CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA
Prof. Raul Brito
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
Produto Cartesiano
Chama-se par ordenado um conjunto de dois elementos em uma
dada ordem.
Para lembrar que a ordem dos elementos é relevante, usamos
parênteses na representação de um par ordenado – e não as
chaves, como nos conjuntos em geral.
Assim, indicamos por (x, y) o par ordenado em que o primeiro
elemento é x e o segundo elemento é y. Logo, temos:
(a, b) = (c, d) a = c e b = d
Dessa forma, é importante enfatizar que, por definição,
(1, 3) (3, 1).
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denomina-se produto
cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos
os pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a
A e o segundo elemento pertence a B.
A x B = {(x, y | x A e y B} em que A x B lê-se “produto
cartesiano de A por B” ou “A cartesiano B”.
Exemplo:
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {a, b}, temos:
A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} e
B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
Observe que A x B B x A, ou seja, o produto cartesiano de dois
conjuntos distintos não é comutativo.
Note também que, no último exemplo, n(A) = 3, n(B) = 2 e
n(A x B) = 6.
De modo geral, se A e B são conjuntos finitos com m e n
elementos, respectivamente, então A x B é um conjunto finito com
m.n elementos.
O conjunto A x A é denominado quadrado cartesiano de A e pode
ser indicado por A2 (lê-se “A dois”).
Exemplo:
O quadrado cartesiano do conjunto P = {1, 4} é:
P2 = {(1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4)}
1. Noção intuitiva de função
Um lavador de carros trabalha diariamente na mesma quadra em
uma grande cidade. Ele trabalha sempre da mesma forma e cobra
o preço único de R$ 12,00 por carro que lava. Alguns possíveis
valores que ele recebe ao fim de um dia de trabalho estão
representados na tabela a seguir:
Número de carros Receita bruta (em reais)
0 0
1 12
2 24
3 36
5 60
12 144
Nota-se que a receita bruta diária do lavador de carros pode ser
expressa em função do número de carros lavados, ou seja, o valor
recebido no fim do dia depende da quantidade de veículos limpos.
Essa relação de dependência entre o número de carros e a quantia
ganha pode ser esquematizada da seguinte maneira:
Receita bruta = 12 vezes o número de carros.
Um modelo matemático para descrever essa relação pode ser
obtido usando-se variáveis. Nesse caso, a quantidade de carros é
a variável independente x, uma vez que seus valores podem ser
escolhidos previamente, e a arrecadação do dinheiro é a variável
dependente y, pois depende de x.
Dessa maneira, a expressão algébrica que associa y a x é dada
pela igualdade:
y = 12x
Observação:
Cada quantidade diária de carros corresponde a uma única receita,
e, por isso, pode-se dizer que essa igualdade define uma função.
2. Notação
O valor pago por um
passageiro de um táxi é
calculado da seguinte forma:
nos percursos sem parada, o
taxímetro marca uma quantia
inicial de R$ 3,00 – chamada
bandeirada – mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. Assim, temos
novamente uma relação de dependência entre duas variáveis, a
saber, quilometragem x e quantia recebida pelo taxista y.
Usaremos, agora; um diagrama para representar algumas
correspondências entre elas. Os elementos do conjunto A são os
quilômetros percorridos, e os elementos do conjunto B, as quantias
a receber.
2
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
Note que
I. todos os elementos de A têm correspondentes em B;
II. um dado elemento de A tem apenas um correspondente em B.
Por isso, dizemos que essa relação é uma função de A em B em
que sua lei é dada por:
y = 2x + 3
Assim, pode-se concluir que uma função estabelece uma relação
de dependência entre duas variáveis, satisfazendo as condições
citadas.
2.1. Definição
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função de A em B é
uma regra que diz como associar cada elemento x do conjunto A a
um único elemento y do conjunto B.
No diagrama a seguir, a função f transforma x em y.
Nesse caso, dizemos que o conjunto A é o domínio da função f.
Nesse domínio, estão os valores da variável independente x. É
importante ressaltar que uma função só existe dentro de seu
domínio.
Já o conjunto B, formado pelo possíveis valores da variável
dependente y, é o contradomínio da função f.
Para indicar que f é uma função de domínio A e contradomínio B,
escrevemos:
f: A B
Se um elemento x do domínio está associado, por meio da função
f, a um elemento y do contradomínio, dizemos que y é a imagem
de x e escrevemos:
y f(x)
Assim, a função f : , na qual y = 2x + 3 pode ser escrita
como f(x) = 2x + 3.
O símbolo f(x) é uma imagem de x. Simplificando, em vez de se
escrever “o valor de y quando x é igual a 2” ou “a imagem de
x = 2”, basta se escrever f(2).
A letra f, em geral, dá nome às funções, mas há também funções
g, h, etc. Por exemplo, pode-se ter g: A B ou h: .
2.2. Conjunto imagem
Consideremos a função f: A B definida pro f(x) = 2x + 3.
Domínio: A = {0, 1, 2, 3}
Contradomínio: B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Logo, temos que f(0) = 3, f(1) = 5, f(2) = 7 e f(3) = 9.
O conjunto de todos os valores de y que são imagem de algum x
do domínio chama-se conjunto imagem da função e pode ser
indicado por Im. No caso, Im = {3, 5, 7, 9}.
Note que o conjunto imagem é um subconjunto de B.
Na maioria dos casos, estaremos tratando de funções cujo domínio
e contradomínio são subconjuntos de . Elas são chamadas
funções reais ou funções numéricas. Ou seja, nas funções reais,
x e y são variáveis que assumem valores no conjunto .
2.3. Domínio de uma função real
Vimos que o domínio de uma função é formado pelos valores reais
de x que possuem imagem. Se um número real não possui
imagem por uma função f, então ele não pertence ao domínio de f.
Em geral, o domínio de uma função fica subentendido assim que a
função é dada. Porém, há casos em que é preciso explicitar esse
conjunto.
Não pertencem ao domínio de f os números reais que, quando
colocados no lugar de x, provocam alguma impossibilidade na
expressão de f.
3. Gráfico de uma função
3.1. Plano cartesiano
O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais ou sistema
cartesiano ortogonal ou, simplesmente, plano cartesiano é um
sistema de dois eixos x e y, perpendiculares, que se cruzam no
ponto O, chamado de origem. Esses eixos determinam os
quadrantes I, II, III e IV.
Cada ponto do plano é determinado por um par ordenado de
números reais. A origem O do sistema associamos o par ordenado
(0, 0).
O eixo horizontal é o eixo das abscissas, e o eixo vertical, das
ordenadas.
Consideremos, por exemplo, o ponto A(1, 5). Dizemos que 1 e 5
são as coordenadas do ponto A; 1 é a abscissa (projeção no eixo
x), e 5 é a ordenada (projeção no eixo y).
Ponto P(a, b): a abscissa
b ordenada
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
3
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
Observe o ponto B(5, 1) no 1° quadrante. Note que a ordem em
que os elementos aparecem no par é importante, já que os pontos
A(1, 5) e B(5, 1) ocupam lugares diferentes no plano.
Gráfico no plano cartesiano
Chama-se gráfico de uma função y = f(x) o conjunto de todos os
pontos (x, y) do plano cartesiano, sendo que x assume valores no
domínio da função, e y representa suas imagens.
Voltemos à função f : , f(x) = 2x + 3.
Para essa função, a imagem de x = 2 é y = 7. Assim, dizemos que
o ponto P(2, 7) pertence ao gráfico da função ou que o gráfico
passa pelo ponto P(2, 7).
Na prática, o gráfico contém infinitos pontos, que formam uma linha
contínua. Isso ocorre pelo fato de que entre os números 2 e 3, por
exemplo, existem infinitos números reais.
Daí, entre os valores x = 2 e x = 3, a variável x percorre uma
infinidade de valores no domínio.
x y
–1 1
0 3
1 5
2 7
3 9
Portanto, no gráfico anterior, consideramos o conjunto domínio
da função e, também, conjunto imagem. Portanto:
O domínio de uma função é obtido pela projeção dos pontos do
gráfico no eixo das abscissas.
O conjunto imagem é obtido pela projeção do gráfico no eixo das
ordenadas.
3.2. Como descobrir se uma curva é gráfico de uma função
Segundo a definição, para que se tenha uma função de A em B,
deve-se associar a cada x A um único y B. Ou seja, um
elemento do domínio de uma função não pode ter duas, três ou
mais imagens.
Vamos verificar qual dos dois gráficos a seguir representa uma
função, traçando, sobre a curva, retas paralelas ao eixo y.
No primeiro gráfico, qualquer reta vertical intercepta a curva em
apenas um ponto. Portanto, a cada elemento do domínio [a, b],
corresponde uma só imagem. Logo, o gráfico representa uma
função.
O segundo gráfico, entretanto, não é de uma função, pois cada reta
paralela ao eixo y corta a curva em dois pontos. Isso significa que
cada elemento do domínio possui duas imagens diferentes.
4. Crescimento e decrescimento de uma função
O gráfico adiante apresenta as mudanças de fases de agregação
de uma substância provocada pelo aumento da temperatura. A
substância está, inicialmente, no estado sólido. Após a fusão,
passa completamente ao estado líquido e, depois da ebulição, é
apenas gás.
Observe os trechos do gráfico separadamente. Nos intervalos em
que a substância é sólida, líquida ou gasosa, sua temperatura
aumenta com o tempo. Assim, dizemos que nesses trechos a
função é crescente.
Porém, durante as transformações (fusão e ebulição), a
temperatura não se altera. Nesses dois trechos, o gráfico é uma
linha paralela ao eixo das abscissas. Dizemos, por isso, que
durante a fusão e durante a ebulição, a função é constante.
Em outro experimento, foram feitas variações na pressão de um
gás, medindo-se os valores de volume correspondentes. Os dados
experimentos estão apresentados na tabela:
Pressão (Pa) Volume (L)
100 000 8,00
140 000 5,71
180 000 4,44
220 000 3,63
4
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
A partir desses dados, foi esboçado o gráfico da variação de
volume em função da pressão:
À medida que se aumenta a pressão do gás, seu volume diminui.
Trata-se, assim, de uma função decrescente: quando se atribui
valores de cada vez maiores para x (pressão), suas imagens y
(volume) ficam cada vez menores.
De maneira geral, tem-se:
Função crescente em [a, b]
b > a f(b) > f(a)
Função crescente em [a, b]
b > a f(b) < f(a)
5. Taxa média de variação de uma função
Aos 22 anos de idade, no início de sua carreira, um professor
pesava 75 kg. Hoje, com 42 anos, seu peso é 95 kg. Nesse caso,
percebemos que ele ganhou 20 kg em 20 anos, o que significa que
engordou, em média, a uma taxa de 1 kg/ano.
Todavia, sabemos que uma pessoa não ganha peso a uma taxa
constante, pois há períodos em que o peso não se altera e outros
em que há emagrecimento. A questão importante aqui é que 1
kg/ano é somente uma taxa média.
Assim, dizemos que para toda função y = f(x) a razão entre a
variação de valores de y e a correspondente variação de valores
de x é chamada de TMV ou taxa média de variação de y em
relação a x. Assim, em uma função definida no intervalo [xA, xB],
tomando-se dois pontos distintos de seu gráfico A(xA, yA) e B(xB,
yB), a razão
B A
B A
y yy
x x x
é a taxa média de variação de y em relação a x, quando x varia de
xA até xB.
Em intervalos em que a função é
crescente, essa TMV é positiva.
Nos intervalos em que y diminui
e x aumenta, a TMV tem sinal
negativo.
Se o gráfico da função é uma
linha reta (função crescente,
decrescente ou constante), a
taxa média de variação é a
mesma em todo o domínio. Nesse caso, dizemos simplesmente
taxa de variação, já que ela é constante.
6. Raízes e sinais de uma função
Vamos esboçar o gráfico do polinômio do 2° grau y = x2 – 4,
escolhendo sete valores para x e calculando suas imagens. A
curva que obteremos chama-se parábola.
x y
–3 5
–2 0
–1 –3
0 –4
1 –3
2 0
3 5
Essa parábola corta o eixo x em dois pontos: (–2, 0) e (2, 0).
Assim, x = –2 e x = 2 são os elementos do domínio que possuem
imagem igual a zero. Esses números são chamados raízes ou
zeros da função.
Raízes ou zeros de uma função são os valores de x para os quais
y = 0. No plano cartesiano, elas são as abscissas dos pontos em
que a curva corta o eixo x.
Observe, agora, que há pontos da curva que estão acima do eixo x
e há pontos abaixo dele. No intervalo em que os valores de x
variam de –2 até 2, os pontos do gráfico estão todos abaixo do eixo
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
5
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
x, pois esses elementos do domínio possuem imagens negativas.
Simbolicamente, escrevemos:
y < 0 –2 < x < 2
Por outro lado, tanto os valores de x menores que –2 quanto ao
valores maiores que 2 possuem imagens positivas, fazendo com
que os pontos do gráfico fiquem situados acima do eixo das
abscissas. Portanto, para x < –2 ou x > 2, temos que a função é
positiva:
y > 0 x < –2 ou x > 2
7. Classificação de funções
7.1. Função par e função ímpar
Consideremos a função f : , tal que f(x) = |x|. Como
sabemos, seu gráfico é dado por:
Note que |–1| = |1| = 1 e |–3| = |3| = 3, isto é, f(–1) = f(1) e f(–3) =
f(3). Observe, também, que o gráfico de f(x) = |x| é simétrico em
relação ao eixo y. Dizemos, por isso, que f(x) = |x| é uma função
par.
De um modo geral:
Uma função f qualquer é par quando f(x) = f(–x) para todo x de seu
domínio.
Consideremos, agora, a função f : definida por f(x) = 2x,
cujo gráfico é dado por:
Podemos observar que f(1) = 2 e f(–1) = –2. Ou, então, que f(2) = 4
e f(–2) = –4. Notamos, ainda, que o gráfico de f(x) = 2x é simétrico
em relação à origem do referencial cartesiano. Por isso, dizemos
que f(x) = 2x é uma função ímpar.
Uma função f qualquer é ímpar quando f(–x) = –f(x) para todo x de
seu domínio.
Existem funções que não são pares nem ímpares, simplesmente
não se classificam nessas categorias. Por exemplo, f(x) = 2x – 4.
7.2. Funções periódicas
Quando procuramos por descrições matemáticas para fenômenos
de natureza cíclica ou periódica, como os batimentos cardíacos, a
respiração ou o caminhar, devemos usar funções cujos valores se
repetem após certo intervalo. Na maior parte desses fenômenos,
utilizamos funções classificadas como periódicas.
Uma função f: A B é periódica se existir um número p > 0
satisfazendo a condição:
f(x + p) = f(x), para todo x A.
Chama-se período de f o menor valor de p que satisfaz f(x + p) =
f(x).
Por exemplo, consideremos a função f : cujo gráfico é o
seguinte:
Observe que, para todo x , temos:
f(x) = f(x + 1) = f(x + 2) = f(x + 3) = ...
Nesse caso, o número p = 1 é o período de f. Assim, f é periódica
porque é possível encontrar um número p > 0 tal que, ao darmos
acréscimos iguais a p em x, o valor calculado para f não se altera.
7.3. Função sobrejetora
Uma função f de A em B é sobrejetora quando B é o conjunto
imagem de f. Isso significa que, para todo elemento y B, existe
um elemento x A tal que f(x) = y. Nesse caso, dizemos que f é
uma sobrejeção de A em B.
Exemplo:
Considere a função f: A B, em que A = {–3, –1, 3} e B = {1, 9},
defina por f(x) = x2. Essa função é uma sobrejeção de A em B, pois
todo elemento y de B é imagem de pelo menos um elemento x de
A.
7.4. Função injetora
Uma função f de A em B é injetora quando elementos distintos de
A têm imagens distintas em B. Isso significa que, se f é injetora,
então, quaisquer que sejam x1 e x2 de A, com x1 x2, tem-se f(x1)
f(x2). Nesse caso, dizemos que f é uma injeção de A em B.
Exemplo:
A função f de A = {1, 2, 3, 4} em B = {3, 4, 5, 6, 7} definida por
f(x) = x + 2 é injetora, pois cada elemento y Im(f) é imagem de
apenas um elemento x A. Entretanto, não é sobrejetora.
7.5. Função bijetora
Uma função f de A em B é bijetora se ela for injetora e sobrejetora
ao mesmo tempo. Quando isto ocorre, dizemos que f é uma
bijeção de A em B.
Exemplos:
1. A função f: A B, com A = {2, 3, 4, 5} e B = {4, 6, 8, 10},
6
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
definida por f(x) = 2x é bijetora, pois, para todo y de B, existe
um único elemento x de A tal que y = 2x.
2. A função f : definida por f(x) = x2 é sobrejetora, mas
não é injetora, pois Im(f) = , porém f(–3) = f(3). Portanto,
não é uma bijeção.
7.6. Inversa de uma função
Considere um triângulo equilátero cujos lados têm medidas
representadas por x. Seu perímetro 2p é 3x.
x: lado do triângulo
2p: perímetro
Podemos imaginar, aqui, duas funções bijetoras, f e g.
f: a cada valor do lado corresponde um perímetro.
g: a cada valor do perímetro corresponde um lado.
Dessa forma, temos:
f: A B
f(x) = 3x
f: B A
g(x) = x
3
Observe que o domínio de f é o conjunto imagem de g, e vice-
versa. Note, também, que se pode encontrar os pares (x, y) da
função g invertendo-se o sentido das setas da função f.
Dizemos, nesse caso, que g é a função inversa de f e
escrevemos g(x) = f–1(x). Assim, sendo f(x) = 3x, sua inversa é
f–1(x) = x
3.
Observe que é necessário que uma função seja bijetora para
possuir inversa.
Uma regra prática para determinar a inversa
Para obter a inversa de uma função bijetora, podemos usar o
seguinte roteiro.
1°. “Trocamos” a variável x por y e y por x na lei que define a
função;
2°. “Isolamos” o y, escrevendo-o em função de x;
A expressão obtida é y = f–1(x).
Observação
Quando representados em um mesmo sistema cartesiano, os
gráficos de f e f–1 são simétricos em relação à reta que contém as
bissetrizes dos quadrantes I e III.
Veja:
7.7. Função composta
Considere as funções f: A B e g: B C. Observe que: o
conjunto B, contradomínio de f, é o domínio de g.
• f: a cada x A corresponde uma imagem f(x) em B.
• g: a cada f(x) B corresponde uma imagem f(f(x)) em C.
Existe uma função h: A C que relaciona elementos de A
diretamente aos elementos de C, denominada função composta
de g e f. A função h, portanto, associa a cada x A um único
g(f(x)) em C.
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
7
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
A função composta de g e f será indicada por g o f (lê-se g círculo
f). Logo:
g o f(x) g(f(x))
Exemplo
Dadas as funções reais f(x) = 4x + 1 e g(x) = 2x2 – 3, encontrar
f o g(x) e g o f(x).
A) f o g(x) = f(g(x)) = f(2x2 – 3)
Devemos, na função f, trocar x por 2x2 – 3.
f o g(x) = 4(2x2 – 3) + 1 f o g(x) = 8x2 – 11
B) g o f(x) = g(f(x)) = g(4x + 1)
Na função g, substituímos x por 4x + 1.
g o f(x) = 2(4x + 1)2 – 3 g o f(x) = 2(16x2 + 8x + 1) – 3
g o f(x) = 32x2 + 16x – 1
8
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
EXERCÍCIOS DE CLASSE
Questão 1
Determine a e b de modo que os pares ordenados (2a – 5, b + 3) e (1 – 4a, 2b – 1) sejam iguais.
Questão 2
Sabendo que A é um conjunto de três elementos, B um conjunto de quatro elementos e se os pares
(0, 4), (3, 1) e (5, 0) são elementos do produto cartesiano A x B, obter o conjunto A.
Questão 3
Dados os conjuntos A = {0, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6}, obter o número de elementos do conjunto (A x B)
(B x A).
Questão 4
Seja a função f : definida por f(x) = x2 – 6x + 8.
a) Calcular a imagem do número 4.
b) Determine f(k).
c) Obter os elementos do domínio que possuem imagem igual a 3.
Questão 5
Dada a função g : definida por g(x) = 3x + b, calcular o valor de b sabendo que g(–1) = 2.
Questão 6
Determine o domínio das funções:
a) f(x) = x 5
x 2
b) g(x) = x 3
Questão 7
Uma função f : é tal que f(a + b) = f(a).f(b) para quaisquer a e b reais. Sabendo-se que f(3) =
2, calcular o valor da soma f(0) + f(–3).
Questão 8
O diagrama a seguir representa o gráfico de uma função f(x).
Assim, DETERMINE
a) o domínio;
b) o conjunto imagem.
c) as raízes.
Anotações
Anotações
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
9
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
d) o intervalo em que f(x) é crescente.
e) os intervalos em que f(x) é decrescente.
f) os intervalos em que f(x) < 0.
g) os intervalos em que f(x) > 0.
h) qual é a imagem do elemento 4.
i) de qual elemento o número real 4 é uma imagem.
j) a taxa média de variação entre x = –4 e x = –3.
k) a taxa média de variação entre x = 3
2 e x = 2.
Questão 9 (UFMG)
Na figura, estão esboçados os gráficos de duas funções f e g. O conjunto {x : f(x).g(x) < 0} é
dado por
a) x > 0 ou x < –1
b) –1 < x < 0
c) 0 < x < 2
d) –1 < x < 2
e) x < –1 ou x > 2
Questão 10 (UFMG-2008)
Neste plano cartesiano, estão representados os gráficos das funções y = f(x) e y = g(x), ambas
definidas no intervalo aberto ]0, 6[.
Seja S o subconjunto de números reais definido por S = {x ; f(x).g(x) < 0}. Então, é CORRETO
afirmar que S é:
a) {x ; 2 < x < 3} {x ; 5 < x < 6}
b) {x ; 1 < x < 2} {x ; 4 < x < 5}
c) {x ; 0 < x < 2} {x ; 3 < x < 5}
d) {x ; 0 < x < 1} {x ; 3 < x < 6}
Questão 11
Determinar a função inversa da função f(x) = x 2
4
.
Anotações
10
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
Questão 12
Analisando o número de pontos de interseção das retas paralelas ao eixo x com o gráfico de cada
função, CLASSIFIQUE as funções a seguir em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
Questão 13
VERIFIQUE se as funções a seguir são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
a) f : ; f(x) 3x 6
b) 2g: ; g(x) x
c) p : ; p(x) 2x 3
Questão 14
Se f(x) = 3x + 1 e f o g(x) = 3x2 + 2, DETERMINE g(x).
Questão 15 (UFMG)
Observe a figura.
Nessa figura, está esboçado o gráfico da função f(x) definida no intervalo [–2, 3]. O gráfico de g(x) = f(x
+ 1) é
Anotações
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
11
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
Questão 16
Considere as funções reais definidas por f(x) = 2x e g(x) = 2x. Para que seja f(g(x)) = g(f(x)), o ÚNICO
valor de x é um número
a) inteiro positivo.
b) inteiro negativo.
c) não inteiro positivo.
d) não interiro negativo.
Questão 17 (UFMA)
A função real f é tal que f(5x + 3) = x. Sendo f–1 a inversa de f, f–1(x) é igual a
a) 3x + 5
b) 5x + 3
c) x 5
3
d) x 3
5
Questão 18
Sejam f e g duas funções bijetoras e f–1 e g–1 suas respectivas inversas. Se f(3) = 5, g–1(3) = 7 e
g–1(6) = 3, assinale a alternativa FALSA.
a) f(g(7)) = 5
b) g(f–1(5)) = 6
c) g–1(f–1(5)) = 7
d) g(7) f–1(5)
Questão 19
Se g(x) = x 1
2
e f o g(x) =
x 5
8
, DETERMINE f(x).
Questão 20
Se f(x) = a + 1 e g(x) = 2x + 5, CALCULE o valor de a para que se tenha g o f(x) = a.
Questão 21
Dada a função f : tal que
x
2
2 , se x é racionalf(x)
x 3, se x é irracional
CALCULE f(–1) + 5.f(0) – f 2 .
Questão 22
Sendo f(x) = x xa a
2
, CALCULE f(1) + f(–1).
Questão 23 (UFPA)
Sejam os conjuntos A = {1, 2} e B = {0, 1, 2}. Qual das afirmativas a seguir é VERDADEIRA?
a) f: x 2x é uma função de A em B.
b) f: x x + 1 é uma função de A em B.
c) f: x x2 – 3x + 2 é uma função de A em B.
Anotações
12
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
d) f: x x2 – x é uma função de B em A.
e) f: x x – 1 é uma função de B em A.
Questão 24 (FAAP-SP)
Sendo f(x) = ax 1
x b
, x – {b}, DETERMINE a e b, reais para que se tenha f(0) =
1
2 e f(1) = 2.
Questão 25
Se f(1 + x) = 2
x
x 1, então f(4) vale
a) 4
15
b) 0
c) 4
d) 3
8
e) 1
2
Questão 26 (FUVEST-SP)
Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da
variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a
a) 1
2 b) 1 c)
5
2 d) 5
Questão 27
Numa função real f, as imagens são sempre positivas e f(x + 1) = [f(x)]2 para todo x. Se f(0) = 4, então f(1) – f(–1) é igual a a) 4 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
Anotações
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
13
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
EXERCÍCIOS DE CASA
Questão 01 (UFF-RJ-2010)
Em Mecânica Clássica, a norma G do campo gravitacional gerado
por um corpo de massa m em um ponto a uma distância d > 0 do
corpo é diretamente proporcional a m e inversamente proporcional
ao quadrado de d.
Seja G = f(d) a função que descreve a norma G do campo
gravitacional, gerado por um corpo de massa constante m em um
ponto a uma distância d > 0 desse corpo.
É CORRETO afirmar que f(2d) é igual a:
a) f(d)
4
b) f(d)
2
c) 4f(d)
d) 2f(d)
e) f(d)
Questão 02 (UFMG)
Uma função f : é tal que f(5x) = 5f(x) para todo número
real x. Se f(25) = 75, então o valor de f(1) é:
a) 3 b) 5 c) 15 d) 25 e) 45
Questão 03 (UFU-MG)
Se f é uma função cujo gráfico é dado a seguir, então o gráfico da
função g, tal que g(x) = f(x – 1), será dado por:
a) c)
b) d)
Questão 04 (UFMG-2010)
Considere a função:
x, se x é racional
f(x) 1, se x é irracional
x
Então, é CORRETO afirmar que o MAIOR elemento do conjunto
7 24f , f(1), f(3,14),f
31 2
é:
a) 7
f31
b) f(1)
c) f(3, 14)
d) 24
f2
Questão 05 (UECE)
Seja, f : a função tal que f(1) = 4 e f(x + 1) = 4f(x) para
todo real. Nessas condições, f(10) é igual a:
a) 2–10 b) 4–10 c) 210 d) 410
Questão 06 (UFMG)
Se f é uma função tal que f(1) = 3 e f(x + y) = f(x) + f(y) para
qualquer x e y reais, então f(2) é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 8
Questão 07 (UFMG)
Sendo f(x) = 1
x para x > 0, o valor de f
1
x
é igual a:
a) 1
x
b) 4
1
x
c) 4 x
d) x
e) 1
x
Questão 08 (Mackenzie-SP)
Se a curva dada é o gráfico da função y = a + b
x, então o valor de
ab é:
a) 1
2
b) 3
14
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
c) 2
d) 4
e) 1
4
Questão 09 (UFMG)
Considere a função y = f(x), que tem como domínio o intervalo {x
: –2 < x 3} e que se anula somente em x = – 3
2 e x = 1, como
se vê nesta figura:
Assim, para quais valores reais de x se tem 0 < f(x) 1?
a) 3 1
x | x 1 x | x 1 x | 1 x 22 2
b) 3 1
x | 2 x x | 1 x x | 2 x 32 2
c) 3 1
x | x 1 x | x 22 2
d) 3 1
x | x 1 x | x 22 2
Questão 10 (IBMEC-SP-2010)
A função f, de domínio real, é dada pela lei f(x) =
2
x
x 2x 5, se x
3 , se x
, em que representa o conjunto dos
números racionais. O número total de soluções reais da equação
f(x) = 7 é:
a) 4 b) 3 c) 7 d) 1 e) 0
Questão 11 (Enem-2013)
A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por
um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia
de acordo com a expressão 2t
T( ) 400,4
com t em minutos.
Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para
abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 °C. Qual o
tempo mínimo e espera, em minutos, após se desligar o forno, para
que a porta possa ser aberta?
a) 19,0 b) 19,8 c) 20,0 d) 38,0 e) 39,0
Questão 12 (Enem-2002)
O excesso de peso pode prejudicar o desempenho de um atleta
profissional em corridas de longa distância como a maratona (42,2
km), a meia-maratona (21,1 km) ou uma prova de 10 km. Para
saber uma aproximação do intervalo de tempo a mais perdido para
completar uma corrida devido ao excesso de peso, muitos atletas
utilizam os dados apresentados na tabela e no gráfico.
Altura (m)
Peso (kg) ideal para atleta masculino
de ossatura grande, corredor de longa
distância
1,57 56,9
1,58 57,4
1,59 58,0
1,60 58,5
Usando essas informações, um atleta de ossatura grande, pesando
63 kg e com altura igual a 1,59 m, que tenha corrido uma meia-
maratona, pode estimar que, em condições de peso ideal, teria
melhorado seu tempo na prova em:
a) 0,32 minuto.
b) 0,67 minuto.
c) 1,60 minuto.
d) 2,68 minutos.
e) 3,35 minutos.
Questão 13 (UFJF-MG)
A seguir, encontram-se representados os gráficos das funções
f : e g : .
Sabendo que f possui inversa –1f : , o valor de f o g o f–1(2)
é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
15
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
Questão 14 (UFTM-MG-2012)
A figura indica o gráfico da função contínua f, de domínio [–12, 16]
e imagem [–5, 16].
De acordo com o gráfico, o número de soluções da equação
f(f(x)) = 5 é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
Questão 15 (PUC Minas)
Na figura, está o gráfico da função f.
O total de elementos x tais que f(f(x)) = 4 é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
Questão 16 (Fatec-SP-2011)
Parte do gráfico de uma função real f, do 1° grau, está
representada na figura a seguir:
Sendo g função real definida por g(x) = x2 + x, o valor de f–1(g(1)) é:
a) 3
2
b) 1
3
c) 1
3
d) 2
3
e) 3
2
Questão 17 (UEL-PR)
Se f e g são funções de em tais que f(x) = 2x – 1 e f(g(x)) =
x2 – 1, então g(x) é igual a:
a) 2x2 + 1
b) x
12
c) 2x
2
d) x + 1
e) 1
x2
Questão 18 (UFRJ)
Seja f : uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico
da função f passa pelos pontos A(1, 2) e B(2, 3), a função f–1
(inversa de f) é:
a) f–1(x) = x + 1
b) f–1(x) = –x + 1
c) f–1(x) = x – 1
d) f–1(x) = x + 2
e) f–1(x) = –x + 2
Questão 19 (FGV)
Considere as funções f(x) e g(x), definidas para todos os números
reais, tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x + 3. Se h(x) é a função
inversa de g(x), então o valor de f(h(x0)) para x0 = 7 é igual a:
a) 4 b) 22 c) 7 d) 17 e) 52
Questão 20
Em uma gincana escolar, uma das etapas consista na resolução de
um desafio matemático. O professor forneceu uma série de
informações acerca de um número Y. A primeira equipe que
conseguisse determinar esse número venceria a prova.
As informações eram as seguintes:
• O número Y é natural.
• O número |Y – 2| + 4 encontra-se a 10 unidades da origem da reta
real.
Acerca do número Y, podemos concluir que:
a) é um número primo.
b) possui 6 divisores naturais.
c) é divisor de 56.
d) é um número ímpar.
e) é múltiplo de 3.
Anotações
16
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES DE FIXAÇÃO - CASA
Questão 01
Resolução: Do enunciado, temos:
2 2
2
2
2
2 2
G G d Gd mconstante constante constante G constante
1 m 1 m dmd
mG f d f d constante
d
f dm m f 2d constante f 2d constante f 2d .
44d2d
Resposta: Alternativa A
Questão 02
Resolução: Do enunciado, temos:
Resposta: Alternativa A
Questão 03
Resolução: Da propriedade da translação do gráfico, podemos extrair a seguinte informação:
Quando somamos ou subtraímos uma certa quantidade do domínio (note que estamos tirando uma unidade do x
(domínio)), o gráfico permanece o mesmo (não muda a curva), porém ele translada (caminha) para a direita, se a
quantidade for tirada e translada (caminha) para a esquerda, se a quantidade for somada. Assim no caso da
nossa questão, o gráfico vai transladar (caminhar) uma unidade para a DIREITA, pois retiramos uma unidade do x
(domínio). Antes era f(x) agora é f(x – 1).
Resposta: Alternativa A
Questão 04
Resolução: Do enunciado, temos: x, se x
f x 1, se x
x
Note que o único que é irracional é o 12 . Então:
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
17
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
7 7f ; f 1 1; f 3,14 3,14
31 31
1f 12
12
Destes, o maior é o 3,14
Resposta: Alternativa C
Questão 05
Resolução: Do enunciado, temos:
2
2 3
9 10
f 1 1 4 f 1 f 2 4 4 f 2 4
f 2 1 4 f 2 f 3 4 4 f 3 4
...
f 9 1 4 f 9 f 10 4 4 f 10 4
Resposta: Alternativa D
Questão 06
Resolução: Do enunciado, temos:
f x y f x f y para x y 1
f 1 1 f 1 f 1 f 2 2f 1 f 2 2 3 f 2 6.
Resposta: Alternativa D
Questão 07
Resolução: Do enunciado, temos:
4
4
4 44
4
1 1 1 1 1 1 1 1 x 1f x f f f f 1 f x
x x x x xx 1 1 11x xx
Resposta: Alternativa C
Questão 08
Resolução: Note que f 2 3 e f 1 0 , logo temos:
b by a 3 a 6 2a b 2a b 6
x 2
b by a 0 a 0 a b a b
x 1
2a a 6 3a 6 a b 2
Assim: b 2 ba 2 a 4
Resposta: Alternativa D
Questão 09
Resolução: Note que queremos os valores de x cuja imagem varia de 0 até 1, então do retângulo da figura
abaixo, pegaremos o intervalo que corresponde ao eixo x, assim temos:
18
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
Note também que 1 é raiz e no intervalo pedido não queremos o ZERO, por isso não podemos ter x = 1. Assim
temos os seguintes intervalos:
3 1x 1 x 1 1 x 2
2 2
Resposta: Alternativa A
Questão 10
Resolução: Do enunciado, temos:
2 2
x3
22
x 2x 5 7 x 2x 2 0f x 7
x log 7 irracional3 7
x 2x 2 0 2 4.1. 2 4 8 12
Note que o delta não é quadrado perfeito o que torna as raízes da equação do 2º grau, irracionais. Note que só
podemos usar a equação do 2º grau, se as raízes (soluções) forem racionais e como elas não são, temos um
absurdo ou situação impossível, logo não temos nenhuma solução para a primeira equação.
Já a segunda equação só pode ser usada para números irracionais e como 3x log 7 é irracional temos uma
situação possível. Portanto temos uma solução para o problema.
Resposta: Alternativa D
Questão 11
Resolução: Do enunciado, temos:
2 2 2 2
2t t t tT t 400 39 400 400 39 361 t 4 361 t 4 361
4 4 4 4
t 4 361 t 2 19 t 38.
Logo o tempo mínimo de espera é de 38 minutos.
Resposta: Alternativa D
Questão 12
Resolução: De acordo com o enunciado, temos:
Ele está 5 kg acima do peso ideal. Do gráfico podemos tirar que na meia maratona, cada 1 kg acima do peso
ideal, o atleta perde 0,67 minutos, assim, se ele está 5 kg acima do peso ideal, ele perderá 0,67 5 3,35
minutos.
Resposta: Alternativa E
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
19
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
Questão 13
Resolução: Podemos usar a propriedade da função inversa no gráfico, lembre-se que o gráfico é simétrico à
bissetriz dos quadrantes ímpares, assim podemos montar a seguinte figura:
Note que dos gráficos temos:
1f 2 1; g 1 3 ; f 3 4 .
Assim: 1 1 1 1f g f 2 f g f 2 f g f 2 f g 1 f g f 2 f 3 4 .
Resposta: Alternativa E
Questão 14
Resolução: Do enunciado, temos:
Note que para a função “dar 5”, ou seja, para a imagem ser 5, o número de dentro (valor do domínio) pode ser –
12, – 7, 5 ou 13 (ver o gráfico destaque em retângulo). Assim:
f f x 5 f x 12 ou f x 7 ou f x 5 ou f x 13
Note que f x 12 ou f x 7 , não tem solução visto que a imagem varia de – 5 até 16.
Por outro lado f x 5 , tem 4 soluções (circulados) e f x 13 , tem duas soluções (marcado com um ponto) a
mesma imagem igual a 1.
Logo temos: 4 + 2 = 6 soluções.
Resposta: Alternativa D
Questão 15
Resolução: Do gráfico, temos:
Note que para a função “dar 4”, ou seja, para a imagem ser 4, o número de dentro (valor do domínio) tem que ser
1 (ver o gráfico destaque em retângulo). Assim:
20
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
f f x 4 f x 1
Por outro lado, para que a imagem seja 1 (veja a horizontal que passa pelo 1 do y), temos 3 pontos (circulados),
todos os 3 pontos tem a mesma imagem igual a 1.
Resposta: Alternativa C
Questão 16
Resolução: Note que f 0 3 e f 2 0 , logo temos:
1
3 3
1 1 1
f x ax b 3 a 0 b b 3.
3f x ax 3 0 a 2 3 2a 3 a .
2
3f x ax b f x x 3.
2
3 3 2f y y 3 f y x y 3 x 3y 6 2x 3y 2x 6 y x 2
2 2 3
2 f x x 2.
3
g x x x g 1 1 1 g 1 2.
2f g 1 f 2 f 2
3
1 1 14 4 6 22 2 f 2 2 f 2 f 2 .
3 3 3
Resposta: Alternativa D
Questão 17
Resolução: Do enunciado, temos:
2
2 2 xf g x 2 g x 1 2 g x 1 x 1 2 g x x g x
2
Resposta: Alternativa C
Questão 18
Resolução: Note que f 2 3 e f 1 2 , logo temos:
1
f x ax b 3 a 2 b 2a b 3
f x ax b 2 a 1 b a b 2
a 1 a b 2 1 b 2 b 1
f x ax b f x x 1
f y y 1 f y x y 1 x y x 1 f x x 1
Resposta: Alternativa C
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Prof. Raul Brito)
21
VestCursos – Especialista em Preparação para Vestibulares de Alta Concorrência
Questão 19
Resolução: Do enunciado, temos:
x 3 x 3g x 2x 3 g y 2y 3 g y x 2y 3 x 2y x 3 y h x
2 2 2 2
7 3 h 7 h 7 2.
2 2
f h 7 f 2 f 2 3 2 1 f 2 7.
e
f 1 0 , logo temos
Resposta: Alternativa C
Questão 20
Resolução: Note que como y é natural, então só podemos pegar as soluções positivas, assim temos:
y 2 4 10 y 2 10 4 y 2 6 y 2 6 y 6 2 y 8 .
Resposta: Alternativa C