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Captulo 1
Tpicos de Matrizes e Sistemas Lineares
Este Captulo ser dedicado ao escalonamento de matrizes atravs do Mtodo de Eliminao de
Gauss e tambm do Mtodo de Gauss-Jordan, tendo como aplicaes imediatas o clculo do posto
de matriz, a resoluo de sistemas de equaes lineares e a inverso de matrizes por escalonamento.
Aproveitamos o contedo para sugerir atividades computacionais ligados ao clculo matricial,
remetendo ao Captulo 7, onde introduzimos o programa Octave e oferecemos atividades que com-
plementam este captulo, em 7.2.
1.1 Introduo aos sistemas de equaes lineares
Na Geometria Analtica veremos, entre outras aplicaes, que retas no plano podem ser denidas
por equaes lineares a duas variveis (da forma ax + by + c = 0 onde x e y so as variveis e a ,
b e c constantes); que planos podem ser denidos por equaes lineares a trs variveis (da forma
ax + by + cz + d = 0 onde x, y e z so as variveis e a , b, c e d constantes); que uma reta no
espao pode ser dada como interseco de dois planos
{a1x+ b1y + c1z + d1 = 0
a2x+ b2y + c2z + d2 = 0, e portanto, como
soluo de um sistema de duas equaes a trs variveis, isto , na forma
{a1x+ b1y + c1z = D1
a2x+ b2y + c2z = D2.
Assim, uma boa compreenso de sistemas lineares vem de auxlio boa conduo dos estudos
futuros.
Comearemos com um exemplo:
()
2x + y + z = 8
x + y + 4z = 15
3y + 2z = 9
Este um sistema de trs equaes lineares a trs variveis. Geometricamente, cada equao
pode ser interpretada como um plano do espao. Uma soluo deste sistema uma terna x = x0,
y = y0, z = z0 de nmeros reais, que satisfaz simultaneamente as trs equaes. Por exemplo,
x = 2, y = 1 e z = 3 uma soluo do sistema. Podemos ainda dizer que (x, y, z) = (2, 1, 3) uma
1
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2 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
soluo. Na interpretao geomtrica, a soluo obtida a interseco dos trs planos dados, no
caso, exatamente o ponto P = (2, 1, 3).
A matriz dos coecientes desse sistema dado por A =
2 1 11 1 40 3 2
e a matriz ampliada1 dosistema A =
2 1 1 81 1 4 150 3 2 9
.Escrevendo B =
8159
e X =xyz
, temos que o sistema linear original equivalente equaomatricial AX = B: 2 1 11 1 4
0 3 2
xyz
= 8159
Ainda, X0 = (2, 1, 3) soluo do sistema pois AX0 = B:2 1 11 1 4
0 3 2
213
= 8159
.
Formalizando, seja dado um sistema lineara11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2... +
. . . +... =
...
am1x1 + . . . + amn = bm
As matrizes A =
a11 . . . a1n
a21 . . . a2n...
. . ....
am1 . . . amn
e A = [A|B] =a11 . . . a1n b1
a21 . . . a2n b2...
. . ....
...
am1 . . . amn bm
so, respectivamente,a matriz dos coecientes e a matriz completa ( ou matriz ampliada) do sistema.
Colocando B =
b1
b2...
bm
e X =x1
x2...
xn
, o sistema corresponde equao matricial AX = B.1Conhece-se a utilizao da matriz ampliada num problema envolvendo sistema linear de trs equaes a trs
variveis, publicada num manuscrito chins em torno de 200 a.C. a 100 a.C., durante a Dinastia Han. Mas o uso do
termo matriz ampliada parece ter sido introduzido pelo matemtico norte-americano Maxime Bcher. Veja mais em
[3].
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1.2. MTODOS DE ESCALONAMENTO 3
Os sistemas lineares tambm aparecem em problemas de diferentes reas, como problemas de
posicionamento global utilizados pelos GPS, anlise de rede de uxo de trfego, circuitos eltricos
e reaes qumicas. Veja estas aplicaes em [3].
b Exerccios 1.1: Escreva cada sistema abaixo na forma matricial AX = B, identicando asmatrizes A, X e B. Obtenha tambm a matriz ampliada A.
1.
{x1 + 7x2 = 4
2x1 9x2 = 2
2.
2x1 + 6x2 = 6
5x1 = 1
x1 + 2x2 = 0
3.
x2 + 5x3 = 4
x1 + 4x2 + 3x3 = 2
2x1 7x2 + x3 = 1
4.
{x + 2y = 4
x + 3y + 3z = 2
5.
2u + 3v 5w + 6t = 0
5v + 2t = 0
w 3t = 0
Veja no Captulo 7, a utilizao do programa Octave para apoio ao estudo da Geometria
Analtica. Aps uma pequena introduo, passamos a atividades que podem ser inseridas neste
contexto. A atividade 1 de 7.2 vem de encontro a este momento. Nela entramos com a matriz dos
coecientes A, a matriz coluna dos termos independentes B, obtemos a matriz ampliada AB = [A|B]
digitando AB=[A,B] (Por que no A no nome da matriz?). Obtemos uma soluo de AX = B
diretamente com o comando A\B. Calculamos tambm o determinante e a matriz inversa de A
atravs de comandos prprios do Octave: det(A) e inv(A), relacionando-os com as solues.
1.2 Mtodos de Escalonamento
Antes de introduzirmos efetivamente os mtodos de escalonamento, vamos tecer algumas consi-
deraes:
Observao 1: Existem certos sistemas simplicados em que mais fcil efetuar substituies
para resolv-los. Nesta categoria, encaixam-se os sistemas com matrizes escada como deniremos
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4 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
depois. Por exemplo, o sistema
()
x + y + z = 8
y + 4z = 13
2z = 6
est numa forma triangular chamada forma escada e podemos resolv-la facilmente comeando a
substituio trs-para-frente", fazendo z = 62 = 3, donde y = 13 4z = 13 12 = 1 e portanto,
x = 8 y z = 8 1 3 = 4.
Observao 2: Algumas alteraes no sistema no afetam o conjunto das solues, como
trocar duas equaes entre si, que na matriz ampliada, corresponde a trocar duas linhas entre
si;
multiplicar uma equao por um nmero no nulo, que na matriz ampliada, corresponde a
multiplicar uma linha pelo nmero;
substituir uma equao pela soma dela com uma outra equao, que na matriz ampliada, cor-
responde a somar a uma linha uma outra linha.
~ Cuidado: a outra equao deve ser mantida!
Para ilustrarmos este ltimo fato, vejamos no caso de um sistema de trs variveis x, y e z:
()
{a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
Substituindo a segunda equao pela soma das duas, temos o novo sistema
()
{a11x + a12y + a13z = b1
(a21 + a11)x + (a22 + a12)y + (a23 + a13)z = (b2 + b1)
bvio que que uma soluo (x0, y0, z0) do sistema (*) satisfaz o sistema (**), pois se{a11x0 + a12y0 + a13z0 = b1
a21x0 + a22y0 + a23z0 = b2,
ento
(a21 + a11)x0 + (a22 + a12)y0 + (a23 + a13)z0 =
=
b1 (a21x0 + a22y0 + a23z0)+
b2 (a11x0 + a12y0 + a13z0) = b2 + b1.
Reciprocamente, se (x0, y0, z0) uma soluo de (**), ento uma soluo de (*), pois a primeira
equao a mesma em ambos os sistemas, e a segunda equao de (*) pode ser obtida de (**) multi-
plicando a primeira equao por (-1) e somando segunda:
a21x0 + a22y0 + a23z0 =
= (a21 + a11)x0 + (a22 + a12)y0 + (a23 + a13)z0 (a11x0 + a12y0 + a13z0) =
= (b2 + b1) b1 = b2.
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1.2. MTODOS DE ESCALONAMENTO 5
juntando as duas alteraes anteriores, pode-se substituir uma equao pela soma dela com
um mltiplo de outra equao, o que corresponde, na matriz ampliada, a somar a uma linha
um mltiplo de outra linha.
Uma das formas de analisar e resolver sistemas lineares consiste em trocar o sistema inicial por
outro sistema equivalente, isto , com o mesmo conjunto de solues, de forma que o novo sistema
seja mais adequado para discusso e resoluo, como por exemplo, um sistema na forma escada.
1.2.1 Mtodo de Eliminao de Gauss
Um dos mtodos de resoluo de sistemas lineares que vamos estudar aqui o Mtodo de
Eliminao de Gauss2, cujas alteraes para simplicao do sistema baseada nas observaes
acima e feita de forma sistemtica e objetiva.
Podemos sintetizar as alteraes no sistema no Mtodo de Eliminao de Gauss em trs tipos:
1. Troca de equaes entre si.
2. Multiplicao de uma equao por um escalar 6= 0.
3. Adio a uma equao de um mltiplo de outra (sem alterao das demais equaes).
Estas alteraes, na forma matricial, geram operaes com linhas nas matrizes, chamadas
operaes elementares com linhas.
1. Troca de linhas entre si. Notao: Li Lj
2. Multiplicao de uma linha por um escalar 6= 0. Notao: Li Li
3. Adio a uma linha de um mltiplo de outra (sem alterao das demais linhas). Notao:
Li Li + Lk
Veja estas operaes elementares escritas na linguagem do programa Octave e uma pequena
introduo denio de funes no Octave, denindo as operaes elementares acima como funes
swaprow, mulrow e addrow, na atividade 2 em 7.2.
Dizemos que uma matriz B, obtida de uma matriz A por uma sequncia de operaes elemen-
tares sobre linhas l-equivalente (linha-equivalente) matriz A. Denotamos B A.
2Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), utilizou o mtodo em parte do clculo da rbita do asteride Ceres.
Uma verso do mtodo foi publicado na China em torno de 200 a.C. mas popularizado somente quando publicado
por Wilhelm Jordan, em 1888. Veja mais em [3].
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6 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Pode-se mostrar que uma relao de equivalncia, isto , valem as propriedades: reexiva
(AA), simtrica (A
B implica B
A) e transitiva (A
B e B
C implica A
C).
O Mtodo da Eliminao de Gauss para resolver um sistema linear consiste em procurar um
novo sistema cuja matriz ampliada l-equivalente matriz ampliada original, e tem a forma escada,
denida a seguir.
Definio: Dizemos que uma matriz Mmn est na forma escada se possui as seguintes caracte-
rsticas:
1. As linhas nulas, se houver, cam abaixo das linhas no nulas.
2. Para cada linha no nula i, se ai,ci o primeiro elemento no nulo da linha i, da esquerda
para a direita, os elementos da coluna ci abaixo da linha i so todos nulos.
Ou equivalentemente, se denotamos por ci o nmero da coluna onde ocorre o primeiro elemento
no nulo da linha i, devemos ter c1 < c2 < < cr onde r o nmero de linhas no nulas de
M .
Ou ainda, os nmeros de zeros que antecedem os primeiros elementos no nulos das linhas
no nulas crescente com as linhas.
Isto faz com que a matriz escada tenha uma escada de zeros na parte inferior da matriz, subindo
da direita para a esquerda.
Vejamos um exemplo: A =
2 3 0 10 0 1 00 0 0 0
uma matriz escada pois:1. a linha nula est abaixo das duas linhas no nulas (r = 2);
2. o primeiro elemento no nulo da linha 1 A11 = 2 e todos os elementos da coluna abaixo dele
so nulos;
3. o primeiro elemento no nulo da linha 2 A23 = 1 e todos os elementos da coluna abaixo dele
so nulos.
Observe tambm que c1 = 1 e c2 = 3, donde c1 < c2.
Alm disso, nas linhas no nulas 1 e 2, temos 0 e 2 zeros que antecedem os primeiros elementos no
nulos de linhas, e 0 < 2.
A matriz B =
0 3 0 10 2 0 00 0 0 1
no escada pois c1 = 2 = c2. E tambm o nmero de zerosantes do primeiro elemento no nulo da linha 1 o mesmo na linha 2 (no crescente). E mais,
abaixo do primeiro elemento no nulo da linha 1 tem o no nulo da linha 2.
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1.2. MTODOS DE ESCALONAMENTO 7
b Exerccio: Para xar as idias, verique quais das matrizes abaixo esto na forma escada:
A =
[1 2 3
0 1 0
]B =
[1 2 0
1 0 0
]C =
1 2 30 1 00 0 30
D = [1 2 30 0 2
]
E =
0 1 30 0 00 0 1
F = [1 2 0 20 0 3 5
]G =
[0 1 0
0 0 30
]H =
0 0 01 2 30 0 2
Resp: A,C,D,F,G.
O Mtodo de Eliminao de Gauss para reduo de uma matriz M a uma forma escada dada
pelo seguinte algoritmo:
1. Seja c1 a primeira coluna no nula de M , da esquerda para a direita. Se necessrio, troque
as linhas para que o elemento da linha 1 e coluna c1 seja no nulo, isto , M1c1 6= 0. Este
elemento chamado de piv. Fixando a linha 1, anule os elementos abaixo do piv M1c1 6= 0,
utilizando as operaes Li Li Mic1M1c1
L1, para cada i > 1.
Chame a nova matriz de M1.
2. Seja c2 a coluna de M1, contada da esquerda para a direita, onde existem elementos no
nulos a partir da linha 2. Se necessrio, troque a linha 2 por alguma abaixo de forma que
M12c2 6= 0. Este o novo piv.
Fixando a linha 2, anule os elementos da coluna c2, abaixo da linha 2 (abaixo do piv).
As operaes so Li Li Mic2M2c2
L2, para i > 2
Chame a nova matriz de M2.
3. Continue o processo, considerando ck a primeira coluna de Mk1, contada da esquerda para
a direita, onde existem elementos no nulos a partir da k-sima linha. Se necessrio, troque a
linha k por alguma abaixo, para que Mk1kck 6= 0. Este o k-simo piv.
Fixando a linha k, anule os elementos da coluna ck abaixo da linha k, isto , abaixo do k-simo
piv, com as operaes Li Li MickMkck
Lk para i > k.
4. Este processo termina quando acabam as linhas no nulas ou as colunas.
Por que utilizamos na operao elementar Li Li MickMkck
Lk, o multiplicador = MickMkck
?
Lembre-se que para anular o novo elemento na posio (i, ck), basta ver que soluo de
Mnovoick = Mick + Mkck = 0.
~ Ateno: Se voc estiver utilizando uma calculadora para efetuar as contas, a escolha dospivs deve ser efetuada com mais cuidado, de forma a reduzir os erros. Uma escolha simples
utilizar como k-simo piv o elemento de maior valor absoluto na coluna ck, a partir da linha k
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8 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
(conhecido como Elininao de Gauss com pivoteamento parcial, em Clculo Numrico).
Voltemos ao nosso exemplo:
()
2x + y + z = 8
x + y + 4z = 15
3y + 2z = 9
, com matriz ampliada A =
2 1 1 81 1 4 150 3 2 9
.A matriz M = A no est na forma escada, pois o elemento M11 = 2 o primeiro elemento
no nulo da primeira linha (logo c1 = 1), e o elemento M21 = 1 o primeiro elemento no nulo da
segunda linha (logo c2 = 1), e portanto no temos c1 < c2.
Vemos tambm que M21 = 1 6= 0 est na mesma coluna e abaixo do primeiro elemento no nulo
da primeira linha.
Vemos que M1c1 = M11 = 2 6= 0 e portanto, podemos utiliz-lo como o primeiro piv, isto ,
podemos xar a linha 1 e anular os termos da coluna c1 = 1 abaixo de M11 = 2. No caso, basta
fazer L2 L2 12L1.
Depois, xando M22 = 12 como o segundo piv, anulamos abaixo dele com L3 L3 6L2. A
matriz E resultante j est na forma escada. Na sequncia abaixo, destacamos os pivs.
A =
2 1 1 81 1 4 150 3 2 9
L2L2 12L1
2 1 1 8
01
272 11
0 3 2 9
L3L36L2
2 1 1 8
01
272 11
0 0 19 57
= EAssim, o sistema (*) ca equivalente ao sistema escalonado
()
2x + y + z = 8
12y +
72z = 11
+ 19z = 57
cuja soluo pode ser dada substituindo de trs-para-frente: z = 5719 = 3, donde, y = 2(11
72 3) =
2 12 = 1 e x =12 (8 1 3) = 2.
A atividade 3 em 7.2 refaz o exemplo acima na linguagem Octave. Alm disso, junto com
ele damos um incio programao do mtodo do escalonamento no Octave, denindo uma funo
pivot que, entrando com a matriz A e o elemento piv, a funo calcula a matriz com os elementos
abaixo do piv j devidamente zerados.
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1.2. MTODOS DE ESCALONAMENTO 9
b Exerccios 1.2.11. Obtenha uma forma-escada l-equivalente a cada uma das matrizes abaixo, pelo mtodo de
Eliminao de Gauss:
A =
[1 2 3
2 1 0
]B =
[1 2 0
1 0 0
]C =
1 2 3 45 6 7 83 2 1 0
D =
3 2
5 1
2 2
1 3
E =1 2 3
2 4 6
3 6 9
4 8 12
F =1 2 0 20 0 3 51 2 3 7
G =
0 1 00 0 300 1 3
H =0 0 00 0 31 0 2
2. Seu colega resolveu o exerccio anterior, porm chegou a matrizes escada diferentes do seu.
Podem ambos terem acertado tudo?
Resp: possvel. Algumas trocas de linhas a mais, ou multiplicao de linha por algum valor no nulo
(para simplificar as contas ou diminuir os erros de arredondamento), podem levar a valores distintos
na matriz escada. Mas o nmero de linhas no nulas deve coincidir, assim como as posies dos pivs.
3. Suponha que M uma matriz 250 200. Qual o nmero mnimo de linhas nulas que devem
aparecer numa matriz escada l-equivalente a M?
4. Escalone a matriz
M =
1 2 3 4 5
7 8 9 10 11
3 2 1 0 1
200 201 202 203 204
utilizando o Mtodo de Eliminao de Gauss, passo a passo. Conra o resultado no Octave.
1.2.2 Mtodo de Gauss-Jordan
No Mtodo de Gauss-Jordan3 , a sequncia de operaes elementares deve levar a uma nica
matriz mais simplicada que simplesmente escada, chamada matriz escada l-reduzida ou matriz de
Gauss-Jordan:
3Wilhelm Jordan (1842-1899) foi um geodesista alemo e o mtodo apareceu na terceira edio do seu livro de
Geodesia.
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10 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Definio: Uma matriz R uma matriz escada l-reduzida se:
uma matriz escada,
o primeiro elemento no nulo de cada linha no nula (piv) 1 e,
na coluna onde ocorre o primeiro elemento no nulo de alguma linha, todos os outros elementos
(mesmo os acima) so nulos.
A matriz escada E =
2 1 1 8
01
272 11
0 0 19 57
do exemplo anterior no l-reduzida, pois osprimeiros elementos no nulos das linhas so 2, 12 e 19, diferentes de 1 e, alm disso, no so os
nicos elementos no nulos de sua coluna.
As matrizes escada l-reduzidas 3 3 podem ter seguintes fomatos:
matriz nula;
1 x y0 0 00 0 0
ou0 1 x0 0 00 0 0
ou0 0 10 0 00 0 0
, com uma linha no nula;
1 0 x0 1 y0 0 0
ou 1 x 00 0 1
0 0 0
ou0 1 00 0 10 0 0
, com duas linhas no nulas;
1 0 00 1 00 0 1
, com 3 linhas no nulas
Para obter a matriz escada l-reduzida R, a partir da matriz escada E, basta seguir o seguinte
algoritmo:
1. Transforme todos os pivs em 1, multiplicando as linhas no nulas Li com i { 1, 2, . . . , r }
pelos multiplicadores1
Eici.
2. Comece pelo ltimo piv, anulando todos os elementos ACIMA dele, e prossiga at o segundo
piv (inclusive). Como acima do primeiro piv no h elementos, o processo se completa.
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1.2. MTODOS DE ESCALONAMENTO 11
No exemplo, E =
2 1 1 8
01
272 11
0 0 19 57
112
12 4
0 1 7 22
0 0 1 3
1
12 0
52
0 1 0 1
0 0 1 3
1 0 0 20 1 0 1
0 0 1 3
= R.Observe que o sistema correspondente matriz ampliada R fornece a soluo de imediato:
x = 2
y = 1
z = 3
Veja esta sequncia no Octave e mais a obteno direta atravs da funo rref disponvel
no programa, na atividade 4 em 7.2.
Se quiser obter diretamente a matriz l-reduzida, a partir de M , pode optar por transformar
todos os pivs em 1, desde o incio, para simplicar a obteno dos multiplicadores. Mais ainda,
uma vez obtido o piv 1, pode zerar todos os outros elementos da coluna, antes de procurar o
prximo piv. Este o mtodo mais conhecido como o Mtodo de Gauss-Jordan.
Como exemplo, vamos obter a matriz l-reduzida de
M =
1 2 3 4 5
7 8 9 10 11
3 2 1 0 1
200 201 202 203 204
pelo Mtodo de Gauss-Jordan.
1 2 3 4 5
7 8 9 10 11
3 2 1 0 1
200 201 202 203 204
pivot(M,1,1)1 2 3 4 5
0 6 12 18 24
0 4 8 12 16
0 199 398 597 796
L2
16L2
1 2 3 4 5
0 1 2 3 4
0 4 8 12 16
0 199 398 597 796
= M
pivot(M*,2,2)
1 0 1 2 3
0 1 2 3 4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
= R
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12 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Acima, pivot(A, k, ck) seria uma funo que anula todos os elementos da coluna do piv Akck ,
exceto o prprio. Modique a funo do arquivo pivot.m fornecido para a tarefa em 7.2, atividade
4. ( )
fato que a cada matriz M , existe uma nica matriz l-reduzida R tal que RM .
b Exerccios 1.2.2:
1. Obtenha as matrizes l-reduzidas das matrizes do exerccio 1 da seo anterior. Houve alguma
alterao na posio dos pivs, em relao matriz escada obtida anteriormente?
2. Considere uma matriz M quadrada de ordem n. verdade que se M invertvel, sua l-
reduzida a matriz identidade In? Sim
1.3 Posto de Matriz
Observe que dada uma matriz M , se esta no for matriz nula, h sempre innitas matrizes
escada obtidas a partir de M , mas todas elas tm em comum o nmero de linhas no nulas e as
colunas onde aparecem os pivs. Aproveitamos uma destas constantes para a denio do posto de
uma matriz:
Definio: O posto4 de uma matriz M o nmero de linhas no nulas de qualquer matriz escada
obtida a partir de M por operaes elementares sobre linhas.
Observamos que existe outra denio de posto de matriz, sem utilizar escalonamento:
O posto de M a ordem da maior submatriz quadrada de M com determinante no nulo.
Por exemplo, seM for quadrada e invertvel, seu posto a ordem da matriz. Pode-se demonstrar
que se trata do mesmo conceito, mas no o faremos aqui. Lembramos que uma submatriz de uma
matriz M obtida eliminando-se algumas linhas e/ou colunas de M . Observe que a ordem das
linhas e colunas da submatriz deve obedecer a ordem na matriz original.
Com esta caracterizao de posto de matriz (atravs de submatrizes) ca evidente que uma
matriz e sua transposta tm o mesmo posto. Mas vamos utilizar preferencialmente a denio via
matriz escada para o clculo do posto.
4O matemtico alemo Ferdinand Frobenius (1849-1917) definiu o conceito de posto (atravs de submatrizes)
e utilizou a palavra rang, em alemo ([3]). Em ingls, utiliza-se a palavra rank, como na maioria dos programas
computacionais, incluindo o Octave, para designar o posto de uma matriz.
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1.4. RESOLUO DE SISTEMAS LINEARES POR ESCALONAMENTO 13
Por exemplo, a matriz A =
1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
tem posto 2. De fato,1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
1 2 3 40 4 8 120 8 16 24
1 2 3 40 4 8 120 0 0 0
e portanto, o nmero de linhas no nulas da matriz escada obtida 2.
Fica como exerccio encontrar uma submatriz 2 2 com determinante no nulo e vericar que
todas as submatrizes 3 3 (quantas?) tm determinante 0. Fica como exerccio tambm indicar
quais operaes elementares foram efetuadas nos passos acima.
Veja um exemplo no Octave acerca do exerccio acima, na atividade 5, em 7.2.
b Exerccios 1.31. Encontre o posto da matrizes A H do exerccio 1 das sesso 1.2.1.
2. As matrizes A =
1 x 00 0 10 0 0
, B =0 1 00 0 10 0 0
e C =1 0 y0 1 z0 0 0
so matrizes 3 3 escadal-reduzidas de posto 2 (independentemente dos valores de x, y e z). Quais so as de posto 1?
e 3? A e B podem ser l-equivalentes?
3. Justique, usando a caracterizao de posto de matriz como ordem da maior submatriz com
determinante no nulo, que uma matriz e sua transposta tm o mesmo posto. E que toda
matriz invertvel tem posto mximo que a ordem da matriz.
4. Invente matrizes, encontre uma forma-escada e a forma escada l-reduzida de cada uma. Faa
o mesmo com as transpostas. Compare os postos (devem ser iguais). Nas matrizes escolhidas,
quais tm o posto mximo possvel?
1.4 Resoluo de sistemas lineares por escalonamento
Vimos que o sistema linear ()
2x + y + z = 8
x + y + 4z = 15
3y + 2z = 9
discutido anteriormente tem so-
luo nica, isto , (x0, y0, z0) = (2, 1, 3) soluo e no existem outros valores para x, y e z que
satisfaam o sistema. Portanto um sistema possvel e determinado.
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14 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Como a matriz ampliada A = [A|B] do sistema (AX = B) l-equivalente matriz l-reduzida
R =
1 0 0 20 1 0 10 0 1 3
, onde1 0 00 1 00 0 1
corresponde l-reduzida de A, temos que p = posto(A) iguala q = posto(A), que igual ao nmero de variveis, n = 3. Pelas observaes prelimares denio
de posto, p e q podem ser calculadas com qualquer matriz escada E A.
Lembramos que a soluo nica deste sistema determinado aparece na ltima coluna de R.
Consideremos agora outro exemplo: ()
{x + y + 4z = 15
3y + 2z = 9,
com matriz ampliada A =
[1 1 4 15
0 3 2 9
], j na forma escada.
Reduzindo forma de Gauss-Jordan temos:
A =
[1 1 4 15
0 3 2 9
]
[1 1 4 15
0 1 23 3
]
[1 0 103 12
0 1 23 3
]= R
Logo o sistema acima equivalente a
{x + 103 z = 12
y + 23z = 3
donde x = 12 103 z, y = 3 23z e z pode variar livremente, assumindo qualquer valor real. Por
exemplo, para z = 0, temos a soluo (x, y, z) = (12, 3, 0) , para z = 3 temos outra soluo (x, y, z) =
(2, 1, 3) e para z = t R qualquer, temos (x, y, z) = (12 103 t, 323t, t) = (12, 3, 0) + t(
103 ,
23 , 1).
Figura 1.1. Interpretao geomtrica de sis-tema linear (**): cada equao representa um planoe a soluo a reta de interseco.
10
5
0
5
10
x
10
5
0
5
10
y
10
5
0
5
10
O exemplo acima mostra um sistema com innitas solues, ou seja, um sistema possvel e
indeterminado, com grau de liberdade igual a 1. Ou seja, todas as solues podem ser descritas
variando livremente uma das variveis no caso, z e as outras variveis podem ser escritas em
funo dessa varivel. A varivel z acima a chamada varivel livre e t foi o parmetro utilizado
para descrev-lo.
Observe que neste caso, p = 2 = q < n = 3, onde p = posto(A), q = posto(A) e n o nmero de
variveis. Alm disso, o grau de liberdade n p = 3 2 = 1.
Observe tambm que a varivel livre z escolhida acima correspodente coluna 3 de R (ou de
qualquer escada E A), e nesta coluna no aparece nenhum piv.
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1.4. RESOLUO DE SISTEMAS LINEARES POR ESCALONAMENTO 15
Se considerarmos o sistema (***)
{x + y + 4z = 15
2x + 2y + 8z = 30, com matriz ampliada A =[
1 1 4 15
2 2 8 30
], teremos pelo escalonamento, o sistema equivalente
{x + y + 4z = 15
0 + 0y + 0z = 0.
Obviamente a segunda linha nula e no tem inuncia no sistema. Assim, camos somente
com a equao x+ y + 4z = 15, e portanto, x = 15 y 4z onde y e z podem variar livremente.
Por exemplo, (x, y, z) = (15, 0, 0), (x, y, z) = (14, 1, 0) e (x, y, z) = (11, 0, 1) so solues parti-
culares do sistema.
Para uso futuro, interessante escrever as solues na forma
(x, y, z) = (15, 0, 0) + t(1, 1, 0) + s(4, 0, 1), t, s R.
Isto pode ser obtido designando parmetros s variveis livres: y = t e z = s, donde (x, y, z) = (15
y4z, y, z) = (15t4s, t, s) = (15, 0, 0)+(t, t, 0)+(4s, 0, s) = (15, 0, 0)+t(1, 1, 0)+s(4, 0, 1).
O sistema que acabamos de mostrar tambm sistema possvel e indeterminado, com grau de
liberdade 2. Observe que p = q = 1 < 3 = n e as variveis livres escolhidas correspondem s colunas
2 e 3 da matriz escada R =
[1 1 4 15
0 0 0 0
], onde no aparece nenhum piv. Poderia ter utilizado
outras variveis como livres? Sim, mas com certeza as escolhidas funcionam bem.
Qual a interpretao geomtrica deste sistema? (Resposta: os planos descritos pelas equaes
so coincidentes e portanto, a soluo, o prprio plano, que pode ser descrito por 2 parmetros.)
Observe que o grau de liberdade a diferena entre o nmero de variveis e o nmero de equaes
no nulas na forma escada que aparecem nos sistemas possveis e indeterminados.
Mas um sistema pode ser impossvel, se ao reduzirmos na forma escada obtivermos uma equao
do tipo 0 = b 6= 0, ou seja, desconsiderando a coluna dos termos independentes, a forma escada
possui pelo menos uma linha no nula a menos que a matriz completa. Isto signica que p =
posto(A) < q = posto(A).
1.4.1 Teorema de Rouch-Capelli
Os exemplos acima ilustram o seguinte teorema acerca de solues de sistemas lineares, em ter-
mos de postos de matrizes:
Teorema de Rouch-Capelli5. Seja um sistema linear de m equaes a n variveis AX = B,
cuja matriz dos coecientes A tem posto p e cuja matriz ampliada A tem posto q. Ento:5Tambm conhecido como Teorema de Rouch-Frobenius. Eugne Rouch (1832-1910) publicou uma verso em
1875, mas depois de George Fonten. Uma verso italiana apareceu em 1886 publicado por Alfredo Capelli (1855-
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16 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
1. se p 6= q, o sistema impossvel;
2. se p = q = n, o sistema possvel e determinado;
3. se p = q < n, o sistema possvel e indeterminado, com grau de liberdade n p.
O teorema ca evidente se analisarmos os sistemas lineares na forma escada, de preferncia de
Gauss-Jordan:
1. Se p 6= q, signica que a matriz ampliada escalonada tem a q-sima linha do tipo[0 0 bq
],
que corresponde equao 0x1 + + 0xn = bq, sem soluo, j que bq 6= 0. Observe que p 6= q s
ocorre com q = p+ 1.
2. Se p = q = n, as n linhas no nulas da matriz de Gauss-Jordan da ampliada da forma1 0 0 | b1
0 1 0 | b2...
.... . .
... |...
0 0 1 | bn
,donde a nica soluo (x1, x2, . . . , xn) = (b1, b2, . . . , bn).
Pode haver linhas nulas abaixo desta matriz.
3. No caso p = q < n, veja o mtodo apresentado a seguir. Fica claro que possvel escrever as
p = q variveis correspondentes s colunas dos pivs em funo das outras n p incgnitas.
1.4.2 Sistemas indeterminados e a escolha das variveis livres
Quando um sistema possvel e indeterminado, com grau de liberdade np, surgem as questes:
quais so as variveis livres? como apresentar as solues?
Vamos agora indicar um mtodo para a escolha das variveis livres e a forma de apresentar as
solues com uso de parmetros e algumas solues particulares, nos sistemas indeterminados.
1. Obtenha a forma escada da matriz ampliada do sistema. Esta matriz deve ter p < n linhas
no nulas e n+ 1 colunas. As primeiras n colunas correspondem s n variveis.
2. Determine quais variveis so livres. Se os pivs esto nas colunas c1 < c2 < < cp, as
demais n p colunas (sem contar a ltima coluna) correspondem s variveis livres.
As colunas com pivs correspondem s variveis que se escrevem em termos das variveis livres
(podendo inclusive ser constante).
1910). Ferdinand Frobenius (1849-1917) que introduziu o conceito de posto de matriz, reapresentou o Teorema em
1905 dando crditos a Rouch e Fontene. Veja em http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Rouche.
html e em http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Printonly/Capelli.html
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1.4. RESOLUO DE SISTEMAS LINEARES POR ESCALONAMENTO 17
Por exemplo, se a matriz ampliada de um sistema de 4 variveis x, y, z e w, dada por
A =
1 20 0 3 | 100 0 1 1 | 50 0 0 0 | 0
temos que os pivs estos nas colunas c1 = 1 e c2 = 3 de x e z, dondeos candidatos s variveis livres so as demais, y e w. Temos que x = 10 20y 3w e z = 5 w.
3. Utilizando parmetros para as variveis livres, escreva as solues de forma a evidenciar
cada parmetro.
Por exemplo, no sistema acima, utilizando parmetros y = t e w = s, temos
(x, y, z, w) = (10 20t 3s, t, 5 s, s) =
= (10, 0, 5, 0) + t(20, 1, 0, 0) + s(3, 0,1, 1), com t, s R.
Esta apresentao das solues facilita a identicao do conjunto das solues e a ligao com
o grau de liberdade, na interpretao geomtrica. Quando a soluo descrita com um parmetro,
a interpretao geomtrica do conjunto das solues de um objeto de dimenso 1, como retas no
plano ou no espao. Quando so utilizados dois parmetros na descrio das solues, temos um
plano de solues (dimenso 2).
Observamos que o comando A\B para resolver o sistema AX = B no Octave funciona bem se o
sistema for possvel e determinado. Quando p < q, o comando resulta em somente uma das solues.
importante conhecer o Teorema de Rouch-Capelli, para saber se existem outras solues alm
da apresentada pelo computador. Como obter outras solues?
1.4.3 Sistemas Lineares Homogneos
Um sistema linear homogneo se os termos independentes so todos nulos, isto , um sistema
da forma AX = 0.
Neste caso, sempre h a soluo nula (x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0). Resta ver se tem somente a
soluo nula (sistema homogneo determinado) ou se existem outras solues (sistema homogneo
indeterminado). Matricialmente, a ltima coluna da matriz ampliada sendo nula, as operaes ele-
mentares sobre linhas no modicam essa situao, e por isso, muitas vezes esta coluna omitida
por economia.
Uma relao interessante entre um sistema no homogneo AX = B e o sistema homogneo as-
sociado AX = 0, que se X0 uma soluo particular do sistema no homogneo, isto , AX0 = B,
as outras solues podem ser escritas na forma X = X0 +X1, onde X1 uma soluo do sistema
homogneo.
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18 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
No exemplo (anteriormente estudado) ()
{x + y + 4z = 15
3y + 2z = 9,
o sistema homogneo associado ()
{x + y + 4z = 0
3y + 2z = 0.
Vimos que as solues de (*) so da forma
(x, y, z) = (12, 3, 0) + t(103 ,23 , 1), t R.
Observe que (12, 3, 0) uma soluo particular do sistema (*) e que
t(103 ,23 , 1), t R
so as solues do sistema homogneo (). Na verdade, em vez da soluo particular (12, 3, 0)
poderia ser qualquer outra soluo de (*).
Geometricamente, o sistema no homogneo tem como soluo a reta que passa pelo ponto
(12, 3, 0) e tem a direo da reta (isto , paralela reta) dada como soluo de sua homognea
associada, que representa uma reta pela origem. Veremos mais tarde que (103 ,23 , 1) representa o
vetor direo da reta.
No outro exemplo, cuja matriz ampliada j dada por
A =
1 20 0 3 | 100 0 1 1 | 50 0 0 0 | 0
,a matriz ampliada do sistema homogneo associado ca
A =
1 20 0 3 | 00 0 1 1 | 00 0 0 0 | 0
.Sendo as variveis x, y, z e w no sistema homogno AX = 0 acima, onde as variveis livres so y
e w, fazendo (y,w) = (1, 0), obtemos (x, y, z, w) = (20, 1, 0, 0) e, fazendo (y,w) = (0, 1), obtemos
(x, y, z, w) = (3, 0,1, 1) e as solues do sistema linear homogneo podem ser escritas na forma
t(20, 1, 0, 0) + s(3, 0,1, 0), com t, s R.
Ou seja, uma soluo geral de um sistema linear AX = B soma de uma soluo particular do
sistema, com uma soluo do sistema homogneo AX = 0.
b Exerccios 1.41. Para cada sistema abaixo:
Escreva o sistema na forma matricial AX = B, identicando A, X e B. Obtenha a matriz
ampliada A = [A|B].
Escalone a matriz ampliada pelo Mtodo da Eliminao de Gauss.
Obtenha os postos das matrizes A e A (p e q) e faa uma anlise completa do sistema com o
Teorema de Rouch-Capelli.
Quando possvel, resolver o sistema, prosseguindo com a matriz ampliada at obter a l-reduzida
(Mtodo de Gauss-Jordan). No caso de sistemas indeterminados, escreva as respostas no for-
mato (x1, . . . , xn) = (b1, . . . , bn) + 1(a11, . . . , a1n) + + r(ar1, . . . , arn), onde 1, . . . , r so
parmetros.
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1.4. RESOLUO DE SISTEMAS LINEARES POR ESCALONAMENTO 19
Quando impossvel, resolva o sistema linear homogneo associado.
a)
x1 +2x3 +3x4 = 0
+x2 +x3 2x4 = 0
+x5 = 0
b)
3x +5y = 1
2y +z = 3
z = 1Nos tens abaixo, considere o problema em trs variveis, x, y, z:
c) 2x 3y + 4z = 1 d) x+ 2y = 0 e) y = 0 f)
x = 1z = 32. Resolva os sistemas reduzindo forma escada l-reduzida e conra os resultados com o Teo-
rema de Rouch-Capelli. Faa o escalonamento passo a passo.
a)
x1 +3x2 +2x3 +3x4 7x5 = 14
2x1 +6x2 +x3 2x4 +5x5 = 2
x1 +3x2 x3 +x5 = 1
b)
x1 +x2 +x3 +x4 = 0
x1 +x2 +x3 x4 = 4
x1 +x2 x3 +x4 = 4
x1 x2 +x3 +x4 = 2
c)
{x +y +z = 4
2x +5y 2z = 3
d)
3x +5y = 1
2x +z = 3
5x +y z = 0
e)
2x 5y = 0
x +y = 0
2x +y = 0
Resp: a) (2915,0,1415,175
,0)+1(3,1,0,0,0)+2(8
15
,0,715,115
,1) , e) (0,0)
b) (1,1,2,2) , c) (173
,53
,0)+1(7
3
,43,1) , d) (716,116
,178
)
3. Dado o sistema 1 2 0 1
1 0 2 1
1 2 2 1
3 4 4 3
x
y
z
w
=2
2
4
8
a) Mostre que (x, y, z, w) = (1, 1, 1, 1) soluo.
b) Agora resolva efetivamente o sistema.
c) Resolva tambm o sistema homogneo associado.
d) Verique que toda soluo obtida em (b) soma de uma soluo encontrada em (c) com a
soluo de (a).
4. Para que valores de , o sistema
x+ y = 0x+ (2 + 1)y = 0 tem(a) uma nica soluo? (b) innitas solues? (c) nenhuma soluo?
Resp: Infinitassoluessefor1ou2,soluonicacasocontrrio .
5. Construa exemplos de sistemas com trs variveis x, y e z, a m equaes, com posto da matriz
dos coecientes p, para cada caso abaixo. Se no existir, justique.
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20 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
a) m = 1 e impossvel. b) m = 2 e grau de liberdade 2.
c) m = 2 e grau de liberdade 1. d) m = 2 e impossvel.
e) m = 2 e determinado. f) m = 3 e grau de liberdade 2.
g) m = 3 e grau de liberdade 1. h) m = 3 e soluo nica.
i) m = 3, impossvel e p = 1. j) m = 4 e grau de liberdade 3.
k) m = 3, impossvel, p = 2, duas das equaes formando sistema sem soluo.
l) m = 3, impossvel e dois a dois com innitas solues.
1.5 Inverso de matrizes por escalonamento e matrizes elementares
Uma outra aplicao do processo de Gauss-Jordan na inverso de matrizes.
Dada uma matriz A quadrada n n, podemos invert-la construindo a matriz M = [A | In]
obtida justapondo A com a matriz identidade In. Aplicando o processo de Gauss-Jordan em M , se
a matriz A for invertvel, deve-se chegar na matriz escada l-reduzida R = [In | A1].
Isto signica tambm que a matriz invertvel A na sua forma de Gauss-Jordan, reduzida
matriz identidade, o que fornece o posto mximo n e que o determinante de A no nulo. Alm
disso, as mesmas operaes que levam A em In levam In em A1. Observe que se a matriz no
invertvel, a matriz escada l-reduzida R no ter In na primeira parte.
Exemplo: Considere a matriz A =
[1 2
3 4
]. Temos que
M = [A | I2] =
[1 2 1 0
3 4 0 1
]
[1 2 1 0
0 2 3 1
]
[1 2 1 0
0 1 3/2 1/2
]
[1 0 2 1
0 1 3/2 1/2
]= R = [I2 | A
1]
e portanto, a inversa da matriz A A1 =
[2 1
3/2 1/2
]
No Octave, imediato implementar o mtodo utilizando a funo rref que efetua direta-
mente o processo de Gauss-Jordan. Veja atividade 6 em 7.2.
Podemos demonstrar a validade deste processo de inverso de matrizes, utilizando as chamadas
matrizes elementares, obtidas da matriz identidade por uma operao elementar sobre linhas.
A cada operao elementar em M corresponde uma multiplicao E M de M por uma matriz
elementar E, onde E obtida de uma matriz identidade pela operao elementar em questo.
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1.5. INVERSO DE MATRIZES POR ESCALONAMENTO 21
Por exemplo, a matriz E =
0 0 10 1 01 0 0
uma matriz elementar obtida de I3 pela operaoL1 L3, e podemos ver que multiplicando uma matriz M esquerda por E temos
E 0 0 10 1 01 0 0
M 0 2 3 34 1 5 2
1 1 7 0
=1 1 7 04 1 5 20 2 3 3
.Conra o resultado da operao elementar aplicada diretamente em M :0 2 3 34 1 5 2
1 1 7 0
L1L31 1 7 04 1 5 20 2 3 3
Analogamente, a matriz E =
1 0 00 1 05 0 1
uma matriz elementar obtida de I3 pela operaoL3 L3 + 5L1, e multiplicar uma matriz M esquerda por E1 0 00 1 0
5 0 1
1 2 3 34 1 5 25 1 7 0
=1 2 3 34 1 5 20 11 22 15
equivalente a aplicar a operao na matriz M : 1 2 3 34 1 5 2
5 1 7 0
L3L3+5L11 2 3 34 1 5 20 11 22 15
Do mesmo modo, a matriz elementar E =
1 0 00 1 00 0 x
obtida da identidade I3 multiplicando alinha 3 por x, produz numa multiplicao E M o mesmo resultado que multiplicar a linha 3 de M
por x.
Assim, dada uma matriz quadrada invertvel A, e a matriz M = [A | In], temos uma sequncia
de matrizes elementares E1, E2, . . . , Er, correspondentes s operaes elementares efetuadas para se
chegar na sua matriz escada l-reduzida R = [In | B], tal que R = Er E2 E1 [A | In]. Mostremos
que B = A1.
Primeiro, um fato da multiplicao de matrizes: pode-se provar que, se escrevemos uma matriz
M na forma M = [M1 | M2 | | Mm] ( estamos colocando | para separar blocos de matrizes,
como no caso M = [A | In]), ento, multiplicando M esquerda por U temos:
U M = [U M1 | U M2 | | U Mm].
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22 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Assim, temos que R = [In | B] = [Er E2 E1 A | Er E2 E1 In]. Das primeiras n colunas,
conclui-se que Er E2 E1 A = In, donde Er E2 E1 = A1. Pelas n ltimas colunas, segue
que Er E2 E1 In = B. Logo, B = A1. c.q.d.
Veja a inverso da matriz A =
0 1 23 4 51 2 1
com o Octave, mostrando todos os passos doescalonamento por Gauss-Jordan na atividade 7, em 7.2. Aproveitamos tambm para obter e uti-
lizar as matrizes elementares, para ilustrar a justicativa do mtodo de inverso e a atuao das
matrizes elementares.
O mesmo exemplo, resolvido manualmente:
Passo1. Trocando linha 1 com linha 2, em M = [A|I3]:
M =
0 1 2 1 0 03 4 5 0 1 01 2 1 0 0 1
3 4 5 0 1 00 1 2 1 0 01 2 1 0 0 1
= M1
M1 =
0 1 01 0 00 0 1
0 1 2 1 0 03 4 5 0 1 01 2 1 0 0 1
Passo 2. Transformando o primeiro piv em 1, ao multiplicar a linha 1 por 13 :
M1 =
3 4 5 0 1 00 1 2 1 0 01 2 1 0 0 1
1
43
53 0
13 0
0 1 2 1 0 0
1 2 1 0 0 1
= M2
M2 =
13 0 0
0 1 0
0 0 1
3 4 5 0 1 00 1 2 1 0 01 2 1 0 0 1
Passo 3. Zerando os elementos no nulos abaixo do primeiro piv. No caso, com a operao
L3 L3 + L1:
M2 =
143
53 0
13 0
0 1 2 1 0 0
1 2 1 0 0 1
1 4353 0
13 0
0 1 2 1 0 0
0 10383 0
13 1
= M3
M3 =
1 0 00 1 01 0 1
1
43
53 0
13 0
0 1 2 1 0 0
1 2 1 0 0 1
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1.5. INVERSO DE MATRIZES POR ESCALONAMENTO 23
Passo 4. O segundo piv j sendo 1, vamos zerar os outros elementos da coluna 2, com
L1 L1 43L2 e L3 L3
103 L2:
M3 =
1 43
53 0
13 0
0 1 2 1 0 0
0 10383 0
13 1
1 0 1 4313 0
0 1 2 1 0 0
0 10383 0
13 1
= M4
1 0 1 43
13 0
0 1 2 1 0 0
0 0 4 10313 1
= M5
M4 =
1 43 0
0 1 0
0 0 1
1 4353 0
13 0
0 1 2 1 0 0
0 10383 0
13 1
M5 =
1 0 00 1 00 103 1
1 0 1 4313 0
0 1 2 1 0 0
0 10383 0
13 1
Passo 5. Transformar o terceiro piv em 1 e anular os outros elementos da coluna, com L3 14L4,
L1 L1 + L3 e L2 L2 2L3:
M5
1 0 1 43
13 0
0 1 2 1 0 0
0 0 1 56 112
14
(exerccio)
1 0 0 12
14
14
0 1 0 2316
12
0 0 1 56 112
14
= R = [ I3 |A1 ]Qual a matriz U tal que R = U M5?
b Exerccios 1.5
1. Considere A =
3 1 5 0
0 2 0 1
2 0 1 3
1 1 2 0
.a) Encontre A1 usando escalonamento.
b) Para cada operao elementar ei efetuada, obtenha a matriz elementar Ei correspondente.
Qual o resultado de ir multiplicando esquerda por essas matrizes elementares, a partir de A
-
DM-UFSCar-yyb-yksf
24 CAPTULO 1. TPICOS DE MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
(isto , ErEr1 . . . E1A =?) e a partir de I?
c) Para cada matriz elementar obtida, calcule o determinante.
d) Verique que o determinante :
(*) 1 para matriz elementar da operao Li Li + Lk,
(**) -1 para matriz elementar da troca de linhas Li Lj e
(***) para matriz elementar da multiplicao de linha por , Li Li.
d) Obtenha a partir das informaes acima, um mtodo para clculo de determinante.
2. Invente matrizes quadradas, e aplique o mtodo da inverso por escalonamento.
O que ocorre quando no obtemos na matriz l-reduzida, a matriz identidade na primeira
metade? Resp: Anoinvertvel .
3. Calcule o determinante de M =
2 0 13 0 24 3 7
(a) usando desenvolvimento de Laplace pela segunda coluna (por que pela segunda coluna?).
(b) por escalonamento.
Inverta (se possvel) pelo escalonamento.
Observao 1: O mtodo do clculo do determinante de uma matriz A = (aij)1i, jn pelo
desenvolvimento de Laplace o seguinte:
Primeiro, escolhe-se uma linha i0 [ou uma coluna j0] de A.
Ento
det(A) =
j=1...n
ai0jAi0j
[ou det(A) =
i=1...n
aij0Aij0
],
onde Aij = (1)i+j det(A(i,j)) conhecido como cofator de aij , sendo que A(i,j) a submatriz
obtida de A ao eliminar a linha i e a coluna j.
Observe que se escolhermos a linha ou coluna com mais elementos nulos, menos contas temos a
fazer!
Observao 2: Outra forma de se calcular determinantes, para o caso de matrizes 33 a regra
de Sarrus, muito utilizada pelos alunos.
~ O problema sua utilizao indevida para matrizes maiores. No vale generalizar!