563 -16,03688845 -50,8369364
9 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638
10 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641
11 -0,000534563 -16,03688846 -50,83693641
12 -0,000534563 -16,03688845 -50,83693638
13 0,002009628 60,28883416 191,1156043
14 0,002009628 60,28883417 191,1156043
15 0,002009628 60,28883417 191,1156043
16 0,002009628 60,28883416 191,1156043
17 0,002009628 60,28883417 191,1156043
18 0,002009628 60,28883417 191,1156043
19 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241
20 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241
21 -0,002637211 -79,11631676 -250,7987241
22 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241
23 -0,002637211 -79,11631675 -250,7987241
24 -0,002637211 -79,11631676 -250,7987241
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46 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
Figura 3. 8 Domo treliçado deformado.
3.6 Exercícios propostos
Resolver os exercícios de treliças espaciais a seguir utilizando o código de Elementos
Finitos desenvolvido no programa Scilab (seção 3.4).
3.6.1 Exercício 1 Considere a treliça espacial que é utilizada para sustentar as três forças
verticais aplicadas nos nós 4, 5 e 6 (topo da estrutura). Cada elemento tem área da seção
transversal A = 200 mm2 e é feito de aço A-36 (E = 200 GPa). A base da treliça está apoiada (as
translações estão impedidas nas três direções) e as barras são conectadas por pinos lisos.
Determinar os deslocamentos no nó 5 (em mm), as forças normais nas barras 1-5, 3-5 e 1-6 (em
kN) e a configuração deformada da estrutura.
Luiz Antonio Farani de Souza
47 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
3.6.2 Exercício 2 Seja a treliça espacial com cinco nós cujas barras têm área da seção
transversal A = 100 mm2 e módulo de elasticidade E = 205 GPa. As translações estão impedidas
nas três direções nos nós 1, 3 e 4 (apoios) e as barras são conectadas por pinos lisos. Uma força
vertical (direção negativa do eixo z) de 6 kN é aplicada no nó 2. Determinar as forças normais
nas barras (em kN), os deslocamentos no nó 2 (em mm) e a configuração deformada da
estrutura.
Referências
BARRIGÓ, J. M B. C. Análise Não Linear de Treliças Espaciais. 2004. Dissertação
(Mestrado) - Técnico, Lisboa.
BATHE, K. J. Finite element procedures. 2ª Ed. Watertown, MA: Klaus-Jurgen Bathe, 2016.
BRITO, C. M. S. R. Modelagem e simulação numérica de treliças espaciais submetidas a
carregamentos estáticos e dinâmicos em regime elástico não linear. 2018. Trabalho de
Conclusão de Curso - Curso de Engenharia Civil, Escola Politécnica da Universidade Federal da
Bahia, Salvador.
DRUZIAN, B. M. Rotina computacional para análise de treliças espaciais. Trabalho de
Conclusão de Curso - Curso de Engenharia Civil, Universidade Federal de Santa Maria, 2015.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 10ª ed. São Paulo: Pearson, 2005.
SAMPAIO, T. S. Análise numérica, via MEF, de ligações em treliças metálicas espaciais.
2004. Tese de Doutorado. Dissertação (Mestrado) - Curso de Engenharia de Estruturas,
Universidade de São Paulo, São Carlos.
SCILAB, version 6.1.0. ESI Group, 2020.
SOUZA, A. S. C. Análise teórica e experimental de treliças espaciais. 2003. Tese
(Doutorado) - Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.
Virginia Polytechnic Institute e State University. Structure and form analysis system, 2011.
Disponível em http://www.setareh.arch.vt.edu/safas/
ZIENKIEWICZ, O. C.; TAYLOR, R. L.; ZHU, J. Z. The finite element method: its basis and
fundamentals. Elsevier, 2005.
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48 Capítulo 3 Método dos Elementos Finitos para treliça 3D
Programa no Scilab
YAW, L. L. 3D Co-rotational Truss Formulation. Walla Walla: Walla Walla University,
2011.